ISCTE INSTITUTO UNIVERSITÁRIO de LISBOA Mestrado de Economia Mestrado de Economia Monetária e Financeira MACROECONOMIA e ANÁLISE da CONJUNTURA Teste Exemplo 4 Dezembro 2009 Duração: 2.00 h SOLUÇÕES Grupo I Perguntas de resposta rápida ( valor cada) O teste deverá conter 5 questões deste tipo:. Quais são as principais limitações do modelo de Solow que são eliminadas na formalização do modelo dos "Real Business Cycles"? Justi que. 2. Quais as principais diferenças e semelhanças entre o modelo dos "RBC"e o Novo Modelo Keynesiano? 3. Que importância terão shocks sobre a produtividade total dos factores (total factor productivity) no modelo dos "real business cycles"? 4. Quais são as principais limitações do modelo dos "Real Business Cycles"? 5. O que é a "Equação de Euler"? 6. Qual é a diferença entre a actuação do banco central com "commitment"e com "discretion"? Qual delas leva a um melhor resultado em termos do bem-estar social? 7. Compare o velho modelo Keynesiano e o novo modelo Keynesiano relativamente ao principal instrumento de política monetária. 8. Compare o velho modelo Keynesiano e o novo modelo Keynesiano relativamente à existência de trade o entre a in ação e o desemprego.
2 Grupo II Perguntas com derivação de resultados (3 valor cada) O teste deverá conter 5 perguntas do seguinte tipo. Pergunta. Considere o modelo de Solow, onde o nível do output em termos intensivos (y t ) é dado por y t = kt ; sendo k t o stock de capital em termos intensivos e a correspondente elasticidade. Neste modelo, a equação fundamental pode ser escrita como k t ( + m)( + n) = k t + s y t k t onde n e m são, respectivamente, a taxa de crescimento do factor trabalho e da tecnologia, s é a taxa de poupança, e a taxa de amortização é dada por : Pretende-se que responda às seguintes questões:. (a) Este modelo tem um equilíbrio de longo prazo? Justi que. (b) Tendo os seguintes valores para os parâmetros (s = 0:2, = 0:; m = 0:03; n = 0:0), determine o valor correspondente a esse equilibrio. (c) Este equilíbrio é único? Justi que. (d) Este equilíbrio é estável ou instável? Justi que. Solução : vide slides 0 e seguintes em "Introduction to Real Business Cycles: The Solow Model and Dynamic Optimization". a. Sabemos que e que logo a primeira eq. virá k t ( + m)( + n) = k t + s y t k t y t = k t k t ( + m)( + n) = k {z } t + s kt k t = simpli cando, virá k t = k t + s k t k t subtraindo k t a ambos os lados teremos k t k t = k t + s k t k t k t Agora aplicamos o seguinte truque k t k t = k t + s k t k t k t
3 e obteremos k t k t = k t + s k t k t k t 2 = 4( ) k {z } t + s k 5 t <0 3 Para determinar o eq. de longo prazo impomos a condição a resultado anterior k t = k t = k e teremos o seguinte resultado ( ) k = s k de onde se pode facilmente calcular k = s ( ) b. Tendo os seguintes valores para os parâmetros: s = 0:2, = 0:; m = 0:03; n = 0:0; = 0:4; o valor de k pode ser facilmente obtido basta substituir. c. Sim, do ponto de vista económico, este equilíbrio é único, já que só obtivemos um valor para k que satisfaz a condição de equilíbrio de longo prazo. Note que k = 0; também satisfaz a condição de equilíbrio, mas não é relevante do ponto de vista económico (não há nenhuma economia com um stock de capital nulo). d. Reproduzir a gura no slide 2. Quando s k t > ( ) k {z } t, então k t > k t e portanto k t está a aumentar até atingir o ponto A. Quando se veri car o inverso... <0 Pergunta 2. Suponha a seguinte secção do modelo dos RBC (note que o operador de expectativas não faz parte deste mini modelo) Y t =N t = [= ( )] C t (S4) Y t = A t Kt Nt (S6) ln A t = ( ) ln A + ln A t + " t (S7) onde ; ; ; são parâmetros, e " t é um shock aleatório com valores independentes e identicamente distribuídos. Sabe-se que 0 < <. Responda às seguintes questões:. (a) Apresente o modelo reescrito com as variáveis expressas em termos de taxas de variação (vide slides RBC)
4 (b) Sabe-se que no equilíbrio de longo prazo, a taxa de crescimento de C é de 0.02 (ou seja, c t = c t = 0:02), enquanto que a taxa de crescimento de K é de 0.04. Sabe-se ainda que = 0:5: Determine a taxa de crescimento de Y no equilíbrio de longo prazo. (c) Ajuda. Note que no equilíbrio de longo prazo, como 0 < <, a parte estocástica em nada afecta este equilíbrio (ou seja o seu valor esperado). Portanto, para determinar este equilíbrio, acaba por car apenas com uma equação às diferenças determinística e... Solução 2. Vide slides 3 a 37 para aprender a técnica da linearização (The Real Business Cycle Model). Vide slide 39 já com as soluções para as equações acima. Depois da linearização a solução é extremamente fácil. a. Vide slide 39: Y t =N t = [= ( )] C t, n t = y t c t Y t = A t K t N t, y t = a t + k t + ( )n t ln A t = ( ) ln A + ln A t + " t, a t = a t + " t Portanto, utilizando as equações na forma linear teremos y t = a t + k t + ( ) (y t c t ) b. Como sabemos que 0 < <, portanto a t é um processo autogressivo cujo valor esperado converge para zero. Assim, no equilíbrio de longo prazo, o valor esperado de y t em nada depende do valor que a t possa assumir. Portanto, podemos assumir que a t na eq. acima é igual a zero. Assim a eq. acima pode ser simpli cada y t = 0 + k t + ( ) (y t c t ) y t ( )y t = 0 + k t ( )c t y t ( + ) = 0 + k t ( )c t y t = k t ( ) c t y t = 0:04 0:5 0:02 0:5 y t = 0:02 Ou seja, no equilíbrio de longo prazo, Y cresce à taxa de 2%. Pergunta 3. Considere uma função do tipo y t = E t y t+ + a t onde y é a variável endógena, t representa um shock, t = t + " t, com " t (0; 2 ); e 0 < <. E é o operador de expectativas, e a um parâmetro. Pretende-se:
5. (a) Obtenha uma solução para este processo; (b) Discuta a volatilidade do processo em função do valor dos diferentes parâmetros. (c) Qual a relevância deste tipo de processos para explicar o comportamento de processos económicos reais. (d) Ajuda: a solução pode ser encontrada em "optimal interest rates: discretion", bloco de matéria "Optimal Monetary Policy in the NKM", em particular slides 2 e 3. Solução 3. Vide slides 2 e 3 de "Optimal Monetary Policy in the NKM". Matéria também leccionada nas aulas sobre soluções de modelos com expectativas racionais. Vide soluções de problemas deste tipo fornecidas antes do teste intercalar. Nestas soluções encontrará duas formas de resolver o problema: (i) uma levando em consideração o equilíbrio de longo prazo (shocks desaparecem), (ii) outra levando em consideração o impacto dos shocks na solução. Como na alínea (b) pede-se que discuta a volatilidade do processo em função dos diferentes parâmetros, faz todo o sentido ter uma solução onde apareçam os shocks. Assim, vamos utilizar o segundo método. a. Temos a seguinte eq. y t = E t y t+ + a t Podemos aplicar o método de substituição repetida para eliminar o termo com expectativas. Poderão aplicar passo a passo este método, e como é sabido basta iterar até à 3 a iteração para se obter o padrão. Se o zerem, e impondo a condição jj <, vão chegar aqui y t = a Por outro lado sabemos que (vide slide 2) Logo, por mera substituição teremos ou seja X i E t t+i i=0 E t t+i = ( ) i t y t = a X i ( ) i t i=0 X y t = a t ( ) i i=0 Como P i=0 ( ) i é uma série geométrica com razão ; e com o primeiro termo igual a ; (note que ( ) 0 = ) então X i=0 ( ) i = o termo raz~ao =
6 Logo a solução nal será y t = a t b. A volatilidade depende do valor dos parâmetros a; ; : Para um dado shock t, quanto maior for a, maior será a volatilidade (valor de y t ). O mesmo para e. c. O que temos aqui é uma eq. estocástica (portanto shocks afectam o resultado) com expectativas "forward looking". Muitos processos económicos e nanceiros pedem ser representados por uma eq. deste tipo. A xação de preços por empresas que não podem depois mexer nesses preços durante um certo período de tempo (por exemplo, devido a contratos assinados), enquadra-se neste tipo de equação. O preço de um activo nanceiro com rendimento variável também se enquadra... Ou seja, sempre que o futuro e a incerteza afectem decisões presentes, este tipo de equação é de importância fundamental. Pergunta 4. Assuma o seguinte sistema deterministico de dimensão 2 x t+ = 3x t + y t y t+ = 2 + 5y t Pretende-se: (i) Determine o equilíbrio de longo prazo do sistema; (ii) Este equilíbrio é único ou há mais que um equilíbrio; (iii) Determine se o equilíbrio é estável ou instável? Solução 4. Esta é a única questão que não tem solução directamente encontrada na consulta dos slides da segunda parte da matéria. No entanto, a matéria leccionada por Machado Lopes exigia a compreensão deste problema. No bloco de matéria "Introduction to Real Business Cycles: The Solow Model and Dynamic Optimization", foi visto que uma equação às diferenças (sem expectativas racionais) do tipo x t+ = b + a t y t+ ; terá solução ou não, será esta estável ou instável, depende do valor do parâmtero a. Se jaj < ; o eq. de longo prazo existe e é estável, se jaj > ; o eq. de longo prazo existe mas é instável, se jaj < este equilíbrio não existe. É este tipo de problema que temos aqui neste exercício. Só que com uma pequena nuance: temos um sistema com duas eq., não apenas uma. O que é equivalente neste sistema ao nosso a na eq. acima? Os valores próprios da matriz que representa os parâmetros do sistema relativamente a x e y. i. Para determinar o eq. de longo prazo, basta aplicar a condição Assim da segunda eq. obteremos x t+ = x t = x y t+ = y t = y y t+ = 2 + 5y t y = 2 + 5y y = 0:5
7 Agora a segunda virá x t+ = 3x t + y t x = 3x + y x = 0:5= 2 = 0:25 Portanto, o equilíbrio de longo existe (y = 0:5; x = 0:25) ii. É único pois só existe um par de valores que satisfaz a condição de equilíbrio (o sistema é linear, logo só pode existir um par de valores). iii. Será estável? A resposta requer o cálculo daquilo a que chamamos valores próprios. O que são estes? Vamos re-escrever o sistema acima na forma matricial (note que é totalmente equivalente) Agora teremos ou seja xt+ y t+ x t+ = 3x t + y t + 0 y t+ = 0x t + 5y t + 2 = 3 0 5 xt y t z t+ = A z t + v 0 + 2 Para calcular os valores próprios (eigenvalues) da matriz A fazemos 3 [A I] = 0 5 onde I é a matriz identidade. Calculando o determinante de (A de onde obteremos I) e igualando-o o zero virá det [(3 ) (5 ) ( 0)] = 0 5 3 5 + 2 = 0 5 8 + 2 = 0 Desta expressão quadrática poderemos obter dois valores para que staisfazem aquela igualdade, ou seja os valores dos tais valores próprios. A expressão geral da solução da expressão quadrática é b p b ; 2 = 2 4ac 2a ( 8) p ( 8) = 2 4 5 2 = 8 p 64 60 2
8 Ou seja = (8 + 2)=2 = 5; 2 = (8 2)=2 = 3: Como ambos os valores próprios ( ; 2 ) são maiores que, logo o equilíbrio de longo prazo é instável (é o equivalente ao parâmetro a da nossa equação às diferenças ser maior que ). Pergunta 5. Assuma uma economia a 2-periodos, tendo as famílias as seguintes restrições nanceiras P 0 C 0 + A 0 = W 0 P C = W + A 0 ( + r 0 ) onde P () representa o preços dos bens de consumo, W () o nível do rendimento do trabalho, (A 0 ) é o nível de poupança que é investida no período inicial. Assuma ainda que as famílias maximizam a sua utlidade que resulta do consumo intertemporal U(C 0 ; C ) max u(c 0 ) + u(c ) C 0 ;C ;A 0 A partir destas hipóteses, poderemos obter a equação de Euler que é dada por u 0 (C 0 ) = u 0 (C ) ( + r 0) ( + ) sendo = (P =P 0 ) : A partir da equação de Euler, com a seguinte função especí ca para a utilidade (U(c t ) = c t ), e considerando incerteza sobre as evolução das variáveis endógenas no futuro, pretende-se que derive a função IS do Novo Modelo Keynesiano. Solução 5. A solução é reproduzir integralmente os passos nos slides 29, 30 e 3 relativamente à matéria "The New Keynesian Model: Introduction"(obviamente sem todos os detalhes de exposição necessários numa aula, mas não num teste). Pode parar na eq. ou na 2, como queira. Pergunta 6. Assuma que a função oferta é dada pela seguinte expressão y = y n + a( e ) y é o output, y n é o nível natural do output, é a taxa de in ação e a é um parâmetro positivo. A função "Perda"do banco central é uma função quadrática, onde representa o valor desejado para cada variável L = (y y ) 2 + ( ) 2 2 Assumindo expectativas racionais e =, e que k é o gap entre os níveis desejado e natural do output (k y y n ); pretende-se:. (a) determine os níveis óptimos para a in ação resultantes do banco central usar a estratégia de "commitment"ou de "discretion";
9 (b) conclua quanto à maximização do bem-estar social. (c) O que acontece se o banco central deixa de se preocupar com o output gap? Solução 6. A solução é reproduzir integralmente os passos nos slides 4 a 8 relativamente à matéria "The New Keynesian Model: Introduction"(obviamente sem todos os detalhes de exposição necessários numa aula, mas não num teste). a. Reproduzir os passos e obtenha o valor óptimo para a in ação nos dois cenários: d ; c. (Depois disto, não se preocupe com o cálculo da função perda L, tal como referido nas aulas: nos slides não aparece qualquer processo de cálculo sobre o valor de L relativamente às duas situações). b. Como c = 0; d = ak; então é imediato con rmar que sempre que ak > 0; a perda social é maior em "discretion"do que em "commitment". c. Se o banco central deixa de se preocupar com o output gap, então a = 0, e d = ak = 0; ou seja, "discretion"e "commitment"dão o mesmo resultado. Pergunta 7. No Novo Modelo Keynesiano, o objectivo do Banco Central (BC) pode ser de nido pela seguinte expressão " min 2 E X t s ax 2 t+s + 2 # t+s s=0 one x =output gap, =in ação, e a representa a importância relativa que o banco dá ao output gap. Neste modelo, a política monetária óptima com "discrição"pode ser sintetizada pelas seguintes três equações: (d para discrição): x d t = t d t = a t r d t = E t t+ + ' t onde r = taxa de juro nominal a; ' (parametros) e ; ; representam somas de parâmetros com > 0; 0 < < ; >. Note que t ; t são shocks aleatórios, respectivamente, da oferta e da procura. Pretende-se que responda às seguintes questões:. (a) Qual a importância dos shocks para a condução da política monetária? (b) Se existirem expectativas de aumento da in ação para o próximo período em cerca de ponto perecentual, o que deve o BC fazer no sentido de maximizar o bem estar social? (c) Em que condições existe um trade o entre a in ação e o desemprego neste modelo? (d) O que acontece neste modelo se o BC deixa de se preocupar com o nível do output gap (ou variáveis reais)? Justi que.
0 Solução 7. A solução não exige quaisquer cálculos. A solução do modelo com "discretion"já é dada, Assim as alíneas incidem sobre a interpretação dos resultados acima dados. Vide slides relativamente à matéria "Optimal Monetary Policy in the NKM". A única questão que poderá não estar "escarrapachada"nos slides é a resposta à alínea (d). Mas se "o BC deixa de se preocupar com o nível do output gap (ou variáveis reais)", logo na função objectivo do BC é como se a = 0. Portanto, se a = 0, logo d t = a t = 0 e portanto x d t = 0; para todo o t. E como E t t+ = 0; então r d t = ' t: (Este último resultado poderia ser deixado de fora).