Engenaria da Computação º / 5 Semestre RESSTÊNC DOS TERS POSTL 0 Prof Daniel Hasse Características Geométricas de Figuras Planas SÃO JOSÉ DOS CPOS, SP
5 CRCTERÍSTCS GEOÉTRCS DE FGURS PLNS O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de arras, como de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas camadas tensões, as quais se distriuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se conecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que formam essas seções transversais. Figura aaio ilustra uma arra reta de seção transversal constante, camada arra prismática. O lado da arra que contém o comprimento (L) e a altura () é camado de seção longitudinal e o que contém a largura () e a altura () é camado de seção transversal. L L seção longitudinal seção transversal Figura 5. Barra prismática s principais propriedades geométricas de figuras planas são: Área () omento de nércia () omento estático () ódulo de resistência (W) Centro de gravidade () Raio de giração (i) 5. Área área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos compleos, a área pode ser otida aproimando-se a forma real pela justaposição de formas geométricas de área conecida (retângulos, triângulos, etc). unidade de área é [L] (unidade de comprimento ao quadrado). área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e das tensões de transversais ou de corte.
5. omento Estático nalogamente à definição de momento de uma força em relação a um eio qualquer, defini-se omento Estático () de um elemento de superfície como o produto da área do elemento pela distância que o separa de um eio de referência. d e d omento Estático de uma superfície plana é definido como a somatória de todos os momentos estáticos dos elementos de superfície que formam a superfície total. d e d unidade do omento Estático é área é [L] [L] [L]. O omento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que ocorrem em uma peça sumetida à fleão. O omento Estático de uma superfície composta por várias figuras conecidas é a somatória dos omentos Estáticos de cada figura. Eemplo: determinar o omento Estático das figuras aaio d d,,,, +, +, Elemento vazado,,
5. Centro de Gravidade Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para aio. resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. esmo mudando a posição do corpo aplicando-le uma rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da gravidade. sto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, cama-se Centro de Gravidade (). Portanto, atração eercida pela Terra sore um corpo rígido pode ser representada por uma única força P. Esta força, camada peso do corpo, é aplicada no seu aricentro, ou cento de gravidade (). O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da superfície. O centro de gravidade de uma superfície plana é, por definição, o ponto de coordenadas: d d onde: distância do da figura até o eio escolido aritrariamente; distância do da figura até o eio escolido aritrariamente; momento estático da figura em relação ao eio ; momento estático da figura em relação ao eio ; área da Figura. Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras por: O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é epresso i n i n n i n n n i i i n i i i i
Centro de gravidade de algumas figuras planas retângulo triângulo círculo 0 0 Semicírculo r r R π r π ¼ de círculo trapézio R π r R π r π r π a + a + a + a +
Eemplos. Determinar o centro de gravidade do retângulo em relação ao eio que passa pela sua ase. d d Área do retângulo O omento Estático do retângulo em relação ao eio é somatória do produto de cada elemento de área d pela sua distância em relação ao eio. omento Estático Centro de Gravidade d d d 0 0 d 0. Determinar o da Figura. (medidas em centímetros) ( 8 5) ( ) ( ) 8 5,5 7,5 0,,,,, 7,5 0,5, ( 8 5) ( ) ( ) 900 0 900 0 8 8 8 7,
. Determinar o centro de gravidade da figura acurada. ( 8) ( ) 9 9 87 5,9 9,, 8 9,, 57 8 95 8 57 87 5, 9. Determinar o centro de gravidade da figura acurada (medidas em centímetro). Figura acurada pode ser o resultado de um retangulo ( ) do qual foram retirados um triângulo e um semicírculo. 5,5 Área da figura R T [ ] ( 0,5 π r ) ( ) 0,5 ( ) 5,7 SC omento Estático R, T, 0,5 0,5 π SC, π, 7 R, T, CC,, 5,7 7 Coordenada do centro de gravidade 7,, 5,7
nalogamente, determina-se a coordenada. 8 R, T, SC, π 8 R, T, SC, 9 50, 7,7 Coordenada do centro de gravidade 7,7, 57 5,7 5. omento de nércia O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eio de referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eio de referência, elevadas ao quadrado. d d d unidade do momento de inércia é [L] [L] [L]. O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência.
Propriedade: O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe. +,, +, Eemplo Determinar o momento de inércia da superfície acurada em relação ao eio que passa pelo. (medidas em centímetros) 8 ( 8 8 ).0 5.5 Translação de eios O momento de inércia de uma superfície em relação a um eio qualquer é igual ao momento de inércia em relação ao eio que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da área () pelo quadrado da distância que separa os dois eios. + + onde: momento de inércia da figura em relação ao eio. momento de inércia da figura em relação ao eio. momento de inércia da figura em relação ao eio que passa pelo da figura. momento de inércia da figura em relação ao eio que passa pelo da figura. distância do eio até o eio. distância do eio até o eio.
O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que estão sujeitas as peças sumetidas à fleão. s formulações acima podem ser epressas em função do momento estático: + + + Eemplo: Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eios: a), passando pela ase inferior. ), passando pelo. a) d.d d d d 0 0 ) +/ / d / -/ d + 8 8 8
Utilizando a formulação de mudança de eios + / / + omento de inércia do retângulo em relação ao seu, + + 5. ódulo Resistente Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eios que contém o como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eio que passa pelo da figura e a distância máima entre o eio e a etremidade da seção estudada. sup W ma inf W ma esq dir onde: momento de inércia da peça em relação ao da figura, distância entre o eio do da figura e a etremidade da peça. unidade do módulo resistente é [ ] [ L] L. O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças sumetidas à fleão. [ L] Para o retângulo, tem-se: / / W
5.7 Raio de Giração Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície. unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado para o estudo da flamagem. i Características Geométricas de algumas figuras conecidas Quadrado Figura omento de nércia omento Resistente W Raio de Giração i Retângulo W i Triângulo W i Círculo D πd W π D i D Círculo vazado D d ( D d ) π ( D d ) W π i D + d
Eemplo figura representa a seção transversal de uma viga T. Para a figura, determinar: a) o centro de gravidade; ) o momento de inércia em relação ao eio ; c) os módulos Resistentes superior e inferior; d) o raio de giração. (medidas em centímetros) 5 sup inf Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém montar a seguinte taela: Figura () () () ( ) ( ) i ( ) i ( ) 8 7,5 9 57,7 8,7 8 Σ,7 Centro de gravidade (), 5 Como o eio de referência passa pela ase da figura, então inf,5 e sup,5. Na coluna i ( ) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a epressão /. Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia para eio de referência para determinar a sua somatória. translação de eios é feita por meio da epressão: Otido o momento de inércia total em relação ao eio, deve-se agora proceder à translação para o eio que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte epressão: +,7 O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é 0,55 Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 0,55 W,, sup sup,5 Finalmente, determina-se o raio de giração. 0,55 W,, 8 inf inf,5 i i 0,55, 98