Modelamento Fractal de uma Estrutura Porosa Objetivo: Apresentar uma proposta de pesquisa para utilização em Modelos de Potenciais Termodinâmicos Aplicados ao Estudo do Fenômenos Associados a Matriz Trabecular Óssea e a Solos 1
Equipe de Trabalho Prof. Dr. Midred Hecke Modelagem Computacional em Bioengenharia (Ossos) Modelagem Computacional em Solos Lidia Carvalho (Portugal) Luis Farani (Doutorando) Flávia (Doutoranda) Emilio (Mestarndo) Felipe Hecka (Mestrando) Rogerio Puppi (Doutorando) Larissa Yutiama (Mestranda) Tomaz Grosko (Mestrando) Lucas Máximo Alves 2
Definição de Fractais FRACTAIS: são objetos geométricos autoinvariantes por transformação de escala que possuem dimensão fracionária Invariância por Transformação de Escala - (partes semelhantes ao todo). = l o /L o (fator de escala) que pode ser por: AUTO-SIMILARIDADE ou AUTO-AFINIDADE. (Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca) A Extensão do Objeto, M d, depende do tamanho da régua de medida utilizada, L o, isto é, M d () = M do d-d se D = d M d () = M do. 3
Invariância por Transformação de Def: Partes Semelhantes ao Todo Exemplo: Pinus Escala Outros Exemplos: Nuvens, Trincas, Cristais de Gelo, Rochas, Rios, Cidades, etc (Niveis Hierárquicos de Estruturas) 4
Estrutura Fractal Caracteristicas: Apresenta vazios na Estrutura Dimensão Fracionária Invariância por Transformação de Escala 5
Comparação entre Geometrias Euclidiana de Formas Regular Fractal de Formas Irregulares 6
Dimensões de Excesso e de Falta Excede a um Ponto mas não é uma Reta Excede a uma Reta mas não é um Plano Excede a um Plano mas não é um Sólido d D d 1 Perspectivas de Visualização falta D D ( d 1) excesso D D d 7
Para que servem na Prática? Servem para se Descrever Matematicamente Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Elementos Básicos: Ponto, Reta, Plano e Espaço não é capaz Modelagem Geométrica Geometria Regular Geometria Irregular 8
Fenômenos Fractais 9
Relaçõe Matemáticas ticas Fractais Tudo sai da Modelagem Geométrica da Estrutura Fractal Probabilidade local ou peso estatístico Função de Partição p e q q e q Expoente de Massa Fractal q f q 10
Relação Fractais e Termodinâmica Termodinâmica Fractal Termodinâmica Clássica Funções Geométricas Fractais Funções e Potenciais Termodinâmicas 11
Padrões de Dissipação Encontrados na Natureza Geometrias Otimizadas para os Processos de Dissipação 12
Fractais Naturais 13
Modelagem da Estrutura Óssea 14
Fratura Óssea Trinca Óssea Superfície de Fratura 15
Modelagem Superficial Análogo a Modelos de Superficies de Fratura já realizados Aplicáveis ao caso de Fratura Óssea e Modelos de Interface e Osseointegração 16
Modelagem Geométrica 2D e 3D 17
Visualização 3D e 2D 18
Caracterização Fractal 2D em Escalas 19
Caracterização Fractal 3D em Escalas 20
Contagem de Trabéculos 21
Relação Área X Perimetro dos Trabéculos 22
Volume Fractal Ósseo Projetado em 2D Medida extraída a partir de Resultados Experimentais 1 D l V V o ; 1 D 2 o Lo D 1,17 23
Modelagem Fractal 2D dos Trabéculos Semente Fractal: Unidade Básica Estrutura Trabecular 24
Contagem pelo Métodos das Fatias Volume Unitário do Trabéculo Fractais Fatias Horizontais e Verticais V V V min quadrado 2 2 lo o Vmin l 2 disco l o Volume Total dos Trabéculos V NV N V V V Nl min 2 o 1 4 quadrado disco L o 25
Proposta de uma Relação Geral para o Modelo Termodinâmico 2D Contagem dos Trabéculos na Horizontal xi L / / yj y o l o L o l o L o H o L o H o Hi 0 xi 1 TV Vj lo j1 j1 ho lo ho n N n Contagem dos Trabéculos na Vertical yi H / / x x o h o H o h o H o L o H o L o Vj 0 yi 1 TH Hi ho i1 i1 lo ho lo n N n Contagem Total dos Trabéculos no Volume N TH H / h o o i1 n Hi H / h o o j1 n Vj N TV 26
Cálculo do Volume Efetivo e da Taxa de Variação do Volume Ósseo Autosimilaridade da Contagem 1 o o o o o para Ho Lo e ho lo N ho lo lo ho lo x y H L L H L 1 2 2 l o L o V Nlo V Vo L 2 o l o 1 1 4 4 Volume Real da Massa Óssea 1 L o V Vo 1 l o 4 2 1 2 1 dv 1 L o dm 1 L o (1 ) Vo 1 (1 ) Vo 1 dt lo 4 dt lo 4 27
Variação da Densidade Óssea Perda por Osteoporose 4 L o o 4 lo 1 28
Modelo V=Vo.f(Lo Vo.f(Lo/lo) Variação do Volume Ósseo com o Comprimento Volume Ósseo Efetivo 2D 2 1,5 1 0,5 0 lo=0,001 lo=0,01 lo=0,1 0 20 40 60 80 100 Comprimento Lo Gráfico do Volume Ósseo Efetivo 29
Modelagem Fractal Variação do Volume com o tamanhos dos vazios 0,6 Fração Volumétrica 2D 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 20 40 60 80 100 Tamanho dos Vazios - lo Lo=100 30
Conclusão Visto que há uma relação direta entre as Grandezas Fractais e os Potencias Termodinâmicos. Portanto, a modelagem e a caracterização geométrica fractal podem fornecem informações importantes a serem utilizados nos modelos de Remodelação Óssea, Osseointegração, Fratura Óssea, etc. Todas as grandezas Extensivas e Intensivas que dependem da geometria Óssea podem utilizar a relação de Volume Ósseo nos Modelos Fenômenos de Evolução DInâmica podem utilizar a Derivada do Volume no tempo 31
Agradecimentos Muito Obrigado a Todos! Vamos Trabalhar e Trabalhar Medir, Calcular, Modelar para para Publicar Tem muito pano para Manga 32
Referências Bibliográficas 33
Imagens Extras O Osso duro de roer!! Eh eh eh! 34
Microscopia do Osso 35
Diferentes densidades Ósseas 36
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O fenômeno da perda óssea 38
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Perda Óssea?? Remodelação Óssea?? 40