Rônei Sandro Vieira. Problemas elípticos com potencial que pode tender a zero no infinito

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1 Rônei Sandro Vieira Problemas elíticos com otencial que ode tender a zero no infinito Tese aresentada como arte dos requisitos ara a obtenção do título de Doutor em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração - Análise Alicada, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista, Júlio de Mesquita Filho, Câmus São José do Rio Preto. Orientador: Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos Co-Orientador: Prof. Dr. Olimio Hiroshi Miyagaki São José do Rio Preto 2013

2 Rônei Sandro Vieira Problemas elíticos com otencial que ode tender a zero no infinito Tese aresentada como arte dos requisitos ara a obtenção do título de Doutor em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração - Análise Alicada, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista, Júlio de Mesquita Filho, Câmus São José do Rio Preto. Banca Examinadora Olimio Hiroshi Miyagaki Professor Titular - UFJF - Juiz de Fora Co-Orientador Everaldo Souto Medeiros Professor Associado II - CCEN - UFPB - Paraíba German Jesus Lozada Cruz Professor Doutor - IBILCE - UNESP - São José do Rio Preto Juliana Conceição Precioso Pereira Professora Doutora - IBILCE - UNESP - São José do Rio Preto Sérgio Henrique Monari Soares Professor Livre Docente - ICMC - USP - São Carlos São José do Rio Preto 16 de setembro de 2013

3 Vieira, Rônei Sandro. Problemas elíticos com otencial que ode tender a zero no infinito / Rônei Sandro Vieira. -- São José do Rio Preto, f. : fórmulas Orientador: Waldemar Donizete Bastos Coorientador: Olimio Hiroshi Miyagaki Tese (doutorado) Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. Matemática. 2. Equações diferenciais arciais. 3. Princíios variacionais. 4. Schrödinger, Oeradores de. 5. Soluções ositivas. 6. Equações biharmônicas. I. Bastos, Waldemar Donizete. II. Miyagaki, Olimio Hiroshi. III. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. IV. Título. CDU Ficha catalográfica elaborada ela Biblioteca do IBILCE UNESP - Camus de São José do Rio Preto

4 Agradecimentos Agradeço Primeiramente a Deus, fonte e destino de toda vida, que me chamou a este doutorado e, em seu decurso, me fez ter eserança nova diante da vida e em relação a mim mesmo. Eu não vim chamar justos, e sim ecadores, ois quero a misericórdia e não o sacrifício. Mateus 13, 9. À minha Mãe, Maria Santíssima, que tantos cuidados disensou a mim neste temo difícil. Como quisera cantar, ó Maria, or que te amo. Por que teu nome dulcíssimo faz vibrar meu coração... Kelly Patrícia - Comositora Católica Infinitas graças vos damos(ou), Soberana Rainha, elos benefícios que todos os dias recebemos(i) de vossas mãos liberais... Oração da Tradição Católica Ao meu filho Pedro, or ser semre alegria e motivação ara mim. À minha mãe, Eva; meus irmãos Rodnei, Ronan, Roberta e Rodrigo; à tia Vera; à tia Vanda (in memorian), or semre me darem aoio incondicional. Ao Professor Olimio, não só elo excelente rofissionalismo com que conduziu este trabalho, mas também ela caacidade de ver minhas necessidades de aluno e de essoa. Muito obrigado, rofessor Olimio.

5 4 Ao Professor Carrião, or ter me motivado muito a voltar a estudar e me feito acreditar que eu oderia ir mais além, quando nem eu mesmo acreditava nisso. Muito obrigado também elos razeiros momentos de discussões sobre a rimeira versão deste trabalho. Ao rofessor Waldemar, or estar semre disonível e elas excelentes aulas. À Banca, elo rofissionalismo e emenho ao me dar valiosas sugestões que arimoraram meu trabalho. Ao amigo German e sua família, ela acolhida semre agradável em São José do Rio Preto, além dos auxílios como rofessor. Aos amigos do doutorado, rincialmente Valdiane (elos estudos e artigos baixados!), Rodiak e Ruikson. Aos amigos do GOU (Gruo de Oração Universitário!) de São José do Rio Preto e de Juiz de Fora, or serem semre um lugar de aoio e de acolhida. De modo articular agradeço à Rafaela, elos inúmeros momentos de oração e discernimento nas minhas dificuldades. Aos rofessores e funcionários do Ibilce. Aos amigos da reública: Marlon, Thales e Guilherme. Ao Nilson e à Janete, or todos os auxílios. À todos os amigos que semre me animaram com alavras e orações. Parte deste trabalho foi feito no Deartamento de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora. Agradeço ao Professor Sérgio Guilherme de Assis Vasconcelos, à todo o essoal do deartamento e à toda a faculdade or sua hositalidade. Aos amigos que revi e aos que conheci em Juiz de Fora e que tanto me ajudaram com alavras de ânimo. Em articular, agradeço à Sandrinha, colega de doutorado e de sala, elas inúmeras e valiosas discussões sobre as EDP s. Aos amigos do CEFET-MG, camus Divinóolis, elo aoio na obtenção da licença ara caacitação. Ao CEFET-MG e à CAPES, elo aoio financeiro.

6 Dedico este trabalho ao meu filho Pedro, alegria e motivação constantes em minha vida.

7 Resumo Neste trabalho estudamos roblemas elíticos do seguinte tio: (P ) Lu + V (x) x a u 2 u = K(x) x a f(u), em, em que V, K : R são otenciais não negativos que odem tender a zero no infinito, f : R tem crescimento subcrítico e Lu é um oerador elítico. Quando Lu é o oerador -Lalaciano com eso, isto é, Lu = L a u = div( x a u 2 u), rovamos resultados de existência de solução ositiva ara K(x) 1 em e de solução ositiva de energia mínima ara K odendo tender a zero no infinito. No rimeiro caso a técnica é baseada num argumento de truncamento, introduzido or del Pino e Felmer em [34] e usado or Alves e Souto em [10], que nos ermite uma abordagem variacional. No segundo caso, usamos novamente a abordagem variacional e o rincial argumento, usado or Alves e Souto em [11], é considerar convenientes condições de crescimento sobre os otenciais ara obter imersões comactas no esaço todo. Esta última técnica foi adatada ara obter resultados de existência de solução de energia mínima não trivial ara o oerador Lu = 2 u = ( u). Palavras chave: Soluções ositivas, Oerador de Schrödinger não degenerado, Métodos variacionais, Oerador biharmônico. 6

8 Abstract In this work we studied ellitic roblems of the following tye: (P ) Lu + V (x) x a u 2 u = K(x) x a f(u), in, where V, K : R are nonnegative otentials that can vanish at infinity, f : R has a subcritical growth and Lu is an ellitic oerator. When Lu is the weighted -lalacian oerator, namely, Lu = L a u = div( x a u 2 u), we rove existence results of ositive solution for K(x) 1 in and ositive ground state solution for the case when K may tend to zero in infinity. In the first case the technique is a truncation argument, introduced by del Pino and Felmer, in [34], and used by Alves and Souto, in [10], that allows us to use a variational aroach. In the second case, we also use the variational aroach and the main argument, used by Alves and Souto, in [11], is to consider suitable growth conditions on the otentials to obtain comact embedded in the whole sace. This last technique was adated to obtain existence of nontrivial ground state solution for oerator Lu = 2 u = ( u). Keywords: Positive solutions, Non degenerated Schrödinger oerator, Variational methods, Biharmonic oerator. 7

9 Lista de Símbolos c constante ositiva que ode mudar de valor numa sequência de desigualdades. B R = B R (0) bola aberta em centrada na origem e com raio R. ( ), ( ) convergências fraca e forte, resectivamente. L a u = div( x a u 2 u) oerador -Lalaciano com eso, sendo N a dimensão do esaço, 1 < < N e < a < N. 2 u = ( u) oerador biharmônico. ( ) 1 u L (Ω) = u dx, ara 1 <, Ω Ω u : Ω R. e uma função mensurável u = u L ( ) L (Ω) = { u : Ω R : u L (Ω) < }, ara Ω. ( ) 1 u L a (A) = x a u, ara 1 <, A e uma função mensurável A u : A R. L a(a) = { u : A R : u L a (A) < }. ( ) 1 u L K,a (A) = K(x) x a u, ara 1 <, A, K : R, A K(x) > 0 em e uma função mensurável u : A R. } L K,a {u (A) = : A R : u L K,a (A) <. Para a = 0 usamos L K (A). { } L a ( ) = u : R, mensurável : su ess x a u <. 8

10 9 C 0 ( ) esaço de funções de classe C e de suorte comacto em. Ω é um conjunto aberto. Da 1, (Ω) = {u : Ω R : x a u L (Ω) e x a u L (Ω)}. Para Ω = odemos dizer que Da 1, ( ) é o fecho de C0 ( ) em relação à norma ( ) 1 u = x a u dx. ( ) 1 Da,0(B 1, 1 ) fecho de C0 (Ω) em relação à norma u = x a u dx. Ω D 2,2 ( ) = {u : R : u L 2 ( ) e u L 2 ( )}. Wa m, (Ω) = {u L a(ω) : D α u L a(ω), α m}. Aqui α = (α 1,..., α N ) é um multi-índice. 2 = 4N N 4 exoente crítico ara a imersão do esaço W 2,2 (Ω) em L q (Ω), Ω. := (a, e) = N N d exoente crítico de Hardy-Sobolev com N a dimensão do esaço, 1 < < N, d = 1 + a e, a e a + 1 e < a < N. dual (ou conjugado) de, dado ela condição = 1 ara todo > 1. o n (1) termo que tende a zero quando n. χ [s0,s 1 ] função característica ara o intervalo [s 0, s 1 ] R. ω N volume da bola unitária N-dimensional. u + = max{0, u}, u = max{0, u}. q.s. quase semre, isto é, a menos de um conjunto de medida nula.

11 Sumário 1 Introdução Problema (P 1) Problema (P 2) Problema (P 3) Solução ara o roblema (P 1) O Problema inicial (P 1) e o roblema auxiliar (P A) Uma solução ara o roblema (P A) Prova do Teorema Solução ara o roblema (P 2) Resultados reliminares Resultados de comacidade Prova do Teorema Solução ara o roblema (P 3) Resultados reliminares Resultados de comacidade Prova do Teorema A 97 A.1 Proriedades dos esaços A.2 Oeradores diferenciáveis A.3 Resultados de convergência

12 A.4 Resultados gerais Bibliografia 113

13 Caítulo 1 Introdução Neste trabalho estudamos equações elíticas não lineares do seguinte tio: (EE) Lu + V (x) x a u 2 u = K(x) x a f(u), em, em que Lu ode ser o oerador -Lalaciano com eso, isto é, Lu = L a u = div( x a u 2 u), ou ainda, o oerador biharmônico, isto é, Lu = 2 u = ( u). f : R é uma não linearidade com crescimento subcrítico e V, K : R são otenciais que odem tender a zero no infinito. Como os oeradores envolvidos são elíticos, nos referiremos à (EE) como equação elítica. À equação (EE) associamos o que chamamos de roblema elítico (P ), que ode focar diversas questões a reseito de suas soluções, tais como, existência, multilicidade, taxas de decaimento e mudança de sinal, entre outras. Porém, a rimeira questão a ser resondida é a da existência e é a esta que nos roomos em todo este trabalho. Nessa tese estudamos três roblemas obtidos a artir da equação (P ). Em cada um dos três subseqüentes Caítulos deste trabalho aresentamos um desses roblemas com suas características esecíficas e seu resultado. Assim, a artir de agora, fazemos um detalhamento de cada um deles e mostramos seus resectivos resultados. 12

14 Problema (P 1) Primeiramente, considerando K(x) 1 em, temos o seguinte roblema elítico quase linear: (P 1) L a u + V (x) x a u 2 u = x a f(u), em, u 0, em ; u D 1, a ( ), em que 1 < < N, < a < N, a e a + 1, d = 1 + a e, := (a, e) = N N d denota o exoente crítico de Hardy e Sobolev, V : R é um otencial não negativo, limitado, que tende a zero no infinito e f : R R é uma função contínua com crescimento subcrítico. Suomos que V : R é uma função contínua verificando: (V 11 ) V (x) 0, ara todo x. (V 12 ) Existe Λ > 0 e r 1 > 1 tal que inf V (x) x d 2 [N (a+1)] ( 1)(N d) Λ. x >r 1 Um exemlo ara este tio de otencial é dado or: Exemlo Dado Λ > 0, defina o otencial V or 0, se x r 1 V (x) = Λr d 2 [N (a+1)] ( 1)(N d) ( x r + 1), se r 1 < x r Λ x d 2 [N (a+1)] ( 1)(N d), se x r, Também suomos que f : abaixo, com 1 < < N e := (a, e) = (f 11 ) lim su s 0 + R é uma função contínua e satisfaz as condições N N d. sf(s) s <. (f 12 ) Existe (, ), tal que lim su s sf(s) s <. (f 13 ) f(s) = 0, ara todo s 0.

15 14 (f 14 ) Existe θ > tal que 0 < θf (s) sf(s), ara todo s > 0. Exemlo Um exemlo de uma função f que satisfaz as condições acima é dado or f(s) = 0, se s 0, s q 1, se 0 < s < 1, s 1, se s 1, com q > e dado or (f 12 ). Equações envolvendo o oerador -Lalaciano aarecem em muitos roblemas de difusão não linear. Por exemlo, em ótica não linear, física dos lasmas, física da matéria condensada e na modelagem de roblemas em fluidos não Newtonianos. Para mais informações de cunho físico indicamos [36]. Para vermos alguns roblemas realcionados, consideremos rimeiramente o caso a = 0, isto é, Lu é o oerador -Lalaciano, e o otencial limitado inferiormente or uma constante ositiva V 0 > 0. Para = 2 citamos [2, 7, 8, 17, 22] e suas referências. Em [34], além das hióteses acima, os autores consideraram uma condição local, a saber, min V < min V, x Ω x Ω em que Ω é um conjunto limitado, em vez da condição global imosta or Rabinowitz em [60]. Para 2 veja [4, 9, 69, 70]. Ainda com a = 0, consideremos o imortante caso de massa zero ara V, isto é, lim V (x) = 0. x Quando = 2 citamos [14, 15, 20] e o recente artigo [10] de Alves e Souto. Tomemos agora o caso a 0 e o otencial limitado inferiormente or uma constante ositiva V 0 > 0. Neste caso, a equação surge em roblemas de existência de ondas estacionárias ara a equação anisotróica de Schrödinger (veja [65]) e em outros roblemas (or exemlo, veja [22, 37]). Citamos [65] ara = 2; e, [16, 51] ara 2. Para o caso V 0, indicamos [29], ara = 2 e a 0 e [54], ara 2 e a = 0.

16 15 A nossa contribuição ara este roblema é a extensão do resultado obtido em [10], com = 2 e a = 0, ara o caso em que 1 < < N e < a < N. A rimeira grande dificuldade ara esta extensão é mudança de estrutura no esaço. Em [10], a resença da estrutura Hilbertiana e imersões comactas fornecem a convergência do gradiente. No caso estudado aqui, com a ausência desta estrutura, não obtivemos esta convergência tão diretamente. Para transor este roblema usamos um resultado encontrado em [17, 39] cujas ideias vêm de [23, 41], quando o domínio é limitado e suave. Ainda em função desta mudança de estrutura tivemos que fazer novas estimativas. Outra dificuldade surgiu ela resença dos termos singulares no roblema. Isso nos forçou a obter estimativas mais refinadas e ara as quais o rincial ingrediente é a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg (veja [26]). Agora, afirmarmos o resultado ara o roblema (P 1). Teorema Suonha que V e f satisfaçam, resectivamente, (V 11 ), (V 12 ), (f 11 ), (f 12 ), (f 13 ) e (f 14 ). Então, existe uma constante Λ = Λ (V, θ,, c 0 ) > 0 tal que o roblema (P 1) tem uma solução não negativa de energia crítica, ara todo Λ Λ, sendo V o máximo de f no fecho de B 1. Além disso suonha que (f 12 ) Existe c > 0 tal que a = (a + 1) c e Então a solução é ositiva. < < min{ N N ; + c N (a + 1) }. Este resultado encontra-se ublicado em [18] or Bastos, Miyagaki e Vieira. Estudaremos o roblema (P 1) no Caítulo 2 e nele definiremos o conceito de energia crítica. 1.2 Problema (P 2) Agora trabalhamos com a condição K(x) 1 em e examinamos o seguinte roblema: (P 2) L a u + V (x) x a u 2 u = K(x) x a f(u), em, u 0, em, u D 1, a ( ),

17 em que N 3, 1 < < N, < a < N, a e a + 1, d = 1 + a e, := (a, e) = N N d denota o exoente crítico de Hardy-Sobolev, V, K : RN R são otenciais ositivos contínuos, K tende a zero no infinito, f : R R é de classe C 1 ( ) e tem crescimento subcrítico. Suomos que V, K : R são funções ositivas contínuas satisfazendo: 16 (K 20 ) V (x), K(x) > 0, em e K L ( ) L a ( ) L 1 a( ). (K 21 ) K/V L ( ). (K 22 ) Existe α (, ), tal que lim x K(x) V (x) α = 0. Usamos a notação (V, K) H 1 ara exressar que V e K satisfazem (K 20 ) e (K 21 ). Uma hiótese alternativa é considerar V e K satisfazendo (K 20 ) e (K 22 ), ara o que usamos a notação (V, K) H 2. Para termos um exemlo, considere que V é uma constante ositiva e que K seja dado or x a, se x 1 K(x) = x a e a ( x 1), se x > 1, com 0 a < N. Assim, o ar (V, K) satisfaz H 1 e H 2. Para o caso < a < 0 é suficiente considerar com b > 0. x b, se x 1 K(x) = x a e a ( x 1), se x > 1, Suomos que f : R é de classe C 1 ( ) e satisfaz as condições abaixo, com 1 < < N e := (a, e) = N N d. (f 21 ) lim su s 0 sf(s) s = 0. (f 22 ) Existe (, ), tal que lim su s sf(s) s = 0.

18 17 (f 23 ) f(s) = 0, ara todo s 0. (f 24 ) lim su s F (s) s =. (f 25 ) s ( 1) f(s) é uma função crescente em s (0, ). Lembramos que a condição (f 24 ) é mais fraca do que a usual condição de Ambrosetti e Rabinowitz, a saber, (AR) existe θ > tal que 0 < θf (s) sf(s), ara todo s > 0. A condição (AR) é muito imortante ara assegurar que o funcional de Euler e Lagrange associado ao roblema (P 1) tem a geometria do asso da montanha e também ara garantir que a sequência de Palais-Smale deste funcional é limitada. Porém, uma vez que esta condição é muito restritiva, muitos esquisadores têm tentado substituí-la. Observe que a função f(s) = s 1 (1 + lns ) satisfaz (f 24 ) e não satisfaz (AR). Indicamos [53] e suas referências ara mais informações sobre este tema. Exemlo Um exemlo de uma função f que satisfaz as condições acima é dado or f(s) = 0, se s 0, s q 1, se 0 < s < 1, s 1, se s 1, com q > e dado or (f 22 ). Para vermos alguns roblemas relacionados, tomemos V (x) V 0 > 0. Para a = 0, citamos [19, 31, 32, 48, 56, 60] e, ara a 0, [65]. Ainda neste caso, com a = 0 e = 2, destacamos o trabalho de Wang e Zeng, em [66]. Eles consideraram f(s) = s 1 s e K(x) > 0 em, estudaram o fenômeno de concentração de soluções de energia mínima e mostraram que elas concentram-se num onto no meio termo entre os vales de V e os icos de K.

19 Sirakov, em [63], usou uma condição que ermite o otencial se anular num conjunto de medida finita e não usou a condição (f 25 ) sobre a não linearidade. Considerando K tendendo a zero no infinito e V no caso de massa zero, isto é, lim V (x) = 0, x citamos [14, 15] e os recentes artigos [12, 11], ara a = 0, e [29], ara a 0. Finalmente, considerando os casos K limitado inferiormente or uma constante ositiva e K ilimitado sueriormente, ainda no caso de massa zero, temos os artigos [12] e [29], resectivamente. Até onde sabemos, o artigo [11], com a = 0 e = 2, é o melhor resultado ara otenciais V e K e uma não linearidade f gerais. 18 Sobre ele se fundamenta o nosso trabalho e, or isso, fazemos agora um breve esboço das rinciais ideias dele. Com o objetivo de obter a geometria do asso da montanha, os autores, em [11], usaram condições de crescimento subcrítico sobre f, além de uma condição esecífica sobre sua rimitiva F. Eles imuseram convenientes condições sobre V e K ara conseguir uma desigualdade do tio Hardy e, com isto, conseguiram uma convergência forte no esaço todo. De fato, eles assumiram a condição existe α (2, 2 ), com 2 = 2N, tal que N 2 lim x K(x) V (x) 2 α 2 2 = 0 ara obter uma imersão comacta de E D 1,2 ( ) em L q K (RN ), sendo 2 < q < 2. Com esta ferramenta, eles uderam suerar a erda de comacidade na imersão de Sobolev no esaço todo, que é uma das grandes dificuldades deste tio de roblema. Em [49] foi usada uma condição muito semelhante àquela usada em [11], a saber, existe α [, ), com = N, tal que N lim su K(x) r x \B r V (x) α = 0, com o objetivo de obter a imersão comacta de E D 1, ( ) em L σ K (RN ) com σ <. A nossa contribuição ara o roblema (P 2) é a extensão, elo menos arcial, do resultado obtido em [11], com = 2 e a = 0, ara o caso em que 1 < < N e < a < N. Da mesma forma que no roblema anterior, enfrentamos a dificuldade da

20 erda da estrutura Hilbertiana do esaço com a conseqüente dificuldade de obtenção da convergência do gradiente e a necessidade de obtenção de novas estimativas. Isso foi suerado do mesmo modo que no roblema anterior. Porém, a técnica emregada aqui nos trouxe uma nova dificuldade: a necessidade de relacionar os crescimentos dos otenciais V e K e da não linearidade f com o crescimento dos termos singulares. Para suerar isto tivemos que suor condições que imuseram restrições tanto nos otenciais como na não linearidade. Isso exlica a arcialidade da extensão do resultado. Agora, afirmamos o resultado ara o roblema (P 2). Teorema Suonha (f 21 ), (f 22 ), (f 23 ), (f 24 ), (f 25 ) e (V, K) H 1 ou (V, K) H 2. Então, o roblema (P 2) tem uma solução não trivial, não negativa e de energia mínima. Além disso suonha que (f 12 ) Existe c > 0 tal que a = (a + 1) c e < < min{ N N ; + c N (a + 1) }. Então a solução é ositiva. No caso não singular (a = 0) odemos trocar (f 22 ) or (f 22 ) lim su s sf(s) s = 0 e obter o mesmo resultado. Também aqui temos a ositividade da solução se satisfizer a condição (f 12 ). Estudaremos o roblema (P 2) no Caítulo 3 e nele definiremos o conceito de energia mínima Problema (P 3) Dando continuidade à analise do comortamento dos otenciais em roblemas elíticos, estudaremos a ação de V e K no seguinte roblema elítico com o oerador biharmônico em : (P 3) 2 u + V (x)u = K(x)f(u), em, u 0, em, u D 2,2 ( ),

21 20 em que N 5, V, K : R são funções contínuas ositivas, K ode tender a zero no infinito e f : R R é uma função de classe C 1 (R) com crescimento subcrítico. Suomos que V e K satisfazem as seguintes condições: (K 30 ) V (x), K(x) > 0 em e K L ( ) L 1 ( ). (K 31 ) K/V L ( ). (K 32 ) Existe α (2, 2 ), com 2 = 4N, tal que N 4 lim x K(x) V (x) 2 α 2 2 = 0. Usamos a notação (V, K) H 1 ara exressar que V e K satisfazem (K 30 ) e (K 31 ). Uma hiótese alternativa é considerar V e K satisfazendo (K 30 ) e (K 32 ), ara o que usamos a notação (V, K) H 2. Um exemlo ara funções V e K satisfazendo as condições acima é dado elas seguintes funções. Seja V uma constante ositiva e K dado or e, se x 1 K(x) = e x, se x > 1. Assim, é fácil ver que (V, K) H 1 e (V, K) H 2. Suomos que a função f é de classe C 1 ( ) e satisfaz (f 31 ) lim su s 0 (f 32 ) lim su s sf(s) s 2 = 0. sf(s) s 2 = 0. (f 33 ) f(s) = 0, ara todo s 0. (f 34 ) lim su s F (s) s 2 =. (f 35 ) s 1 f(s) é uma função não decrescente em s (0, ). Lembramos que a condição (f 34 ) é mais fraca que a condição de Ambrosetti e Rabinowitz, a saber, (AR) existe θ > 2 tal que 0 < θf (s) sf(s), ara todo s > 0.

22 21 Por exemlo, a função f(s) = s(1+lns 2 ) satisfaz (f 34 ) e não satisfaz (AR). Aqui odemos fazer as mesmas observações do roblema anterior quanto à relação das condições (AR) e (f 34 ). Exemlo Um exemlo de uma função f que satisfaz as condições acima é dado or com > 2 e 2 < q < 2. f(s) = 0, se s 0, s 1, se 0 < s < 1, s q 1, se s 1, Equações com o oerador biharmônico em domínios limitados surgem no estudo de ondas viajantes em ontes susensas e no estudo de deflexão estática de uma laca elástica num fluido (veja [68] e suas referências). Para o roblema (P 3), com K 1 e V constante num domínio limitado citamos, or exemlo, [38]. Vamos citar brevemente alguns resultados sobre o oerador biharmônico em regiões ilimitadas. Já é bem conhecido que a equação não linear de Schrödinger com termos adicionais contendo derivadas de maior ordem está roximamente relacionada com o auto foco de ondas Whistler em lasmas na fase final. Num meio isotróico esta equação tem a forma i Ψ z S Ψ + λ 2 Ψ + µ Ψ 2 Ψ = 0, em que o termo com 2 descreve a contribuição da disersão de ordem suerior (veja [45]). Também sabemos que a equação não linear de Schrödinger de quarta ordem foi introduzida or Karman, em [46], e or Karman e Shagalov, em [47], ara considerar o ael dos termos de quarta ordem de equena disersão na roagação de feixes de laser intenso num meio de grandes quantidades com não linearidade do tio Kerr (veja [57]). Voltando nossa atenção ara a equação de Schrödinger biharmônica com otenciais em domínios ilimitados, citamos o trabalho [54] em que foi considerado V 0 e K um otencial radial não negativo tendendo a zero no infinito. Em [54] os autores obtiveram a existência de soluções radiais ositivas. Alves, Do Ó e Miyagaki, em [5], tomaram o otencial V não negativo e a não linearidade com dois otenciais não negativos.

23 Considerando a eriodicidade dos otenciais, os autores obtiveram existência de soluções. Em [5] foram consideradas equenas erturbações dos otenciais e foi obtida existência de soluções. Os mesmos autores, em [6], usaram um otencial V que muda de sinal com alguns ontos de singularidades. Chabrowski e Do Ó, em [30], suuseram que K é um otencial contínuo limitado, variando o sinal e V é um otencial não ositivo. Em [30], foi obtido a existência de duas soluções. Gazzola e Grunau, em [40], consideraram K 1 e V 0 ara investigar existência, unicidade, comortamento assintótico e roriedades qualitativas osteriores de soluções radiais. Wang e Shen, em [62], tomaram o otencial V 0 e a não linearidade com um otencial não negativo, no caso de crescimento subcrítico; e um otencial não negativo que tende a zero no infinito, no caso de crescimento crítico. Com uma desigualdade de Hardy e Rellich melhorada, em [62] os autores estudaram a existência de múltilas soluções com mudança de sinal elos métodos minimax e teoremas de linking. Carrião, Demarque e Miyagaki, em [28], consideraram K 1 e V radial tendendo a zero no infinito ara conseguir existência de soluções radiais. Finalmente, Pimenta e Soares, em [58], estudaram o fenômeno de concentração ara o roblema (P 3) com K 1 e V satisfazendo a seguinte roriedade: existe um domínio limitado Ω tal que 0 < V (x 0 ) = V 0 = inf V < inf Ω V. Como a discussão acima mostra, os tios de otencial afetam a existência e as características das soluções. A nossa contribuição ara o roblema (P 3) é conseguir existência de solução de energia mínima ara otenciais e não linearidade sob hióteses comlementares. De fato, o resultado ara o roblema (P 3) estende o resultado de Demarque e Miyagaki, em [35], ara otenciais V e K não radiais. Ele estende também o resultado de Alves e Do Ó, em [3], ara otenciais e não linearidade mais gerais. Além disso, o resultado de Alves e Souto, em [11], é obtido ara o oerador biharmônico sob hióteses comlementares. Neste trabalho usamos uma técnica análoga àquela usada or Alves e Souto, em [11]. De fato, com o objetivo de obter a geometria do asso da montanha, usamos condições de crescimento subcrítico em f, agora envolvendo derivadas de segunda ordem e uma 22

24 23 condição esecífica sobre a sua rimitiva F. Também suomos convenientes condições sobre V e K ara conseguir uma desigualdade do tio Hardy e, com isto, conseguimos uma convergência forte no esaço todo. De fato, suomos as condições (K 31 ) ou (K 32 ) ara conseguir a imersão comacta de E D 2,2 ( ) em L q K (RN ) com 2 < q < 2. Com esta ferramenta, udemos transor a erda de comacidade na imersão de Sobolev no esaço todo, que é uma das grandes dificuldades deste tio de roblema, de modo que esse é um resultado crucial do nosso trabalho. Agora afirmamos o resultado ara o roblema (P 3). Teorema Suonha (V, K) H 1 ou (V, K) H 2, (f 31 ), (f 32 ), (f 33 ), (f 34 ) e (f 35 ). Então o roblema (P 3) tem uma solução não trivial de energia mínima. Estudaremos o roblema (P 3) no Caítulo 4 e nele definiremos o conceito de energia mínima.

25 Caítulo 2 Solução ara o roblema (P 1) Neste Caítulo aresentaremos uma solução não trivial, não negativa e de energia crítica ara o roblema (P 1), termo que será definido no começo da segunda seção. Além disso, mostraremos uma outra condição sobre, dado em (f 12 ), com a qual teremos a ositividade da solução. 2.1 O Problema inicial (P 1) e o roblema auxiliar (P A). Para o conforto do leitor rearesentamos aqui tanto o roblema (P 1) quanto as hióteses sobre V e f. L a u + V (x) x a u 2 u = x a f(u), em, (P 1) u 0, em ; u Da 1, ( ), em que 1 < < N, < a < N, a e a + 1, d = 1 + a e, := (a, e) = N N d denota o exoente crítico de Hardy e Sobolev. Suomos que V : R é uma função contínua verificando: (V 11 ) V (x) 0, ara todo x. (V 12 ) Existe Λ > 0 e r 1 > 1 tal que inf V (x) x d 2 [N (a+1)] ( 1)(N d) Λ. x >r 1 24

26 25 Também suomos que f : abaixo, com 1 < < N e := (a, e) = (f 11 ) lim su s 0 + R é uma função contínua e satisfaz as condições N N d. sf(s) s <. (f 12 ) Existe (, ), tal que lim su s sf(s) s <. (f 13 ) f(s) = 0, ara todo s 0. (f 14 ) Existe θ > tal que 0 < θf (s) sf(s), ara todo s > 0. Observação Das condições sobre f odemos encontrar valores c > 0 tais que 0 sf(s) c s, ara todo s R. (2.1) 0 sf(s) c s, ara todo s R, com (, ) dado em (f 12 ). (2.2) Desejamos encontrar uma solução ara o roblema (P 1) através de um método variacional. Isto significa que estamos rocurando suas soluções entre os ontos críticos de um funcional definido num conveniente esaço E. O funcional adequado aos nossos roósitos é o funcional de Euler e Lagrange, dado or I(u) = 1 x a u dx + V x a u dx sendo F (s) = s 0 f(t)dt. x a F (u)dx, (2.3) A rimeira reocuação que devemos ter é com a boa definição deste funcional, isto é, devemos garantir que as três integrais acima sejam finitas. Para garantir que a rimeira integral seja finita, num rimeiro momento, escolhemos E como sendo o fecho de C0 ( ) ( ) 1 em relação à norma u = x a u dx, em símbolos, ( ) 1 E = C0 ( )., com u = x a u dx.

27 26 Pelo Lema A.1.1, temos que E = D 1, a ( ) = {u : R : x a u L ( ) e x a u L ( )}. Imondo a condição de crescimento subcrítico ara f, feito com as hióteses (f 11 ) e (f 12 ), temos as estimativas (2.1) e (2.2). Com (2.1) odemos dizer que existe c > 0 tal que x a F (s) c x a s, ara todo s R e x. (2.4) Para os arâmetros N 3, 1 < < N, < a < N, a e a + 1, d = 1 + a e e := (a, e) = N, temos a imortante desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg N d ( x a u dx ) S x a u dx, (2.5) (veja [26]). Por (2.4) e (2.5) temos a finitude da terceira integral, ois x a F (s)dx c x a ( ) u dx c S x a u dx <. Agora, ara garantir que a segunda integral seja finita, restringimos nosso esaço àquelas funções u que têm esta roriedade, isto é, a artir de agora consideramos que { } E = u Da 1, ( ) : V x a u dx <, (2.6) de modo que o funcional I : E R está bem definido. Uma outra reocuação que devemos ter com o funcional é quanto à sua difenciabilidade. Mas, como visto no Lema A.2.1, das hióteses sobre f, segue que I é de classe C 1 (E) com derivada de Gâteaux I (u)v = x a u 2 u v + V x a u 2 uvdx ara todos u, v E. A Hiótese (V 11 ) nos ermite considerar o esaço E com norma ( u = x a u + V x a u dx x a ) 1. f(u)vdx, Como desejamos encontrar uma solução usando o Teorema do Passo da Montanha, recisamos seguir alguns assos e, ara melhor entendê-los, fazemos duas definições.

28 27 Definição Dizemos que uma sequência de funções (u n ) é uma sequência de Palais e Smale, abreviadamente sequência (P S), ara o funcional Φ, no nível c, se Φ(u n ) c e Φ (u n ) 0. Definição Dizemos que o funcional Φ é de Palais e Smale se toda sequência (P S) ara Φ ossui uma subsequência que converge forte. O rimeiro asso que devemos dar é verificar que o funcional I satisfaz a geometria do asso da montanha ara conseguirmos a existência de uma sequência (P S). No segundo asso, mostramos que uma tal sequência é limitada, o que, junto com a reflexidade do esaço, nos garante a existência de u E tal que u n u. No terceiro asso, rovamos que o funcional é de Palais e Smale. Em outras alavras, devemos mostrar que existe uma subsequência, renomeada (u n ), tal que u n u. A rova deste terceiro asso não ocorre diretamente e isso acontece, essencialmente, devido ao fato de não termos a imersão comacta de Sobolev em domínios ilimitados. Para vermos isso com detalhes, observamos que, tomando (u n ), uma sequência (P S) limitada, temos I (u n )u n 0 e I (u n )u 0, de modo que x a u n + V x a u n dx x a f(u n )u n dx = o n (1), (2.7) e x a u n 2 u n u+v x a u n 2 u n udx x a f(u n )udx = o n (1). (2.8) Desta forma, vemos que a convergência de u n está relacionada com a convergência das outras integrais resentes nas duas equações acima. Agora, suonhamos que, de algum modo, conseguíssemos rovar as seguintes afirmações: A1 A2 f(u n )u n dx f(u)udx. x a x a f(u n )udx f(u)udx. x a x a

29 A3 A4 V x a u n 2 u n udx V x a u dx. x a u n 2 u n udx x a u dx. 28 Usando A1 e a equação (2.7), teríamos lim su u n = n x a f(u)udx. (2.9) Usando A2, A3 e A4 e assando o limite na equação (2.8) conseguiríamos u = x a u + V x a u dx = Pelas duas equações anteriores teríamos x a f(u)udx. (2.10) u n u, e este terceiro asso seria atingido. Provar as afirmações A1, A2, A3 e A4 numa bola B r é ossível usando o Teorema da Convergência Dominada e a imortante imersão comacta de Sobolev, em domínios limitados. Mas, no comlementar da bola, B c r, não temos a imersão comacta e não conseguimos rovar as convergências, assim diretamente. Para contornar este roblema, a ideia, introduzida or del Pino e Felmer, em [34], e usada or Alves e Souto, em [10], foi definir uma nova não linearidade, chamada g(x, u), a artir de um conveniente truncamento em f(u) de modo que a integral de g(x, u) udesse ser comarada com a norma de u, em B c r, onde não temos a comacidade. Uma boa motivação ara esta comaração é o fato de que a norma de u em B c r é arbitrariamente equena desde que r seja suficientemente grande. Para fazer esta comaração foi introduzido o seguinte truncamento da função f. Tomando θ, dado ela condição (f 14 ), considere k = θ θ >, r > 1 e defina f(t), se x r, g(x, t) = f(t), se x > r e f(t) V k t 2 t, (2.11) V k t 2 t, se x > r e f(t) > V k t 2 t.

30 29 Assim, temos x a g(x, t) = x a f(t), se x r, x a f(t), se x > r e f(t) V k t 2 t V k x a t 2 t, se x > r e f(t) > V k t 2 t. (2.12) Com esta nova não linearidade definimos o roblema auxiliar: L a u + V (x) x a u 2 u = x a g(x, u), em, (P A) u 0, em ; u Da 1, ( ). (2.13) Associado ao roblema (P A), definimos em E o funcional de Euler e Lagrange J(u) = 1 x a u + V x a u dx x a G(x, u)dx = 1 u G(x, u)dx, x a (2.14) sendo G(x, s) = s g(x, t)dt. Das hióteses sobre g segue, elo Lema A.2.1, que J é de 0 classe C 1 (E) com derivada de Gâteaux dada or J (u)v = x a u 2 u v + V x a u 2 uvdx ara todos u, v E. x a g(x, u)vdx, 2.2 Uma solução ara o roblema (P A) Nesta seção mostramos que o roblema (P A) tem uma solução não negativa e de energia crítica. Para sermos mais recisos fazemos agora sua definição. Definição Dizemos que u é solução de energia crítica ara (P A) se u satisfaz com J definido em (2.14) e c dado or J(u) = c, (2.15) c = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t))

31 30 com Γ = {γ C([0, 1], E) : γ(0) = 0 e γ(1) = e}. c é dado elo Teorema do Passo da Montanha (A.3.1) e é chamado nível minimax ara o funcional J. Além deste, definimos também outro nível minimax chamado c. Para isso, consideramos V o máximo de f no fecho de B 1 e definimos, no esaço D 1, a,0(b 1 ), tanto a norma ( ) 1 u = x a u + V x a u dx, B 1 como o funcional I 0 dado or I 0 (u) = 1 x a u + V x a u dx F (x, u)dx B 1 B 1 = 1 u F (u)dx. B 1 x a Lema Suonha (V 11 ), (f 11 ), (f 12 ) e (f 14 ). Então o funcional I 0 satisfaz a geometria do asso da montanha, a saber, 1. Existem α 0, ρ 0 > 0 tais que I 0 (u) α 0 ara u = ρ Existe e 0 D 1, a,0(b 1 ) tal que e 0 > ρ 0 e I 0 (e 0 ) 0. Demonstração. Passo 1: Usando o crescimento de f, dado em (2.1), e a desigualdade (2.5) encontramos B 1 x a F (u)dx B 1 c x a ( ) u dx c x a u dx B 1 ( c x a u + V x a u dx B 1 c u, ) de modo que I 0 (u) = 1 u F (u)dx 1 u c u. B 1 x a Uma vez que >, existe ρ 0 tal que α 0 := 1 ρ 0 cρ 0 > 0. Assim, temos I 0 (u) α 0 ara u = ρ 0.

32 31 Passo 2: Por (f 14 ) segue que existe θ > e c > 0 tal que F (s) c s θ (veja A.4.2). Tomando u 0 C0 (B 1 \ {0}) odemos dizer que I 0 (tu 0 ) = 1 tu 0 F (tu 0 )dx t u 0 t θ c u 0 θ dx x a x a B 1 B 1 Como θ > existe t 0 suficientemente grande tal que, tomando e 0 = t 0 u 0, temos I 0 (e 0 ) < 0 e e 0 > ρ 0. Lema Suonha (V 11 ), (f 11 ), (f 12 ) e (f 14 ). Então o funcional J satisfaz a geometria do asso da montanha, a saber, 1. Existem ρ 1, α 1 > 0 tais que J(u) α 1 for u = ρ Existe e 1 E tal que e 1 > ρ 1 e J(e 1 ) 0. Demonstração. Passo 1: Da definição de G temos x a G(x, u)dx x a F (u)dx. Assim, de modo análogo ao Lema anterior, temos J(u) α 1 := 1 ρ 1 cρ 1 > 0 ara u = ρ 1. Passo 2: Tome o mesmo u 0 da rova do Lema anterior. Assim, u 0 E e G(x, u 0 ) = F (u 0 ), ois u 0 0 em B1. c Pelo mesmo argumento do Lema anterior, temos J(tu 0 ) t u 0 t θ c u 0 θ dx. Como θ > existe um t 1 suficientemente grande tal que, tomando e 1 = t 1 u 0, temos J(e 1 ) < 0 e e 1 > ρ 1. Note que é ossível tomar t tal que e = tu 0 satisfaz aos dois Lemas anteriores. Isto nos garante a boa definição dos níveis minimax c e c dados or c = inf max J(γ(t)) com Γ = {γ C([0, 1], E) : γ(0) = 0 e γ(1) = e} γ Γ t [0,1] e c = inf γ Γ max t [0,1] I 0(γ(t)) com Γ = {γ C ( [0, 1], D 1, a,0(b 1 ) ) : γ(0) = 0 e γ(1) = e}. Como J(u 0 ) I 0 (u 0 ) em D 1, a,0(b 1 ), temos c c, (2.16)

33 32 or suas definições. Agora, usando o Lema acima junto com o Teorema do Passo da Montanha (veja A.3.1) concluímos que existe (u n ), uma sequência (P S) for J, no nível minimax c, isto é J(u n ) c e J (u n ) 0. Lema Suonha (V 11 ), (f 11 ), (f 12 ) e (f 14 ) e seja (u n ) uma sequência (P S) ara o funcional J. Então (u n ) é limitada em E. Demonstração. Defina A = {x : x r ou f(u(x)) V (x) k u(x) 2 u(x)}. Pela definição de G, temos que G(x, u) = F (u), em A, de modo que, usando (f 14 ), concluímos que existe θ > tal que G(x, u) + 1 ug(x, u) 0, em A. Assim, θ 1 x a u + V x a u dx x a G(x, u)dx A A ( 1 x a u + V x a u dx θ A A ( 1 1 ) x a u + V x a u dx θ A ( 1) x a u + V x a u dx. k A ) x a g(x, u)udx (2.17) Agora, considere B = A c = {x : x > r e f(u(x)) > V (x) k u(x) 2 u(x)}. V (x) Pela definição de G, temos x a a g(x, u)udx = x k u 2 uudx > 0 e x a G(x, u) = V k x a u dx, em B. Então B B

34 33 1 x a u + V x a u dx x a G(x, u)dx B B 1 ( ) x a u + V x a u dx x a g(x, u)udx θ 1 k 1 k B B B 1 k x a u + V x a u dx x a u + V x a u dx ( 1) k B x a u + V x a u dx B x a u + V x a u dx. B B V k x a u dx (2.18) Combinando as desigualdades (2.17) e (2.18) temos J(u) 1 θ J (u)u ( 1) u. k Em articular, a equação acima vale ara (u n ) e temos J(u n ) 1 θ J (u n )u n ( 1) u n. k Por outro lado, temos J(u n ) c, θ > > 1 e J (u n ) un u n 0, uma vez que J (u n ) 0. Assim, conseguimos J(u n ) 1 θ J (u n )u n M + 1 θ u n M + u n, ara alguma constante M > 0. Então, temos ( 1) u k n M + u n, que ode ser reescrito or u n ( ( 1) u n 1 k ) km. (2.19) Assumindo u n, a equação (2.19) imlica que ( 1) u n 1 k 0. Então ( ) 1 1 u n, que é uma contradição. Portanto, (u n ) é limitada em E. k 1 Como J (u n ) 0 e (u n ) é limitada, temos o n (1) = J (u + n )( u n ) + J ( u n )( u n ) = u n,

35 34 de modo que u n 0. Pela continuidade de J e J conseguimos J( u n ) 0 e J ( u n ) 0, de modo que J(u + n ) c e J (u + n ) 0. Isto nos ermite considerar sequências (P S) não negativas a artir de agora, isto é, dada (u n ), uma sequência (P S), odemos considerar que u n (x) 0 q.s em, ara todo n, ou simlesmente, u n 0 ara todo n. (2.20) Lema Suonha (V 11 ), (f 11 ), (f 12 ) e (f 14 ). Então o funcional J satisfaz a condição de Palais e Smale, isto é, toda sequência (P S) ossui uma subsequência convergente. Demonstração. Tomando (u n ), uma sequência (P S), temos sua limitação, elo Lema Isso e a reflexividade do esaço E (veja A.1.4) nos garantem que existe u E tal que u n u. Assim, é suficiente mostrar que u n u. Como já sugerido na seção anterior, dividimos esta tarefa nas quatro afirmações abaixo. Afirmação 1 g(x, u n )u n dx g(x, u)udx. x a x a Afirmação 2 g(x, u n )udx g(x, u)udx. x a x a Afirmação 3 V x a u n 2 u n udx V x a u dx. Afirmação 4 x a u n 2 u n udx x a u dx. Vamos assumir as afirmações or enquanto e rosseguir com a demonstração do lema.

36 Uma vez que J (u n )u n 0, temos x a u n + V x a u n dx g(x, u n )u n dx = o n (1). Passando o limite na equação anterior e usando a Afirmação 1 obtemos lim su u n = n g(x, u)udx. (2.21) x a Como J (u n )u 0, conseguimos x a u n 2 u n u + V x a u n 2 u n udx x a g(x, u n )udx = o n (1). Passando o limite na equação anterior e usando as Afirmações 2, 3 e 4, conseguimos u = x a u + V x a u dx = x a g(x, u)udx. (2.22) Usando as equações (2.21) e (2.22), temos e o Lema fica rovado. u n u, 35 Passamos agora à demonstração das Afirmações. escolhemos um r satisfazendo as duas seguintes condições: { 1. max x a u dx, B 2r \B r B c 2r V x a u dx } Para tanto, a cada ɛ > 0 dado, 2. η = η r C 0 (B c r) é tal que η 1 em B c 2r e 0 η 1, η 2 r d, ara todo x, sendo u o onto de convergência fraca da sequência u n considerada e d dado na definição de, o exoente crítico de Hardy e Sobolev. ɛ. Observe que a condição 1 segue ela integrabilidade de x a u e V x a u. Note que, quando uma dessas condições vale ara algum r 0 então ela vale ara todo r r 0. Assim, odemos escolher um r que satisfaça ambas as condições. Observação Daqui em diante vamos considerar a função g definida em (2.11) com r = r, isto é, r é o r escolhido de modo a satisfazer as condições 1. e 2. acima. Do

37 36 crescimento de g e da escolha de r concluímos: 1. g(x, t) = f(t) e G(x, t) = F (t) em B r. 2. x a g(x, t) V k x a t 2 t e x a G(x, t) V k x a t em Br. c 3. x a g(x, u)udx 1 V x a u dx < ɛ. k B c 2r B c 2r Reetimos os enunciados das Afirmações ara a conveniência do leitor. Afirmação 1 Demonstração. Caso 1 B 2r x a x a g(x, u n )u n dx g(x, u n )u n dx B 2r x a x a g(x, u)udx g(x, u)udx. Do Lema (A.1.2) temos Da 1, (B 2r ) = Wa 1, (B 2r ). Assim, E(B 2r ) Wa 1, (B 2r ) e, elo usual Teorema de imersão de Sobolev, (veja A.3.5), temos E(B 2r ) imerso comactamente em L q a(b 2r ), ara todo q (, ). Em articular, temos E(B 2r ) imerso comactamente em L a(b 2r ), com dado em (f 12 ). Logo, ara u n u em E(B 2r ), temos u n u em L a(b 2r ), de modo que Pelo Teorema A.3.4 temos que x a u n x a u em L (B 2r ). u n (x) u(x) q.s. em B 2r e que existe h L (B 2r ) : x a u n (x) h(x), q.s. em B 2r, ara todo n. Assim, odemos concluir que x a g(x, u n (x))u n (x) x a g(x, u(x))u(x), q.s. em B 2r e que x a g(x, u n )u n x a f(u n )u n c x a u n c x a u n c h.

38 37 Com isso e o Teorema da convergência dominada (veja A.3.3) temos u n g(x, u n )dx ug(x, u)dx. B 2r B 2r Caso 2 u n g(x, u n )dx ug(x, u)dx B2r c B2r c Quando integrando em B 2r, c não temos a imersão comacta de E(B2r) c em L a(b2r). c Assim, rimeiro estimamos x a u n + V x a u n dx, usando a função corte η B c 2r definida acima. Como (u n ) é limitada temos que (ηu n ) é limitada também e odemos dizer que J (u n )(ηu n ) 0, isto é, x a u n 2 u n (ηu n ) + V x a u n 2 u n ηu n dx = ηg(x, u n )u n dx + o n (1). x a Uma vez que η 0 in B r, a equação acima vale em B c r. x a g(x, t) V k x a t 2 t, ara x Br, c temos η( x a u n + V x a u n )dx + B c r = = = B c r B c r B c r B c r B c r Acrescentando a isto que x a u n 2 u n ( η)u n dx η( x a u n + V x a u n ) + x a u n 2 u n ( η)u n dx x a u n 2 u n (ηu n ) + V x a u n 2 u n ηu n dx η x a g(x, u n )u n dx + o n (1) η V k x a u n dx + o n (1). Da desigualdade anterior obtemos η( x a u n + V x a u n )dx B c r η V k x a u n dx x a u n 2 u n ( η)u n dx + o n (1) Br c Br c (2.23)

39 Usando o crescimento da função η, dado em sua definição, e a não negatividade da função η x a u n temos η V k x a u n dx B c r B c r B c r η V k x a u n dx + x a u n 2 u n ( η)u n dx + o n (1) B c r x a u n u n 1 η dx + o n (1) 1 ηv x a u n dx + 1 η x a u n dx k B k r c Br c + x a u n u n 1 η dx B 2r \B r 1 k + x a u n u n 1 η dx + o n (1) B2r c B c r η( x a u n + V x a u n )dx + 2 r d B 2r \B r x a u n u n 1 dx + o n (1). 38 (2.24) Por (2.23) e (2.24) conseguimos η( x a u n + V x a u n )dx B c r 1 η( x a u n + V x a u n )dx k B c r + 2 r d B 2r \B r x a u n u n 1 dx + o n (1), de modo que ( 1 1 ) η( x a u n + V x a u n )dx k Br c 2 r d B 2r \B r x a u n u n 1 dx + o n (1),

40 39 ou ainda B c r η( x a u n + V x a u n )dx ( k ) 2 k 1 r d B 2r \B r x a u n u n 1 dx + o n (1). (2.25) Como a sequência (u n ) é limitada em E, temos x a u n dx x a u n + V x a u n dx u n c, B 2r \B r B 2r \B r ara todo n. Usando a desigualdade de Hölder, a desigualdade acima e a convergência forte de (u n ) em L a (B 2r \ B r ), temos lim su x a u n u n 1 dx n B 2r \B r lim su n lim su n lim su n lim su c n x a B 2r \B r ( ( B 2r \B r u n 1 x a u n dx ) ) 1 ( x ( ) a u n 1 1 dx ( x a u n ) dx B2r\Br x a u n dx B 2r \B r ( x a u n dx B 2r \B r ( c x a u dx B 2r \B r ) 1 ) 1 ( B2r\Br ) 1 ) 1 x a u n dx (2.26)

41 Usando a desigualdade de Hölder com os duais B 2r ω N (2r) N, temos ( x a u dx B 2r \B r ( ( ( ) 1 B 2r \B r ( x a u ) x a u dx B 2r \B r ( ω N (2r) N) d N ω d N N (2r) d ( ( 40 e N d e lembrando que B 2r \ B r ) ( ) d ) 1 dx 1 N N d dx B2r\Br ) 1 B 2r \ B r d N x a u dx B 2r \B r B 2r \B r x a ) 1 u dx Usando as desigualdades (2.25), (2.26) e (2.27) temos ) 1 lim su x a u n + V x a u n dx n B2r c lim su n Br c η( x a u n + V x a u n )dx lim su n C ( k k 1 [( ) ] k 2 x a u k 1 r d n u n 1 dx + o n (1) B 2r \B r ) 2 lim su x a u rd n u n 1 dx n B 2r \B r ( k ) 2 ( k 1 r C d B 2r \B r x a u dx ( ) ( k 2 k 1 r ω d N d N (2r)d ( c x a u dx B 2r \B r ) 1 B 2r \B r x a ) 1. ) 1 u dx (2.27)

42 temos Usando esta última desigualdade odemos dizer que, dado ɛ > 0, ela escolha de r, lim su x a u n + V x a u n dx n B2r c ( ) 1 c x a u dx ɛ, B 2r \B r isto é, lim su x a u n + V x a u n dx ɛ. (2.28) n B2r c Como definimos o roblema auxiliar colocando o crescimento da função g de tal forma que sua integral udesse ser comarada com a norma de u no comlementar de uma conveniente bola, odemos estimar as convergências relacionadas a g com a oderosa ferramenta dada ela equação anterior e é isso que faremos nas róximas desigualdades. Usando o crescimento de g, temos lim su x a g(x, u n )u n dx n B2r c 1 lim su V x a u n dx n k lim su n 1 k B c 2r B c 2r x a u n + V x a u n dx ɛ. Com isto e a Observação 2.2.1, temos lim su x a g(x, u n )u n dx x a g(x, u)udx n B2r c B 2r c lim su x a g(x, u n n )u n dx + lim su x a g(x, u)udx n ɛ Do caso 1, temos lim su n B c 2r B c 2r x a g(x, u n )u n dx Combinando os Casos 1 e 2, temos lim su g(x, u n )u n dx n x a B c 2r B c 2r x a g(x, u)udx ɛ. x a g(x, u)udx ɛ, 41

43 42 de modo que g(x, u n )u n dx g(x, u)udx, e a Afirmação 1 está demonstrada. x a x a Afirmação 2 x a g(x, u n )udx x a g(x, u)udx. Demonstração. Esta demonstração é análoga à demonstração da Afirmação 1. Afirmação 3 V x a u n 2 u n udx V x a u dx. Demonstração. Defina w n = V 1 x a u n 2 u n. Uma vez que u n u temos que u n (x) u(x) q.s. em, de modo que w n (x) w(x) := V 1 x a u 2 u q.s. em. Além disso, temos V 1 x a u n 2 u n dx = V x a u n dx u n < c, de modo que (w n ) é uma sequência limitada em L ( ). Assim, usando o Teorema A.3.6, concluímos que w n w em L ( ). Definindo h = V 1 a x u, temos h L ( ), de modo que isto é, w n hdx whdx, V x a u n 2 u n udx V x a u dx, o que comleta a demonstração da Afirmação 3. Afirmação 4 x a u n 2 u n udx x a u dx. Demonstração. Tomando u n D 1, a ( ) = {v : R : x a v L ( ) e x a v L ( )} (veja A.1.1), definindo w n = x a( 1) u n 2 u n e

44 43 considerando a seguinte desigualdade x a( 1) u n 2 u n dx = x a u n dx u n < c, temos que (w n ) é uma sequência limitada em L ( ). Por outro lado, do fato de (u n ) ser sequência (P S), temos u n u em E e J (u n ) 0. Logo (u n ) satisfaz as hióteses do Lema A.3.3, de onde concluímos que u n u q.s. em, o que nos dá w n w = x a( 1) u 2 u q.s. em. Como w também está em L ( ), a sequência (w n ) satisfaz as hióteses do Teorema A.3.6, donde concluímos que w n w em L ( ). Ainda considerando o esaço D 1, a ( ) odemos dizer que h = x a u está em L ( ). Dessa forma, temos w n hdx whdx, isto é, x a u n 2 u n udx x a u dx, o que comleta a demonstração da Afirmação 4. Agora odemos combinar os resultados obtidos ara garantir a existência de u E, solução não negativa de energia crítica ara o roblema (P A), que é o objetivo desta seção. Observe que, usando os Lemas 2.2.2, 2.2.3, e o Teorema do Passo da Montanha (veja A.3.1), concluímos que existe (u n ), uma sequência (P S), e u E tais que u n u, ou ainda, lim n u n = u. Com isso e a continuidade de J e J temos e J (u) = J ( lim n u n ) = lim n J (u n ) = 0 J(u) = J( lim n u n ) = lim n J(u n ) = c. Assim, vemos que u é solução de energia crítica ara (P A).

45 44 Para ver sua não negatividade, observe que, uma vez que u n u temos que u n (x) u(x) q.s. em. Além disso, de (2.20) temos que u n (x) 0 q.s. em, ara todo n, de modo que u(x) 0 q.s. em. Como J(u) = c > 0 temos u 0, de modo que u é uma solução não trivial, não negativa e com energia crítica ara (P A). 2.3 Prova do Teorema Deois de conseguirmos mostrar a existência de uma solução ara o roblema (P A), na seção anterior, queremos agora mostrar que esta solução é também solução do roblema (P 1). Olhando a definição de g é suficiente mostrar que, dada uma solução de (P A), temos f(u) V k u 2 u, ara todo x B c r, ois, neste caso, teremos g(x, u) = f(u) e u é solução de (P 1). Para mostrarmos a desigualdade acima usaremos rincialmente a hiótese (V 12 ) e uma estimativa ontual ara solução de energia crítica do roblema (P A), o que é feito no Lema Para isso, orém, recisamos de uma estimativa em L ( ), que é obtida elos três Lemas iniciais desta seção. Lema Toda solução u de energia crítica ara (P A) satisfaz a estimativa Demonstração. u kc 1. Uma vez que u é de energia crítica temos J(u) = c. Por (2.16), c c e ela demonstração do Lema 2.2.3, em que usamos (f 14 ), temos ( 1) u J(u) 1 k θ J (u)u = c c.

46 45 Deste modo, concluímos u kc 1. Observação A constante kc 1 deende somente de V, θ e f. Assim, ela não deende do valor r usado nos cálculos das estimativas. Lema Seja h tal que x a h q é integrável, com dq > N e d dado na definição de. Considere H : R R, e b : R funções contínuas e não negativas tais que H(x, s) h(x) s 1, ara todo s > 0. Seja v E uma solução fraca do Problema Auxiliar 2, dado or: (P A2) L a v + b x a v 2 v = x a H(x, v), em. Então, existe uma constante M = M(q, h L q a ( )) > 0 tal que v L (B c 1 ) M x a v L (B c 1 ). Demonstração. Dados m N e β > 1, defina A m = {x : v β 1 m}, B m = \ A m e Assim, temos v v (β 1), em A m v m = m v, em B m. (β + 1) v (β 1) v, em A m v m = m v, em B m. Então, v m E e, usando-a como função teste em (P A2), temos x a v 2 v v m + b x a v 2 vv m dx = x a H(x, v)v m dx. (2.29) Pela definição de v m em cada um dos domínios A m e B m, conseguimos x a v 2 v v m dx = x a v 2 v(β + 1) v (β 1) vdx + x a v 2 vm vdx A m B m = (β + 1) x a v (β 1) v dx + m x a v dx, A m B m (2.30)