Cap. 25 Capacitância Copyright
25-1 Capacitância Um capacitor é constituído por dois condutores isolados (as placas), que podem receber cargas +q e q. A capacitância C é definida pela equação onde V é a diferença de potencial entre as placas. Linhas de campo elétrico A face inferior da placa de cima tem carga +q A face superior da placa de baixo tem carga -q Um capacitor de placas paralelas, feito de duas placas de área A separadas por uma distância d. As cargas da superfície interna das placas têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos Como mostram as linhas de campo, o campo elétrico produzido pelas placas carregadas é uniforme na região central entre as placas. Nas bordas das placas, o campo não é uniforme.
25-1 Capacitância Carga de um Capacitor Quando um circuito com uma bateria, uma chave aberta e um capacitor descarregado é acionado ao ligarmos a chave, os elétrons de condução começam a circular, deixando as placas do capacitor com cargas de sinais opostos. Na Fig. (a), um circuito é formado por uma bateria B, uma chave S, um capacitor descarregado C e fios de ligação. O mesmo circuito é mostrado no diagrama esquemático da Fig. (b), no qual os símbolos de bateria, chave e capacitor representam esses dispositivos. A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os terminais. O terminal de maior potencial é indicado pelo símbolo + e chamado de terminal positivo; o terminal de menor potencial é indicado pelo símbolo e chamado de terminal negativo.
25-2 Calculando a Capacitância Cálculo do campo elétrico e da dif. de potencial Para relacionar o campo elétrico E entre as placas de um capacitor à carga q de uma das placas, usamos a lei de Gauss: A diferença de potencial entre as placas de um capacitor está relacionada ao campo E pela equação Chamando de V a diferença V f V i, a equação acima se torna: Usamos a Lei de Gauss para relacionar q e E. Então integramos em E para obter a diferença de potencial Trajetória de integração Superfície Gaussiana Um capacitor de placas paralelas carregado. Uma superfície Gaussiana envolve a carga na placa positiva. A integração é executada ao longo de uma trajetória que vai da placa negativa para a placa positiva.
25-2 Calculando a Capacitância Capacitor de Placas Paralelas Vamos supor, como sugere a Figura, que a placas do nosso capacitor de placas paralelas são tão extensas e tão próximas que podemos desprezar o efeito das bordas e supor que E é constante em toda a região entre as placas. Escolhemos uma superfície Gaussiana que envolve apenas a carga q na placa positiva Usamos a Lei de Gauss para relacionar q e E. Então integramos em E para obter a diferença de potencial Onde A é a área da placa. E portanto, Agora se nós substituímos q nas equações acima para q=cv, obtemos, (Capacitor de placas paralelas) Trajetória de integração Superfície Gaussiana Um capacitor de placas paralelas carregado. Uma superfície Gaussiana envolve a carga na placa positiva. A integração é executada ao longo de uma trajetória que vai da placa negativa para a placa positiva.
25-2 Calculando a Capacitância Capacitor Cilíndrico A Figura mostra uma vista em seção reta de um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b. Vamos supor que L >> b para que os efeitos das bordas sobre o campo elétrico possam ser desprezados. As duas placas contêm cargas de valor absoluto q. Aqui, carga e campo elétrico E estão relacionados como Carga total +q Carga total -q Resolvendo para o campo E: Da relação C= q/v, então temos (Capacitor cilíndrico) Trajetória de integração Superfície Gaussiana Vista em seção reta de um capacitor cilíndrico longo, mostrando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r (que envolve a placa positiva) e uma trajetória de integração radial. A figura também pode representar uma vista em seção reta de um capacitor esférico, passando pelo centro.
25-2 Calculando a Capacitância Outros Para um capacitor esférico a capacitância é: Carga total +q Carga total -q (Capacitor esférico) Capacitância de uma esfera isolada: (Esfera isolada) No caso de capacitores carregados pela mesma bateria, a carga armazenada pelo capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma nas situações a seguir? (a) A distância entre as placas de um capacitor de placas paralelas aumenta. (b) O raio do cilindro interno de um capacitor cilíndrico aumenta. (c) O raio da casca externa de um capacitor esférico aumenta juntamente com o da casca interna. Answer: (a) decreases (b) increases (c) increases Trajetória de integração Superfície Gaussiana Vista em seção reta de um capacitor cilíndrico longo, mostrando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r (que envolve a placa positiva) e uma trajetória de integração radial. A figura também pode representar uma vista em seção reta de um capacitor esférico, passando pelo centro.
25-3 Capacitores em Paralelo e em Série Capacitores em Paralelo Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de todos os capacitores, e a carga total q armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores. A carga total na combinação em paralelo da figura ao lado é então A capacitância equivalente, com a mesma carga total q e diferença de potencial V, é então Um resultado que podemos facilmente estender para qualquer número n de capacitores: Capacitores em paralelo tem o mesmo valor de V. (n capacitores em paralelo) Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais.
25-3 Capacitores em Paralelo e em Série Capacitores em Série Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em série, a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores, e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de potencial aplicada V. A diferença de potencial total V devido à bateria é a soma A capacitância equivalente é então ou Capacitores em série têm o mesmo valor de q. (n capacitores em série) Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial total V que os capacitores originais.
25-4 Energia Armazenada em um Campo Elétrico A energia potencial elétrica U de um capacitor carregado, e, (energia potencial) (energia potencial) é igual ao trabalho realizado para carregar o capacitor. Esta energia pode estar associada com o campo elétrico E do capacitor. A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associada ao campo elétrico que existe entre as placas. Todo campo elétrico, num capacitor ou de outra fonte, tem associado a ele uma energia armazenada. No vácuo, a densidade de energia u (energia potencial por unidade de volume) em um campo com módulo E é (densidade de energia)
25-5 Capacitor com um Dielétrico Quando preenchemos o espaço entre as placas de um capacitor com um material dielétrico, a capacitância C no vácuo é multiplicada pela constante dielétrica κ, (letra grega kappa) do material, a qual é um número maior que 1. Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica κ, a constante elétrica ε 0 deve ser substituída por κε 0 em todas as equações. V = uma constante q = uma constante (a) Se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é mantida por uma bateria B, o efeito de um dielétrico é aumentar a carga das placas. (b) Se a carga das placas é mantida, o efeito do dielétrico é reduzir a diferença de potencial entre as placas. O mostrador visto na figura é o de um potenciômetro, instrumento usado para medir diferenças de potencial (no caso, entre as placas do capacitor). Um capacitor não pode se descarregar por meio de um potenciômetro
25-5 Capacitor com um Dielétrico Uma Visão Atômica Dielétrico Polar (b) Quando um campo elétrico é aplicado, os dipolos elétricos se alinham parcialmente. O alinhamento não é completo por causa da agitação térmica. (a) Moléculas com um momento dipolar permanente, orientadas aleatoriamente na ausência de um campo elétrico externo. O campo elétrico inicial no interior deste dielétrico apolar é zero O campo aplicado alinha os momentos de dipolo atômicos O campo dos átomos alinhados se opõe ao campo aplicado Dielétrico Apolar
25-6 Dielétricos e a Lei de Gauss Quando um dielétrico é introduzido no espaço entre as placas de um capacitor, é induzida uma carga nas superfícies do dielétrico que reduz o campo elétrico na região entre as placas A carga induzida é menor que a carga livre das placas. Na presença de um dielétrico, a Lei de Gauss pode ser generalizada para (Lei de Gauss com dielétrico) onde q é a carga livre. Qualquer carga superficial induzida é levada em consideração ao incluir a constante dielétrica k na integral. Nota: A integral do fluxo agora envolve κe, não apenas E. O vetor ε 0 κe recebe o nome de deslocamento elétrico D, assim a equação acima pode ser escrita na forma Capacitor de placas paralelas (a) sem e (b) com um dielétrico entre as placas. A carga q das placas é tomada como a mesma nos dois casos.
25 Sumário Capacitor e Capacitância A capacitância de um capacitor é definida como: Determinando a Capacitância Capacitor de placas paralelas: Capacitor cilíndrico: Eq. 25-1 Eq. 25-9 Eq. 25-14 Capacitor em paralelo e em série Em paralelo: Em série Eq. 25-19 Eq. 25-20 Energia Potencial e Densidade de Energia Energia Potencial Elétrica (U): Capacitor esférico: Esfera isolada: Eq. 25-17 Densidade de Energia (u) Eq. 25-21&22 Eq. 25-25 Eq. 25-18
25 Sumário Capacitância com um Dielétrico Se o espaço entre as placas de um capacitor é completamente preenchido com um material dielétrico, a capacitância C é aumentada por um fator κ, chamado de constante dielétrica, a qual é característica do material. Lei de Gauss com um Dielétrico Quando um dielétrico está presente, A Lei de Gauss torna-se: Eq. 25-36
25 Exercícios Halliday 10ª. Edição Cap. 25: Problemas 2; 6; 14; 18; 20; 32; 36; 44; 48; 74
25 Problema 25-2 O capacitor da Figura abaixo possui uma capacitância de 25 μf e está inicialmente descarregado. A bateria produz uma diferença de potencial de 120 V. Quando a chave S é fechada, qual é a carga total que passa por ela?
25 Problema 25-6 Pretende-se usar duas placas de metal com 1,00 m 2 de área para construir um capacitor de placas paralelas. (a) Qual deve ser a distância entre as placas para que a capacitância do dispositivo seja 1,00 F? (b) O dispositivo é fisicamente viável?
25 Problema 25-14 Na Figura abaixo, a bateria tem uma diferença de potencial V = 10,0 V e os cinco capacitores têm uma capacitância de 10,0 μf cada um. Determine a carga (a) do capacitor e (b) do capacitor 2.
25 Problema 25-18 A Fig. 25-33 mostra quatro capacitores, cujo dielétrico é o ar, ligados em um circuito que faz parte de um circuito maior. O gráfico a seguir do circuito mostra o potencial elétrico V(x) em função da posição x no ramo inferior do circuito, que contém o capacitor 4. O gráfico acima do circuito mostra o potencial elétrico V(x) em função da posição x no ramo superior do circuito, que contém os capacitores 1, 2 e 3. O capacitor 3 tem uma capacitância de 0,80 μf. Determine a capacitância (a) do capacitor 1 e (b) do capacitor 2.
25 Problema 25-20 A Figura abaixo mostra um capacitor variável com dielétrico de ar do tipo usado para sintonizar manualmente receptores de rádio. O capacitor é formado por dois conjuntos de placas intercaladas, um grupo de placas fixas, ligadas entre si, e um grupo de placas móveis, também ligadas entre si. Considere um capacitor com 4 placas de cada tipo, todas com uma área A = 1,25 cm 2 ; a distância entre placas vizinhas é d = 3,40 mm. Qual é a capacitância máxima do conjunto?
25 Problema 25-32 Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com uma diferença de potencial de 600 V. A área das placas é 40 cm 2 e a distância entre as placas é 1,0 mm. Determine (a) a capacitância, (b) o valor absoluto da carga em uma das placas, (c) a energia armazenada, (d) o campo elétrico na região entre as placas e (e) a densidade de energia na região entre as placas.
25 Problema 25-36 Como engenheiro de segurança, o leitor precisa emitir um parecer a respeito da prática de armazenar líquidos condutores inflamáveis em recipientes feitos de material isolante. A companhia que fornece certo líquido vem usando um recipiente cilíndrico, feito de plástico, de raio r = 0,20 m, que está cheio até uma altura h = 10 cm, menor que a altura interna do recipiente (Figura). A investigação do leitor revela que, durante o transporte, a superfície externa no recipiente adquire uma densidade de carga negativa de 2,0 μc/m2 (aproximadamente uniforme). Como o líquido é um bom condutor de eletricidade, a carga do recipiente faz com que as cargas do líquido se separem. (a) Qual é a carga negativa induzida no centro do líquido? (b) Suponha que a capacitância da parte central do líquido em relação à terra seja 35 pf. Qual é a energia potencial associada à carga negativa desse capacitor efetivo? (c) Se ocorre uma centelha entre a terra e a parte central do líquido (através do respiradouro), a energia potencial pode alimentar a centelha. A energia mínima necessária para inflamar o líquido é 10 mj. Nessa situação, o líquido pode pegar fogo por causa de uma centelha?
25 Problema 25-44 Você está interessado em construir um capacitor com uma capacitância de aproximadamente 1 nf e um potencial de ruptura de mais de 10.000 V e pensa em usar as superfícies laterais de um copo de pirex como dielétrico, revestindo as faces interna e externa com folha de alumínio para fazer as placas. O copo tem 15 cm de altura, um raio interno de 3,6 cm e um raio externo de 3,8 cm. Determine (a) a capacitância e (b) o potencial de ruptura do capacitor.
25 Problema 25-48 A Figura mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A = 5,56 cm 2 e uma distância entre as placas d = 5,56 mm. A parte esquerda do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica κ 1 = 7,00; a parte direita é preenchida por um material de constante dielétrica κ 2 = 12,0. Qual é a capacitância?
25 Problema 25-74 O leitor dispõe de duas placas de cobre, uma folha de mica (espessura = 0,10 mm, κ = 5,4), um pedaço de vidro (espessura = 2,0 mm, κ = 7,0) e um bloco de parafina (espessura = 1,0 cm, κ = 2,0). Para fabricar um capacitor de placas paralelas com o maior valor possível de C, que material você deve colocar entre as placas de cobre?