Aula 17 Superfícies quádricas - parabolóides

Objetivos Aula 17 Superfícies quádricas - parabolóides Apresentar os parabolóides elípticos e hiperbólicos identificando suas seções planas. Estudar os parabolóides regrados e de revolução. Nas superfícies quádricas estudadas nas Aulas de 9 a 3, vimos que elipses, círculos e hipérboles são encontradas como seções planas. Além dessas cônicas, encontramos também retas e pontos, ou seja, cônicas degeneradas. Nos parabolóides, conforme o nome sugere, as parábolas aparecem de forma natural. De fato, elas ocorrem em duas das três formas de obtermos seções. Isto é, as parábolas são as cônicas que mais aparecem como seções planas (paralelas aos planos coordenados) num parabolóide. Um parabolóide é denominado elíptico quando suas seções são parábolas ou elipses e é denominado hiperbólico quando suas seções são parábolas e hipérboles. Começamos estudando os parabolóides elípticos. Parabolóide eĺıptico Definição 17.37 Sejam a e b números reais positivos. Denominamos parabolóide elíptico à superfície quádrica S formada pelos pontos P = (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem uma equação do tipo S : z = x a + y Para entender a forma de S, vamos analisar suas seções planas. (i) Interseção de S com planos paralelos ao plano XY A interseção de S com um plano de equação z = k, paralelo ao plano XY, consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem Outros parabolóides Dados a, b, c R positivos, o parabolóide S, na definição ao lado, é o conjunto (x, y, x a + y b ) x, z R}. Outros parabolóides são os conjuntos: ( y b + z c, y, z) y, z R} e (x, x a + z c, z) x, z R}. o sistema z = x a + y z = k. Figura 17.1: Elipse E, seção de S no plano z = k, k 0. Substituindo z = k na primeira equação, obtemos x a + y b = k. 17 CEDERJ

Lembre que... Para identificar a parábola P, considere o plano munido de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas (y, z). A equação z z 0 = y b é a equação de uma parábola. Fazendo a mudança de coordenadas z = z z 0, y = y, obtemos a equação na forma canônica z = (y ) b. No entanto, a equação z = (y ) 4p, p > 0, é a equação da parábola de diretriz z = p; foco F = (0, p) Y Z e vértice V = (0, 0) Y Z (o termo diretriz refere-se à diretriz de uma parábola, como no Módulo I). Comparando as duas equações, obtemos 4p = b, temos p = b 4. Logo, a parábola z = (y ) b tem diretriz z = b 4, foco F = 0, b 4 e vértice Y Z V = (0, 0) Y Z. Portanto, em coordenadas (y, z), tomando z 0 = k a e considerando z = z z 0, obtemos que z k a = y b é a parábola de diretriz z k a + b 4 = 0; foco F = (0, k a + b 4 ) e vértice V = (0, k a ). Como o primeiro membro dessa equação é não-negativo, ela tem solução se, e somente se, k 0. Se k = 0, então x = 0, y = 0, e a seção plana consiste apenas do ponto (0, 0, 0), denominado vértice do parabolóide. Se k > 0, dividimos a equação por k e vemos que a solução do sistema é a x elipse E : ka + y = 1, contida no plano z = k e com centro (0, 0, k). kb Se a > b, a elipse E tem por focos os pontos F 1 = ( k(a b ), 0, k) e F = ( k(a b ), 0, k), como mostramos na Figura 17.1; se b > a, os focos de E são F 1 = (0, k(b a ), k) e F = (0, k(b a ), k). (ii) Interseção de S com planos paralelos ao plano Y Z Essa interseção consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema z = x a + y x = k, ou seja, z k a = y x = k. Isto é, a seção é o conjunto de pontos P = P = (k, y, z) } k z a = y. Como k é constante, a equação acima representa uma parábola contida a no plano x = k. Veja, na nota ao lado, como fazer a identificação da parábola. Se você ainda não está convencido, ( mostremos ) então que P ( é a parábola ) no plano x = k, de foco F = k, 0, k a + b, vértice V = k, 0, k e 4 a diretriz l = (k, y, z) } k z a + b 4 = 0, como mostramos na Figura 17.. Figura 17.: Parábola P, seção de S no plano x = k. Para isso, lembre que um ponto P = (k, y, z) é ponto da parábola P se, e somente se, d(p, l) = d(p, F ). Confirmamos o desejado desenvolvendo essa identidade: CEDERJ 1

) d(p, F ) = d(p, m) (k k) + (y 0) + (z k a b = 4 z k a + b 4 ) ) y + (z k a b = (z k 4 a + b 4 ( y + z k k ) ) a z + a (z k b a 4 + b4 16 ( ) = z k k ) a z + a + (z k b a 4 + b4 16 y 4z b 4 + b 4k y = 0 a 4 b z + k y = 0 z a b k a = 0. (iii) Interseção de S com planos paralelos ao plano XZ A interseção de S com o plano y = k consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema z = x a + y y = k, ou seja, z k b = x a y = k. Seguindo o mesmo desenvolvimento do item anterior, verifique, você mesmo, que a seção ( é uma) parábola P no ( plano y = k )(ver Figura 17.3) com vértice V = 0, k, k, foco F = 0, k, a b 4 + k e cuja diretriz é a ( ) b reta l = x, k, k b + a x R}. 4 Observação Figura 17.3: Parábola P, seção de S no plano y = k. Na análise (ii), vimos que as seções planas do parabolóide ( S contidas ) em planos paralelos ao plano Y Z são parábolas de vértice V = k, 0, k e foco ( ) a F = k, 0, k a + b, enquanto na análise (iii), vimos que as seções planas 4 de S( contidas) em planos paralelos ( ao plano ) XZ são parábolas de vértice V = 0, k, k e foco F = 0, k, k b b + a. 4 19 CEDERJ

Como uma parábola tem a concavidade voltada para seu foco, comparando as coordenadas do vértice com as coordenadas do foco em cada uma dessas situações, concluímos que as parábolas das seções obtidas têm concavidade voltada para o semi-eixo positivo OZ. O eixo OZ é denominado eixo do parabolóide elíptico S. Figura 17.4: Parabolóide S e seu eixo sendo o eixo OZ. Como mencionamos anteriormente, há outras equações que representam parabolóides elípticos. Veja quais são os eixos e como estão voltadas as concavidades em cada caso: Figura 17.5: y = x a + z b, eixo OY e concavidade voltada para o semi-eixo OY po- sitivo. Figura 17.6: x = y a + y b, eixo OX e concavidade voltada para o semi-eixo OX positivo. Nas seguintes figuras, observe com atenção a mudança de concavidade em virtude da mudança de sinal nas parcelas da equação correspondente: Figura 17.7: z = x a y b, eixo OZ e concavidade voltada para o semi-eixo OZ negativo. Figura 17.: y = x a z b, eixo OY e concavidade voltada para o semi-eixo OY negativo. CEDERJ 0

Figura 17.9: x = y a z b eixo OX e concavidade voltada para o semi-eixo OX negativo. Exemplo 17.1 Seja S o parabolóide elíptico de equação S : y = x 9 + z. Determine, caso 16 exista, a seção plana correspondente a cada um dos planos: XY, XZ, Y Z, x =, y = 1, z =. Solução: a. Interseção de S com o plano XY A seção S 1 obtida é dada pela equação y = x, com a condição z = 0. 9 Conforme temos feito ao longo do estudo, consideramos a equação y = x 9 num plano de coordenadas (x, y) e depois acrescentamos a coordenada z = 0. Essa é a equação de uma parábola do tipo y = x 4p. Logo, p = 9 ( 4 ; o foco é 0, 9 ) ; o vértice é (0, 0) e a diretriz é y = 9 4 4. Assim, a seção S 1 é a parábola contida no plano z = 0, de foco (0, 9, 0), 4 vértice (0, 0, 0) e diretriz l : y = 9 4 z = 0. b. Interseção de S com o plano XZ A seção S = S plano XZ} é dada pela equação x 9 + z 16 condição y = 0. Isto é, a seção S consiste apenas do ponto (0, 0, 0). = 0, com a c. Interseção de S com o plano Y Z A seção S 3 = S plano Y Z} é dada pela equação y = z 16 x = 0. com a condição 1 CEDERJ

Consideremos a equação y = z num plano de coordenadas (y, z) (depois 16 acrescentamos a coordenada x = 0). Essa é a equação de uma parábola do tipo y = z. Logo, p = 4; o foco é (4, 0); o vértice é (0, 0) e a diretriz é 4p y = 4. Portanto, a seção S 3 é a parábola contida no plano x = 0, de foco (0, 4, 0); y = 4 vértice (0, 0, 0) e diretriz x = 0. c. Interseção de S com o plano x =. A seção S 4 = S plano x = } é dada pela equação y = x 9 + z 16 com a condição x =. Consideremos a equação y 4 9 = z num plano de coordenadas (y, z). Lembre, da Geometria Plana, que esta equação difere da equação y = z 16 por 16 uma translação, pois fazendo a mudança de coordenadas y = y 4 9, z = z, obtemos a equação na forma canônica y = (z ), ou seja, uma equação do 16 tipo y = (z ), p > 0. Logo, 4p = 16 p = 4 e a equação corresponde 4p à parábola de diretriz y = 4, foco F = (p, 0) Y Z = (4, 0) Y Z e vértice V = (0, 0) Y Z. Em coordenadas (y, z), a diretriz é y 4 9 = 4, ou seja, y = 3 9, o foco é F = (4 + 4 ) ( ) ( ) 40 4 9, 0 = 9, 0 e o vértice é V = 9, 0. Portanto, a seção S 4 é a parábola contida no plano x =, dada pela equação y 4 ( 9 = z 16, com a condição x =, tendo foco no ponto F =, 40 ) 9, 0, vértice no ponto V = (, 4 ) 9, 0 y + 3 e sua diretriz é a reta l : 9 = 0 x =. d. Interseção de S com o plano y = 1. A seção S 5 = S plano y = 1} é dada pela equação y = x 9 + z 16 com a condição y = 1. Escrevendo a equação na forma z 16 + 4 = 1 e lembrando que não existem 9 números reais, tais que a soma dos seus quadrados seja um número negativo, obtemos que a seção S 5 é o conjunto vazio: S 5 =. CEDERJ

e. Interseção de S com o plano z =. A seção S 6 obtida dessa interseção é dada pela equação y = x 9 + z 16 com a condição z =. Consideremos a equação y 1 4 = x num plano de coordenadas (x, y). Novamente, da Geometria Plana, vemos que essa equação difere da 9 equação y = x 9 por uma translação, e que a mudança de coordenadas y = y 1 4, x = x, transforma a equação na forma canônica y = (x ), que é do tipo 9 y = (x ) 4p, p > 0. Logo, p = 9 e a equação corresponde à parábola de diretriz 4 y = 9 4, foco F = ( ) 0, 9 e vértice V = (0, 0) 4 X Y X Y. Em coordenadas (x, y), a diretriz é y 1 4 = 4, ou seja, y = 15 4 ; o foco é F = (0, 4 + 1 ) 4, 0 = ( ) ( 0, 17 4 e o vértice é V = 0, 9 4). Portanto, a seção S 6 é a parábola contida no plano z =, de equação y 1 = x com z = ; foco no ponto F = (0, 17 ) 4 9 4, ; seu vértice é V = ( 0, 9, ) y + 15 e a diretriz é dada por l : 4 = 0 4 z =. Parabolóides de revolução Os parabolóides de revolução são casos particulares de parabolóides elípticos em que as variáveis de segundo grau, que figuram na equação, têm coeficientes iguais. Portanto, as equações desses parabolóides são do tipo S : z = x a + y a. Figura 17.10: Parabolóide de revolução S. As seções planas obtidas intersectando S com planos paralelos ao plano XY, isto é, planos de equação z = k, somente ocorrem quando k 0. Se k = 0, a seção consiste apenas de um ponto, a origem. Se k > 0, a seção é o círculo de raio a k. A revolução é em torno do eixo OZ e uma geratriz é a parábola y = z contida no plano x = 0, como a mostramos na Figura 17.10. Na Figura 17.10 Destacamos uma diretriz D e uma geratriz P do parabolóide de revolução S. 3 CEDERJ

Na Figura 17.11, mostramos um parabolóide hiperbólico com suas seções planas paralelas aos planos coordenados. Note que em duas direções paralelas aos planos coordenados, obtemos parábolas e, na outra, hipérboles. Essa superfície é chamada sela, devido a sua semelhança com a sela de montar. Figura 17.11: Parabolóide hiperbólico S. Parabolóide hiperbólico Definição 17.3 Sejam a e b números reais positivos. Denominamos parabolóide hiperbólico à superfície quádrica S, formada pelos pontos P = (x, y, z) do espaço, cujas coordenadas satisfazem uma equação do tipo (veja a Figura 17.11) S : z = x a + y Vejamos as seções planas do parabolóide hiperbólico. (i) Interseção de S com planos paralelos ao plano XY A interseção de S com um plano de equação z = k consiste dos pontos P = (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem osistema z = x a + y x ou seja, a + y z = k, b = k z = k. Consideremos, primeiramente, k = 0. A primeira equação reduz-se a x a y b = 0, ou seja, ( x a + y ) ( x b a y ) = 0. b Portanto, as soluções são as retas y = b l 1 : a x y = b e l : a x Figura 17.1: Seção z = 0 do parabolóide hiperbólico S. z = 0 z = 0. Essas retas passam pela origem, pois O = (0, 0, 0) satisfaz os dois sistemas (Figura 17.1). Consideremos o caso em que k 0. Se k > 0, dividimos a equação por k e obtemos x ka + y kb = 1. Multiplicando todos os termos por ( 1), obtemos a equação x ka y = 1, no plano z = k. kb Portanto, a seção é a hipérbole H + k, contida no plano z = k, de focos F 1 = (0, d, k) e F = (0, d, k), com d > 0, d = ka + kb, e módulo da diferença dos raios focais igual a b k. CEDERJ 4

Verifique, você mesmo, que as assíntotas da hipérbole H + k y = b L 1 : a x y = b e L : x a z = k z = k. são as retas Figura 17.13: Seção z = k, k > 0 do Figura 17.14: Seção z = k, k < 0 do parabolóide hiperbólico S. parabolóide hiperbólico S. Se k < 0, então k 0 = k > 0. Reescrevemos o sistema da seção como z = x a + y x a + y z = k, b = k x 0 k 0 a y z = k 0, k 0 b = 1 z = k 0. Esse sistema define a hipérbole H k (Figura 17.14) que é conjugada à hipérbole H + k, obtida intersectando S pelo plano z = k 0 = k (Figura 17.13). Observe que... As retas L 1 e L coincidem com as retas l 1 e l, obtidas na interseção de S com o plano z = 0, a menos de deslocamento de planos. (ii) Interseção de S com planos paralelos ao plano Y Z A interseção de S com um plano de equação x = k consiste dos pontos do espaço cujas coordenadas satisfazem o sistema z = x a + y x = k, ou seja, z + k a = y x = k. Note que as equações obtidas no correspondente item (ii) do estudo das seções do parabolóide elíptico, diferem das equações acima apenas no termo constante. Figura 17.15: Seção x = k do parabolóide S. Para o parabolóide elíptico, a constante que apareceu no sistema correspondente foi k k, enquanto, agora, temos a constante a a. Portanto, a seção obtida intersectando S pelo plano x = k é a parábola nesse plano, de foco F = (k, 0, k a z k + b a l : = 0 4 x = k. + b 4 ), vértice V = (k, 0, k a ) e diretriz dada por 5 CEDERJ

Comparando as terceiras coordenadas do vértice e do foco, vemos que k a < k a + b. Logo, a parábola está com a concavidade voltada para o 4 sentido paralelo ao semi-eixo OZ positivo (Figura 17.15). (iii) Interseção de S com planos paralelos ao plano XZ Essa interseção consiste dos pontos cujas coordenadas são soluções do sistema z = x a + y z k ou b = y = k, x a y = k. A situação é análoga ao estudo do caso (iii) do parabolóide elíptico, com diferença no sinal do coeficiente da variável x. Naquele caso, o coeficiente é +1, e agora, o coeficiente é 1. Logo, a concavidade da parábola é voltada para o semi-eixo OZ negativo. Figura 17.16: Seção y = k do parabolóide S. Portanto, a seção P = ( S plano y = ) k} é a parábola( contida) no plano y = k, de foco F = 0, k, a 4 + k, vértice V = 0, k, k e b b diretriz l : z k b a 4 = 0, com y = k (Figura 17.16). Variações de equações dos parabolóides hiperbólicos Ao invés de colocarmos aqui as possíveis equações de um parabolóide hiperbólico, vejamos os critérios que devemos observar para identificar quando uma quádrica é um parabolóide hiperbólico. Características da equação: uma equação do segundo grau a três variáveis que não possui termos em xy, xz ou yz é a equação de um parabolóide hiperbólico quando ela possui exatamente três termos, uma das variáveis aparece apenas no primeiro grau e as outras duas no segundo grau nos outros dois termos (não havendo, portanto, termo independente); a equação pode ser escrita de forma que, no primeiro membro, figure o termo de primeiro grau com coeficiente (+1) e, no segundo membro, apareçam os outros dois termos com coeficientes de sinais contrários. Exemplo 17. Dado o parabolóide hiperbólico S : y = x 4 z, determine a seção plana obtida intersectando S com: a. o plano XY, b. o plano XZ, c. o plano Y Z, d. o plano x = 4, e. o plano y =. Solução: As intersecções de S com os planos XY, XZ e Y Z são dadas, CEDERJ 6

respectivamente, pelas soluções dos sistemas y = x x S Π XY : 4 ; S Π XZ : 4 z = 0 z = 0, y = 0, e S Π Y Z : y = z x = 0. a. O primeiro sistema representa uma parábola (Figura 17.17) do tipo y = x 4p, contida no plano z = 0, onde p = 1, seu foco é o ponto F = (0, 9 4, 0), seu vértice é a origem e a diretriz é a reta l dada por y = 1, z = 0. b. Se no segundo sistema reescrevemos a primeira equação na forma (ver Figura 17.1) Figura 17.17: Seção S Π XY. Figura 17.1: Seção S Π XZ. ( x + z ) ( x + z ) = 0, vemos que a seção é a união de duas retas que se interceptam na origem: z = x z = x l 1 : e l : y = 0 y = 0. c. O terceiro sistema representa uma parábola P do tipo y = z 4p, contida no plano x = 0. Portanto, 4p =, o que implica p =. O foco dessa parábola é o ponto F = (0, 0, ), o vértice é (0, 0, 0) e a diretriz é a reta l dada pelas equações y =, z = 0 (veja a Figura 17.19). d. A interseção de S com o plano x = 4 consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema y = x 4 z x = 4, ou seja, y 4 = z x = 4. Esse sistema tem por soluções os pontos da parábola P (Figura 17.0), contida no plano x = 4, tendo a sua equação do tipo y y 0 = z 4p, com y 0 = 4 e p =. 7 CEDERJ

Essa parábola é do mesmo tipo daquela obtida na interseção de S com o plano x = 0. No entanto, em nosso caso, parábola P está contida no plano x = 4, tem por foco o ponto F = (4,, 0), vértice no ponto V = (4, 4, 0) e sua diretriz l é dada por y 4 = y = 6 l : ou seja, l : x = 4, x = 4. Figura 17.19: Seção S Π Y Z. Figura 17.0: S plano x = 4}. e. Para o plano y = a seção de S é dadapelo sistema y = x 4 z x ou seja, z 16 = 1 y =, y =. que representa uma hipérbole H, contida no plano y = (Figura 17.1), tomando a =, b = 16 e c = + 16 = 6, obtemos seus focos F 1 = (0,, 6) e F = (0,, 6). As assíntotas de H são as retas de equações z = ± b a x = ± 4 x = ± x no plano y =, que coincidem com as retas obtidas por deslocamento de planos da seção de S no plano y = 0. Figura 17.1: S plano y = }. CEDERJ

Parabolóides hiperbólicos vistos como superfícies regradas Na aula anterior, vimos que o hiperbolóide de uma folha é uma superfície regrada. Na seguinte proposição, mostramos que o parabolóide hiperbólico é, também, uma superfície regrada (Figura 17.). Proposição 17.1 O parabolóide hiperbólico S : z = x a y é uma superfície regrada. Demonstração: Devemos provar que por cada ponto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) S passa pelo menos uma reta L P0 contida em S. Isto é, dado o ponto P 0 S, devemos determinar um vetor v = (λ 1, λ, λ 3 ) 0, tal que a reta L P0 que passa por P 0 com direção v, esteja contida em S. Essa reta é dada pelas equações paramétricas: x = x 0 + λ 1 t L P0 : y = y 0 + λ t z = z 0 + λ 3 t, ; t R. Temos que P = (x, y, z) S L P0 se, e somente se, as coordenadas de P são dadas pelas equações paramétricas de L P0 e satisfazem a equação de S. Isto é, se, e somente se, P = (x 0 + λ 1 t, y 0 + λ t, z 0 + λ 3 t) e z 0 + λ 3 t = (x 0 + λ 1 t) (y 0 + λ t) a = x 0 a + x 0λ 1 t + λ 1 t y 0 a a b y 0λ t λ t ( b = x 0 a y 0 b + x0 λ 1 y ) ( ) 0λ λ t + 1 a a λ t. Levando em conta que z 0 = x 0 a y 0, pois P S, obtemos: b ( x0 λ 1 y ) ( ) 0λ λ λ a 3 t + 1 a λ t = 0. Como todo ponto P de L P0 deve pertencer a S, essa identidade deve ser válida qualquer que seja o parâmetro t (parâmetro do ponto P na reta L P0 ). Portanto, devemos ter x 0 λ 1 y 0λ a λ 3 = 0 e λ 1 a λ b = 0. Da segunda equação, obtemos λ = b a λ 1 ou λ = b a λ 1. Substituindo λ = b a λ 1 na primeira equação, temos λ 3 = x 0λ 1 y 0bλ 1 a a = λ 1 a ( x0 a y ) 0. b 9 CEDERJ

Fixando λ 1 = a, obtemos o vetor direção v 1 de L P0 : ( ( x0 v 1 = a, b, a y )) 0. b Alternativamente, substituindo λ = b a λ 1 na primeira equação: λ 3 = λ ( 1 x0 a a + y ) 0. b Fixando, de novo, λ 1 = a, obtemos outro vetor direção, para outra reta L P 0 contida em S e passando ( por P 0 : ( x0 v = a, b, a + y )) 0. b Portanto, as retas x = x 0 + at L P0 : y = y 0 + bt z = z 0 + t ( x0 a y ) e L P 0 : 0 b x = x 0 + at y = y 0 bt z = z 0 + t ( x0 a + y ) 0 b passam pelo ponto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) S e estão inteiramente contidas em S. Vamos mostrar que todas as retas L P0, P 0 S, descritas anteriormente, intersectam a parábola P obtida intersectando S pelo plano y = 0, isto é, a parábola P dada por z = x P : a y = 0. Seja P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) S, isto é, z 0 = x 0 a y 0 b. Substituindo as coordenadas de um ponto de L P0 na segunda das equações de P, obtemos t = y 0, e desenvolvendo o lado direito da primeira equação, obtemos: b x = (x 0 + at) = x 0 a a a + x [ ] 0at + a t x = 0 a a a y 0 + x 0t a + t + y 0 b = z 0 x ( 0 y 0 a b + y 0 b = z 0 + y ) ( 0 x0 b a y ) 0 ( b x0 = z 0 + t a y ) 0 = z. b Assim, se P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) S, a reta L P0 intersecta a parábola P no ponto que corresponde ao valor do parâmetro t = y 0 b. Portanto, o parabolóide hiperbólico S (Figura 17.) é uma superfície regrada para a qual a parábola P é uma diretriz e as retas L P0, P 0 S, são geratrizes. CEDERJ 30

Figura 17.: Parabolóide hiperbólico S visto como superfície regrada. Analogamente se demonstra que S tem, também, as retas L P 0 como geratrizes e a parábola P de equação z = y, contida no plano x = 0, por b diretriz (veja as Figuras 17.3 e 17.4). Figura 17.3: S e as retas L P. Figura 17.4: S e as retas L P. Conclusão é descrito como uma su- O parabolóide hiperbólico S : z = x a y perfície regrada tendo: a. A parábola P como diretriz e as retas L P, com P P, como geratrizes. b. A parábola P como diretriz e as retas L P, com P P, como geratrizes. Assim, para determinar as geratrizes de S, basta procurar pelas retas contidas em S que passam por pontos da seção obtida intersectando S com o plano XZ (parábola P) ou intersectando S com o plano Y Z (parábola P ). Veja como isso é feito no seguinte exemplo. 31 CEDERJ

Exemplo 17.3 Descrever o parabolóide hiperbólico S : y = x 4 z como superfície regrada. Solução: As parábolas de S contidas em planos coordenados são P : y = x 4 z = 0, e P : y = z x = 0. Seja P 0 = (x 0, y 0, 0) P, isto é, y 0 = x 0 4. Determinemos v = (λ 1, λ, λ 3 ), tal que a reta x = x 0 + λ 1 t L P0 : y = y 0 + λ t ; t R, z = λ 3 t que passa por P 0, com direção v, esteja contida em S. Temos que L P0 S y 0 + λ t = (x 0 + λ 1 t) λ 3 t, para todo t R. ( ) ( 4 ) Isto é, y 0 = x 0 4 + x0 λ 1 λ λ t + 1 4 4 λ 3 t, para todo t R. Como P 0 P, temos y 0 = x 0 ( 4 ). Portanto, ( ) x0 λ L P0 S 1 λ λ t + 1 4 λ 3 t = 0, para todo t R, ou seja, x 0λ 1 λ = 0 e λ 1 4 λ 3 = 0. Assim, λ = x 0 λ 1 e, λ 3 = ± λ 1. O valor de λ 1 pode ser fixado de maneira arbitrária, desde que, diferente de zero. Tomando λ 1 =, obtemos duas soluções para v : v 1 = (, x 0, ) e v = (, x 0, ). Figura 17.5: S e a família de retas L P, com P P. Figura 17.6: S e a família de retas L P, com P P. CEDERJ 3

Portanto, as retas x = x 0 + t L P0 : y = y 0 + x 0 t z = t x = x 0 + t ; t R, e L P 0 : y = y 0 + x 0 t z = t ; t R estão contidas em S e passam por P 0 = (x 0, y 0, 0) P. Consideremos agora P 0 = (0, y 0, z 0 ) P, com y 0 = z 0. Determinemos as possíveis direções w = (σ 1, σ, σ 3 ), tais que a reta x = σ 1 t J P0 : y = y 0 + σ t ; t R, z = z 0 + σ 3 t que passa por P 0, com direção w, esteja contida em S. Usando a relação y 0 = z 0, temos J P0 S y 0 + σ t = σ 1 t (z 0 + σ 3 t), para todo t R ( 4 ) ( ) y 0 = z 0 zσ3 σ + σ t + 1 4 σ 3 t, para todo t R ( ) ( z0 σ 3 σ ) + σ t + 1 4 σ 3 t = 0, para todo t R z 0σ 3 + σ = 0 e 4 4 σ 3 = 0 σ = z 0 4 σ 3 e σ 1 = ± σ 3. Tomando σ 3 = 4, obtemos as duas possíveis direções (Figura 17.) σ 1 Figura 17.7: Famílias de retas L P e L P, com P P. w 1 = (, z 0, 4) e Figura 17.: Famílias de retas L P e L P, com P P. w = (, z 0, 4). 33 CEDERJ

Logo, as retas contidas em S que passam por P 0 = (0, y 0, z 0 ) P, são: x = t x = t J P0 : ; t R e J P 0 : y = y 0 z 0 z = z 0 + 4t y = y 0 z 0 z = z 0 + 4t t R. Concluímos, então, que o parabolóide hiperbólico S : y = x 4 z é descrito como superfície regrada das seguintes formas: Diretriz P e geratrizes as retas L P ou as retas L P, P P. Diretriz P e geratrizes as retas J P ou as retas J P, P P. Resumo Nesta aula, você estudou os parabolóides elíptico, hiperbólico e os de revolução, sendo esses últimos casos particulares dos elípticos. Viu que os parabolóides hiperbólicos podem ser descritos de quatro formas distintas como superfícies regradas. Colocamos várias ilustrações para que você visualize todas as possíveis seções. Repetimos várias vezes o método de analisar as seções. Como você já sabe que as seções planas dessas superfícies (seções paralelas aos planos coordenados) são cônicas, exceto em alguns casos em que encontramos retas ou pontos, se você continua sentindo alguma dificuldade em compreender as seções, faça uma revisão no estudo de cônicas e seus elementos: focos, raios focais e diretrizes. Exercícios 1. Determine as seções planas do parabolóide elíptico x = y 1 + z 0 obtidas de sua interseção com os planos x = 5, y = 3 e z = 1.. Mostre que os parabolóides elípticos não são superfícies regradas. y = z 3. Considere a parábola C : x = 0. Dê as equações da superfície de revolução obtida de C em torno do eixo OZ e da superfície de revolução obtida de C em torno do eixo OY. Para qual caso obtemos um parabolóide elíptico? 4. Determine as seções planas do parabolóide hiperbólico S : y = x z 1 obtidas de sua interseção com os planos x = 3, y = 1 e z = 3. 5. Na seção hipérbole encontrada no exercício anterior, determine sua conjugada contida em S. CEDERJ 34

6. Determine as quatro possibilidades de descrever S : y = x z 1 como superfície regrada. 7. Dê o valor de k e a equação do parabolóide hiperbólico que contém as seções x y = 1 z = k. Mostre que as retas e z = 4x y = 0. y = b a x z = k e y = b a x z = k com k 0, são assíntotas das hipérboles obtida da interseção do parabolóide hiperbólico de equação z = x a + y com o plano z = k. b Auto-avaliação Se você resolveu os Exercícios de 1 a 6, você fixou os tipos de seções planas dos parabolóides. Fazendo o Exercício 7, você fixa o método de como obter as retas contidas num parabolóide hiperbólico. Se você fez o Exercício, você sabe manipular os coeficientes da equação de um parabolóide hiperbólico. 35 CEDERJ