INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDA

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Raul Esteves Camilo
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1 INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTA DE MEDIDA FRACTA - sã bjets gemétrics cuja a dimensã de Haussdrf-Besicvitch excede estritamente a dimensã tplógica e pssuem estruturas em tdas as suas escalas de ampliaçã, cmumente cm alguma similaridade entre elas Invariância pr transfrmaçã de escala - partes semelhantes a td que pde ser pr: AUTO-SIMIARIDADE u AUTO-AFINIDADE. (Ex. um Pinheir) (Ex. uma Trinca) A extensã d bjet, M d, depende d tamanh da régua de medida utilizada,, ist é, M d () = M d d-d se D = d M d () = M d. fatr de escala = l /.

2 . Medida de uma área de dimensã D =, feita cm diverss padrões de medida u D = 1,, 3. M D 0 para D ( ) M D para D para D

3 Cmparaçã entre a gemetria euclidiana e a gemetria fractal. D, d e D f representam as dimensões tplógica, euclidiana e fractal, de um pnt, de um segment, de uma superfície plana e de um cub, respectivamente.

4 Mdel Fractal de Estruturas Padrã gemétric aut-similar cnstruid a partir da iteraçã de padrões gemétrics cm estruturas em escalas sucessivas de ampliaçã

5 Fractais ramificads, mstrand s elements de estrutura, u as unidades gemetricas elementares, de dis fractais. a) Fractal matemátic aut-similar b) Fractal físic estatisticamente aut-similar.

6 Tips de Escalnament Cnstruçã matemática de um fractal, seguind uma regra básica de preenciment d espaç a) Calescência: l rk = variável, = cte, b) Fragmentaçã: l rk = variável, = cte c) Cresciment: l = cte, rk = variável.

7 Aut-Similaridade Fractal aut- similar Dx = Dy = Dz = D; d D d+1 ; Dx + Dy + Dz = d+1 d = dimensã de prjeçã ; d+ 1 = dimensã de imersã

8 Fractal autafim Aut-Afinidade Afinidade Dx = Dy H d D d+1 Dx + Dy + H = d+1 d = dimensã de prjeçã d+ 1 = dimensã de imersã

9 INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTA DE MEDIDA FRACTA - sã bjets gemétrics cuja a dimensã de Haussdrf-Besicvitch excede estritamente a dimensã tplógica e pssuem estruturas em tdas as suas escalas de ampliaçã, cmumente cm alguma similaridade entre elas Invariância pr transfrmaçã de escala - partes semelhantes a td que pde ser pr: AUTO-SIMIARIDADE u AUTO-AFINIDADE. (Ex. um Pinheir) (Ex. uma Trinca) A extensã d bjet, M d, depende d tamanh da régua de medida utilizada,, ist é, M d () = M d d-d se D = d M d () = M d. fatr de escala = l /.

10 Fractais ramificads, mstrand s elements de estrutura, u as unidades gemetricas elementares, de dis fractais. a) Fractal matemátic aut-similar b) Fractal físic estatisticamente aut-similar.

11 Tips de Escalnament Cnstruçã matemática de um fractal, seguind uma regra básica de preenciment d espaç a) Calescência: l rk = variável, = cte, b) Fragmentaçã: l rk = variável, = cte c) Cresciment: l = cte, rk = variável.

12 Aut-Similaridade Fractal aut- similar Dx = Dy = Dz = D; d D d+1 ; Dx + Dy + Dz = d+1 d = dimensã de prjeçã ; d+ 1 = dimensã de imersã

13 Fractal autafim Aut-Afinidade Afinidade Dx = Dy H d D d+1 Dx + Dy + H = d+1 d = dimensã de prjeçã d+ 1 = dimensã de imersã

14 O MODEAMENTO FRACTA DA SUPERFÍCIE DE FRATURA Diferentes tips de defeits presentes num material que agem cm cncentradres de tensã e influenciam na frmaçã da superfície de fratura.

15 Diferentes níveis hierárquics estruturais de uma fratura em funçã da escala de bservaçã a) nível atômic b) nivel cristalin (degraus de clivagem) c) nível micrestrutural (micrsuperfícies de fratura) e d) nível macrestrutural da superfície de fratura

17 Superfície u perfil de fratura (triaxialidade, x, y, z, u defrmaçã plana, K IC = cte) 1 1 ) ( 1 H H l l H d d Mdel matem Mdel matemátic aut tic autafim ( afim (Dx = Dx = Dy Dy H) 1 H l

18 Diferentes níveis hierárquics estruturais de uma fratura em funçã da escala de bservaçã a) nível atômic b) nivel cristalin (degraus de clivagem) c) nível micrestrutural (micrsuperfícies de fratura) e d) nível macrestrutural da superfície de fratura

19 Mdelagem de Superfícies Rugsas Superfícies de Fratura Níveis Hierárquics de Estruturas para Mdelagem Térica

21 Simulaçã da Fratura Rugsa em Materiais Simulaçã de uma fratura em um mei frágil cm cncentradres de tensã distribuid aleatóriamente sbre material

22 Métd Gráfic de Medida de uma inha u Superfície Rugsa

24 Mdels de Superfícies de Fratura H l } ( 1 = /l H H l l H d d ) ( 1 ) )( ( 1

25 O MODEAMENTO FRACTA DA SUPERFÍCIE DE FRATURA Superfície u perfil de fratura (triaxialidade, x, y, z, u defrmaçã plana, K IC = cte) 1 1 ) ( 1 H H l l H d d Mdel matem Mdel matemátic aut tic autafim ( afim (Dx = Dx = Dy Dy H) 1 H l

26 evantament de Perfis de Fratura em Ciment Perfil de fratura levantad a partir da imagem da superfície de fratura da argamassa de ciment

27 Mdel Fractal d Cmpriment Rugs 6000 Ajuste ds Resultads Experimentais cm Mdel Fractal Cmpriment rugs (pixels) Data: Data1_B Mdel: Self-afine ucas cm H Chi^ = a ± H ± H ± Trinca em Ciment Cmpriment prjetad (pixels) Cmpriment rugs (pixels) Data: Data1_B Mdel: Self-afine ucas cm H Chi^ = a ± H ± H ± Cmpriment prjetad (pixels)

28 evantament de Perfis de Fratura em Argila Perfil de fratura levantad a partir da imagem da superfície de fratura da argila vermelha

29 Mdel Fractal d Cmpriment Rugs Ajuste ds Resultads Experimentais cm Mdel Fractal Trinca em Cerâmica Vermelha Cmpriment rugs (pixels) Cmpriment rugs (pixels) Data: Data1_B Mdel: Self-afine ucas cm H Chi^ = a ± H ± H ± Cmpriment Prjetad (pixels) Data: Data1_B Mdel: Self-afine ucas cm H Chi^ = a ± H ± H ± Cmpriment prjetad (pixels)

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