Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes

Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Saulo Dornellas Universidade Federal do Vale do São Francisco Juazeiro - BA Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 1 / 44

Análise do Lugar da Raízes A resposta transitória depende da localização dos pólos de malha fechada Como os pólos de malhada fechada se movem no plano-s à medida que o ganho de malha varia? Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 2 / 44

Análise do Lugar da Raízes Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica Método do Lugar das Raízes: permite que as raízes da equação característica sejam representados graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 3 / 44

Método do Lugar da Raízes C(s) R(s) = G(s) 1+G(s)H(s) Equação característica: Condição angular 1+G(s)H(s) = 0 G(s)H(s) = 1 (G(s)H(s)) = ±180 (2k+1) (k = 0,1,2,...) Condição de módulo G(s)H(s) = 1 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 4 / 44

Método do Lugar da Raízes Lugar das raízes Lugar dos pontos no plano-s que satisfaz a condição angular Considere G(s)H(s) G(s)H(s)= K(s+z 1)(s+z 2 )...(s+z m ) (s+ p 1 )(s+ p 2 )...(s+ p n ) onde k > 0 é o ganho Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 5 / 44

Passos para obtenção do Lugar das Raízes e Exemplo 1 Localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano-s 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real 3 Determinar as assíntotas do lugar das raízes 4 Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixo real 5 Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo (ou de chegada a um zero complexo) do lugar das raízes 6 Determinar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixo imaginário 7 Obter uma série de pontos de teste na região próxima à origem do plano-s e esboçar o lugar das raízes 8 Determinar os pólos de malha fechada Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 6 / 44

1. Localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano-s Os ramos se iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta (finitos ou infinitos) O lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 7 / 44

Exemplo Considere o sistema G(s)H(s) = K s(s+1)(s+2) -2-1 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 8 / 44

2. Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real Os pólos e zeros complexos de malha aberta não influenciam os trechos do lugar das raízes no eixo real Se o número de pólos reais e zeros reais à direita do ponto de teste for ímpar, então o ponto de testes pertence ao lugar das raízes Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 9 / 44

Exemplo -2-1 s (s)+ (s+1)+ (s+2) = 0 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 10 / 44

Exemplo -2-1 s (s)+ (s+1)+ (s+2) = 180 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 11 / 44

Exemplo -2 s -1 (s)+ (s+1)+ (s+2) = 360 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 12 / 44

Exemplo s -2-1 (s)+ (s+1)+ (s+2) = 3 180 = 180 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 13 / 44

Exemplo -2-1 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 14 / 44

3. Determinar as assíntotas do lugar das raízes Ângulo das assíntotas G(s)H(s) = K(s+z 1)(s+z 2 )...(s+z m ) (s+ p 1 )(s+ p 2 )...(s+ p n ) ±180 (2k+1) n m (k = 0,1,2,...) Ponto de interseção das abscissas no eixo real (p 1 + p 2 +...+ p n ) (z 1 + z 2 +...+z m ) n m Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 15 / 44

Exemplo Ângulo das assíntotas G(s)H(s) = K s(s+1)(s+2) ±180 (2k+1) 3 0 = ±60 (2k+1) (k = 0,1,2,...) Ponto de interseção das abscissas no eixo real (0+1+2) (0) = 1 3 0 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 16 / 44

Exemplo Assíntotas 60-1 60 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 17 / 44

4. Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixo real -2-1 Ponto de partida Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 18 / 44

4. Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixo real Exprimir K em função de s na equação característica Os pontos de partida e os de chegada do eixo real são raízes de Observação: dk ds = 0 Nem todas as raízes serão pontos de partida e chegada É necessário que pertençam ao lugar das raízes no eixo real Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 19 / 44

Exemplo Equação característica: G(s)H(s) = K s(s+1)(s+2) K s(s+1)(s+2) = 1 k = s3 3s 2 2s dk ds = 0 3s2 6s 2 = 0 s = 1 ± 3 3 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 20 / 44

Exemplo 3 s= 1± 3-2 -1 1 3 3 1+ 3 3 Somente 1+ 3 3 pertence ao lugar das raízes no eixo real Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 21 / 44

5. Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo (ou de chegada a um zero complexo) do lugar das raízes Tomar um ponto de teste nas proximidades de um pólo complexo (ou zero complexo) As contribuições angulares de todos os pólos e zeros devem satisfazer a condição angular Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 22 / 44

Exemplo φ 1 ( θ 1 + θ 2) = ±180 (2k+1) ou θ 1 = 180 θ 2 +φ 1 = 180 θ 2 +φ 1 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 23 / 44

6. Determinar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixo imaginário Duas maneiras: Critério da estabilidade de Routh k? Fazendo s = jω na equação característica, e resolver para ω e k Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 24 / 44

Exemplo Equação característica K s(s+1)(s+2) + 1 = 0 s3 + 3s 2 + 2s+k = 0 Critério de Routh: s 3 1 2 s 2 3 K s 1 2 K 3 0 s 0 K O lugar das raízes pode cruzar o eixo imaginário para Usando a equação auxiliar da linha s 2 3s 2 + K = 0 3s 2 + 6 = 0 s = ± j 2 2 K 3 = 0 K = 6 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 25 / 44

Exemplo Fazendo s = jω na equação característica ( jω) 3 + 3( jω) 2 + 2( jω)+k = 0 jω 3 3ω 2 + 2 jω+k = 0 { ω 3 { + 2ω = 0 ω = 0,± 2 3ω 2 + K = 0 K = 3ω 2 Para ω = 0, K = 0 é inadmissível Para ω = ± 2, K = 6 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 26 / 44

Exemplo j 2 j 2 Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 27 / 44

7. Obter uma série de pontos de teste na região próxima à origem do plano-s e esboçar o lugar das raízes Duas maneiras: Manualmente, observando-se a condição angular Através do MatLab (função rlocus) Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 28 / 44

Exemplo Gráfico do lugar das raízes de G(s) = k/[s(s+1)(s+2)] 2 1.5 j 2 1 Eixo imaginário 0.5 0-0.5 1+ 3 3-1 -1.5 j 2-2 -3-2.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 Eixo real Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 29 / 44

8. Determinar os pólos de malha fechada A condição de módulo permite encontrar o valor de K relativo a qualquer ponto específico do lugar das raízes Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 30 / 44

Exemplo Gráfico do lugar das raízes de G(s) = k/[s(s+1)(s+2)] 2 1.5 k = 6 1 Eixo imaginário 0.5 0-0.5 k = 2 3 3-1 -1.5 k = 6-2 -3-2.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 Eixo real Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 31 / 44

Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Requisitos dos sistemas de controle Requisitos da resposta transitória Requisitos em regime permanente Projeto pelo Lugar das raízes Alterar o lugar das raízes pela adição de pólos e zeros na função de transferência de malha aberta O novo lugar das raízes deve passar pelos pólos de malha fechada desejados Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 32 / 44

Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Ajustar o ganho Nem sempre permite o desempenho desejado Melhora o regime permanente, mas torna o sistema pouco estável, ou até mesmo instável Reprojetar o sistema Modificação de sua estrutura Adição de um compensador Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 33 / 44

Esquemas de compensação Compensação em série Compensação em paralelo Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 34 / 44

Efeitos da adição de pólos Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 35 / 44

Efeitos da adição de zeros Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 36 / 44

Compensador avanço de fase s+ 1 T G c (s) = K c s+ 1 αt onde α < 1 e consequentemente p > z Técnica: Considere um sistema = K c s+z s+ p instável ou estável, mas com resposta transitória insatisfatória Modificar o lugar das raízes para que um par de pólos dominantes de malha fechada passe pela posição desejada no plano-s Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 37 / 44

Compensador atraso de fase onde β > 1 Técnica: Considere um sistema G c (s) = ˆK c s+ 1 T s+ 1 βt com resposta transitória satisfatória e com resposta em regime permanente insatisfatória Aumentar o ganho de malha aberta sem alterar sensivelmente as características da resposta transitória Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 38 / 44

Compensador atraso de fase Para evitar uma alteração significativa do lugar das raízes A contribuição angular do compensador atraso de fase deve ser pequena ( ) s+ 5 1 T < s+ 1 < 0 βt É possível alocar o pólo e o zero próximos um do outro e da origem do plano-s. Para um pólo dominante de malha fechada s = s 1, G c (s 1 ) = ˆK c s 1 + 1 T s 1 + 1 βt = ˆK c s 1 + 1 T s 1 + 1 βt = ˆK c s 1 + 1 T s 1 + 1 βt = ˆK c Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 39 / 44

Compensador atraso de fase Fazendo ˆK c = 1 As características da resposta transitória não serão alteradas O ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode ser aumentado por um fator β > 1 Sistema não compensado Sistema compensado K v = lim s 0 sg(s) ˆK v = lim s 0 sg c (s)g(s) = lim s 0 G c (s)k v = ˆK c βk v Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 40 / 44

Compensador atraso e avanço de fase onde γ > 1 e β > 1 G c (s) = K c ( s+ 1 T 1 s+ γ T 1 )( ) s+ 1 T 2 s+ 1 βt 1 Consideramos K c pertencente à porção de avanço de fase Técnica: Melhorar tanto a resposta transitória quanto a resposta em regime permanente Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 41 / 44

Compensação em paralelo Na compensação em série C(s) R(s) = G c (s)g(s) 1+G c (s)g(s)h(s) Equação característica 1+G c (s)g(s)h(s) = 0 Dados G(s) e H(s), o problema de projeto é a determinação de G c (s) Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 42 / 44

Compensação em paralelo Na compensação em paralelo C(s) R(s) = G 2 (s) 1+G 2 (s)g c (s) G 2 (s) G 1 (s) 1+G 1 (s) 1+G 2 (s)g c (s) H(s) = G 1 (s)g 2 (s) 1+G 2 (s)g c (s)+g 1 (s)g 2 (s)h(s) Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 43 / 44

Compensação em paralelo Equação característica G 2 (s) 1+G 2 (s)g c (s)+g 1 (s)g 2 (s)h(s) = 0 1+G c (s) G 1 (s)g 2 (s)h(s) = 0 Fazendo Temos 1+G c (s)g f (s) = 0 G f (s) = G 2 (s) G 1 (s)g 2 (s)h(s) O projeto de G c (s) é o mesmo que no caso da compensação em série Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 44 / 44