Conceitos de viscoelasticidade na modelação da fluência em estruturas mistas aço-betão

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1 Miguel Alexandre Cardador Tareco Licenciado em Engenharia Civil Conceitos de viscoelasticidade na modelação da fluência em estruturas mistas aço-betão Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil - Perfil Estruturas Orientador: Doutor Rodrigo de Moura Gonçalves Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa Júri: Presidente: Arguente: Vogal: Doutor Rui A. Lopes Baltazar Micaelo Doutora Zuzana Dimitrovová Doutor Rodrigo de Moura Gonçalves Maio de 2014

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3 i Copyright Miguel Alexandre Cardador Tareco, FCT/UNL e UNL A Faculdade de Ciências e Tecnologia e a Universidade Nova de Lisboa tem o direito, perpétuo e sem limites geográficos, de arquivar e publicar esta dissertação através de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios científicos e de admitir a sua cópia e distribuição com objetivos educacionais ou de investigação, não comerciais, desde que seja dado crédito ao autor e editor.

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5 Resumo O presente trabalho aborda a teoria da viscoelasticidade linear e a sua implementação computacional, no contexto da modelação dos efeitos diferidos em estruturas mistas aço-betão. São estudados os dois modelos matemáticos principais que permitem modelar os fenómenos viscoelásticos, os modelos generalizados de Maxwell e de Kelvin. São obtidos e analisados os algoritmos incrementais correspondentes e, em particular, é apresentado o método de obtenção dos parâmetros destes modelos que permitem modelar o comportamento do betão. Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, obtêm-se os algoritmos para o cálculo incremental da fluência e relaxação numa coluna mista aço-betão, recorrendo aos dois modelos estudados. Uma vez que se pode considerar que o aço não tem comportamento viscoelástico, são analisados os efeitos da relaxação e da fluência do betão na resposta da estrutura mista e dos dois materiais que a compõem. Palavras chave: Viscoelasticidade; Modelo generalizado de Maxwell; Modelo generalizado de Kelvin; Estruturas mistas aço-betão; Fluência; Relaxação; iii

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7 Abstract The present work discusses the theory of linear viscoelasticity and its computational implementation, in the context of the modelling of time-dependent effects in steel-concrete composite structures. The main mathematical models that allow modelling viscoelastic phenomena are studied, namely the Maxwell and Kelvin chain models. The corresponding incremental algorithms are obtained and analysed and, in particular, the method for obtaining the parameters for modelling the concrete behaviour is presented. Using the Principle of Virtual Work, the algorithms for calculating the incremental creep and relaxation in a steel-concrete composite column are obtained, using both models. Since it can be assumed that the steel has no viscoelastic behavior, the creep and relaxation effects in the composite structure and in both materials are analysed. Keywords: Viscoelasticity; Maxwell chain model; Kelvin chain model; Steel-Concrete Composite structures; Creep; Relaxation; v

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9 Índice de Matérias Copyright Resumo Abstract Índice de Figuras Índice de Tabelas Lista de abreviaturas, siglas e símbolos i iii v xi xvii xix 1 Introdução Considerações gerais Objetivos Organização da tese Viscoelasticidade linear Introdução Noções fundamentais Fluência Relaxação Modelos clássicos Mola elástica linear Amortecedor viscoso linear Elemento de Maxwell Elemento de Kelvin Modelo sólido linear padrão - formato de Maxwell vii

10 viii ÍNDICE DE MATÉRIAS Modelo sólido linear padrão - formato de Kelvin Modelos generalizados Principio da correspondência Lei constitutiva integral Formulação geral do integral hereditário Aspetos algorítmicos Função de relaxação Função de fluência Algoritmo incremental da modelação pelo modelo generalizado de Maxwell Validação do algoritmo incremental do modelo generalizado de Maxwell - relaxação Validação do algoritmo incremental do modelo generalizado de Maxwell - fluência Algoritmo incremental da modelação pelo modelo generalizado de Kelvin Validação do algoritmo incremental do modelo generalizado de Kelvin - fluência Validação do algoritmo incremental do modelo generalizado de Kelvin - relaxação Modelação da viscoelasticidade no betão Modelação pelo modelo generalizado de Maxwell Modelação pelo modelo generalizado de Kelvin Aplicação e análise dos algoritmos Implementação numérica Modelação pelo modelo generalizado de Maxwell Modelação pelo modelo generalizado de Kelvin Estado da arte da modelação dos efeitos diferidos do betão em colunas/vigas mistas aço-betão Introdução Colunas mistas Comportamento de longo termo do betão Análise e modelação dependente do tempo Vigas mistas Comportamento de longo prazo do betão

11 ÍNDICE DE MATÉRIAS ix Análise e modelação dependente do tempo Exemplos de Aplicação Introdução Exemplo 1: coluna mista sujeita a esforço axial constante Modelo generalizado de Maxwell Modelo generalizado de Kelvin Exemplo 2: coluna mista sujeita a deslocamento imposto Modelo generalizado de Maxwell Modelo generalizado de Kelvin Exemplo 3: Influência do faseamento construtivo Conclusões e desenvolvimentos futuros Observações finais Conclusões finais Sugestões para desenvolvimentos futuros Referências bibliográficas 119 A Transformadas de Laplace 127 B Expressões básicas para a determinação do coeficiente de fluência segundo o EC2 129

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13 Índice de Figuras 2.1 a) Representação gráfica da fluência; b) Representação gráfica da relaxação Deformação por fluência a diferentes tensões constantes Função de fluência para J 0 = MP a 1, J = MP a 1 e λ J = 2000 dias Relaxação de tensões para níveis diferentes de deformações impostas Função de relaxação para E 0 = MP a, E = MP a, e λ = 1000 dias Mola elástica linear Amortecedor linear Resposta do amortecedor à aplicação de uma tensão constante Elemento de Maxwell Esquema do teste de fluência-descarregamento num elemento de Maxwell Resposta do elemento de Maxwell a uma tensão constante e descarregamento Esquema do teste de relaxação num elemento de Maxwell Resposta do elemento de Maxwell a um teste de relaxação Elemento de Kelvin Esquema do teste de fluência no elemento de Kelvin Resposta do elemento de Kelvin a uma tensão constante e descarregamento Histórico de deformação aplicado ao elemento de Kelvin Ensaio de relaxação no elemento de Kelvin quando solicitado com o histórico de deformação da figura Modelo sólido linear padrão - formato de Maxwell xi

14 xii ÍNDICE DE FIGURAS 2.20 Função de relaxação do modelo sólido linear padrão no formato de Maxwell com E 1 = MP a, E 2 = MP a, e λ = 1000 dias Função de fluência do modelo sólido linear padrão no formato de Maxwell com E 1 = MP a, E 2 = MP a e λ = 1000 dias Modelo sólido linear padrão - formato de Kelvin Função de fluência do modelo sólido linear padrão no formato de Kelvin com E 1 = MP a, E 2 = MP a, e λ J = 1000 dias Função de relaxação do modelo sólido linear padrão no formato de Kelvin com E 1 = MP a, E 2 = MP a, e λ J = 1000 dias Modelos generalizados de Maxwell e Kelvin com elasticidade instantânea [63] Sobreposição de efeitos Rotina de implementação do algoritmo incremental para o caso simples de relaxação num sólido linear padrão no formato de Maxwell Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da tensão nos componentes; (b) Evolução da deformação nos componentes; Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da tensão nos componentes; (b) Evolução da deformação nos componentes; Rotina de implementação do algoritmo incremental para o caso da fluência num sólido linear padrão no formato de Maxwell Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Deformação Total; (b) Erro da deformação total Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da deformação nos componentes; (b) Evolução da tensão nos componentes Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Deformação Total; (b) Erro da deformação total

15 ÍNDICE DE FIGURAS xiii 2.36 Resposta do sólido linear padrão no formato de Maxwell a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da deformação nos componentes; (b) Evolução da tensão nos componentes Rotina de implementação do algoritmo incremental para o caso da fluência num sólido linear padrão no formato de Kelvin Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da deformação nos componentes; (b) Evolução da tensão nos componentes Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de fluência com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da deformação nos componentes; (b) Evolução da tensão nos componentes Rotina de implementação do algoritmo incremental para o caso da fluência num sólido linear padrão no formato de Kelvin Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Tensão total; (b) Erro da tensão total Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da tensão nos componentes; (b) Evolução da deformação nos componentes Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Tensão total; (b) Erro da tensão total Resposta do sólido linear padrão no formato de Kelvin a um teste de relaxação com passos de cálculo t = i (i 1) dias: (a) Evolução da tensão nos componentes; (b) Evolução da deformação nos componentes Rotina de implementação da função de fluência recomendada pelo EC Curva de fluência recomendada pelo EC2 com E = MP a, h 0 = 150 mm, RH = 80% e f cm = 38 MP a Rotina de implementação do algoritmo de determinação da função de relaxação a partir de dados de fluência

16 xiv ÍNDICE DE FIGURAS 2.50 Função de relaxação obtida a partir da função de fluência regulamentar do EC Rotina de implementação dos mínimos quadrados para o ajuste da expansão de Dirichlet do modelo generalizado de Maxwell à curva de relaxação regulamentar Rotina de implementação do algoritmo incremental do modelo generalizado de Maxwell para o caso da relaxação em função do número de termos da série de Dirichlet Comparação entre a curva obtida a partir do EC2 e a solução obtida através da cadeia de Maxwell com dois conjuntos de parâmetros: (a) Dados da Tab. 2.2; (b) Dados da Tab Erro cometido no ajuste da expansão de Dirichlet à curva regulamentar: (a) Expansão de Dirichlet com 5 termos; (b) Expansão de Dirichlet com 7 termos Evoluções da tensão nos elementos do modelo generalizado de Maxwell durante um ensaio de relaxação: (a) Série de Dirichlet com cinco termos; (b) Série de Dirichlet com sete termos Rotina de implementação dos mínimos quadrados para o ajuste da expansão de Dirichlet do modelo generalizado de Kelvin à curva de fluência regulamentar Rotina de implementação do algoritmo incremental do modelo generalizado de Kelvin para o caso da fluência em função do numero de termos da série de Dirichlet Comparação entre a curva regulamentar do EC2 e a solução obtida através do modelo generalizado de Kelvin com dois conjuntos de dados: (a) Parâmetros da Tab. 2.5; (b) Parâmetros da Tab Erro cometido no ajuste da expansão de Dirichlet à curva regulamentar: (a) Expansão com 5 termos; (b) Expansão com 6 termos Carga pontual aplicada na extremidade de uma barra Secções típicas de colunas mistas aço-betão [78] Exemplos dos modos de encurvadura para secções de aço e mistas aço-betão [78] Exemplo do confinamento do betão num CFT circular [78] Variação da fluência básica para diferentes classes de resistência do betão [78] Variação da retração autogénea para diferentes classes de resistência do betão [78] Vigas mistas típicas [78]

17 ÍNDICE DE FIGURAS xv 3.7 Dispositivos mecânicos típicos usados para transferir a força de corte [78] Classificação da interação de corte em função do escorregamento [78] Condições de secagem e distribuição qualitativa da retração numa laje exposta em ambas as faces [78] Condições de secagem e distribuição qualitativa da retração numa laje exposta apenas numa face [78] Exemplo 1: coluna mista sujeita a uma força constante Q Rotina de implementação do algoritmo incremental para o cálculo do deslocamento devido à fluência numa coluna mista com o modelo generalizado de Maxwell Exemplo 1: resolução com o modelo generalizado de Maxwell: (a) Deformação total; (b) Evoluções da tensão nos materiais Rotina de implementação do algoritmo incremental para o cálculo do deslocamento devido à fluência numa coluna mista com o modelo generalizado de Kelvin Exemplo 1: resolução com o modelo generalizado de Kelvin: (a) Deformação total; (b) Evoluções da tensão nos materiais Exemplo 1: Comparação entre os resultados obtidos com os dois modelos estudados: (a) Deformação total; (b) Evoluções da tensão nos materiais Exemplo 2: coluna mista sujeita a um deslocamento imposto Rotina de implementação do algoritmo incremental para o cálculo do esforço axial devido à relaxação numa coluna mista com o modelo generalizado de Maxwell Exemplo 2: resolução com o modelo generalizado de Maxwell: (a) Esforço axial total; (b) Evoluções da tensão nos materiais Rotina de implementação do algoritmo incremental para o cálculo do esforço axial devido à relaxação numa coluna mista com o modelo generalizado de Kelvin Exemplo 2: resolução com o modelo generalizado de Kelvin: (a) Esforço axial total; (b) Evoluções da tensão nos materiais Exemplo 2: Comparação entre os resultados obtidos com os dois modelos estudados: (a) Tensão total; (b) Evoluções da tensão nos materiais

18 xvi ÍNDICE DE FIGURAS 4.13 Rotina de implementação do algoritmo incremental para o cálculo do deslocamento por fluência devido numa coluna mista com o modelo generalizado de Kelvin devido à aplicação do histórico de tensões da Tab Exemplo 3: Comparação entre os resultados obtidos com os dois modelos estudados: (a) Deformação total; (b) Evoluções da tensão nos materiais

19 Índice de Tabelas 2.1 Pontos da função de relaxação da Fig. 2.50, com os quais se ajustou a expansão da série de Drichlet Valores dos módulos de elasticidade da expansão de Dirichlet do modelo generalizado de Maxwell com cinco termos Valores dos módulos de elasticidade da expansão de Dirichlet do modelo generalizado de Maxwell com sete termos Pontos da função de fluência da Fig aos quais se ajustou a expansão da série de Drichlet Valores dos módulos de elasticidade da expansão de Dirichlet do modelo generalizado de Kelvin com cinco termos Valores dos módulos de elasticidade da expansão de Dirichlet do modelo generalizado de Kelvin com seis termos Histórico de aplicação de tensões para o cálculo do deslocamento por fluência xvii

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21 Lista de abreviaturas, siglas e símbolos Abreviaturas EC2 Eurocodigo 2 EC4 Eurocodigo 4 Siglas MEF Método dos Elementos Finitos PTV Principio dos Trabalhos Virtuais Letras Latinas Maiúsculas E (t) função de relaxação E valor a tempo infinito da função de relaxação E 0 valor no instante inicial da função de relaxação E módulo de elasticidade E α módulo de elasticidade da mola do elemento α de Maxwell/Kelvin H (t) função Heaviside J (t) função de fluência J valor a tempo infinito da função de fluência J 0 valor no instante inicial da função de fluência L comprimento de um elemento estrutural Q força RH humidade relativa do ar xix

22 xx LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS W int trabalho realizado pelas forças internas de um sistema W ext trabalho realizado pelas forças externas de um sistema V volume de um elemento estrutural Letras Latinas Minúsculas f cm valor médio da tensão de rotura do betão à compressão f c valor característico da tensão de rotura do betão à compressão h 0 espessura equivalente de um elemento estrutural t tempo u deslocamento axial Letras Gregas Maiúsculas variação incremental Φ função dos mínimos quadrados Ω área da secção transversal de um elemento estrutural Letras Gregas Minúsculas δ variação virtual δ (t) função Dirac ε deformação ε derivada da deformação em ordem ao tempo ε α variável de estado do elemento de Kelvin α ε α deformação no elemento de Kelvin α η coeficiente de viscosidade η α coeficiente de viscosidade do amortecedor do elemento α de Maxwell/Kelvin λ tempo de relaxação λ α tempo de relaxação do elemento de Maxwell α λ J tempo de retardação λ Jα tempo de retardação do elemento de Kelvin α

23 LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS xxi σ tensão σ derivada da tensão em ordem ao tempo σ α tensão no elemento de Maxwell α e variável de estado ϕ (t) coeficiente de fluência

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25 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações gerais A utilização de estruturas mistas de aço e betão tem-se vindo a disseminar cada vez mais por todo o mundo em aplicações em edifícios e pontes. A combinação destes dois materiais permite tirar partido das qualidades de ambos. Assim podem-se obter estruturas com elementos de menor dimensão, com menor peso próprio e processos construtivos mais céleres em relação às estruturas convencionais de betão. Consequentemente, é possível ter custos associados de menor grandeza quando comparados com estruturas de aço ou betão [93]. A utilização de sistemas e elementos estruturais progressivamente mais complexos em termos do tipo de materiais utilizados, da forma estrutural e da dimensão, bem como crescentes exigências de garantia de qualidade, impõem o desenvolvimento de métodos numéricos fiáveis e eficazes, capazes de modelar o comportamento das estruturas em todas as fases da sua vida, permitindo uma avaliação mais rigorosa do respetivo grau de segurança. Neste contexto, é cada vez mais importante o desenvolvimento de modelos computacionais que tenham em consideração as especificidades e a complexidade do comportamento dos diversos materiais, nomeadamente o seu comportamento não-linear. Um dos métodos mais utilizados para resolver numericamente problemas de análise estrutural não-linear é o Método dos Elementos Finitos (MEF). O MEF oferece a possibilidade de modelar os aspetos fundamentais do comportamento dos materiais que, pela sua complexidade, normalmente são considerados de forma simplificada nas metodologias de projeto tradicionais. Tal é o caso da viscoelasticidade, propriedade de um material exibir comportamento elástico e viscoso. A viscoelasticidade é normalmente ilustrada recorrendo aos ensaios de fluência e de relaxação. O processo de fluência consiste no aumento da deformação do material ao longo do tempo, após a deformação instantânea, quando este é sujeito a uma tensão constante. A relaxação consiste na diminuição da tensão no material, após a tensão 1

26 2 INTRODUÇÃO instantânea, quando este é sujeito a uma deformação constante. O efeito da fluência do betão em estruturas mistas é de relevante importância. Este efeito tem como consequência a redistribuição de esforços entre o betão e o aço, causando uma redução de tensão no betão e, consequentemente, um aumento da tensão no aço [69, 93]. O efeito da fluência pode ser significativo e deve ser devidamente considerado, para assegurar que não é atingida a tensão de cedência no aço e que não ocorre instabilidade por encurvadura local [69, 93]. 1.2 Objetivos O objetivo principal da presente Dissertação é o estudo e implementação de métodos numéricos que permitam modelar os fenómenos viscoelásticos lineares em estruturas mistas aço-betão. Em particular, pretende-se expor de forma clara e pedagógica a teoria da viscoelasticidade linear e algumas das metodologias mais utilizadas para modelar estruturas mistas aço-betão, para implementação no contexto do MEF. Pretende-se também recolher e agrupar a investigação existente nesta área. 1.3 Organização da tese A tese encontra organizada em cinco capítulos. O primeiro e presente capítulo é de carácter introdutório. No segundo capítulo expõe-se a teoria da viscoelasticidade. Aborda-se a fluência e a relaxação, apresentam-se os diferentes modelos elementares e a respetiva formulação matemática, assim como os diferentes algoritmos incrementais desenvolvidos e os métodos de modelação do betão. Finalmente, apresentam-se algoritmos obtidos pelo Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV) que permitem o cálculo da resposta de barras com secção mista. No terceiro capítulo apresentam-se os diversos estudos existentes relativos à modelação dos efeitos diferidos do betão em colunas e vigas mistas aço-betão. Procura-se agrupar as diversas modelações consoante o comportamento da interface entre materiais, o tipo de modelos de efeitos diferidos do betão e o tipo de modelos de cálculo numérico estrutural utilizados para a obtenção da resposta da estrutura mista. No quarto capítulo põem-se em prática os diversos algoritmos obtidos e analisados no segundo capítulo. Em particular, obtém-se a resposta diferida de uma coluna mista. Finalmente, no capítulo cinco são tiradas as principais conclusões do trabalho efetuado e sugeridos possíveis desenvolvimentos futuros.

27 Capítulo 2 Viscoelasticidade linear 2.1 Introdução O presente capítulo tem como objetivo a apresentação da teoria da viscoelasticidade linear. É feita uma recolha de informação sobre as noções fundamentais e a formulação matemática. São abordados aspetos algorítmicos e a sua implementação no estudo do comportamento do betão. As secções 2.2 e 2.3, onde se abordam respetivamente as noções fundamentais e a formulação matemática, foram elaboradas com o contributo de diversos documentos académicos de diversas Universidades e de literatura disponível [81, 91, 30, 63] As secções 2.4 e 2.5 são elaboradas com base no trabalho desenvolvido por L. J. Sluys [86] e por Póvoas [73]. Na secção 2.4 são abordados os aspetos algorítmicos da teoria da viscoelasticidade e é feita uma análise e validação dos algoritmos incrementais apresentados. Na secção 2.5 aborda-se a modelação da viscoelasticidade no betão e, para um determinado tipo de betão, são obtidos os parâmetros necessários para a implementação dos algoritmos obtidos na secção anterior. Finalmente, na secção 2.6 apresentam-se os algoritmos incrementais para a aplicação numérica. 2.2 Noções fundamentais A dependência do tempo de materiais com comportamento viscoelástico manifesta-se fundamentalmente em duas respostas distintas do material: a fluência e a relaxação. A fluência corresponde ao aumento da deformação ao longo do tempo quando é imposta uma tensão constante [Fig. 2.1a]. A relaxação é definida pela diminuição 3

28 4 VISCOELASTICIDADE Figura 2.1: a) Representação gráfica da fluência; b) Representação gráfica da relaxação [78] da tensão ao longo do tempo quando é imposta uma deformação constante [Fig. 2.1b]. Experimentalmente, procura-se caracterizar o comportamento viscoelástico dos materiais através de informação relevante obtida de testes de fluência e relaxação. Estes dois fenómenos são apresentados em detalhe nos subcapítulos seguintes Fluência O teste de fluência consiste na medição da deformação dependente do tempo ε (t) = u (t) /L resultante da aplicação estática de uma tensão uniaxial como ilustrado na Fig. 2.2, em que L é o comprimento inicial do elemento estrutural. As curvas do gráfico foram obtidas a partir da função de fluência (2.56), deduzida a partir do modelo sólido linear padrão no formato de Maxwell apresentado mais à frente. Estas descrevem a deformação no modelo para três níveis diferentes de tensão, cada um com o dobro da magnitude do anterior. Note-se que na Fig. 2.2, quando a tensão duplica, a deformação resultante duplica ao longo de todo o intervalo de tempo, o que é uma consequência de se estar a considerar materiais lineares. A relação entre o histórico de deformação e a tensão aplicada é a denominada função de fluência J, que dá o valor corrente de deformação J (t) = ε (t) σ 0. (2.1) Uma forma habitual desta função é ilustrada na Fig. 2.3, em que a função

29 VISCOELASTICIDADE 5 Figura 2.2: Deformação por fluência a diferentes tensões constantes é representada em função do tempo, em escala logarítmica. Note-se que a escala logarítmica altera a forma da curva, "alongando" a parcela da resposta correspondente ao período inicial e "comprimindo" a região de longo prazo. Imediatamente após o carregamento, o valor J 0 (= J (0)) corresponde à deformação elástica do material. Ao longo do tempo, o valor da função de fluência tende para um valor J (= J ( )). O valor no eixo das abcissas onde a curva da função de fluência apresenta uma inflexão é designado de tempo de retardação do processo de fluência e é representado por λ J [81]. Figura 2.3: Função de fluência para J 0 = MP a 1, J = MP a 1 e λ J = 2000 dias

30 6 VISCOELASTICIDADE Relaxação O teste de relaxação consiste na medição da tensão dependente do tempo, resultante de uma deformação constante imposta (Fig. 2.4). Na Fig. 2.4, as curvas de tensão correspondem a três níveis diferentes de deformação constante, em que cada um tem o dobro da magnitude do anterior. Figura 2.4: Relaxação de tensões para níveis diferentes de deformações impostas Analogamente à função de fluência, podem sobrepor-se os históricos de tensões normalizando-os em relação às deformações impostas, obtendo-se assim a função de relaxação E (t) = σ (t) /ε 0, (2.2) que dá o valor corrente de tensão definida em relação ao tempo (Fig. 2.5). Nos instantes iniciais a tensão está num patamar elevado E 0 (= E (0)) que corresponde à resposta elástica e depois diminui exponencialmente para um nível inferior de equilibro E (= E ( )). O valor no eixo das abcissas onde a curva da função de relaxação apresenta uma inflexão é designado de tempo de relaxação do processo de relaxação e é representado por λ [81]. A fluência e a relaxação são ambas manifestações dos mesmos mecanismos moleculares [81], e seria expectável que E e J estivessem relacionados. No entanto, embora E 0 = 1/J 0 e E = 1/J, no geral E (t) 1/J (t). Em particular, a resposta da relaxação move-se mais rápido para o equilibro em relação ao que acontece na fluência. Esta afirmação será demonstrada mais à frente no estudo do modelo sólido linear padrão.

31 VISCOELASTICIDADE 7 Figura 2.5: Função de relaxação para E 0 = MP a, E = MP a, e λ = 1000 dias. 2.3 Modelos clássicos Os materiais viscoelásticos apresentam comportamento elástico e viscoso em simultâneo. Assim, os modelos utilizados na previsão da resposta destes materiais são obtidos combinando os dois modelos reológicos que simulam estes dois comportamentos: molas elásticas lineares e amortecedores viscosos lineares. Diferentes combinações de molas e amortecedores originam diferentes respostas em termos de tensões ou deformações Mola elástica linear A mola elástica linear é o modelo reologico que modela o comportamento elástico típico de sólidos e é regido pela Lei de Hooke. A equação constitutiva de um material que responde como uma mola elástica linear [Fig. 2.6] com rigidez E é a seguinte, ε = 1 σ. (2.3) E A resposta deste modelo não tem dependência do tempo. A resposta a uma tensão inicial aplicada resulta numa deformação elástica instantânea, mantendo-se o valor da deformação até o carregamento ser retirado e o estado deformação voltar ao estado inicial (instantaneamente).

32 8 VISCOELASTICIDADE Figura 2.6: Mola elástica linear Amortecedor viscoso linear O amortecedor linear [Fig. 2.7] é o modelo reologico que modela o comportamento viscoso típico de fluidos e é regido pela Lei de Newton da viscosidade, ε = 1 σ, (2.4) η onde ε = dε/dt e η é o coeficiente de viscosidade do material. A resposta deste modelo tem dependência do tempo, uma vez que a lei envolve uma variação de deformação em ordem ao tempo. Figura 2.7: Amortecedor linear A deformação devida a uma tensão σ 0 subitamente aplicada pode ser obtida integrando a equação constitutiva (2.4). Assumindo que a deformação inicial é nula, tem-se ε = σ 0 t. (2.5) η Na Fig. 2.8 está representada a resposta do amortecedor a uma tensão constante aplicada durante um dado período de tempo. Verifica-se que a deformação aumenta linearmente durante o período de tempo em que a tensão é aplicada. Quando a tensão é retirada as deformações até então desenvolvidas mantém-se, sendo estas permanentes até novo carregamento Elemento de Maxwell O elemento de Maxwell é um dos dois modelos viscoelásticos mais simples e consiste na acoplação em série de uma mola e um amortecedor [Fig. 2.9]. Para uma disposição em série como a do elemento de Maxwell, o equilíbrio estabelece que a tensão σ é igual tanto na mola como no amortecedor, ou seja,

33 VISCOELASTICIDADE 9 Figura 2.8: Resposta do amortecedor à aplicação de uma tensão constante Figura 2.9: Elemento de Maxwell A equação de compatibilidade estabelece que σ = σ 1 = σ 2. (2.6) ε = ε 1 + ε 2, (2.7) sendo possível concluir que a taxa de variação da deformação total ε pode ser obtida somando as taxas de variação correspondentes à componente elástica e viscosa do elemento, ou seja, ε = ε 1 + ε 2. (2.8) Com base nas Eqs. (2.3)-(2.4) e (2.6)-(2.8) pode-se relacionar a deformação total com as tensões através de ε = σ E + σ η, (2.9) onde σ = dσ/dt. Multiplicando por E obtém-se a equação diferencial normalizada que rege o elemento de Maxwell onde E ε = σ + σ λ, (2.10) λ = η E (2.11)

34 10 VISCOELASTICIDADE é conforme se verá mais à frente, a propósito do teste de relaxação (Eq.(2.19)), o tempo de relaxação do modelo, i.e., o tempo necessário para que a tensão atinja um valor igual a e 1 do valor imediatamente após ter sido imposta a deformação inicial (σ (0) = Eε 0 ). Teste de fluência com descarregamento Fisicamente, quando o modelo de Maxwell é sujeito a uma tensão constante σ 0 no instante t = τ 0, a mola deforma imediatamente enquanto que o amortecedor, segundo a Eq (2.5), demorará tempo a reagir [Fig. 2.10]. Por isso, a deformação inicial é ε (0) = σ 0 E. (2.12) Figura 2.10: Esquema do teste de fluência-descarregamento num elemento de Maxwell A resposta do modelo em termos de deformações resulta da resolução da equação diferencial (2.10) com a condição inicial (2.12). Uma vez que a tensão é constante, obtém-se em que C é uma constante de integração. E ε = σ 0 λ ε (t) = σ 0 Eλ (t τ 0) + C, (2.13) Finalmente, introduzindo a condição inicial (2.12), a resposta do elemento de Maxwell a um teste de fluência é ε (t) = σ 0 E ( t τ0 λ ) + 1, t τ 0. (2.14) A resposta da deformação pode ser expressa em relação à função de fluência:

35 VISCOELASTICIDADE 11 com ε (t) = σ 0 J (t τ 0 ), (2.15) J (t τ 0 ) = 1 E ( t τ0 λ ) + 1. (2.16) Fisicamente, neste caso, λ é o tempo necessário para se obter uma deformação de fluência igual à deformação elástica. A resposta do elemento de Maxwell a uma tensão constante resulta no aumento linear das deformações ao longo do tempo. Quando é retirado o carregamento, a mola reage mais uma vez instantaneamente voltando ao estado inicial, mas o amortecedor mantém-se com a deformação atual pois para este se deformar é necessário que tenha uma tensão aplicada [Eq. (2.5)]. Assim, existe uma recuperação elástica da deformação σ 0 /E, mantendo-se a deformação no amortecedor [Fig. 2.11]. Figura 2.11: Resposta do elemento de Maxwell a uma tensão constante e descarregamento Teste de relaxação Se for imposta uma deformação inicial ε 0 ao elemento de Maxwell no instante inicial t = τ 0, essa deformação é admitida instantaneamente na mola e, por isso, a tensão inicial no modelo é σ (0) = ε 0 E. (2.17) Após o instante inicial, a deformação inicial da mola diminui na mesma medida em que o amortecedor deforma até admitir toda a deformação inicial [Fig. 2.12]. A resposta do modelo em termos de tensões resulta da resolução da equação diferencial (2.10) com a condição inicial (2.17). Uma vez que a deformação é constante, a Eq. (2.10) fica σ = σ λ. (2.18)

36 12 VISCOELASTICIDADE Figura 2.12: Esquema do teste de relaxação num elemento de Maxwell A solução desta equação diferencial é ( σ (t) = σ 0 exp t τ ) 0 λ, t τ 0. (2.19) e fornece a resposta do elemento de Maxwell em termos de tensões. Nesta expressão, o significado de λ = η/e como um tempo de relaxação característico é evidente. Fisicamente, é o tempo necessário para a tensão tomar o valor de 1/e do seu valor inicial. É também o tempo para o qual a função da tensão apresenta um ponto de inflexão quando esta é definida em escala logarítmica. Introduzindo a condição inicial (2.17) na Eq. (2.19) fica ( σ (t) = ε 0 E exp t τ ) 0 λ, t τ 0. (2.20) A resposta da tensão pode também ser expressa em relação à função de relaxação com σ (t) = ε 0 E (t τ 0 ), (2.21) ( E (t τ 0 ) = E exp t τ ) 0, (2.22) λ A resposta do modelo de Maxwell a uma deformação constante resulta na diminuição das tensões até zero quando se tende para infinito [Fig. 2.13].

37 VISCOELASTICIDADE 13 σ (t) ε 0 E Figura 2.13: Resposta do elemento de Maxwell a um teste de relaxação. t Elemento de Kelvin A par com o elemento de Maxwell, o elemento de Kelvin é um dos modelos viscoelásticos mais simples e consiste na acoplação em paralelo de uma mola e um amortecedor [Fig. 2.14]. Figura 2.14: Elemento de Kelvin Para uma disposição em paralelo como o elemento de Kelvin, a equação de equilíbrio estabelece que σ = σ 1 + σ 2. (2.23) A equação de compatibilidade garante que a deformação é igual na mola e no amortecedor ε = ε 1 = ε 2. (2.24) Assim, considerando as Eqs. (2.3)-(2.4) e (2.23)-(2.24) pode-se estabelecer a equação diferencial que governa o elemento de Kelvin, a qual é dada por σ = Eε + η ε. (2.25) Dividindo todos os termos da Eq. (2.25) por E, obtém-se a equação diferencial normalizada que rege o elemento de Kelvin

38 14 VISCOELASTICIDADE onde σ E = ε + λ J ε, (2.26) λ J = η E (2.27) é, conforme se verá a seguir, a propósito do teste de fluência, o tempo de retardação do modelo, o tempo necessário para que a deformação atinja o valor de (1 e 1 ) do valor da deformação para t =. Teste de fluência com descarregamento Se uma tensão constante σ 0 for subitamente aplicada ao modelo de Kelvin no instante t = τ 0, a deformação na mola é impedida pelo amortecedor, que não reage instantaneamente [Fig. 2.15]. Visto que a mola não deforma, inicialmente a tensão é totalmente equilibrada pelo amortecedor. Assim, a curva de fluência começa com um declive inicial σ 0 /η e a condição inicial é ε (0) = 0. (2.28) Figura 2.15: Esquema do teste de fluência no elemento de Kelvin Após o instante inicial ocorrem deformações e parte da tensão é transferida do amortecedor para a mola. O declive da curva de fluência passa então a ser σ 2 /η, onde σ 2 é a tensão no amortecedor, que tende a decrescer com o tempo. No limite, quando σ 2 = 0, a mola equilibra a totalidade da tensão e por isso a deformação máxima é σ 0 /E. Resolvendo a equação diferencial (2.26) tem-se a solução homogénea

39 VISCOELASTICIDADE 15 ( ε (t) = C exp t τ ) 0, (2.29) λ J onde C é uma constante de integração, e a solução particular ε (t) = σ 0 E. (2.30) Introduzindo a condição inicial (2.28), obtém-se a resposta do modelo a um teste de fluência ε (t) = σ 0 E [ ( 1 exp t τ )] 0 λ J que condiz com a descrição apresentada anteriormente., t τ 0, (2.31) O parâmetro λ J, em contraste com o tempo de relaxação do modelo de Maxwell, denomina-se de tempo de retardação do material e é uma medida do tempo que demora a acumulação de deformação por fluência. Quanto menor o tempo de retardação, mais rápido se desenvolvem as deformações por fluência. Note-se que a Eq. (2.31) permite concluir que, para t to = λ J, ε = ( 1 e 1) ε ( ) como já foi referido anteriormente. A função de fluência é neste caso dada por J (t τ 0 ) = 1 E [ ( 1 exp t τ )] 0. (2.32) λ J Quando o elemento de Kelvin é descarregado, o amortecedor impede a resposta instantânea da mola. Supondo que o modelo é descarregado no instante t = τ 1. A lei constitutiva com tensão nula fica Resolvendo a Eq (2.33) obtém-se 0 = Eε + η ε. (2.33) ( ε (t) = C exp t τ ) 1, (2.34) λ J em que C é a constante de integração. Aqui t é medido a partir do instante em que o carregamento foi retirado τ 1. A partir da Eq. (2.31) a deformação no instante t = τ 1 é dada por ε (τ 1 ) = σ 0 E [ ( 1 exp τ )] 1 τ 0. (2.35) λ J Usando a Eq. (2.35) como condição inicial na Eq. (2.34) obtém-se a resposta do elemento quando é descarregado, a qual é dada por

40 16 VISCOELASTICIDADE ε (t) = σ ( 0 E exp t τ ) [ ( 1 1 exp τ )] 1 τ 0 λ J λ J, t > τ 1. (2.36) A resposta do modelo de Kelvin à fluência e ao descarregamento é apresentada na Fig. (2.16). Verifica-se que, neste modelo, não existem deformações instantâneas ou permanentes. Figura 2.16: Resposta do elemento de Kelvin a uma tensão constante e descarregamento Teste de relaxação Considere-se que o histórico de deformação da Fig é aplicado ao modelo de Kelvin. Figura 2.17: Histórico de deformação aplicado ao elemento de Kelvin. No intervalo de tempo [τ 0, τ 1 ], onde existe variação da deformação, a tensão pode ser calculada resolvendo a Eq. (2.25), sabendo que neste caso se tem ficando ε = εt, (2.37) σ = (Et + η) ε. (2.38)

41 VISCOELASTICIDADE 17 Neste intervalo, ambos os elementos do modelo de Kelvin, mola e amortecedor, contribuem para a tensão total no modelo. À medida que a mola se deforma, aumenta a tensão na mesma e, enquanto o amortecedor é sujeito a uma variação de deformação, é solicitado por um estado de tensão. A partir do instante τ 1 a variação da deformação é nula. Por isso, a tensão no amortecedor é nula e a tensão total no modelo é apenas resultado da deformação da mola. Figura 2.18: Ensaio de relaxação no elemento de Kelvin quando solicitado com o histórico de deformação da figura No caso em que uma deformação constante ε 0 é subitamente aplicada ao modelo de Kelvin, o intervalo [τ 0 τ 1 ] tende para zero e, consequentemente, a tensão no amortecedor e no elemento de Kelvin tende para infinito Modelo sólido linear padrão - formato de Maxwell Como foi visto nos pontos anteriores, a resposta do elemento de Maxwell a um ensaio de fluência é ilimitada e a resposta do elemento de Kelvin a um ensaio de relaxação resulta numa tensão infinita e instantânea. Por isso, são necessários modelos com combinações mais complexas de molas e amortecedores para modelar materiais com outro tipo de comportamento. Colocando um elemento de Maxwell em paralelo com uma mola obtém-se um modelo muito útil, conhecido como sólido linear padrão (standard linear solid) no formato de Maxwell apresentado na Fig Diz-se que está no formato de Maxwell pois é forma mais simples do modelo generalizado de Maxwell, como se verá mais á frente. A mola com rigidez E 1 fornece ao modelo uma rigidez a longo prazo, após a tensão no elemento de Maxwell ter relaxado completamente. Neste arranjo, o elemento de Maxwell e a mola paralela (i.e., cada "braço") admitem a mesma deformação ε = ε 1 = ε 2, (2.39) e a tensão total σ é igual à soma das tensões em cada "braço" do modelo, ou seja,

42 18 VISCOELASTICIDADE Figura 2.19: Modelo sólido linear padrão - formato de Maxwell σ = σ 1 + σ 2. (2.40) A obtenção de σ 2 é mais complexa. A Eq. (2.10) está expressa em relação à tensão e à variação da mesma, logo é necessário outro método de resolução de equações diferenciais que permita a resolução deste tipo de problemas. A transformação de Laplace é muito conveniente neste e noutros problemas viscoelásticos mais complexos, pois reduz equações diferenciais em equações algébricas. No Apêndice A estão listados alguns dos pares de transformação mais comuns neste tipo de problemas. Uma vez que a tensão e a deformação são nulas quando se tende para a origem à esquerda, a transformada das derivadas em relação ao tempo são apenas a variável s vezes a transformada da função (a transformada de uma função é representada com uma barra superior). Assim, tem-se e L[ ε] = s ε (2.41) L[ σ] = s σ. (2.42) Assim, a transformada da Eq. (2.10) correspondente ao elemento de Maxwell fica Resolvendo a Eq. (2.43) obtém-se E 2 ε = σ λ σ 2 E 2 s ε = s σ λ σ 2. (2.43) σ 2 = E 2s s + 1 ε. (2.44) λ Adicionando a tensão na mola isolada σ 1 = E 1 ε, a tensão total é [ ] σ = E 1 ε + E 2s s + 1 ε = E 1 + E 2s λ s + 1 ε. (2.45) λ

43 VISCOELASTICIDADE 19 O resultado anterior pode ser escrito da seguinte forma σ = E ε, (2.46) onde, para este modelo, o parâmetro E é a rigidez equivalente E = E 1 + E 2s s + 1 λ 1 = E E 2 + 1, (2.47) sη 2 e corresponde a uma associação de molas em que o amortecedor é substituído por uma mola com rigidez sη 2. A Eq. (2.46), que é claramente idêntica à lei de Hooke σ = Eε mas no domínio de Laplace, é denominada de equação viscoelástica constitutiva associada. Aqui a expressão de E corresponde ao modelo sólido linear padrão no formato de Maxwell. Ensaio de relaxação Para uma dada função de deformação constante imposta ε (t), obtém-se a função da tensão resultante em três passos: 1. Obter a expressão da transformada da função da deformação, ε (s). 2. Formar o produto algébrico σ (s) = E ε (s). 3. Obter o inverso da transformada do resultado para chegar à função da tensão no plano do tempo. No caso do ensaio de relaxação, a função da deformação ε (t) é definida como a multiplicação da deformação inicial constante com a função de passo unitário Heaviside H (t) ε (t) = ε 0 H (t), H (t) = que tem como transformada de Laplace { 0, t < 0 1, t 0, (2.48) ε = ε 0 s. (2.49) Usando a Eq. (2.49) na Eq. (2.46) e dividindo todos os termos por ε 0 tem-se σ = E 1 ε 0 s + E 2 s + 1. (2.50) λ Uma vez que L 1 [1/ (s + a)] = e at, a Eq. (2.50) pode ser diretamente invertida dando

44 20 VISCOELASTICIDADE σ (t) ε 0 ( E (t) = E 1 + E 2 exp t ), t 0. (2.51) λ A função (2.51), que é precisamente a solução do elemento de Maxwell mais a solução da mola isolada E 1, foi usada para gerar a curva ilustrada na Fig. 2.5 assim como a curva ilustrada na Fig Figura 2.20: Função de relaxação do modelo sólido linear padrão no formato de Maxwell com E 1 = MP a, E 2 = MP a, e λ = 1000 dias. Ensaio de fluência No caso do ensaio de fluência, a função da tensão σ (t) é definida como a multiplicação da tensão inicial constante com a função de passo unitário Heaviside H (t) σ (t) = σ 0 H (t), H (t) = que tem como transformada de Laplace { 0, t < 0 1, t 0, (2.52) σ = σ 0 s. (2.53) A forma da Eq. (2.46) é conveniente quando se quer obter a função da tensão para uma dada deformação imposta. Para obter a função da deformação para uma dada tensão imposta convém inverter a Eq. (2.46), ficando

45 VISCOELASTICIDADE 21 ε = Substituindo a Eq. (2.53) na Eq. (2.54) obtém-se ε = σ E 1 + E. (2.54) 2s s+ 1 λ σ 0 se 1 + E. (2.55) 2s 2 s+ 1 λ Esta expressão é mais difícil de inverter manualmente, e nestes casos pode ser útil a utilização de software que permita manipulação simbólica. Recorrendo a essa metodologia com o programa Maple T M [81], é possível inverter a Eq. (2.55) obtendo-se a função de fluência para este modelo: ε (t) ( ) J (t) = J 0 + (J J 0 ) 1 e t/λ J σ 0 (2.56) onde 1 J 0 =, J = 1 ( ) E1 + E 2, λ J = λ E 1 + E 2 E 1 E 1 (2.57) O parâmetro J 0 corresponde à ação das duas molas E 1 e E 2 atuando em paralelo, e o parâmetro J corresponde à ação da mola isolada E 1 atuando individualmente, como esperado. Menos óbvio é o tempo de retardação λ J, que é mais longo que o tempo de relaxação λ por um fator igual ao quociente entre J e E 0. Figura 2.21: Função de fluência do modelo sólido linear padrão no formato de Maxwell com E 1 = MP a, E 2 = MP a e λ = 1000 dias

46 22 VISCOELASTICIDADE Na Fig está definida a função de fluência (2.56). Analisando os resultados das funções de fluência e de relaxação do modelo sólido linear padrão no formato de Maxwell, consegue-se finalmente demonstrar a diferença entre os tempos de retardação e de relaxação. Comparando as Figs e 2.21 poder-se-à verificar que o ponto de inflexão das curvas ocorre em instantes diferentes. Da Eq. (2.57) pode-se inferir que, de facto, para este modelo o tempo de relaxação é menor que o tempo de retardação. Isto implica que, neste caso, o processo de relaxação ocorra com maior celeridade que o processo de fluência, o que já tinha sido referido no inicio do presente capitulo e remetido para posterior demonstração Modelo sólido linear padrão - formato de Kelvin Colocando em série um elemento de Kelvin com uma mola obtém-se outro modelo, conhecido como sólido linear padrão no formato de Kelvin, ilustrado na Fig Diz-se estar no formato de Kelvin pois é a forma mais simples do modelo generalizado de Kelvin, como se poderá constatar mais adiante. Figura 2.22: Modelo sólido linear padrão - formato de Kelvin Neste caso, a mola com rigidez E 1 fornece uma rigidez instantânea ao modelo, pois já se viu que a resposta instantânea do modelo de Kelvin a uma tensão constante é nula. Neste arranjo, a deformação total é igual à soma das deformações dos dois componentes e ambos os componentes admitem a mesma tensão ε = ε 1 + ε 2, (2.58) σ = σ 1 = σ 2. (2.59) Considere-se novamente as Transformadas de Laplace para resolver as Eqs. (2.58) e (2.59). A transformada da Eq. (2.26), correspondente ao elemento de Kelvin, fica σ = E 2 ε 2 + sλ J E 2 ε 2 (2.60)

47 VISCOELASTICIDADE 23 que, resolvendo em ordem a ε 2, fica ε 2 = Adicionando a deformação na mola isolada ε 1 definida pela seguinte expressão ε = σ E 1 + σ E 2 + sλ J E 2. (2.61) [ σ 1 = + E 2 + sλ J E 2 E 1 = σ/e 1, a deformação total é 1 E 2 + sλ J E 2 O resultado anterior pode ser escrito da seguinte forma ] σ. (2.62) ε = σ E, (2.63) onde, para este modelo, o parâmetro 1 E é a flexibilidade equivalente 1 E = 1 E E 2 + sλ J E 2 = 1 E E 2 + sη 2, (2.64) o que, mais uma vez, corresponde a substituir o amortecedor por uma mola de rigidez sη 2. Ensaio de fluência No caso do ensaio de fluência, a função da tensão é definida como a multiplicação da tensão inicial (constante) com a função de passo unitário Heaviside H (t) σ (t) = σ 0 H (t), H (t) = e a sua transformada de Laplace é { 0, t < 0 1, t 0, (2.65) σ = σ 0 s. (2.66) Substituindo a Eq. (2.66) na Eq. (2.63) e dividindo todos os termos por σ 0 tem-se ε = 1 1 σ 0 E 1 s ( ). (2.67) E 2 λ J s 1 + s Invertendo a Eq. (2.67) com base nos pares de transformadas apresentados no Apêndice A, a função de fluência fica λ J ε (t) J (t) = [ ( 1 exp t )]. (2.68) σ 0 E 1 E 2 λ J