Fundamentos de Investigação Operacional Mestrado em Engenharia Civil 2010/11
Módulo de Programação Linear Marília Pires mpires@ualg.pt Gabinete 3.16 (edifício 2 -FCT) w3.ualg.pt/~mpires
BIBLIOGRAFIA http://w3.ualg.pt/~mpires/io.htm F. S. Hillier and G.J. Liberman, Introduction to Mathematical Programming, McGraw Hill International Editions F. S. HillierandG.J. Liberman, Introductionto OperationsResearch, McGraw Hill International Editions H. A. Taha, Operations Research, an introduction, Macmillan Publishing Company M. Ramalhete, J. Guerreiro e A. Magalhães, Programação Linear, McGraw Hill L. V. Tavares e F. N. Correia, Optimização Linear e Não Linear, Fundação Gulbenkian L. V. Tavares, R. C. Oliveira, I. H. Themidoe F. N. Correia, Investigação Operacional, Mcgraw Hill Marco Cesar Goldbarg e Henrique Pacca L. Luna, Otimização Combinatória e Programação Linear -Modelos e Algoritmos, Editora Campus Manuela Magalhães Hill, Mariana Marques dos Santos, Exercícios de Programação Linear, Edições Sílabo(2002)
O que é a Investigação Operacional? IO A ciência aplicada a melhores decisões Procura: melhor rumo de acção com restrições de recursos
Problemas típicos Horários de pessoal e/ou máquinas Horários de produção Distribuição de pessoal por postos de trabalho Mistura de matérias-primas Distribuição e Transportes Carteiras de Investimentos Técnicas publicitárias
Problemas típicos Gestão de tráfego Gestão hospitalar Horários de aviões, comboios e autocarros Horários escolares Projecto de grandes obras...
Passos a seguir: 1) Formular o problema 2) Construir o modelo matemático 3) Resolver o modelo 4) Testar o modelo e a solução 5) Estabelecer controlo sobre a solução 6) Implementar a solução
O Problema do Rio Negro Complexo Superterra Região Interior Região Litoral Zona Turística
Grupo de Trabalho Interministerial Ministério da Indústria Ministério da Agricultura Ministério do Emprego Ministério do Turismo Ministério do Ambiente Associação Ambientalista Rio Azul Empresários Turísticos Comissão de Coordenação da Região Litoral Comissão de Coordenação da Região Interior
IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA Capacidade de produção: 100 toneladas por mês Política actual de produção: 20 toneladas de produto A + 80 toneladas de produto B 1 tonelada de A lucro bruto de 10 000 1 tonelada de B lucro bruto de 20 000 Lucro bruto correspondente à política actual de produção: 200 000 + 1 600 000 = 1 800 000 Despesas fixas (mesmo sem produção): 1 400 000 Lucro efectivo: 1 800 000 1 400 000 = 400 000
CBO 5 indicador de presença de matéria orgânica Mede a quantidade de oxigénio dissolvido na água necessário à oxidação bioquímica da matéria orgânica por parte de uma culturademicroorganismosàtemperatura de20 o Cecomumperíododeincubaçãode 5dias.
IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA(CONT.) 1 tonelada de A 0,7 mg/l de CBO 5 1 tonelada de B 3,5 mg/l de CBO 5 Actual política de produção é responsável por: 20 toneladas de produto A 0,7 mg/l CBO 5 + + 80 toneladas de produto B 3,5 mg/l CBO 5 = = 294 mg/l CBO 5 Máximo admissível nos meses de Verão: 210 mg/l CBO 5
Equacionar o problema x : quantidade de A a produzir mensalmente y : quantidade de B a produzir mensalmente Restrição ambiental: 0,7 x + 3,5 y 210 Restrições de produção: x + y 100 x 0 ; y 0 Objectivo: maximizar lucro Maximizar F = 10x + 20y 1 400
Rio Negro
Solução Óptima do Problema: Produzir 50 toneladas do produto A Produzir 50 toneladas do produto B Lucro: 10 50 + 20 50 1400 = 100 O lucro passará a ser 100 000 (menos lucro mas respeita-se a restrição ambiental)
Se for inserida uma estação de tratamento de águas residuais? 1 tonelada de A 0,6 mg/l de CBO 5 1 tonelada de B 3,0 mg/l de CBO 5 1 tonelada de A lucro de 8 000 1 tonelada de B lucro de 16 000 Despesas fixas (mesmo sem produção): 1500 000
Equacionar o problema x : quantidade de A a produzir mensalmente y : quantidade de B a produzir mensalmente Restrição ambiental: 0,6 x + 3 y 210 Restrições de produção: x + y 100 x 0 ; y 0 Objectivo: maximizar lucro Maximizar F = 8x + 16y 1 500
Rio Negro
Solução Óptima do Problema: Produzir 37.5 toneladas do produto A Produzir 62.5 toneladas do produto B Lucro: 8 37.5 + 16 62.5 1500 = -200 Passará a haver prejuízo de 200 000 (!!!)
Uma empresa de estampagem fabrica saladeiras e tigelas de aço inoxidável. Para isso utiliza como matéria-prima chapas de aço de tamanho único. Com cada chapa podem-se estampar uma saladeira e duas tigelas, ou então seis tigelas. A firma vende cada saladeira a 80 euros e cada tigela a 25 euros. Cada chapa custa 60 euros. Os restantes custos são fixos. Sabe-se, por experiência passada, que não se conseguem vender mais do que quatro tigelas por cada saladeira. O número total de chapas disponíveis é de 680. Qual a quantidade a produzir de cada artigo de modo a maximizar o lucro?
Variáveis de decisão: x 1 número de tigelas x 2 número de saladeiras 1 saladeira 1 chapa x 2x 1 2 6 x 2 tigelas chapas Número total de chapas: x 2 + x 1 6 2x 2
Objectivo: maximizar lucro = vendas custos Vendas 25x + 80x 1 2 Custos x 2x 60 x + 1 2 2 6 Função objectivo: x1 2x2 25x1 + 80x2 60 x2 + 6 Max z = 15x + 40x 1 2
Restrições: Número de chapas disponíveis: x 2x x + 1 2 2 6 680 Não se conseguem vender mais do que 4 tigelas por cada saladeira: x 4x 1 2
Restrições: As variáveis não podem ser negativas: x 0; x 1 2 0 As variáveis só podem tomar valores inteiros: x, 1 x 2 inteiros
Max z = 15x + 40x 1 x 4x 1 2 2 x + 4x 1 2 4080 x 0; x 1 2 0 x, 1 x 2 inteiros
Resolução