Mestrado Profissional em Administração. Disciplina: Análise Multivariada Professor: Hedibert Freitas Lopes 1º trimestre de 2015

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1 Mestrado Profissional em Administração Disciplina: Análise Multivariada Professor: Hedibert Freitas Lopes º trimestre de 05

2 Inferência Multivariada MANOVA MANLY, Cap. 4 HAIR et al., Cap. 6

3 Exemplo Uma empresa encomendou peças publicitárias para um novo produto que foram assistidas por dois grupos homogêneos de indivíduos, separados por gênero (Feminimo e Masculino) e devidamente aleatorizados em relação a qual comercial viam primeiro. Cada indivíduo informava a nota (escala de 0 a 0) para o novo produto depois de assistir a cada uma das peças publicitárias. X : Nota do produto após o comercial X : Nota do produto após o comercial Objetivo: Verificar se há diferença na avaliação do produto entre os grupos de indivíduos para cada uma das peças publicitárias. 3

4 Dados Grupo Feminino Masculino Indivíduo X X Indivíduo X X

5 Estatísticas Descritivas F M 5

6 Nota do produto após comercial - X X Teste t de Student t =,57 p = 0,34 4 F Grupo M 6

7 Nota do produto após comercial X 8 X Teste t de Student t = -,64 p = 0,9 3 F Grupo M Conclusão: não existe diferença estatisticamente significante entre as médias da avaliação do produto para homens e mulheres, com 95% de confiança para cada uma das peças publicitárias. 7

8 Diagrama de Dispersão 8 F M 7 6 Teste Multivariado X 5 T = 8,636 4 p = 0, X 6 7 Conclusão: há diferença na avaliação de homens e mulheres 8

9 9 Distribuição normal multivariada X = (X,..., X p ) T ~ N p (µ,σ) se a sua função densidade de probabilidade for: ( ) ( ) ( ) / / ) ( µ x Σ µ x Σ x = T e f p p π Distância de Mahalanobis

10 Distribuição normal bivariada 0

11 Propriedades, ) ( = = p p p p p Cov σ σ σ σ σ σ σ σ σ! "!! X Σ Se E(X) = µ = (µ, µ,..., µ p ) T e então X j ~ N(µ j, σ j ) e Cov(X j, X k ) = σ jk

12 Inferência Estatística P o p u l a ç ã o µ Σ Estimação Amostra X S H H o : µ = : µ µ µ 0 0 Teste de hipóteses

13 Estimação de µ e Σ Amostra de tamanho n. µ ˆ = X X X =! X p, X j = média amostral de ˆ = matriz de covariância amostral Σ = S divide - se por (n -) X j 3

14 Resultados Se X = (X,..., X p ) T é uma amostra aleatória de tamanho n de uma N p (µ,σ), então X X =! ) ~ N p (µ, (/n)σ) X X p ) (n-)σ segue uma distribuição Wishart com (n-) graus de liberdade 3) e S são independentes = X 4

15 Teste de Hipóteses H H o : µ = : µ µ µ 0 0 Suposições: X,..., X n amostra aleatória de X ~ N p (µ,σ) Obs: Σ deve ser uma matriz inversível. 5

16 Caso univariado H o : µ = µ 0 H : µ µ 0 t X o = ~ tn S / µ n Analogamente: t = n ( X µ ) (S ) ( X µ ) o o 6

17 Caso multivariado Univariado: ( ) ( ) X µ ( S ) X t = n µ o o Multivariado: ( ) T T = n X µ S ( X ) o µ o T ~ p ( n ) ( n p) F p, n p T de Hotelling 7

18 Comparação de duas populações normais X j ~ N p (µ,σ ) independentes Y k ~ N p (µ,σ ) independentes Independentes j =,..., n e k =,..., n H o : µ = µ H : µ µ 8

19 9 Comparação de duas populações normais ( ) ( ), T ) ( ) ( ~ ) ( ) ( n = + = p n n p p p F p n n n n p T n n n n n n T S S S Y X S Y X

20 Exemplo Uma empresa encomendou peças publicitárias para um novo produto que foram assistidas por dois grupos homogêneos de indivíduos, separados por gênero (Feminimo e Masculino) e devidamente aleatorizados em relação a qual comercial viam primeiro. Cada indivíduo informava a nota (escala de 0 a 0) para o novo produto depois de assistir a cada uma das peças publicitárias. X : Nota do produto após o comercial X : Nota do produto após o comercial Objetivo: Verificar se há diferença na avaliação do produto entre os grupos de indivíduos para cada uma das peças publicitárias. 0

21 No R p = n = c(0,0) y = matrix(c(5,3,4.5,3.,6,3.5,6,4.6,6.,5.6,6.9,5.,6.8,6, 5.3,5.5,6.6,7.3,7.3,6.5),n[],p,byrow=TRUE) y = matrix(c(4.6,4.9,4.9,5.9,4,4.,3.8,5.4,6.,6.,5,7,5.3, 4.7,7.,6.6,5.8,7.8,6.8,8.0),n[],p,byrow=TRUE) data = data.frame(y=rbind(y, y),iv=factor(rep(:p,n))) manova = manova(cbind(y.,y.) ~ IV, data=data)

22 > data y. y. IV

23 > manova Call: manova(cbind(y., y.) ~ IV, data = data) Terms: IV Residuals resp resp Deg. of Freedom 8 Residual standard errors: Estimated effects may be unbalanced

24 > summary(manova, test="hotelling-lawley") Df Hotelling-Lawley approx F num Df den Df Pr(>F) IV ** Residuals Signif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 *

25 > hotelling = hotelling.test(y,y) > hotelling Test stat: Numerator df: Denominator df: 7 P-value:

26 Exemplo - Bebidas Tipo X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X0 = Refrigerante, =Esportiva, 3=Chá A marca tem um sabor refrescante. Prefiro essa marca por ter menos calorias. A marca elimina minha sede imediatamente. Gosto do sabor adocicado da marca. Prefiro consumir a marca após atividade física, pois me dá energia. Prefiro a marca pois vem numa embalagem que não agride o meio ambiente. A marca tem minerais e vitaminas que mantêm baixa a necessidade de água de meu corpo. A marca tem um sabor único. A marca possui uma mistura de minerais e vitaminas que é saudável para o meu corpo. Eu prefiro a marca quando realmente estou com sede. 6

27 Objetivo Cada indivíduo avaliou sua bebida favorita numa escala de 7 pontos em relação a cada uma das 0 questões avaliadas. Descobrir se há diferenças entre as respostas médias das questões (variáveis) quando se comparam os 3 tipos de bebidas: refrigerante, isotônico ou chá. 7

28 Comparação de várias populações normais! Unidades amostrais separadas em g populações.! Para cada unidade amostral observam-se p variáveis: X,..., X p.! Valores observados para o indivíduo i (i=,..., n j ) da população j (j=,..., g): X ji X X =! X ji ji jip 8

29 9 Suposições e notação X ji ~ N p (µ j, Σ j ), independentes, j =,..., g E(X ji ) = µ j = (µ j, µ j,..., µ jp ) T = = ) ( jp p j p j p j j j p j j j ji j Cov σ σ σ σ σ σ σ σ σ! "!! X Σ

30 Suposição de Normalidade " A normalidade é a suposição fundamental em algumas técnicas multivariadas. " Se houver grande violação de normalidade, todos os resultados dos testes estatísticos ficam inválidos! " Verificar a normalidade univariada através de gráficos do tipo Normal Plot ou fazer algum teste (Jarque-Bera ou Kolmogorov- Smirnov) 30

31 Suposição de Normalidade " Se um conjunto de variáveis tem distribuição normal multivariada, então cada uma das variáveis tem distribuição normal (volta nem sempre é verdade). " Amostras de tamanho grande tendem a diminuir o efeito negativo da falta de normalidade (Teorema do Limite Central). 3

32 Suposição de Homocedasticidade # Suposição de igualdade de variâncias para as variáveis dependentes. # A homocedasticidade pode ser verificada através de gráficos ou testes estatísticos (teste de Box M, por exemplo). 3

33 Comparação de várias populações normais (g grupos) H : µ = µ =! = 0 µ g H : pelo menos um dos grupos tem vetor de médias diferente. 33

34 Caso multivariado - MANOVA Fonte de variação SQ gl Entre B g- Dentro W n-g Total T n- g ( x x) ( x x) B = n j j - j - g j= n j ( ) T x ( ) ij - x j xij x j W = - j= i= T Λ = B W + W Lambda de Wilks 34

35 Regra de decisão Rejeito H 0 para valores pequenos de Λ, ou, analogamente, para valores grandes de L = p + g n ln( Λ) Em grandes amostras, L se distribui aproximadamente como uma qui-quadrado com p(g-) graus de liberdade 35

36 Exemplo Bebidas Analise descritiva A marca tem um sabor refrescante. Prefiro essa marca por ter menos calorias. A marca elimina minha sede imediatamente. Gosto do sabor adocicado da marca. Prefiro consumir a marca após atividade física, pois me dá energia. Prefiro a marca pois vem numa embalagem que não agride o meio ambiente. A marca tem minerais e vitaminas que mantêm baixa a necessidade de água de meu corpo. A marca tem um sabor único. A marca possui uma mistura de minerais e vitaminas que é saudável para o meu corpo. Eu prefiro a marca quando realmente estou com sede. TIPO refrigerante esportiva chá Média Média Média

37 Teste de normalidade de Kolmogorov-Smirnov H 0 : X j tem distribuição normal H : X j não tem distribuição normal A normalidade será testada para cada uma das variáveis envolvidas na análise, ou seja, de maneira univariada. 37

38 Kolmogorov-Smirnov Test for Normality: Statistic Probability X X X X X X X X X X

39 Teste de igualdade de vetores de médias H 0 : µ = µ =... = µ g H : Pelo menos um dos vetores de médias difere. T de Hotelling (g = ) Lambda de Wilks (g > ) 39

40 Testes > summary(m.bebidas, test="wilks") > summary(m.bebidas, test="roy") > summary(m.bebidas, test="pillai") > summary(m.bebidas, test="hotelling-lawley") Df Stat approx F num Df den Df Pr(>F) Wilks <.e-6 *** Roy <.e-6 *** Pillai <.e-6 *** Hotelling-Lawley <.e-6 *** Signif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 *