Unidade II MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE Profa. Maria Ester Domingues de Oliveira
Receita Total A receita é o valor em moeda que o produtor recebe pela venda de x unidades do produto produzido e vendido por ele.
Receita Total Consideremos uma empresa que produza e venda um determinado produto. Denominaremos que a variável x como representando a quantidade produzida e vendida Poderemos assim, definir Receita Total como sendo o valor em moeda que o produtor recebe pela venda de x unidades desse produto. Portanto, a receita é diretamente proporcional à quantidade vendida.
Receita Total É entendida como sendo o produto entre o preço de venda (p), pela quantidade vendida: F (x) = a.x R t = p.q Onde, p o preço por unidade de produto (constante) a ser vendido e q a quantidade produzida
Receita Total No caso da Receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é a que vimos no slide anterior, ou seja, Rt = p.q
Receita Total Como p > 0, o gráfico é do tipo: R R(q) = pq p.q q (quantidade)
Exemplo Se em uma produtora de cofres que vende seus produtos a R$ 150,00 cada, se não for vendida unidade alguma, a Receita será zero; Rt = p.q Rt = 150.0 =0 Se forem vendidas 100.000 unidades, o rendimento total (receita total) será15 milhões de reais: Rt = 150.100100 000 =15 000 000
Receita Total Vê-se então que a função receita pode ser uma função linear cujo gráfico é uma reta que passa pela origem e tem como declividade o preço de venda (por unidade).
Exemplo Se o preço de um relógio da marca W é de R$280,00, determine a receita total para venda de 22 relógios: Solução: Rt = p.q pq Rt = 280.22 Rt = R$ 6.160,00
Exemplo cont. Portanto, caso sejam vendidos 22 relógios ao preço de R$280,00 a unidade, teremos uma receita total equivalente à R$ 6.160,00 para o fabricante. Vamos ao gráfico: Começamos achando a origem dos eixos coordenados: Para p = 0 Rt = 0 Para q = 0 Rt = 0 Para q = 0 Rt = 0
Exemplo cont. Rt 6.160 22 q
Exemplo Um vendedor obteve R$ 600,00 pela venda de 20 unidades de um produto. Qual deveria ter sido o preço de venda para que a receita superasse em 30% a obtida? Rt = R$ 600,00 Q = 20 unidades Rt = p.q 600 = p.20 p= R$ 30,00 portanto, p= 30. 30% p= 30. 1,30 p= R$ 39,00
Exemplo Uma fábrica produz fogões cujo preço de venda é de R$ 345,00. Naquele mês foram vendidas 25 unidades do produto. Qual a receita obtida neste mês? q = 25 unidades p= R$ 345,00 Rt = p.q Rt = 345.25 Rt = R$ 8625,00
Interatividade Um vendedor obteve R$ 800,00 pela venda de 10 unidades de um produto. Qual deveria ter sido o preço de venda para que a receita superasse em 20% a obtida? a) p= R$ 96,00 b) p= R$ 75,00 c) p= R$ 16,00 d) p= R$ 45,00 e) p= R$ 22,00
Custo Total Os custos de empresas são classificados em duas categorias: Custos variáveis (C v ) e Custos fixos (C F ) Os custos variáveis são aqueles que variam com a produção e que incluem fatores como mão-de-obra, matéria prima utilizada, gastos promocionais, etc. C v = a.q Onde, a custo unitário de produção q quantidade produzida
Custo Total C v Cv = a.q 0 q
Custo Total Os custos fixos permanecem constantes em todos os níveis de produção, ou seja, não dependem da quantidade produzida, e estes incluem fatores como aluguel, instalação, equipamentos, etc. Ele permanece constante, independentemente de volume de produção ou de venda. A função é, portanto, constante, representada por: C F = b
Custo Total C F b C F 0 q
Custo Total Os custos variáveis são aqueles que variam com a produção e que incluem fatores como mão-de-obra, matéria prima utilizada, gastos promocionais, etc, e o custo fixo é constante, portanto: C t = C v + C F Ou seja, C t = a.q + b
Custo Total Nesse caso, o custo total é uma função (afim) da quantidade produzida e seu gráfico é uma reta com declividade positiva (c). C Cv Cf
Exemplo O custo médio (custo unitário) de produção de um determinado bem é de R$ 22,00 e o custo fixo associado à produção é de R$ 650,00 para quantidades variáveis na faixa de zero a 500 unidades. Identificar: a) A função do Custo Total b) O custo total para uma produção de 445 unidades de produto
Exerc.Cont. a) A função do Custo Total C t = C v + C F C t = a.q + b C t = 22.q + 650 b) O custo total para uma produção de 445 unidades de produto C t = 22.q + 650 C t = 22. 445 + 650 C t = R$10.440,00 00
Exercício Um determinado produto é vendido por R$ 300,00 a unidade. O custo fixo é de R$ 16.000,00 e o custo de produção de cada produto X é de R$ 120,00. Expresse a função Custo Total de fabricação em termos do número de produtos X fabricados. C t = C v+ C F C v = a.q C v = 120.q C F = 16.000
Exercício cont. Portanto, C t = a.q + b C t = 120.q +16.000
Interatividade O custo médio (custo unitário) de produção de um determinado bem é de R$ 30,00 e o custo fixo associado à produção é de R$ 400,00 para quantidades variáveis na faixa de zero a 500 unidades ( 0<q<500) Identificar: I. A função do Custo Total II. O custo total para uma produção de 350 unidades de produto a) I. C t = 400.q + 30 ; II. C t = 2400,00 b) I. C t = 30.q + 400 ; II. C t = 10.900,00 c) I. C t = 15.q + 500 ; II. C t = 8200,00 d) I. C t = 20.q + 300 ; II. C t = 2400,00 e) I. C t = 15.q + 400 ; II. C t = 3300,00
Solução I. A função do Custo Total C t = C v + C F C t = a.q + b C t = 30.q + 400 II. O custo total para uma produção de 350 unidades de produto C t = 30.q + 400 C t = 30.350 350 + 400 C t = 10.900,00
Ponto Crítico (Break Even Point) O ponto P de intersecção das curvas C (Custo Total) e R (Receita) referem-se ao nível de atividade da empresa em que ela não obtém nem Lucro nem Prejuízo, ou seja, a receita é igual ao custo total. Ele representa também a quantidade na qual o produtor está para romper o equilíbrio isto é, a quantidade para a qual existe um rendimento suficiente apenas para cobrir os custos.
Ponto Crítico (Break Even Point) A empresa fará, certamente, todo o esforço necessário para ultrapassar esse ponto, gerando, conseqüentemente, uma parcela de lucro, rompendo essa situação. R t = C t
Ponto Crítico (Break Even Point) Neste ponto onde o lucro é nulo onde a receita total é igual ao custo também denominamos de Ponto de Nivelamento.
Ponto Crítico (Break Even Point) No caso de funções lineares (retas), o ponto PR delimita duas regiões: uma à esquerda, representando o Prejuízo e uma à direita, representando o Lucro
Ponto Crítico (Break Even Point) A abscissa qmax representa a quantidade máxima de produção da empresa, ou seu nível de atividade máxima (Unidades fabricadas e / ou Vendidas) para a estrutura de custo considerada. É importante notar que quanto mais próximo PR estiver da origem, menor será a quantidade a ser fabricada (ou vendida) para que a empresa passe a operar com lucro.
Ponto Crítico (Break Even Point) $ R PR C PR (q R;C(q R ) = R (q R ) ) qr qmax
Exercício Em uma empresa, o custo total é dado pela função Ct = 600.000+ 15.000q e a receita total pela função Rt = 18.000q. Qual o ponto crítico dessa empresa? Rt = 18.000q Ct = 600.000 + 15.000q R t = C t 18.000q = 600.000 + 15.000q 3.000q = 600.000 q= 200
Exerc. Cont. O ponto crítico desta empresa será de 200 unidades. Se a empresa reorganizar uma quantidade q> 200, terá lucro positivo e se q < 200, terá lucro negativo, ou seja, prejuízo. No ponto crítico, q = 200, não terá lucro nem prejuízo.
Exercício Um ventilador é vendido por R$ 120,00 a unidade. Seu custo fixo é R$10.000,00 por mês e o custo por unidade é R$80,00. Qual o ponto de nivelamento? C t = C v+ C F C t = a.q + b C t = 80q + 10.000 R t = 120.q R t = C t
Exercício cont. 120.q = 80q + 10.000 40q = 10.000 q= 250 O ponto crítico desta empresa será de 250 unidades de ventilador vendidas. Se a empresa vender uma quantidade q> 250, terá lucro positivo e se q < 250, terá lucro negativo, ou seja, prejuízo. No ponto crítico, q = 250, não terá lucro nem prejuízo.
Interatividade Em uma empresa, o custo total é dado pela função Ct = 80.000+ 10.000q e a receita total pela função Rt = 12.000q. Qual o ponto crítico dessa empresa? a) q= 60 unidades b) q= 45 unidades c) q= 20 unidades d) q= 40 unidades e) q= 80 unidades
Lucro Total Dizemos função Lucro Total, a diferença entre a Receita Total e o Custo Total. L t = R t -C t Em uma análise econômica, se R t > C t, teremos lucro positivo.
Exercício O custo unitário de produção de um bem é R$ 5,00 e o custo fixo associado à produção é R$ 30,00. Se o preço da venda do referido bem é R$ 6,50 determinar: a) A função custo total; b) A função receita; c) A função lucro; d) O ponto de nivelamento; e) A produção necessária para um lucro de R$ 120,00. 00
Exercício cont. Solução: a) A função custo total; C t = C v + C F C t = a.q + b C t = 5q + 30 b) A função receita; R t = 6,50.q
Exerc. Cont. c) A função lucro; L t = R t C t L t = 6,50.q (5q + 30) L t = 1,50.q 30 d) )O ponto de nivelamento; R t = C t 6,50.q = 5q + 30 1,5q = 30 q= 20 unidades d
Exerc. Cont. e) A produção necessária para um lucro de R$ 120,00. L t = 1,50.q + 30 120 = 1,50q + 30-1,50q = -120+ 30-1,50q = - 90 q = 60 unidades Se a empresa vender uma quantidade q = 60, terá lucro positivo de R$ 120,00
Exercício O custo médio (custo unitário) de produção de um determinado bem é de R$ 12,00 e o custo fixo associado à produção é de R$ 60,00 para quantidades variáveis na faixa de zero a 1.000 unidades. Se o preço de venda na mesma faixa é de R$ 20,00/unidade, identificar: a) a função do Custo Total b) a função da receita total c) a função do lucro total d) o break even point e) a produção necessária para um lucro total de R$ 3.940,00
Exerc. Cont. a) a função do Custo Total C t = C v+ C F C v = a.q C v = 12.q C F = 60 Portanto, C t = a.q + b C t = 12.q +60
Exerc. Cont. b) a função da receita total Rt = p.q Rt = 20.q c) a função do lucro total L t = R t C t L t = 20.q (20.q +60) L t = 8q - 60
Exerc. Cont. d) o break even point R t = C t 20.q = 12.q +60 8.q = 60 q = 7,5, portanto, 8 unidades
Exerc. Cont. e) a produção necessária para um lucro total de R$ 3.940,00 L t = 8q -60 L t = R$ 3.940 3.940 = 8q -60-8q = - 60 3.940-8q = - 4000 q = - 4000 = 500-8 Portanto, 500 unidades
Exercício Um determinado produto é vendido por R$ 300,00 a unidade. O custo fixo é de R$ 16.000,00 e o custo de produção de cada produto X é de R$ 120,00. Expresse: a) a função do Custo Total b) a função da Receita total c) a função do Lucro total d) o break even point e) a produção necessária para um lucro total t de R$ 5.500,00500
Exercício cont. a) a função do Custo Total C t = C v + C F C v = a.q C v = 120.q C F = 16.000 Portanto, C t = a.q + b C t = 120.q +16.000
Exerc. Cont. b) a função da Receita total Rt = p.q Rt = 300.q c) a função do Lucro total L t = R t C t L t = 300.q (120.q + 6.000) L t = 180q -16.000
Exerc. Cont. d) o break even point R t = C t 300.q = 120.q +16.000 180q = 16.000 q = 88,9, portanto, 89 unidades
Exercício Cont. e) a produção necessária para um lucro total de R$ 5.500,00 L t = 180q -16.000 5.500 = 180q 16.000-180q = - 5.500500 16.000 180q = 5.500 + 16.000 180q = 21.500 q = 21.500 = 119,4 unidades, 180 portanto, 120 unidades, pois não podemos fabricar apenas parte de uma unidade.
Interatividade Um determinado produto é vendido por R$ 200,00 a unidade. O custo fixo é de R$ 12.000,00 e o custo de produção de cada produto X é de R$ 100,00. Expresse o break even point a) q = 100 unidades b) q = 110 unidades c) q = 115 unidades d) q = 120 unidades e) q = 140 unidades
Solução a função da Receita total Rt = p.q Rt = 200.q Função custo total C t = 100.q +12.000 o break even point R t = C t 200.q = 100.q +12.000 100q = 12.000 q = 120 unidades
ATÉ A PRÓXIMA!