Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada

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31-1 Oscilações Eletromagnéticas Oito estágios em um ciclo de oscilação de um circuito LC sem resistência. Os histogramas mostram a energia armazenada no campo magnético e no campo elétrico. Também são mostradas as linhas de campo magnético do indutor e as linhas de campo elétrico do capacitor. (a) O capacitor está totalmente carregado; a corrente é zero. (b) O capacitor está se descarregando; a corrente está aumentando. (c) O capacitor está totalmente descarregado; a corrente é máxima. (d) O capacitor está se carregando com a polaridade oposta à de (a); a corrente está diminuindo. (e) O capacitor está totalmente carregado com a polaridade oposta à de (a); a corrente é zero. (f) O capacitor está se descarregando; a corrente está aumentando no sentido oposto ao de (b). (g) O capacitor está totalmente descarregado; a corrente é máxima. (h) O capacitor está se carregando; a corrente está diminuindo.

31-1 Oscilações Eletromagnéticas As partes a a h da Fig. 31-1 mostram estágios sucessivos das oscilações de um circuito LC simples. A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é onde q é a carga no capacitor em qquer instante. A energia armazenada no campo magnético do indutor é onde i é a corrente através do indutor em qualquer instante. As oscilações resultantes do campo elétrico no capacitor e do campo magnético no indutor são ditas serem oscilações eletromagnéticas.

31-1 Oscilações Eletromagnéticas Pela tabela podemos deduzir a correspondência entre estes sistemas. Então, q corresponde a x, 1/C corresponde a k, i corresponde a v, e L corresponde a m. As correspondências listadas acima sugerem que para encontrar a frequência angular de oscilação para um circuito LC ideal (sem resistência), k deveria ser substituído por 1/C e m por L, levando a

31-1 Oscilações Eletromagnéticas Oscilador LC A energia total U presente a todo instante num circuito LC oscilador é dada por onde U B é a energia armazenada no campo magnético do indutor e U E é a energia armazenada no campo elétrico do capacitor. Uma vez que assumimos que a resistência é zero, nenhuma energia é transformada em energia térmica e U permanece constante no tempo. Mais formalmente, du/dt deve ser zero. Isto leva à Entretanto, i = dq/dt e di/dt = d 2 q/dt 2. Com estas subsituições, obtemos Esta é a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem resistência.

31-1 Oscilações Eletromagnéticas Oscilações de Carga e Corrente A solução para a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem resistência é Onde Q é a amplitude das variações de carga, ω é a frequência angular das oscilações eletromagnéticas, e ϕ é a constante de fase. Tomando a primeira derivada da equação acima com respeito ao tempo nos dá a corrente: Answer: (a) ε L = 12 V (b) U B =150 μj

31-1 Oscilações Eletromagnéticas Oscilações da Energia Elétrica e Magnética A energia elétrica armazenada no circuito LC num instante t é, A energia magnética é, A Figura mostra gráficos de U E (t) e U B (t) para o caso de ϕ=0. Note que 1. Os valores máximos de U E e U B são ambos Q 2 /2C. 2. Em qualquer instante a soma de U E e U B é igual a Q 2 /2C, uma constante. 3. Quando U E é máximo, U B é zero, e o inverso. As energias magnética e elétrica no circuito LC como função do tempo.

31-2 Oscilação Amortecida em um circuito RLC Para analisar as oscilações do circuito, necessitamos de uma equação que expresse a energia eletromagnética total U no circuito em função do tempo. Como a resistência não armazena energia eletromagnética, podemos escrever A energia eletromagnética total diminui com o tempo, pois parte da energia é transformada em energia térmica. A taxa de transformação é dada por o sinal de menos indica que U diminui com o tempo. Derivando em relação ao tempo e substituindo o resultado na Eq. anterior, obtemos que é a equação diferencial para as oscilações amortecidas de um circuito RLC. Diminuição da Carga. A solução da Eq. acima é onde e. Circuito RLC série. Enquanto a carga contida no circuito oscila entre o indutor e o capacitor, parte da energia do circuito é dissipada no resistor, o que reduz progressivamente a amplitude das oscilações.

31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples Por que Usar CA? A principal vantagem da corrente alternada é a seguinte: Quando a corrente muda de sentido, o mesmo acontece com o campo magnético nas vizinhanças do condutor. Isso torna possível usar a lei de indução de Faraday, o que, entre outras coisas, significa que podemos aumentar ou diminuir à vontade a diferença de potencial usando um dispositivo, conhecido como transformador, que será discutido mais tarde. Além disso, a corrente alternada é mais fácil de gerar e utilizar que a corrente contínua no caso de máquinas rotativas como geradores e motores. Oscilações Forçadas Qualquer que seja a frequência angular natural ω de um circuito, as oscilações forçadas de carga, corrente e diferença de potencial acontecem na frequência angular de excitação ω d. Nos geradores de corrente alternada, uma espira condutora é forçada a girar na presença do campo magnético externo. Na prática, a força eletromotriz induzida em uma bobina com muitas espiras é colhida por escovas que se apoiam em anéis rotativos solidários com bobina. Cada anel está ligado a uma extremidade da bobina e faz contato com o resto do circuito do gerador por meio de uma das escovas.

31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples Carga Resistiva A amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação Onde V R e I R são as amplitudes da corrente alternada i R e diferença de potencial alternada v R que atravessa a resistência no circuito. Velocidade angular: Os dois fasores giram em torno da origem no sentido anti-horário com uma velocidade angular igual à frequência angular ω d de v R e i R. Comprimento: O comprimento de cada fasor representa a amplitude de uma grandeza alternada, V R no caso da tensão e I R no caso da corrente. Projeção: A projeção de cada fasor no eixo vertical representa o valor da grandeza alternada no instante t, v R no caso da tensão e i R no caso da corrente. Ângulo de rotação: O ângulo de rotação de cada fasor é igual à fase da grandeza alternada no instante t. Circuito formado por um resistor e um gerador de corrente alternada. (a) Gráfico da corrente i R no resistor e da diferença de potencial v R entre os terminais do resistor em função do tempo t. A corrente e a diferença de potencial estão em fase e completam um ciclo em um período T. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico mostrado em (a).

31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples Carga Capacitiva A reatância capacitiva de um capacitor é definida como Seu valor depende não apenas da capacitância, mas também da frequência angular de excitação ω d. A amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação (a) A corrente no capacitor está adiantada de 90 o (= π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico que está mostrado em (a). Circuito formado por um capacitor C e um gerador de corrente alternada. Enquanto os fasores que representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido anti-horário, o fasor IC se mantém à frente do fasor VC, e o ângulo entre os dois fasores tem um valor constante de 90 o, ou seja, quando o fasor IC coincide com o eixo vertical, o fasor VC coincide com o eixo horizontal.

31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples Carga Indutiva A reatância indutiva de um indutor é definida como Seu valor depende não apenas da indutância, mas também da frequência angular de excitação ω d. A amplitude da tensão e a amplitude da corrente: (a) A corrente no indutor está adiantada de 90o (= π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico mostrado em (a). Circuito formado por um indutor L e um gerador de corrente alternada. Enquanto os fasores que representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido anti-horário, o fasor V L se mantém à frente do fasor I L e o ângulo entre os dois fasores tem um valor constante de 90 o, ou seja, quando o fasor V L coincide com o eixo vertical, o fasor I L coincide com o eixo horizontal.

31-4 O Circuito RLC em Série Para um circuito RLC em série com uma fem externa dada por A corrente é dada por A amplitude da corrente é dada por Circuito RLC em série com uma fem externa O denominador na equação acima é chamado de impedância Z do circuito para a frequência angular de excitação ω d. Se substituirmos os valore de X L e X C na equação para a corrente (I), a equação se torna:

31-4 O Circuito RLC em Série De acordo com o triângulo de fasores da direita na Fig.(d): Circuito RLC em série com uma fem externa Constante de fase A amplitude da corrente I é máxima quando a freq. angular de excitação ω d se iguala à freq. angular natural ω do circuito, uma condição conhecida como ressonância. Então X C = X L, ϕ = 0, e a corrente está em fase com a fem.

31-5 Potência em Circuitos de Corrente Alternada A taxa instantânea com a qual energia é dissipada no resistor pode ser escrita como Em um ciclo completo, o valor médio de senθ, onde θ é uma variável qualquer, é zero (Fig.a) mas o valor médio de sen 2 θ é 1/2(Fig.b). Então a potência é, A quantidade I/ 2 é chamada de valor médio quadrático, ou rms, valor da corrente i: Podemos também definir valores rms de tensões e fems para circuitos de corr. alternada: Num circuito RLC em série, a potência média P méd da fonte é igual à taxa de produção de energia térmica no resistor: (a) Gráfico de sen θ em função de θ. O valor médio da função ao longo de um ciclo é zero. (b) Gráfico de sen 2 θ em função de θ. O valor médio da função ao longo de um ciclo é 1/2.

31-6 Transformadores Um transformador (assumido ideal) é um núcleo de ferro no qual são enroladas uma bobina primária com N p voltas e uma secundária com N s voltas. Se a bobina primária é ligada a um gerador de corrente alternada, as voltagens primária e secundária estão relaciodadas por Transferência de Energia. A taxa na qual o gerador transfere energia para o primário é igual a I p V p. A taxa na qua o primário então transfere energia para o secundário (através do campo mag. alternado ligando as duas bobinas) é I s V s. Uma vez que assumimos não haver perdas de energia no caminho, conservação de energia requer que A resistência equivalente do circuito secundário, como visto pelo gerador, é Um transformador ideal, formado por duas bobinas enroladas em um núcleo de ferro, ligado a uma fonte e uma carga. Um gerador de corrente alternada produz uma corrente no enrolamento da esquerda (o primário). O enrolamento da direita (o secundário) é ligado à carga resistiva R quando a chave S é fechada.

31 Sumário Transform. de Energia em LC Em um circuito LC oscilante, os valores instantâneos das duas formas de energia são Eq. 31-1&2 Oscilações de Carga e de Corrente em um Circuito LC O princípio de conservação de energia leva à A solução da Eq. 31-11 é A frequência angular das oscilações é Eq. 31-11 Eq. 31-12 Eq. 31-4 Oscilações Amortecidas Oscilações num circuito LC são amortecidas quando um elemento dissipativo R está presente. Então A solução desta equação diferencial é Eq. 31-24 Eq. 31-25 Correntes Alternadas; Oscilações Forçadas Um circuito RLC em série pode ser forçado a oscilar numa frequência de excitação por uma fem alternada externa Eq. 31-28 A corrente produzida no circuito é Eq. 31-29

31 Sumário Circuitos RLC Série Para um circuito RLC em série com uma fem externa alternada e uma corrente alternada resultante, Transformadores Tensões primária e secundária num transformador são relacionadas por Eq. 31-79 Eq. 31-60&63 As correntes pelas bobinas, E a constante de fase é, A impedância é Eq. 31-65 Eq. 31-61 Eq. 31-80 A resistência equivalente do circuito secundário, como vista pelo gerador, é Potência Num circuito RLC em série, a pot. média fornecida pelo gerador é, Eq. 31-71&76 Eq. 31-82

31 Exercícios Halliday 10ª. Edição Cap. 31: Problemas 3; 10; 11; 17; 26; 30; 33; 38; 56; 64

31 Problema 31-3 Em um circuito LC oscilante, a energia total é convertida de energia elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em 1,50 μs. Determine (a) o período das oscilações e (b) a frequência das oscilações. (c) Se a energia magnética é máxima em um dado instante, quanto tempo é necessário para que ela seja máxima novamente?

31 Problema 31-10 Osciladores LC têm sido usados em circuitos ligados a alto-falantes para criar alguns dos sons da música eletrônica. Que indutância deve ser usada com um capacitor de 6,7 μf para produzir uma frequência de 10 khz, que fica aproximadamente na metade da faixa de frequências audíveis?

31 Problema 31-11 Um capacitor variável, de 10 a 365 pf, e um indutor formam um circuito LC de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio. (a) Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural que pode ser obtida usando este capacitor? Se o circuito deve ser usado para obter frequências entre 0,54 MHz e 1,60 MHz, a razão calculada no item (a) é grande demais. A faixa de frequências pode ser modificada ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável. (b) Qual deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de frequências seja a faixa desejada? (c) Qual deve ser a indutância do indutor do circuito?

31 Problema 31-17 Na Fig. 31-28, R = 14,0 Ω, C = 6,20 μf, L = 54,0 mh e a fonte ideal tem uma força eletromotriz = 34,0 V. A chave é mantida na posição a por um longo tempo e depois é colocada na posição b. Determine (a) a frequência e (b) a amplitude das oscilações resultantes.

31 Problema 31-26 Em um circuito RLC série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para metade do valor inicial. Suponha que q = Q em t = 0.

31 Problema 31-30 Um resistor de 50,0 Ω é ligado, como na Fig. 31-8, a um gerador de corrente alternada com a força eletromotriz igual a 30,0 V. Determine a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da força eletromotriz for (a) 1,00 khz e (b) 8,00 khz.

31 Problema 31-33 Um gerador de corrente alternada tem uma força eletromotriz igual a sen(ω d t π/4), em que = 30,0 V e ω d = 350 rad/s. A corrente produzida no circuito ao qual o gerador está ligado é i(t) = I sen(ω d t 3π/4), em que I = 620 ma. Em que instante após t = 0 (a) a força eletromotriz do gerador atinge pela primeira vez o valor máximo e (b) a corrente atinge pela primeira vez o valor máximo? (c) O circuito contém um único componente além do gerador. Trata-se de um capacitor, de um indutor ou de um resistor? Justifique sua resposta. (d) Qual é o valor da capacitância, da indutância ou da resistência desse componente?

31 Problema 31-38 A Fig. 31-30 mostra a amplitude I da corrente em função da frequência angular de excitação ω d de um circuito RLC. A escala do eixo vertical é definida por Is = 4,00 A. A indutância é 200 μh e a amplitude da força eletromotriz é 8,0 V. Determine o valor (a) de C e (b) de R.

31 Problema 31-56 Um dimmer típico, como os que são usados para regular a luminosidade das lâmpadas do palco nos teatros, é composto por um indutor variável L (cuja indutância pode ser ajustada entre zero e L máx ) ligado em série com uma lâmpada B, como mostra a Fig. 31-34. O circuito é alimentado com uma tensão de 120 V rms, 60 Hz; a lâmpada é de 120 V, 1000 W. (a) Qual deve ser o valor de Lmáx para que a potência dissipada na lâmpada possa variar entre 200 e 1000 W? Suponha que a resistência da lâmpada é independente da temperatura. (b) É possível usar um resistor variável (ajustável entre zero e R máx ) em vez de um indutor? (c) Nesse caso, qual deve ser o valor de R máx? (d) Por que não se usa esse método?

31 Problema 31-64 A Fig. 31-37 mostra um autotransformador, um componente no qual uma bobina com três terminais é enrolada em um núcleo de ferro. Entre os terminais T 1 e T 2 existem 200 espiras, e entre os terminais T 2 e T 3 existem 800 espiras. Qualquer par de terminais pode ser usado como os terminais do primário, e qualquer par de terminais pode ser usado como os terminais do secundário. Para as escolhas que resultam em um transformador elevador de tensão, determine (a) o menor valor da razão V s /V p, (b) o segundo menor valor da razão V s /V p e (c) o maior valor da razão V s /V p. Para as escolhas que resultam em um transformador abaixador de tensão, determine (d) o menor valor da razão V s /V p, (e) o segundo menor valor da razão V s /V p e (f) o maior valor da razão V s /V p.