Universidade do Algarve

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1 Universidade do Algarve Departamento de Física Problemas de Mecânica de Fluidos Orlando Camargo Rodríguez 12 de Setembro de 2005

2 Capa: Waterval (Queda d água) por: M.C. Escher 2

3 1 Hidrostática Problema 1 Determine a pressão do fluido contido numa seringa, quando uma enfermeira aplica uma força de 42 N sobre o êmbolo cujo raio é igual a 1,1 cm. Problema 2 A uma distância de 6 km do local onde foi detonada uma bomba nuclear com uma potência de 1 megaton 1, o excesso de pressão corresponde a 0,2 atm. Determine a força de impacto com que explosão atinge uma parede de área 80 m 2 (1 atm = 1, Pa). Problema 3 Um cilindro de 8 cm de diâmetro encontra-se fechado com uma tampa bem ajustada. Determine o valor mínimo de pressão que deve existir no interior do cilindro, para que um homem capaz de exercer uma força de 500 N na tampa o consiga abrir. Problema 4 Uma ventosa, com um diâmetro de 10 cm, é aplicada no tecto, para pendurar diversos objectos. Determine o valor máximo de massa que pode ser pendurada, considerando que a pressão no interior da ventosa corresponde a 1/10 da pressão atmosférica. Problema 5 Em 1654 Otto von Guericke, burgomestre de Magdeburgo e inventor da bomba de ar, fez uma demonstração perante a corte imperial em que dois grupos de oito cavalos não conseguiram separar dois hemisférios no interior dos quais foi criado o vácuo, conforme indicado na Figura No.1. (a) Mostre que a força, F, necessária para separar os dois hemisférios é dada por F = 2πR 2 p atm, em que R é o raio dos hemisférios e p atm a pressão atmosférica; (b) se R = 0, 3m e a pressão atmosférica for p atm = 1, Pa, qual a força que os grupos de cavalos teriam que exercer para separar os hemisférios? Figura No.1 Problema 6 Calcule a variação da componente hidrostática da pressão sanguínea entre a cabeça e os pés, p, de uma pessoa cuja altura é 1,83 m, assumindo que a densidade do sangue é 1, kg/m 3. Problema 7 Determine a pressão atmosférica a uma altitude de 16 km acima do nível do mar (considere que a este nível ρ a = 1,2 kg/m 3 ). 1

4 (a) Figura No.2 (b) Problema 8 Considere uma represa que retém a água a uma altura D, conforme mostra a Figura No.2(a). Suponha que a largura da represa é W. Determine a força horizontal resultante, exercida pela água sobre a represa. Problema 9 Um recipiente cilíndrico, contendo um líquido com densidade ρ, roda com velocidade angular constante ω, em torno de um eixo vertical, conforme indicado na Figura No.2(b). (a) Mostre que o gradiente de pressão na direcção radial é dado por: p r = ρω2 r. (b) Mostre que o gradiente de pressão na direcção vertical é dado por: p y = ρg. (c) Considere p = p c no eixo de rotação (r = 0); verifique que a pressão, p, em qualquer ponto da superfície livre do líquido é dada por: p = p c + ρω 2 r 2 /2. Problema 10 Um objecto cúbico de aresta L e peso no vácuo P está suspenso por uma corda num tanque aberto cheio de líquido de densidade ρ. A face supensa do cubo é paralela à superfície livre do líquido e dista desta L/2. Calcule: (a) a força total exercida na face suspensa do cubo; (b) a força total exercida na face inferior do cubo; (c) a tensão na corda. Problema 11 Uma mola, que tanto pode ser de bronze como de latão, tem uma massa de 1,26 g medida no ar e uma massa aparente de 1,11 g quando se econtra mergulhada em água. Determine o material com que a mola foi feita. 1 Um megaton corresponde a um milhar de toneladas de TNT. 2

5 Problema 12 Um bloco de madeira flutua na água com dois terços do seu volume submersos. Em óleo o mesmo bloco de madeira terá 0,9 do seu volume submerso. Determine a massa específica: (a) da madeira; (b) do óleo. Problema 13 Uma peça de ferro fundido, contendo várias cavidades, tem o peso de 270 N no ar e de 162 N na água. Qual o volume das cavidades na peça? considere a densidade do ferro como sendo 7,8 g/cm 3. Problema 14 Uma esfera oca de ferro flutua completamente imersa na água. Se o seu raio externo mede 120 cm e a densidade do ferro é 7, kg/m 3, qual é o valor do seu raio interno? Problema 15 Três estudantes, cada um de um peso de 360 N, fazem uma jangada juntando troncos, com diâmetro e comprimento 0,3 m e 1,8 m respectivamente cada um. Quantos troncos são necessários para construir uma jangada e mantê-la em flutuação? considere ρ m = 667 kg/m 3. Problema 16 Uma esfera de densidade ρ 1 é solta do fundo duma tina. A tina contém dois líquidos A e B, de densidades ρ A e ρ B, de alturas h 1 e h 2 e viscosidades desprezáveis. Sabe-se que ρ 1 = ρ A. Caracterize, calculando o valor da aceleração, o movimento da esfera no seu percurso até atingir a superfície do líquido, localizada a uma distância h 1 + h 2 em relação ao fundo da tina (ρ 1 < ρ B ). Problema 17 Um tubo em forma de U contém um líquido homogéneo. Durante um certo tempo um êmbolo faz baixar o nível do líquido num dos lados. Quando o êmbolo é retirado o nível do líquido nos dois lados oscila. Mostre que o período de oscilação é T = π 2L/g, em que L é o comprimento total do líquido no tubo. Problema 18 Determine qual deve ser a área mínima de um bloco de gelo de 0,3 m de espessura para que flutue na água suportando um automóvel de massa igual a 1100 kg. Utilize para a densidade do gelo o valor ρ g = 0,92 g/cm 3. Problema 19 A tensão num fio que suporta um bloco sólido abaixo da superfície de um líquido (de densidade maior que a do bloco) é T 0, quando o recipiente que o contém está em repouso (ver Figura No.3). Mostre que quando o recipiente sofre uma aceleração vertical, a, dirigida para cima, a tensão no fio é dada por: ( T = T a ) g. Sugestão: Considere os pesos do líquido e do bloco quando o sistema inteiro é acelerado. 3

6 Figura No.3 2 Escoamentos Problema 20 Considere V como sendo o volume de uma certa massa de fluido. O fluxo de volume, ou caudal, é definido pela razão V/ t no limite quando t tende para zero. Obtenha uma expressão para o caudal. Problema 21 O fluxo de massa é definido pela razão m/ t no limite, quando t tende para zero. Obtenha a expressão diferencial do fluxo de massa. Problema 22 Um tubo cilíndrico transporta óleo. A massa específica do óleo vale 0,85 g/cm 3. Ao passar pela secção recta do tubo, a velocidade é constante e igual a 1,2 m/s. O diâmetro do tubo vale 10 cm. Calcule: (a) o caudal; (b) o fluxo de massa. Problema 23 A mangueira de um jardim possui um diâmetro de 2 cm e está ligada a um irrigador que consiste num recipiente munido de 20 orifícios, cada um dos quais com diâmetro de 0,14 cm. A velocidade da água na mangueira vale 0,85 m/s. Calcule a velocidade da água ao sair dos orifícios. Problema 24 Considere água a escoar continuamente, com velocidade inicial v 0, através do cano de uma torneira que possui um diâmetro interno d. Determine o diâmetro do jacto de água em função da distância, h, abaixo da torneira. Despreze a resistência do ar e suponha que não se formam gotículas. Problema 25 Um gás circula continuamente no interior de um sistema de tubos. Numa certa secção recta da tubulação verificam-se os seguintes valores: ρ = 1,2 mg/cm 3, v = 0,2 m/s, A = 25 cm 2 (área da secção recta). Calcule a massa específica do gás noutra secção do sistema em que a velocidade do gás é 0,1 m/s e a área da secção recta 20 cm 2. Problema 26 Um êmbolo no interior de um tubo vertical empurra uma coluna de 0,2 m 3 de água de baixo para cima, com uma velocidade de 1 m/s. O êmbolo desloca-se até uma altura de 8 m, em relação ao nível inicial. O tubo está aberto para a atmosfera apenas na sua parte superior. O diâmetro do tubo é igual a 10 cm. (a) Qual a pressão externa, p, sobre o êmbolo? (b) Calcule a pressão dinâmica, ρv 2 /2, da água sobre o êmbolo. (c) Calcule a pressão barométrica, ρgh, exercida pela água sobre o êmbolo. (d) Determine a pressão total que a água exerce sobre o êmbolo. 4

7 Problema 27 Num oleoduto horizontal, de área transversal constante, a pressão diminui 0,34 atm entre dois pontos distanciados de 300 m. Qual a perda de energia por litro de óleo e por unidade de distância? Problema 28 A Figura No.4 mostra um líquido que se escoa através de um orifício de um tanque. O orifício encontra-se a uma profundidade h abaixo da superfície livre do líquido. (a) Calcule a velocidade do líquido que sai do orifício. (b) Se o orifício se encurvasse directamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jacto desse líquido? Figura No.4 Problema 29 Um tanque de grandes dimensões contém água até uma altura H. É feito um pequeno orifício na sua parede à profundidade h abaixo da superfície da água (ver Figura No.4). (a) Mostre que a distância x da base da parede até onde o jacto atinge o solo é dada por x = 2 h (H h). (b) Poder-se-ia ter perfurado a outra profundidade de modo a que esse segundo jacto tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade? Problema 30 A superfície superior da água num dado recipiente fica à altura H do solo. (a) Determine a que altura h do solo deve ser feito um pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base do recipiente. (b) Qual o valor desta distância máxima? Problema 31 Uma pessoa sopra ar, com a velocidade de 15 m/s, através de um dos ramos de um tubo em U, que contém água. Qual será a diferença entre os níveis da água nos dois ramos do tubo? Considere a densidade do ar igual a 1,2 kg/m 3. Problema 32 Um gás ideal flui ao longo de um tubo horizontal. Numa dada secção do tubo verifica-se que ρ 1 = 2 mg/cm 3 e que v 1 = 3 m/s, enquanto noutra secção são medidos os valores ρ 2 = 3 mg/cm 3 e v 2 = 4 m/s. Calcule a diferença de pressão entre as duas secções do tubo. 5

8 Problema 33 Um tubo de Pitot é montado na asa de um avião para determinar a velocidade do aparelho em relação ao ar, que está à temperatura de 0 C. O tubo contém álcool e indica uma diferença de altura nos níveis de 26 cm. Qual a velocidade do avião em relação ao ar? considere a densidade do álcool igual a 8, kg/m 3. Problema 34 Através de um sistema de tubos com área transversal de 4 cm 2 circula água a uma velocidade de 5 m/s. A água baixa de nível 10 m de uma forma gradual, enquanto a área dos tubos aumenta para 8 cm 2. (a) Qual a velocidade do escoamento no nível mais baixo? (b) se a pressão no nível superior for igual a 1, Pa, qual a pressão no nível mais baixo? Problema 35 Um pequeno avião tem uma área de 9,3 m 2 em cada asa. Para uma certa velocidade do ar, este escoa sobre a superfície superior da asa com velocidade igual a 49 m/s e sob a superfície inferior com a velocidade de 40 m/s. (a) Qual o peso do avião? (b) Suponha que o avião voa a velocidade constante e que os efeitos de elevação, associados à construção da fuselagem e da cauda, são pequenos. Discuta a impulsão dinâmica se o avião, voando à mesma velocidade do ar, estiver (i) em voo plano, (ii) a subir com uma inclinação de 15 e (iii) a descer com a mesma inclinação. Considere a densidade do ar igual a 1,2 kg/m 3. Problema 36 A velocidade do ar ao passar na superfície inferior de uma asa é de 100 m/s. Qual deve ser a velocidade na face superior para que a pressão da impulsão seja igual a 1, N/m 2? Problema 37 Um tubo de Venturi tem 25 cm de diâmetro enquanto no estrangulamento o diâmetro vale 12,5 cm. A pressão da água no tubo vale vale 0,54 atm e no estrangulamento vale 0,41 atm. Determine o caudal do escoamento. 6

9 Problema 38 Considere o tubo de Venturi da Figura No.5, sem o manómetro. Seja A = 5a e considere que a pressão em A é igual a 2 atm. (a) Quando a pressão p, em a, se aproxima de zero ocorre um fenómeno designado por cavitação, em que a água se evapora formando pequenas bolhas. Calcule os valores da velocidade v em A e da velocidade v em a que fariam com que a pressão p fosse igual a 0. (b) Calcule o caudal para um diâmetro do tubo em A igual a 5 cm. Figura No.5 3 Fenómenos Capilares Problema 39 Calcule a pressão no interior de uma gota líquida esférica com 2 mm de raio, sendo a pressão atmosférica 760 mmhg. Considere que a tensão superficial do líquido é γ = 72,8 dine/cm, e que a densidade (ou massa específica) do líquido é ρ = 13,6 g/cm 3. Problema 40 Qual é a pressão no interior de uma bola de sabão de raio exterior R, sendo γ a tensão superficial da solução de sabão e P 0 a pressão exterior? Problema 41 Uma bola formada de 5 mg de solução de sabão, flutua no ar quando cheia de hidrogénio. Determine o excesso de pressão, em relação à pressão atmosférica, no interior do sabão. Dados: ρ ar = 1,29 g/l, ρ H = 0,090 g/l, γ = N/m. Problema 42 Determine o trabalho requerido para aumentar o diâmetro de uma bola de sabão de 2 para 6 cm. Utilize a tensão superficial dada no problema anterior. Problema 43 Qual é a diferença de energias entre sistemas constituidos por duas gotas de mercúrio de raios 0,3 cm e 0,1 cm e o sistema que resulta da junção das duas? para o mercúrio γ = 500 dine/cm. Problema 44 Um líquido situa-se sobre uma superfície sólida, sendo o ângulo de contacto 60. A tensão superficial do líquido é de N/m e a tensão de contacto sólido-líquido é de N/m. Determine a tensão de contacto sólido-ar. 7

10 Problema 45 O trabalho de adesão entre um líquido e um sólido é de 60 erg/cm 2 e a tensão superficial do líquido é de 40 erg/cm 2. Determine o ângulo de contacto entre os dois meios. Problema 46 Um líquido de densidade 0,8 g/cm 3 eleva-se 50 cm num tubo capilar de 0,04 mm de diâmetro interior. Qual é a tensão superficial do líquido? considere que o diâmetro do menisco é igual ao diâmetro interior do tubo. Problema 47 Um tubo capilar com diâmetro interior 0,25 mm está mergulhado em água, cuja tensão superficial é de 72, N/m. A que altura se eleva a água dentro do tubo? considere que o ângulo de contacto é zero. Indique o que acontece se depois o tubo capilar continuar a ser mergulhado gradualmente na água. Problema 48 Num tubo capilar de vidro a água sobe até a altura de 9,6 cm acima do nível de água na tina. Qua altura deveria descer mercúrio no mesmo tubo sabendo-se que a tensão superficial da água é de 72 dine/cm, a do mercúrio 540 dine/cm e os ângulos de contacto são respectivamente 0 e 140. Dado: ρ Hg = 13,6 g/cm 3. 8

11 4 O sistema SI de unidades Unidades básicas Quantidade Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Temperatura kelvin K Corrente eléctrica ampere A Intensidade luminosa candela cd Quantidade de substância mol mol Unidades adicionais Ângulo plano radiano rad Ângulo sólido esteradiano sr Unidades derivadas com nome próprio Quantidade Unidade Símbolo Derivação 5 Prefixos Frequência hertz Hz s 1 Força newton N kg m s 2 Pressão pascal Pa N m 2 Energia joule J N m Potência watt W J s 1 Carga coulomb C A s Potencial eléctrico volt V W A 1 Capacidade eléctrica farad F C V 1 Resistência ohm Ω V A 1 Conductância eléctrica siemens S A V 1 Fluxo magnético weber Wb V s Densidade do fluxo magnético tesla T Wb m 2 Inductância henry H Wb A 1 Fluxo luminoso lumen lm cd sr Iluminância lux lx lm m 2 Actividade becquerel Bq s 1 Dose absorbida gray Gy J kg 1 Dose equivalente sievert Sv J kg 1 yotta Y giga G 10 9 deci d 10 1 pico p zetta Z mega M 10 6 centi c 10 2 femto f exa E quilo k 10 3 milli m 10 3 ato a peta P hecto h 10 2 micro µ 10 6 zepto z tera T deca da 10 nano n 10 9 yocto y

12 6 Relações úteis Unidades de comprimento 1 angstrom = m 1 polegada = 0,0254 m 1 pé = 0,3048 m 1 pé (USA) = 1200/3937 m 1 jarda = 0,9144 m 1 jarda (USA) = 3600/3937 m 1 milha naútica = 1852 m 1 milha terrestre = 1609,344 m 1 milha terrestre = /3937 m (USA) Unidades de área 1 acre = 4046, m 2 1 are = m 2 1 hectare = m 2 Unidades de volume 1 litro = m 3 1 barril de petróleo = 0, m 3 1 galão (USA) = 3, m 3 1 galão (UK) = 4, m 3 Unidades de massa 1 libra = 0, kg 1 onça = 0, kg 1 slug = 14, kg Unidades de pressão 1 atm = Pa 1 atmosfera técnica = 98066,5 Pa 1 metro de água = 9806,65 Pa 1 milimetro de mercúrio = /760 Pa 1 torr = /760 Pa 1 pé de água = 2989,06692 Pa 1 polegada de água = 249,08891 Pa 1 polegada de mercúrio = 3386, Pa 1 libra por polegada quadrada = 6894, Pa Unidades de força 1 dine = N 1 quilograma-força = 9,80665 N 1 libra-força = 4, N 10

13 7 Densidade de algumas substâncias ρ Substância kg/m 3 kg/dm 3 ou g/cm 3 Água Água de mar 1, ,02 Gelo 9, ,92 Alumínio 2, ,71 Ar 1,29 1, Betão 2, ,2 Bronze 8, ,8 Cobre 8, ,92 Duralumínio 2, ,79 Glicerina 1, ,26 Granito 2, ,8 Eter 7, ,71 Ferro 7, ,8 Invar 8, ,7 Irídio 2, ,4 Latão 8, ,4 Mercúrio 1, ,6 Óleo 9, ,92 Ouro 1, ,3 Petróleo 8, ,85 Prata 1, ,5 Volfrâmio 1, ,1 Zinco 7, ,14 A 20 C/293 K. 11