SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? Temos 5 grupos com 5 possibilidades cada uma, então: 5.5=25 casais Se fossem duplas:
Teríamos 10 grupos com 9 possibilidades cada uma, mas observe que cada dupla está sendo contada duas vezes. Então, o total de duplas possíveis é dado por. 2. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira lista e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. Assim, teremos 3. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 192 possibilidades de colorir a bandeira. 3. Numa sorveteria há 4 sabores de picolés e 6 sabores de sorvetes. Se o Rafael tem dinheiro para comprar apenas um picolé ou um sorvete, de quantas maneiras poderá fazer o seu pedido? Se o Rafael tem dinheiro para comprar apenas um dos produtos, terá que escolher entre um dos 4 sabores de picolés P 1 P 2 P 3 P 4 ou um dos 6 sabores de sorvetes S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Ao todo então poderá fazer 10 pedidos. 4. Numa sorveteria há 4 sabores de picolés e 6 sabores de sorvetes. Se o Rafael tem dinheiro para comprar apenas um picolé e um sorvete, de quantas maneiras poderá fazer o seu pedido?
Como para cada picolé escolhido há 6 possibilidades de escolha do sorvete, no total teremos 4. 6 = 24 pedidos possíveis. 5. Quantos são os números de três dígitos distintos? Para o primeiro dígito podemos escolher um dos 9 algarismos, pois o zero não pode ser utilizado. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro, nem ao segundo dígito. Assim teremos 9. 9. 8 = 648 números de três dígitos distintos. 6. Quantos são os números de três dígitos? Aqui os dígitos podem se repetir, podemos usar todos os dez algarismos (de 0 a 9), com exceção do primeiro dígito, que não pode ser zero. Assim 9. 10. 10 = 900
7. Quantos são os números pares de três dígitos distintos? Temos as seguintes possibilidades para a escolha de três dígitos: Primeiro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 9 modos Segundo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10 modos Terceiro: apenas 0, 2, 4, 6, 8 5 modos. Como queremos montar números com dígitos distintos, o dígito utilizado em uma posição, não pode ser usado nas demais. Fixemos o último dígito e analisemos de quantos modos podemos escolher os outros dígitos: 0 : 9. 8 = 72 2 : 8. 8 = 64 4 : 8. 8 = 64 6 : 8. 8 = 64 8 : 8. 8 = 64 Total: 72 + 4. 64 = 328. 8. Numa urna existem bolas vermelhas, pretas e azuis. Uma bola é retirada, tem sua cor anotada e é devolvida à urna. Qual é o número de resultados possíveis em 3 extrações sucessivas? Primeira extração: 3 possibilidades Segunda extração: 3 possibilidades Terceira extração: 3 possibilidades. Total: 3. 3. 3 = 27 9. Para fazer uma viagem Pelotas-Porto Alegre, pode-se usar como transporte o ônibus, o carro ou o avão. De quantos modos pode-se escolher os transportes não se usando na volta o mesmo meio usado na ida? Para a ida dispõe-se de três possibilidades de escolha; ao escolher-se uma, restam somente duas escolhas para a volta. Desta forma, temos 3. 2 = 6. 10. De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda? À primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianças basta escolher uma ordem para elas, o que poderia ser feito por 5. 4. 3. 2. 1 = 120 modos.
Entretanto as rodas ABCDE e EABCD são iguais, pois na roda o que importa é a posição relativa das crianças entre si. Como cada roda pode ser virada de cinco modos, a nossa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes. Assim o número de rodas formadas será 120/5 = 4. Uma visualização desse resultado para n = 4:
11. De quantas maneiras pode-se premiar os três melhores alunos de uma classe com 20 alunos? Primeiro lugar: pode ser um dos 20 alunos da turma Segundo lugar: pode ser um dos 19 alunos restantes Terceiro lugar: pode ser um dos 18 alunos restantes. Total: 20. 19.18 = 6840 12. De quantas maneiras pode-se distribuir três prêmios a uma classe com 20 alunos? Primeiro prêmio: pode ser para um dos 20 alunos da turma Segundo prêmio: pode ser para um dos 20 alunos da turma Terceiro prêmio: pode ser para um dos 20 alunos da turma Total: 20. 20.20 = 8000