CE-003: Estatística II - Turma K/O Avaliações Periódicas (1 o semestre 2018) Avaliação 01 1. Em cada um dos ites a seguir foreça o espaço amostral e também sua caracterização quato a ser (i) fiito ou ifiito, (ii) eumerável ou ão eumerável, (iii) equiprovável ou ão equiprovável, justificado as respostas. (a) O úmero de solicitações de iterameto em UTI de um determiado hospital em um dia. (b) O tempo de avegação de um acesso a determiado site da iteret. (c) O úmero de potos que um time fará o seu próximo jogo o campeoato brasileiro. (d) O úmero de tetativas sem sucesso de telemarketig até que se cosiga a cocretização de um egócio (sucesso). (e) O úmero de processos de usuários rodado em uma servidora de processameto em um dado istate. Solucao: 2. Dois dados são laçados. Calcule a probabilidade de: (a) sairem dois úmeros cosecutivos, (b) a soma ser um úmero par e maior que ove, (c) a soma ser um úmero par ou maior que ove, (d) a soma dos valores ser maior ou igual a oito, sabedo-se que um dos dados era cico, (e) a soma ser maior que sete sabedo que sairam dois úmeros iguais. Solucao: Avaliação 02 1. Um algorítmo de classificação deve tetar resolver corretamete dois problemas, A e B. A probabilidade resolver A corretamete é de 0,6. Caso resolva A corretamete, a probabilidade de resolver B corretamete é de 0,85; caso cotrário, essa probabilidade é de 0,25. (a) Qual a probabilidade de ele: i. resolver corretamete os dois problemas? ii. resolver corretamete apeas um dos problemas? iii. ão resolver ehum corretamete? (b) os evetos resolver corretamete A e resolver corretamete B, i. são idepedetes? (justifique) ii. são mutuamete exclusivos? (justifique) A : resolver corretamete o problema A B : resolver corretamete o problema B P [A] = 0, 6 ; P [B A] = 0, 85 ; P [B A] = 0, 25 P [A] = 0, 4 ; P [B A] = 0, 15 ; P [B A] = 0, 75 (a) i. P [A B] = P [A] P [B A] = (0, 6) (0, 85) = 0.51 ii. P [A B] + P [A B] = P [A] P [B A] + P [A] P [B A] = (0, 6) (0, 15) + (0, 4) (0, 25) = 0.19 iii. P [A B] = P [A] P [B A] = (0, 4) (0, 75) = 0.3
(b) i. Não, pois P [A B] = 0.51 P [A] P [B] = 0.61, em que P [B] = P [B A] + P [B A] = (0, 6)(0, 85) + (0, 4)(0, 25) = 0.61 ii. Não, pois P [A B] 0 2. Para selecioar seus fucioários, uma empresa oferece aos cadidatos um curso de treiameto durate uma semaa. No fial do curso, eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bos, 50% como médios e os restates como fracos. Para facilitar a seleção a empresa pretede substituir o treiameto por um teste. Para isso, gostaria de cohecer qual a probabilidade de um idivíduo aprovado o teste ser cosiderado fraco caso fizesse o treiameto. Neste ao, ates do iício do curso foi aplicado o teste. Sabe-se que a probabilidade do cadidato ser aprovado o teste dado que ele é cosiderado bom o treiameto é 0,8, de ser aprovado o teste dado que ele é cosiderado médio o treiameto é 0,5 e de ser aprovado o teste dado que ele é cosiderado fraco o treiameto é 0,2. Solucao: Avaliação 03 1. Assume-se que o tempo etre acessos a um blog tem uma distribuição com média de 1,5 segudos. Assumido a distribuição expoecial, respoda os ites a seguir. (a) Qual a probabilidade de haver duas coexões com itervalo iferior a 1,5 segudos? (b) Qual a probabilidade de se passarem 5 segudos sem coexão alguma? (c) Tedo havido uma coexão, qual a probabilidade da próxima coexão ocorrer etre 0,5 e 2,5 segudos? (d) Se já se passou 1 segudo sem coexão, qual a probabilidade de se passar mais 0,5 segudos adicioais sem coexão? (e) Qual a probabilidade do itervalo etre coexões ão superar 3,5 segudos se já se passaram 2 segudos sem coexão? A distribuição expoecial é uma possivel escolha cosiderado: (i) que devem ser valores positivos, (ii) pela possibilidade de cálculos com as iformações forecidas. (a) P [X < 1, 5] = 1,5 0 f(x)dx = F (1, 5) = 0.63 (b) P [X > 5] = 5 f(x)dx = 1 F (5) = 0.036 (c) P [X < 0, 5] = 2,5 0,5 (d) P [X > 1, 5 X > 1] = X : itervalo de tempo etre coexões (segudos) X Exp(λ = 1/1, 5 = 2/3) f(x) = 2 3 e 2x/3 I (0, ) (x) F (x) = 1 e 2x/3 f(x)dx = F (2, 5) F (0, 5) = 0.53 1,5 f(x)dx 1 f(x)dx = 1 P [X > 0, 5] = 1 F (0, 5) = 0.72 3,5 f(x)dx 2 F (3,5) F (2) (e) P [X < 3, 5 X > 2] = 3,5 = f(x)dx 1 F (2) = 1 P [X < 1, 5] = F (1, 5) = 0.63 2 Solução computacioal com o programa R: > (pa <- pexp(1.5, rate=2/3)) [1] 0.6321 > (pb <- pexp(5, rate=2/3, lower=f)) [1] 0.03567 > (pc <- diff(pexp(c(0.5,2.5), rate=2/3))) [1] 0.5277 > (pd <- pexp(0.5, rate=2/3, lower=f)) [1] 0.7165 > (pe <- pexp(1.5, rate=2/3)) [1] 0.6321 1 propriedade de falta de memória da expoecial
2. Um idivíduo vai participar de uma competição que cosiste em respoder questões que são lhe são apresetadas sequecialmete. Com o ível de cohecimeto que possui, a chace de acertar uma questão escolhida ao acaso é de 75%. Neste cotexto, para cada diferete situação apresetada a seguir, defia a variável aleatória, sua distribuição de probabilidades e calcule a probabilidade solicitada. Se preciso, faça suposições ecessárias e adequadas em cada caso. (a) Se for respoder até errar uma perguta, qual a probabilidade de coseguir acertar quatro ou mais questões? (b) Se for respoder cico pergutas, qual a probabilidade de acertar quatro ou mais? (c) Se for respoder até acertar a terceira perguta, qual a probabilidade de errar apeas uma? (d) Se o cadidato selecioar aleatoriamete seis questões de um baco de 40 questões das quais o cadidato sabe a resposta de 30 delas (75%), qual a probabilidade de acertar ao meos cico delas. (a) (b) (c) (d) X : Número de acertos até o primeiro erro X G(0, 25) P [X 4] = 1 P [X 3] = 1 3 (1 0, 25) i (0, 25) = 0.316 i=0 X : Número de acertos em cico pergutas X B( = 5, p = 0, 75) P [X 4] = P [X = 4] + P [X = 5] = 5 i=4 ( ) 5 0, 75 i (1 0, 75) 5 i = 0.633 i X : Número de erros até o terceiro acerto X BN(r = 3, p = 0, 75) ( ) 3 + 1 1 P [X = 1] = 0, 75 3 (1 0, 75) 1 = 0.316 3 1 X : Número de acertos as seis questões selecioadas X HG(30, 10, 6) P [X 5] = P [X = 5] + P [X = 6] = Solução computacioal com o programa R: > (pa <- pgeom(3, prob=0.25, lower=f)) [1] 0.3164 > (pb <- pbiom(3, size=5, prob=0.75, lower=f)) [1] 0.6328 > (pc <- dbiom(1, size=3, prob=0.75)) [1] 0.3164 > (pd <- phyper(4, m=30, =10, k=6, lower=f)) [1] 0.526 ( 6 30 )( 10 i 6 i ( 40 i=5 6 ) ) = 0.526 Avaliação 04 1. A duração do toer da uma impressora pode ser modelada pela distribuição ormal com média 10.000 cópias e desvio padrão de cópias. A duração do toer será aotada e perguta-se a probabilidade de ser: (a) iferior a 9.000 cópias; (b) iferior a 11.000 cópias;
(c) superior a 10.500 cópias; (d) etre 9.200 e 10.000 cópias; (e) etre 8.200 e 11.800 cópias. (f) Qual a probabilidade de ão de ser desviar da média mais que dois desvios padrões? (g) Qual o úmero de cópias que espera-se que ao meos 80% dos toers cosiga imprimir? (h) Se for defiido como um limite máximo o úmero de cópias que apeas 2% dos toers cosegue atigir. qual será este limite máximo de cópias? (i) Matedo-se o desvio padrão de, qual deveria ser a média do úmero de impressões para que 90% dos toers coseguisse imprimir ao meos 9.000 cópias. (j) E se a média ão puder ser alterada de 10.000, qual deveria ser o desvio padrão para garatir a codição acima? X : duração do toer (em úmero de cópias) X N(µ = 10.000, σ 2 = 2 ) (a) P [X < 9.000] = P [Z < 9.000 10.000 ] = P [Z < 0.8333] = 0.2023 (b) P [X < 11.000] = P [Z < 11.000 10.000 ] = P [Z < 0.8333] = 0.7977 (c) P [X > 10.500] = P [Z > 10.500 10.000 1200 ] = P [Z > 0.4167] = 0.3385 (d) P [9.200 < X < 10.000] = P [ 9.200 10.000 < Z < 10.000 10.000 (e) P [8.200 < X < 11.800] = P [ 8.200 11.800 < Z < 11.800 10.000 ] = P [ 0.6667 < Z < 0] = 0.2475 ] = P [ 1.5 < Z < 1.5] = 0.8664 (f) P [ 2σ < X < 2σ] = P [ 2 < Z < 2] = 0.9545 (g) P [X > x g ] = 0, 80 P [Z > 0.8416] = 0, 80 0.8416 = xg 10.000 x g = 8990 (h) P [X > x h ] = 0, 02 P [Z > 2.054] = 0, 02 2.054 = x h 10.000 x h = 12464 (i) P [X > 9.000] = 0, 90 P [Z > 1.282] = 0, 90 1.282 = 9.000 µ µ = 10538 (j) P [X > 9.000] = 0, 90 P [Z > 1.282] = 0, 90 1.282 = 9.000 10.000 σ σ = 780.3 Solução computacioal com o sistema R: > (qa <- porm(9000, m=10000, sd=1200)) [1] 0.2023 > (qb <- porm(11000, m=10000, sd=1200)) [1] 0.7977 > (qc <- porm(10500, m=10000, sd=1200, low=f)) [1] 0.3385 > (qd <- diff(porm(c(9200, 10000), m=10000, sd=1200))) [1] 0.2475 > (qe <- diff(porm(c(8200, 11800), m=10000, sd=1200))) [1] 0.8664 > (qf <- diff(porm(c(-2, 2)))) [1] 0.9545 > (qg <- qorm(0.20, m=10000, sd=1200)) [1] 8990 > (qh <- qorm(0.98, m=10000, sd=1200)) [1] 12464 > (qi <- 9000 - qorm(0.1)*1200) [1] 10538 > (qj <- (9000-10000)/qorm(0.1)) [1] 780.3 Avaliação 05
Um cojuto de images (1 a 10) foi submetido a dois algoritmos (A e B) de tratameto (filtragem, correção e classificação) e foram registrados os tempos de processameto. Algus resumos dos dados ecotram-se a seguir. x A = 36.19 x B = 22.98 S A = 17.62 S B = 17.14 Respoda as questões a seguir baseado-se os resumos dados e justificado as respostas. r Perso = 0.76 20 40 60 B 20 40 60 r Spearma = 0.66 6 10 2 3 1 4 5 8 7 9 A B 20 40 60 A Figura 1: Box-plot e diagrama de dispersão dos tempos de processameto de dois algorítmos aplicados a um mesmo cojuto de problemas Avaliação 06 1. Descreva o comportameto cada um dos algorítmos idividualmete e compare os seus desempehos. 2. Existem observações discrepates (atípicas)? Dê respostas baseado-se em cada um dos gráficos. 3. Como voce descreveria a relação e correlação etre o desempeho dos algorítmos? 4. Os algorítmos possuem variabilidades relativas, medida pelo coeficiete de variação, semelhates? 5. Os algorítmos possuem variabilidades, medida pela amplitude iterquartílica, semelhates? Em uma avaliação de um ovo algoritmo de classificação foi aalisada uma amostra de 1200 ceários detre os quais 780 foram classificados corretamete. 1. Idetifique o cotexto do problema: a população ( iformal e estatística), a amostra, o parâmetro, o estimador, a distribuição amostral e a estimativa (potual). 2. Obteha a estimativa potual e itervalar (95% de cofiaça) para a proporção de classificações corretas. 3. Qual deveria ser o tamaho da amostra para que a margem de erro fosse de 1,5% (com 95% de cofiaça)? 4. Um algoritmo atualmete utilizado possui um percetual de acerto de 62%. Há evidêcias baseadas o estudo de que o ovo algoritmo tem desempeho diferete do utilizado atualmete? Justifique sua resposta. 5. Quais as suposições relevates para os cálculos feitos os item ateriores? X : resultado da classificação (correto/icorreto) X B(p) E[X] = p Var[X] = p(1 p) ˆp N(p, p(1 p)/) 1.
2. ˆp = 780 1200 = 0.65 I.C. assitótico: ˆp(1 ˆp) IC 95% : ˆp ± z (0.623 ; 0.677) I.C.coservador : 1 IC 95% : ˆp ± z (0.622 ; 0.678) 4 3. (a) Utilizado p = ˆp p(1 p) ME = z 95% 0.65(1 0.65) 0.015 = 1.96 = 1.962 0.65(1 0.65) 0, 0152 = 3885 (b) Utilizado p = 0, 5 0, 5(1 0, 5) ME = z 95% 0.5(1 0.5) 0.015 = 1.96 = 1.962 1 0, 015 2 4 = 4269 4. Resposta e justificativa baseada o valor estar ou ão cotido o I.C.. 5. = z 95% 1 4