Notas de Curso. Ivan Pan. 28 de Maio de 2008

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1 Notas de Curso Ivan Pan 28 de Maio de 2008

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3 Capítulo 1 Números Complexos Começaremos este capítulo fazendo uma brevíssima introdução aos sistemas numéricos (poderíamos dizer, números reais) cuja única intenção é chamar a atenção do leitor para, em primeiro lugar, a naturalidade da concepção de número real e, em segundo lugar, da necessidade de construir os números complexos na medida que queremos desenvolver uma teoria razoável das equações algébricas. Ou seja, ao desenvonvolvermos o conceito de número, na parte introdutória do capítulo, isso não será suficiente, nem minimamente, para que um leitor leigo possa apreender como utilizá-los sem antes ter tido um apreendizado, nem que seja superficial, abordando este conceito; vamos começar argumentando com alguns exemplos do cotidiano e logo depois com exemplos mais abstratos vinculados à resolução de equações, de forma a sugerir que a invenção dos números é bem mais natural do que muitas vezes pode parecer. Logo após, introduziremos o conceito de número complexo, e estudaremos detalhadamente as suas propriedades básicas. Finalmente, formalizamos a concepção de algumas estruturas algébricas estreitamente relacionadas aos sistemas numéricos. 1.1 Introdução Os números que conhecemos são de fato de natureza diversa, o que está associado de forma bastante clara à utilização que fazemos deles. Por exemplo, contamos objetos de qualquer tipo com os números 1, 2, 3,...,etc; estes são os chamados Números Naturais; denotamos por N o conjunto constituído por estes números e suporemos que o número 0 está em N. Sem dúvida, os 3

4 4 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS naturais é o primeiro tipo de números que a humanidade concebeu; mesmo antes de possuir uma linguagem tão evoluída como a que hoje possuímos, já sabíamos contar: basta constatar a presença de um objeto, e logo a de um outro objeto diferente sem ter esquecido a do primeiro, que estamos contando. 1. Suponhamos agora que uma determinada pessoa que usufrui das vantagens (ou desvantagens) do chamado cheque especial, paga uma dívida de 200 reais com um cheque quando há na sua conta bancária tão somente 123 reais. Assim que o cheque for descontado pela administração do banco, dizemos que ficamos com saldo negativo de 77 reais, que poderíamos convencionar escrever na forma -77 R$; estamos então insinuando a existência de números muito parecidos com os naturais, mas com uma qualidade especial que os faz opostos (ou simétricos) com aqueles em certo sentido: se depositarmos 77 reais na nossa conta (logo depois de contrairmos a dívida com o banco para não termos de pagar juros), o resultado é que ficamos sem dinheiro e sem dívida, isto é: =0. O conjunto dos naturais acrescentado destes novos naturais negativos é o que chamamos de Números Inteiros; denotaremos por Z o conjunto dos números inteiros. Resumindo, e de maneira heurística, podemos dizer que estes números permitem-nos contar para frente e para trás. Quando precisamos dividir alguma coisa (por exemplo um bolo) em partes iguais, os números inteiros não são adequados para contar as diferentes partes, pois precisamos de uma contagem das partes, relativa ao todo, de forma a sabermos quanto do total do bolo as respectivas partes representam; podemos pensar nesta contagem relativa em contraposição à contagem absoluta realizada com os números naturais. Estamos então obrigados a introduzir o conceito de fração. Dizemos que comemos dois terços do bolo ou que ficamos uma meia hora esperando, etc; também precisamos de frações negativas, pois também podemos dever meia hora de trabalho ao nosso serviço por termos saído antes no dia anterior. Estes novos números são os Números Racionais que nos permitem de certa forma, contar, para frente e para trás, de maneira relativa ; como também podemos comer o bolo inteiro comendo todas as partes em que foi previamente dividido, os números inteiros deveriam ser considerados como casos particulares de números racionais. O conjunto dos números racionais será denotado por Q. 1 Pesquisadores de Biolingüística acreditam hoje que mesmo crianças com pocos meses de vida sabem contar até três (ver por exemplo [5] e artigos relativos)

5 1.1. INTRODUÇÃO 5 Finalmente, quando tentamos medir a diagonal de um triângulo retângulo, pode acontecer (e de fato acontece quase sempre embora esta afirmação não seja tão simples de ser demonstrada rigorosamente) que o resultado da medição, não seja uma fração; porém deveria de existir um número com sua medida, já que tanto as diagonais de triângulos como seus comprimentos parecem existir. Para entender isto, consideremos um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimento 1. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da diagonal deveria ser um número a tal que a 2 = 2. Suponhamos que a = p/q onde p e q são números inteiros sem fatores comuns (isto é, cujo máximo divisor comum é 1), ou seja, suponhamos que a é um número racional. Vamos ver que isto nos conduz a uma contradição. Com efeito, neste caso a = p 2 /q 2 donde p 2 = 2q 2. Como p divide 2q 2 e não divide q (logo não divide q 2 ), teríamos que p divide 2; para isto acontecer, deveriamos ter p = 1 ou p = 2 (e então p 2 = 4), o que não é possível como o leitor poderá facilmente verificar. O conjunto dos números que permitem representar com precisão qualquer medida de um certo comprimento, como por exemplo aquele da diagonal de um triângulo retângulo, ou o negativo de qualquer comprimento, chamase o conjunto dos Números Reais, que denotaremos R (tente dar alguma utilidade para os comprimentos negativos!). O leitor pode observar que enquanto os racionais podem ser construídos tomando frações de números inteiros e os inteiros tomando opostos (negativos) de números naturais, ou seja, que em última instância parece bastar a existência dos naturais para chegarmos à existência dos racionais.os números reais possuem uma natureza um tanto diferente, pois não podem ser construídos a partir de números mais simples por meio de operações elementares (soma, substração, multiplicação e divisão); de fato, os primeiros reais não racionais que conseguimos conceber, a partir de nosso exemplo, provém de realizar uma operação de natureza diferente, a raiz quadrada. É sabido que todo número real positivo possui duas raízes também reais, uma positiva e uma negativa (a prova deste resultado não é inteiramente banal e se faz nos cursos de análise real: veja por exemplo [6, Cap. III, 3]). Por definição de raiz quadrada, esta pode ser extraída daqueles números reais que forem positivos ou zero.

6 6 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Observe-se que, de acordo com o que temos concluído acima, temos as seguintes inclusões estritas de conjuntos N Z Q R. Vejamos agora como os diferentes conjuntos de números que conhecemos surgem naturalmente como uma necessidade, na tentativa de resolver equações polinomiais. Consideremos a equação linear ax + b = 0, onde a,b R. Se a = 0, então não temos equação alguma (pois a incógnita sumiu!); então suponhamos que a 0. Como sabemos desde o ensino fundamental, se a 0, o único valor possível de x é x = b a. Para obter este resultado, devemos somar o oposto b de b aos dois lados da igualdade (pois duas magnitudes iguais não podem ser alteradas ao somar um mesmo número a cada uma delas) e logo devemos multiplicar a ambos lados da nova igualdade, por 1/a, que é chamado de inverso de a, para enfim obter o resultado conhecido por todos. Em particular, observe-se que precisamos das operações elementares para resolver esta simples equação! Mesmo sendo a e b númeos naturais, é facil ver que a solução obtida deixa de sê-lo na mair parte dos casos. Precisamos então, no mínimo, dos números racionais para resolver uma equação linear. De fato, os números racionais podem ser definidos, como o conjunto das soluções de equações lineares da forma qx = p onde p e q são números inteiros arbitrários com q 0. Consideremos agora uma equação quadrática, isto é, da forma ax 2 + bx + c = 0, (1.1) onde a,b,c R e a 0. Multiplicando por 1/a podemos escrever a equação acima na forma equivalente seguinte x 2 + b a x + c a = 0.

7 1.1. INTRODUÇÃO 7 Mais ainda, um pequeno cálculo nos mostra que esta equação é de fato equivalente à seguinte: ( x + b ) 2 b2 2a 4a + c 2 a = 0. Desta forma obtemos ( x + b ) 2 = b2 2a 4a c 2 a, o que mostra que a expressão x + b 2a deve ser uma raíz quadrada de b 2 /4a 2 c/a; em particular para podermos calcular as soluções da equação quadrática, precisamos que esta expressão seja não negativa. Formalmente podemos escrever x = b b 2a ± 2 4a c 2 a. (1.2) Observamos, por um lado, que devemos ter b 2 4a 2 c a 0 para podermos calcular as raízes quadradas; mais ainda, mesmo tendo a,b,c Z, o resultado, mesmo que exista, pode não ser racional: faça por exemplo b = 0,a = 1,c = 2. Por outro lado, se quiséssemos resolver a equação quadrática para quaisquer valores de a,b e c, então deveríamos conhecer um conjunto de números que contivesse no seu interior raizes de números reais negativos; isto aparentemente não faz muito sentido (pense sobre isso!!). Vejamos um exemplo. Vamos admitir que o leitor conheça, o que é assunto de ensino médio (e que analisaremos em detalhe no capítulo 2), que quando temos uma solução x 0 de uma equação polinomial, podemos dividir o polinômio por x x 0 obtendo assim uma fatoração deste como produto de x x 0 por um polinômio de grau um a menos. De qualquer modo, vamos aceitar este fato apenas para podermos dar um exemplo que, esperamos, motive o leitor a fazer o esforço de continuar a leitura. Exemplo Consideremos a equação cúbica x 3 4ax 2 + a 2 x 1 = 0.

8 8 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Um cálculo facil envolvendo derivadas nos mostra que a função f(x) := x 3 4ax 2 + a 2 x 1 possui um máximo relativo em x = 2a e um mínimo relativo em x = 6a; obtemos diretamente f(2a) = 6a 3 1 < 0,f(6a) = 214a 3 1. Como o sinal de f(x) coincide com o sinal de x para valores de x cujo valor absoluto seja o suficientemente grande, concluímos que o gráfico de f(x) corta a reta y = 0 uma única vez, donde segue que a equação cúbica acima possui uma única raiz real. Suponhamos agora que temos à mão a solução real, digamos x 0, desta equação. Dividindo por x x 0, podemos fatorar a equação na forma x 3 4ax 2 + a 2 x 1 = (x x 0 )g(x), onde g(x) é uma expressão de grau dois; estamos então na situação onde g(x) = 0 não possui solução real, isto é, b 2 /4a 2 c/a < 0 para a equação quadrática g(x) = 0. Se tivermos um método para encontrar as soluções não reais desta equação como em (1.2), digamos x 1 e x 2, então poderíamos dividir por (x x 1 ) e por (x x 2 ), obtendo finalmente a solução real x Definição e operações elementares Retomemos a equação (1.1). Trabalhando de maneira puramente formal com a solução (1.2) (isto é, não se preocupando com o fato da solução existir ou não) e escrevendo, para simplificar, podemos escrever (1.2) na forma := b 2 4ac, x = b 2a ± 2a. Evidentemente o resultado faz sentido como número real se e somente se 0.

9 1.2. DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES ELEMENTARES 9 Por outro lado, se for negativo, podemos escrevê-lo como = ( 1), onde as barras indicam o valor absoluto do número real que neste caso será estritamente positivo. Se continuaramos trabalhando de maneira formal, e esperando que as propriedades usuais dos números que conhecemos sejam ainda válidas, teremos x = b ( 1) 2a ± 2a = b 1 2a ± ; 2a aqui a única expressão que não faz sentido dentro dos números reais é 1. Concluímos que para resolver a equação quadrática em todos os casos só precisamos de dar um sentido à expressão 1. Todas as soluções podem ser então escritas na forma x = A + B 1 onde se 0, e A = b 2a ± 2a A = b 2a, B = ± 2a quando < 0; observemos que A e B sempre são números reais. Para simplificar a notação, escreveremos ı no lugar de 1. Esqueçamos por um momento a equação e trabalhemos com números da forma a + bı onde a, b R. Se quisermos que expressões desta forma sejam verdaderos números (embora não reais!), devemos saber operar com eles, isto é, devemos saber como somá-los, sustraí-los, multiplicá-los e dividí-los, quando esta última operação for possível (lembrar do que acontece com os inteiros que não possuem divisão exata sempre). Mais ainda, estas operações devem satisfazer as propriedades básicas de associatividade, comutatividade e distributividade, como as satisfazem todos os números que conhecemos.

10 10 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Finalmente, seria necessário que os números reais pudessem ser considerados como um caso particular destes novos números, afim de poder usá-los para resolver a equação quadrática sem ter que diferenciar o caso em que o resultado é real do caso onde não o é. Tomando b = 0 em a+bı parece bem razoável que só obtenhamos números reais, já que a R. Para definir a soma, dado que cada expressão da forma a + bı possui duas partes distintas, uma real, o número real a, e outra, o número real b, que vem acompanhada de um objeto novo (o ı = 1 que certamente não é real), parece natural então somar dois destes números não misturando suas partes; mais precisamente, vamos somar a+bı e c+dı como (a + bı) + (c + dı) = (a + b) + (c + d)ı, que faz sentido pois sabemos o que significa a + b e c + d De maneira análoga, multipliquemos formalmente dois destes números usando as propiedades que conhecemos das operações elementares: (a + bı) (c + dı) = ac + adı + bıc + bıdı = ac + adı + bcı + bd(ı) 2 = ac + adı + bcı + bd( 1) = ac bd + (ad + bc)ı; observe-se que ac bd + (ad + bc)ı é uma expressão da forma A + Bı onde A, B R. Quando não houver perigo de ambigüidade, também escreveremos zw para indicar a multiplicação z w de dois números complexos z = a + bi e w = c + di. Isto motiva a seguinte Definição O conjunto dos números complexos é o conjunto C := {a + bı : a,b R} com as operações de soma e multiplicação definidas por e (a + bı) + (c + dı) = (a + b) + (c + d)ı (a + bı) (c + dı) = ac bd + (ad + bc)ı, respectivamente. Si z = a + bı C dizemos que a e b são as partes real e imaginária, respectivamente; denotamos a = R(z) e b = I(z).

11 1.2. DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES ELEMENTARES 11 Se z = a + bı, dizemos que a + bı é a Notação Binômica ou Cartesiana; a segunda denominação é motivada em certa medida pela seguinte observação. Observação A existência de um número complexo equivale então à existência de dois números reais, sua partes real e sua parte imaginária, de maneira independente. Desta forma podemosrepresentar um número complexo z C como um par ordenado (a,b); de fato esta observação permite entender que os números complexos efetivamente existem, e sua existência está vinculada à existência dos números reais: observe que nossa construção dos números complexos pressupõe a existência de um número bastante singular que denotamos ı; a forma de entender que este número efetivamente existe, é pensar os números complexos como pares ordenados da forma (a, b) junto com as operações definidas acima, reinterpretadas em termos de pares, isto é: (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), (a,b) (c,d) = (ac bd,ad + bc). Deixamos como exercício para o leitor verificar que o par ordenado (0, 1) satisfaz (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0); como (0, 1) corresponde exatamente ao nosso ı, isto mostra que o quadrado dele corresponde ao nosso número complexo 1 = 1 + 0ı. A representação de um número complexo como um par ordenado, permitenos representar geometricamente tal número na forma de um vetor do plano; a ponta do vetor ou ponto do plano correspondente terá como abscissa e ordenada as parte real e imaginária do número complexo, respectivamente. b a+ib a Figura 1.1: Representação geométrica de um número complexo Geometricamente podemos obter a soma de números complexos z = a+ıb e w = c+ıd pela chamada Regra do Paralelograma, que consiste em construir

12 12 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS um paralelogramo, cujos lados adjacentes são os vetores (a,b) e (c,d) que est øsendo somados, b a+ib (a+c)+i(c+d) c+id a Figura 1.2: Representação geométrica da soma de complexos Como nosso objetivo é resolver equações polinomiais, é claro que,deveríamos poder operar com nossos novos números. Para isto, precisamos não só multiplicar e somar, mas também subtrair e dividir. Mais concretamente, tendo em mente o exemplo 1.1.1, podemos conceber que os números complexos possam nos auxiliar no intuito de encontrar as soluções reais de uma equação algébrica (polinomial) mediante obtenção de uma solução arbitrária; mesmo sendo esta imaginária. Para isto podemos dividir a expressão de nossa equação por x α, onde α é a solução achada em primeira instância; desta forma, nossa equação original fatora-se como produto de x α por uma expressão de grau um a menos do que o grau daquela. Não é dificil de se convencer que para dividir expressões polinomiais com coeficientes em C (observe que agora α pode não ser real), é necessário poder subtrair e dividir números complexos (para divisão de polinômios veja capítulo 2. O Módulo de um número complexo z := a + ıb é o número real não negativo z := a 2 + b 2. Da representação geométrica concluímos que z é o comprimento do vetor (a,b) correspondente; evidentemente Z = 0 se e somente se z = 0. Como caso particular, observa-se que se z = a é um número real, então a é o valor absoluto usual de a. De acordo com a definição de multiplicação de números complexos, obsevamos que a 2 + b 2 = (a + ıb)(a ıb);

13 1.2. DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES ELEMENTARES 13 o número complexo z := a ıb chama-se o Conjugado de z = a+ıb. Obtemos então z z = z 2. (1.3) Com a ajuda da equação (1.3) podemos demonstrar a existência de inverso de um número complexo não nulo de maneira muito simples. Com efeito, se z 0, teremos que r := z é um número real não nulo (de fato positivo) donde z ( 1 z) = 1, r2 o que mostra que o inverso de z existe e escreve-se na forma em notação binômica z 1 = z 1 = 1 r z; ( a a 2 + b + 2 b a 2 + b 2 ) ı. Se z,w C com w 0, definimos a divisão de z por w como Z : w := z w 1 ; como para números reais, denotamos também z : w = z w. Como exercício o leitor pode tentar demonstrar o seguinte resultado que resume as propriedades algébricas do conjunto dos números complexos: Teorema A terna (C, +, ) é um corpo. Para terminar esta seção, enunciamos sem demonstração as propriedades métricas mais importantes do módulo; consideramos estas propriedades como conhecidas dos leitores, já que são as mesmas consideradas para vetores do plano e que, graças à representação geométrica dos números complexos, continuam válidas para estes últimos; em todo o caso, tentar uma demonstração destas propriedades é um exercício útil para obter desenvoltura no cálculo com números complexos. Proposição Sejam z 1,z 2 C e λ R. Temos as seguintes afirmações: (a) (Desigualdade Tringular) z 1 + z 2 z 1 + z 2 ; (b) λz 1 = λ z 1 ; (c) Se Z 2 0, então z 1 z2 1 = z 1 / z 2.

14 14 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS 1.3 Coordenadas polares Analogamente ao que acontece com os vetores do plano, temos uma representação polar para números complexos. Por razões históricas se z = a + bı é um número complexos, o ângulo na representação polar do vetor (a,b) chama-se o Argumento de z. Antes de definir o argumento precisamos de alguns preliminares. Da mesma maneira que para dar posições de pontos numa reta é necessário antes fixar um ponto de referência nesta, a partir do qual as coordenadas de pontos arbitrários da reta serão definidas, precisamos de uma semireta de referência com relação à qual a inclinação dos vetores do plano será determida. Mais precisamente, fixemos um sistema de coordenadas cartesiano cuja origem (0, 0) denotamos O, que representa o número complexo 0 = 0+0ı. Fixemos uma semireta l com origem em O; denotamos λ [0, 2π) o ângulo formado por l e a semireta constituída pelos pontos de abscissa não negativa, medido em sentido anti-horário. Nosso objetivo é definir coordenadas angulares para um vetor não nulo v do plano. Quando o vetor v for nulo, isto é, estiver representado pelo ponto O, a coordenada angular não estará definida. Então a coordenada angular de v relativa à reta l, é um número real θ(v) [λ,λ + 2π), que por definição, é o valor do ângulo formado por v e o vetor (1, 0) medido em sentido anti-horário. Desta forma, a coordenada angular está bem determinada sempre que v 0, dependendo seu valor, da semireta l pré-fixada; na literatura sobre o assunto, quando fixada a semireta l, diz-se as vezes que fixamos uma determinação da coordenada angular. Por convenção se θ [λ,λ+2π), os identificamos com θ, os valores θ+2kπ, onde k Z: observe que tais valores definem o mesmo ângulo que θ. As semiretas mais comumente utilizadas para determinar a coordenada angular são as duas semiretas determinadas pela origem O no eixo x: a dos pontos cujas abscissas são não negativas e não positivas respectivamente. No primeiro caso a coordenada θ(v) varia no intervalo [0, 2π) e no segundo caso no intervalo [ π, π). Aos efeitos da utilização que faremos dos números complexos, é suficiente considerarmos apenas a primeira determinação da coordenada angular; determinação esta que fixamos e que consideraremos sem mensão explícita a partir de agora. Exemplo O vetor v = ( 1, 1) tem coordenada angular θ = 7π/4, ou somando 2π, também θ = π/4, que é um valor do argumento na determinação θ [ π, π).

15 1.3. COORDENADAS POLARES 15 Seja z C um número complexo. Se z 0, a coordenada angular do vetor que representa z chama-se o argumento, que denotamos arg(z) ou arg z. As coordenadas polares de z é o par ( z, arg z); se z = 0 o valor de arg z não existe (isto é, a função argumento não está definida em 0) mas z = 0 neste caso, o que determina z (ou seja, não precisamos de argumento para determinar z = 0). Se z = a + bı 0 com coordenadas polares (r,θ), temos evidentemente a = r cos θ, b = r sin θ; concluímos que as coordenadas polares de z determinam a parte real e imaginária de z. Reciprocamente, dados a e b podemos determinar as coordenadas polares mas temos que ter certo cuidado com o argumento; com efeito o módulo r, como já sabemos vale a 2 + b 2, mas para o argumento devemos utilizar as funções trigonométricas inversas e alguma das relações cos θ = a r, sin θ = b r ; podemos ainda utilizar arctan b a. É preciso, na hora de calcular θ, representar geometricamente o número complexo, de forma a poder interpretar corretamente os valores das funções arcos: vejamos um exemplo. Exemplo Seja z = 1 ı; está representado pelo vetor ( 1, 1) no terceiro quadrante. Temos z = 2. Se calculamos ingenuamente ( ) 1 arctan = arctan(1) 1 obteremos o valor π/4, pois os valores da função arctan variam entre π/2 e π/2; devemos então corrigir este valor subtraindo-o de π, pois nosso vetor está de fato no terceiro quadrante. Analogamente, para o complexo z = 1 + ı que está no segundo quadrante, devemos corrigir o valor arctan( 1) = π/4 somando-lhe π. O leitor pode refletir sobre o que devemos corrigir no caso de utilizar as funções arccos e arcsin. Exemplo Consideremos z = bı; é um número complexo imaginário puro, isto é, sua parte real é nula. Se tratarmos de calcular seu algumento

16 16 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS utilizando arctan, observaremos que em princípio isto não é possível, pois a = 0. Mas um momento de reflexão nos mostra que não é necessária a utilização de fórmula alguma, pois evidentemente o argumento de um tal número é π/2 quando b > 0 e 3π/2 quando b < 0. Se z = a + bı, usando as fórmulas acima, podemos escrever z = r(cos θ + ı sin θ). Dizemos que z está escrito em Notação Trigonométrica, em contraposição com a escrita z = a+bı que é chamada de Notação Cartesiana ou Binômica. Exemplo A notação trigonométrica do número complexo 1 + ı 3 é z = 2(cos π 3 + ı sin π 3 ) Fórmulas de De Moivre Vamos agora multiplicar dois números complexos escritos em notação trigonométrica. Sejam z j = r j (cos θ j + ı sin θ j ), j = 1, 2; ou seja que r j = z j, θ j = arg z j para j = 1, 2. Então z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + ı sin θ 1 )r 2 (cos θ 2 + ı sin θ 2 ) = r 1 r 2 (cos θ 1 + ı sin θ 1 )(cos θ 2 + ı sin θ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + ı(cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )] = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + ı sin(θ 1 + θ 2 )], onde usamosa conhecida fórmula para seno e cosseno de uma soma de ângulos. Concluímos que o módulo de z 1 z 2 é o produto dos módulos de z 1 e z 2, e o seu argumento é a soma dos argumentos de z 1 e z 2, respectivamente. Exercício Interprete geometricamente as conclusão acima sobre as coordenadas polares do produto de números complexos. Consideremos n números complexos z j := r j (cos θ j + ı sin θ j ), j = 1,...,n.

17 1.4. RAÍZES N-ÉSIMAS 17 Por indução matemática no número de fatores podemos demonstrar (o que mostramos para dois fatores é o caso n = 2) z 1 z n = r 1 r n [cos(θ θ n ) + ı sin(θ θ n )]. Como caso particular, escolhendo z = z 1 = = z n obtemos uma fórmula para a potência n ésima [r(cos θ + ı sin θ)] n = r n [cos(nθ) + ı sin(nθ)], (1.4) onde r = r 1 = = r n e θ = θ 1 = = θ n. Aplicando esta fórmula para um número complexo z de módulo r = 1 obtemos a fórmula equivalente (cos θ + ı sin θ) n = cos(nθ) + ı sin(nθ). (1.5) Tanto a fórmula (1.4) quanto a fórmula (1.5) são conhecidas como Fórmula de De Moivre. Esta última pode ser utilizada para escrever cos(nθ) e sin(nθ) como funções polinomiais em cos θ e sin θ com coeficientes inteiros: Exemplo Seja n = 2. Neste caso a fórmula (1.5) fornece cos(2θ) + ı sin(2θ) = (cos θ + ı sin θ) 2 = (cos 2 θ sin 2 θ) + ı(2 cos θ sin θ); donde, igualando partes real e imaginárias, obtemos cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ, sin(2θ) = 2 cos θ sin θ. Para os casos n = 3, 4 veja o exercício Mais geralmente, o leitor pode tentar obter uma fórmula geral como sugerida no seguinte: Exercício Utilizando a fórmula do binômio de Newton (caso não a conheça veja o exercício no final do capítulo), escreva cos(nθ) e sin(nθ) como funções polinomiais em cos θ e sin θ com coeficientes inteiros. 1.4 Raízes n-ésimas Seja w C. Uma raiz n-ésima de w é um número complexo z C tal que z n = w.

18 18 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Se w = 0, aplicando módulos de ambos lados da equação obtemos z n = z n = 0, donde z = 0, isto é, z = 0. Ou seja, a única raiz n-ésima de 0 é o próprio 0. Suponhamos agora que w 0; escrevamos w em notação trigonométrica: w = s(cos φ + ı sin φ), com s = w > 0 e φ = arg w. Procuramos raízes n-ésimas também escritas em notação trigonométricas da forma z = r(cos θ + ı sin θ), com r = z e θ = arg z. Por definição z n = w; da fórmula de De Moivre (1.4) obtemos z n = = r n [cos(nθ) + ı sin(nθ)] = s(cos φ + ı sin φ) = w. Primeiramente concluímos que o módulo de w é s = r n, donde obtemos o módulo r de z: como r > 0, seu valor é a raiz n-ésima (real) positiva s 1 n de s. Simplificando r n com s obtemos cos(nθ) + ı sin(nθ) = cos φ + ı sin φ, que igualando partes real e imaginária equivale ao sistema de equações trigonométricas { cos(nθ) = cos φ (1.6) sin(nθ) = sin φ. Analisando o gráfico das funções cos e sin (ou equivalentemente as projeções nos eixos x e y de um ponto variando no círculo trigonométrico, respectivamente), constatamos que dois ângulos distintos com valores entre 0 e 2π que possuem o mesmo cosseno estão nos quadrantes primeiro e quarto, nos quadrantes segundo e terceiro, ou são π/2 e π/2. Analogamente, se possuem o mesmo seno, estão nos quadrantes terceiro e quarto ou nos quadrantes primeiro e segundo. Concluímos que dois ângulos (distintos) em [0, 2π) não podem, ao mesmo tempo, possuir o mesmo cosseno e o mesmo seno. Portanto, a única forma para que ângulos distintos, agora com valores arbitrários,

19 1.4. RAÍZES N-ÉSIMAS 19 possuam o mesmo cosseno e o mesmo seno é que seus valores difiram por múltiplos inteiros de 2π. Da digressão acima, concluímos que as soluções do sistema de equações trigonométricas (1.6) é nθ = φ + 2kπ, k Z; o argumento procurado θ tem então vários valores possíveis que dependem de k: θ k = φ n + 2kπ n, k Z. Fazendo k variar entre 0 e n 1 o ângulo θ toma os n valores distintos φ n, φ n + 2π n, φ n + 4π n,..., φ n 2(n 1)π + ; n quando k varia entre n e 2n 1 reobtemos os valores de θ = θ 0,θ 1,...,θ n 1, pois estes diferem daqueles por 2π (nossa convenção para valores de ângulos: veja página 14). Raciocinando desta forma não é difícil de se convencer que os únicos valores distintos para o argumento θ são o n valores acima. Demostramos então o seguinte resultado: Teorema Seja w C um número complexo não nulo; escrevemos Então existem n raízes (distintas) w = s(cos φ + ı sin φ). z k = r(cos θ k + ı sin θ k ), k = 0, 1,...,n 1, onde r = s 1 n, θk = φ n + 2kπ n. Observação Todas as raízes n-ésimas de w possuem o mesmo módulo que é exatamente a raiz n-ésima positiva real do módulo de w; para obter os argumentos das raízes n-ésimas, podemos proceder da forma seguinte: primeriro dividimos o argumento de w por n, o que fornece o argumento de z 0 ; logo após acrescentamos ao argumento de z 0 o valor 2π/n, o que fornece o argumento de z 1 ; logo após acrescentamos ao argumento de z 1 o valor 2π/n; e assim por diante, até obtermos o argumento de z n 1. Se repetirmos mais uma vez o procedimento, reobteremos o argumento de z 0.

20 20 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS A observação acima fornece a seguinte interpretação geométrica: as raízes n-ésimas de w 0 representam-se no plano como os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio s 1 n. Figura 1.3: representação geométrica de raízes sextas Exemplos (a) Consideremos w = 1 ı. Evidentemente w = cos 5π 4 + ı sin 5π 4. Ou seja que s = 1 e φ = 5π/4. As raízes quintas de w são z 0 = cos π 4 + ı sin π ( 4 π z 1 = cos 4 + 2π ) ( π + ı sin π ) 5 ( π z 2 = cos 4 + 4π ) ( π + ı sin π ) 5 ( π z 3 = cos 4 + 6π ) ( π + ı sin π ) 5 ( π z 4 = cos 4 + 8π ) ( π + ı sin π ) 5 (b) Seja w 0 arbitrário; temos As raízes quadradas de w são w = s(cos φ + ı sin φ). z 0 = s 1 2 (cos φ 2 + ı sin φ 2 ), z 1 = s 1 2 [cos( φ2 + π) + ı sin(φ2 + π) ] ;

21 1.4. RAÍZES N-ÉSIMAS 21 como somar π troca o sinal do cosseno e do seno, concluímos que z 1 = z 0. Em outras palavras, as raízes quadradas de números complexos são números complexos simétricos. (c) Seja w = a R um número real não nulo. Temos dois casos: (c 1 ) a > 0: temos arg a = 0. Então z k = a 1 n (cos 2kπ n 2kπ + ı cos ), k = 0, 1,...,n 1; n em particular, quando é par, digamos n = 2m, as duas raízes reais são z 0 e z m 1 ; quando n é ímpar, z 0 é a raiz real de a. (c 2 ) a < 0: temos arg a = π. Então z k = a 1 n (cos (2k + 1)π n + ı cos (2k + 1)π ), k = 0, 1,...,n 1; n em particular quando n é ímpar, novamente z 0 é a raiz real. Exemplo Raízes da unidade. As raízes n-ésimas da unidade complexa w = 1 (ou seja, o neutro da multiplicação) obtém-se como caso particular do exemplo 1.4.3(c 1 ): z k = cos 2kπ n 2kπ + ı cos, k = 0, 1,...,n 1; n todas são números complexos de módulo um. Observamos que estão representadas no plano como os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa cisrcunferência de raio um; um dos vértices é o ponto (1, 0) que representa o complexo 1, a raiz n ésima real positiva de 1. A raiz nésima z 1, que denotaremos ω n chama-se a Raiz n-ésima Primitiva da unidade. Pela fórmula de De Moivre (1.5) temos que ω n n = 1 e z k = ω k n, k = 0,...,n 1. Esta propriedade implica que o conjunto C n := {1,ω n,...,ωn n 1 } é fechado para a multiplicação, isto é, z,w C n implica z w C n (mostre esta afirmação!). Finalmente, por definição de raiz n-ésima, observamos que o conjunto C n das raízes n-ésimas da unidade é o conjunto de soluções da equação x n 1 = 0.

22 22 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Raízes quadradas em forma binômica Consideremos um número complexo w = a + bı. Podemos estar interessados em obter as raízes n-ésimas deste número na forma binômica; no caso onde n = 2, isto pode ser feito diretamente, ou seja, sem passar pela forma trigonométrica, essencial para extrair raízes pelo método descrito no parágrafo precedente. Um número complexo z = x + yı é raiz quadrada de w se e somente se a + bı = (x + yı) 2 = x 2 y 2 + (2xy)ı. Isto é, igualando partes real e imaginária, se e somente se { x 2 y 2 = a 2xy = b Suponhamos w 0, pois o caso w = 0, como sabemos, fornece z = 0. Se b = 0 obtemos x = 0 ou y = 0, e a 0; se a > 0, como x e y são reais, devemos ter y = 0, donde obtemos os pares (x,y) seguintes: ( a, 0), ( a, 0), isto é, as raízes quadradas reais de w = a: z = ± a. Analogamente, se a < 0 obteremos as raízes imaginárias puras de w = a: ± a ı. Suponhamos agora que b 0; em particular x 0 e y 0. Podemos substituir y = b/2x na equação de cima para obter x 2 b2 4y 2 = a; multiplicando por 4x 2 esta equação encontramos x 4 ax 2 b 2 = 0,

23 1.5. TRANSFORMAÇÕES DO PLANO 23 que é uma equação biquadrada. Como o leitor certamente sabe, esta pode ser resolvida utilizando a fórmula de Baskara numa nova variável u := x 2, pois é uma equação quadrática em x 2 ; mais precisamente, temos u = x 2 = a ± a 2 + b 2. 2 Como b 0 temos 0 a 2 < a 2 +b 2, donde a < a 2 + b 2 ; desta desigualdade concluímos que x 2 é um dos dois valores a + a 2 + b 2 > 0, 2 Como x deve ser real, só pode ser a a 2 + b 2 2 < 0. x 2 = a + a 2 + b 2 ; 2 daqui obtemos dois valores x 1 e x 2 para x donde os valores de y correspondentes y 1 = b/2x 1 e y 2 = b/2x 2. O leitor poderá obter fórmulas explícitas para as duas raízes quadradas (uma simétrica da outra) x 1 + y 1 ı e x 2 + y 2 ı. De todas maneiras não é necessário termos tais fórmulas explícitas, pois não é difícil de repetir o procedimento cada vez que precisemos calcular raízes quadradas desta forma. 1.5 Transformações do plano Denotemos R 2 o plano real. Chamaremos de transformação do plano qualquer bijeção T : R 2 R 2 que pode ser escrita como composição dos seguintes tipos de Transformações elementares que supomos conhecidas dos cursos de geometria elementar: 1. Translação; 2. Homotetia; 3. Rotação de ângulo θ e 4. Reflexão com relação a uma reta do plano. A representação geométrica dos números complexos nos permite pensar C como se fosse R 2 do ponto de vista geométrico; de fato, para sermos rigorosos, C é exatamente R 2 como conjunto, só que introduzimos operações que o fazem um objeto matemático diferente do plano usual; digamos que o enriquecem de certa forma, pois isto nos permite fazer outras coisas com os pontos do plano que não podíamos fazer quando pensávamos neles apenas geometricamente.

24 24 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS De acordo com a interpretação que demos para a soma de complexos, uma translação nada mais é do que uma aplicação (isto é, função) T : C C da forma T(z) = z + α, onde α C é um número complexo fixo dado e não nulo; diz-se que T é uma translação de vetor α. Da mesma forma, da interpretação que demos para o produto em termos do módulo e o argumento, se α = r(cos θ + ı sin θ), uma aplicação H : C C da forma H(z) = αz transforma um número complexo do plano num outro número complexo cujo módulo fica multiplicado por r e cujo argumento fica acrescido de θ. Concluímos que a transformação H tem o efeito de uma homotetia de razão r combinada (ou seja, composta) com uma rotação de ângulo θ; no caso particular onde r = 1 teremos apenas uma rotação de ângulo θ e no caso onde θ = 0 e r 1 uma homotetia de razão r. Finalmente, a transformação S : C C definida por S(z) = z é uma reflexão em relação ao eixo x; deixamos para o leitor refletir sobre como definir corretamente uma reflexão em relação a uma reta arbitrária: observe, por um lado, que uma reta paralela ao eixo x pode ser vista como uma translação de um vetor que é um complexo imaginário puro; por outro lado, que uma reta não paralela ao eixo x corta este num ponto e podeser vista como uma translação adequada combinada com uma rotação cujo ângulo é o ângulo entre as retas. Como veremos no próximo capítulo, para conseguirmos entender de forma adequada a resolução de equações polinomiais, seremos obrigados a compreender melhor os polinômios e a relação de seus coeficientes (o que corresponde aos dados num problema prático que queiramos resolver) com as suas raízes, que são nada mais nem menos que as soluções das equações correspondentes. Por outro lado, a manipulação com polinômios só é possível operando com eles, ou seja, efetuando, à semelhança do que fazemos com os números, operações elementares; é então de se esperar que as propriedades do conjunto dos polinômios sejam o mero reflexo, em última instância, da forma com que operamos com eles, isto é, das propriedades que estes polinômios têm em relação às operações elementares.

25 1.6. ESTRUTURA SUBJACENTE DE C Estrutura subjacente de C Os objetos nos quais nos interessamos, sejam estes números de algum dos tipos conhecidos, sejam estes polinômios (que será tratado minuciosamente no capítulo 2), possuem em comum alguns atributos. Primeiramente, aqueles de uma mesma natureza constituem um conjunto, digamos A, que vamos considerar, evidentemente, diferente do conjunto vazio. Segundo, existem maneiras de operar com os elementos do conjunto A que tem sido chaamadas de operações elementares; aparentemente há em todos os casos uma forma de somar + e uma forma de multiplicar, e em alguns casos, uma forma de subtrair e outra de dividir. Aceitando a filosofia segundo a qual é através das propriedades destas operações que poderemos entender qualquer outra propriedade algébrica dos elementos de A, é então razoável pensar que muitos dos fenômenos que nos parecem própios, por exemplo dos números inteiros, sejam de fato fenômenos que podem ser observados em qualquer outro conjunto sobre o qual saibamos operar de forma similar que com números inteiros: por exemplo, não é dificil mostrar que x = (x + ı)(x ı) é a melhor fatoração que podemos obter da expressão x 2 + 1, pois a equação x = 0 tem ı e ı como únicas soluções e evidentemente qualquer outra fatoração deveria ter uma ou outra das soluções. Então, se só permitirmos números reais nos nossos cálculos, a expressão (polinômio) x 2 +1 não poderia se fatorar! Nós já encontramos este tipo de fenômeno no caso dos números inteiros: quando um número inteiro não pode ser fatorado de maneira não óbvia (isto é, salvo escrevendo o próprio número vezes 1), dizemos que ele é primo. No próximo capítulo veremos como muitas das noções sobre divisibilidade tais como a de número primo podem ser estendidas ao caso de polinômios. Vamos resumir muitas das propriedades dos números (e como veremos no próximo capítulo, também dos polinômios) na seguinte definição. Vamos chamar de operação 2 num conjunto A a uma função de A A em A. Definição Seja A um conjunto não vazio e sejam + : A A A e : A A A duas operações em A, que chamaremos de soma e multiplicação. 2 Diz-se também operação binária interna pelo fato de estar definida para pares de elementos do conjunto A e o resultado desta ser também um elemento de A.

26 26 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Dizemos que (A, +, ) é um Anel Commutativo com Unidade se se verificam as seguintes oito propriedades: S 1 ) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c, a,b,c A. S 2 ) Commutativa: a + b = b + a, a,b A. S 3 ) Neutro: e A tal que e + a = a + e = a, a A; denotamos este elemento e = 0. S 4 ) Simétrico: a A, ā A tal que a + ā = ā + a = 0. M 1 ) Associativa: a (b c) = (a b) c, a,b,c A. M 2 ) Commutativa: a b = b a, a,b A. M 3 ) Neutro: u A tal que u a = a u = a, a A; denotamos este elemento u = 1. SM) Distributiva: a (b + c) = a b + a c, a,b,c A. Se além disso também verifica-se D) Cancelamento: Se a b = a c e a 0 então b = c, a A {0}, b,c A, dizemos que o anel é um Domínio de Integridade. Exercício Convença-se do fato que todo sistema numérico é um domínio de integridade. Que pensa do conjunto dos polinômios? A propriedade de simétrico nos permite subtrair: diremos que a b é a + b. Na definição acima nada é dito sobre a divisão, que, à semelhança do que acontece com a subtração, dependerá da existência de um simétrico mas com respeito à multiplicação, que chamamos de inverso. Podemos então definir um novo tipo de estrutura algébrica sobre um conjunto que é mais rica, no sentido que possui mas atributos: é o conceito de Corpo. Definição Seja K um conjunto não vazio e sejam + : : K K K e : K K K duas operações em K. Dizemos que (K, +, ) é um Corpo se for um anel commutativo com unidade e além disso verifica-se a propriedade seguinte: M 4 ) Inverso: a K {0}, â K tal que a â = 1. Denotaremos o inverso de um elemento a K\{0} como â = a 1. Num corpo podemos então dividir um elemento a por um elemento b 0 fazendo a : b = a b 1 ;

27 1.7. EXERCÍCIOS 27 isto motiva a notação (também muito utilizada): b 1 = 1 b. Também escreveremos ab ao invez de a b, desde que isto não induza a confusão. Exercício Mesma questão que no exercício anterior mas substituíndo domínio de integridade por corpo. Exemplo Vejamos que um corpo também possui a propriedade de cancelamento, isto é, que também é um domíno de integridade. Com efeito, suponhamos que K é um corpo e que a,b,c K, com a 0, tais que ab = ac. Basta multiplicar pelo inverso de a aos dois lados da equação. Exercício Mostre que a propriedade de cancelamente (D) é equivalente (ou seja, pode ser substituída por) a propriedade (D ) ab = 0 implica a = 0 ou b = 0, para todo a,b A. 1.7 Exercícios Reduza à forma a + bı cada uma das expressões seguintes: a) 3 2ı ı[2 ı( 3 + 4)]; b) (3 5ı)( 2 4ı); c) (3ı 1)(ı/2 + 1/3); d) (2 + 3ı) Mostre que as seguintes igualdades são válidas: a) (x+ıy) 2 = x 2 y 2 +2ıxy; b) (1+ı) 3 = 2+2ı; c) 1+ı 5 +2ı 10 +3ı 13 = 1 + 4ı; Idem que no exercício com as seguintes frações: ı ; 1 + ı 3 2ı ; 3 ı 1 + 2ı ; 4 3ı 1 + ı 1 ı ( 1 ; 2 ı 1 + ı ) 2 ; ( ) ı. 1 ı

28 28 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS Represente graficamente os números complexos z 1,z 2,z 1 z 2 e z 1 /z 2 : a) z 1 = 3 + 4ı,z 2 = (1 ı)/5 2; b) z 1 = (1 + ı) 3/2,z 2 = ( 3 + ı)/2; c) z 1 = (1 + ı)/2 2, z 2 = 1 + ı Calcule a parte real e imaginária dos seguintes números complexos: ı(2 3ı) 2, (1 ı 3) ı Escreva os seguintes números complexos na forma polar e represente-os geométricamente: ı, 1 ı 3 + 3ı, 1 ı, ı 3, 4. 3 ı Obtenha fórmulas para cos 3θ e sin 3θ em função de sinθ e cosθ. Idem para cos 4θ e sin 4θ Calcule as raízes dos seguintes números complexos e represente-as geométricamente: 4, (1 + ı 3) 1/2, 3 ı, 3 ı, ( 1 + ı 3) 1/4 ; 1 ı 3. Encontre todas as soluções da equação P(z) = 0 nos casos em que P(z) é um dos polinômios seguintes: z 6 64,z 3 1, 5z 3 +8,z 2 2z +2, 2z 2 +z +1,z 2 +(1 2ı)z +(1+5ı),z 4 +9.

29 Capítulo 2 Equações de grau Generalidades sobre equações polinomiais Uma equação polinomial é uma equação da forma a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (2.1) onde n é um número natural, a n,a n 1,...,a 1,a 0 C são chamados de coeficientes da equação e x é uma indeterminada ou variável. Diremos que a equação 2.1 é de grau n se a n 0. Uma solução desta equação é um número (em geral) complexo α que substituído no lugar do x satisfaz a igualdade, isto é, a n α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0. Consideremos a seguinte expressão polinomial f(x) = (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ) onde α i é um número complexo para todo i = 1,...,n. É evidente que α 1,...,α n são soluções da equação polinomial f(x) = 0. Como veremos no próximo capítulo toda equação polinomial de grau n pode ser escrita na forma f(x) = 0 para certos números complexos α 1,...,α n ; em particular esses números são as únicas soluções dessa equação. 29

30 30 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 Vamos analisar quais são os coeficientes da expressão f(x). Basta efetuar o produto dos fatores da forma (x α i ) entre si. Comecemos observando que cada termo do produto obtido como resultado de multiplicação dos n fatores forma-se escolhendo um dos termos de cada fator e multiplicandoos entre si. Por exemplo quando escolhemos o termo x em cada binômio x α i e os multiplicamos entre si obtemos x n pois temos n fatores; donde segue que o coeficiente a n que acompanha x n deve ser 1. Analogamente, para obtermos o coeficiente que acompanha x n 1 devemos escolher n 1 vezes a indeterminada x e apenas uma vez o número α i. Como temos n possibilidades para escolher α i (pois i = 1,...,n) obteremos n termos com x n 1, a saber, os termos α i x n 1 ; somando-os, concluímos que n a n 1 = α 1 α n = α i. Raciocinando de maneira análoga, teremos que a n 2 é a soma dos produtos da forma ( α i )( α j ) = α i α j para cada escolha de i e j. Um pouco de reflexão nos mostra que i=1 a n 2 = α 1 α α 1 α n + α 2 α 3 + α n 1 α n = i<j α i α j. Ou seja que a n 1 constitue-se somando os n = ( n 1) valores de αi ; para formar a n 2 escolhemos todos os pares α i,α j possíveis, tem ( n 2), multiplicamos-los e finalmente somamos estes produtos. Generalizando este raciocínio, obtemos a forma geral de um coeficiente a k arbitrário: constitui-se escolhendo as ( n k) combinações possíveis de k elementos do conjunto {α 1,...,α n }, multiplicando os k elementos de cada combinação e somando os ( n k) resultados obtidos; observe que, em particular, o último coeficiente a 0 será o produto de todos os números α i, ou seja a 0 = ( 1) n α 1 α n. Podemos escrever o coeficiente que acompanha x k para k > 0 como a n k = i 1 <...i k α i1 α ik, k = 1,...,n. Estas igualdades chaman-se, relações entre coeficientes e raízes de uma equação.

31 2.1. GENERALIDADES SOBRE EQUAÇÕES POLINOMIAIS 31 Exercício a) Mostre estas relações diretamente no caso n = 1,n = 2 e n = 3. b) Demonstre o caso geral usando indução matemática em n. Uma das utilidades destas relações é a de construir equações com soluções prescritas. Por exemplo, se queremos construir uma equação cujas soluções sejam ı, ı, 5, então pegamos n = 3 e α 1 = ı,α 2 = ı e α 3 = 5. Obtemos a 3 = 1,a 2 = 5, a 1 = 1,a 0 = 5. Para terminar este breve parágrafo de generalidades, dada uma equação polinomial como na equação (2.1), vamos descobrir uma mudança de variáveis (linear) da forma x = y + h para h C de forma que o termo de grau n 1 (agora em y) não apareça, isto é, seu coeficiente seja nulo. Substituíndo x por y + h na equação (2.1) obtemos a n (y + h) n + a n 1 (y + h) n a 1 (y + h) + a 0 = 0. (2.2) Ao desenvolver as potências de cada binômio da forma (y + h) k é claro que obteremos uma expressão polinomial de grau k em y. Por outro lado, queremos escolher h para que o coeficiente em y n 1 da expressão (2.2) se anule. Basta então entender quais são as contribuições para tal coeficiente da parte a n (y +h) n +a n 1 (y +h) n 1 da expressão, pois os termos restantes terão grau menor do que n 1 e portanto não contribuírão. Usando a fórmula do binômio de Newton (veja exercício ), ou diretamente a relação entre coeficientes e raízes obtida acima aplicada à expressão (y + h)(y + h) (y + h) (uma vez com n fatores e outra com n 1) concluímos que o coeficiente de a n (y + h) n em y n 1 é na n h e aquele de a n 1 (y + h) n 1 é a n 1. Portanto o termo de grau n 1 de (2.2) é (na n h + a n 1 )y n 1. Deduzimos que h = a n 1 na n é o número procurado. Observemos que dada uma equação de grau n, digamos em x, podemos sempre fazer uma mudança de variaveis x = y + h de forma que a nova equação, agora em y, tenha termo de grau n 1 nulo. Encontrar as soluções desta nova equação equivale a encontrar as soluções da antiga, pois dada uma

32 32 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DE GRAU 4 solução y = α da equação transformada, basta considerar α h obteremos uma solução da equação original; reciprocamente, somando h às soluções da equação em x obtemos as soluções da equação em y. Para ver a utilidade deste procedimento o leitor pode fazer o exercício seguinte: Exercício a) Aplicando a mudança de variaveis acima no caso n = 2 mostre que resolver uma equação geral de grau 2 reduz-se a resolver uma equação da forma y 2 + b = 0. b) Deduza uma outra forma de resolver a equação de grau 2 que não seja utilizando a fórmula de Baskara. 2.2 Equação de grau 3 No restante do capítulo seguiremos de perto o capítulo XIII de [2] Método e Hudde e Equações de Cardano Agora vamos utilizar os números complexos para resolver a equação geral de grau 3. É uma equação da forma Ay 3 + By 2 + Cy + D = 0, (2.3) onde A,B,C,D são números reais e A 0; como estamos trabalhando num corpo, basta dividir por A, podemos supor que A = 1: com efeito, escrevemos e obtemos uma equação da forma B := B A,C := C A,D := D A, y 3 + B y 2 + C y + D = 0, cujas soluções são exatamente aquelas da equação (2.3). Como vimos no parágrafo precedente, fazendo a mudança de variaveis linear da forma y = x + h, onde h = B /3 obtemos uma equação em x da forma x 3 + ax + b = 0; (2.4) dizemos que a equação cúbica está escrita na forma reduzida.

33 2.2. EQUAÇÃO DE GRAU 3 33 As soluções de (2.3) obtem-se a partir das soluções de (2.4) somando o valor de h achado. Vamos agora encontrar as soluçãoes da equação (2.4) utilizando um procedimento desenvolvido por Juan Hudde ( ) e conhecido como Método de Hudde. Cabe salientar que foi Scipione Dal Ferro ( ) quem resolveu pela primeira vez a equação de grau três mas não publicou seu trabalho. Outro Matemático, Nicolás de Brescia, conhecido sob o pseudônimo de Tartaglia ( ) também resolveu esta equação e tampouco publicou a solução achada; sob promessa de não divulgá-lo Tartaglia comunicou seu descubimento a Girolamo Cardano ( ), quem o publicou em 1545 como sendo seu, no seu compêndio titulado Ars Magna. Na equação de grau 2, as soluçãos são obtidas como soma de dois números, que dependem dos coeficientes, cuja natureza pode ser diversa (isto é, podem ser imaginários, mesmo que os coeficientes sejam reais). É de esperar que no caso de grau 3 a situação seja bem mais complicada. De fato, vamos mostrar que toda solução pode ser escrita como soma de dois números complexos cujas partes real e imaginária dependem dos coeficientes da equação. Pocuremos então soluções da equação (2.4) escritas na forma x = u + v, onde u,v C. Um tal x será solução de (2.4) se e somente se (u + v) 3 + a(u + v) + b = 0. Por outro lado, ao desenvolver (u + v) 3 é facil observar que (u + v) 3 3uv(u + v) (u 3 + v 3 ) = 0. Então, se encontrarmos u e v tais que a = 3uv,b = (u 3 + v 3 ), teremos achado uma solução. Elevando ao cubo a primeira igualdade, obtemos a3 27 = u3 v 3, donde segue que u 3 e v 3 são as raízes da equação de grau dois seguinte: z 2 + bz a3 27 = 0. Esta equação chama-se a resolvente da equação 2.4.