Sistemas de controle Prof. André Schneider de Oliveira
Estrutura da apresentação Conceitos fundamentais do sistemas de controle Características da resposta Introdução à estabilidade Polos e zeros Conceito de estabilidade Critério de estabilidade de Routh- Hurwitz
Estrutura básica de controle Malha Fechada com realimentação
Definição Sistema de controle deve alcançar e estabilizar sua resposta no valor desejado. A precisão está relacionada com o erro do sistema (diferença entre o desejado e obtido) após estabilizar sua resposta.
Estágios da resposta O período entre o estímulo de entrada e a estabilização da resposta do sistema é denominado de resposta em regime transitório O período após a transição da resposta do sistema, onde, o sistema estabiliza em um determinado valor é denominado de resposta em regime permanente
Es7mulo degrau As estratégias de controle modipicam suas ações corretivas de acordo com os estímulos de entrada. Na análise da resposta de sistema de controle tradicionalmente é realizado um estímulo de degrau na estrada do controlador para analisar a saída.
Es7mulo degrau O degrau é uma transição instantânea do sinal de referencia do regime permanente inicial (geralmente nulo) para o valor desejado.
Tempo de subida Tempo de subida (rise time) é o tempo gasto para que a resposta do sistema a um degrau vá de seu valor (normalmente zero) até o valor Pinal Tradicionalmente especipicado como o tempo gasto para a resposta aumentar de algum percentual indicado (por exemplo 20%) para outra porcentagem especipicada (por exemplo 70%).
Tempo de subida Quanto menor for o valor do tempo de subida menor será o atraso do sistema para responder ao estímulo do degrau
Tempo de pico O tempo de pico (peak time) é o tempo gasto para a resposta ir do valor nulo até o primeiro valor de pico. Tempo necessário para a resposta do sistema sair do repouso e ir para o primeiro pico.
Tempo de estabilização Intervalo para que as oscilações na resposta do sistema desapareçam. Tempo necessário para a resposta diminuir e permanecer dentro de um percentual desejado, como por exemplo, 1% do valor Pinal
Sobre- passagem Sobre- passagem (sobre- sinal ou overshoot) é a quantidade máxima em que a resposta ultrapassa o valor de referencia Ou simplesmente, é quanto a resposta do sistema ultrapassa o valor desejado
Estabilidade A principal forma de determinar o desempenho de um sistema de controle é a estabilidade do sistema. A estabilidade de um sistema de controle está associado com a capacidade desse sistema gerar uma resposta única invariante no tempo. É possível depinir o conceito de estabilidade como: Um sistema de controle é estável, se e somente se, um sinal de entrada de amplitude limitada promove uma resposta com sinal saída também de amplitude limitada.
Instabilidade O termo instabilidade, está relacionado com geração de uma saída que tende a inpinito, ou seja, variante no tempo, e pode ser depinido como: Um sistema de controle é instável, se a resposta do sistema é variante no tempo e, naturalmente, tende ao inbinito. A estabilidade de um sistema de controle não é uma medida única, ou seja, um sistema não é unicamente estável ou instável Para o entendimento é preciso discutir os elementos que compõem um sistema de controle: os polos e os zeros
Sistema de Controle Um sistema de controle pode ser entendido como uma relação de sua saída por sua entrada que gera a função de transferência do sistema G s = y(t) u(t) =!!!! +!!!!!! + +!!!! +!!!!!! +!!!!!! + +!!!! +!!
Polos e zeros Os polos e zeros podem ser entendidos como soluções para a função de transferência G(s) O polo é um numero real ou complexo n, que quando aplicado a função de transferência G(s) resulte em inbinito, ou seja, G(n) =. O zero é um numero real ou complexo n, que quando aplicado a função de transferência G(s) resulte em zero, ou seja, G(n) = 0.
Polos e zeros Exemplo 01: Extrair os polos e zeros do sistema!! =! +!!! +!" Zeros: são obtidos através das soluções do numerador da função de transferência do sistema, ou seja, solucionando a equação s +2=0. Assim, o único zero do sistema é s=- 2 Polos: são obtidos através das soluções do denominador da função de transferência do sistema, ou seja, solucionando a equação s 2 +4s=0. Assim, os polos do sistema são s=0 e s=- 4
Polos e zeros Exemplo 02: Extrair os polos e zeros do sistema!! =! +!!! +! Zeros: Solução da equação s+2=0 à s=- 2 Polos: Solução da equação s 2 +4=0 à s=+2i e s=- 2i
Diagrama de polos e zeros O diagrama de polos e zeros demonstra os aspectos de estabilidade do sistema É construído no plano S que é um plano com um eixo Real e um eixo Imaginário
Diagrama de polos e zeros Os polos e zeros são desenhados no plano S de acordo com seu valor. Polos e zeros reais são desenhados sobre os seus eixos
Diagrama de polos e zeros Exemplo 01:!! =! +!!! +!" Zeros: o único zero do sistema é s=- 2 Polos: os polos do sistema são s=0 e s=- 4
Diagrama de polos e zeros %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % Exemplo 01 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - clc %limpa o console close all %fecha todas as janelas existentes clear all %limpa todas as variaveis s = tf('s'); %debine a variavel simbolica "s" numerador = s+2; denominador = s^2+4*s; sistema = numerador/denominador zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema Bigure %cria uma nova janela pzmap(sistema) %desenha os polos e zeros grid % coloca grid no grabico title('exemplo 01') xlabel('eixo real'); ylabel('eixo imaginario'); axis([- 5.5-1 1]);
Diagrama de polos e zeros Exemplo 02:!! =! +!!! +! Zeros: único zero s=- 2 Polos: s=+2i e s=- 2i
Diagrama de polos e zeros %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % Exemplo 02 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - clc %limpa o console close all %fecha todas as janelas existentes clear all %limpa todas as variaveis s = tf('s'); %debine a variavel simbolica "s" numerador = s+2; denominador = s^2+4; sistema = numerador/denominador zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema Bigure %cria uma nova janela pzmap(sistema) %desenha os polos e zeros grid % coloca grid no grabico title('exemplo 02') xlabel('eixo real'); ylabel('eixo imaginario'); axis([- 3.5-5 5]);
Conceito de estabilidade A estabilidade está associada com a localização dos polos e zeros no plano S, em relação ao eixo imaginário. Os polos são os principais fatores que afetam a estabilidade do sistema e sua localização no plano S está diretamente relacionada com o tipo de resposta do sistema. O eixo imaginário é como um limite entre a região de estabilidade e instabilidade.
Conceito de estabilidade Os polos devem estar à esquerda do eixo imaginário para o sistema ser considerado estável. Polos à direita do eixo imaginário introduzem instabilidades ao sistema.
Conceito de estabilidade A estabilidade depende diretamente da localização dos polos da função de transferência do sistema Um sistema não é dito unicamente estável ou instável, existem outras denominações de estabilidade que estão relacionadas com a localização dos polos. Um sistema é chamado assintoticamente estável se todos os polos da função de transferência encontram- se no lado esquerdo do eixo imaginário do plano S
Conceito de estabilidade Um sistema é chamado de marginalmente estável se existe um polo real simples na origem ou pares conjugados simples no eixo imaginário; e todos demais polos à esquerda do eixo imaginário do plano S Um sistema é chamado de instável se pelo menos um polo estiver à direita do eixo imaginário do plano S, ou se ocorrerem raízes múltiplas no eixo imaginário
Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz O critério de Routh- Hurwitz é uma metodologia para a determinação da localização dos polos de uma função de transferência sem a necessidade de calcula- los É possível determinar também as condições de estabilidade do sistema, prevendo quantos polos estão localizados a direita do eixo imaginário do plano S.
Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz
Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz https://drive.google.com/file/d/0b_iu05azenzuzghxvjbboudpr2s/ view?usp=sharing
Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz Exemplo 03 Determine a distribuição dos polos no plano S utilizando o critério de Routh- Hurwitz para a função de transferência abaixo.!! =!!! +!! +!"! +!" +! s 4 1 5 4 0 s 3 1 2 0 0 s 2 b 1 b 2 0 0 s 1 c 1 0 0 0 s 0 d 1 0 0 0!! =!! =!"#!!!!!!"#!!!!! =! =!
Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz s 4 1 5 4 0!! =!"#!!!!! =!! =!.!" s 3 1 2 0 0 s 2 3 4 0 0 s 1 0.67 0 0 0 s 0 d 1 0 0 0!"#!! =!!!.!"!!.!" Não é possível identificar trocas de sinais na primeira coluna. Então, todas as raízes então localizadas ao lado esquerdo do eixo imaginário do plano S. =! s 4 1 5 4 0 s 3 1 2 0 0 s 2 3 4 0 0 s 1 0.67 0 0 0 s 0 4 0 0 0
%- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % Exemplo 03 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - clc %limpa o console close all %fecha todas as janelas existentes clear all %limpa todas as variaveis s = tf('s'); %debine a variavel simbolica "s" numerador = 1; denominador = s^4+s^3+5*s^2+2*s+4; sistema = numerador/denominador Zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema Polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema RHpolos=Routh(sistema); %determinacao do criterio de Routh- Hurwitz e %calculo da quantidade de polos no lado direito %do eixo imaginario do plano S fprintf('\n Numero de polos do lado direito do eixo imaginario =%2.0f\n',RHpolos) Bigure %cria uma nova janela pzmap(sistema) %desenha os polos e zeros grid % coloca grid no grabico title('exemplo 03') xlabel('eixo real'); ylabel('eixo imaginario'); axis([-.8.2-3 3]);
Exercícios Determine se os sistemas descritos abaixo são estáveis ou instáveis, justibicando sua resposta em relação ao posicionamento dos polos em relação do Plano S, utilizando o critério de Routh- Hurwitz: 1.!! = 2.!! = 3.!! = 4.!! = 5.!! =!!!!!"!!!!!!!"!!!!!!!"!!!!!!!"!!!!!!!!"!!!"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6.!! =!!!!!!!!!!!"