Notas de Curso. Ivan Pan. 28 de Maio de 2008

Transcrição

1 Notas de Curso Ivan Pan 28 de Maio de 2008

2 2

3 Capítulo 1 Números Complexos Começaremos este capítulo fazendo uma brevíssima introdução aos sistemas numéricos (poderíamos dizer, números reais) cuja única intenção é chamar a atenção do leitor para, em primeiro lugar, a naturalidade da concepção de número real e, em segundo lugar, da necessidade de construir os números complexos na medida que queremos desenvolver uma teoria razoável das equações algébricas. Ou seja, ao desenvonvolvermos o conceito de número, na parte introdutória do capítulo, isso não será suficiente, nem minimamente, para que um leitor leigo possa apreender como utilizá-los sem antes ter tido um apreendizado, nem que seja superficial, abordando este conceito; vamos começar argumentando com alguns exemplos do cotidiano e logo depois com exemplos mais abstratos vinculados à resolução de equações, de forma a sugerir que a invenção dos números é bem mais natural do que muitas vezes pode parecer. Logo após, introduziremos o conceito de número complexo, e estudaremos detalhadamente as suas propriedades básicas. Finalmente, formalizamos a concepção de algumas estruturas algébricas estreitamente relacionadas aos sistemas numéricos. 1.1 Introdução Os números que conhecemos são de fato de natureza diversa, o que está associado de forma bastante clara à utilização que fazemos deles. Por exemplo, contamos objetos de qualquer tipo com os números 1, 2, 3,...,etc; estes são os chamados Números Naturais; denotamos por N o conjunto constituído por estes números e suporemos que o número 0 está em N. Sem dúvida, os 3

4 4 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS naturais é o primeiro tipo de números que a humanidade concebeu; mesmo antes de possuir uma linguagem tão evoluída como a que hoje possuímos, já sabíamos contar: basta constatar a presença de um objeto, e logo a de um outro objeto diferente sem ter esquecido a do primeiro, que estamos contando. 1. Suponhamos agora que uma determinada pessoa que usufrui das vantagens (ou desvantagens) do chamado cheque especial, paga uma dívida de 200 reais com um cheque quando há na sua conta bancária tão somente 123 reais. Assim que o cheque for descontado pela administração do banco, dizemos que ficamos com saldo negativo de 77 reais, que poderíamos convencionar escrever na forma -77 R$; estamos então insinuando a existência de números muito parecidos com os naturais, mas com uma qualidade especial que os faz opostos (ou simétricos) com aqueles em certo sentido: se depositarmos 77 reais na nossa conta (logo depois de contrairmos a dívida com o banco para não termos de pagar juros), o resultado é que ficamos sem dinheiro e sem dívida, isto é: =0. O conjunto dos naturais acrescentado destes novos naturais negativos é o que chamamos de Números Inteiros; denotaremos por Z o conjunto dos números inteiros. Resumindo, e de maneira heurística, podemos dizer que estes números permitem-nos contar para frente e para trás. Quando precisamos dividir alguma coisa (por exemplo um bolo) em partes iguais, os números inteiros não são adequados para contar as diferentes partes, pois precisamos de uma contagem das partes, relativa ao todo, de forma a sabermos quanto do total do bolo as respectivas partes representam; podemos pensar nesta contagem relativa em contraposição à contagem absoluta realizada com os números naturais. Estamos então obrigados a introduzir o conceito de fração. Dizemos que comemos dois terços do bolo ou que ficamos uma meia hora esperando, etc; também precisamos de frações negativas, pois também podemos dever meia hora de trabalho ao nosso serviço por termos saído antes no dia anterior. Estes novos números são os Números Racionais que nos permitem de certa forma, contar, para frente e para trás, de maneira relativa ; como também podemos comer o bolo inteiro comendo todas as partes em que foi previamente dividido, os números inteiros deveriam ser considerados como casos particulares de números racionais. O conjunto dos números racionais será denotado por Q. 1 Pesquisadores de Biolingüística acreditam hoje que mesmo crianças com pocos meses de vida sabem contar até três (ver por exemplo [5] e artigos relativos)

5 1.1. INTRODUÇÃO 5 Finalmente, quando tentamos medir a diagonal de um triângulo retângulo, pode acontecer (e de fato acontece quase sempre embora esta afirmação não seja tão simples de ser demonstrada rigorosamente) que o resultado da medição, não seja uma fração; porém deveria de existir um número com sua medida, já que tanto as diagonais de triângulos como seus comprimentos parecem existir. Para entender isto, consideremos um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimento 1. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da diagonal deveria ser um número a tal que a 2 = 2. Suponhamos que a = p/q onde p e q são números inteiros sem fatores comuns (isto é, cujo máximo divisor comum é 1), ou seja, suponhamos que a é um número racional. Vamos ver que isto nos conduz a uma contradição. Com efeito, neste caso a = p 2 /q 2 donde p 2 = 2q 2. Como p divide 2q 2 e não divide q (logo não divide q 2 ), teríamos que p divide 2; para isto acontecer, deveriamos ter p = 1 ou p = 2 (e então p 2 = 4), o que não é possível como o leitor poderá facilmente verificar. O conjunto dos números que permitem representar com precisão qualquer medida de um certo comprimento, como por exemplo aquele da diagonal de um triângulo retângulo, ou o negativo de qualquer comprimento, chamase o conjunto dos Números Reais, que denotaremos R (tente dar alguma utilidade para os comprimentos negativos!). O leitor pode observar que enquanto os racionais podem ser construídos tomando frações de números inteiros e os inteiros tomando opostos (negativos) de números naturais, ou seja, que em última instância parece bastar a existência dos naturais para chegarmos à existência dos racionais.os números reais possuem uma natureza um tanto diferente, pois não podem ser construídos a partir de números mais simples por meio de operações elementares (soma, substração, multiplicação e divisão); de fato, os primeiros reais não racionais que conseguimos conceber, a partir de nosso exemplo, provém de realizar uma operação de natureza diferente, a raiz quadrada. É sabido que todo número real positivo possui duas raízes também reais, uma positiva e uma negativa (a prova deste resultado não é inteiramente banal e se faz nos cursos de análise real: veja por exemplo [6, Cap. III, 3]). Por definição de raiz quadrada, esta pode ser extraída daqueles números reais que forem positivos ou zero.

6 6 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Observe-se que, de acordo com o que temos concluído acima, temos as seguintes inclusões estritas de conjuntos N Z Q R. Vejamos agora como os diferentes conjuntos de números que conhecemos surgem naturalmente como uma necessidade, na tentativa de resolver equações polinomiais. Consideremos a equação linear ax + b = 0, onde a,b R. Se a = 0, então não temos equação alguma (pois a incógnita sumiu!); então suponhamos que a 0. Como sabemos desde o ensino fundamental, se a 0, o único valor possível de x é x = b a. Para obter este resultado, devemos somar o oposto b de b aos dois lados da igualdade (pois duas magnitudes iguais não podem ser alteradas ao somar um mesmo número a cada uma delas) e logo devemos multiplicar a ambos lados da nova igualdade, por 1/a, que é chamado de inverso de a, para enfim obter o resultado conhecido por todos. Em particular, observe-se que precisamos das operações elementares para resolver esta simples equação! Mesmo sendo a e b númeos naturais, é facil ver que a solução obtida deixa de sê-lo na mair parte dos casos. Precisamos então, no mínimo, dos números racionais para resolver uma equação linear. De fato, os números racionais podem ser definidos, como o conjunto das soluções de equações lineares da forma qx = p onde p e q são números inteiros arbitrários com q 0. Consideremos agora uma equação quadrática, isto é, da forma ax 2 + bx + c = 0, (1.1) onde a,b,c R e a 0. Multiplicando por 1/a podemos escrever a equação acima na forma equivalente seguinte x 2 + b a x + c a = 0.

7 1.1. INTRODUÇÃO 7 Mais ainda, um pequeno cálculo nos mostra que esta equação é de fato equivalente à seguinte: ( x + b ) 2 b2 2a 4a + c 2 a = 0. Desta forma obtemos ( x + b ) 2 = b2 2a 4a c 2 a, o que mostra que a expressão x + b 2a deve ser uma raíz quadrada de b 2 /4a 2 c/a; em particular para podermos calcular as soluções da equação quadrática, precisamos que esta expressão seja não negativa. Formalmente podemos escrever x = b b 2a ± 2 4a c 2 a. (1.2) Observamos, por um lado, que devemos ter b 2 4a 2 c a 0 para podermos calcular as raízes quadradas; mais ainda, mesmo tendo a,b,c Z, o resultado, mesmo que exista, pode não ser racional: faça por exemplo b = 0,a = 1,c = 2. Por outro lado, se quiséssemos resolver a equação quadrática para quaisquer valores de a,b e c, então deveríamos conhecer um conjunto de números que contivesse no seu interior raizes de números reais negativos; isto aparentemente não faz muito sentido (pense sobre isso!!). Vejamos um exemplo. Vamos admitir que o leitor conheça, o que é assunto de ensino médio (e que analisaremos em detalhe no capítulo 2), que quando temos uma solução x 0 de uma equação polinomial, podemos dividir o polinômio por x x 0 obtendo assim uma fatoração deste como produto de x x 0 por um polinômio de grau um a menos. De qualquer modo, vamos aceitar este fato apenas para podermos dar um exemplo que, esperamos, motive o leitor a fazer o esforço de continuar a leitura. Exemplo Consideremos a equação cúbica x 3 4ax 2 + a 2 x 1 = 0.

8 8 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Um cálculo facil envolvendo derivadas nos mostra que a função f(x) := x 3 4ax 2 + a 2 x 1 possui um máximo relativo em x = 2a e um mínimo relativo em x = 6a; obtemos diretamente f(2a) = 6a 3 1 < 0,f(6a) = 214a 3 1. Como o sinal de f(x) coincide com o sinal de x para valores de x cujo valor absoluto seja o suficientemente grande, concluímos que o gráfico de f(x) corta a reta y = 0 uma única vez, donde segue que a equação cúbica acima possui uma única raiz real. Suponhamos agora que temos à mão a solução real, digamos x 0, desta equação. Dividindo por x x 0, podemos fatorar a equação na forma x 3 4ax 2 + a 2 x 1 = (x x 0 )g(x), onde g(x) é uma expressão de grau dois; estamos então na situação onde g(x) = 0 não possui solução real, isto é, b 2 /4a 2 c/a < 0 para a equação quadrática g(x) = 0. Se tivermos um método para encontrar as soluções não reais desta equação como em (1.2), digamos x 1 e x 2, então poderíamos dividir por (x x 1 ) e por (x x 2 ), obtendo finalmente a solução real x Definição e operações elementares Retomemos a equação (1.1). Trabalhando de maneira puramente formal com a solução (1.2) (isto é, não se preocupando com o fato da solução existir ou não) e escrevendo, para simplificar, podemos escrever (1.2) na forma := b 2 4ac, x = b 2a ± 2a. Evidentemente o resultado faz sentido como número real se e somente se 0.

9 1.2. DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES ELEMENTARES 9 Por outro lado, se for negativo, podemos escrevê-lo como = ( 1), onde as barras indicam o valor absoluto do número real que neste caso será estritamente positivo. Se continuaramos trabalhando de maneira formal, e esperando que as propriedades usuais dos números que conhecemos sejam ainda válidas, teremos x = b ( 1) 2a ± 2a = b 1 2a ± ; 2a aqui a única expressão que não faz sentido dentro dos números reais é 1. Concluímos que para resolver a equação quadrática em todos os casos só precisamos de dar um sentido à expressão 1. Todas as soluções podem ser então escritas na forma x = A + B 1 onde se 0, e A = b 2a ± 2a A = b 2a, B = ± 2a quando < 0; observemos que A e B sempre são números reais. Para simplificar a notação, escreveremos ı no lugar de 1. Esqueçamos por um momento a equação e trabalhemos com números da forma a + bı onde a, b R. Se quisermos que expressões desta forma sejam verdaderos números (embora não reais!), devemos saber operar com eles, isto é, devemos saber como somá-los, sustraí-los, multiplicá-los e dividí-los, quando esta última operação for possível (lembrar do que acontece com os inteiros que não possuem divisão exata sempre). Mais ainda, estas operações devem satisfazer as propriedades básicas de associatividade, comutatividade e distributividade, como as satisfazem todos os números que conhecemos.

10 10 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Finalmente, seria necessário que os números reais pudessem ser considerados como um caso particular destes novos números, afim de poder usá-los para resolver a equação quadrática sem ter que diferenciar o caso em que o resultado é real do caso onde não o é. Tomando b = 0 em a+bı parece bem razoável que só obtenhamos números reais, já que a R. Para definir a soma, dado que cada expressão da forma a + bı possui duas partes distintas, uma real, o número real a, e outra, o número real b, que vem acompanhada de um objeto novo (o ı = 1 que certamente não é real), parece natural então somar dois destes números não misturando suas partes; mais precisamente, vamos somar a+bı e c+dı como (a + bı) + (c + dı) = (a + b) + (c + d)ı, que faz sentido pois sabemos o que significa a + b e c + d De maneira análoga, multipliquemos formalmente dois destes números usando as propiedades que conhecemos das operações elementares: (a + bı) (c + dı) = ac + adı + bıc + bıdı = ac + adı + bcı + bd(ı) 2 = ac + adı + bcı + bd( 1) = ac bd + (ad + bc)ı; observe-se que ac bd + (ad + bc)ı é uma expressão da forma A + Bı onde A, B R. Quando não houver perigo de ambigüidade, também escreveremos zw para indicar a multiplicação z w de dois números complexos z = a + bi e w = c + di. Isto motiva a seguinte Definição O conjunto dos números complexos é o conjunto C := {a + bı : a,b R} com as operações de soma e multiplicação definidas por e (a + bı) + (c + dı) = (a + b) + (c + d)ı (a + bı) (c + dı) = ac bd + (ad + bc)ı, respectivamente. Si z = a + bı C dizemos que a e b são as partes real e imaginária, respectivamente; denotamos a = R(z) e b = I(z).

11 1.2. DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES ELEMENTARES 11 Se z = a + bı, dizemos que a + bı é a Notação Binômica ou Cartesiana; a segunda denominação é motivada em certa medida pela seguinte observação. Observação A existência de um número complexo equivale então à existência de dois números reais, sua partes real e sua parte imaginária, de maneira independente. Desta forma podemosrepresentar um número complexo z C como um par ordenado (a,b); de fato esta observação permite entender que os números complexos efetivamente existem, e sua existência está vinculada à existência dos números reais: observe que nossa construção dos números complexos pressupõe a existência de um número bastante singular que denotamos ı; a forma de entender que este número efetivamente existe, é pensar os números complexos como pares ordenados da forma (a, b) junto com as operações definidas acima, reinterpretadas em termos de pares, isto é: (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), (a,b) (c,d) = (ac bd,ad + bc). Deixamos como exercício para o leitor verificar que o par ordenado (0, 1) satisfaz (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0); como (0, 1) corresponde exatamente ao nosso ı, isto mostra que o quadrado dele corresponde ao nosso número complexo 1 = 1 + 0ı. A representação de um número complexo como um par ordenado, permitenos representar geometricamente tal número na forma de um vetor do plano; a ponta do vetor ou ponto do plano correspondente terá como abscissa e ordenada as parte real e imaginária do número complexo, respectivamente. b a+ib a Figura 1.1: Representação geométrica de um número complexo Geometricamente podemos obter a soma de números complexos z = a+ıb e w = c+ıd pela chamada Regra do Paralelograma, que consiste em construir

12 12 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS um paralelogramo, cujos lados adjacentes são os vetores (a,b) e (c,d) que est øsendo somados, b a+ib (a+c)+i(c+d) c+id a Figura 1.2: Representação geométrica da soma de complexos Como nosso objetivo é resolver equações polinomiais, é claro que,deveríamos poder operar com nossos novos números. Para isto, precisamos não só multiplicar e somar, mas também subtrair e dividir. Mais concretamente, tendo em mente o exemplo 1.1.1, podemos conceber que os números complexos possam nos auxiliar no intuito de encontrar as soluções reais de uma equação algébrica (polinomial) mediante obtenção de uma solução arbitrária; mesmo sendo esta imaginária. Para isto podemos dividir a expressão de nossa equação por x α, onde α é a solução achada em primeira instância; desta forma, nossa equação original fatora-se como produto de x α por uma expressão de grau um a menos do que o grau daquela. Não é dificil de se convencer que para dividir expressões polinomiais com coeficientes em C (observe que agora α pode não ser real), é necessário poder subtrair e dividir números complexos (para divisão de polinômios veja capítulo 2. O Módulo de um número complexo z := a + ıb é o número real não negativo z := a 2 + b 2. Da representação geométrica concluímos que z é o comprimento do vetor (a,b) correspondente; evidentemente Z = 0 se e somente se z = 0. Como caso particular, observa-se que se z = a é um número real, então a é o valor absoluto usual de a. De acordo com a definição de multiplicação de números complexos, obsevamos que a 2 + b 2 = (a + ıb)(a ıb);

13 1.2. DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES ELEMENTARES 13 o número complexo z := a ıb chama-se o Conjugado de z = a+ıb. Obtemos então z z = z 2. (1.3) Com a ajuda da equação (1.3) podemos demonstrar a existência de inverso de um número complexo não nulo de maneira muito simples. Com efeito, se z 0, teremos que r := z é um número real não nulo (de fato positivo) donde z ( 1 z) = 1, r2 o que mostra que o inverso de z existe e escreve-se na forma em notação binômica z 1 = z 1 = 1 r z; ( a a 2 + b + 2 b a 2 + b 2 ) ı. Se z,w C com w 0, definimos a divisão de z por w como Z : w := z w 1 ; como para números reais, denotamos também z : w = z w. Como exercício o leitor pode tentar demonstrar o seguinte resultado que resume as propriedades algébricas do conjunto dos números complexos: Teorema A terna (C, +, ) é um corpo. Para terminar esta seção, enunciamos sem demonstração as propriedades métricas mais importantes do módulo; consideramos estas propriedades como conhecidas dos leitores, já que são as mesmas consideradas para vetores do plano e que, graças à representação geométrica dos números complexos, continuam válidas para estes últimos; em todo o caso, tentar uma demonstração destas propriedades é um exercício útil para obter desenvoltura no cálculo com números complexos. Proposição Sejam z 1,z 2 C e λ R. Temos as seguintes afirmações: (a) (Desigualdade Tringular) z 1 + z 2 z 1 + z 2 ; (b) λz 1 = λ z 1 ; (c) Se Z 2 0, então z 1 z2 1 = z 1 / z 2.

14 14 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS 1.3 Coordenadas polares Analogamente ao que acontece com os vetores do plano, temos uma representação polar para números complexos. Por razões históricas se z = a + bı é um número complexos, o ângulo na representação polar do vetor (a,b) chama-se o Argumento de z. Antes de definir o argumento precisamos de alguns preliminares. Da mesma maneira que para dar posições de pontos numa reta é necessário antes fixar um ponto de referência nesta, a partir do qual as coordenadas de pontos arbitrários da reta serão definidas, precisamos de uma semireta de referência com relação à qual a inclinação dos vetores do plano será determida. Mais precisamente, fixemos um sistema de coordenadas cartesiano cuja origem (0, 0) denotamos O, que representa o número complexo 0 = 0+0ı. Fixemos uma semireta l com origem em O; denotamos λ [0, 2π) o ângulo formado por l e a semireta constituída pelos pontos de abscissa não negativa, medido em sentido anti-horário. Nosso objetivo é definir coordenadas angulares para um vetor não nulo v do plano. Quando o vetor v for nulo, isto é, estiver representado pelo ponto O, a coordenada angular não estará definida. Então a coordenada angular de v relativa à reta l, é um número real θ(v) [λ,λ + 2π), que por definição, é o valor do ângulo formado por v e o vetor (1, 0) medido em sentido anti-horário. Desta forma, a coordenada angular está bem determinada sempre que v 0, dependendo seu valor, da semireta l pré-fixada; na literatura sobre o assunto, quando fixada a semireta l, diz-se as vezes que fixamos uma determinação da coordenada angular. Por convenção se θ [λ,λ+2π), os identificamos com θ, os valores θ+2kπ, onde k Z: observe que tais valores definem o mesmo ângulo que θ. As semiretas mais comumente utilizadas para determinar a coordenada angular são as duas semiretas determinadas pela origem O no eixo x: a dos pontos cujas abscissas são não negativas e não positivas respectivamente. No primeiro caso a coordenada θ(v) varia no intervalo [0, 2π) e no segundo caso no intervalo [ π, π). Aos efeitos da utilização que faremos dos números complexos, é suficiente considerarmos apenas a primeira determinação da coordenada angular; determinação esta que fixamos e que consideraremos sem mensão explícita a partir de agora. Exemplo O vetor v = ( 1, 1) tem coordenada angular θ = 7π/4, ou somando 2π, também θ = π/4, que é um valor do argumento na determinação θ [ π, π).

15 1.3. COORDENADAS POLARES 15 Seja z C um número complexo. Se z 0, a coordenada angular do vetor que representa z chama-se o argumento, que denotamos arg(z) ou arg z. As coordenadas polares de z é o par ( z, arg z); se z = 0 o valor de arg z não existe (isto é, a função argumento não está definida em 0) mas z = 0 neste caso, o que determina z (ou seja, não precisamos de argumento para determinar z = 0). Se z = a + bı 0 com coordenadas polares (r,θ), temos evidentemente a = r cos θ, b = r sin θ; concluímos que as coordenadas polares de z determinam a parte real e imaginária de z. Reciprocamente, dados a e b podemos determinar as coordenadas polares mas temos que ter certo cuidado com o argumento; com efeito o módulo r, como já sabemos vale a 2 + b 2, mas para o argumento devemos utilizar as funções trigonométricas inversas e alguma das relações cos θ = a r, sin θ = b r ; podemos ainda utilizar arctan b a. É preciso, na hora de calcular θ, representar geometricamente o número complexo, de forma a poder interpretar corretamente os valores das funções arcos: vejamos um exemplo. Exemplo Seja z = 1 ı; está representado pelo vetor ( 1, 1) no terceiro quadrante. Temos z = 2. Se calculamos ingenuamente ( ) 1 arctan = arctan(1) 1 obteremos o valor π/4, pois os valores da função arctan variam entre π/2 e π/2; devemos então corrigir este valor subtraindo-o de π, pois nosso vetor está de fato no terceiro quadrante. Analogamente, para o complexo z = 1 + ı que está no segundo quadrante, devemos corrigir o valor arctan( 1) = π/4 somando-lhe π. O leitor pode refletir sobre o que devemos corrigir no caso de utilizar as funções arccos e arcsin. Exemplo Consideremos z = bı; é um número complexo imaginário puro, isto é, sua parte real é nula. Se tratarmos de calcular seu algumento

16 16 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS utilizando arctan, observaremos que em princípio isto não é possível, pois a = 0. Mas um momento de reflexão nos mostra que não é necessária a utilização de fórmula alguma, pois evidentemente o argumento de um tal número é π/2 quando b > 0 e 3π/2 quando b < 0. Se z = a + bı, usando as fórmulas acima, podemos escrever z = r(cos θ + ı sin θ). Dizemos que z está escrito em Notação Trigonométrica, em contraposição com a escrita z = a+bı que é chamada de Notação Cartesiana ou Binômica. Exemplo A notação trigonométrica do número complexo 1 + ı 3 é z = 2(cos π 3 + ı sin π 3 ) Fórmulas de De Moivre Vamos agora multiplicar dois números complexos escritos em notação trigonométrica. Sejam z j = r j (cos θ j + ı sin θ j ), j = 1, 2; ou seja que r j = z j, θ j = arg z j para j = 1, 2. Então z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + ı sin θ 1 )r 2 (cos θ 2 + ı sin θ 2 ) = r 1 r 2 (cos θ 1 + ı sin θ 1 )(cos θ 2 + ı sin θ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + ı(cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )] = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + ı sin(θ 1 + θ 2 )], onde usamosa conhecida fórmula para seno e cosseno de uma soma de ângulos. Concluímos que o módulo de z 1 z 2 é o produto dos módulos de z 1 e z 2, e o seu argumento é a soma dos argumentos de z 1 e z 2, respectivamente. Exercício Interprete geometricamente as conclusão acima sobre as coordenadas polares do produto de números complexos. Consideremos n números complexos z j := r j (cos θ j + ı sin θ j ), j = 1,...,n.

17 1.4. RAÍZES N-ÉSIMAS 17 Por indução matemática no número de fatores podemos demonstrar (o que mostramos para dois fatores é o caso n = 2) z 1 z n = r 1 r n [cos(θ θ n ) + ı sin(θ θ n )]. Como caso particular, escolhendo z = z 1 = = z n obtemos uma fórmula para a potência n ésima [r(cos θ + ı sin θ)] n = r n [cos(nθ) + ı sin(nθ)], (1.4) onde r = r 1 = = r n e θ = θ 1 = = θ n. Aplicando esta fórmula para um número complexo z de módulo r = 1 obtemos a fórmula equivalente (cos θ + ı sin θ) n = cos(nθ) + ı sin(nθ). (1.5) Tanto a fórmula (1.4) quanto a fórmula (1.5) são conhecidas como Fórmula de De Moivre. Esta última pode ser utilizada para escrever cos(nθ) e sin(nθ) como funções polinomiais em cos θ e sin θ com coeficientes inteiros: Exemplo Seja n = 2. Neste caso a fórmula (1.5) fornece cos(2θ) + ı sin(2θ) = (cos θ + ı sin θ) 2 = (cos 2 θ sin 2 θ) + ı(2 cos θ sin θ); donde, igualando partes real e imaginárias, obtemos cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ, sin(2θ) = 2 cos θ sin θ. Para os casos n = 3, 4 veja o exercício Mais geralmente, o leitor pode tentar obter uma fórmula geral como sugerida no seguinte: Exercício Utilizando a fórmula do binômio de Newton (caso não a conheça veja o exercício no final do capítulo), escreva cos(nθ) e sin(nθ) como funções polinomiais em cos θ e sin θ com coeficientes inteiros. 1.4 Raízes n-ésimas Seja w C. Uma raiz n-ésima de w é um número complexo z C tal que z n = w.

18 18 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Se w = 0, aplicando módulos de ambos lados da equação obtemos z n = z n = 0, donde z = 0, isto é, z = 0. Ou seja, a única raiz n-ésima de 0 é o próprio 0. Suponhamos agora que w 0; escrevamos w em notação trigonométrica: w = s(cos φ + ı sin φ), com s = w > 0 e φ = arg w. Procuramos raízes n-ésimas também escritas em notação trigonométricas da forma z = r(cos θ + ı sin θ), com r = z e θ = arg z. Por definição z n = w; da fórmula de De Moivre (1.4) obtemos z n = = r n [cos(nθ) + ı sin(nθ)] = s(cos φ + ı sin φ) = w. Primeiramente concluímos que o módulo de w é s = r n, donde obtemos o módulo r de z: como r > 0, seu valor é a raiz n-ésima (real) positiva s 1 n de s. Simplificando r n com s obtemos cos(nθ) + ı sin(nθ) = cos φ + ı sin φ, que igualando partes real e imaginária equivale ao sistema de equações trigonométricas { cos(nθ) = cos φ (1.6) sin(nθ) = sin φ. Analisando o gráfico das funções cos e sin (ou equivalentemente as projeções nos eixos x e y de um ponto variando no círculo trigonométrico, respectivamente), constatamos que dois ângulos distintos com valores entre 0 e 2π que possuem o mesmo cosseno estão nos quadrantes primeiro e quarto, nos quadrantes segundo e terceiro, ou são π/2 e π/2. Analogamente, se possuem o mesmo seno, estão nos quadrantes terceiro e quarto ou nos quadrantes primeiro e segundo. Concluímos que dois ângulos (distintos) em [0, 2π) não podem, ao mesmo tempo, possuir o mesmo cosseno e o mesmo seno. Portanto, a única forma para que ângulos distintos, agora com valores arbitrários,

19 1.4. RAÍZES N-ÉSIMAS 19 possuam o mesmo cosseno e o mesmo seno é que seus valores difiram por múltiplos inteiros de 2π. Da digressão acima, concluímos que as soluções do sistema de equações trigonométricas (1.6) é nθ = φ + 2kπ, k Z; o argumento procurado θ tem então vários valores possíveis que dependem de k: θ k = φ n + 2kπ n, k Z. Fazendo k variar entre 0 e n 1 o ângulo θ toma os n valores distintos φ n, φ n + 2π n, φ n + 4π n,..., φ n 2(n 1)π + ; n quando k varia entre n e 2n 1 reobtemos os valores de θ = θ 0,θ 1,...,θ n 1, pois estes diferem daqueles por 2π (nossa convenção para valores de ângulos: veja página 14). Raciocinando desta forma não é difícil de se convencer que os únicos valores distintos para o argumento θ são o n valores acima. Demostramos então o seguinte resultado: Teorema Seja w C um número complexo não nulo; escrevemos Então existem n raízes (distintas) w = s(cos φ + ı sin φ). z k = r(cos θ k + ı sin θ k ), k = 0, 1,...,n 1, onde r = s 1 n, θk = φ n + 2kπ n. Observação Todas as raízes n-ésimas de w possuem o mesmo módulo que é exatamente a raiz n-ésima positiva real do módulo de w; para obter os argumentos das raízes n-ésimas, podemos proceder da forma seguinte: primeriro dividimos o argumento de w por n, o que fornece o argumento de z 0 ; logo após acrescentamos ao argumento de z 0 o valor 2π/n, o que fornece o argumento de z 1 ; logo após acrescentamos ao argumento de z 1 o valor 2π/n; e assim por diante, até obtermos o argumento de z n 1. Se repetirmos mais uma vez o procedimento, reobteremos o argumento de z 0.

20 20 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS A observação acima fornece a seguinte interpretação geométrica: as raízes n-ésimas de w 0 representam-se no plano como os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio s 1 n. Figura 1.3: representação geométrica de raízes sextas Exemplos (a) Consideremos w = 1 ı. Evidentemente w = cos 5π 4 + ı sin 5π 4. Ou seja que s = 1 e φ = 5π/4. As raízes quintas de w são z 0 = cos π 4 + ı sin π ( 4 π z 1 = cos 4 + 2π ) ( π + ı sin π ) 5 ( π z 2 = cos 4 + 4π ) ( π + ı sin π ) 5 ( π z 3 = cos 4 + 6π ) ( π + ı sin π ) 5 ( π z 4 = cos 4 + 8π ) ( π + ı sin π ) 5 (b) Seja w 0 arbitrário; temos As raízes quadradas de w são w = s(cos φ + ı sin φ). z 0 = s 1 2 (cos φ 2 + ı sin φ 2 ), z 1 = s 1 2 [cos( φ2 + π) + ı sin(φ2 + π) ] ;

21 1.4. RAÍZES N-ÉSIMAS 21 como somar π troca o sinal do cosseno e do seno, concluímos que z 1 = z 0. Em outras palavras, as raízes quadradas de números complexos são números complexos simétricos. (c) Seja w = a R um número real não nulo. Temos dois casos: (c 1 ) a > 0: temos arg a = 0. Então z k = a 1 n (cos 2kπ n 2kπ + ı cos ), k = 0, 1,...,n 1; n em particular, quando é par, digamos n = 2m, as duas raízes reais são z 0 e z m 1 ; quando n é ímpar, z 0 é a raiz real de a. (c 2 ) a < 0: temos arg a = π. Então z k = a 1 n (cos (2k + 1)π n + ı cos (2k + 1)π ), k = 0, 1,...,n 1; n em particular quando n é ímpar, novamente z 0 é a raiz real. Exemplo Raízes da unidade. As raízes n-ésimas da unidade complexa w = 1 (ou seja, o neutro da multiplicação) obtém-se como caso particular do exemplo 1.4.3(c 1 ): z k = cos 2kπ n 2kπ + ı cos, k = 0, 1,...,n 1; n todas são números complexos de módulo um. Observamos que estão representadas no plano como os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa cisrcunferência de raio um; um dos vértices é o ponto (1, 0) que representa o complexo 1, a raiz n ésima real positiva de 1. A raiz nésima z 1, que denotaremos ω n chama-se a Raiz n-ésima Primitiva da unidade. Pela fórmula de De Moivre (1.5) temos que ω n n = 1 e z k = ω k n, k = 0,...,n 1. Esta propriedade implica que o conjunto C n := {1,ω n,...,ωn n 1 } é fechado para a multiplicação, isto é, z,w C n implica z w C n (mostre esta afirmação!). Finalmente, por definição de raiz n-ésima, observamos que o conjunto C n das raízes n-ésimas da unidade é o conjunto de soluções da equação x n 1 = 0.

22 22 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Raízes quadradas em forma binômica Consideremos um número complexo w = a + bı. Podemos estar interessados em obter as raízes n-ésimas deste número na forma binômica; no caso onde n = 2, isto pode ser feito diretamente, ou seja, sem passar pela forma trigonométrica, essencial para extrair raízes pelo método descrito no parágrafo precedente. Um número complexo z = x + yı é raiz quadrada de w se e somente se a + bı = (x + yı) 2 = x 2 y 2 + (2xy)ı. Isto é, igualando partes real e imaginária, se e somente se { x 2 y 2 = a 2xy = b Suponhamos w 0, pois o caso w = 0, como sabemos, fornece z = 0. Se b = 0 obtemos x = 0 ou y = 0, e a 0; se a > 0, como x e y são reais, devemos ter y = 0, donde obtemos os pares (x,y) seguintes: ( a, 0), ( a, 0), isto é, as raízes quadradas reais de w = a: z = ± a. Analogamente, se a < 0 obteremos as raízes imaginárias puras de w = a: ± a ı. Suponhamos agora que b 0; em particular x 0 e y 0. Podemos substituir y = b/2x na equação de cima para obter x 2 b2 4y 2 = a; multiplicando por 4x 2 esta equação encontramos x 4 ax 2 b 2 = 0,

23 1.5. TRANSFORMAÇÕES DO PLANO 23 que é uma equação biquadrada. Como o leitor certamente sabe, esta pode ser resolvida utilizando a fórmula de Baskara numa nova variável u := x 2, pois é uma equação quadrática em x 2 ; mais precisamente, temos u = x 2 = a ± a 2 + b 2. 2 Como b 0 temos 0 a 2 < a 2 +b 2, donde a < a 2 + b 2 ; desta desigualdade concluímos que x 2 é um dos dois valores a + a 2 + b 2 > 0, 2 Como x deve ser real, só pode ser a a 2 + b 2 2 < 0. x 2 = a + a 2 + b 2 ; 2 daqui obtemos dois valores x 1 e x 2 para x donde os valores de y correspondentes y 1 = b/2x 1 e y 2 = b/2x 2. O leitor poderá obter fórmulas explícitas para as duas raízes quadradas (uma simétrica da outra) x 1 + y 1 ı e x 2 + y 2 ı. De todas maneiras não é necessário termos tais fórmulas explícitas, pois não é difícil de repetir o procedimento cada vez que precisemos calcular raízes quadradas desta forma. 1.5 Transformações do plano Denotemos R 2 o plano real. Chamaremos de transformação do plano qualquer bijeção T : R 2 R 2 que pode ser escrita como composição dos seguintes tipos de Transformações elementares que supomos conhecidas dos cursos de geometria elementar: 1. Translação; 2. Homotetia; 3. Rotação de ângulo θ e 4. Reflexão com relação a uma reta do plano. A representação geométrica dos números complexos nos permite pensar C como se fosse R 2 do ponto de vista geométrico; de fato, para sermos rigorosos, C é exatamente R 2 como conjunto, só que introduzimos operações que o fazem um objeto matemático diferente do plano usual; digamos que o enriquecem de certa forma, pois isto nos permite fazer outras coisas com os pontos do plano que não podíamos fazer quando pensávamos neles apenas geometricamente.

24 24 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS De acordo com a interpretação que demos para a soma de complexos, uma translação nada mais é do que uma aplicação (isto é, função) T : C C da forma T(z) = z + α, onde α C é um número complexo fixo dado e não nulo; diz-se que T é uma translação de vetor α. Da mesma forma, da interpretação que demos para o produto em termos do módulo e o argumento, se α = r(cos θ + ı sin θ), uma aplicação H : C C da forma H(z) = αz transforma um número complexo do plano num outro número complexo cujo módulo fica multiplicado por r e cujo argumento fica acrescido de θ. Concluímos que a transformação H tem o efeito de uma homotetia de razão r combinada (ou seja, composta) com uma rotação de ângulo θ; no caso particular onde r = 1 teremos apenas uma rotação de ângulo θ e no caso onde θ = 0 e r 1 uma homotetia de razão r. Finalmente, a transformação S : C C definida por S(z) = z é uma reflexão em relação ao eixo x; deixamos para o leitor refletir sobre como definir corretamente uma reflexão em relação a uma reta arbitrária: observe, por um lado, que uma reta paralela ao eixo x pode ser vista como uma translação de um vetor que é um complexo imaginário puro; por outro lado, que uma reta não paralela ao eixo x corta este num ponto e podeser vista como uma translação adequada combinada com uma rotação cujo ângulo é o ângulo entre as retas. Como veremos no próximo capítulo, para conseguirmos entender de forma adequada a resolução de equações polinomiais, seremos obrigados a compreender melhor os polinômios e a relação de seus coeficientes (o que corresponde aos dados num problema prático que queiramos resolver) com as suas raízes, que são nada mais nem menos que as soluções das equações correspondentes. Por outro lado, a manipulação com polinômios só é possível operando com eles, ou seja, efetuando, à semelhança do que fazemos com os números, operações elementares; é então de se esperar que as propriedades do conjunto dos polinômios sejam o mero reflexo, em última instância, da forma com que operamos com eles, isto é, das propriedades que estes polinômios têm em relação às operações elementares.

25 1.6. ESTRUTURA SUBJACENTE DE C Estrutura subjacente de C Os objetos nos quais nos interessamos, sejam estes números de algum dos tipos conhecidos, sejam estes polinômios (que será tratado minuciosamente no capítulo 2), possuem em comum alguns atributos. Primeiramente, aqueles de uma mesma natureza constituem um conjunto, digamos A, que vamos considerar, evidentemente, diferente do conjunto vazio. Segundo, existem maneiras de operar com os elementos do conjunto A que tem sido chaamadas de operações elementares; aparentemente há em todos os casos uma forma de somar + e uma forma de multiplicar, e em alguns casos, uma forma de subtrair e outra de dividir. Aceitando a filosofia segundo a qual é através das propriedades destas operações que poderemos entender qualquer outra propriedade algébrica dos elementos de A, é então razoável pensar que muitos dos fenômenos que nos parecem própios, por exemplo dos números inteiros, sejam de fato fenômenos que podem ser observados em qualquer outro conjunto sobre o qual saibamos operar de forma similar que com números inteiros: por exemplo, não é dificil mostrar que x = (x + ı)(x ı) é a melhor fatoração que podemos obter da expressão x 2 + 1, pois a equação x = 0 tem ı e ı como únicas soluções e evidentemente qualquer outra fatoração deveria ter uma ou outra das soluções. Então, se só permitirmos números reais nos nossos cálculos, a expressão (polinômio) x 2 +1 não poderia se fatorar! Nós já encontramos este tipo de fenômeno no caso dos números inteiros: quando um número inteiro não pode ser fatorado de maneira não óbvia (isto é, salvo escrevendo o próprio número vezes 1), dizemos que ele é primo. No próximo capítulo veremos como muitas das noções sobre divisibilidade tais como a de número primo podem ser estendidas ao caso de polinômios. Vamos resumir muitas das propriedades dos números (e como veremos no próximo capítulo, também dos polinômios) na seguinte definição. Vamos chamar de operação 2 num conjunto A a uma função de A A em A. Definição Seja A um conjunto não vazio e sejam + : A A A e : A A A duas operações em A, que chamaremos de soma e multiplicação. 2 Diz-se também operação binária interna pelo fato de estar definida para pares de elementos do conjunto A e o resultado desta ser também um elemento de A.

26 26 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Dizemos que (A, +, ) é um Anel Commutativo com Unidade se se verificam as seguintes oito propriedades: S 1 ) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c, a,b,c A. S 2 ) Commutativa: a + b = b + a, a,b A. S 3 ) Neutro: e A tal que e + a = a + e = a, a A; denotamos este elemento e = 0. S 4 ) Simétrico: a A, ā A tal que a + ā = ā + a = 0. M 1 ) Associativa: a (b c) = (a b) c, a,b,c A. M 2 ) Commutativa: a b = b a, a,b A. M 3 ) Neutro: u A tal que u a = a u = a, a A; denotamos este elemento u = 1. SM) Distributiva: a (b + c) = a b + a c, a,b,c A. Se além disso também verifica-se D) Cancelamento: Se a b = a c e a 0 então b = c, a A {0}, b,c A, dizemos que o anel é um Domínio de Integridade. Exercício Convença-se do fato que todo sistema numérico é um domínio de integridade. Que pensa do conjunto dos polinômios? A propriedade de simétrico nos permite subtrair: diremos que a b é a + b. Na definição acima nada é dito sobre a divisão, que, à semelhança do que acontece com a subtração, dependerá da existência de um simétrico mas com respeito à multiplicação, que chamamos de inverso. Podemos então definir um novo tipo de estrutura algébrica sobre um conjunto que é mais rica, no sentido que possui mas atributos: é o conceito de Corpo. Definição Seja K um conjunto não vazio e sejam + : : K K K e : K K K duas operações em K. Dizemos que (K, +, ) é um Corpo se for um anel commutativo com unidade e além disso verifica-se a propriedade seguinte: M 4 ) Inverso: a K {0}, â K tal que a â = 1. Denotaremos o inverso de um elemento a K\{0} como â = a 1. Num corpo podemos então dividir um elemento a por um elemento b 0 fazendo a : b = a b 1 ;

27 1.7. EXERCÍCIOS 27 isto motiva a notação (também muito utilizada): b 1 = 1 b. Também escreveremos ab ao invez de a b, desde que isto não induza a confusão. Exercício Mesma questão que no exercício anterior mas substituíndo domínio de integridade por corpo. Exemplo Vejamos que um corpo também possui a propriedade de cancelamento, isto é, que também é um domíno de integridade. Com efeito, suponhamos que K é um corpo e que a,b,c K, com a 0, tais que ab = ac. Basta multiplicar pelo inverso de a aos dois lados da equação. Exercício Mostre que a propriedade de cancelamente (D) é equivalente (ou seja, pode ser substituída por) a propriedade (D ) ab = 0 implica a = 0 ou b = 0, para todo a,b A. 1.7 Exercícios Reduza à forma a + bı cada uma das expressões seguintes: a) 3 2ı ı[2 ı( 3 + 4)]; b) (3 5ı)( 2 4ı); c) (3ı 1)(ı/2 + 1/3); d) (2 + 3ı) Mostre que as seguintes igualdades são válidas: a) (x+ıy) 2 = x 2 y 2 +2ıxy; b) (1+ı) 3 = 2+2ı; c) 1+ı 5 +2ı 10 +3ı 13 = 1 + 4ı; Idem que no exercício com as seguintes frações: ı ; 1 + ı 3 2ı ; 3 ı 1 + 2ı ; 4 3ı 1 + ı 1 ı ( 1 ; 2 ı 1 + ı ) 2 ; ( ) ı. 1 ı

28 28 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Represente graficamente os números complexos z 1,z 2,z 1 z 2 e z 1 /z 2 : a) z 1 = 3 + 4ı,z 2 = (1 ı)/5 2; b) z 1 = (1 + ı) 3/2,z 2 = ( 3 + ı)/2; c) z 1 = (1 + ı)/2 2, z 2 = 1 + ı Calcule a parte real e imaginária dos seguintes números complexos: ı(2 3ı) 2, (1 ı 3) ı Escreva os seguintes números complexos na forma polar e represente-os geométricamente: ı, 1 ı 3 + 3ı, 1 ı, ı 3, 4. 3 ı Obtenha fórmulas para cos 3θ e sin 3θ em função de sinθ e cosθ. Idem para cos 4θ e sin 4θ Calcule as raízes dos seguintes números complexos e represente-as geométricamente: 4, (1 + ı 3) 1/2, 3 ı, 3 ı, ( 1 + ı 3) 1/4 ; 1 ı 3. Encontre todas as soluções da equação P(z) = 0 nos casos em que P(z) é um dos polinômios seguintes: z 6 64,z 3 1, 5z 3 +8,z 2 2z +2, 2z 2 +z +1,z 2 +(1 2ı)z +(1+5ı),z 4 +9.

29 Capítulo 2 Equações de grau Generalidades sobre equações polinomiais Uma equação polinomial é uma equação da forma a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (2.1) onde n é um número natural, a n,a n 1,...,a 1,a 0 C são chamados de coeficientes da equação e x é uma indeterminada ou variável. Diremos que a equação 2.1 é de grau n se a n 0. Uma solução desta equação é um número (em geral) complexo α que substituído no lugar do x satisfaz a igualdade, isto é, a n α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0. Consideremos a seguinte expressão polinomial f(x) = (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ) onde α i é um número complexo para todo i = 1,...,n. É evidente que α 1,...,α n são soluções da equação polinomial f(x) = 0. Como veremos no próximo capítulo toda equação polinomial de grau n pode ser escrita na forma f(x) = 0 para certos números complexos α 1,...,α n ; em particular esses números são as únicas soluções dessa equação. 29

30 30 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 Vamos analisar quais são os coeficientes da expressão f(x). Basta efetuar o produto dos fatores da forma (x α i ) entre si. Comecemos observando que cada termo do produto obtido como resultado de multiplicação dos n fatores forma-se escolhendo um dos termos de cada fator e multiplicandoos entre si. Por exemplo quando escolhemos o termo x em cada binômio x α i e os multiplicamos entre si obtemos x n pois temos n fatores; donde segue que o coeficiente a n que acompanha x n deve ser 1. Analogamente, para obtermos o coeficiente que acompanha x n 1 devemos escolher n 1 vezes a indeterminada x e apenas uma vez o número α i. Como temos n possibilidades para escolher α i (pois i = 1,...,n) obteremos n termos com x n 1, a saber, os termos α i x n 1 ; somando-os, concluímos que n a n 1 = α 1 α n = α i. Raciocinando de maneira análoga, teremos que a n 2 é a soma dos produtos da forma ( α i )( α j ) = α i α j para cada escolha de i e j. Um pouco de reflexão nos mostra que i=1 a n 2 = α 1 α α 1 α n + α 2 α 3 + α n 1 α n = i<j α i α j. Ou seja que a n 1 constitue-se somando os n = ( n 1) valores de αi ; para formar a n 2 escolhemos todos os pares α i,α j possíveis, tem ( n 2), multiplicamos-los e finalmente somamos estes produtos. Generalizando este raciocínio, obtemos a forma geral de um coeficiente a k arbitrário: constitui-se escolhendo as ( n k) combinações possíveis de k elementos do conjunto {α 1,...,α n }, multiplicando os k elementos de cada combinação e somando os ( n k) resultados obtidos; observe que, em particular, o último coeficiente a 0 será o produto de todos os números α i, ou seja a 0 = ( 1) n α 1 α n. Podemos escrever o coeficiente que acompanha x k para k > 0 como a n k = i 1 <...i k α i1 α ik, k = 1,...,n. Estas igualdades chaman-se, relações entre coeficientes e raízes de uma equação.

31 2.1. GENERALIDADES SOBRE EQUAÇÕES POLINOMIAIS 31 Exercício a) Mostre estas relações diretamente no caso n = 1,n = 2 e n = 3. b) Demonstre o caso geral usando indução matemática em n. Uma das utilidades destas relações é a de construir equações com soluções prescritas. Por exemplo, se queremos construir uma equação cujas soluções sejam ı, ı, 5, então pegamos n = 3 e α 1 = ı,α 2 = ı e α 3 = 5. Obtemos a 3 = 1,a 2 = 5, a 1 = 1,a 0 = 5. Para terminar este breve parágrafo de generalidades, dada uma equação polinomial como na equação (2.1), vamos descobrir uma mudança de variáveis (linear) da forma x = y + h para h C de forma que o termo de grau n 1 (agora em y) não apareça, isto é, seu coeficiente seja nulo. Substituíndo x por y + h na equação (2.1) obtemos a n (y + h) n + a n 1 (y + h) n a 1 (y + h) + a 0 = 0. (2.2) Ao desenvolver as potências de cada binômio da forma (y + h) k é claro que obteremos uma expressão polinomial de grau k em y. Por outro lado, queremos escolher h para que o coeficiente em y n 1 da expressão (2.2) se anule. Basta então entender quais são as contribuições para tal coeficiente da parte a n (y +h) n +a n 1 (y +h) n 1 da expressão, pois os termos restantes terão grau menor do que n 1 e portanto não contribuírão. Usando a fórmula do binômio de Newton (veja exercício ), ou diretamente a relação entre coeficientes e raízes obtida acima aplicada à expressão (y + h)(y + h) (y + h) (uma vez com n fatores e outra com n 1) concluímos que o coeficiente de a n (y + h) n em y n 1 é na n h e aquele de a n 1 (y + h) n 1 é a n 1. Portanto o termo de grau n 1 de (2.2) é (na n h + a n 1 )y n 1. Deduzimos que h = a n 1 na n é o número procurado. Observemos que dada uma equação de grau n, digamos em x, podemos sempre fazer uma mudança de variaveis x = y + h de forma que a nova equação, agora em y, tenha termo de grau n 1 nulo. Encontrar as soluções desta nova equação equivale a encontrar as soluções da antiga, pois dada uma

32 32 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 solução y = α da equação transformada, basta considerar α h obteremos uma solução da equação original; reciprocamente, somando h às soluções da equação em x obtemos as soluções da equação em y. Para ver a utilidade deste procedimento o leitor pode fazer o exercício seguinte: Exercício a) Aplicando a mudança de variaveis acima no caso n = 2 mostre que resolver uma equação geral de grau 2 reduz-se a resolver uma equação da forma y 2 + b = 0. b) Deduza uma outra forma de resolver a equação de grau 2 que não seja utilizando a fórmula de Baskara. 2.2 Equação de grau 3 No restante do capítulo seguiremos de perto o capítulo XIII de [2] Método e Hudde e Equações de Cardano Agora vamos utilizar os números complexos para resolver a equação geral de grau 3. É uma equação da forma Ay 3 + By 2 + Cy + D = 0, (2.3) onde A,B,C,D são números reais e A 0; como estamos trabalhando num corpo, basta dividir por A, podemos supor que A = 1: com efeito, escrevemos e obtemos uma equação da forma B := B A,C := C A,D := D A, y 3 + B y 2 + C y + D = 0, cujas soluções são exatamente aquelas da equação (2.3). Como vimos no parágrafo precedente, fazendo a mudança de variaveis linear da forma y = x + h, onde h = B /3 obtemos uma equação em x da forma x 3 + ax + b = 0; (2.4) dizemos que a equação cúbica está escrita na forma reduzida.

33 2.2. EQUAÇÃO DE GRAU 3 33 As soluções de (2.3) obtem-se a partir das soluções de (2.4) somando o valor de h achado. Vamos agora encontrar as soluçãoes da equação (2.4) utilizando um procedimento desenvolvido por Juan Hudde ( ) e conhecido como Método de Hudde. Cabe salientar que foi Scipione Dal Ferro ( ) quem resolveu pela primeira vez a equação de grau três mas não publicou seu trabalho. Outro Matemático, Nicolás de Brescia, conhecido sob o pseudônimo de Tartaglia ( ) também resolveu esta equação e tampouco publicou a solução achada; sob promessa de não divulgá-lo Tartaglia comunicou seu descubimento a Girolamo Cardano ( ), quem o publicou em 1545 como sendo seu, no seu compêndio titulado Ars Magna. Na equação de grau 2, as soluçãos são obtidas como soma de dois números, que dependem dos coeficientes, cuja natureza pode ser diversa (isto é, podem ser imaginários, mesmo que os coeficientes sejam reais). É de esperar que no caso de grau 3 a situação seja bem mais complicada. De fato, vamos mostrar que toda solução pode ser escrita como soma de dois números complexos cujas partes real e imaginária dependem dos coeficientes da equação. Pocuremos então soluções da equação (2.4) escritas na forma x = u + v, onde u,v C. Um tal x será solução de (2.4) se e somente se (u + v) 3 + a(u + v) + b = 0. Por outro lado, ao desenvolver (u + v) 3 é facil observar que (u + v) 3 3uv(u + v) (u 3 + v 3 ) = 0. Então, se encontrarmos u e v tais que a = 3uv,b = (u 3 + v 3 ), teremos achado uma solução. Elevando ao cubo a primeira igualdade, obtemos a3 27 = u3 v 3, donde segue que u 3 e v 3 são as raízes da equação de grau dois seguinte: z 2 + bz a3 27 = 0. Esta equação chama-se a resolvente da equação 2.4.

34 34 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 Concluímos que se z 1,z 2 são as soluções da equação resolvente, basta escolher como u e v quaisquer raízes cúbicas ζ 1,ζ 2 C de z 1 e z 2, respectivamente, satisfazendo a seguinte relação: 3ζ 1 ζ 2 = a; (2.5) temos então uma solução x := ζ 1 + ζ 2 da equação cúbica reduzida (2.4). Observemos não obstante que este procedimento é sempre possível mas requer um certo cuidado: com efeito, as soluções z 1 e z 2 da equação resolvente verificam a equação a3 27 = z 1z 2 e então a/3 é uma das (em princípio) três raízes cúbicas do produto z 1 z 2 que, pelas propriedades de raízes complexas, devem ser necessariamente produto de raízes cúbicas de z 1 com raízes cúbicas de z 2. Porém, observe-se que no caso onde z 1 0 e z 2 0 (isto é, quando a 0) temos três raízes cúbicas para z 1 e três para z 2 o que nos dá nove produtos; em geral estaremos obrigados a escolher adequadamente as raízes cúbicas de z 1 e z 2. Uma forma fácil de fazer isso é a seguinte: Quando a 0 (se a = 0 a equação (2.4) resolve-se sem necessidade do método de Hudde), escolhemos u = ζ 1 uma qualquer das raízes cúbicas de z 1 e logo calculamos v = ζ 2 a partir da equação (2.5): isto é, v := a 3u. verifiquemos que u 3 e v 3 são ainda soluções da equação resolvente; só precisamos verificar que u 3 + v 3 = b. Sabemos que (u 3 ) 2 + b(u 3 ) a3 27 = 0; como u 3 0 neste caso, dividindo ambos termos da igualdade acima obtemos u 3 donde segue a afirmação. Não é difícil de se convencer que a3 27u 3 = b, x := ωu + ω 2 v e x := ω 2 u + ωv

35 2.2. EQUAÇÃO DE GRAU 3 35 também são soluções de (2.4), onde ω é a raiz cúbica primitiva da unidade, isto é, ω := ı 3 2. Com efeito, se x = u + v com u = ωu e v = ω 2 v, temos (u ) 3 + (v ) 3 = u 3 + v 3, u v = uv; analogamente para x. Resumindo, as três soluções da equação (2.4) estão dadas pelas seguintes equações conhecidas como Equaçãoes de Cardano: Ou equivalentemente x 1 = u + v x 2 = ωu + ω 2 v x 3 = ω 2 u + ωv. x 1 = u + v, x 2 = u+v + ı 3 u v 2 2 x 3 = u+v ı 3 u v 2 Observe que se u v, estas soluções são efetivamente diferentes, tendo então atingido o número máximo de raízes diferentes para uma equação de gau 3, e que se u = v, como ω 2 + ω = 1, obtemos as soluções 2u e u, sendo esta última dupla. Vejamos alguns exemplos. Exemplos Consideremos as seguintes equações cúbicas na forma reduzida: a) x 3 6x 9 = 0, b) x 3 12x 16 = 0, c) x 3 15x 4 = 0. No caso (a) a resolvente é z 2 9z + 8 = 0, cujas soluções são z 1 = 8, z 2 = 1. Escolhemos u = 2, a raiz cúbica real de 8. Da equação de compatibilidade uv = 2 obtemos v = 1 que é a raiz cúbica 2.

36 36 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 real de 1. Observemos que dado que as outras raízes cúbicas de 8 e de 1 são imaginárias, podemos concluir de forma direta que v = 1 é a única raiz cúbica de z 1 = 1 que pode satisfazer a equação de compatibilidade. Das equações de Cardano, obtemos as três soluções da equação cúbica: x 1 = 3,x 2 = ı 2, x 3 = ı 2. No caso (b) a resolvente é z 2 16z + 64 = 0, cujas soluções são z 1 = z 2 = 8. Então podemos escolher u = v = 2 donde obtemos x 1 = 4,x 2 = x 3 = 2. donde Finalmente, no caso (c) a resolvente é z 2 4z = 0, z 1 = ı, z 2 = 2 11ı. Observemos que (2 + ı) 3 = ı, o que mostra que podemos escolher u = 2 + ı; da equação de compatibilidade obtemos As soluções obtidas são: v = 15 3(2 + ı) = 2 ı. x 1 = 4,x 2 = 2 2,x 3 = Discussão da equação cúbica Consideremos a equação cúbica na sua forma reduzida x 3 + ax + b = 0, com a,b R. Vamos tentar responder às perguntas seguintes:

37 2.2. EQUAÇÃO DE GRAU 3 37 Existem raízes múltiplas? Existem soluções reais? E em caso afirmativo: Quantas? Para começar, consideremos alguns casos especiais: Se b = 0, as soluções da equação são x = 0,x = ± a; ou seja que existe sempre a raiz real x = 0 e só haverá outras raízes reais quando a for negativo. Se a = 0, as soluções estão dadas pelas raízes cúbicas de b; então sempre existe raiz real e, quando b 0 mais duas raízes imaginárias. Consideremos agora o caso geral, isto é, quando a 0 e b 0. Para valors de x diferentes de zero, podemos escrever a equação cúbica na forma x 2 + a = b x. De maneira análoga a como vimos no capítulo de introdução, as raízes reais correspondem aos valores da abscissa dos pontos de interseção dos gráficos das funções reais y = x 2 + a,y = b x. Existem três situações possíveis para valores de b negativos e três para valores de b positivos. Por exemplo, suponhamos b < 0. Se a é suficientemente negativo, é claro que os gráficos se interceptarão em três pontos cujas abscissas são diferentes, fornecendo três soluções reais e distintas da equação cúbica. Se, pelo contrário, o valor de a for positivo e suficientemente grande, então existirá uma única interseção obtendo desta forma uma única solução real. Finalmente, se imaginarmos o valor de a percorrendo todos os valores reais possíveis, podemos antecipar que haverá um único valor de a onde a equação deixa de ter três soluçoes reais e não tem ainda uma única solução real; para este valor preciso de a os gráficos se cortam transversalmente num ponto, isto é, possuem retas tangentes distintas neste ponto (na figura, isto acontece no primeiro quadrante) e possuem a mesma reta tangente num outro ponto. Isto fornece duas únicas raízes reais. Porém, a raíz obtida a partir do ponto onde ambos gráficos são tangentes, parece ser de natureza diferente da outra: com efeito, suponhamos que a 0 é o valor de a para o qual o gráficos tem um ponto cujas retas tangentes coincidem. Se considerarmos as instâncias onde a < a 0, então estaremos na primeira situação, onde o ponto

38 38 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 Figura de tangência bifurca em dois pontos distintos onde há transversalidade (não mais tangência). Então, podemos entender este ponto como a posição limite de dois pontos diferentes; em linguagem moderna um tal ponto de interseção dos gráficos chama-se um ponto duplo ou ponto de multiplicidade dois. Nesta situação, teremos então uma solução da nossa equação cúbica que conta duas vezes, o que chamaremos uma solução dupla 1 Em particular concluímos que para toda equação cúbica, existe pelo menos uma solução ou raíz real. Vamos agora obter um critério análogo ao que conhecemos para a equação quadrática, onde basta conhecer o sinal de um certo número, chamado discriminante, para decidir sobre a qualidade e quantidade de raízes. Analisando o Método de Hudde, não é dificil de se convencer que uma equação cúbica possuirá certamente soluções duplas se esse for o caso da equação resolvente associada. Por outro lado, a equação resolvente possui soluções duplas se e somente se 4a b 2 = 0, pois um cálculo fácil mostra que o discriminante da equação resolvente é precisamente b 2 + 4a3 27 = 27b2 + 4a Isto sugere que este número esteja relacionado com a existência e natureza das soluções de forma análoga ao que acontece com a equação quadrática, o que motiva a seguinte definição. Definição Chamamos discriminante da equação cúbica reduzida (1.2) o número real D := (4a b 2 ). O sinal na frente é por razões históricas; como veremos a continuação desta forma obteremos um resultado análogo ao da equação quadrática, onde a presença de soluções imaginárias corresponde ao caso onde D < 0. 1 Aqui não fomos suficientemente rigorosos, pois formalisar adequadamente esta situação não é completamente trivial. Mas o leitor pode considerar uma situação análoga com a equação quadrática x 2 + bx + c = 0 e observar que quando b 2 se aproxima de 4ac as duas soluções tendem a uma só, o que ocorre unicamente quando b 2 = 4ac.

39 2.2. EQUAÇÃO DE GRAU 3 39 Mantemos todas as notações introduzidas no métoto de Hudde acima. Distinguimos três casos: (i) Caso onde D < 0. Neste caso as raízes z 1 e z 2 da equação resolvente são reais. Se u é a raiz cúbica real de z 1, da relação de compatibilidade uv = a 3, teremos que v também é a raiz cúbica real de z 2. Como u v, a equação cúbica reduzida de coeficientes reais terá uma raiz real e duas imaginárias conjugadas que, segundo as equações de Cardano são: x 1 = u + v, real x 2 = u+v + ı 3 u v 2 2 x 3 = u+v ı 3 u v 2 (ii) Caso onde D = 0. Neste caso z 1 = z 2 = b/2. A equação reduzida possui tr es raízes, uma simples e uma dupla: { x1 = 2 3 b/2, simples x 2 = x 3 = 3 b/2. (iii) Caso onde D > 0. Agora z 1 e z 2 são imaginárias; mais precisamente, como o leitor pode verificar logo de um cálculo fácil,temos: z 1 = b D D 2 + ı 108, b 2 ı 108. Escrevamos u = α+ıβ uma das raízes cúbicas de z 1 ; como já observamos anteriormente, uma das raízes cúbicas de z 2 deve ser conjugada desta, pois z 1 e z 2 o são. Tomamos v = α ıβ. O produto uv = α 2 + β 2 satisfaz a equação de compatibilidade. Aplicando as fórmulas de cardano, como o leitor poderá verificar sem maiores problemas, obtemos x 1 = 2α x 2 = α + β 3 x 3 = α β 3. Podemos então resumir o estudo qualitativo da equação cúbica na sua forma reduzida no teorema seguinte. 2.

40 40 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 Teorema Consideremos a equação cúbica x 3 + ax + b = 0; (2.6) denotemos D seu discriminante. Temos as seguintes afirmações. a) Si D = 0, então (2.6) possui raiz dupla, sendo todas as soluções reais; b) Si D > 0, então (2.6) possui trêss soluções reais e distintas; c) Si D < 0, então (2.6) possui duas soluções imaginárias conjugadas e uma solução real. Exemplo Retomamos o exemplo Um cálculo fácil mostra que o discriminante D é negativo no caso (a), zero no caso (b) e positivo no caso (c), em concordância com a natureza das soluções encontradas. Exemplo Consideremos a equação cúbica x 3 + x + b = 0,b R. Analisemos quando é que esta equação possui uma única raiz real em função do parâmetro b. Basta encontrar b para que D = 27b+4 seja zero (observe que a = 1 nesta equação). Concluímos que b = 4/ Equação de grau 4 Neste parágrafo vamos resolver a equação geral de grau 4, ou Equação Quártica. Uma equação quártica é uma equação da forma Ay 4 + By 3 + Cy 2 + Dy + E = 0, com A 0; embora o método que utilizaremos independe da natureza dos coeficientes A,B,C,D,E, como no caso de grau 3, estaremos interessados apenas no caso de coeficientes reais, isto é, suporemos A,B,C,D,E R. Começamos escrevendo nossa equação na forma y 4 + B A y3 + C A y2 + D A y + E A = 0

41 2.3. EQUAÇÃO DE GRAU 4 41 Mediante a mudança de variáveis y = x + B 4A, encontramos a equação equivalente cujo coeficiente cúbico é nulo; ou seja, uma equação da forma x 4 + px 2 + qx + r = 0, (2.7) com p,q,r R. Antes de passar à resolução propriamente dita, obteremos a relação entre coeficientes e raízes de uma equação polinômial de grau 3, o que é um caso particular de uma relação geral que desenvolveremos no capítulo 2 (ver...); cabe lembrar que o caso de grau 2, que é bem conhecido, foi utilizado para introduzir a equação resolvente da equação cúbica reduzida. De fato, no intuito de generalizar a construção do método de Hudde, precisamos conhecer apenas como construir os coeficientes de uma equação de grau 3 que possua como raízes três números predeterminados; no caso de grau 2, o fato correspondente é que α,β são raízes da equação z 2 s 1 z + s 2 = 0, onde s 1 = α + β e s 2 = αβ. Sejam α,β,γ C. Um cálculo direto mostra que onde (t α)(t β)(t γ) = t 3 s 1 x 2 + s 2 x s 3, s 1 = α + β + γ, s 2 = αβ + βγ + αγ,s 3 = αβγ. Vê-se então que α,β,γ são raízes da equação Método de Euler t 3 s 1 t 2 + s 2 t s 3 = 0. O método desenvolvido por Leonard Euler ( ) é uma generalização mais ou menos imediata do método de Hudde, com a complicação subjacente do aumento de grau. Cabe salientar, não obstante, que foi Ludovico Ferrari ( ), aluno de Cardano, quem resolveu a equação quártica

42 42 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 na forma reduzida; Cardano também publicou o trabalho de Ferrari no seu Ars Magna, desta vez com a devida autoria (Veja [2, pág. 422] para mais resenhas históricas). Começamos testando uma solução hipotética da equação quártica reduzida (2.7) da forma x = u + v + w, (2.8) com u,v,w C. Elevando ao quadrado (2.8)obtemos x 2 (u 2 + v 2 + w 2 ) = 2(uv + uw + vw); elevando mais uma vez ao quadrado e tendo em conta (2.8)obtemos x 4 2(u 2 +v 2 +w 2 )x 2 8uvwx+(u 2 +v 2 +w 2 ) 2 4(u 2 v 2 +u 2 w 2 +v 2 w 2 ) = 0. Comparando esta última equação com (2.7), concluímos que basta determinar u,v,w de forma que sejam satisfeitas as seguintes condições: 2(u 2 + v 2 + w 2 ) = p 8uvw = q (u 2 + v 2 + w 2 ) 4(u 2 v 2 + u 2 w 2 + v 2 w 2 ) = r, (2.9) pois u + v + w verifica a equação (2.7). Finalmente, elevando ao quadrado a segunda das equações (2.9) e substituíndo a primeira na terceira, obtemos u 2 + v 2 + w 2 = p 2 u 2 v 2 w 2 = q2 64 u 2 v 2 + u 2 w 2 + v 2 w 2 = p2 r Portanto, para x = u+v+w ser solução de (2.7), devemos necessariamente ter que u 2,v 2,w 2 são raízes da equação cúbica t 3 + p ( p 2 2 t r 4 ) t q2 64 = 0. (2.10) A equação (2.10) é a Resolvente da Equação Quártica Reduzida. De maneira análoga a como fizemos no método de Hudde, se t 1,t 2,t 3 são as raízes de (2.10), escolhemos u,v,w de forma que (i) u 2 = t 1, v 2 = t 2, w 2 = t 3, e (ii) uvw = q 8.

43 2.3. EQUAÇÃO DE GRAU 4 43 Mais precisamente, de (i) obtemos u = ± t 1, v = ± t 2, w = ± t 3, donde temos oito possibilidades para u + v + w. Utilizando (ii), eliminaremos quatro destas; na prática, escolhemos os quatro pares de valores de, por exemplo, u e v, segundo (i), e de (ii) obtemos os correspondentes valors de w. Embora o discriminante também possa ser definido para a equação quártica não é possível fazer uma discussão sobre a natureza das raízes (no caso de p,q,r R, que embora não seja necessário para a aplicação do método de Euler, estamos supondo desde o início) de maneira taõ contundente como no caso de grau 3. Não obstante, temos uma descrição bastante precisa em termos da natureza da equação resolvente, cuja demonstração fica a cargo do leitor: (i) Se (2.10) possui três raízes positivas, então (2.7) possui quatro raízes reais. (ii) Se (2.10) possui uma raiz positiva e duas negativas distintas, então (2.7) possui quatro raízes imaginárias conjugadas duas a duas. (iii) Se (2.10) possui uma raiz positiva e uma negativa doble, então (2.7) possui uma raiz doble real y duas imaginárias conjugadas. (iv) Se (2.10) possui uma raiz positiva e duas complexas conjugadas, então (2.7) possui duas raízes reais diferentes y duas imaginárias conjugadas. Observação No caso onde q = 0, a equação (2.7) é biquadrada e podemos resolve-la de maneira elementar. Se r = 0 então x = 0 é solução e basta então resolver uma equação de grau 3. Por outro lado, o caso geral requere, na maior parte das situações, de calculos intrincados, pois geralmente a equação resolvente não estará na forma reduzida; porém, quando p = 0, estaremos lidando com um caso suficientemente geral como para estarmos obrigados a usar o método de Euler, mas com uma significativa simplificação, pois a resolvente estará na forma reduzida: daremos exemplos só nesta situação. Exemplos exemplos onde a resolvente seja uma das dos exemplos anteriores...

44 44 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU Exercícios Resolva as equações cúbicas seguintes: a) x 3 +9x 6 = 0; b) x 3 18x 30 = 0; c) x x + 50 = 0; d) x 3 2x + 1 = 0; e) y 3 9y 2 9y 15 = 0; f) y 3 3y y + 16 = Faça a discussão das equações cúbicas do exercício Encontre a para que a equação x 3 + ax + 1 = 0 possua soluções múltiplas Sejam t,s R números reais não nulos. Considere a equação cúbica x 3 + t 2 x + s 3 = 0. Determine todos os valores de t e s que fazem com que a equação acima tenha raízes múltiplas Mostre que a equação x 3 ax + 2 = 0 possui três raízes reais se e somente se a Escreva as seguintes equaçãoes quárticas na forma reduzida e monte a resolvente correspondente a cada uma delas: a) x 4 + x 3 3x 2 + 6x 2 = 0; b) y 4 + 2y 3 y 2 + 2y 1 = Escreva as equações quárticas na forma reduzida cuja resolvente é cada uma das três primeiras equações cúbicas do exercício

45 2.4. EXERCÍCIOS Determine as soluções das seguintes equaçãoes quárticas: a) x 4 3x 2 + 6x 2 = 0; b) y 4 y 2 + 2y 1 = Encontre o quociente e o resto de dividir a(x) por b(x) onde o par (a(x),b(x)) é um dos seguintes: a) (3x 4 x 2 2,x 2 1); b) (ıx 3 +(4 2ı)x+1,x 2 +1); c) (x 5 +3x 3,x 3 +x+1); d) (x n 1,x 1),n N; e) (x 4 + 1,x + ı); f)(x 6 1,x 1 ı 3) Mostre que para todo inteiro n 1 vale a seguinte igualdade: y n+1 z n+1 = (y z)(y n + y n 1 z + y n 2 z yz n 1 + z n ) (sugestão: divida por z n+1 e introduza a nova variável x := y/z) Para os polinômios abaixo analise a irredutibilidade e encontre os divisores correspondentes em R[x] e C[x] respectivamente, quando isto fizer sentido: a) 3x 4 x 2 2; b) x 2 + x + 1; c) x 4 + x; d) x 2 ıx + 1; e) x 3 6x Considere o polinômio f(x) = 2x 4 4x 3 + 4x 2. Sabendo que f(1) = f( 1) = 0, encontre todos os divisores mônicos de f(x) em R[x] Idem que no exercício , mas em R[x] e também em C[x], para com o polinômio g(x) = x 4 + x 3 x 1 sabendo que ( ) 1 3 g 2 + ı = g 2 ( 1 2 ı ) 3 = 0. 2

46 46 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU Encontre um polinômio de grau 5, a coeficientes reais, que possua as raízes 0,ı e 1 ı. Quantos polinômios existem com esta propriedade? Sem fazer a divisão, mostre que o polinômio f(x) := x 3 + 6x x + 6 é divisível por x + 1,x + 2 e x + 3; deduza que f(x) é um produto de três polinômios lineares Dê exemplos de: a) polinômio irredutível em R[x] de grau 2; b) polinômios irredutíveis em Q[x] de graus 2 e 3 que sejam redutíveis em R[x] Encontre o polinômio b(x) de grau 3 que satisfaz às condições seguintes: b(0) = 0,b(1) = 0,b( 1) = 1,b(2) = 1. Considere um polinômio mônico de grau n 1. Mostre que o termo independente é ( 1) n vezes o produto das suas raízes e que o termo de grau n 1 é o oposto da soma destas. Pode dizer alguma coisa sobre os outros termos? Seja f(x) = n k=0 a kx k C[x] um polinômio mônico de grau n tal que f(0) = 1; notemos α 1,...,α n C suas raízes. Mostre que a 1 = n 1 α i=1 i (sugestão: utilize o exercício ).

47 2.4. EXERCÍCIOS Utilizando a relação entre coeficientes e raízes de um polinômio, demonstre a fórmula n ( ) n (x + a) n = x n i a i, i i=0 onde ( n i) indica o número de combinações de n elementos tomados de i em i, isto é ( ) n n! = i (n i)!i!, cenhecida como fórmula do Binômio de Newton.

48 48 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4

49 Capítulo 3 Polinômios 3.1 Introdução Neste capítulo estudaremos de maneira mais abstrata as expressões que definem nossas equações algébricas. Mais precisamente analisaremos o vínculo existente entre a natureza dos coeficientes encontrados numa tal expressão e a natureza da expressão em si; afim de esclarecer, vejamos um exemplo. Exemplo Consideremos a equação x 2 3 = 0; como sabemos é possível escrever x 2 3 = (x 3)(x 3), onde ± 3 são as soluções da equacão. Observemos, por um lado, que os coeficientes envolvidos na equação de grau dois sao números racionais enquanto as soluções desta são irracionais; por outro lado, a existência das soluções nos permitiu fatorar a expressão quadrática como produto de duas expressões lineares cujos coeficientes deixam de ser racionais. Não é dificil de se convencer que a equação quadrática original, não pode ser fatorada como produto de duas expressões lineares com coeficientes racionais (tente demonstrar isto). 3.2 O Anel de polinômios Seja D um domínio de integridade (veja definição 1.6.1). Definição Um polinômio com coeficientes em D é uma expressão da forma f(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n, 49

50 50 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS onde n é um inteiro não negativo e a 0,a 1,,a n 1,a n D; a i chama-se o coeficiente i-ésimo de f(x), i = 0,...,n. Se a n 0 dizemos que a n é o coeficiente líder e que o inteiro n é o grau de f(x). Dois polinômios f(x) = n a k x k,g(x) = k=0 m b j x j j=0 são iguais se para todo inteiro não negativo i tal que a i 0 ou b i 0, temos a i = b i ; desta forma o polinômio f(x) é igual, por exemplo, ao polinômio n a k x k + 0x n+1. k=0 Definimos o Polinômio Nulo que denotaremos 0(x) ou, quando não houver motivo para ambigüidade, simplesmente 0 como sendo qualquer um dos polinômios iguais cujos coeficientes são todos nulos; de maneira equivalente, o polinômio nulo é qualquer polinômio que não possui coeficiente líder. De maneira análoga, o Polinômio Unidade ou Polinômio Um é o polinômio de grau 0 cujo coeficiente líder é a 0 = 1. Denotaremos D[x] o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em D, isto é n D[x] := { a k x k : n 0,a 0,...,a n D}. k=0 Por outro lado, os polinômios de grau 0 são aqueles cujo coeficiente líder acompanha à potência x 0 de x, isto é, aqueles polinômios que não possuem indeterminada. Segundo nossa noção de igualdade acima, podemos considerar estes polinômios como sendo iguais a um único elemento do domínio D; desta maneira, podemos considerar o domínio D como estando contido no conjunto dos polinômios com coeficientes em D; simbolicamente, podemos então escrever D D[x];

51 3.2. O ANEL DE POLINÔMIOS 51 em particular estamos identificando o zero e a unidade de D com o polinômio nulo e o polinômio unidade respectivamente. Aos efeitos do objetivo destas notas, podemos supor que o domínio D é um dos seguintes: Z, Q, R, C; não obstante, e a título informativo (e porque não, formativo), vamos ver alguns exemplos de polinômios com coeficientes em outros domínios e também com coeficientes em um anel comutativo com unidade (veja definição 1.6.1) que não é um domínio. Comecemos lembrando os conjuntos de inteiros módulo um inteiro positivo. Formalmente, é o conjunto de classes de equivalência em Z associado à relação de equivalência ser côngruo a. Mais precisamente, seja r N um inteiro positivo; dados m,n Z, dizemos que m é côngruo a n (ou que m e n são côngruos) módulo r, o que denotamos m n (mod r), se m n é múltiplo de r. Pela teoria da divisibilidade de números inteiros, é claro que dado um inteiro m arbitrário ele pode ser côngruo a apenas um dos r inteiros 0, 1,...,r 1. Denotamos por i o conjunto de todos os inteiros côngruos a i {0, 1,...,r 1}; podemos imaginar que aqueles inteiros que são côngruos a um mesmo inteiro i possuem uma mesma cor, tendo cores diferentes aqueles não côngruos a ele; desta forma existirão r cores diferentes de inteiros, onde cada cor corresponde a uma única classe. Denotamos Z r := {0, 1,...,r 1}, o conjunto de classes de congruência módulo r (ou cores diferentes). Usando as propriedades da divisibilidade (como apreendidas nos cursos elementares de aritmética) vê-se sem dificuldade que Z r é um anel comutativo com unidade. Além disso, Z r é um domínio se e somente se n é um número primo, pois ā b = 0 se e somente se r divide ab: se r for primo, então n divide a ou b; reciprocamente, se r não for primo então ele é produto de dois inteiros positivos a,b n 1. Observação De fato Z r é um corpo se e somente se r é um número primo. Com efeito, é suficiente mostrar que todo elemento diferente de 0

52 52 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS possui inverso se e só se p é um número primo; se a Z não é divisível por p então mdc(p, a) = 1. Portanto existem m, n Z tais que am + pn = 1. Então am 1 ( mod p) o que significa que m é inverso de ā em Z r. Deixamos como exercício para o leitor a verificar que a recíproca desta afirmação também é verdadeira. Exemplo Consideremos Z 6. Temos que 2 3 = 6 = 0 em Z 6. Como 2 0 e 3 0 concluímos que Z 6 não é um domínio de integridade. Vamos agora observar como as operações elementares em D induzem operações elementares em D[x] compatíveis com a inclusão D D[x]. Sejam f(x) = n i=0 a ix i e g(x) = m j=0 b jx j polinômios em D[x]. Sem perda da generalidade suporemos n m. Podemos então escrever n g(x) = b j x j onde b m+1 = b m+2 = = b n = 0. Soma: A soma f(x) + g(x) de f(x) e g(x) é a expressão f(x) + g(x) := j=0 n (a k + b k )x k. Como a k +b k = b k +a k D concluímos por ou lado que f(x)+g(x) D[x] e por outro lado que f(x)+g(x) = g(x)+f(x), isto é, que a soma é comutativa; o leitor podera verificar sem dificuldade que também é associativa. É fácil verificar que o polinômio nulo 0(x) é o neutro da soma (faça-o!). Denotamos f(x) := n i=0 ( a i)x i onde a i é o simétrico do elemento a i. Temos então f(x) + ( f(x) = 0(x) donde concluímos que f(x) é o simétrico de f(x). Multiplicação O produto f(x) g(x) de f(x) e g(x) é a expressão k=0 onde f(x) g(x) := n+m k=0 c k x k, c k := a i b j = (a 0 b k + a 1 b k a k b 0 ), k = 0,...,n + m. i+j=k

53 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 53 Evidentemente f(x) g(x) = g(x) f(x) D[x]. O leitor pode verificar que este produto ou multiplicação de polinômios é uma operação associativa. Quando não houver lugar para confusão denotaremos f(x) g(x) = f(x)g(x). Da definição de produto concluímos que se f(x) e g(x) não são nulos, ou seja a n 0 e b m 0. Como D é um domínio de integridade a n b m = c n+m 0 o que implica que f(x)g(x) 0 (propriedade (D) de domínio de integridade (1.6.1)). Então grau(f(x)g(x)) = grauf(x) + graug(x) = n + m. Como já vimos no caso de domínios de integridade, a propriedade (D) equivale a dizer que f(x)g(x) = 0 implica f(x) = 0 ou g(x) = 0. O polinômio unidade 1(x) é o neutro da multiplicação (demonstre isto!). Analisemos agora a existência de inverso para a multiplicação. Suponhamos que f(x) não é o polinômio nulo, isto é, a n 0. Suponhamos também que f(x)g(x) = 1(x). Então f(x)g(x) tem grau 0, donde colcluímos que f(x) e g(x) tem graus 0. Portanto a 0 0, b 0 0 e a 0 = b 0 = 1 e então os únicos polinômios que possuem inverso são os polinômios constantes, onde as constantes correspondentes são invertíveis em D; dito de outra forma, o conjunto de poinômios invertíveis em D[x] é o conjunto de elementos invertíveis de D. O seguinte teorema resume as propriedades estruturais de D[x] relativas às operações de soma e multiplicação, cuja demonstração deixamos para o leitor. Teorema A tripla (D[x], +, ) é um domínio de integridade cujos invertíveis são os invertíveis de D. 3.3 Teoria da Divisibilidade em D[x] Dado que D[x] não é um corpo, sabemos que não teremos uma divisão exata em D[x], da mesma forma que ocorre com Z. Gostariamos então de ter um argorítmo da divisão não exata análogo ao que temos no domínio Z de forma a poder dividir um polinômio por outro obtendo um quociente e um resto. Mais precisamente, consideremos polinômios f(x), g(x) D[x]; nos perguntamos se existem polinômios q(x) e r(x), também em D[x], tais que (i) f(x) = g(x)q(x) + r(x) onde r(x) é menor que g(x) em algum sentido que não é muito claro pois até o momento não temos definido uma relação de ordem no conjunto D[x] dos polinômios.

54 54 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS De acordo com as propriedades das potências, quando pegarmos f(x) = x n e g(x) = x m, nosso método devería fornecer um quociente q(x) = x n m e um resto r(x) = 0 (o polinômio nulo); como x n m é um polinômio só no caso onde n m, deveriamos pedir grau(f) grau(g). Como inspiração, lembremos a divisão não exata de números inteiros escritos na base dez. Sejam a = a n 10 n + a n 1 10 n a a 0, com 0 a n,a n 1,...,a 1,a 0 9 inteiros, e b > 0 um inteiro a. O algorítmo da divisão que apreendemos na escola é mais ou menos assim: calculamos o número de vezes que b cabe dentro de a n 10 n (a n é o número de unidades quando n = 0, de dezenas quando n = 1, de centenas quando n = 2, etc) digamos q 1, que seria um quociente parcial, e subtraímos bq 1 de a obtendo um resto parcial r 1 ; se r 1 é zero, a divisão acabou e dizemos que b divide a. Se r 1 0, nos perguntamos se r 1 é b; caso negativo, a divisão acabou e escrevemos q = q 1 e r = r 1. Caso afirmativo, o procedimento se repete subtraíndo de r 1 o número máximo q 2 de vezes que b cabe em r 1 ; obtemos a bq 1 bq 2 = r 2, com r 2 < r 1 e q 2 < q 1. E recomeçamos até obter um resto parcial que seja 0 ou menor que b. Como os restos parciais diminuem a cada passo, estamos certos que o procedimento deve para. O último resto parcial e a soma dos quocientes parciais são, respectivamente, o resto e o quociente da divisão. Exercício Faça a divisão de 1235 = por 4 do jeito descrito acima. Voltando aos polinômios, para generalizar o procedimento descrito acima ao caso destes, podemos tratar as potências de x como as potências de 10 para os números; em particular isto nos sugere que o tamanho, que seria a magnitude a fazer decrescer no processo de divisão do polinômio, será entendido como sendo o grau deste. Além disto, o número de vezes que b cabe em a n 10 n deve ser substituído pelo número de vezes que o termo de maior grau de g(x) cabe dentro do termo de maior grau de f(x) e assim por diante; em particular, no caso dos polinômios, um quociente parcial, deverá forçosamente ter grau menor ou igual que o grau de f(x) e cada quociente parcial terá grau menor que o anterior.

55 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 55 Guiados pela disgressão precedente, estamos prontos agora para construir um algorítmo da divisão de polinômios de forma coerente com o que já sabemos. Escrevamos f(x) = a n x n + ˆf(x),g(x) = b m x m + ĝ(x), onde n m e ˆf(x), ĝ(x) são polinômios de graus menores que n e m respectivamente. Como x n m D[x], podemos escrever q 1 (x) = a n b m x n m, r 1 (x) = f(x) g(x)q 1 (x) = ˆf(x) ĝ(x)q 1 (x); se r 1 (x) = 0 a divisão acabou e temos q(x) = q 1 (x). Se r 1 (x) 0, nos perguntamos se graur 1 (x) graug(x). Se a resposta é negativa, a divisão também acabou e temos r(x) = r 1 (x) e q(x) = q 1 (x). Caso afirmativo, recomeçamos o procedimento, até obter um resto parcial que, ou é zero, ou possui grau menor que graug(x). Como o grau dos restos parciais diminui a cada iteração do procedimento, desde que não tenha se tornado nulo, concluímos que este deve parar após um número finito de iterações; de fato, precisamos não mais do que grauf(x) aplicações do procedimento. Por outro lado, observemos que no procedimento empregado, precisamos dividir por b m a cada passo. Se pretendermos que os resultados obtidos da divisão sejam polinômios com coeficientes no domínio D onde f(x) e g(x) tem os seus, devemos pedir que b m seja um invertível em D. Por exemplo, no caso onde D = Z, as únicas possibilidades são b m = 1 ou b m = 1. No caso onde D for um corpo, a divisão será possível para todo b m 0. De fato temos o seguinte teorema: Teorema Sejam f(x),g(x) D[x] polinômios de graus n e m respectivamente (em particular, ambos diferentes de zero). Se n m e o coeficiente líder de g(x) é invertível em D, então existem únicos polinômios q(x), r(x) D[x] tais que (i) f(x) = g(x)q(x) + r(x), (ii) r(x) = 0 ou grau(r) < grau(g). Demonstração. A existência de q(x) e r(x) foi demonstrada de maneira mais ou menos rigorosa acima. Para demonstrar a unicidade, suponhamos que

56 56 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS temos q (x),r (x) D[x] também satisfazendo (i) e (ii) e demonstremos que então q(x) = q (x) e r(x) = r (x). De (i) obtemos g(x)(q(x) q (x)) = r (x) r(x). (3.1) Suponhamos por um momento que r (x) r(x). Então r (x) r(x) 0, donde q(x) q (x) 0, pois g(x) 0 e D[x] é um domínio de integridade. Mas então o lado direito da equação (3.1) tem grau graug(x) enquanto o lado esquerdo, graças à condição (ii), tem grau < graug(x): contradição! Concluímos que nossa suposição, isto é, que r (x) r(x) não está correta. Logo r (x) = r(x), e então q(x) = q (x), pela equação (3.1). Observação No caso onde f(x) = 0, a divisão por qualquer g(x) 0 é evidentemente possível obtendo q(x) = r(x) = 0. No caso onde f(x) e g(x) forem polinômios em Z[x], o coeficiente líder de g(x) deve ser 1 ou 1, pois são estes os únicos inverítiveis em Z; em particular, quando f(x) e g(x) forem polinômios constantes em Z[x], isto é, números inteiros, a divisão entre eles pensados como números inteiros não esta contemplada no teorema precedente, salvo quando g(x) = ±1. Definição Sejam f(x),g(x) D[x], onde g(x) 0. Dizemos que f(x) é divisível por g(x) em D[x], o que denotamos g(x) f(x), quando podemos dividir f(x) por g(x) obtendo resto 0. Exemplos (a) Se D é um domínio e g(x) = b 0 é um polinômio constante com b 0 invertível em D (isto é, existe a D tal que ab 0 = 1), então Pela unicidade do teorema, temos f(x) = b 0 ( 1 b 0 f(x)). q(x) = 1 b 0 f(x), r(x) = 0. (b) Se g(x) é um polinômio mônico, então a divisão como no teorema é sempre possível. É facil ver que neste caso o coeficiente lídr do quociente é o mesmo que o coeficiente líder de f(x). (c) Seja g(x) = x + a,a D. Pelo teorema, f(x) = (x + a)q(x) + r(x) (3.2)

57 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 57 onde r(x) = 0 ou grau(r) < grau(g) = 1. Concluímos que r(x) é constante, isto é, zero ou uma constante não nula r = r(x). Substituindo x por a na equação (3.2), obtemos o resto r = f( a). (d) Consideremos f(x) = 3x 4 5x 3 +2x 2 x+6, g(x) = x 2 3x+1; pelo teorema obteremos quociente e resto q(x), r(x) em Z[x]. Usando as notações introduzidas anteriormente, obtemos q 1 (x) = 3x 2, r 1 (x) = 4x 3 x 2 x + 6. Como graur 1 (x) graug(x) repetimos o procedimento, obtendo repetindo mais uma vez Concluímos q 2 (x) = 4x, r 2 (x) = 11x 2 5x + 6; q 3 (x) = 11, r 3 (x) = 28x 5. q(x) = q 1 (x) + q 2 (x) + q 3 (x) = 3x 2 + 4x + 11, r(x) = r 3 (x) = 28x 5. O exemplo (c) acima é conhecido como Teorema do Resto: Teorema (do Resto). O resto da divisão de f(x) D[x] por x + a é f( a). Este teorema, que parece apenas uma simples observação é muito importante. De fato, é a chave para compreender o vínculo entre a teoria algébrica que começamos a desenvolver neste capítulo e o nosso objetivo principal, a saber, o de resolver equaçãoes polinomiais. Para precisar isto, começamos com uma definição, onde estamos considerando a situação em que D é um domínio qualquer contido dentro do corpo dos números complexos, como por exemplo Z, Q, R ou mesmo o próprio C. Definição Sejam f(x) D[x] e α C. Dizemos que α é raiz de f(x) se f(α) = 0.

58 58 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS O teorema do resto nos dá imediatamente o seguite vínculo espetacular que traduz esta noção em termos de divisibilidade, conhecido como Teorema de Ruffini, e cuja demonstração é deixada para o leitor: Corolário (Teorema de Ruffini). Um número complexo α C é raiz de um polinômio f(x) D[x] se e somente se f(x) é divisível por x α. A sguir descrevemos o chamado esquema de Ruffini (veja figura abaixo) para dividir um polinômio da forma f(x) = n a i x i, i=0 por x a. Como no algoritmo da divisão começamos dividindo por x, o primeiro quociente parcial é q 1 (x) = a n x n 1 ; multiplicando por x a e subtraíndo de f(x) obtemos r 1 (x) = (a n a + a n 1 )x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0. Repetindo o procedimento obteremos então q 2 (x) = (a n 1 +aa n )x n 2, r 2 (x) = (a n a 2 +a n 1 a+a n 2 )x n 2 +a n 3 x n 3 + +a 0. Não é difícil de se convencer que os coeficientes do quociente e o resto r(x) podem ser obtidos da seguinte forma: escrevemos numa linha horizontal todos os coeficientes de f(x), da direita para a esquerda, começando pelo líder e não esquecendo aqueles que são nulos. Os coeficientes do quociente são, escritos na mesma ordem: o líder é o próprio a n ; para o seguinte multiplicamos o anterior (isto é, o líder neste caso) por a e somamos o resultado com o próximo coeficiente da linha horizontal, ou seja, com a n 1 ; para obter o terceiro coeficiente de q(x) repetimos o procedimento arterior, ou seja, multiplicamos o coeficiente obtido precedentemente por a e somamos o resultado com o terceito da linha horizontal, isto é, com a n 2 ; etc...o resto r(x) será o último resultado obtido pelo procedimento anterior, que é precisamente f(a) = a n a n + a n 1 a n a 1 a + a 0 ; em particular redemonstramos o teorema do Resto Figura com esquema de Ruffini

59 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 59 Exemplo Consideremos o polinômio f(x) = x 4 + bx 2 cx + 4 com b,c R. Encontremos b,c para que o polinômio tenha raízes 1 e 1. Aplicando o corolário temos um sistema de equações b c = 5;b + c = 5. Concluímos b = 5 e c = 0. Exemplo Consideremos o polinômio f(x) = x 2 + bx + c com b,c R. Se quisermos encontrar b,c para que o polinômio tenha raiz dupla igual a 1, o método utilizado no exemplo anterior não funciona pois obteremos a mesma equação duas vezes (verifique isto!). Por outro lado, se o fato de um polinômio possuir raiz 1 equivale a este polinômio ser divisível por (x 1), é razoável pensar que ter raiz dupla 1 equivalha ao fato do polinômio poder ser dividido duas vezes por (x 1) (observe que talvez ainda não tenhamos muito claro o quê significa um polinômio ter raiz dupla); como veremos, a é esta a definição correta da noção de raiz dupla. Levando isto em consideração, podemos dividir f(x) por (x 1) e logo dividir o quociente obtido também por (x 1): ambos restos deverão ser nulos. Aplicando o esquema de Ruffini o primeiro resto é 1 + b + c, o primeiro quociente tem coeficientes 1 e b + 2 e e o segundo resto é b + 2. Concluímos que b = 2 e c = 1. Exercício Trabalhando como no exemplo precedente obtenha condições para que o polinômio geral de grau 2 possua uma raiz dupla α; compare o resultado obtido com o que já sabe da discussão da equação quadrática. O teorema de Ruffini (corolário 3.3.7) pode ser generalizado; no momento estamos em condições de generalizar apenas uma das implicações (para a implicação recíproca veja proposição 3.5.1): Proposição Sejam f(x), g(x) D[x]. Se g(x) f(x), então toda raiz de g(x) é raiz de f(x). Demonstração. Temos f(x) = g(x)q(x) para certo q(x) D[x]. Se α C é uma raiz de g(x), então donde segue o resuntado. f(α) = g(α)q(α) = 0,

60 60 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Quando estudamos aritmética em Z partimos do algorítmo da divisão para logo definirmos o conceito de divisor de um número. Entre os divisores, encontramos alguns muito especiais: por um lado, aqueles triviais que são o próprio número ou seu oposto, e ±1. Por outro lado, encontramos certos números que admitem apenas divisores trivias como estes; quando positivos, chamamos esses números de números primos. Depois demonstramos o teorema fundamental da Aritmética que diz que todo número positivo fatora-se como produto de números primos; se o número é negativo, multiplicamos por 1 a fatoração do seu valor absoluto. Agora que temos em D[x] um algorítmo de divisão, podemos nos perguntar sobre a fatoração de um polinômio como produto de fatores primordiais, que não acietam mais fatoração que aquelas trivias; observe que fatores do tipo x α correspondem a raízes do polinômio em questão. Vamos então definir os conceitos equivalentes, para polinômios, daqueles de número primo e divisor trivial de um número inteiro. A seguinte definição é bastante intuitiva e omitimos comentários (reflita sobre ela; veja o exemplo (a) acima) Definição Seja f(x) D[x]. Os divisores triviais de f(x) são os polinômios constantes d(x) = d D e os polinômios da forma df(x), onde d é invertível em D. Depois de termos a noção de divisor trivial, o equivalente ao conceito de número primo decorre imediatamente: Definição Seja f(x) D[x] um polinômio de grau 1. Dizemos que f(x) é irredutível, se seus únicos divisores em D[x] são os trivias. Caso contrário dizemos que f(x) é redutível. Vejamos alguns exemplos para exclarecer esta noção. Exemplos (a) Seja f(x) = ax+b D[x]. Suponhamos primeiramente que D = Z. Seja d = mdc(a,b) Z. Temos f(x) = d(a x + b ), onde mdc(a,b ) = 1. Se d > 1, então d é um divisor não trivial em D[x] pois não é invertível em D. Concluímos que, neste caso, f(x) é redutível. Se d = 1, suponhamos que f(x) possui um divisor g(x) Z; então ax + b = g(x)q(x).

61 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 61 Por causa do grau de f(x) ser um, concluímos que g(x) ou q(x) devem ser constantes; digamos g(x) = a 1 x + b 1 e q(x) = c Z. Então a = a 1 c, b = b 1 c, donde c mdc(a,b). Como mdc(a,b) = d = 1, que é invertível, concluímos que f(x) é irredutível. Finalmente, no caso onde D é um corpo, é evidente que f(x) = ax + b será sempre irredutível. (b) Consideremos o polinômio É claro que temos a fatoração f(x) = x 2 2 Z[x]. x 2 2 = (x 2)(x + 2), o que mostra que f(x) é redutível em R[x] e também em C[x]. Porém ele é irredutível em Q[x]: com efeito, soponhamos que f(x) possui um divisor não trivial em Q[x]. Por causa do grau de f(x) ser 2, a única possibilidade é termos x 2 2 = (ax + b)(a 1 x + b 1 ), com a,b,a 1,b 1 Q. Um cálculo fácil mostra que aa 1 = 1, ab 1 + ba 1 = 0, bb 1 = 2. Multiplicando por ab 1 a igualdade do meio, obtemos a 2 b = 0, que não possui solução em Q (observe que ab 1 0). Então a fatoração acima não é possível em Q[x]. Um cálculo ainda mais simples mostra que o polinômio x 2 2 é irredutível em Z[x]: com efeito, de aa 1 = 1 obtemos a = ±1 e a 1 = ±1; de bb 1 = 2 obtemos b = ±1,b 1 = ±( 2). Estes valores para a,a 1,b,b 1 são incompatíveis com a equação do meio ab 1 + ba 1 = 0. (c) Seja f(x) = 3x 2 6. É redutível em Z[x] pois fatora-se como 3(x 2 2) sendo 3 Z um divisor não trivial em Z[x]; trabalhando como no exemplo (b) mostra-se que o polinômio é irredutível em Q[x] e redutível quando D = R ou D = C.

62 62 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Quando estudamos aritmética em Z, um inteiro n e seu oposto n possuem os mesmos divisores; isto deve-se ao fato de podermos passar de um para o outro multiplicando por 1 que é um invertível de Z. Temos um fenômeno análogo em D[x], é o conteúdo da seguinte definição. Definição Dizemos que dois polinômios f(x), g(x) D[x] são associados em D[x] (ou sobre D), denotando f(x) g(x), se possuem os mesmos divisores. Se f(x) g(x) em D[x], como f(x) g(x) e g(x) f(x), temos f(x) = g(x)q(x), g(x) = f(x)q (x). Então f(x) = q(x)q (x)f(x), donde segue que, ou f(x) = g(x) = 0, ou, caso contrário q(x) e q(x) são invertíveis em D[x], isto é, são constantes invertíveis em D. Isto demonstra o seguinte resultado: Proposição Dois polinômios f(x), g(x) D[x] são associados em D[x] se e somente se f(x) = ag(x) com a D invertível; neste caso g(x) = bf(x) com b D tal que ab = 1. Exemplo Os polinômios 3x 2 6 e x 2 2 não são associados em Z[x], pois o primeiro é múltiplo do segundo via uma constante que não é invertível em Z. A demonstração do seguinte corolário (da proposição precedente) é deixada como exercício para o leitor. Corolário Se f(x), g(x) D[x] são polinômios associados, então f(x) é irredutível em D[x] se e somente se g(x) é irredutível em D[x]. Definição Seja f(x) = n i=0 a ix i Z[x]. O conteúdo de f(x) é o máximo divisor comum dos coeficientes c(f) := mdc(a 0,...,a n ). Exemplo Se f(x) = 3x 2 6, temos c(f) = 3. A seguinte proposição, cuja demonstração daremos mais adiante (veja a demonstração antes do lema 3.6.2) explica o fenômeno aparentemente não intuitivo que acontece com o polinômio 3x 2 6 que é irrédutível sobre Q mas não sobre Z que é um domínio muito menor (e então com menos possibilidade de escolha para os coeficientes).

63 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 63 Proposição Seja g(x) Z[x]. Suponhamos que g(x) é irredutível em Q[x]. Se c(g) = 1, então g(x) é irredutível em Z[x]. Vamos agora introduzir os conceitos de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum de dois ou mais polinômios. Comecemos pelo primeiro: é importante observar as diferenças entre os casos onde D é Z e D é um corpo (de fato arbitrário contendo Z, mas nos sempre pensaremos nos casos onde o corpo é um dos dos três corpos Q, R e C). Definição Sejam f(x), g(x) D[x] polinômios não ambos nulos. Seja d(x) D[x] um polinômio que, quando D for um corpo suporemos mônico e quando D = Z suporemos de coeficiente líder positivo. Dizemos que d(x) é o máximo divisor comum de f(x) e g(x) se satisfaz as seguintes condições: (i) d(x) f(x) e d(x) g(x). (ii) se c(x) f(x) e c(x) g(x), então c(x) d(x). Neste caso denotamos mdc(f,g) := d(x) Exemplo Se f(x) = 3x e g(x) = 12x 2 24 é mais ou menos evidente que mdc(f,g) = 3x 2 6 em Z[x] mas x 2 2 em D[x] para D sendo um corpo pois o máximo divisor comum é mônico por definição neste caso. Vamos agora introduzir o Algoritmo de Euclides para calcular o mdc de dois polinômios. Por simplicidade concentraremos nossa atenção no caso onde D é um corpo; o leitor interessado, poderá tentar obter o mdc para polinômios em Z[x] usando o algorítmo no caso de Q[x] com ligeiras modificações. Precisamos do seguinte lemma cuja demonstração é deixada para o leitor. Lema Sejam f(x),g(x) D[x]. Se d(x) D[x] é um divisor commun de f(x) e g(x), então d(x) divide o polinômio para todos h(x) D[x] e k(x) D[x]. f(x)h(x) + g(x)k(x) Seja D um corpo que contém os números inteiros (o leitor pode pensar no caso onde D é um dos três corpos numéricos). Sejam f(x),g(x) D[x]

64 64 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS polinômios não nulos com grau(f) grau(g). Pelo algorítmo da divisão, existem únicos q(x) e r(x), polinômios em D[x], tais que (i) f(x) = g(x)q(x) + r(x) e (ii) r(x) = 0 ou grau(r) < grau(g). Por outro lado, do lema precedente segue facilmente que todo divisore comum de f(x) e g(x) é divisor comum de g(x) e r(x): com efeito, se d(x) f(x) e d(x) g(x), então o lema aplicado com h(x) = 1 e k(x) = q(x) mostra que d(x) r(x), pois r(x) = f(x) + g(x) ( q(x)). Reciprocamente, se d(x) g(x) e d(x) r(x), aplicamos o lema aos polinômios g(x) e r(x) multiplicando o primeiro por h(x) = q(x) e o segundo por k(x) = 1 para concluir que d(x) f(x). Do raciocínio acima concluímos mais ou menos diretamente o seguinte resultado, que é a clave para construir o algorítmo de Euclides. Lema Temos mdc(f,g) = mdc(g,r) Algorítmo Dados de entrada: f(x) e g(x) com g(x) 0 e grau(f) grau(g). 1. Primeiro passo: Dividimos f(x) por g(x), obtendo f(x) = g(x)q(x) + r(x) Usando o corolário, temos duas situações: (1) r(x) = 0; neste caso, o mdc procurado é o g(x) multiplicado pelo inverso de seu coeficiente líder (para tornar mônico o polinômio, de acordo com a definição de mdc). (2) r(x) 0; neste caso grau(r) < grau(g). Então repetimos o feito no primeiro passo: 2. Segundo passo: Dividimos g(x) por r(x), obtendo g(x) = r(x)q 1 (x) + r 1 (x). Novamente temos duas situações: (1) r 1 (x) = 0; neste caso o mdc procurado é r(x) multiplicado pelo inverso de seu coeficiente líder. (2) r 1 (x) 0; neste caso grau(r 1 ) < grau(r). Pelo corolário teremos mdc(f,g) = mdc(g,r) = mdc(r,r 1 )

65 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 65 Então recomeçamos, dividindo agora r(x) por r 1 (x), e assim em diante. Os restos r(x),r 1 (x),r 2 (x), etc, serão chamados de restos parciais. É claro que o procedimento acima pára em algum momento: isto é, não pode acontecer que toda vez que dividimos, a primeira situação não aconteça (ou seja, o resto da divisão correspondente não seja zero), pois a cada repetição do procedimento o resto obtido, quando não nulo, tem grau menor que o anterior. De fato, teremos no máximo, grau(g) passos a realizar. Concluímos desta forma, que o mdc(f,g) é o último resto parcial diferente de zero, multiplicado pelo inverso de seu coeficiente líder. Teorema Sejam f(x),g(x) D[x] com D um corpo. Então existe um único máximo comum divisor de f(x) e g(x). Demonstração. A existência foi provada usando o algorítmo de Euclides. A demonstração da unicidade é deixada para o leitor. Numa primeira instância o mdc de dois polinômios depende do domínio D[x] onde estamos trabalhando; não obstante, no caso onde D for um corpo, segue do algorítmo de Euclides que mdc(f,g) independe de D, isto é, o polinômio achado pelo algorítmo é o mesmo independentemente do fato de trabalharmos com Q, R ou C, quando isto fizer sentido (ou seja, quando os polinômios f(x) e g(x) puderem ser considerados com coeficientes em um ou outro corpo): é o conteúdo do seguinte corolário. Corolário Suponhamos que D é um corpo. Então mdc(f, g) independe de D. Demonstração. Basta observa que os dois lemas utilizados para demonstrar o algorítmo de Euclides independem de D. Exemplo Sejam f(x) = x 8 +5x 7 3x 6 42x 5 25x 4 +92x 3 +78x 2 35x 15,g(x) = x 5 +5x 4 27x 2 25x+10. Dividindo f(x) por g(x) obtemos dividindo g(x) por r(x) obtemos q(x) = x 3 3x, r(x) = x 3 + 3x 2 5x 15; q 1 (x) = x 2 + 2x 1, r 1 (x) = x 2 5.

66 66 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Finalmente, ao dividir r(x) por r 1 (x) obtemos Concluímos q 2 (x) = x + 3, r 2 (x) = 0. mdc(f,g) = x 2 5. Em particular temos que mdc(f,g) = g(x) + r(x)( q 1 ); utilizando que f(x) = g(x)q(x) + r(x) podemos eliminar r(x) para obter donde mdc(f,g) = g(x) + (f(x) + g(x)( q(x))( q 1 (x)), mdc(f,g) = ( q 1 (x))f(x) + (1 + q(x)q 1 (x)) o que mostra que mdc(f,g) é uma combinação linear de f(x) e g(x) com coeficientes em D[x]; neste caso podemos supor D = Q. O raciocínio feito no exemplo precedente pode ser generalizado, obtendo o seguinte resultado (a demonstração pode ser omitida numa primeira leitura): Teorema Sejam f(x), g(x) D[x]. Existem polinômios h(x), k(x) D[x] tais que mdc(f,g) = f(x)h(x) + g(x)k(x). Demonstração.... Corolário Sejam f(x),g(x) D[x] e α C. Então α é uma raiz comum de f(x) e g(x) se e só se α é uma raiz de mdc(f,g). Demonstração. Se α é raiz de f(x) e de g(x), pelo teorema α também é raiz de mdc(f,g). Reciprocamente, seja α uma raiz de d(x) = mdc(f,g); como d(x) é um divisor comum de f(x) e g(x) temos para certos q 1 (x),q 2 (x) D[x]. Então donde segue a afirmação. f(x) = d(x)q 1 (x), g(x) = d(x)q 2 (x) f(α) = d(α)q 1 (α) = 0, g(α) = d(α)q 2 (α) = 0,

67 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 67 O corolário precedente mostra o vínculo existente entre o mdc é a resolução de sistemas de equações, como mostra o exemplo seguinte. Exemplo Vamos resolver o sistema de equaçãoes: { x 4 + x 3 + 3x 2 = 0 x 3 3x + 2 = 0. Se f(x) = x 4 + x 3 + 3x 2 e g(x) = x 3 3x + 2, queremos encontrar as raízes comuns de f(x) e g(x); denotemos d(x) = mdc(f, g). Pelo corolário, isto corresponde a encontrar as raízes de d(x). Utilizando o algorítmo de Euclides, obtemos d(x) = x + 2, donde concluímos que x = 2 é a única solução do sistema de equações. Definição Dois polinômios f(x), g(x) D[x] são primos entre si se mdc(f,g) = 1. Proposição Suponhamos que existem k(x),h(x) D[x] tais que Então mdc(f, g) = 1. 1 = k(x)f(x) + h(x)g(x). Demonstração. Se d(x) é um divisor comum de f(x) e de g(x), então d(x) divide 1 pelo lema Então mdc(f,g) = 1 Corolário Sejam f(x), g(x) D[x]. Se d(x) = mdc(f, g), então f(x) = d(x)f 1 (x), g(x) = d(x)g 1 (x), onde f 1 (x) e g 1 (x) polinômios em D[x] primos entre si. Demonstração. Pelo teorema donde segue facilmente d(x) = k(x)f(x) + h(x)g(x), 1 = k(x)f 1 (x) + h(x)g 1 (x). O corolário é entaõ conseqüência da proposição precedente.

68 68 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Teorema (Teorema de Euclides). Sejam f(x),g(x),g 1 (x) D[x]. Se f(x) g(x)g 1 (x) e mdc(f,g) = 1, então f(x) g 1 (x). Demonstração. Pelo teorema existem h(x),k(x) D[x] tais que 1 = f(x)h(x) + g(x)k(x). (3.3) Por outro lado g(x)g 1 (x) = f(x)q(x) para certo q(x) D[x]. Multiplicando a igualdade da equação (3.3) por g 1 (x) obtemos então g 1 (x) = f(x)g 1 (x)h(x) + g(x)g 1 (x)k(x) demonstrando que f(x) divide g 1 (x). = f(x)g 1 (x)h(x) + f(x)q(x)k(x) = f(x) (g 1 (x)h(x) + q(x)k(x)) O seguinte corolário do teorema de Euclides é deixado como exercício para o leitor. Corolário Sejam f(x),g(x),h(x) D[x]. Se f(x) é irredutível e f(x) g(x)h(x), então f(x) g(x) ou f(x) h(x). Exercício Sejam f(x),f 1 (x),...,f l (x) D[x]. Suponha que f(x) f 1 (x) f l (x). Demonstra por indução matemática no número l de fatores que se f(x) é irredutível, então existe j, 1 j l tal que f(x) f j (x). A continuação introduzimos o conceito de Mínimo Múltiplo Comum. Definição Seja f(x) D[x]. Um múltiplo de f(x) em D[x] é um polinômio da forma f(x)q(x), onde q(x) D[x]. Um polinômio m(x) é múltiplo de f(x) em D[x] se e somente se f(x) m(x) (demonstre isto!). Definição Sejam f(x), g(x) D[x]. Sejam a, b os coeficientes líder de f(x) e g(x) quando D for um corpo e seus conteúdos quando D for Z, respectivamente. O Mínimo comum múltiplo de f(x) e g(x) é o polinômio em D[x], que denotaremos mmc(f, g) quociente de dividir f(x)g(x) por abmdc(f,g). Com esta definição fica claro que mmc(f,g) está univocamente definido, porém não é claro que seja um múltiplo comum de f(x) e g(x) nem que seja o menor possível.

69 3.3. TEORIA DA DIVISIBILIDADE EM D[X] 69 Teorema Sejam f(x),g(x),m(x) D[x]. Então m(x) é o mínimo múltiplo comum de f(x) e g(x) se e somente se satisfaz as seguintes condições: (i) f(x) m(x), g(x) m(x). (ii) Se h(x) f(x) e h(x) g(x), então m(x) h(x). (iii) m(x) é mônico quando D for um corpo e um inteiro positivo quando D for Z. Demonstração. Faremos a prova no caso onde D é um corpo; o caso onde D = Z é deixado para o leitor interessado e pode ser demonstrado adaptando a demonstração que faremos. Denotemos d(x) = mdc(f,g). Temos f(x) = d(x)f 1 (x) e g(x) = d(x)g 1 (x) com mdc(f 1,g 1 ) = 1. Suponhamos que m(x) = mmc(f, g) e demonstremos que m(x) satisfaz as condições (i), (ii) e (iii). Observemos que a condição (i) segue diretamente da definição; a condição (ii) é conseqüência do fato que d(x) é mônico. Como f(x) e g(x) dividem h(x), temos h(x) = d(x)f 1 (x)q(x) = d(x)g 1 (x)q (x) para certos q(x),q (x) D[x]; em particular g 1 (x) d(x)f 1 (x)q(x). Pelo teorema de Euclides, g 1 (x) d(x)q(x). Finalmente, dado que m(x) = abd(x)f 1 (x)g 1 (x) concluímos que m(x) h(x), o que demonstra (ii). Reciprocamente, suponhamos que m(x) satisfaz (i), (ii) e (iii). Temos f(x)g(x) = abd 2 (x)f 1 (x)g 1 (x). A primeira parte da demonstração nos diz que o polinômio abd(x)f 1 (x)g 1 (x) satisfaz (i), (ii) e (iii). Basta então mostrar que dois polinômios que satisfazem estas trêss condições são iguais. Seja m (x) um polinômio satisfazendo (i), (ii), e (iii). Temos m (x) m(x) e m(x) m (x). Então m(x) = cm (x), m (x)c m(x), com c,c D. Como ambos polinômios são mônicos eles devem coincidir. Exemplo Sejam f(x) = x 8 +5x 7 3x 6 42x 5 25x 4 +92x 3 +78x 2 35x 15,g(x) = x 5 + 5x 4 27x 2 25x Como vimos no exemplo temos mdc(f,g) = x 2 5. Basta dividir f(x)g(x) por x 2 5 para obter mmc(f,g) (faça-o!).

70 70 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Terminamos este parágrafo generalizando o conceito de máximo comum divisor e mínimo múltiplo comum para o caso de um número finito de polynômios (o que pode ser omitido numa primeira leitura). Porém, não demonstraremos só enunciaremos, sem demonstração, as principais propriedades destes. Definição Sejam f 1 (x),...,f l (x) D[x]. O Máximo divisor comum dos polinômios f 1 (x),...,f l (x) é um polinômio d(x) D[x] tal que: (i) d(x) f i (x) para i = 1,...,l. (ii) Se c(x) f i (x) para i = 1,...,l, então c(x) d(x). (iii) d(x) é mônico se D for um corpo e com coeficiente líder positivo se D = Z. Denota-se d(x) = mdc(f 1,...,f l ). De maneira análoga ao que acontece no caso l = 2 pode-se demonstrar que dois polinômios satisfazendo (i), (ii) e (iii) são necessariamente inguais, o que prova que a definição está bem posta, isto é, que não pode haver dois polinômios diferentes virificando a definição acima. Por exemplo se l = 3, não é difícil demonstrar que mdc(mdc(f 1,f 2 ),f 3 ) e mdc(f 1, mdc(f 2,f 3 )) satisfazem as condições (i), (ii) e (iii), donde que eles concidem (ambos) com o mdc dos três polinômios. O leitor pode imaginar como é que devemos proceder para obter o mdc de mais do que três polinômios... Analogamente, o mmc de l polinômios f 1 (x),...,f l (x) D[x], que denotase mmc(f 1,...,f l ), pode ser definido como satisfazendo f 1 (x) f l (x) = a 1 a l mdc(f 1,...,f l ), onde a 1,...,a l D os coeficientes líder dos respectivos polinômios. 3.4 Irredutibilidade e Fatoração Canônica Agora vamos estudar o problema da fatoração de polinômios, com coeficientes num corpo, como produto de polinômios irredutíveis. Comecemos analizando alguns casos particulares. Seja f(x) D[x] de grau n 1. 1 Se n = 1, como sabemos pelo exemplo a), o polinômio é irredutível e nada temos a fatorar.

71 3.4. IRREDUTIBILIDADE E FATORAÇÃO CANÔNICA 71 2 Se n = 2, temos duas possibilidades mutuamente excluentes: (i) f(x) é irredutível em D[x], e nada temos para fatorar, como acontece por exemplo com o polinômio x 2 2 em Q[x] (ref b)) ou x em R[x]. (ii) f(x) é redutível, como acontece com x 2 2 = (x 2)(x + 2) em R[x] ou x = (x ı)(x + ı) em C[x]. Neste caso podemos escrever f(x) = f 1 (x)f 2 (x), onde f 1 (x) e f 2 (x) são divisores não triviais de f(x); isto é, são polinômios de grau 1. Concluímos, pelo visto no item (i) que f 1 (x) e f 2 (x) são irredutíveis, e então a fatoração acima é a fatoração procurada. 3 Se n = 3 temos novamente duas possibilidades mutuamente excluentes: (i) f(x) é irredutível (conhece algum exemplo?). (ii) f(x) é redutível, então f(x) = f 1 (x)g(x), com f 1 (x) de grau 1 e g(x) de grau 2. Se g(x) for irredutível, esta é a fatoração procurada. Senão, aplicamos o feito no caso de polinômios de grau 2 acima e obtemos uma fatoração para g(x) como g(x) = f 2 (x)f 3 (x) com f 2 (x) e f 3 (x) de grau 1; neste caso f(x) = f 1 (x)f 2 (x)f 3 (x) é uma fatoração de f(x) como produto de polinômios irredutíveis. Este raciocínio pode ser continuado agora para grau 4, utilizando o já feito para grau 3, e asim por diante. Este procedimento é um caso particular do que chama-se um procedimento indutivo, onde a indução acontece no grau dos polinômios envolvidos. O caso geral, demonstra-se por indução matemática, no grau n do polinômio f(x). Mais precisamente, temos: Teorema (Teorema de fatoração). Seja f(x) D[x] um polinômio de grau n 1. Então i) Existem polinômios irredutíveis f 1 (x),...,f l (x) D[x] tais que ii) Se temos outra fatoração f(x) = f 1 (x) f l (x). f(x) = g 1 (x) g m (x) onde g 1 (x),...,g m (x) são irredutíveis, então m = l e cada g i (x) é associado a algum f j (x).

72 72 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Demonstração. Existência. Vamos mostrar a parte (i) por indução matemática no grau n. Se n = 1, o resultado é claro, pois todo polinômio de grau um com coeficientes num corpo é irredutível. Suponhamos como hipótese de indução que o resultado é verdadeiro para todo polinômio de grau menor que k. Vamos então demonstrar que o resultado também é verdadeiro para todo polinômio de grau k. Seja f(x) um polinômio de grau k. Se f(x) é irredutível, nada temos a demonstrar. Se f(x) é redutível, então f(x) = g(x)h(x) com g(x) e h(x) divisores não triviais de f(x); em particular o grau de g(x) e de h(x) não pode ser nem 0 nem k. Por hipótese de indução existem fatorações para g(x) e h(x) como produto de polinômios irredutívis g(x) = f 1 (x) f r (x), h(x) = f r+1 f l (x). Concluímos f(x) = f 1 (x) f l (x), como queriamos demonstrar. Unicidade. Agora mostraremos a parte (ii). Suponhamos que f(x) = g 1 (x) g m (x), com g 1 (x),...,g m (x) irredutíveis em D[x]. Fixemos i {1,...,m} e denotemos g(x) = g i (x). Temos g(x) f 1 (x) f l (x). Como g(x) é irredutível, pelo exercício existe j tal que g(x) divide f j (x); como g i (x) = g(x) e f j (x) são ambos irredutíveis, eles são associados. Em particular m l. Refazendo o argumento com f i (x) no lugar de g i (x) também obtemos que cada f i (x) divide algum g j (x) e então l m, o que completa a demonstração.

73 3.4. IRREDUTIBILIDADE E FATORAÇÃO CANÔNICA 73 Observação a) Os polinômios irredutíveis em (i) podem aparecer muitas vezes, como mostra o seguinte exemplo: (3x 2 6) 2 (x 2 + 1) 3 (4x 1) que é uma fatoração em Q[x]. b) A parte (ii) do teorema significa que dadas duas fatorações, o número de fatores irredutíveis deve ser o mesmo em ambas, e, além disso, os polinômios que aparecem nestas ou são, a menos da ordem de aparição, os mesmos, ou diferem pela multiplicação de uma constante. Por exemplo, a fatoração dada acima, pode ser modificada como 1 9 (4x2 8)(3x 2 6)(3x 2 + 3) 3 (x 1 4 ). Observe que pondo em evidência os coeficientes líderes de cada fator irredutível da fatoração e multiplicando-os entre si, devemos obter o coeficiente líder de f(x). Isto, junto com a observação acima mostra o seguinte corolário: Corolário Seja f(x) D[x] um polinômio de grau n 1 com coeficiente líder a n. Então Existem polinômios irredutíveis e mônicos f 1 (x),...,f k (x) D[x] tais que f(x) = a n f n 1 1 (x) f n k k (x). Vamos chamar a fatoração de f(x) enunciada no corolário da fatoração canônica de f(x) em D[x]. A continuação vamos analizar, separadamente, o que acontece quando D é C, R ou Q. Começamos enunciando o famoso e mais imporante teorema na teoria de polinômios com coeficientes complexos: o Teorema Fundamental da Álgebra cujo enunciado é adjudicado ao matemático francés A. Girard e cuja demonstração foi obtida por Gauss em 1799 na sua tese de doutorado. Existem hoje em dia muitas demonstrações deste teorema, algumas delas relativamente elementares, mas todas envolvendo conceitos qeu escapam do escopo deste livro, motivo pelo qual será omitida. Teorema (Teorema Fundamental da Álgebra). Seja f(x) C[x] de grau maior ou igual que 1. Existe α C tal que f(α) = 0.

74 74 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Como sabemos, todo polinômio de grau 1, em particular aqueles com coeficientes complexos, é irredutível. Se f(x) C[x] é de grau maior que um, pelo teorema fundamental, existe uma raíz α C; pelo corolário temos então f(x) = (x α)q(x) para certo q(x) C[x], com grau(q) > 0. Concluímos que f(x) é redutível. Ou seja: Corolário Os unicos polinômios irredutíveis em C[x] são os polinômios de grau um. Como conseqüência se f(x) é um polinômio de grau n 1 com coeficiente líder a n, o corolário 3.4.3, no caso onde D = C, fica na forma seguinte f(x) = a n (x α 1 ) n1 (x α k ) n k, (3.4) onde n = n n k e α 1,...,α k são as raízes distintas de f(x). Diremos que esta é a fatoração canônica complexa de f(x). O expoente n i é a multiplicidade da raíz α i, i = 1,...,k. Dizemos também que α i é uma raiz simple quando n i = 1 e múltipla quando n i > 1, sendo este n i a ordem ou multiplicidade. Se n i = 2, 3,etc. tabém diremos que a raiz é dupla, tripla etc. No fim do parágrafo analisaremos mais detalhadamente a relação entre a multiplicidade de uma raiz e a divisibilidade (ref. corolário do teorema do resto 3.3.7). Um corolário importante da fatoração de f(x) como produto de fatores irredutíveis mônicos de grau um é a relação entre coeficientes e raízes de um polinômio, problema este que já tratamos no (ver 2 do capítulo 1) de maneira menos sistemática do que o faremos agora; em particular o leitor poderá verificar as relações obtidas surgiam como consequência de considerar expressões que estavam fatoradas como produto de binômios de grau 1. Para isso comecemos observando que ( ) ( ) l (x γ i ) = x n γ j + γ i γ j + + ( 1) n γ 1 γ n. i=1 j Esta expressão é então um polinômio mônico de grau n com coeficientes, fora o líder que é um, certas funções cujas variáveis são precisamente as raízes γ 1,...,γ n. i<j

75 3.4. IRREDUTIBILIDADE E FATORAÇÃO CANÔNICA 75 Mais explicitamente, definimos as funções simétricas s 1,...,s l de γ 1,...,γ n, como sendo s j (γ 1,...,γ n ) = i 1 <...,i j γ i1 γ i2 γ ij, j = 1,...,n. Por simplicidade, e quando não houver perigo de confusão, denotaremos s j = s j (γ 1,...,γ n ),j = 1,...,n; s j é a j-ésima função simétrica de γ 1,...,γ n. A demonstração do seguinte corolário deveria ser um exercício relativamente fácil para o leitor Corolário Seja g(x) C[x] um polinômio mônico de grau n; denotemos γ 1,...,γ n as raízes (eventualmente repetidas) de g(x). Então g(x) = n ( 1) n s j x j, j=1 onde s 0 = 1 e, para j 1, s j é a j-ésima função simétrica de γ 1,...,γ n. Para analisar a fatoração de polinômios com coeficientes reais, precisamos de um resultado preliminar que é interessante em si mesmo. Lema Sejam f(x) R[x] e α C um número complexo imaginário. Então f(α) = 0 se e só se f(α) = 0. Demonstração. Escrevemos f(x) = n a i x i, a i R, 0 i n. i=0 Por hipótese f(α) = 0 = n a i α i. i=0 Comecemos observando que, por um lado α i = α i ; por outro lado a i = a i para todo i = 0,...,n, pois a i R.

76 76 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Tendo em conta que o conjugado de uma soma de números é a soma dos conjugados destes números, concluímos o que termina a demonstração. 0 = f(α) n = a i α i = i=0 n a i α i i=0 = f(α) Exemplo No lema precedente é essencial que os coeficientes do polinômio sejam reais. Por exemplo se f(x) = x 2 ı, as duas raízes de f(x) são as raízes quadradas da unidade imaginária ı, isto é ı e 2 2 ı 2. O seguinte é um exercício fácil que deixamos para o leitor. Exercício Seja f(x) R[x] um polinômio de grau 2. Mostre que f(x) é irredutível sobre R se e somente se ele possui uma raiz imaginária. Seja f(x) R[x] um polinômio com coeficientes reais de grau n 1. Suponhamos que suas raízes em C sejam α 1,...,α r,α 1,...,α r,β 1,...,β s, onde α j é imaginária para todo j e β k é real para todo k. A fatoração de f(x) em C[x] pode ser escrita na forma f(x) = a n (x α 1 ) n 1 (x α 1 ) m1 (x α r ) n k (x α r ) n k (x β 1 ) m1 (x β s ) ms. Por outro lado, um cálculo direto mostra que se α é imaginário, então o polinômio (x α)(x α) = x 2 2R(α)x + α 2,

77 3.4. IRREDUTIBILIDADE E FATORAÇÃO CANÔNICA 77 que é evidentemente um polinômio com coeficientes reais, é irredutível (vide exercício 3.4.1); se α = a + ıb, o polinômio acima também escreve-se como (x a) 2 + b 2, o que evidencia a existência de soluções imaginárias. Aplicando este cálculo à fatoração de f(x) concluímos f(x) = a n ( (x a1 ) 2 + b 2 1) n1 ((x a r ) 2 + b 2 r) nr (x β1 ) m1 (x β s ) ms. (3.5) Diremos que esta é a fatoração canônica real de f(x) Como vimos no exemplo 3.3.4, todos os fatores de grau 2 e 1 nesta fatoração são irredutíveis em R[x]. Em particular, podemos enunciar o seguinte corolário: Corolário Um polinômio com coeficientes reais é irredutível se e somente se for de grau 1 ou de grau 2 com raízes imaginárias. Exemplo O polinômio (x 2 + 1)(x 2 + 2) possui todas suas raízes imaginárias, mas é redutível. Exemplo Consideremos o polinômio f(x) = x 4 + x Se ω é a raiz cúbica primitiva da unidade, é claro que ω e seu oposto ω são raízes de f(x); logo ω e ω também o serão. Estas são quatro raízes de f(x). Um cálculo direto mostra que a fatoração canônica real de f(x) é então f(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 x + 1). Agora nos resta compreender a fatoração canônica no caso racional; em outras palavras, precisamos saber que polinômios com coeficientes racionais podem aparecer como fatores irredutíveis. Isto é um problema bem mais delicado como iremos vendo aos poucos. Uma forma de obter a fatoração canônica no caso racional de um polinômio Q[x], é de escrevermos primeiro a fatoração canônica real de f(x); se os fatores que aparecem nesta forem

78 78 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS polinômios com coeficientes racionais, pela unicidade da fatoração, esta será a fatoração canônica racional de f(x): com efeito, todo polinômio irredutível em R[x] o será também em Q[x]. A fatoração canônica real do polinômio do exemplo é então a fatoração canônica racional. Quais são os graus possíveis de um polinômio irredutível em Q[x]? Analizaremos, para começar, alguns exemplos do que pode acontecer. Exemplo Seja f(x) = x 3 5. As raízes de f(x) são precisamente as três raízes cúbicas de 5, isto é, 3 5,ω 3 5,ω É então claro que x 3 5 = g(x)(x 3 5), onde g(x) é o polinômio mônico de grau 2 em R[x] cujas raízes são ω 3 5,ω (como exercício o leitor poderia escrever explicitamente g(x)). É conhecido que 3 p é um número irracional sempre que p Z for um número primo (por quê?). Concluímos então que f(x) é irredutível. Outra forma de estudar o polinômio do exemplo pode ser a partir da própria definição de irredutibilidade. Mais geralmente, seja f(x) Q[x] um polinômio de grau 3. Ele é redutível se e somente se f(x) = f 1 (x)f 2 (x), com f 1 (x) e f 2 (x) polinômios com coeficientes racionais de graus 1 e 2 respectivamente. Em particular f 1 (x) = ax+b para certos a,b Q, com a 0. Mas então α := b/a, que é um número racional, será raiz de f(x), necessariamente. Então, um polinômio de grau 2 será irredutível quando não possuir raízes racionais. Em particular, isto mostra, de uma outra forma, que x 3 5 é irredutível; porém como sabemos, calcular as raízes de um polinômio de grau 3, salvo casos particulares, não é tarefa fácil. Mas no nosso raciocínio, precisamos apenas conhecer a natureza das raízes, isto é, não queremos calcular todas as raízes, mas apenas saber se há alguma racional: isto é muito mais fácil, como observaremos a continuação. Seja f(x) Z[x] um polinômio de grau n com coeficientes inteiros, ou seja n f(x) = a i x i, a n,...,a 0 Z. i=0

79 3.4. IRREDUTIBILIDADE E FATORAÇÃO CANÔNICA 79 Suponhamos que α = p/q é uma raíz racional de f(x) com p,q Z números primos entre si. Então f(p/q) = 0, ou, de maneira equivalente isto é q n f( p q ) = 0, a n p n + a n 1 p n 1 q + a n 2 p n 2 q a 1 pq n 1 + a 0 q n = 0. Portanto p divide a 0 q n e q divide a n p n. Como p e q são primos entre si, tanto p e q n como q e p n serão primos entre si; pelo teorema de Euclides no caso dos números inteiros, concluímos que p a 0, q a n. (3.6) Estas relações de divisibilidade são conhecidas como condições necessárias para existência de raiz racional. No caso do polinômio x 3 5, q só pode ser 1 ou 1 e p {1, 1, 5, 5}. As únicas raízes racionais deste polinômio podem ser então 1, 1, 5, 5; é facil de verificar que nenhum destes números anula o polinômio. Observação (a) Se a 0 = a n = 1 as únicas raízes racionais possíveis são 1 e 1. Isto mostra facilmente que o polinômio do exemplo não possui raízes racionais; observe não obstante que ele é redutível em Q[x], o que mostra que nosso método acima funciona apenas para polinômios de grau 3 (evidentemente também para polinômios de graus 1 e 2). (b) Se os coeficientes de f(x) forem números racionais da forma a i = b i c i, i = 0, 1...,n, com b i,c i Z para todo i = 0, 1...,n, escolhemos um múltiplo comum m dos denominadores (por exemplo o produto deles ou o mmc). É fácil constatar que mf(x) é um polinômio com coeficientes inteiros. Como as raízes de f(x) e de mf(x) são as mesmas, podemos aplicar o método acima a este último para saber se f(x) possui ou não raízes racionais. Resumindo, se f(x) for de grau 3, ou ainda menor, ele será irredutível em Q[x] só quando não tiver raízes racionais; na direção contrária, se um polinômio, agora de qualquer grau maior que um, tiver uma raiz racional, digamos α Q, então será divisível por x α em Q[x]. Logo, todo polinômio de grau maior que um em Q[x] que possui raiz racional é redutível. Vejamos agora um exemplo um pouco mais complicado.

80 80 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Exemplo Seja f(x) = 2x 4 20x + 2. É f(x) irredutível em Q[x]? Encontrar todas as raízes de f(x) é ainda mais difícil que nos casos anteriores; além disto, corremos o risco de obtê-las de maneira aproximada, o que impederia de encontrar a fatoração canônica real e em conseqüência a correspondente fatoração racional. É fácil constatar que f(x) não posui raízes racionais, mas isto não implica que o polinômio seja irredutível. Com efeito, não possuir raízes racionais nos diz apenas que f(x) não aceita fatores de grau um, como já sabemos (e utilizamos, novamente, acima). Conseqüêntentente, f(x) será redutível em Q[x] só se pudermos escrever f(x) = 2g(x)h(x) com g(x) e h(x) polinômios mônicos de grau 2; ou seja, se existirem a,b,c,d Q tais que x 4 10x + 1 = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d). Neste caso, logo de desenvolver o produto de polinômios acima, deveremos ter c + a = 0, ac + b + d = 0, ad + bc = 10,bd = 1. Substituíndo c = a nas duas equações do meio, obtemos b + d = a 2, a(d b) = 10; donde: 2b = a a, 2d = a2 10 a. Como bd = 1, multiplicando as duas equações temos a 6 4a Ou seja que a 2 é uma solução racional da equação com coeficientes inteiros y 3 4y 100 = 0. Finalmente, é fácil constatar que esta equação não possui raízes racionais (observe que toda raiz racional desta equação deve ser inteira, positiva e menor que 10). Isto mostra que a suposição de termos uma fatoração de f(x) como produto de polinômios de grau dois, nos leva a uma contradição, demonstrando então que f(x) é efetivamente irredutível.

81 3.5. MULTIPLICIDADE DE RAÍZES 81 Se considerarmos agora um polinômio de grau 5, as possíveis fatorações (não triviais) são como produto de dois poinômios de graus 1 e 4, ou 2 e 3; não é difícil de imaginar que os argumentos utilizados no exemplo possam ser adaptados, mas a complexidade dos cálculos cresce rezoavelmente. De fato, na medida que o grau do polinômio é maior, tanto maior será a complexidade dos cálculos. Isto torna inviável o tratamento da irredutibilidade nesta perspectiva, desde que o grau do polinômio é sufucientemente grande. Como veremos mais adiante, existe um critério muito eficaz que nos permite concluir que certo tipo de polinômios é irredutível; infelizmente não existe um critério geral. Mas postergaremos esta análise para o último parágrafo do presente capítulo. 3.5 Multiplicidade de raízes Quando obtivemos a fatoração canônica de um polinômio f(x) C[x] em C[x], chamamos os expoentes de cada polinômio irredutível (de grau 1) de multiplicidade ou ordem da raiz, digamos α, correspondente. Neste parágrafo analisaremos mais detalhadamente este conceito. De fato, caracterizaremos o conceito de multiplicidade de três maneiras: a primeira, em termos de de divisibilidade por potências do polinômio irredutível (x α); a segunda em função da anulação do polinômio f(x) e de outros polinômios associados a este, chamados de derivadas de f(x): é o critério das derivadas para a multiplicidade de uma raiz. Ambas caracterizações podem ser interpretadas como generalizações do teorema de Ruffini (corolário 3.3.7). Finalmente, caracterizaremos a multiplicidade de uma raíz de f(x) em termos da multiplicidade com que aparece no mdc de f(x) e a sua primeira derivada f (x). Proposição Sejam f(x) D[x] e α C. Então α é uma raiz de multiplicidade m de f(x) se e somente se m é o maior inteiro positivo tal que (x α) m divide f(x). Demonstração. Seja m como no enunciado da proposição. Consideremos a fatoração canônica complexa de f(x); nela f(x) escreve-se na forma f(x) = a(x α) n q(x), onde a é o coeficiente líder de f(x) e q(x) é um produto de fatores da forma (x β) com β α; em particular q(α) 0. Temos de mostrar que m = n.

82 82 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Como (x α) n f(x), pela maximalidade de m temos diretamente que m n. Por outro lado observamos que d(x) := mdc(q(x), (x α) m ) = 1: com efeito, como d(x) (x α) m, a unica raiz possível para d(x) é α; mas d(x) q(x) e α não é raiz de q(x). Como (x α) m f(x), do teorema de Euclides concluímos que (x α) m divide (x α) n, donde n m. Seja f(x) = A Derivada de f(x) é o polinômio n a i x i D[x]. i=0 f (x) := i=1 ia i x i 1 : é um polinômio em D[x]. Por indução matemática definimos as derivadas superiores de f(x). A derivada n-ésima f (n) (x) de f(x) é a derivada da derivada (n 1)-ésima f (n 1) (x). Também denotaremos f (x) para a derivada segunda, f (x) a terceira, f IV (x) para a quarta, etc. Observação A proposição acima generaliza o teorema de Ruffini (corolário 3.3.7). Exemplo Consideremos o polinômio Então f(x) = 1 3 x6 + x x4 6x 2 2. f (x) = 2x 5 + 5x x3 12x, f (x) = 10x x x2 12. O leitor pode calcular as restantes derivadas observando que a sexta sera constante e igual a 6!/3 e da sétima em diante nulas. Exercício Mostre que um polinômio tem grau n se e somente se f (n) (x) é uma constante não nula. O conceito de derivada pode ser definido para funções de uma variável num contexto muito mais alplo, o que é feito nos cursos de cálculo. Considerando um polinômio como uma tal função, a derivada definida desta forma

83 3.5. MULTIPLICIDADE DE RAÍZES 83 coincide com nossa definição. O resultado na proposição abaixo é bem conhecido nos cursos de cáculo neste contexto mais geral; nos daremos uma demonstração da proposição adaptada ao nosso contexto podendo a leitura desta ser omitida sem comprometer a compreensão do conceito. Proposição Sejam f(x), g(x) D[x]. temos (a) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). (b) Fórmula de Leibnitz: (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Demonstração. A parte (a) é deixada para o leitor. Para demonstrar (b) escrevemos n m f(x) = a i x i, g(x) = b j x j. Então i=0 n 1 f (x) = ia i x i, g (x) = i=0 j=0 m 1 j=0 Pela fórmula do produto de polinômios temos f(x)g(x) = n+m k=0 c k x k jb j x j 1. onde c k = a 0 b k + + a k b 0. Derivando f(x)g(x) escrito como acima, observamos que o coeficiente do termo de grau (k 1)-ésimo é kc k = k(a 0 b k + + a k b 0 ). Por outro lado, pela mesma fórmula (do produto de polinômios) o coeficiente do termo de grau (k 1) de f (x)g(x) é (k 1)a 1 b k 1 + 2(k 2)a 2 b k (k 1)a k 1 b 1 + ka k b 0 ; analogamente o coeficiente do termo de grau (k 1) de f(x)g (x) é (k 1)a 0 b k 1 + (k 1)a 1 b k a k 1 b 1. Concluímos que o coeficiente do termo de grau (k 1) de f (x)g(x) + f(x)g (x) é k(a 0 b k + + a k b 0 ), donde segue a afirmação.

84 84 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Exemplos (a) Seja f(x) = (x α) n. A derivada k-ésima de f(x) é n(n 1 ) (n k)(x α) n k. (b) A derivada de um polinômio constante é evidentemente 0. Se h(x) = ag(x) com a D, pela fórmula de Leibnitz (proposição 3.5.4, parte (b)) teremos então h (x) = ag (x). Demonstramos então o seguinte corolário da proposição 3.5.1: Corolário (Critério da Derivada). Um número α C é raiz de um polinômio f(x) D[x], de multiplicidade m se e somente se f(α) = f (α) = = f (m 1) (α) = 0, f (m) (α) 0. Demonstração. É claro que se m = 0 nada temos a provar. Então suporemos m > 0. Se α é raiz de multiplicidade m, pela propisição Em particular (x α) m f(x) e (x α) m+1 f(x). f(x) = (x α) m q(x); observe que então α nao é raiz de q(x) (veja a prova da proposição). Pela fórmula de Leibnitz f (x) = m(x α) m 1 q(x) + (x α) m q (x). (3.7) Então (x α) m 1 divide f (x) e (x α) m não o divide: com efeito, caso contrário (x α) dividiria q(x), o que não é possível por hipótese; em particular, se m = 1 o corolário está demonstrado. Para demonstrar o caso geral procedemos por indução matemática em m. Suponhamos que m > 1. Pela fórmula (3.7), (m 1) é a maior potência de (x α) que divide h(x) := f (x). Aplicando a hipótese de indução a h(x) concluímos que h(α) = h (α) = = h (m 2) (α) = 0, h (m 1) (α) 0.

85 3.5. MULTIPLICIDADE DE RAÍZES 85 Como h (i 1) (x) = f (i) (x) para i = 1,...,m, por definição de derivada, obtemos a tese de indução. Reciprocamente, suponhamos que f(α) = f (α) = = f (m 1) (α) = 0, f (m) (α) 0. Então α é uma raiz de multiplicidade, digamos, n: temos f(x) = (x α) n q(x) onde, como já vimos, q(α) 0. A primeira parte da prova nos mostra em particular que [f(α) = f (α) = = f (m 1) (α) = 0, f (n) (α) 0, donde segue que m = n. Exemplos (a) Consideremos o polinômio f(x) = ax 2 + bx + c D[x], a 0. Uma raiz α C de f(x) é dupla se e somente se f(α) = f (α) = 0, f (α) 0. Um cálculo fácil de derivadas mostra que f (x) = 2ax + b, f (x) = 2a; observemos que f (x) é um polinômio constante não nulo e portanto a condição f (α) 0 é automáticamente satisfeita. Então a condição para α ser raiz dupla é de ser uma raiz tal que 2aα + b = 0, isto é α = b 2a ; substituíndo este valor de α em f(x) = 0 obtemos a b2 4a 2 b2 4a + c = 0 que equivale b 2 4ac = 0, nossa conhecida condição de discriminante nulo para a equação quadrática. (b) Encontraremos as raízes de f(x) = 2x 4 + 5x 3 + 3x 2 x 1,

86 86 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS sabendo que possui uma raíz tripla α. A raiz tripla tem de ser também raiz da derivada segunda, que é f (x) = 24x x + 1 cujas raízes são 1 e 4. Como 1 também é raiz da derivada primeira f (x) = 8x x 2 + 6x 1 concluímos que α = 1. Então (x + 1) 3 divide f(x); efetuando a divisão obtemos f(x) = (x + 1) 3 (2x 1), e então 1/2 é a raiz diferente de α. Exercício Trabalhando de maneira análoga a como fizemos no exemplo (a) acima reobtenha a condição de discriminante nulo para a existência de raiz de multiplicidade pelo menos 2 da equação cúbica na forma reduzida x 3 + ax + b = 0. Do critério da derivada (corolário 3.5.6) concluímos imediatamente o seguinte corolário. Corolário α é raíz de multiplicidade m de f(x) se e somente se α é raiz de multiplicidade m 1 de f (x). Observação O corolário precedente pode ser generalizado da seguinte forma: Sejam f(x) D[x] um polinômio de grau n e α C; fixemos um inteiro k tal que 1 < k < n. Então α é raíz de multiplicidade m de f(x) se e somente se α é raiz de multiplicidade m k da derivada k-ésima f (k) (x) de f(x). Exercício Demonstre a generalização do corolário enunciada na observação precedente. Proposição Sejam f(x) D[x] e α C; denotemos d(x) := mdc(f,f ). Então α é raiz de multiplicidade m de f(x) se e somente se ela é raiz de multiplicidade m 1 de d(x).

87 3.5. MULTIPLICIDADE DE RAÍZES 87 Demonstração. Suponhamos que α seja raiz de multiplicidade m de f(x); pelo corolário α é raiz de multiplididade m 1 de f (x). Então (x α) m divide f(x) mas (x α) m+1 não o divide e (x α) m 1 divide f (x) mas (x α) m não o divide; como caso particular temos que (x α) m 1 divide f(x) e f (x). Por outro lado, pelo teorema existem polinômios h(x), k(x) tais que d(x) = f(x)h(x) + f (x)k(x). Concluímos que (x α) m 1 divide d(x), mas (x α) m nao o faz, pois se o dividisse, também dividiria f (x). Então α é raiz de multiplicidade m 1 de d(x). Reciprocamente, suponhamos que α é raiz de multiplicidade m de d(x). Como (x α) m 1 divide d(x), também dividirá f(x) e f (x) pela proposição ; donde tiramos que a multiplicidade de f (x) é pelo menos m 1 e então a de f(x) pelo menos m pelo corolário Como (x α) m não divide d(x) então não pode dividir f(x) e f (x) ao mesmo tempo, mas já sabemos que divide f(x); portanto não divide f (x) o que nos diz que α é raiz de multiplicidade m 1 de f (x) e (exatamente) m de f(x), de novo pelo corolário Isto termina a demonstração. A proposição fornece uma outra abordagem para o cálculo das raízes múltiplas de um polinômio. A título de exemplo resolveremos, desde esta nova ótica, o exercício Exemplo Consideremos o polinômio f(x) = x 3 + ax + b C[x]. Sua derivada é f (x) = 3x 2 + a. Executando o algorítmo de Euclides vemos que o último resto parcial diferente de zero é de fato constante (isto é, que não depende mais de x) e vale 27b 2 + a, ou b 4a2 dependendo que a 0 ou a = 0. No caso onde a 0, podemos escrever este resto D 4a 2, onde D é o discriminante da equação f(x) = 0. Em qualquer caso, do corolário precedente concluímos então que f(x) possui raízes múltiplas se e

88 88 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS somente se D = 0, o que demonstra novamente que a anulação do discriminante equivale à existência de soluções múltiplas de uma equação cúbica (na forma reduzida). O exemplo nos mostra um caminho para definir o discriminante de um polinômio genérico (isto é pensando os coeficientes como indeterminadas ) da forma f(x) = x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0. Como os coeficientes são genéricos, ao executar o algorítmo de Euclides, o primeiro resto parcial é um polinômio onde aparece x n 2, no segundo aparece x n 3, e assim por diante, até chegarmos no caso em que o resto parcial correspondente não mais depende de x; se dividirmos mais uma vez o resto será necessariamente nulo. Este último resto não nulo é uma expressão polinomial nos coeficientes a n 1,...,a 1,a 0 de f(x) com números racionais como coeficientes (observe que já quando dividimos f(x) por f (x) o coeficiente do primeiro termo do quociente é 1/n). Extraíndo comum denominador nestes coeficientes racionais escrevemos este resto parcial como um quociente cujo numerador é uma expressão polinomial em a 0,a 1,...,a n 1, mas agora com coeficientes inteiros; denotemos esta expressão = (a 0,a 1,...,a n 1 ). Pela proposição existem raízes múltiplas de f(x) se e somente se f(x) e f (x) não são primos entre si, isto é, se e somente se d(x) 1. Mas d(x) 1 significa que no algorímo de Euclides o último resto parcial diferente de zero tem que ser um polinômio de grau 1. Então este resto parcial não pode ser independente de x; isto significa que nosso acima deve ser nulo. Motivados pelo raciocínio que fizemos, podemos definir como o discriminant de f(x) pois a sua anulação equivale à existência de raízes múltiplas (o sinal deste é irrelevante no que diz respeito a existência de soluções múltiplas); observe em particular que o raciocínio independe da natureza dos coeficientes a 0,a 1,...,a n de f(x). Exercício (a) Calcule o discriminante δ dos seguintes polinômios (no caso da equação cúbica compare com o visto no capítulo 1. f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, g(x) = x 4 + px 2 + qx + r. (b) Modificando adequadamente o raciocínio feito acima, defina o discriminante (a 0,...,a n ) para um polinômio genérico de grau n que não seja

89 3.6. LEMA DE GAUSS E CRITÉRIO DE EINSENSTEIN 89 mômico; teste seu resultado com polinômios de graus 3 e 4, comparando com a parte (a). Terminamos o parágrafo com o seguinte corolário, cuja demonstração é deixada como exercício para o leitor. Corolário O polinômio f(x) mdc(f,f ) é um polinômio cujas raízes são as raízes de f(x), todas de multiplicidade 1. Exercício Considere o polinômio f(x) = x 5 13x x 3 176x x 100. Encontre o polinômio mônico cujas raízes simples são as raízes de f(x), todas com multiplicidade Lema de Gauss e Critério de Einsenstein Agora retomamos o estudo da irredutibilidade em Q[x]. Seja f(x) Q[x], isto é f(x) = p n x n + + p 1 x + p 0, q n q 1 q 0 onde p i,q i Z saõ inteiros primos entre si. Se m := mmc(q 0,,q n ) é o mínimo múltiplo comum de todos os denominadores, então m é o menor número positivo tal que mf(x) é um polinômio com coeficientes inteiros; denotemos g(x) = mf(x). Evidentemente f(x) será irredutível sobre Q se e somente se g(x) o é, pois ambos polinômios diferem por uma constante multiplicativa, que é um divisor trivial em Q[x]. Porém, o polinômio g(x) tem uma vantagem de termos de trabalhar com números inteiros: observe por exemplo que se quisermos implementar um algoritmo em computador para decidir sobre a irredutibilidade de um determinado polinômio, é de se esperar que isto só possa ser feito trabalhando com números inteiros, pois um número racional é substituído pelo computador apenas por uma de suas aproximações decimais. Por outro lado, não é claro por enquanto que isto possa nos ajudar a decidir se g(x) é ou não é irredutível sobre Q. Vejamos não obstante um exemplo concreto onde decidimos sobreum polinômio g(x) ser ou não irredutível em Z[x], de forma a podermos imaginar um eventual algorítmo.

90 90 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Exemplo Consideremos o polinômio g(x) = x 4 5x + 2 Z[x] Para começar, é claro que o conteúdo c(g) de g(x) é 1. É fácil observar que g(x) não possui raízes racionais, logo o polinômio não pode ser fatorado como produto de dois polinômios de graus 1 e 3 respectivamente. Suponhamos a continuação que g(x) = (αx 2 + βx + γ)(α x 2 + β x + γ ), onde todos os coeficientes são inteiros. Como g(x) é mônico, αα = 1, e então ou α = α = 1, ou α = α = 1. Multiplicando, quando no segundo caso, por ( 1)( 1) = 1, podemos finalmente escrever Ou seja g(x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d),a,b,c,d Z. x 4 5x + 2 = x 4 + (a + c)x 3 + (b + d + ac)x 2 + (ad + bc)x + bd; Obtemos o seguinte sistema de equaçãoes diofantinas (isto é, com coeficientes inteiros e cujas soluções são procuradas em Z) a + c = 0, b + d + ac = 0, ad + bc = 5, bd = 1. Da última equação deduzimos b = 1,d = 2 ou b = 2,d = 1 ou b = 1,d = 2 ou b = 2,d = 1. Substituíndo c = a na terceira equação, vemos facilmente que nenhuma das quatro possibilidades para b e d podem efetivamente acontecer. Concluímos então que g(x) é irredutível sobre Z. Qual é a relação entre a irredutibilidade em Z[x] e em Q[x]? Se pudermos responder a esta pergunta, de repente poderiamos nos auxiliar da maior facilidade de lidar com números inteiros, para decidirmos se um polinômio é ou não é irredutível sobre Q. Começamos demonstrando a proposição , que nos dá certa informação nesta direção. Demonstração da Proposição Suponhamos que g(x) Z[x] tem conteúdo 1. Se g(x) for redutível sobre Z, então g(x) = h(x)k(x)

91 3.6. LEMA DE GAUSS E CRITÉRIO DE EINSENSTEIN 91 com h(x),k(x) Z[x] polinômios de grau maior que 0, já que c(g) = 1. Esta fatoração também é válida em Q[x], mostrando que g(x) também será redutível em Q[x], donde segue a nossa proposição. Mas o quê que acontece na direção contrária? isto é, quando g(x) for redutível em Q, poderá ou não sê-lo em Z[x]? Para responder a esta pergunta começamos com um resultado técnico que é a chave para responder a estas perguntas. Usualmente a demonstração deste faz parte da demonstração do resultado principal (teorema abaixo), ambos conhecidos na literatura como Lemma de Gauss. Nos reservaremos esta denominação para o teorema. Lema Se g(x), h(x) Z[x] são polinômios com coeficientes interos, então c(gh) = c(g)c(h). Demonstração. Faremos a demonstração em duas etapas: 1. Nesta primeira etapa mostraremos que c(g)c(h) e c(gh) possuem os mesmos divisores primos. Se n m g(x) = a i x i, h(x) = b j x j, i=0 como sabemos, o coeficiente k-ésimo de g(x)h(x), digamos c k, escreve-se na forma c k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0, onde evidentemente a l = 0 se l > n e b l = 0 se l > m. Se p é um divisor primo de todos os coeficientes de g(x), isto é, se p é um primo tal que p c(g), é claro que p c k para todo k = 0, 1,...,n + m, ou seja p c(gh); analogamente p c(h) implica p c(gh). Reciprocamente, seja p um primo que divide c(gh). Suponhamos por absurdo que p não divide o produto c(g)c(h), donde p não divide c(g) nem c(h). Então g(x) e h(x) possuem coeficientes que não são múltiplos de p; sejam k {0, 1,...,n} e l {0, 1,...,m} sub-índices tais que j=0 p a 0,...,a k 1,b 0,...,b l 1, e p a k,p b l. Por outro lado, o coeficiente (k + l) ésimo de g(x)h(x) é c k+l = a 0 b k+l + + a k 1 b l+1 + a k b l + a k+1 b l a k+l b 0.

92 92 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Como p c k+l concluímos que p a k b l o que fornece uma contradição. Então a primeira etapa da demonstração está completa. 2. Escrevendo g(x) = c(g)g 1 (x), h(x) = c(h)h 1 (x), obtemos g(x)h(x) = c(g)c(h)g 1 (x)h 1 (x); observemos que g 1 (x) e h 1 (x) são polinômios de conteúdo 1. Pelo demonstrado na primeira etapa, c(g 1 )c(h 1 ) = 1 se e somente se c(g 1 h 1 ) = 1, donde segue que c(g)c(h) é o conteúdo de g(x)h(x), terminando a demonstração. Suponhamos agora que f(x) é um polinômio em Z[x] que é redutível sobre Q; então existem polinômios g 0 (x),h 0 (x) Q[x] não constantes, tais que f(x) = g 0 (x)h 0 (x). Sejam m 1 e m 2 os menores inteiros positivos tais que g(x) := m 1 g 0 (x) Z[x],h(x) := m 2 h 0 (x) Z[x]. Utilizando o lema 3.6.2, obtemos m 1 m 2 f(x) = g(x)h(x) = c(g)c(h)g 1 (x)h 1 (x) = c(gh)g 1 (x)h 1 (x), onde, como na demonstração do lema precedente, g 1 (x) e h 1 (x) tem conteúdo 1. Suponhamos que f(x) é irredutível sobre Z; então c(f) = 1. Portanto, aplicando o lema ao polinômio m 1 m 2 f(x), deduzimos que c(gh) = m 1 m 2. Então f(x) = g 1 (x)h 1 (x), o que contradiz a irredutiblidade de f(x) sobre Z. Isto demonstra o Lemma de Gauss: Teorema (Lema de Gauss). Se f(x) Z[x] é irredutível sobre Z, então também o será sobre Q.

93 3.6. LEMA DE GAUSS E CRITÉRIO DE EINSENSTEIN 93 Exemplo Consideremos o polinômio k(x) = 1 5 x4 x Pelo exemplo 3.6.1, o polinômio 5k(x) é irredutível sobre Z; então k(x) é irredutível sobre Q, pois, pelo teorema, 5k(x) o é. Para terminar este parágrafo enunciaremos sem demonstração o critério de Eisenstein, que é um dos poucos critérios conhecidos para tratar a irredutibilidade sobre Z, que pelo lemma de Gauss (teorema) é essencialmente equivalente à irredutibilidade sobre Q (de acordo à proposição o polinômio em Z[x] considerado deve ter conteúdo 1). O leitor interessado em estudar a demonstração deste belo teorema pode consultar [4,...]; uma versão mais geral do critério pode ser encontrada em [3, Teo. III.2.8] Teorema (Critério de Eisenstein). Seja f(x) = a n x n + + a 1 xa 0 Z[x]. Suponhamos que existe um número primo p tal que (i) p a n, (ii)p a 0,a 1,...,a n 1, (iii)p 2 a 0. Nestas condições, f(x) é irredutível em Z[x] Exemplos (a) Consideremos os seguintes polinômios f(x) = x 3 +2x+10, g(x) = 2x 7 +6x 2 18, h(x) = 5x 6 +70x 4 = 14x 3 +98x 28. p = 2 está nas hipóteses do teorema referente ao polinômio f(x). Então o critério se aplica e f(x) é irredutível sobre Z, logo sobre Q. Como 18 = 23 2, no caso de g(x) o critério não se aplica, pois p = 2 divide o coeficiente líder de g(x) e 3 2 divide o coeficiente do termo independente; ou seja que nada podemos afirmar neste caso. Finalmente, h(x) também é irredutível sobre Q, pois o critério se aplica com p = 7; observe que não se aplica com p = 2. (b) O critério se aplica com p = 2 ou p = 5 para o polinômio f(x) = x (c) O polinômio x n + 5 é irredutível sobre Q para todo n N: basta pegar p = 5; analogamente para x n + p, para todo primo p. Como foi evidenciado nos exemplos, o Critério não pode ser aplicado para cqualquer polinômio. Um momento de reflexão, nos convencerá do seguinte fato que são raros os polinômios para os quais o Critério de Eisenstein é aplicável, pois o primo p do enuneciado está sujeito a condições bastante

94 94 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS restritivas. Porém, polinômios para os quais o critério náo se aplica podem as vezes ser modificados de forma a poderemos aplicar o critério. Vejamos do que estamos falando: Se f(x) Z[x] e a Z, é facil ver que f(x) = g(x)h(x) = f(x + a) = g(x + a)h(x + a), pois basta substituir x por x + a na igauldade da esqueda para obtermos aquela da direita e, reciprocamente. Como a Z, a expressão f 1 (x) := f(x + a) é um polinômio em Z[x]; analogamente para g 1 (x) := g(x + a) e h 1 (x) := h(x + a). Isto mostra que f(x) será irredutível (sobre Z) se e somente se f 1 (x) o for. Como aplicação do truque acima, vamos demonstrar, no exemplo abaixo, a irredutibilidade de um polinômio muito especial. Como veremos no próximo capítulo, este polinômio esta estreitamente vínculado à construtibilidade com régua e compasso de polígonos regulares. Exemplo Seja n N. O Polinômio Ciclotômico (n+1)-ésimo, denotado φ n+1 (x), é o quociente de dividir x n+1 1 por x 1: um cálculo direto mostra que φ n+1 (x) = x n + x n x + 1. Decidir sobre a irredutibilidade deste polinômio, para um certo valor de n, nos permite, a posteriori, decidir sobre a construtibilidade com régua e compasso de um polígono regular de (n + 1) lados (veja página??). Evidentemente o critério de Eisenstein não se aplica para este polinômio. Consideremos, por simplicidade, o caso n = 4. Então φ 5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Com um pouco de paciência, podemos substituir x por x + 1 em φ 5 (x) para obtermos φ 5 (x + 1) = x 4 + 5x x x + 5, que é irredutível pelo critério de Eisenstein aplicado com p = 5. De fato, se n + 1 = p é um primo qualquer, mostra-se analogamente, o que deixamos como exercício para o leitor, que φ p (x) é irredutível (sugestão: use o binômio de Newton para desenvolver (x + 1) l para l = p 1,...,2.

95 3.7. EXERCÍCIOS Exercícios Demonstre que se f(x), g(x) são polinômios associados, digamos em D[x], então f(x) é irrédutível se e somente se g(x) é irrédutível. Dê exemplos de pares de polinômios com coeficientes em Z que não são associados em Z[x] mas sim em Q[x] Sejam f(x),g(x) polinômios associados em Q[x]. Mostre que f(x) e g(x) também são associados em R[x] e C[x] Encontre mdc(f,g) onde f(x) e g(x) são os seguintes pares de polinômios x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 e x 3 + 4x 2 + 4x + 3 4x 5 + 7x 3 + 2x e 3x 3 + x + 1 x 4 + x 3 + 2x 2 + 3x + 1 e x 4 + x 3 2x 2 x + 1 No exercício precedente, encontre a(x),b(x) tais que mdc(f,g) = a(x)f(x) + b(x)g(x) Demonstre as seguintes afirmações onde a(x), b(x), c(x) D[x] são polinômios e D é um corpo (sugestão: faça uma revisão das principais propriedades do mdc que apreendeu no curso de aritmética) a) Se a(x) b(x) e mdc(b,c) = 1, então mdc(a,c) = 1. b) Se a(x) c(x), b(x) c(x) e mdc(a,b) = 1, então a(x)b(x) c(x). c) Se d(x) = mdc(a,b), então a(x) = d(x)a (x) e b(x) = d(x)b (x) com mdc(a,b ) = Calcule o mmc dos pares de polinômios do exercício

96 96 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Seria capaz de definir o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de três ou mais polinômios? Em caso afirmativo, dê uma definição, pelo menos no caso de três polinômios; construa exemplos Obtenha a decomposição em fatores mônicos irredutíveis em R[x] para os seguintes polinômios: a) x 4 1, b) x 4 + x 2 + 1, c) x 5 1, d) f(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 1; observe que f(ı) = Considere o polinômio f(x) = x 3 + αx + 1 com α R a) Encontre α sabendo que 1/2 é raiz de f(x). b) Encontre a decomposição de f(x) em fatores mônicos irredutíveis em R[x] Indique quais dos seguintes polinômios são redutíveis em R[x] e/ou em Q[x] (justifique). a) x 3 + 2x 2 x + 1, b) x 2 + x 2, c) x 4 + 3x Considere o polinômio f(x) = x 6 1 (lembre a representação geométrica das raízes de um número complexo). a) Mostre que f(x) possui unicamente duas raízes reais; quais são estas raízes? b) Deduza que f(x) é o produto de quatro fatores irredutíveis em R[x]: dois de grau um e dois de grau Encontre as raízes múltiplas, com as suas respectivas ordens, dos seguintes polinômios:

97 3.7. EXERCÍCIOS 97 a) 1 3 x3 x 2 + x, b) x 5 4x 4 + 4x 2, c) f(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 2x Considere o polinômio f(x) = x 3 + αx 2 + 3x + 1 com α C. Encontre α para que f(x) possua uma raiz múltipla de ordem três; qual é a raiz? Faça o exercício utilizando o mdc Considere o polinômio f(x) = x 4 + ax 3 + (b + 1)x 2 + ax + b, com a,b R. a) Mostre que f(x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + 1). b) Encontre a e b para que x 1 e x 2 dividam f(x). c) Idem que na parte b) mas para que x divida f(x) Encontre o polinômio mônico de grau três que possui as raízes , 1 + 3ı, 1 3ı. Construa polinômios mônicos com coeficientes reais, e de grau o menor possível, de forma que: a) Contenha a raiz 3 dupla e 2 simples. b) Idem que na parte a) mas com (2 + ı) dupla e 1 simples Achar o polinômio mônico cujas raízes tenham ordem 1 de forma que estas também sejam raízes de f(x) := x 5 13x x 3 176x x 100. Deduza a decomposição em fatores mônicos irredutíveis de f(x).

98 98 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS Considere um polinômio da forma f(x) = x 4 + ax 2 + bx + 25, a,b R. Sabendo que f(x) possui raízes da forma α, α,β, β, encontre a,b,α e β Encontre o menor inteiro positivo m tal que mf(x) Z[x], e logo calcule c(mf), para os seguintes polinômios f(x): f(x) = x x x 1 34 ; f(x) = x x x Estude a irredutibilidade em Q[x] dos seguintes polinômios: a) x 4 +2x 3 +2x 2 +2x+2, b) 8x 7 31, c) x 6 +15, d) x 3 +30x 2 +5x+25, e) 7x x x x + 22, f) 2/3x 6 1/2x + 1, g) x 4 + x 1, h) 6x 10 9x Sabendo que m é uma raiz inteira da equação x = 0, mostre que o polinômio f(x) = x 2n + mx n é irredutível sobre Q para todo n N (a) Se f(x),g(x) Z[x], demonstre que o mdc dos conteúdos de f(x) e de g(x) divide o conteúdo de f(x) + g(x), que denotamos c(f + g), ou seja: mdc(c(f),c(g)) c(f + g); com um exemplo mostre c(f + g) pode não dividir mdc(c(f),c(g)). (b) Se m(x) Z[x] é um monômio, isto é, um polinômio com um único termo, demonstre diretamente (sem utilizar o lema de Gauss) que c(mf) = c(m)c(f), onde f(x) é como na parte (a).

99 3.7. EXERCÍCIOS Seja g(x) = x 4 +b onde b Z é um inteiro que possui pelo menos um divisor primo p tal que p 2 b. Mostre que g(x) é irredutível. É o polinômio x n + b irredutível para todo n N? Demonstre que o polinômio ciclotômico φ 7 (x) é irredutível sobre Q (fazendo a mudança de variáveis x = y + 1) e que o polinômio ciclotômico φ 6 (x) é redutível sobre Q Considere o polinômio f(x) = 2x 3 + 5x + 5p, onde p é um número primo arbitrário. Analise a irredutibilidade de f(x) em Q[x] Idem que no exercício precedente para os polinômios (a) f(x) = x 4 + 7x 2 + 7p, onde p é um primo. (b) g(x) = x 3 + 3px 2 + 5qx + pq, onde p,q são primos.

100 100 CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS

101 Bibliografia [1] G. Ávila, Variáveis Complexas e Aplicações, Livros Técnicos e Científicos Editoda, [2] A. E. S. Berra, G. Fernández, Álgebra y Cálculo Nunmérico, Editorial Capeluz, Buenos Aires, [3] A. Garcia, Y. Lequain, Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, Impa, [4] A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, Impa, quarta edição, [5] M. Lemle, Conhecimento e biologia, Ciência Hoje, vol. 31, 132, 2002, pags [6] E. L. Lima, Curso de Análise, vol 1, Projeto Euclides, Impa, sexta edição, [7] E. L. Lima, Curso de Álgebra Linear, Matemática Universitária, Impa, [8] E. Wagner, Construções Geométricas, SBM