Teste Intermédio de Matemática A Versão Teste Intermédio Matemática A Versão Duração do Teste: 90 minutos 4.0.0.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de Março RESOLUÇÃO GRUPO I. Resposta (D) f - _ i é o número cuja imagem, por meio de f, é igual a Como f_ xi, x, x, conclui-se que f _ i. Resposta (C) _ g% hi_ ai, ga ha _ ik, ga _ i,,, a 9 a. Resposta (B) Como f l_ i 7, o declive da recta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa é 7 A ordenada na origem da recta tangente é -9. Assim, a equação reduzida da recta tangente ao gráfico da função f, no ponto de abcissa, é y 7x 9 O ponto desta recta que tem abcissa é o ponto de tangência. A sua ordenada é 7# 9. Esse ponto pertence quer à recta, quer ao gráfico da função f Portanto, f _ i TI de Matemática A Resolução Versão Página /
4. Resposta (B) A recta r tem a direcção do vector (0, 0, ), pelo que é paralela ao eixo Oz Das quatro condições apresentadas, apenas a condição x / y define uma recta paralela ao eixo Oz. Resposta (A) Tem-se: u 4+ # 0 Portanto, wn u, 4n 6 0, n 4 GRUPO II. Dos vários processos de resolução deste item, apresentam-se dois..º Processo u _ n + i n un n + + n + n n n + n + _ n _ _ ni_ i _ i_ n 6n n 4 _ n 9ni _ i_ n n 4+ n + n 7 _ i i_ 7 Como n designa um número natural, designa sempre um número negativo. _ i_ Assim, para qualquer número natural n, tem-se u un 0, ou seja, u u n Portanto, a sucessão _ u n i é uma sucessão decrescente..º Processo 7 Tem-se que un + n + A sucessão de termo geral n + é uma sucessão crescente de termos positivos. Logo, a sucessão de 7 termo geral é uma sucessão decrescente. n + Portanto, a sucessão _ u n i é uma sucessão decrescente. TI de Matemática A Resolução Versão Página /
π. cos d αn, sen α, sen α d n + cos a, cos a 6 π 4 Como α! G 0,, tem-se cos a sena Portanto, tg a cos a 4 4 4 Logo, tga 4 t.. Tem-se: A_ ti$, $ t + Dado que, qualquer que seja o valor de t, t + 0, vem: t t + $, 6t $ t+, t 6t + # 0 Dado que t 6t + 0, t 0 t, vem t 6 t + # 0, t! 7, A Como 4, conclui-se que a floresta esteve seriamente ameaçada durante quatro anos... Reproduz-se a seguir o gráfico da função A visualizado na calculadora, no qual se assinalou o ponto correspondente ao máximo da função. Indicam-se as coordenadas desse ponto, arredondadas às milésimas. Tem-se, 6 # 6. 6 Portanto, foi ao fim de 6 dias, contados a partir do início da praga, que foi máximo o valor da área atingida por essa praga. TI de Matemática A Resolução Versão Página /
4.. Tem-se: fl_ xi x 6x 9 fl_ xi 0, x 6x 9 0, x 0 x x - - + f l + 0-0 + f Máx. 4 Mín. Tem-se: f _ i _ i # _ i 9# _ i 0 f _ i # 9# Portanto, a função f é crescente no intervalo A-, -A e no intervalo 7, + 7 a função f é decrescente no intervalo 7-, A a função f tem um máximo relativo igual a 0, para x - a função f tem um mínimo relativo igual a -, para x 4.. D D + D R + `R\ # -j R\ # - f# g f g _ f # gi_ xi f_ xi# g_ xi _ x x 9x i # x x + Como - é um zero da função f, o polinómio x -x -9x - é divisível por x + Efectuando a divisão do polinómio x -x -9x - por x +, utilizando a regra de Ruffini, tem-se: - -9 - - - -4 - -4 - --0- Portanto, x x x x 9x x x _ i 4x x # _ + i# _ i# _ 4x i# _ x i x + x + x x 4x + 4x x + x x x + Assim, f # g é a função de domínio R\ #-- definida por _ f # gi_ xi x x x + TI de Matemática A Resolução Versão Página 4/
x 4.. Tem-se: gx _ i x + x + O gráfico da função g tem uma assimptota vertical de equação x e uma assimptota horizontal de equação y Portanto, o ponto P tem coordenadas _-, i O ponto P pertence ao gráfico da função h se, e só se, h_ i h_ i, f_ i+ k, 0+ k, k. Comecemos por determinar a área da base da pirâmide: DA A D _ 00,, i _, 00, i _ 0,, i DA _ i + + 0 Portanto, a área da base da pirâmide é _ i A altura da pirâmide é a cota do ponto V O ponto V pertence ao plano CBV. Determinemos uma equação deste plano. O vector de coordenadas _,, i é um vector normal ao plano CBV, pois é um vector director da recta definida por x y z, que é perpendicular ao plano CBV Portanto, o plano CBV pode ser definido por uma equação do tipo x + y + z + d 0 Como o ponto B tem coordenadas _ 0,, i, vem # + # + 0 + d 0, ou seja, d -9 Assim, uma equação do plano CBV é x + y + z 9 0 Como o ponto V pertence a este plano e tem abcissa e ordenada iguais a, vem que a cota z do ponto V satisfaz a equação + + z 9 0 Portanto, o ponto V tem cota Como a área da base da pirâmide é igual a e a altura é igual a, o volume da pirâmide é # TI de Matemática A Resolução Versão Página /