Pretpostavka: intuitivno jasan pojam trodimenzionalnog (Euklidskog) prostora E 3.

Transcrição

1 6. Vektor Realn zkaln svjet: neke velcne opsuju se jednm (realnm) brojem - skalarom (tena, duljna,...); neke velcne se ne mogu opsat samo jednm (realnm) brojem - opsujemo h vektorma (sla, brzna,...). Pretpostavka: ntutvno jasan pojam trodmenzonalnog (Eukldskog) prostora E 3. Oznake: tocke: A, B, M, N, P,...T ; dune: AB, MN,...; udaljenost - duljne duna: d (A; B) l jabj,...

2 Usmjerene dune vektor Dencja 6.1 Usmjerena duna AB je duna kojoj se zna pocetna tocka (hvatšte) A završna tocka B, tj. (A; B) := AB; Za dvje usmjerene dune AB A 1 B 1 kaemo da su ekvvalentne ako postoj translacja koja prevod jednu u drugu, tj. ako je cetverokut ABA 1 B 1 paralelogram (dune AB 1 A 1 B maju zajedncko polovšte). Pšemo AB A 1 B 1 ; Sve me dusobno ekvvalentne usmjerene dune tvore klasu koju nazvamo vektor; Pojednu usmjerenu dunu z svake klase nazvamo predstavnkom te klase; Vektore oznacavamo: ~a = h AB ; gdje je AB nek predstavnk dane klase - vektora (kaemo da je vektor "sveden" na pocetak A).

3 Geometrjsk, vektor ~a = odre den je s tr podatka: h AB, u ravnn l prostoru, nosacem - pravac (odre den tockama A B); orjentacjom na tom pravcu (od A prema B); duljnom l normom j~aj = d (A; B) ; Nosa c + orjentacja = smjer. Usmjerene dune koje lee na paralelnm pravcma maju stu orjentacju jednaku duljnu denraju st vektor. Nepreczna oznaka za vektor: ~a = AB: Skup svh vektora oznacavamo sa V (vektore u ravnn sa V 2 ; a vektore u prostoru sa V 3 ): Neka je O staknuta (cvrsta tocka) u prostoru. Za svak vektor ~a moguće je odabrat njegovog predstavnka, tako da mu pocetna tocka bude O. OT nazvamo radjus-vektor Vektor (usmjerenu dunu) l vektor poloaja tocke T: Oznacmo sa V 0 skup svh radjus-vektora s pocetkom u O:

4 Dencja 6.2 Za dva vektora ~a = h OA ~ b = h OB kaemo da su kolnearna ako tocke O; A, B prpadaju stom pravcu. Vektor ~a = h OA ~ b = h OB maju stu orjentacju ako se tocke A B nalaze s ste strane tocke O; a maju razlctu orjentacju ako se tocke A B nalaze s razlcth strana tocke O: Nul-vektor ~0 je vektor dulne 0: Dakle, ~ 0 = 0: (Nema smsla govort o smjeru. Vrjed: ~0 = 8A 2 E 3 ) h AA ; Jedncn vektor ~e je vektor dulne 1: Dakle, j~ej = 1: Suprotn vektor vektora ~a je vektor ~a koj ma st pravac duljnu kao vektor h ~a, al suprotnu orjentacju h od ~a: Dakle, ako je ~a = AB ; onda je ~a = BA :

5 Operacje s vektorma Dencja 6.3 h Neka su ~a = AB ~ b = h BC ~a ~ b je vektor ~c = ~a + ~ h h b = AB + BC = h (pravlo trokuta) l ako je ~a = OA ~ b = je ~c = ~a + ~ h b = OC ; vektor. Zbroj vektora h AC h OB gdje je C cetvrt vrh paralelograma denranog tockama O, A, B (pravlo paralelograma). onda Poopćenje: ~a 1 +~a 2 +:::+~a n = h h h A 0 A 1 + A 1 A 2 +:::+ A n 1 A n = h A 0 A n Svojstva: Neka su ~a, ~ b ~c vektor, tada vrjed. ~a + ~ b +~c = ~a + ~b + ~c (svojstvo asocjatvnost); ~a + ~0 = ~0 + ~a; ~a + ( ~a) = ~a + ~a = ~0; ~a + ~ b = ~ b + ~a (svojstvo komutatvnost):

6 Denramo oduzmanje vektora kao ~a ~ b =: ~a + ~b l ako je ~a = Dencja 6.4 h OA ~ b = h OB h ~a ~ b = BA : ; onda je Neka je ~a vektor 2 R: Produkt skalara vektora ~a je vektor ~c = ~a zadan sa: j~aj = jj j~aj ; vektor ~a ~a su kolnearn; ako je > 0 onda ~a ~a maju stu orjentacju, a ako je < 0 onda ~a ~a maju suprotnu orjentacju. (Za = 0 je j~aj = 0; pa je ~a nul-vektor). Svojstva: Neka su ~a, ~ b vektor ; 2 R skalar, tada vrjed. ~a + ~ b = ~a + ~ b; ( + )~a = ~a + ~a; ()~a = (~a) ;

7 Specjalno vrjed: 1 ~a = ~a; 1 ~a = ~a; ~0 = ~0; za svak 2 R; ako je ~a 6= ~0 () j~aj 6= 0) onda je 1 j~aj ~a =: ~a j~aj = ~e jedncn vektor. Koordnatzacja - olakšava baratanje s vektorma. Koordnatzacja pravca Odaberemo (brojevn) pravac p; tocku kojoj je prdruena 0 oznacmo sa O; a tocku kojoj je prdruena 1 oznacmo sa I; Vektor~ = OI je jedncn vektor ( OI = d (O; I) = 1). Tako smo na pravcu p zadal koordnatn sustav 0;~ : Svakoj tock T 2 p je jednoznacno prdruen realn broj x (apscsa) vektor OT. Vrjed: ~a = OT = x OI = x ~ =: [x] =: fxg (z svojstava mnoenja vektora sa skalarom).

8 Za tocke T; S 2 p ; 2 R vrjed OT + OS = x 2 ~ + x 2 ~ = [x 2 + x 2 ] = fx 2 + x 2 g : (svedeno na operacje s brojevma). Koordnatzacja ravnne Odaberemo dva okomta (brojevna) pravaca p q koj se sjeku u tock O ( lee u ravnn ); na pravcu p zadajmo koordnatn sustav 0;~ ; a na pravcu q zadajmo koordnatn sustav 0;~j tako da je ~ = OI; ~j = OJ; ~ = ~ j = 1; tako da tocka I; rotacjom za 2 u poztvnom smjeru, prelaz u tocku J: S ovm smo u ravnn zadal desn pravokutn koordnatn sustav 0;~;~j : =

9 Svakoj tock T 2 je jednoznacno prdruen ure den par realnh brojeva (x; y) vektor OT. Vrjed: ~a = OT x = x~ + y~j =: =: fx; yg y (z svojstava zbrajanja vektora mnoenja sa skalarom). Nazv: pravac p: os apscsa l x pravac q: os ordnata l y os; os; x y - koordnate tocke T ; x je apscsa, a y je ordnata; x y - skalarne komponente radjus vektora OT ; x~ y~j - vektorske komponente radjus vektora OT ; Za tocke T; S 2 ; 2 R vrjed OT + OS x1 = + = x1 + x 2 y 1 + y 2 y 1 x2 y 2 = = fx 2 + x 2 ; y 2 + y 2 g : (svedeno na operacje s matrcama).

10 Koordnatzacja prostora Odaberemo u prostoru E 3 tr me dusobno okomta (brojevna) pravaca p, q r koj se sv sjeku u tock O; u ravnn odre denoj s pravcma p q zadamo desn pravokutn koordnatn sustav 0;~;~j na prje opsan nacn; na pravcu r zadajmo koordnatn sustav 0; ~ k ; tako da vektor~;~j ~ k zadovoljavaju pravlo desnog vjka. S ovm smo u prostoru E 3 zadal desn pravokutn koordnatn sustav 0;~;~j; ~ k pr tome vrjed ~ = OI; ~j = OJ; ~ k = OK; ~ = ~ j = ~ k = 1: Svakoj tock T 2 E 3 je jednoznacno prdruena ure dena trojka realnh brojeva (x; y; z) vektor OT. Vrjed: 2 3 ~a = OT = x~ + y~j + z ~ x k =: 4 y 5 =: fx; y; zg z (z zbrajanja vektora mnoenja sa skalarom).

11 Nazv: pravac p: os apscsa l x pravac q: os ordnata l y pravac r: os aplkata l z os; os; os; x, y; z - koordnate tocke T ; x je apscsa, y je ordnata, a z aplkata; x, y; z - skalarne komponente radjus vektora OT ; x~, y~j, z ~ k - vektorske komponente radjus vektora OT ; prostor E 3 je podjeljen u 8 oktanata Za tocke T; S 2 E 3 ; 2 R vrjed 2 3 OT + OS+ x 1 = 4 y z 1 = 2 4 x 1 + x 2 y 1 + y 2 z 1 + z x 2 y 2 z = 5 = fx 2 + x 2 ; y 2 + y 2 ; z 1 + z 2 g : (svedeno na operacje s matrcama).

12 Neka je u koordnatnom sustavu vektor ~a = fx; y; zg tada je: 0;~;~j; ~ k duljna l norma vektora ~a = OT j~aj = OT = p x 2 + y 2 + z 2 (vd se geometrjsk: OT = d (O; T )): zadan ako je ~a 6= ~0; tada je prpadn jedncn vektor ( j~a 0 j = ~a 0 = 1 ~a ~a = j~aj j~aj = x ~ + y~j + z ~ k p x2 + y 2 + z 2 1 j~aj ~a = 1 j~aj j~aj = 1): Lnearna nezavsnost Neka su ~a 1, ~a 2,...,~a k vektor u prostoru E 3 1 ; 2 ; :::; k 2 R. Vektor ~a= 1 ~a ~a 2 + ::: + k ~a k nazvamo lnearna kombnacja vektora ~a 1, ~a 2,...,~a k :

13 Dencja 6.5 Za vektore ~a 1, ~a 2,...,~a k kaemo da su lnearno nezavsn ako za sve 1 ; 2 ; :::; k 2 R 1 ~a ~a 2 + ::: + k ~a k = ~0 =) 1 = 2 = ::: = k = 0: U protvnom kaemo da su vektor ~a 1, ~a 2,...,~a k lnearno zavsn. Odnosno, za vektore ~a 1, ~a 2,...,~a k kaemo da su lnearno zavsn ako postoje skalar 1 ; 2 ; :::; k 2 R; od kojh je barem jedan razlct od nule, takv da je 1 ~a ~a 2 + ::: + k ~a k = ~0: Ako su vektor ~a 1, ~a 2,...,~a k lnearno zavsn, onda barem jedan od njh moemo zrazt kao lnearnu kombnacju ostalh, obratno, ako se barem jedan od vektora ~a 1, ~a 2,...,~a k moe zrazt kao lnearna kombnacja ostalh, onda su vektor ~a 1, ~a 2,...,~a k lnearno zavsn. Ako su vektor ~a 1 = fx 1 ; y 1 ; z 1 g ; :::; ~a k = fx k ; y k ; z k g zadan u koordnatnom sustavu 0;~;~j; ~ k tada je njhova lnearna nezavsnost ekvvalentna s lnearnom nezavsnošć stupaca matrce

14 Uocmo: 2 4 x 1 x 2 x k y 1 y 2 y k z 1 z 2 z k 3 5 svaka dva kolnearna vektora su lnearno zavsna; svaka tr komplanarna vektora su lnearno zavsna; svaka cetr vektora u prostoru su lnearno zavsna; svaka dva nekolnearna vektora su lnearno nezavsna; svaka tr nekomplanarna vektora su lnearno nezavsna. Svaka tr lnearno nezavsna ~a, ~ b,~c vektora u prostoru E 3 cne bazu prostora E 3 : Dakle, svak vektor ~ d u prostoru E 3 moemo na jednstven nacn zrazt kao lnearnu kombnacju vektora baze ~a, ~ b, ~c: Napomena: Iz predhodnog zakljucujemo da svaka tr nekomplanarna vektora ~a, ~ b,~c vektora u prostoru E 3 cne bazu prostora E 3 :