Aula-5 Capacitância
Capacitores Dois condutores carregados com cargas Q e Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor. A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo elétrico por ele formado.
Capacitores O capacitor mais convencional é o de placas paralelas. Em geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos condutores que o compõem, independentemente das suas formas. Capacitor de placas paralelas Outros capacitores
Capacitores Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja: q = CV onde C é a chamada capacitância do capacitor. Esta constante de proporcionalidade depende apenas da geometria do capacitor. No SI a capacitância é medida em farads (F). 1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V 1 μ farad = 10 6 F, Importante: ε 0 =8, 85 pf/m
Carregando o capacitor Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V, ao capacitor. Assim, em função de q = CV cargas q e q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito.,
Cálculo da Capacitância Esquema de cálculo Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss: φ= A E r n da= q int ε 0 De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como: V =V f V i = E r d l r i E, finalmente, usamos o resultado anterior em q = CV, de onde podemos extrair C. r f
Capacitor de placas paralelas φ= A E r n da= q int ε 0 q= ε 0 AE r f V f V i = r i q = CV E r d l V = Ed C = ε 0 A d Nota-se que a capacitância só depende de fatores geométricos do capacitor.
Capacitor cilíndrico φ= A E r n da= q int ε 0 q= ε 0 AE =2π Lr ε 0 E r f V f V i = r i E r d l V = q 2 πε 0 L ln b a q = CV C =2 πε 0 L ln b a
Capacitor esférico φ= A E r n da= q int ε 0 r f V f V i = r i E r d l q= ε 0 AE =4π r 2 ε 0 E V = q b a 4 πε 0 ab q = CV C =4 πε 0 ab b a
Esfera isolada C =4 πε 0 R= a ab b a =4 πε 0 b a 1 a b R E b C =4 πε 0 R Exemplo numérico: R=1m, ε 0 =8, 85 pf/m C 1,1 10 10 F
Capacitores em paralelo q 1 =C 1 V, q 2 =C 2 V e q 3 =C 3 V q= q 1 q 2 q 3 q= C 1 C 2 C 3 V Como q=c eq V C eq =C 1 C 2 C 3 ou C eq = i C i
Capacitores em série q=c 1 V 1, q=c 2 V 2 e q=c 3 V 3 V 1 V 2 V 3 =V q 1 C 1 1 C 2 1 C 3 Como q=c eq V =V 1 = 1 1 1 1 ou C eq C 1 C 2 C 3 C eq = i 1 C i
Energia no capacitor Energia armazenada no campo elétrico Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energia potencial na região do campo elétrico entre as placas. Suponha que haja e armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar d q ' de uma placa para a outra é então: dw =V ' d q ' = q ' q ' q ' C d q' W = dw = 0 q q ' C d q ' = q 2 2C U = q2 2C = 1 2 CV 2
Energia no capacitor Densidade de energia u= energia potencial volume Em um capacitor de placas paralelas sabemos que: C = ε 0 A e V = Ed d U = 1 2 CV 2 = 1 2 ε 0 A d E 2 d 2 u U Ad =1 2 ε 0 E 2 Apesar da demonstração ter sido para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida!
Dielétricos Visão atômica Dielétricos são materiais isolantes que podem ser polares ou não-polares. - - - - - E E E 0 = 0 - - - - - - E 0 - - - E 0 -
Dielétricos Capacitores com dielétricos - - E E Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um capacitor a sua capacitância aumenta. Como q = CV V é mantido constante e a carga nas placas aumenta; então C tem que aumentar. - E 0 C =ε 0 L L onde L tem dimensão de comprimento. Então, na presença de um dielétrico, C d = κε 0 L onde κ 1, No vácuo, κ =1
Dielétricos Material Constante dielétrica Resistência Dielétrica (kv/mm) Ar (1 atm) 1,00054 3 Poliestireno 2,6 24 Papel 3,5 16 Pirex 4,7 14 Porcelana 6,5 5,7 Silício 12 Etanol 25 Água (20 º ) 80,4 Água (25 º ) 78,5
Dielétricos φ= A Lei de Gauss E r n da= q int ε 0 E 0 = q ε 0 A E = q q' ε 0 A E = E 0 κ = q κε 0 A q q ' = q κ onde D r κε 0 E r A D r n da=q Então, na lei de Gauss com o vetor livres (das placas)., é o vetor de deslocamento elétrico. D aparecem apenas as cargas
Dielétricos Exemplo Capacitor de placas paralelas com A=115 cm 2, d=1,24 cm, V 0 =85,5 V, b=0,78cm, k=2,61. Calcule: a) C 0 sem o dielétrico; b) a carga livre nas placas; c) o campo E 0 entre as placas e o dielétrico; d) o campo E d no dielétrico; e) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico; f) A capacitância C com o dielétrico.