MATEMÁTICA III Prof. Emerson Dutra emerson.dutra@vgd.ifmt.edu.br www.profedutra.webnode.com 1 semestre de 2019 DCC05A, EDIF05A e LOG05A Nome: RA: Lista 4 - Geometria Espacial 01/03/2019 Obs.: É importante fazer todos os exercícios e discutir as dúvidas existentes. Questão 1. Classifique em verdadeiro (V) ou Falso (F). a. Três pontos distintos determinam um plano. b. Um ponto e uma reta determinam um único plano. c. Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. d. Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. e. Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos. f. r s = r e s são reversas. g. r e s são reversas r s =. h. Duas retas não coplanares são reversas. Questão 2. Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcule o número de arestas e de vértices do poliedro. Questão 3. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro? PRISMAS Questão 4. Calcule a área lateral, a área total e o volume dos prismas, cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. 1
Questão 5. A base de um prisma de 10 cm de altura é um triângulo retângulo isósceles de 6 cm de hipotenusa. Calcule a área lateral, a área total e o volume do prisma. Questão 6. Calcule o volume e a área total de um prisma, sendo sua seção reta um trapézio isósceles cujas bases medem 30 cm e 20 cm e cuja altura mede 10 2 cm e a área lateral 640 m 2. Questão 7. [ENEM] A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m 3 /s. O cálculo da vazão, Q em m 3 /s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m 2, pela velocidade da água no local v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? PIRÂMIDES Questão 8. Calcule a área lateral, a área total e o volume das pirâmides regulares, cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. Questão 9. De um tetraedro regular de aresta a, calcule: a. a área total (A T ) b. a medida h da altura c. o seu volume (V ) 2
Questão 10. De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 dm 2 e que o apótema da pirâmide mede 6 dm. Calcule: a. a aresta da base (l) b. o apótema da base (m) c. a altura da pirâmide (h) d. a aresta lateral (a) e. a área total (A T ) Questão 11. Uma pirâmide regular hexagonal de 12 cm de altura tem aresta da base medindo 10 3 3 cm. Calcule: a. a área da base (B) b. o apótema da base (m) c. o apótema da pirâmide (m ) d. a aresta lateral (a) e. a área lateral (A l ) f. a área total (A T ) g. o volume (V ) Questão 12. [ENEM] Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração. Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e 6 2 m e o lado da base da plataforma mede 19 2 m, então qual será a medida, em metros, de cada cabo? CILINDRO Questão 13. Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. 3
Questão 14. [ENEM] Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões: Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Qual é o percentual de perda de madeira? Questão 15. [ENEM] Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 m x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, qual será o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II? 4
Questão 16. [ENEM] Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço dos tanques é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π = 3) 5