SOBREPONDO PAVIMENTAÇÕES VISANDO A OBTER NOVOS PADRÕES

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1 SOBREPONDO PAVIMENTAÇÕES VISANDO A OBTER NOVOS PADRÕES Rosemeire Bressan * Faculdade de Tecnologia - FATEC (Catanduva-SP) bressancat@ig.com.br Mariângela Cazetta Faculdade de Tecnologia - FATEC (São José do Rio Preto-SP) marcazetta@hotmail.com Resumo: A combinação de formas geométricas gera pavimentações variadas, que podem ser combinadas entre si, por meio de rotação, translação e sobreposição, formando novos padrões. Esses padrões aparecem em elementos da natureza como em um favo de mel e muitos pisos, que são utilizados para recobrir chão. No ensino, o estudo das pavimentações permite ao professor preparar aulas diferenciadas sobre simetria, e, aos alunos, construir seu próprio conhecimento. Exemplos para serem utilizados em sala de aula são apresentados nesse trabalho. Palavras-chave: Pavimentação; Simetria; Padrões; Ensino de Matemática. Introdução As formas matemáticas estão presentes na vida das pessoas de uma maneira tão sutil que muitas nem percebem. Stewart(1991, p. 232) escreve que em 1610, Galileu disse que a linguagem da natureza é matemática, e seus caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas. Por exemplo, o favo que uma abelha deposita seu mel, é formado pela união de hexágonos. Quando essas figuras são colocadas lado-a-lado sem sobrepor nenhuma parte, uma pavimentação é criada. Essas pavimentações possuem uma unidade básica como diz Farmer(1999, p. 19). Além disso, Farmer (1999, p. 65) também define as pavimentações como papéis de parede. Esses papéis de parede aparecem em pisos e tapetes, onde cada piso é uma unidade básica que, combinadas entre si, por meio de simetrias de translação, reflexão e rotação, vão gerar verdadeiras obras de artes, como as de M. C. Escher. Sobrepondo essas pavimentações, novos padrões de pavimentação são gerados como podem ser vistos em Munari (1999), na qual ele apresenta diversas texturas, que substituem o termo pavimentação. 1

2 Pavimentações As pavimentações ou malhas pavimentadas são definidas por Barbosa (1993, p. 3), como sendo um conjunto de polígonos que cobre sem cruzamentos uma região poligonal simples fechada do plano. Para o autor, cobrir sem cruzamentos, significa que todo ponto do plano pertence à pelo menos um polígono do plano e a intersecção de dois polígonos tem área nula. Como exemplo, a figura 1 mostra pavimentações com quadrados, triângulos eqüiláteros e hexágonos regulares. Figura 1. Modelos de pavimentações. Essas pavimentações são chamadas de grelhas por Farmer (1999, p. 9). Para construí-las, deve-se escolher um polígono, que Farmer (1999), considera como sendo uma unidade básica, e aplicar a simetria de translação na horizontal e vertical, obtendo assim, a pavimentação ou malha. Ledergerber-Ruoff (1982) substitui o termo pavimentação por ornamentos planos, cuja origem está nas formas regulares dos cristais. Barbosa (1993), mostra como identificar quais polígonos regulares pavimentam o plano por meio de várias experimentações. Também apresenta pavimentações com polígonos regulares de tipos diferentes, como pode ser visto na figura 2. 2

3 Figura 2. Pavimentação com polígonos de tipos diferentes. Munari (1968, p. 274), denomina a pavimentação da figura 2, assim como outras que aparecem em sua obra, de estruturas complexas formadas por elementos básicos. Sobrepondo malhas pavimentadas As malhas ou pavimentações apresentadas na figura 1 podem ser combinadas entre si, visando a obter novas pavimentações. Para a malha de hexágonos, a primeira pavimentação obtida é resultado da sobreposição de duas malhas, com rotação de uma delas em 90 graus e alinhando uma no centro da outra. A figura 3, mostra essa nova pavimentação obtida e colorida com o auxílio do paint. Figura 3. Pavimentação obtida com a sobreposição de duas malhas hexagonais. Movimentando a malha superior na vertical, um novo padrão de pavimentação é encontrado, como mostra a figura 4: 3

4 Figura 4. Pavimentação obtida com a sobreposição de duas malhas hexagonais. Sobrepondo as duas malhas alinhadamente e, rotacionando a malha superior, o padrão de pavimentação da figura 5 é obtido: Figura 5. Pavimentação obtida com a rotação de uma malha hexagonal. Para Munari (1968, p. 134), a pavimentação obtida com a sobreposição de duas malhas é considerada como uma variação de texturas, que surgem das variações do campo isométrico das texturas, de densidade ou rarefação dos elementos que as compõem. Para finalizar a combinação de malhas hexagonais, a figura 6 mostra mais uma pavimentação, obtida com o simples deslocamento da malha superior. 4

5 Figura 6: Modelo de pavimentação com sobreposição de malhas hexagonais. Bressan (2006), apresenta um estudo referente à sobreposição de malhas pavimentadas de mesmo tipo e tipos diferentes. Na figura 7, é mostrado a sobreposição de duas malhas iguais, com rotação de 5, 10 e 15 graus, respectivamente, na malha superior. Figura 7: Padrões obtidos com a sobreposição de malhas. Observe que, à medida que o grau de rotação é aumentado em 5 graus, o número de figuras que dividem as malhas também aumenta. Outro exemplo mostra uma malha formada por pequenos traços que, aplicando rotações de 5 e 10 graus, na malha superior, novas malhas são obtidas, podendo ser visualizadas na figura 8. 5

6 Figura 8: Sobreposição de malhas tracejadas. Assim, novos padrões podem ser obtidos de uma maneira rápida e fácil, utilizando apenas, a sobreposição das malhas com rotação e translação da malha superior. Sugestões para uso em sala de aula As pavimentações são elementos que estão presentes em diversos ambientes como casas, palácios, igrejas e templos. É um conteúdo matemático relacionado diretamente com a arte, com tudo o que é belo e causa prazer. Na sala de aula, os exemplos aqui demonstrados podem ser utilizados pelo professor no início do estudo sobre simetria, onde, primeiramente, o aluno vai identificar os polígonos regulares que pavimentam o plano, construírem novas pavimentações seguindo regras pré-determinadas pelo professor, e analisar novos modelos de pavimentações obtidas por meio da sobreposição de duas ou três malhas. Após o professor ter falado e apresentado os tipos de pavimentações do plano, num total de dezessete tipos, os alunos poderão analisar diversas pavimentações, identificando as simetrias existentes em cada uma, inclusive analisar as pavimentações obtidas pela sobreposição de malhas, visando à verificar se, dado um tipo de padrão inicial, será que na sobreposição de outra malha, o padrão inicial permanece ou se transforma em outro tipo? Dessa maneira, o professor poderá fixar o conteúdo de simetria de translação, reflexão, rotação e translação refletida, inclusive, combinar essas simetrias na construção de novos padrões. Além disso, um estudo sobre os tipos de polígonos regulares e a combinação deles na pavimentação, pode ser desenvolvido com os alunos. Para ampliar um pouco mais o estudo de padrões do plano, também se pode trabalhar com sólidos 6

7 geométricos para que o aluno identifique quais deles possuem planificações que pavimentam o plano, sugerindo também uma pesquisa sobre os sólidos de Arquimedes. Segundo Barbosa (1993), Para o professor, quer o de Matemática, quer o de Educação Artística, cremos com inabalável confiança que o estudo das pavimentações e a obtenção de padrões enriquecerão seu potencial de conhecimentos e, sabiamente explorados em múltiplas atividades, constituirão uma fonte talvez inesgotável de aprendizagem aos seus alunos. Barbosa(1993, p. 1) Analisando esse trecho que o autor escreve, conclui-se que, se o professor desejar, poderá fazer uso das pavimentações visando a proporcionar aos alunos, aulas diferentes e interessantes, criando condições para ele explorar com criatividade o assunto e, construir seu próprio conhecimento. Referências BARBOSA, Ruy M. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, BRESSAN, Rosemeire. Formas e Simetrias. Mosaico: Revista de Pesquisa da Área de Ciências Exatas e Tecnológicas/UNIFEV, Votuporanga,.v.1, n. 2, p , ago./dez., FARMER, David W. Grupos e simetria: um guia para descobrir a matemática. Traduzido por Cristina Isabel Santuário. Lisboa: Gradiva, LEDERBERBER-RUOFF, Érika B. Isometrias e ornamentos do plano euclidiano. São Paulo: Atual,1982. MUNARI, Bruno. Design e comunicação visual. Tradução de Daniel Santana. Rio de Janeiro: Edições 70, STEWART, Ian. Será que Deus joga dados? Tradução de Maria Luiza X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., * Professora da Faculdade de Tecnologia FATEC (Catanduva-SP). Professora da Faculdade de Tecnologia FATEC (São José do Rio Preto-SP). 7