IV Rotas para o Caos E-Crises
1-Introdução Mudança abrupta no atrator em um parâmetro crítico. Crises em mapas bidimensionais Crises em sistemas tridimensionais de equações diferenciais
2-Variedades Alterações nas variedades causam crises. Definição: variedade estável (instável): conjunto de pontos iniciais que convergem para o ponto de sela para t (t - ).
Poincaré: cruzamento de variedades causam dinâmica complexa. Vamos examinar crises causadas pelo cruzamento entre as variedades estável e instável de um ponto de sela. (Não há cruzamentos de uma mesma variedade!) Em geral, variedades não são determinadas analiticamente. Determinação das variedades requer mapas inversíveis.
Teorema da Variedade Estável As variedades de um ponto de sela no plano são curvas unidimensionais.
Exemplo de Variedades e Cruzamentos de um Ponto de Sela x = -π x = π Chaos Alligood et al.
Exemplo Mapa f (x, y) = ( 0.5 x + g(x, y), 3y + h(x, y) ) g, h potenciais com ordem maior ou igual a 2 Ponto fixo em (0, 0) 0.5 Df(0, 0) = 0 auto valor λ = r λ = 3 u = ê y 0 0.5 - λ 0 3 0 3 - λ r 0.5 auto - vetor u = = ê x 0 Variedade Variedade estável na direção de instável na direção de ê x ê y
Variedades de um Ponto de Sela no Plano Local Global Chaos Alligood et al.
Teorema : r 2 f : difeomorfismo em R, com um ponto de sela P r Matriz Jacobiana D f (P) auto - valores s ( s < 1) e u ( u < 1) r r Vs e Vu auto - vetores desses auto - valores r r As variedades estável, S, e instável, U, de P são unidimensionais e contem P. r r r Em P, V e V são tangentes a S e U, respectivamente. s u
Ilustração do Teorema da Variedade Estável Chaos Alligood et al.
Exemplo de Variedades 4 arctg x y f(x, y) = (, ) π 2 Pontos fixos atratores : Ponto de sela : (0, 0) ( 1, 0), (1, 0) Chaos Alligood et al.
Exemplo de Variedades f (x, y) = (r 2, θ - sen θ) Ponto fixo atrator : (0, 0) Ponto fixo de repulsão : (-1, 0) Ponto de sela : (1, 0) r r Auto vetores s = ê e u = ê y x Chaos Alligood et al.
Chaos Alligood et al. y x s y x u 2 3 3 ê ê V ê ê V vetores : Auto 1 0 1-3 x 1 0 0) (0, Df 0) sela :(0, de Ponto x x y y x 0 x x x = + = λ = ± = = = + r r Variedades da Equação de Duffing
Variedades do Mapa de Hénon Ponto de sela : (0.94, 0.94) r λs = 0.18 Vs = êx 5.71 ê r λ = 1.71 V = ê 0.58 ê u u x y y Chaos Alligood et al.
3 -Pontos Homoclínicos e Heteroclínicos Emaranhado homoclínico Sela caótica: conjunto caótico não atrativo
Definição : n f : mapa inversível de R r P : ponto de sela com variedades estável (S) r r r S, U é ponto homoclínico k r r -k r r lim f (r) f (P) lim f (r) f (P) k k e instável (U) Órbita homoclínica : órbita de um ponto homoclínico Se S e U forem variedades de pontos de selas diferentes, ponto heteroclínico Órbita heteroclínica : órbita de um ponto heteroclínico Pontos homoclínicos são mapeados, por f em pontos homoclínicos. r é e f um -1,
Cruzamento de Variedades P: ponto de sela S: variedade estável U: variedade instável Ponto no cruzamento vai para P, quando t vai para P, quando t - Chaos Alligood et al.
Emaranhado Homoclínico Chaos Alligood et al.
S. Smale : mapa da ferradura, 1967 Pontos homoclínicos mapa da ferradura Conjunto de Cantor : formado pelos pontos mapa, para t > 0 e t < 0. hiperbólica que permanecem nesse
Construção de um Mapa da Ferradura r Área R em torno do ponto de sela P k r Iterar f (R) até encontrar um ponto homoclínico l r Iterar f (R) até encontrar esse ponto homoclínico Mapa f k + l Domínio :f Imagem :f (r) r l k = r Determinar R suficientemente pequena, k, l não grande demais. Procurar esticamento e contração uniformes. Chaos Alligood et al.
Definições : Variedades estável e instável se cruzam transversalmente elas se interceptam com um ângulo positivo entre elas. (Se elas apenas se tangenciam no ponto homoclínico, elas não se cruzam) se Teorema : f : difeomorfismo no plano r P : ponto fixo de sela Variedades estável e instável se cruzam Há um mapa da ferradura hiperbólico transversalmente para iterações de f.
Cruzamentos transverso e não transverso Chaos Alligood et al.
Chaos Alligood et al.
4 -Crises Parâmetros críticos Pequena alteração do parâmetro próxima ao valor crítico mudança abrupta no atrator Discussão das alterações dinâmicas envolvidas
Três Tipos de Crise com Atratores Caóticos Destruição do atrator caótico que colide com órbita periódica na fronteira da sua bacia. Crise de fronteira. Tamanho do atrator caótico aumenta por colidir com órbita periódica no interior da sua bacia. Crise interior. Dois ou mais atratores se fundem ao colidirem simultaneamente com órbita na fronteira das suas bacias. Crise de fusão de atratores.
Evolução Pós Crise Tempo Característico Para Cada Tipo de Crise Crise de fronteira Duração do transiente caótico após a destruição do atrator caótico. Crise interior Tempo de visita intermitente (bursts) à região que o atrator ocupava antes do seu crescimento. Crise de fusão de atratores Tempo de permanência intermitente na região dos atratores originais.
Atrator Caótico do Mapa de Ikeda R + C2 ( x cos F (x, y) = C2 ( x sen τ + - C3 τ = C1 + 2 2 1+ x + y C 1,C 2,C 3, R parâmetros τ - y sen y cos τ ) reais τ ) Chaos Alliggod et al.
Crise do Atrator de Ikeda Chaos Alligood et al.
Teorema (lema lambda) f : difeomorfi smo r P : ponto de sela Curva cada limite L ponto de cruza da f n n > 0 variedade variedade (L). no plano estável instável transversalmente r de P é um ponto Demonstração em Palis, de Melo, Springer, 1982 Chaos Alligood et al.
Crise Interior: colisão do atrator caótico com a variedade estável da órbita periódica (p=5) Variedade estável da órbita periódica entra na bacia do atrator Caótico. Chaos Alligood et al.
Antes da crise: cada ramo da variedade instável vai para um ramo do atrator. Depois da crise: as duas partes preenchem o atrator. Chaos Alligood et al.
Alteração Dinâmica Crise interior do mapa de Hénon Chaos Alligood et al.
Transiente Caótico Crise de Fronteira Variedade estável não está na bacia do atrator caótico. Chaos Alligood et al.
Crise de Fusão de Atratores Circuito de Chua Atrator penetra na bacia de atração do ponto fixo Chaos Alligood et al.
5 Bacias de Wada
Chaos Alligood et al.
Chaos Alligood et al.
6 -Evidências experimentais de Crises Laboratório de Fenômenos Não Lineares Principais autores dos trabalhos iniciais: J. C. Sartorelli R. D. Pinto W. M. Gonçalves M. S. Baptista Pesquisas posteriores, desses e vários outros pesquisadores.
Esquema do Equipamento Chaos Alligood et al.
Rota para o Caos Mapa de Retorno do intervalo de tempo entre duas gotas Chaos Alligood et al.
Diagrama de Bifurcação (Intervalos de tempo entre duas gotas) Chaos Alligood et al.
Mudança de Atrator (Crise interior indicada por I no diagrama de bifurcação) Chaos Alligood et al.
Crise de Fronteira (indicada por B no diagrama de bifurcação) Atrator caótico Atrator com periodo 5 Chaos Alligood et al.
Transição caos periódico Chaos Alligood et al.
Diagrama de Bifurcações Ponto fixo ciclo limite caos Mudanças no atrator caótico
Transiente Caótico Ponto de Sela Variedades
Ponto vermelho: sela Linha azul: variedade instável Linha verde: variedade estável Transição Fig. e Fig. f atrator cruza variedade estável e sofre expansão
Duas Crises Interiores a) antes da primeira crise b) c) entre primeira e segunda crise d) após segunda crise
Sucessão de Regimes Crises Interiores
7 -Evidências de Crises
Transiente Caótico
Transiente Caótico do Mapa de Ikeda Ponto inicial na bacia do atrator caótico. A partir da iteração 84435, a órbita deixa o atrator caótico. p > p :parâmetro de controle p c p c :parâmetro crítico
Esquema da Tangência Heteroclínica Crise de fronteira Atrator atinge a fronteira da bacia. p = p c tangencia Variedade instável de A variedade estável de B p < dessas variedades p > p p c c dessas variedades Não há cruzamento Há cruzamento
Variação do Transiente X Parâmetro Crítico Distribuição de τ (duração do transiente para um ponto inicial) -τ T e P ( τ) T T :duração média para um conjunto de pontos iniciais Duração média do T ( p - p γ :expoente crítico c ) γ transiente
Crise de Fronteira Mapa Quadrático x n + 1 = C - x 2 n ( Mapa logístico 1 < r < 4 ) ; -1/4 < C < x n + 1 = r x n 2 (1- x n )
Esquema da Crise de Fronteira Bandas caóticas separadas do ponto fixo instável de periodo 3. Bandas caóticas superpostas ao ponto fixo instável de periodo 3.
Crise de Fronteira Mapa Quadrático x n + 1 = C - x 2 n ; -1/4 < C < 2 Colisão entre órbita Instável e atrator caótico ( Mapa logístico 1 < r < 4 ) x n + 1 = r x n (1- x n )
2 x + 1 = p - x n x 0 n = 0
Tangência Heteroclínica / Homoclínica
Esquema da Tangência Heteroclínica (a) Crise de fronteira Atrator atinge a fronteira da bacia. p = p c tangencia Variedade instável de A variedade estável de B p < dessas variedades p > p p c c dessas variedades Não há cruzamento Há cruzamento
Transiente Caótico do Mapa de Ikeda Ponto inicial na bacia do atrator caótico (antes da crise). A partir da iteração 84435, a órbita deixa o atrator caótico. p > p :parâmetro de controle p c p c :parâmetro crítico
A = 0.85 B = -0.9 κ = 0.4 p variando em torno de p-crítico = 7.26884894...
Variação do intervalo de tempo entre bursts sucessivos X Parâmetro Crítico Distribuição de τ (duração do intervalo para um ponto inicial) -T τ e P ( τ) τ τ :duração média para um conjunto de pontos iniciais Duração média do intervalo de tempo τ ( p - p c γ :expoente crítico ) γ
Duração Média dos Intervalos entre Bursts Crise heteroclínica
8 Evidência Experimental de Crise Convecção de Rayleigh-Bénard
Equação de Navier-Stokes r dv r r r ρ = F p + µ 2 v dt dt dt = κ 2 T Equação de Condução do Calor Equação da continuidade ρ r r + ρv = t ( ) 0
Equações de Lorenz dx dt dy dt = σ ( X Y) = rx Y XZ dz dt = XY bz
X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não há movimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução. X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária. Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente. Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente.
Atrator de Lorenz z σ = 10 b = 8/3 r = 28
Evolução da Variável Z Atrator Caótico z t
Atratores Periódicos z r=165 t z r=166 t
Rota para o Caos Intermitência r=166,1 r=166,2
r=166,4 r=166,6
r=166,8
r=165 Análise Espectral Atrator Periódico
r=166,2 Análise Espectral Atrator Quase-Periódico
r=166,8 Análise Espectral Atrator Caótico
Intermitência no Sistema de Lorenz Fluxos laminar turbulento
Intermitência no Sistema de Lorenz Fluxos laminar turbulento
Intermitência no Sistema de Lorenz Transição irregular entre o regime laminar e o trubulento
Variação de Parâmetro de Controle Várias rotas para o caos. Uma rota: caos precedido de órbita homoclínica. Outra rota: atrator caótico precedido de intermitência. Intermitência = pré-turbulência Estudo da origem da turbulência
Sistema de Lorenz x = - σ y z = = - x x y x y - + σ y + r x - b z y Variáveis : x, y, z espaço de Parâmetros de controle: σ, r, b fase tridimensional
Atratores do Sistema de Lorenz Chaos Alligood et al.
Pontos fixos : O (x, C ( C ( - y, z) b (r -1), = b (r -1), (0, 0, 0) - b (r -1), b (r -1), r -1) r -1) b = 8/3 σ = 10 r > 0 Estabilidade do ponto O é determinada pelos auto - valores λ da matriz jacobiana - σ λ r 0 σ -1 λ 0 0 0 - b λ = 0 Ponto O estável no intervalo 0< r < 1, pois λ i < 0 r > 1 r s > r > 1 Ponto O instável Pontos C e C λ1 > 0 λ 2, 3 < 0 estáveis, λ 1, 2, 3 var iedade var iedade reais instável uni dim ensional estável bi dim ensional
> > < = > = = < λ λ > > > > persiste) caótico (atrator sela de pontos C e C 24.74 r C C e com atratores (coexiste caótico atrator 24.06 r caótico transiente 24.06 r caos e transiente caos 13.93 r r homoclínicas Órbitas 13.93 r r atratores C e C 0 Re complexos, r r r O ponto do estável bidimensional variedade pela separadas atração Bacias atratores C e C 1 r r 0 o 2 1, 2 1, s 0 s
Origem do Atrator Caótico de Lorenz a) O ponto fixo estável b) O instável; C, C` estáveis c) O instável, C, C` estáveis d) Idem e) Órbita homoclínica f) Atrator caótico Chaos Ott