O Infinito pela Arte: pinceladas de uma pesquisa Cássia Aline Schuck 1 GD5 História da Matemática e Cultura Resumo do trabalho. O infinito pela arte. Que discursos sobre o infinito a arte pode suscitar? Por que saber esses discursos seria interessante? Pincelamos neste texto, aportes teórico-metodológicos de uma pesquisa em desenvolvimento pelo Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica da Universidade Federal de Santa Catarina. Ela aproxima Arte e Matemática para se pensar em Educação Matemática. Como base teórica esta pesquisa se apóia nos estudos da cultura visual, e na perspectiva da visualidade para a educação matemática (Flores, 2013). Um pensamento sobre o infinito é apontado nas obras de Rafael, Van Gogh e Escher. Palavras-chave: Arte. Matemática. Infinito. Cultura Visual. Educação Matemática. O infinito, como tema de pesquisa, cativou-me, enquanto pesquisadora, desde a graduação. Prova disto é meu Trabalho de Conclusão de Curso 2, um estudo que buscou relacionar o pensamento matemático por meio de imagens de pinturas artísticas. No momento, nosso objetivo era compreender como práticas de olhar e representar o infinito que foram instituídas no âmbito da cultura, transformando-se em um modelo representativo tanto na Arte, quanto na Matemática. Recorte do projeto Práticas de Olhar na Pintura Catarinense 3, o trabalho teve como lugar de estudo as manifestações artísticas catarinenses, em particular, a arte plástica do artista catarinense Victor Meirelles. Logo depois, surgiu a oportunidade de pesquisar como modos específicos de representar o infinito foram inventados no espaço pictórico em diferentes momentos da história. Fruto deste estudo, conjuntamente com colegas do GECEM Grupo de Estudos Contemporâneos e Educação Matemática 4, do qual faço parte desde 2011, é o artigo intitulado Aporética do Infinito: [des]caminhos na matemática e na pintura 5. Nele também encontramos alguns aspectos históricos e epistemológicos do conceito de infinito. 1 Universidade Federal de Santa Catarina, e-mail: cassiaschuck@gmail.com, orientadora: Profa. Dra. Cláudia Regina Flores. 2 Defendido em 2012 e orientado pela Profa. Dra. Cláudia Regina Flores. 3 Este projeto é financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e coordenado pela Profa. Dra. Cláudia Regina Flores. 4 Cadastrado no Diretório de Grupos do CNPq desde 2009 e coordenado pela Profa. Dra. Cláudia Regina Flores. 5 Publicado na ALEXANDRIA, Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.6, n.1, p.238-317, em abril de 2013.
Para a pesquisa de mestrado pretendo cartografar uma aplicação didática, envolvendo Arte e Matemática, para se pensar práticas de olhar ao infinito. Para isso, voltamo-nos aos discursos, aos modos de olhar e de representar o infinito nas obras de arte, que foram inventados e praticados na história, constituindo-se em verdades que moldam nossa forma de pensá-lo. Tal pesquisa está em andamento desde o início deste ano, e é ligada ao PPGECT Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica da Universidade Federal de Santa Catarina. Relacionando Arte e Matemática para a Educação Matemática Considerar elementos da Arte e da Matemática, problematizando a formação de modos de olhar, é uma proposta que vem sendo trabalhada por Flores 6 e pelos integrantes do GECEM nos últimos anos. Para isso propomos um deslocamento do conceito de visualização para o de visualidade como estratégia de análise, entendendo visualidade como a soma dos discursos que informam como nós, vemos, olhamos as coisas e para as coisas (Flores, Wagner e Buratto, 2012, p. 43). Nas pesquisas realizadas por Zago e Flores (2010), Wagner (2012) e Flores, Wagner e Buratto (2012), podemos averiguar que as pesquisas relacionando Arte e Matemática na Educação Matemática geralmente estão no nível de ensino e aprendizagem em sala de aula, ou seja, no processo de visualização. Já esta pesquisa sai dos habituais questionamentos de ordem cognitiva e corrobora com a teorização proposta por Flores (2013) denominada perspectiva da visualidade para a visualização na Educação Matemática. Tal teorização é definida pela autora como uma caixa de ferramentas, composta pelas ideias da Cultura Visual e de Foucault. Segundo Knauss (2006), é preciso considerar duas características na definição de Cultura Visual, a primeira entende a Cultura Visual na cultura ocidental, marcada pelo pensamento científico ou nos tempos recentes pela tecnologia e a segunda que considera que a cultura visual serve para pensar diferentes experiências visuais ao longo da história em diversos 6 Dra. Cláudia Regina Flores, pesquisadora no CNPq, tem publicados trabalhos tais como Flores (2007) Olhar, saber, representar: sobre a representação em perspectiva; Flores (2010) Cultura Visual, visualidade, visualização matemática: balanço provisório, propostas cautelares, Flores (2012a) Iconografia Militar e Práticas do Olhar: ressonâncias na visualização matemática, Flores (2012 b) Visuality and mathematical visualization: seeking new frontiers (Visualidade e visualização matemática: buscando novas fronteiras), entre outras publicações.
tempos e sociedades (Ibidem, p. 110). Nessa pesquisa nos deteremos à segunda característica, problematizando os modos de ver e representar o infinito nas artes plásticas. Para Dikovitskaya (2005, apud FLORES, 2013) a cultura visual considera a imagem visual como um ponto focal no processo através do qual o significado é feito em um contexto cultural. Berger (1999) afirma que a maneira como vemos as coisas é afetada pelo que sabemos e pelo que acreditamos. Deste modo, a ideia de visualidade se torna mais apropriada que a visualização, pois serve como ferramenta de análise de regimes visuais construídos no âmbito social, histórico e cultural, e não apenas como um processo mental de construção e transformação de imagens. Podemos sistematizar o pensamento sobre cultura visual com o que conclui Flores (2010), a noção de cultura visual centra-se no visual como lugar onde se criam significados, priorizando-se a experiência cotidiana do visual e interessando-se pelos acontecimentos visuais nos quais se buscam informação, significado, prazer, conhecimento. Portanto, é uma estratégia para entender as relações do sujeito e das experiências visuais com a tecnologia do visual. Neste caso, entende-se como tecnologia visual qualquer forma de dispositivo desenhado para ser olhado e para construir o olhar (p. 279). Outros elementos de análise que irão compor nossa caixa de ferramentas são baseados em noções provenientes de Foucault. Um deles é o discurso que para Foucault (2012) se constitui em um conjunto de enunciados, na medida em que se apóiem na mesma formação discursiva; ele não forma uma unidade retórica ou formal, indefinidamente repetível e cujo aparecimento ou utilização poderíamos assinalar na história; é constituído de um número limitado de enunciados para os quais podemos definir um conjunto de condições de existência. O discurso, assim entendido, não é uma forma ideal e intemporal que teria, além do mais, uma história; o problema não consiste em saber como e por que ele pôde emergir e tomar corpo num determinado ponto do tempo; é, de parte a parte, histórico fragmento de história, unidade e descontinuidade na própria história, que coloca o problema de seus próprios limites, de seus cortes, de suas transformações, dos modos específicos de sua temporalidade, e não de seu surgimento ab-ruto em meio às cumplicidades do tempo (p. 143). Os enunciados, por sua vez, pertencem a uma mesma formação discursiva e constituem-se em coisas que se transmitem e se conservam, que têm um valor, e das quais procuramos nos apropriar; que repetimos e reproduzimos e transformamos (FOUCAULT, 1987, apud VEIGA-NETO, 2011, p. 94). Nessa perspectiva foucaultiana que adotamos a questão da prática também, assume um caráter singular e fundamental. Para Lecourt (1980, apud VEIGA-NETO, 2011, p. 45),
pela palavra prática [Foucault] não pretende significar a atividade de um sujeito, [mas] designa a existência objetiva e material de certas regras a que o sujeito está submetido desde o momento em que pratica o discurso. Assim, as práticas discursivas moldam nossas maneiras de constituir o mundo, de compreendê-lo e de falar sobre ele. Somos sujeitos derivados de discursos. Deste modo, sugere-se o infinito como um fenômeno derivado da Cultura Visual, da mentalidade e das concepções de mundo que se colocam em diferentes momentos históricos (MACHADO et al, 2013). O infinito na Arte As imagens das obras de arte, nesta pesquisa, são tomadas como lugar potencial para se suscitar discursos em torno do infinito. Cada artista escolhido, a sua maneira e imbricado por discursos de sua época, viabiliza no quadro maneiras diversas de representar, conduzir, ou sugerir, uma possibilidade de olhar ao infinito, com ou sem intensão direta. O infinito da perspectiva de Rafael Rafael Sanzio (1483 1520) foi um dos grande mestres da pintura do Renascimento ao lado de Leonardo Da Vinci e Michelangelo. Neste período a técnica da perspectiva central estabeleceu regras e princípios normativos para o controle do espaço tanto nas artes, quanto em outras áreas do conhecimento. Racionalizou-se por completo, matematicamente, uma imagem do espaço previamente unificado sob um ponto de vista estético. Leon Battista Alberti nascido em Gênova na Itália no ano de 1404, foi quem escreveu o primeiro livro dedicado aos ensinamentos da perspectiva, denomindo De Pictura. O livro era voltado para pintores e tinha como objetivo ensinar algumas regras e técnicas de pintura. A técnica da perspectiva de Alberti transformou não somente a maneira de pintar, mas o modo de perceber a realidade neste período. Para Flores (2007, p. 57) os artistas ao usarem noções como a de linha do horizonte e de ponto de fuga, e de representar usando uma perspectiva central cujas retas paralelas convergem ao infinito em um ponto do quadro, eles colocaram em pauta a questão do infinito.
Panofsky (1993, p. 54) seguindo a mesma ideia reforça que a descoberta do ponto de fuga, enquanto imagem dos pontos infinitamente distantes de todas as ortogonais, constitui, num determinado sentido, o símbolo concreto da descoberta do próprio infinito. Numa sociedade em que o infinito só podia ser simbolizado pelo amor de Deus, essa ideia causou desconforto. Nicolau de Cusa, que considerava o universo sem nenhum limite, concorda que Deus continha o universo, ou seja, Deus ainda era a referência da noção de infinito. Ao longo dos anos, o espaço conhecido foi sendo, pouco a pouco, substituído pela perspectiva central, com o seu espaço que se prolongava ao infinito e se centrava num ponto de fuga de existência arbitrária. Consumava-se, então, a ruptura definitiva e óbvia, até ao momento sempre disfarçada, com a visão aristotélica do mundo (...) Nasceu assim o conceito de infinito, um infinito não só prefigurado em Deus, mas corporizado na realidade empírica (PANOFSKY, 1993, p. 60-61). A noção de infinito expressa pelo ponto de fuga das obras renascentistas, pode ser potencializada em sala pelas obras de Rafael, como, por exemplo, nas imagens abaixo: Imagem 1 - Anunciação (predela do Retábulo Oddi) c. 1502-1504. Fonte: http://www.wga.hu Imagem 2 - O casamento da virgem, 1504. Fonte: http://www.wga.hu Imagem 3 - A coroação da Virgem (Retábulo Oddi), 1502-1504. Fonte: http://www.wga.hu
Os horizontes de Van Gogh Vicent Van Gogh (1853 1890), foi um pintor holandês considerado um dos pioneiros na ligação de tendências impressionistas com as aspirações modernistas, sendo sua influência reconhecida em variadas frentes da arte do século XIX, como por exemplo, o expressionismo, o fauvismo e o abstracionismo. Em 1886, foi para Paris e conheceu pintores como Toulouse-Lautrec, Paul Gauguin e Edgar Degas, mas a vida da boemia parisiense não era o que exatamente queria, por isso, foi viver no interior da França e onde pintou vários quadros até o fim da vida. A representação dos camponeses e das paisagens é tema recorrente em suas pinturas. Segundo Lassaigne, ele procura alcançar as mais longínquas profundezas e aproximá-las figurações um pouco estáticas, visões de infinitos dos primeiros planos, atormentados e líricos, sobre os quais seu olhar se detém como se quisesse descobrir melhor o horizonte. Assim, pensamos que as obras de Van Gogh, como, por exemplo, as que seguem abaixo, podem suscitar discursos em torno da noção de infinito. Imagem 4 Campo de trigo com vôo de corvos Auvers-sur-Oise, antes de 9 de julho de 1890. Fonte: http://www.wga.hu Imagem 5 - Noite estrelada Saint-Rémy, 1889. Fonte: http://www.wga.hu Imagem 6 - A planície da Crau Arles, 1888. Fonte: http://articp.tripod.com
Escher e sua insessante busca pelo infinito Mauritus Cornelis Escher, nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898 e faleceu em 1970, dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Escolhemos suas obras por elas nos proporcionarem modos particulares de olhar ao infinito. Em muitos dos seus trabalhos tentava aproximar-se do infinito tanto e tão exatamente quanto possível, ficando seu último período de obras caracterizado por aproximações ao infinito. De acordo com a Associação de Professores de Matemática - APM (1998, p. 23) as tentativas de representação gráfica do infinito organizam-se no obra de Escher em três categorias: ciclos, preenchimento de superfícies e limites. Na categoria de ciclos Escher propõe múltiplas formas. Segundo a APM (1998, p. 23) um ciclo é um fenômeno que ocorre sempre que, por deslocações para cima ou para baixo através dos níveis de um sistema hierárquico qualquer, nos encontramos surpreendentemente de volta ao ponto de partida. Em sua obra Queda de Água pintada em 1961 temos um ciclo que se organiza em seis passos. Já a obra Galeria de arte pintada em 1956 apresenta um ciclo mais curto: o retrato de um retrato que se contém a si próprio (ideia de recursividade) (APM, 1998, p. 23). Imagem 7 - Queda de Água, 1961. Fonte: http://www.mcescher.com/ Imagem 8 - Galeria de arte, 1956. Fonte: http://www.mcescher.com/ Outro tipo de ciclo representado por Escher faz o jogo entre o plano e o espaço em uma mesma pintura. A noção de infinito é potencializada na ideia de ciclo de Escher, em que nosso olhar se conduz em um processo infinito.
Imagem 9 Répteis, 1943. Fonte: http://www.mcescher.com/ A segunda categoria de representação do infinito é chamada de preenchimento de superfícies e tem a base na divisão regular do plano. Um plano, que podemos imaginar estendendo-se sem fronterias em todas as direcções, pode ser preenchido ou dividido até o infinito (ESCHER, 1958, apud APM, 1998, p. 24). A Aquarela 25 - Estudo de Divisão regular do Plano com Répteis (Imagem 10) é um exemplo de preenchimento de superfície pintado por Escher em 1939. A regularidade do processo sugere a continuação da pavimentação ilimitadamente. Imagem 10 Aquarela 25, 1939. Fonte: http://www.mcescher.com/ Na última categoria, limites, temos as pavimentações mais complexas. Escher passou a preencher o plano com figuras cada vez mais pequenas, através da ajuda de sua lupa. Para isso seguia progressões geométricas e tentava alcançar o limite do infinitamente pequeno de modo a simbolizar o infinito em sua totalidade.
Imagem 11 Cada vez mais pequeno, 1956. Fonte: http://www.mcescher.com/ Ao ver uma representação do plano hiperbólico segundo o modelo de Poincaré, Escher passa a pintar a aproximação inversa a adotada na imagem anterior, ou seja, ele considera agora a redução das figuras de fora para dentro. Com essa mudança ele conseguiu anular o limite imposto pela fronteira física do papel. Imagem 12 Limite circular III, 1959. Fonte: http://www.mcescher.com/ Assim, segundo a APM (1998) essas três categorias de Escher na tentativa de representar a aproximação ao infinito acabam por modelar os dois níveis fundamentais de significância que tal conceito tem na Matemática. Tanto o nível do infinito potencial, em que o infinito emerge como uma possibilidade, um processo recorrente no tempo (como nos ciclos) ou no espaço (como nas pavimentações), quanto no nível do infinito atual, onde se afirma como completo, independente de um processo construtivo que apenas o sugira (como os limites circulares). Considerações finais Vivemos em um mundo em que tanto o conhecimento quanto muitas formas de entretenimento são visualmente construídos como aponta Hernández (2007). Um mundo
onde o que vemos nos constrói enquanto sujeitos, tanto por discursos visíveis quanto invisíveis. Porém, a forma de nos relacionarmos com as imagens, especificamente as pinturas, não é no sentido de encontrarmos informações ou mensagens preexistentes, como faria a semiótica, mas em compreendermos significações que elas provocam em nós. As representações visuais que nos cercam são fontes de produção e veiculação de significados construídos no decorrer de fatos sociais, culturais e históricos. Hernández (2007, p. 27) nos chama a atenção sobre a relevância que as representações visuais e as práticas culturais têm dado ao olhar em termos das construções de sentido e das subjetividades no mundo contemporâneo, buscando considerar o importante papel da reflexão e da problematização da imagem como componente da produção cultural. Nesta pesquisa, entendemos a imagem como possibilidade para se pensar e suscitar noções de infinito, enunciadas por discursos que se tornaram naturalizados em torno dele. Esta proposta possibilitará compreender que nossa visão é educada por meio de práticas visuais que criam formas de ver nas especificidades históricas e culturais, e que influenciam o modo como nos relacionamos e concebemos o mundo, o infinito e também, possivelmente, outros conhecimentos matemáticos. Sendo assim, vemos nesta pesquisa novas formas de se pensar o ensino e a aprendizagem da matemática. É uma forma de se colocar em prática modos de ver que tomamos por vezes como verdades inatas, de reproduzir práticas discursivas que se tornaram incorporadas em técnicas e efeitos de olhar ao infinito e de compreendermos que nosso olhar para o mundo e para a matemática é antes construído. Referências APM Associação de Professores de Matemática. M. C. Escher Arte e matemática. Coordenação: Maria Helena Martinho. Grupo de trabalho: Ana Rodrigues, Augusto Barreto, Glória Ferraz, Sandra Martins, Susana Diego e Valéria Silva. Gráfica Covense Ltda. Outubro de 1998. BERGER, John. Modos de ver. Tradução de Lúcia Olinto. Rio de Janeiro: Rocco, 1999. FLORES, Cláudia Regina. Olhar, saber representar: sobre a representação em perspectiva. São Paulo: Musa, 2007.. Cultura visual, visualidade, visualização matemática: balanço provisório, propostas cautelares. Revista Zetetiké FE Unicamp v. 18, Número Temático, 2010.
. Visualidade e Visualização Matemática: Novas Fronteiras para a Educação Matemática. In: FLORES, C. R & CASSIANI, S. (Orgs.). Tendências Contemporâneas nas Pesquisas em Educação Matemática e Científica: sobre linguagens e práticas culturais. Campinas, São Paulo: Editora Mercado de Letras, 2013, no prelo. FLORES, Cláudia R. WAGNER, Débora R. BURATTO, Ivone. Pesquisa em visualização na educação matemática: conceitos, tendências e perspectivas. Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.14, n.1, pp.31-45, 2012. FOUCAULT, Michel. A arqueologia do saber. Tradução de Luiz Felipe Baeta Neves. - 8. Ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2012. HERNÁNDEZ, Fernando. Catadores de cultura visual: transformando fragmentos em nova narrativa educacional. Porto Alegre: Mediação, 2007. KNAUSS, P. O desafio de fazer História com imagens - arte e cultura visual. ArtCultura, Uberlândia, v. 8, n. 12, p. 97-115, jan.- jun. 2006. LASSAIGNE, Jacques. Van Gogh. Biblioteca de arte. Os impressionistas. São Paulo: Editora Três, 1973. MACHADO, R. et al. Aporética do Infinito: [des]caminhos na matemática e na pintura. Alexandria Revista de Educação em Ciências e Tecnologia, v. 6, n. 1, p. 283-317, abril 2013. PANOFSKY, Erwin. A perspectiva como forma simbólica. Tradução de Elisabete Nunes. Lisboa: Edições 70, 1993. VEIGA-NETO, Alfredo. Foucault & a Educação. 3. Ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2011. WAGNER, D. Arte, técnica do olhar e educação matemática [dissertação]: o caso da perspectiva central na pintura clássica. Universidade Federal de Santa Catarina, Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica, Florianópolis-SC, 2012. ZAGO, H. S.; FLORES, C. R. Uma proposta para relacionar arte e educação matemática. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. v. 13, n. 3, p. 337-354, nov. 2010.