UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MELHORIA DOS ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA DOS SUBMODELOS NÃO-LINEARES DA FAMÍLIA EXPONENCIAL DE DISPERSÃO TESE DE DOUTORADO MARGARETH C. TOYAMA UDO FLORIANÓPOLIS SANTA CATARINA 2005

2 Margareth C. Toyama Udo MELHORIA DOS ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA DOS SUBMODELOS NÃO- LINEARES DA FAMÍLIA EXPONENCIAL DE DISPERSÃO Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Federa de Santa Catarina como requisito parcia para a obtenção do grau de Doutor em Engenharia de Produção Área de concentração: Gestão de quaidade e produtividade Orientador: Prof. Pauo J. Ogiari, Dr. Co-orientador: Prof. Gauss M. Cordeiro, PhD. Forianópois Santa Catarina Brasi Dezembro/2005

3 Margareth C. Toyama Udo MELHORIA DOS ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA DOS SUBMODELOS NÃO- LINEARES DA FAMÍLIA EXPONENCIAL DE DISPERSÃO Esta tese foi jugada e aprovada para a obtenção do grau de Doutor em Engenharia de Produção no Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Federa de Santa Catarina. Forianópois, 16 de dezembro de Prof. Edson Pacheco Paadini, Dr. Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção Banca Examinadora Prof. Pauo J. Ogiari, Dr. Universidade Federa de Santa Catarina Orientador Prof. Gauss M. Cordeiro, PhD. Universidade Federa Rura de Pernambuco Co-orientador Prof. Pedro A. Barbetta, Dr. Universidade Federa de Santa Catarina Examinador/Moderador Profa. Lúcia P. Barroso, Dra. Universidade de São Pauo Examinadora Externa Profa. Denise A. Botter, Dra. Universidade de São Pauo Examinadora Externa Prof. Robert W. Samohy, PhD. Universidade Federa de Santa Catarina Examinador Prof. Adriano F. Borgatto, Dr. Universidade Federa de Santa Catarina Examinador

4 Ao meu esposo Pauo e aos meus fihos João Pauo, Pedro Luís e Cáudia Marina que os amo iguamente.

5 Agradecimentos Ao Prof. Dr. Pauo José Ogiari, peo tema da tese, apoio, compreensão e amizade. Ao Prof. Dr. Gauss M. Cordeiro, exempo de profissionaismo, competência e dedicação, peo probema da tese e ter se desocado de Recife a Maringá, tantas vezes, para sanar as nossas dúvidas. À minha querida amiga Professora Rosangea G. Santana, por seus consehos, incentivo e ajuda constantes durante estes anos de convívio. E ainda, na fase fina da tese, me fez acreditar que era possíve mesmo quando tudo se apresentava improváve. À minha querida amiga Professora Isode Previdei que somou ao nosso grupo tornando-o mehor e mais aegre. À Profa. Dra. Lúcia P. Barroso, peas sugestões apresentadas e por nos ajudar tantas vezes via teefone e e-mais. Ao Prof. Dr. Josmar Mazuchei, peo auxíio na eaboração dos programas do SAS. Ao Prof. Dr. Doherty Andrade, do Departamento de Matemática, pea iniciação e auxiio no uso do apicativo Mape. Ao Prof. Dr. Daton Andrade e Prof. Dr. Pedro Barbetta, peas sugestões apresentadas. Ao Prof. PhD. Robert W. Samohy, peo apoio e amizade. Ao Prof. PhD. James Lindsey, por ter cedido os dados, da droga fosequinan, da Kno Pharmaceuticas. À Profa. Dra. Denise A. Botter, peo envio de materia bibiográfico mesmo sem conhecêr-me. À amiga Cáudia Barbiero, pea ajuda, incentivo e carinho. Aos amigos do Departamento de Estatística, da UEM, peo incentivo e apoio.

6 RESUMO Em diversas áreas, particuarmente em controe de quaidade, é de interesse modear não só o parâmetro média, mas também o de dispersão. Um modeo desse tipo auxiia na mehoria contínua dos produtos e processos, sem aumentar os custos de produção. Um aprimoramento de quaidade de um processo industria é verificado quando a dispersão é minimizada e o vaor médio permanece sob controe. Nesta tese, são apresentados os modeos nãoineares da famíia exponencia de dispersão inear, que ficam caracterizados por duas componentes sistemáticas não-ineares, uma para a média e outra para a dispersão, aém de uma componente aeatória, cuja função densidade de probabiidade pertence à famíia exponencia de dispersão inear. O método de estimação adotado foi o de máxima verossimihança, que tem propriedades assintóticas de ordem n -1, onde n é o tamanho da amostra; portanto, esses estimadores são não-viesados com erro aproximado de n -1. Na prática, geramente um viés dessa ordem é ignorado, contudo, para amostras pequenas, o viés pode ser apreciáve e ter o mesmo vaor que o seu correspondente erro padrão; neste caso, torna-se úti se ter uma estimativa de sua magnitude. Em gera, a redução do viés não necessariamente apresenta um mehor estimador, ea será benéfica somente quando a variância é reduzida. O objetivo desta tese é apresentar uma expressão para os vieses e, com isto, mehorar as inferências. Como apicação, modeou-se e obteve-se o estimador corrigido da concentração de fosequinan no pasma, com submodeos one-compartment para a média e dispersão e componentes aeatórias: norma, gama e inversa gaussiana. É importante saientar que as expressões dos vieses são de fáci impementação. Peo estudo de simuação, os estimadores corrigidos foram avaiados e comparados aos estimadores de máxima verossimihança restrita e também os de máxima verossimihança. Os resutados evidenciaram que os estimadores corrigidos são mais precisos do que os obtidos pea máxima verossimihança restrita e, também, do que máxima verossimihança, recomendando, assim, o uso de estimativas corrigidas em amostras de tamanho pequeno ou moderado. Paavras-chave: método de máxima verossimihança, famíia exponencia de dispersão, viés.

7 ABSTRACT In severa areas, mainy in quaity contro, it is from mode interest not ony the mean, but aso the dispersion parameter, which aows the achievement of product and process continuous improvement without increasing the production costs, that is, the quaity of an industria process that occurs when the dispersion is minimized and the mean vaue remains under contro. In this work, the non-inear modes of the dispersion exponentia famiy are presented, which are characterized by two systematic components, one for the mean and another for the dispersion, in addition to a random component whose probabiity density function beongs to the dispersion exponentia famiy. The estimate method was the maximum ikeihood that has asymptotic properties of n -1 order, where n is the sampe size, thus, these estimators are not biased with approximate error of n -1. In practice, the bias is usuay ignored; nevertheess, for sma sampes it can be appreciabe and have the same vaue as its correspondent standard error, in this case, it becomes usefu to have an estimate of its magnitude. As a genera rue, the reduction in the bias does not necessariy present a better estimator; it wi be beneficia ony when the variance is reduced. The objective of this work is to present an expression for the bias and, in this way, improve the inferences. As appication, it was modeed and obtained the corrected estimator of fosequinan concentration in pasma, with one-compartment submodes for the mean and dispersion and random components: norma, gamma and Gaussian inverse. It is important to highight that the bias expressions are easiy impemented. Through the simuation study, the corrected estimators were evauated and compared to the restricted maximum ikeihood estimators. The resuts show that the corrected estimators are more accurate than the ones obtained through the restricted maximum ikeihood, besides the necessity of obtaining corrected estimates in sampes from sma to moderate sizes. Key-words: maximum ikeihood, dispersion exponentia famiy, bias.

8 Sumário 1 Introdução Importância Objetivos Gera Específicos Estrutura Modeos ineares generaizados dupos Modeo EMV e estimadores de O n Função og-verossimihança, função escore e matriz de informação de Fisher de β e φ EMV de β e γ Estimador de O n Apicação: modeando a quantidade de gases hidrocarbonos iberados Procedimento de estimação dos MLGD por Smyth e Verbya Estudo de simuação: comparando EMVR e estimadores de O n Resutados Modeos não-ineares da famíia exponencia O modeo Função og-verossimihança, função escore e matriz de informação de Fisher de β e φ EMV de β Estimadores de O n i

9 3.4.1 Vieses do estimador de β, η e φ Apicação: modeando a quantidade de vendas de produtos ao consumidor Estimadores dos modeos não-ineares da famíia exponencia de dispersão inear Modeo Funções escore e informação de Fisher de β e φ EMV de β e γ Vieses de ˆβ e ˆγ Caso especia Viés de ˆη, ˆτ, ˆµ, ˆφ e ˆφ Apicação: modeando a quantidade de vendas de produtos ao consumidor Modeo Resutados Avaiando estimadores de O n 2 através de um estudo de simuação em MNLFED Simuação da variáve resposta com distribuição inversa gaussiana Submodeos média e dispersão Resutados Simuação da variáve resposta com distribuição gama Submodeos média e dispersão Resutados Apicação em modeos one-compartment Modeo Variáveis de interesse Deineamento experimenta Componente aeatória Componentes sistemáticas: Agoritmo do SAS Resutados ii

10 7 Considerações finais 65 Referências bibiográficas 65 A Identidades de Bartett 70 B Propriedade dos estimadores de máxima verossimihança 73 C Viés dos EMV-Cox e Sne D Cumuantes dos MLGD 78 D.1 Cácuo de U r e κ r D.2 Cácuo de U rs e κ rs D.3 Cácuo de U rst e κ rst D.4 Cácuo do κ T rs D.5 Cácuo de U str e κ str D.6 Cácuo do κ t rs D.7 Cácuo da U R D.8 Cácuo de U RS e κ RS D.8.1 Cácuo do Vaor Esperado da c y D.9 Cácuo do κ t RS D.10 Cácuo do κ T RS D.11 Cácuo de U rs e κ rs D.12 Cácuo do κ T rs D.13 Cácuo do κ rst D.14 Cácuo do κ RST E Cumuantes dos MNLFED 86 E.1 Cácuo de U r e κ r E.2 Cácuo de U rs e κ rs E.3 Cácuo do κ t rs E.4 Cácuo de U rst e κ rst E.5 Cácuo do κ rs,t iii

11 E.6 Cácuo de U R E.7 Cácuo de U RS e κ RS E.8 Cácuo de U T RS e do cumuante κt RS E.9 Cácuo de U RST e do cumuante κ RST E.10 Cácuo de U Rst e do cumuante κ Rst F Programa de simuação para inversa gaussiana 94 iv

12 Lista de Figuras 2.1 Fuxograma do MLGD com distribuição inversa gaussiana Diagrama de caixas da distribuição das estimativas de γ Diagrama de caixas da distribuição das estimativas de γ Diagrama de caixas da estimativa do parâmetro β a: Diagrama de caixas da estimativa do parâmetro γ 1 ; b: Diagrama de caixas da estimativa do parâmetro γ Modeos one-compartment a: Comportamento da og-verossimihança quando k am é fixado para dose 50; b: Comportamento da og-verossimihança quando k am é fixado para dose 100; c: Comportamento da og-verossimihança quando k am é fixado para dose Diagrama de dispersão da concentração versus tempo v

13 Lista de Tabeas 2.1 Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão do submodeo média Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão do submodeo dispersão Componentes do submodeo dispersão para estimar γ Tabea das médias e desvios padrão Dados das quantidades de vendas reais e estimadas Estimativa de MV, de O n 2, desvios padrão, quociente e AIC Estimativas de MV, de O n 2 e erros padrão Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão Quociente do viés do parâmetro peo seu respectivo desvio padrão Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão Quociente do viés do parâmetro peo seu respectivo desvio padrão Estimativa de MV, de O n 2, erros padrão para modeo gama Estimativas de MV, de O n 2, erros padrão para modeo inversa gaussiana Estimativas de MV, de O n 2, erros padrão para modeo norma Porcentagem do quociente entre o viés e seu respectivo erro padrão para resposta inversa gaussiana vi

14 Lista de sigas MLG MNLFE MLGD MNLFED EMV MMV MV EMVR O n 1 O n 2 Modeo Linear Generaizado Modeo Não-Linear da Famíia Exponencia Modeo Linear Generaizado Dupo Modeo Não-Linear da Famíia Exponencia de Dispersão Linear Estimador de Máxima Verossimihança Método de Máxima Verossimihança Máxima Verossimihança Estimador de Máxima Verossimihança Restrita Primeira Ordem Segunda Ordem Lista de símboos β ˆβ Parâmetro beta Estimador de beta β Estimador de beta de O n 2 γ ˆγ Parâmetro gama Estimador de gama γ Estimador de gama de O n 2 ˇγ Estimador de máxima verossimihança restrita µ Parâmetro média φ η τ Parâmetro dispersão Preditor eta Preditor tau k s Cumuantes de On 1. B ˆβ Viés de ˆβ. B ˆγ Viés de ˆγ. U β e U γ Função escore de β e γ. K ββ e K γγ K 1 Matriz informação de Fisher de β e γ Inversa da matriz informação de Fisher vii

15 Capítuo 1 Introdução A modeagem estatística tem um importante pape em apicações na Engenharia de Produção, como em uma indústria, quando se deseja identificar os fatores que afetam o níve do processo de produção ou manufaturação, ou ainda quando se deseja otimizar a produção diária. Assim, a modeagem fornece um conjunto de informações por meio das quais é possíve predizer futuros resutados. Aém disso, servem de base para o entendimento das próprias observações. A modeagem iniciou-se com os modeos cássicos de regressão, das quais uma das restrições é a suposição de que a variáve resposta apresenta uma distribuição norma. Posteriormente, com o desenvovimento teórico nesta área e os avanços computacionais, foi possíve a construção de modeos cada vez mais sofisticados. Uma das contribuições se deve a Neder e Wedderburn 1972 que introduziram os Modeos Lineares Generaizados MLG, nos quais supõe-se que a variáve resposta apresenta uma distribuição de probabiidade membro da famíia exponencia, um conjunto de covariáveis que descrevem uma estrutura inear do modeo e uma função de igação que reaciona a média da variáve resposta à estrutura inear. Embora os MLG sejam fexíveis quanto à distribuição de probabiidade da variáve resposta, estes não permitem que a componente sistemática seja não-inear; contudo, se esta suposição é váida, têm-se os Modeos Não-Lineares da Famíia Exponencia MNLFE. A diferença entre ees é que nos MLG o preditor inear é usado para funções adequadas dos vaores esperados das observações e nos MNLFE os vaores esperados são funções gerais dos parâmetros de regressão. Os MNLFE têm sido estudados, por exempo, por Cordeiro e Paua 1989, os quais apresentam a mehoria das estatísticas da razão de verossimihança, Cook e Tsai 1990, que discutem a aproximação cúbica das regiões de confiança, Pazman 1991, que apresenta a aproximação do ponto de sea da distribuição do estimador de máxima verossimihança do ponto de vista geométrico e Wei 1998, que introduz uma base para o estudo do comportamento estatístico desta casse de modeos. Tradicionamente, tanto nos MLG como nos MNLFE modeam-se apenas a média, enquanto a dispersão é supostamente conhecida ou desconhecida mas, fixada. Pregibon 1984, em sua resenha sobre a primeira edição do ivro de McCuagh e Neder 1983, foi o primeiro a 8

16 apresentar uma proposta para modear o efeito da dispersão. A partir desta, vários trabahos têm surgido para se modear a dispersão. Entre ees, os MLG com covariáveis de dispersão ou MLG dupos MLGD, que modeam os submodeos média e dispersão pea função densidade de probabiidade, aém de uma outra técnica baseada nos conceitos de Taguchi, que utiiza a metodoogia de superfície de resposta para modear a média e variância de características de quaidade para se obter a otimização experimenta de produtos e processos, como apresentada por Barbetta 1998 e Barbetta et a Em ambos, a meta é modear a variabiidade na busca da quaidade de um processo industria, e, se a partir destes modeos a dispersão for minimizada, enquanto o vaor médio ou esperado permanece sob controe, é acançada a mehoria contínua dos produtos e processos sem aumentar os custos de produção. Uma apicação dos Modeos Não-Lineares da Famíia Exponencia de Dispersão Linear MNLFED é utiizada em indústrias farmacêuticas, em particuar em farmacocinética, que trata do estudo do desenvovimento de uma droga medicamento, no processo da absorção, da distribuição do metaboismo e eiminação de agumas substâncias em um organismo. Nesta Tese, são utiizados vountários sadios, o que significa um número reduzido dos mesmos, pois quanto menor a amostra, menor é o custo para as indústrias farmacêuticas. Uma apicação deste estudo é apresentado no Capítuo Importância Os estimadores dos parâmetros de todos os modeos citados geramente são obtidos através do Método de Máxima Verossimihança MMV, pois, segundo Cordeiro 1986, p. 25, este apresenta propriedades de consistência e eficiência assintótica, mas são geramente viesados para pequenas amostras. Portanto, é importante reduzir este viés, para mehorar os estimadores, e, para isso, geramente, é utiizada a correção proposta por Cox e Sne 1968 originada de Bartett O estudo do viés de Estimadores de Máxima Verossimihança EMV em modeos nãoineares tem apresentado grandes avanços e vários autores têm estudado sobre o assunto. Destacando-se: Box 1971 apresentou uma expressão gera do viés de primeira ordem em modeos não-ineares mutivariados com matrizes de covariâncias conhecidas; Sowden 1971 estudou o viés em modeos com resposta quanta; Pike et a investigaram o viés do modeo inear ogístico; Cook, Tsai e Wei 1986 apresentaram para os modeos não-ineares o viés para a posição da covariáve no espaço das amostras; Young e Bakir 1987 mostraram que a correção do viés pode mehorar a estimação em modeos de regressão og-gama generaizado; Cordeiro e McCuagh 1991 demonstraram a fórmua gera do viés em MLG; Paua 1991 deduziu o viés de primeira ordem para os modeos não-ineares da famíia exponencia; Cordeiro e Kein 1994 apresentaram a fórmua gera do viés em modeos ARMA; Cordeiro e Vasconceos 1997 obtiveram a fórmua matricia gera para a correção do viés em modeos de regressão não-inear mutivariado com erros normais; Botter e Cordeiro 1998 deduziram fórmuas gerais 9

17 para o viés de primeira ordem dos estimadores de máxima verossimihança para os parâmetros dos MLGD; Cordeiro e Vasconceos 1999 apresentaram o viés de segunda ordem para a estimativa de máxima verossimihança nos modeos de regressão von-mises; Cordeiro e Botter 2001 demonstraram a utiidade do viés com o objetivo de mehorar as propriedades estatísticas de suas estimativas e apresentam as fórmuas do viés de segunda ordem para estimativas de máxima verossimihança em MLG superdispersados; finamente, Cordeiro e Barroso 2003 apresentaram a correção de terceira ordem das estimativas dos parâmetros, isto é, o viés de segunda ordem para os estimadores dos parâmetros dos MLG. Segundo Botter e Cordeiro 1998, o uso do viés de primeira ordem é ignorado na prática, pois, conforme aguns pesquisadores, este vaor é muito pequeno quando comparado ao erro padrão da média. Esta afirmativa pode ser considerada verdadeira para grandes amostras, mas, se a amostra é pequena, o viés pode apresentar o mesmo tamanho do seu correspondente erro padrão, sendo, neste caso, importante se ter uma idéia de sua magnitude. Portanto, cabe saientar que o uso do viés é úti em estudos farmacocinéticos, nos quais a amostra é constituída de vountários sadios, e, também, em controe de quaidade, como pode ser visto em Montgomery 2000, p. 146 e também Mattos 2004, que apresenta um estudo de experimentos com poucas repetições. Assim, nestes casos, o objetivo é ter amostras de tamanho reduzido, visto que isto impica em menor custo e, conseqüentemente, maior ucro para as empresas. Quando o número de eementos na amostra é reduzido, Botter e Cordeiro 1998 enfatizam que o cácuo do viés de primeira ordem, O n 1, é a mais importante de todas as aproximações na teoria de estimação peo método de máxima verossimihança em modeos de regressão em gera. Portanto, como todo produto apresenta uma variabiidade, uma vez que não é possíve obter dois produtos exatamente iguais, a idéia é controar a mesma, tentando manter a distância próxima de zero com reação ao vaor-avo. Então, quanto mais precisas as estimativas dos parâmetros dos submodeos média e dispersão, mehor é o resutado obtido, contribuindo para a mehoria dos estimadores de máxima verossimihança para os MNLFED. 1.2 Objetivos Gera Obter o viés dos estimadores dos parâmetros de máxima verossimihança em MNLFED Específicos 1 Divugar a faciidade da obtenção dos estimadores de segunda ordem, O n 2, em aguns modeos de regressão. 2 Estender, para os MNLFED, as propostas contidas no estudo de Botter e Cordeiro

18 3 Anaisar e avaiar, via simuação, submodeos ineares na média e na dispersão os estimadores de O n 2, e a metodoogia proposta por Smyth e Verbya Obter expressões anaíticas dos vieses de O n 1 dos estimadores de máxima verossimihança EMV dos submodeos não-ineares: média e dispersão na casse de modeos da famíia exponencia de dispersão. 5 Anaisar e avaiar o viés obtido através de simuação em submodeos não-ineares na média e dispersão para os EMV e estimadores de O n Estrutura Este trabaho apresenta a seguinte estrutura: Capítuo 1: Introdução, que apresenta a importância, o probema a ser resovido, os objetivos gera e específicos e uma estruturação gera. Capítuo 2: Uma revisão da iteratura sobre os MLGD é apresentada com uma apicação, e ainda um estudo de simuação que compara estimadores de O n 2 e a metodoogia proposta por Smyth e Verbya 1999, para comtempar os objetivos específicos 1 e 3. Não é apresentado o MLG, pois esse é anáogo ao submodeo média do MLGD. Capítuo 3: Continuando a revisão, são apresentados os MNLFE para contempar o objetivo específico 1. Capítuo 4: A contribuição teórica na mehoria dos EMV para os MNLFED, a qua foi desenvovida por meio do conhecimento disponíve em teorias pubicadas em ivros e artigos, identificando as teorias produzidas, a fim de contribuir, apresentando expressões para o viés de 1 a ordem, satisfazendo os objetivos específicos 2 e 4. Capítuo 5: Anáise e avaiação da simuação, considerando variáveis respostas com distribuição: inversa gaussiana e gama, reaizada baseada nos resutados do Capítuo 4, satisfazendo o objetivo específico 5. Capítuo 6. Apicação dos resutados obtidos em um experimento rea, na qua aguma característica da droga fosequinan é modeada através de modeos one-compartment, muito utiizadas em farmacocinética. Estes dados foram cedidos por Lindsey, os quais foram usados no artigo Lindsey et a

19 Capítuo 2 Modeos ineares generaizados dupos Os Modeos Lineares Generaizados Dupos MLGD são comumente utiizados quando a variância da variáve resposta excede a variância expicada peo modeo ajustado, que considera o parâmetro de precisão φ constante. A suposição de que esse parâmetro seja conhecido ou desconhecido, mas igua para todas as observações, será eiminada, permitindo que a média e a dispersão sejam modeadas. Esses modeos podem ser apicados em controe de quaidade de uma indústria, onde é de interesse minimizar a dispersão, enquanto o vaor médio ou esperado permanece sob controe. Para estimar os parâmetros dos MLGD, dois procedimentos são apresentados: A peo MMV para os dois submodeos. Como os EMV são geramente viesados, é proposto um método no qua, tanto para o submodeo média como para o submodeo dispersão, estes sejam corrigidos por meio do cácuo da expressão do viés, apresentado no Apêndice C, devido a Cox e Sne 1968 ; B peo método creditado a Smyth e Verbya 1999, que estimam o submodeo média no contexto dos MLG e, para o submodeo dispersão, a função densidade de probabiidade é aproximada peo ponto de sea. 2.1 Modeo Os MLGD ficam caracterizados por uma componente aeatória, peas componentes sistemáticas para média e dispersão e peas funções de igação, ou seja: a componente aeatória: Y = Y 1, Y 2,, Y n T, supostas variáveis aeatórias independentemente distribuídas, das quais os Y s são provenientes da famíia exponencia de dispersão, cuja função densidade de probabiidade é dada por: p y; θ, φ = exp [φ {yθ b θ + c y} + d 1 y + d 2 φ ],

20 sendo b, c, d 1 e d 2 funções conhecidas. Têm-se ainda que θ é o parâmetro canônico e φ o parâmetro de precisão, em que E Y = bθ θ = µ, V Y = φ 1 V com V = V µ = dµ dθ uma função de variância. b1 componente sistemática do submodeo média: as covariáveis supostamente fixadas x = x 1,, x p T formam uma estrutura inear, isto é, η = g µ = p x j β, = 1,, n ou η = Xβ, 2.2 j=1 no qua η = T η 1,, η n é o preditor inear n 1; β = T β 1,, β p é o vetor de parâmetros desconhecidos β R p, p < n e x 11 x 12 x 1p x 12 x 22 x 2p X = é a matriz modeo das covariáveis n p. x n1 x n2 x np b2 componente sistemática do submodeo dispersão: as covariáveis supostamente fixadas s = s 1,, s q T formam uma estrutura inear, isto é, τ = h φ = q s k γ, = 1,, n ou τ = Sγ, 2.3 k=1 no qua τ = τ 1,, τ n T é o preditor inear de dispersão n 1; γ = T γ 1,, γ q é o vetor de parâmetros desconhecidos γ R q, q < n e s 11 s 12 s 1q s 12 s 22 s 2q S = é a matriz modeo das covariáveis n q. s n1 s n2 s nq c funções de igação da média g e dispersão h reacionam a componente aeatória às componentes sistemáticas dos submodeos média e dispersão, respectivamente, ou seja, associam os submodeos média e dispersão aos seus respectivos preditores ineares, isto é: η = g µ e τ = h φ, 13

21 sendo g e h funções monótonas e diferenciáveis. Desse modo, tem-se que o modeo apresenta p + q parâmetros a serem estimados, uma vez que a matriz X é de posto p e a matriz S de posto q. A função de igação é dita canônica se θ = η e não há restrição quanto ao uso. No entanto, é conveniente a sua utiização, pois, segundo Cordeiro 1986, p. 20 e Paua 2001, p. 10, existe a vantagem de que a mesma garante a concavidade da função og-verossimihança e, conseqüentemente, muitos resutados assintóticos são obtidos mais facimente. Uma observação importante é que a matriz modeo S de covariáveis não é necessariamente um subconjunto das covariáveis da matriz X. É essencia saientar que as duas componentes sistemáticas são parametrizadas como µ = µ β e φ = φ γ, onde a média e a dispersão podem apresentar estruturas ineares diferentes. 2.2 EMV e estimadores de O n 2 Nessa seção é apresentada a metodoogia proposta por Botter e Cordeiro 1998 que subsidiará a obtenção dos estimadores de O n 2 para os MNLFED Função og-verossimihança, função escore e matriz de informação de Fisher de β e φ é: O ogaritmo da função de verossimihança de 2.1 para os parâmetros µ ou θ e φ, dado y µ, φ = [φ {y θ b θ + c y } + d 1 y + d 2 φ ] ou µ, φ = φ { y T θ b θ + c y } + d 1 y + d 2 φ. A função escore e a matriz de informação de Fisher de β e γ são apresentadas, pois são necessárias para a obtenção dos seus estimadores. Função escore de β A função escore de β, que será denotada por U β =, é obtida a partir da equação β apresentada a seguir, a qua está demonstrada no Apêndice D: U βr = n φ y µ V µ 1 µ η x r, 14 r = 1,, p

22 que, após reaizar os somatórios, a sua forma matricia resuta em: U β = sendo V = diag {V 1, V 2,, V n } e Φ = diag {φ 1, φ 2,, φ n }. T 1 µ V η XT Φ y µ 2.4 Substituindo a matriz de pesos W = diag{w 1, w 2,, w n }, w = 1 V µ η 2 e manipuando agebricamente, a expressão 2.4 torna-se: U β = X T ΦW 1/2 V 1/2 y µ. 2.5 Função escore de γ por: A função escore de γ, que será denotada por U γ, é obtida de modo anáogo a U β e é dada U γr = n { y θ b θ + c y + d 2φ φ } φ τ s R, R = 1,, q, conforme apresentada no Apêndice D. Considerando ν = y θ b θ + c y + dd 2φ, U dφ γr resuta em: U γr = ν φ τ s R. 2.6 A expressão 2.6, após apicar a soma sob todos os eementos, resuta na seguinte forma matricia: sendo Φ 1 = diag {φ 11, φ 12,, φ 1n }, com φ 1 = φ τ. U γ = S T Φ 1 ν, 2.7 Funções escore de β, γ A partir das funções escore de β e γ obtém-se este vetor que é dado por: β,γ β X T ΦW 1/2 V 1/2 y µ U β, γ = β,γ =. S T Φ φ 1 ν Matriz de informação de Fisher para β, K ββ O eemento r, s dessa matriz é definido como sendo K βr β s = E 2 β r β s = n 2 1 φ µ xr x V µ η s, r = 1,, p, 15

23 mais detahes da obtenção de K βr β s é apresentado no Apêndice D que, após cácuos agébricos, resuta na seguinte forma matricia: K ββ = X T ΦW X. 2.8 Matriz de informação de Fisher para γ, K γγ O eemento R, S dessa matriz é dado por: K γr γ S = E 2 = γ R γ S 2 d 2 φ φ 2 φ τ 2 sr s S, R = 1,, q, veja detahes da demonstração no Apêndice D. Matriciamente, torna-se: K γγ = S T D 2 Φ 2 1 S, em que D 2 = diag {d 21, d 22,, d 2n } sendo d 2 = 2 d 2 φ. φ 2 As matrizes K βγ = K γβ = 0 como demonstrada no Apêndice D. Portanto, a matriz de informação de Fisher para os parâmetros β e γ é dada por: K β, γ = K ββ K γβ K βγ K γγ = X T ΦW X 0 0 S T D 2 Φ 2 1 S. 2.9 Logo, os parâmetros β e γ são gobamente ortogonais impicando que os EMV ˆβ e ˆγ são assintoticamente independentes EMV de β e γ Justifica-se estimar separadamente os parâmetros β e γ, uma vez que os estimadores são assintoticamente independentes. Para obtenção dos EMV, conforme Apêndice B, deve-se resover o sistema de equações U ˆβ, ˆγ = 0 que é, geramente, não-inear, sendo necessário um processo iterativo para sua soução. EMV de β Para obter as estimativas de β através do MMV podem ser utiizados os agoritmos: de Newton-Raphson que está disponíve no apicativo SAS nas procedures NLP e NLMIXED. Para utiizar este método, é necessário expandir β em série de Tayor até primeira β 16

24 ordem para uma dada vizinhança de β i. Após aguns cácuos, obtém-se que para uma dada iteração i + 1 o vaor de ˆβ i+1 é dado por: { 2 β i } 1 β i ˆβ i+1 = ˆβ i + β β T β escore de Fisher que está disponibiizado na procedure GENMOD, do apicativo SAS. Este método consiste em substituir 2 β por E 2 β na expressão Após aguns β 2 β 2 cácuos, resuta no seguinte processo iterativo: que pode ser reescrito como: ˆβ i+1 = [ X T ΦW X 1 X T ΦW { η + η }] i y µ, µ ˆβ i+1 = { X T ΦW X 1 X T ΦW z β } i, 2.11 sendo o vetor de respostas ajustadas z β, dado por: z β = { } no qua η = diag η1, η 2,, η n. µ µ 1 µ 2 µ n η + η µ y µ n 1 O sistema de equações 2.11 pode ser visto como uma regressão de mínimos quadrados reponderados, com variáve resposta ajustada z β e matriz peso ΦW. EMV de γ O estimador de γ é obtido de forma anáoga a β, resutando no processo iterativo ˆγ i+1 = sendo o vetor de respostas ajustadas z γ, dado por: em que ν = y T θ + b θ + c y + d 2φ φ. { S T D 2 Φ 2 1 S 1 S T D 2 Φ 2 1 zγ } i, 2.12 z γ = τ D 1 2 Φ 1 1 ν n 1, O sistema de equações 2.12 pode ser visto como uma regressão de mínimos quadrados reponderados, com variáve resposta ajustada z γ e matriz peso D 2 Φ

25 2.2.3 Estimador de O n 2 Para a obtenção dos vieses dos EMV do MLGD, são necessários aguns cumuantes que estão demonstrados no Apêndice D. Os estimadores de O n 2, conforme Apêndice C, nada mais são do que os estimadores obtidos, na subseção anterior, subtraídos dos respectivos vieses. Viés de ˆβ O viés de ˆβ a, denotado por B ˆβa, para a = 1, 2,, p, é obtido a partir da fórmua de Cox e Sne 1968, que para MLGD é a soma de todas as combinações dos p + q parâmetros β 1,, β p e γ 1,, γ q que resuta em: B ˆβa = r,s,t κ ar κ st κ t rs 1 2 κ rst + r S,T κ ar κ ST κ T rs 1 2 κ rst Os cumuantes são obtidos a partir das derivadas da og-verossimihança os subescritos minúscuos r, s, t, u, denotarão as componentes do vetor β e subescritos maiúscuos R, S, T, U, para o vetor γ. No Apêndice D, demonstram-se que: k rs = 0; κ T rs = 0, κ rst = 0, κ rst = φ f + 2g x r x s x t e κ t rs = φ f + g x r x s x t. Substituindo esses resutados na expressão 2.13, tem-se: B ˆβa = κ ar κ [ st r,s,t φ f + g x r x s x t ] φ f + 2g x r x s x t Para obter B ˆβ na forma matricia, considere: F = diag {f 1,, f n }, f = 1 V µ 2 µ η η 2 Z β = XK 1 ββ XT = {z βin } ; Z βd = diag {z β11,, z βnn } e 1 = 1,, 1 T., 18

26 Rearranjando os termos da expressão 2.14, tem-se: B ˆβ = X T ΦW X 1 X T ΦW ξ, 2.15 sendo ξ = 1 2 W 1 Z βd F 1. Observê-se que a expressão 2.15 é uma regressão de mínimos quadrados ponderados, cuja variáve resposta é ξ e a matriz peso é ΦW. Viés de ˆγ Anaogamente ao caso do B ˆβ, é obtido o viés de ˆγ, denotado por B ˆγ A, para A = 1, 2,, q. A expressão de Cox e Sne, neste caso, considerando o somatório da combinação dos p + q parâmetros, é dada por: B ˆγ A = R,S,T κ AR κ ST κ T RS 1 2 κ RST 1 2 κ AR κ st κ Rst R s,t As expressões a seguir são demonstradas no Apêndice D: κ rs = κ sr = 0, κ T RS = κ RST = κ Rst = { d 3 d 2 φ φ dφ 3 [ d 3 d 2 φ φ dφ 3 w φ τ x s x st s R. τ d 2 φ φ 2 τ d 2 d 2 φ dφ 2 2 φ τ 2 2 φ τ 2 φ τ } s R s S s T, φ τ ] s R s S s T e Substituindo esses resutados na expressão 2.16, e fazendo agumas manipuações agébricas, tem-se: B ˆγ A = 1 2 { } q d3 φ d 2 φ 1 φ 2 zγ + φ 1 w z β κ AR s R, 2.17 R=1 em que: d 2 = 2 d 2 φ φ 2 φ 2 = 2 φ 1, τ 2 1 ; d 3 = 3 d 2 φ, φ 3 19

27 z γ é o eemento da matriz Z γ = SK 1 γγ S T e z β é o eemento da matriz Z β = XK 1 ββ XT. Então, a expressão 2.17 em notação matricia é dada por B ˆγ = { S T D 2 Φ 2 1 S } 1 S T D 2 Φ 2 1 Ψ, 2.18 sendo: D 2 = diag {d 2 } ; D 3 = diag {d 3 }, Φ 2 = diag {φ 2 } e Ψ = 1 2 D 2Φ {Z γd D 3 Φ D 2 Φ 1 Φ 2 + Z βd W Φ 1 } 1. A expressão 2.18 é obtida como os coeficientes da regressão de mínimos quadrados ponderados com variáve resposta Ψ e D 2 Φ 2 1 sendo a matriz peso. Viés de ˆη e ˆτ Os vieses dos preditores ineares η e τ são obtidos a partir das expressões 2.15 e 2.18, respectivamente, que, após agumas ágebras, são dadas por: B ˆη = Z β ΦW ξ e B ˆτ = Z γ D 2 Φ 2 Ψ Estimadores de O n 2 de β, γ, η e τ Os estimadores corrigidos são denotados por um ti sobre o parâmetro e dados por: β = ˆβ B ˆβ, γ = ˆγ B ˆγ, η = ˆη B ˆη e τ = ˆτ B ˆτ Apicação: modeando a quantidade de gases hidrocarbonos iberados Como iustração, os estimadores de O n 2 de β e γ são obtidos utiizando o apicativo SAS, para o probema apresentado em Weisberg É importante saientar que o MLGD adotado é o mesmo que o apresentado em Smyth e Verbya 1989 apenas para iustrar as fórmuas obtidas. 20

28 Descrição do probema Sabe-se que quando a gasoina é bombeada em um tanque, os vapores de hidrocarbono são forçados para o tanque e iberados para a atmosfera. Com o objetivo de reduzir esta fonte de pouição do ar, são instaados aparehos para capturar esse vapor. Para avaiar sua eficiência, reaizou-se um experimento em um aboratório, no qua a quantidade de vapor iberado foi medido sob condições controadas. Modeo Variáve Resposta Y hc: quantidade de hidrocarbonos iberados, em gramas, segue a distribuição inversa gaussiana, ou seja, Y IG µ, φ, = 1, 2,, 125. Covariáveis X 1 ttanque: temperatura inicia no tanque, em 0 F, X 2 tgasoina: temperatura distribuída na gasoina, em 0 F, X 3 ptanque: pressão inicia no tanque, em psi, X 4 pgasoina: pressão distribuída na gasoina, em psi. Componentes sistemáticas do submodeo média e do submodeo dispersão Os preditores ineares η e τ são: η = og µ = β 0 + β 1 ttanque+β 2 tgasoina+β 3 ptanque+β 4 pgasoina, τ = og φ = γ 0 + γ 1 tgasoina+γ 2 pgasoina. Agoritmo do SAS I procedure nmixed : apicado para obter as estimativas de MV dos parâmetros dos submodeos média e dispersão. II procedure im : apicado para obter as estimativas de O n 2 dos parâmetros dos submodeos média e dispersão. 21

29 Resutados A convergência do método ocorreu na 27 a iteração. Pea Tabea 2.1, observa-se que apenas a temperatura do tanque não foi significativa no submodeo média. Quanto aos vieses, quando comparados com o seu respectivo erro padrão, observam-se que ees apresentam vaores pequenos. Logo, peos resutados do quociente pode-se dizer que os estimadores de O n 2 não contribuíram para a mehoria dos EMV. Tabea 2.1: Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão do submodeo média. Parâmetro Estimativa Erro Viés Quociente, % Estimativa Vaor p ˆβ padrão B ˆβ β Norma V iés Erro padrão Intercepto 2, , , ,26 2,47798 <0,0001 Temp. Tanque 0, , ,43E-6 0,33 0, ,9327 Temp. Gasoina 0, , ,13E-6 0,51 0,00606 <0,0001 Pres. Tanque -0, , , ,29-0, ,0002 Pres. Gasoina 0, , , ,07 0,30894 <0,0001 Pea Tabea 2.2, quando se comparam os vieses com seus respectivos erros padrão, observase que a variação foi grande. E, nesse caso, pode-se dizer que os estimadores de O n 2 contribuíram para a mehoria dos EMV. Ao contrário do submodeo média, observa-se que a temperatura da gasoina não foi significativa no submodeo dispersão. Tabea 2.2: Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão do submodeo dispersão. Parâmetro Estimativa Erro Viés Quociente, % Estimativa Vaor p V iés ˆγ padrão B ˆγ Erro padrão γ Norma Intercepto 6, , , ,03 6,82927 <0,0001 Temp. Gasoina -0, , , ,80-0, ,3243 Pres. Gasoina 0, , , ,54 0, ,0065 Peos resutados desta apicação, observa-se que o uso dos estimadores de O n 2 não deve ser ignorado quando os dois submodeos são considerados. 2.3 Procedimento de estimação dos MLGD por Smyth e Verbya 1999 Este método foi apresentado por Smyth e Verbya 1999 para a famíia exponencia de dispersão inear, dos quais os parâmetros do submodeo média são estimados peo MMV e do submodeo dispersão peo Método de Máxima Verossimihança Restrita MMVR. O MMVR, segundo os autores, produz estimadores para os parâmetros do submodeo dispersão com viés menor do que a estimativa de MV. Para comparar os estimadores de O n 2 com os EMVR, é apresentado um estudo de simuação no fina dessa seção. 22

30 O procedimento apresentado, por Smyth e Verbya 1999, consiste em reescrever a função densidade de probabiidade da variáve resposta em função de sua deviance, isto é, { p y ; θ, φ = c y, φ exp 1 } 2 d y, µ, 2.20 no qua d é uma medida de distância entre y e µ, e para a maioria das distribuições d é obtido como d y, µ = 2 {t y, y t y, µ } e t y, µ = y θ b θ. Jørgensen 1997, p. 103 estudou a famíia de distribuições dada em 2.20 para diferentes vaores de d, demonstrando que, para a maioria das distribuições de Y, µ pode ser interpretado como parâmetro de ocação e φ como parâmetro de dispersão. Os autores utiizam a aproximação ponto de sea, em que a variáve aeatória d é distribuída como uma gama, isto é, d G φ, 2 sendo φ = E d e 2 o parâmetro de dispersão. Portanto, a componente aeatória do submodeo de dispersão tem as características apresentadas na Tabea 2.3. Tabea 2.3: Componentes do submodeo dispersão para estimar γ. Componente Vaor assumido Variáve Resposta d Média φ Função de Variância V d φ = φ 2 Função de Ligação h = og φ Dispersão 2 EMV de γ usando aproximação ponto de sea Assim, o EMV dos parâmetros do submodeo dispersão, denotados por ˇγ, é obtido soucionando o seguinte sistema de equações, iterativamente: sendo a matriz de pesos W γ dada por: e o vetor de respostas ajustadas S T W γ Sˇγ = S T W γ z γ, 2.21 W γ = diag 1 2 Vγ φ φ hφ z γ = 1 φ d φ + og φ. 23

31 EMVR O MMVR consiste em maximizar a variância não das observações originais, mas de um conjunto de contrastes de média zero, com o objetivo de ajustar os graus de iberdade disponíveis e produzir estimadores que são aproximadamente não-viesados. Segundo Smyth e Verbya 1999, a generaização do método de máxima verossimihança restrita ou residua para modeos não normais não é óbvia, uma vez que não existem contrastes com média zero. Nesse caso, a matriz chapéu é dada por: H = W 1/2 m X X T W m X 1 X T W 1/2 m. A partir dessa matriz, os autores obtêm a matriz peso e o vetor de respostas ajustado como sendo: W γ = W γ 2diag h 2 φ 2 dhφ dφ h φ representa a função de igação da dispersão e z d = hφ φ {d 1 h φ } + h φ. + H2, h são os eementos da matriz diagona de H e Assim sendo, o EMVR, denotado por ˇγ, é a soução do seguinte sistema de equações: S T W γ Sˇγ = S T W γ z γ Estudo de simuação: comparando EMVR e estimadores de O n 2 Nesta seção, o interesse é comparar os EMVR com os estimadores de O n 2 e, aém disso, iustrar o procedimento proposto por Smyth e Verbya Simuação da inversa gaussiana Para amostras de tamanho 20, 30, 40 e 45 não foi possíve obter as estimativas de ˇγ, pea procedure NLMIXED, do SAS, devido a não convergência do processo, sendo que isto ocorreu para amostra de tamanho 50. Portanto, foram simuadas amostras, de tamanho 50, considerando a variáve resposta com distribuição inversa gaussiana que, como a gama, é muito usada: no mercado de finanças, quando o objetivo é descrever a voatiidade financeira diária, como em Forsberg 2002; 24

32 em cartas de controe, pois no processo de produção de uma indústria as distribuições são positivas e assimétricas, como em Hawkins e Owe 1997, entre outros. Considerou-se a componente aeatória Y IG µ, φ, sendo µ a média e φ a dispersão. O submodeo da média toma a seguinte forma: η = og µ = β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3, e, para o submodeo da dispersão, τ = og φ = γ 1 s 1 + γ 2 s 2. As matrizes modeo X e S foram simuadas de uma distribuição U 0, 1, sendo fixadas para todas as amostras. Foram utiizados os seguintes vaores para os parâmetros β = e γ = 2 3 A Figura 2.1 iustra o processo de simuação.. Figura 2.1: Fuxograma do MLGD com distribuição inversa gaussiana. 25

33 Portanto, serão obtidos: EMV de O n 1 ˆβ, ˆγ, viés de ˆβ, ˆγ, estimador de O n 2 de β, γ e EMVR, ˇγ Resutados Para amostras de tamanho pequeno, não foi possíve a obtenção das estimativas de ˇγ, pea procedure NLMIXED, devido a não convergência do processo. E isto ocorreu para amostras a partir do tamanho 50. Assim, reaizou-se a simuação apenas para este tamanho, uma vez que este pode ser considerado o tamanho de amostra moderado. A Tabea 2.4 apresenta a média e o desvio padrão das estimativas para as amostras. Observa-se que todas as estimativas convergem para o verdadeiro parâmetro e que, em média, os desvios padrão das estimativas de O n 2 são menores que as demais. Tabea 2.4: Tabea das médias e desvios padrão. Estimativa Média Desvio padrão ˆβ 1 0, , ˆβ 2 1, , ˆβ 3 3, , β 1 0, , β 2 1, , β 3 3, , ˆγ 1 1, , ˆγ 2 2, , γ 1 1, , γ 2 2, , ˇγ 1 1, , ˇγ 2 3, , Os diagramas de caixa, apresentados nas Figuras 2.2 e 2.3, mostram que, para os parâmetros do submodeo dispersão, as estimativas de O n 2 são mehores, isto é, os desvios padrão destas são menores quando comparadas às outras. 26

34 Figura 2.2: Diagrama de caixas da distribuição das estimativas de γ 1. Figura 2.3: Diagrama de caixas da distribuição das estimativas de γ 2. Considerando este estudo de simuação, verificou-se que a proposta de Smyth e Verbya 1999 é de difíci convergência para amostras de tamanho pequeno. E, ainda, mesmo com uma amostra de tamanho 50, considerada moderado, as estimativas se equiparam às de MV, concuindo, portanto, que as estimativas de O n 2 são mehores, isto é, são mais homogêneas. 27

35 Capítuo 3 Modeos não-ineares da famíia exponencia Neste capítuo, é apresentada uma continuação da revisão de iteratura, não só para faciitar o desenvovimento teórico desta Tese, mas também para mostrar o uso prático dos estimadores de O n 2. Os MNLFE são extensões dos MLG, ou seja, o preditor η, que nos MLG é inear, neste modeo é permitido que seja não-inear. Estes modeos são apicados na farmacocinética, ecoogia e produção industria, entre outros. 3.1 O modeo Os MNLFE ficam caracterizados por uma componente aeatória, por uma componente sistemática da média e por uma função de igação, isto é, a componente aeatória: Y = Y 1,, Y n T, no qua Y tem uma função densidade de probabiidade pertencente à famíia exponencia: p y ; θ, φ = exp [{φ {y θ b θ + c y } + d 1 y + d 2 φ}], 3.1 com parâmetros canônicos θ e de precisão φ, sendo E Y = µ = bθ θ, V Y = φ 1 V e V = V µ = µ θ que é chamada função de variância. b componente sistemática: sendo η = g µ = f x j ; β, = 1,, n e j = 1,, p, 3.2 f ; uma função não-inear conhecida com reação a um vetor β, 28

36 β = β 1,, β p T um vetor de parâmetros desconhecidos, β R p, p < n, X uma matriz modeo de posto p. Logo, esse modeo fica caracterizado por sua apicabiidade para quaquer membro da famíia exponencia inear, e a presença da função de igação que conecta o preditor η ao vaor esperado de Y. As condições de reguaridade requeridas por 3.2 são apresentadas em Wei 1998, p Função og-verossimihança, função escore e matriz de informação de Fisher de β e φ Os estimadores dos parâmetros serão obtidos peo MMV e os de interesse são β, φ, θ e µ. A função og-verossimihança para os parâmetros desse modeo é dada por: β = φ { y T θ b θ + c y } + d 1 y + d 2 φ 3.3 ou equivaentemente β = φ [{y θ b θ + c y } + d 1 y + d 2 φ]. A função escore de β, denotada por U β, está deduzida no Apêndice E, considerando φ constante, e apresenta o seguinte resutado: U βr = φ y µ 1 V µ η r, sendo r = η. E, fazendo as somas, tem-se a seguinte forma matricia: βr U β = φ X T W 1/2 V y µ, 3.4 sendo X = fx;β β e W = diag{w 1, w 2,..., w n }, w = 1 V µ η 2. A matriz de informação de Fisher de β, denotada por K ββ, deduzida no Apêndice E, considerando φ constante é dada por: K βr β s = φw r, s, 29

37 sendo r, s = η η. Portanto, a matriz de informação de Fisher para β é dada por: βr βs K ββ = φ X T W X. 3.5 A função escore e a matriz de informação de Fisher de φ, denotadas por U φ e K φφ, respectivamente, são dadas por: U φ = = φ yt θ b θ + c y + d 2φ φ e K φφ = 2 d 2 φ φ φ T. A matriz de informação de Fisher de β e φ é: K β, φ = K ββ K φβ K βφ K φφ = φ XT W X dy;φ. φ φ T Portanto, β e φ são ortogonais, ogo, podem ser estimados separadamente. 3.3 EMV de β O EMV de β é obtido iguaando a expressão 3.4 a zero, isto é, X T W 1/2 V 1/2 y µ = 0, 3.6 pois φ é uma constante. Todavia, este sistema de equações não é inear, ogo, só poderá ser resovido numericamente por um processo iterativo, que pode ser: A método de Newton-Raphson, que está disponibiizado na procedure NLP e NLMIXED, do apicativo SAS. Este método consiste em expandir a função og-verossimihança em série de Tayor, em uma vizinhança de β 0, como apresentado no Apêndice B, que resuta em: β i+1 = β i + onde β i é a i-ésima iteração. 2 β i 1 β i β β T β T, i = 1, 2, 3, B método escore de Fisher, que está disponibiizado na procedure GENMOD do apicativo SAS. Esse método é uma aproximação do Newton-Raphson, no qua o vaor 2 β é β β T substituído por E 2 β. O EMV para este método na iteração, i + 1, consiste em β β T resover um sistema de equações reponderado, isto é, ˆβ i+1 = { XT W X 1 XT W z} i, 30

38 sendo z = η + η y µ, µ { } em que η = diag η1, η 2,, η n. µ µ 1 µ 2 µ n A convergência do processo iterativo é rápida, mas depende fortemente da escoha do vaor inicia β 0. Quanto mais próximo o vaor inicia do verdadeiro parâmetro, mais fáci a sua convergência. Cordeiro e Paua 1989b apresentam um procedimento que permite que a estimativa dos parâmetros dos MNLFE seja feita através da procedure GENMOD do SAS, utiizando o comando offset. 3.4 Estimadores de O n 2 Paua 1991 apresenta os vieses do EMV e os estimadores de O n 2 dos parâmetros β, η, µ e φ, que serão abordados nessa seção, uma vez que essa Tese trata de modeos cujo preditor η é não-inear Vieses do estimador de β, η e φ Viés de ˆβ A expressão de Cox e Sne 1968 é utiizada para a obtenção do viés de ˆβ a, denotado por B ˆβa, para a = 1,, p, como no Capítuo 2. Nesta expressão, são necessários os cumuantes dados a seguir, que são cacuados no Apêndice E, considerando φ constante: κ rs,t = φ [g r, s, t + w t, rs ] ; κ rst = φ f + 2g r, s, t + w {r, st + s, tr + t, rs }. Substituindo esses cumuantes na expressão de Cox e Sne, e fazendo agumas manipuações agébricas, tem se: no qua: B ˆβ X 1 = XT W XT W ξ, 3.7 ξ = ξ 1 + ξ 2 ; ξ 1 = 2φ 1 Z d W 1 F 1 e ξ 2 = 2φ 1 D β 1; 31

39 f = V 1 µ η 2 µ η 2 é o eemento diagona da matriz F ; Z d é a diagona da matriz Z = X XT W X 1 XT ; { D β = diag {d 1, d 2,..., d n } e d = tr X XT W X } 1, X é uma matriz p p cujos eementos são 2 η β r β s. Observa-se que a expressão 3.7 nada mais é que uma regressão de mínimos quadrados ponderada, cuja variáve resposta é ξ e a matriz peso é W. Viés de ˆη Para o cácuo do viés de ˆη = f a esperança, e obtém-se, X, ˆβ, apica-se a expansão em série de Tayor; em seguida, B ˆη = 2φ 1 {ZZ d F + ZW I D β } Estimadores de O n 2 Substituindo um estimador consistente de φ nas expressões 3.7 e 3.8, obtêm-se os estimadores corrigidos de β e η, denotados β e η, dados, respectivamente, por β = ˆβ B ˆβ e η = ˆη B ˆη. 3.5 Apicação: modeando a quantidade de vendas de produtos ao consumidor Como iustração, serão obtidos os estimadores corrigidos de β e γ, utiizando o apicativo SAS, para o probema apresentado em Whitmore 1986, onde o interesse é modear as quantidades de vendas reais e as projetadas para 20 produtos de uma companhia. Descrição do probema Uma organização produz um inventário de mercado e vende um reatório, o qua apresenta projeções, isto é, estimativas da venda anua, em dóares, para todos os produtos de todas as companhias, em particuar para a indústria de produtos ao consumidor. As projeções são feitas monitorando as quantidades de vendas em um paine da saída de vendas a varejo. Quaquer companhia em uma atividade que compra o reatório do inventário é capaz de comparar a quantidade rea de vendas para esses n produtos Y, = 1, 2,..., n com as quantidades projetadas no reatório x, = 1, 2,.., n. 32

40 Na Tabea 3.1, estão apresentados os dados fornecidos por Whitmore 1986 sobre as quantidades de vendas de produtos de uma certa companhia. Tabea 3.1: Dados das quantidades de vendas reais e estimadas. Produto i Estimado x i Rea y i Produto i Estimado x i Rea y i Variáveis Y resposta: quantidade rea vendida, em dóares; X covariáve: quantidade projetada para venda, em dóares. Modeo Componente aeatório com: Whitmore 1986 sugere a distribuição inversa gaussiana para descrever a variáve resposta Y IG β 1 x β 2, φ, = 1, 2,..., 20. Neste caso, φ foi considerado constante, mas desconhecido. Componente Sistemática η = 1 µ = β 1 x β 2 Agoritmo do SAS Passo 1 procedure nin: apicado para obter os vaores iniciais. Passo 2 macro: obtenção das estimativas a procedure im utiizada para estimar β, e em cada iteração i, a1 dar as primeiras derivadas da matriz modeo, X = η β ; 33

41 a2 considerar τ = η Xβ, para o uso do comando offset, de Cordeiro e Paua 1989, permitindo o uso{ do procedure } genmod com vetor de respostas ajustadas dado por z = η + diag η, [y µ] τ; = 1, 2,..., 20, onde X é dada por: µ X = η β = η β 1 η = β 2 x β 2 β 1 x β 2 og x ; n 2 b em cada iteração i, atuaizar os vaores de X, z, η para estimar β i. Passo 3 procedure im: cacua-se o viés de ˆβ, utiizando um arquivo saída, do procedure genmod, onde os resutados da matriz peso W e do vetor de estimativas do preditor inear η são retirados. Agora são necessárias: matriz de peso W = diag {µ } ; { } matriz F = diag 2 ; η 2 cada uma das 20 matrizes das derivadas segundas, que é dada por: X = 2 η β η β 2 β 1 2 η β 1 β 2 2 η β 2 2 = 0 x β 2 og x x β 2 og x β 1 x β 2 [og x ] 2 Nota: Uma medida para verificar a quaidade do ajuste é o AIC, critério de informação de Akaike, quando se deseja comparar modeos ajustados que pertençam a distribuições diferentes e é penaizada peo número de parâmetros. É cacuado por: AIC = 2og-verossimihança + 2p, sendo p número de parâmetros. Segundo Pinheiro e Bates 2000, p. 84, Ogiari 1998, p. 93 e Davidian e Gitnan 1995, p. 156, o mehor modeo é aquee que apresenta menor vaor de AIC. Resutados O processo convergiu na 3 a iteração e os resutados estão na Tabea 3.2, em que podese observar que os parâmetros β 1 e β 2 apresentam erros padrão pequenos e, para avaiar a magnitude do viés, cacuou-se o quociente deste com o seu respectivo erro padrão.. 34

42 Tabea 3.2: Estimativa de MV, de O n 2, desvios padrão, quociente e AIC. Parâmetro Estimativa Erro padrão Viés Quociente Estimativa V iés ˆβ Erro padrão β β 1 0,9242 0,1095 0,0056 5,14 0,9186 β 2-0,9868 0,0713-0,0047 6,60-0,9822 AIC = 88, 7867 Peo resutado, as estimativas de O n 2 parecem infuenciar pouco nas concusões. 35

43 Capítuo 4 Estimadores dos modeos não-ineares da famíia exponencia de dispersão inear Neste capítuo, são obtidos os EMV e os estimadores de O n 2 dos MNLFED. Os estimadores de O n 2 são a contribuição teórica desta Tese. Como referenciado no capítuo da Introdução, esses modeos são importantes, pois, tanto na área tecnoógica como na bioógica, observam-se fenômenos que apresentam estruturas nãoineares, distribuições assimétricas, e o parâmetro de dispersão pode depender de covariáveis. A resoução desse probema é compexa, porém, pode ser superada por meio do avanço dos computadores e do uso de apicativos não só estatísticos, mas também matemáticos. Para enfatizar os resutados obtidos nesse capítuo, são apresentadas, a seguir, as expressões dos vieses para o submodeo média e dispersão: 1 B ˆβ = XΦW X XΦW ξ e B ˆγ = 1 S D2 Φ1 2 S S D2 Φ1 2 ψ. 4.1 Modeo Os MNLFED ficam caracterizados por uma componente aeatória, peas componentes sistemáticas para média e dispersão e peas funções de igação, isto é, a componente aeatória: Y = Y 1, Y 2,..., Y n T, variáveis aeatórias independentemente distribuídas, nos quais os Y s são provenientes da famíia exponencia de dispersão, cuja 36

44 função densidade de probabiidade é dada por: p y; θ, φ = exp [φ {yθ b θ + c y} + d 1 y + d 2 φ ], sendo b, c, d 1 e d 2 funções conhecidas. A média e a variância de Y são E Y = bθ θ = µ, V Y = φ 1 V com V = V µ = dµ dθ, como uma função de variância. Os parâmetros θ e φ > 0 são chamados canônico e de precisão, respectivamente. b componentes sistemáticas do: submodeo média: as covariáveis supostamente fixadas x j, j = 1,, p apresentam uma estrutura não-inear, isto é, η = g µ = f 1 x j, β, = 1,, n; submodeo dispersão: as covariáveis supostamente fixadas s k, k = 1,, q, formam uma estrutura não-inear, isto é, τ = h φ = f 2 s k, γ, = 1,, n. 4.2 Funções escore e informação de Fisher de β e φ Como as componentes sistemáticas dos submodeos da média e dispersão são não-ineares, isso torna o cácuo dos cumuantes das derivadas da função og-verossimihança mais compexo, como observa-se no Apêndice E, em que são cacuadas as derivadas da og-verossimihança e os cumuantes dos MNLFED. Função escore de β O procedimento para obter a função escore de β, denotada por U β, a partir do Apêndice E, é anáogo ao apresentado no Capítuo 3 e é dado por: U β = X T ΦW 1/2 V 1/2 y µ, 4.1 sendo Φ = diag {φ 1,, φ n }. Função escore de γ A função escore de γ é obtida com mais detahes por ser a primeira vez que é referida nesta Tese. Seu cácuo parte da derivada primeira da função og-verossimihança com reação a γ, que é demonstrado no Apêndice E, cuja expressão é dada por: 37

45 U γr = β, γ φ = = φ τ τ γ R [ {y θ b θ + c y } + dd 2 φ dφ ] φ τ τ γ R [{y θ b θ + c y } φ 1 R + d 1 φ 1 R ], sendo: τ γ R = R ; 2 τ γ R γ S = RS e τ γ R τ γ S = R, S ; i φ τ i = φ i e Φ i = diag {φ i1,, φ in }, para i = 1, 2; d 2φ φ que: = d 1 e d 1 = {d 11,, d 1n } T, somando sob todos os tem-se, em notação matricia, U γ = S T Φ 1 ν, sendo ν = y T θ + b θ + c y + d 1 ; S = τ γ = fs,γ γ. Função escore β, γ A função escore β, γ é representada por um vetor particionado como segue: U β, γ = β,γ β β,γ = γ XT ΦW 1/2 V 1/2 y µ. S T Φ 1 ν Matriz de informação de Fisher de β A matriz de informação de Fisher de β para os MNFED, a partir do resutado do Apêndice E, é obtida de modo anáogo aos MNLFE, sendo dada por: K ββ = X T ΦW X. Matriz de informação de Fisher de γ No Apêndice E, demonstra-se que: 38

46 U γr γ S = 2 = {y θ b θ + c y φ γ R γ 2 R, S + φ 1 RS } S { d2 φ 1 2 } R, S {φ 1 φ 2 R, S } {d 1 φ 1 RS }, sendo i d 2 φ φ i = d i e D i = diag {d i1,, d in }, para i = 2, 3; φ 2 = 2 φ e Φ τ 2 2 = diag {φ 21,, φ 2n }. Para obter a matriz K γγ = E 2, apica-se a esperança nessa equação e após γ R γ S agumas manipuações agébricas obtém-se: K γγ = S T D 2 Φ 2 1 S. Para esses modeos, demonstra-se que K βγ = K γβ = 0, e para mais detahes ver Apêndice E. Portanto, a matriz de informação de Fisher particionada de β e γ forma a seguinte matriz boco diagona: K β, γ = K ββ K βγ K βγ K γγ Logo, os parâmetros β e γ são gobamente ortogonais. = XT ΦW X 0 0 ST D 2 Φ 2 1 S EMV de β e γ Para estimar os parâmetros β e γ, basta soucionar o sistema de equações U ˆβ, ˆγ = 0. Esse sistema de equações não é inear, ogo, só poderá ser resovido numericamente por um processo iterativo. Submodeo média O método de Newton-Raphson está disponibiizado nas procedures NLP e NLMIXED do apicativo SAS. Este método consiste em expandir a função og-verossimihança em série de Tayor, em uma vizinhança de β 0, como pode ser visto no Apêndice B, para uma dada iteração i + 1, tem-se: β i+1 = β i + 2 β i 1 β i. β β T β T 39

47 O método escore de Fisher está disponibiizado na procedure GENMOD do apicativo SAS. Esse método é uma aproximação do Newton-Raphson no qua o vaor 2 β é substituído por β β T E 2 β. Assim, tem-se: β β T i β i+1 = ˆβ K 1 ββ β U, substituindo K 1 ββ e U β e fazendo agumas manipuações agébricas obtem-se o EMV, para a iteração i + 1, que é dado por: ˆβ i+1 = { XT ΦW X 1 XT ΦW z β } i, sendo em que η = diag η. µ µ z β = Xβ + η y µ, µ Submodeo dispersão O método de Newton-Raphson é a soução do sistema γ i+1 = γ i + 2 γ i 1 γ i γ γ T γ. T Para o método escore de Fisher, a quanti 2 β β β T é substituída por E 2 β. Logo, β β T em seguida, substituindo os vaores de Kγγ 1 tem-se: γ i+1 = γ i+1 = γ K 1 γγ U γ i, { ST D 2 Φ 2 1 S e U γ, e após agumas manipuações agébricas 1 } i ST D 2 Φ 2 1 zγ sendo z γ = Sγ D 1 2 Φ 1 1 ν, 4.3 em que ν = y T θ + b θ + c y + d Vieses de ˆβ e ˆγ Esta seção é a contribuição teórica desta Tese; ogo, os vieses de ˆβ e ˆγ são demonstrados com certo rigor. 40

48 Viés de ˆβ O viés de ˆβ a é obtido por meio da expressão 2.13, do Capítuo 2, para a = 1,, p. Assim, é dado por: B ˆβa = p r,s,t=1 κ ar κ st κ t rs 1 2 κ rst + p q r=1 S,T =1 κ ar κ ST κ T rs 1 2 κ rst. 4.4 Os cumuantes do MNLFED são demonstrados no Apêndice E e apresentam os seguintes resutados: κ t rs = κ rst = φ [f + g r, s, t + w {r, st + s, rt}]; φ f + 2g r, s, t + w {r, st + s, tr + t, rs }; κ T rs = 0 e κ rst = 0. Portanto, substituindo esses resutados na expressão 4.4 obtém-se { B ˆβa = 1 φ 2 r κ ar r t,u κ st s, t f + r } w κ ar κ st {r, st + s, rt t, rs }. Após aguns cácuos e rearranjando convenientemente os somatórios, o viés de ˆβ, na notação matricia, é dado por: B ˆβ = 1 XT ΦW 2 X 1 XT Z βd F Φ1 1 XT ΦW 2 X 1 XT ΦW D β 4.5 = XT ΦW X { 1 XT ΦW 1 2 W 1 Z βd F 1 1 } 2 D β1, s,t sendo: D β = diag {d }, d =traço{ X XT ΦW X } 1 e X uma matriz p p cujos eementos st = 2 η, β s β t Z β = X XT ΦW X 1 XT e Z βd = diag Z β. Na expressão 4.5 substitui-se { 1 2 W 1 Z βd F D β1 } por ξ resutando em: B ˆβ X 1 = XT ΦW XT ΦW ξ

49 É importante saientar que ξ pode ser decomposta em duas componentes, isto é, ξ = ξ 1 + ξ 2, sendo ξ 1 = 1 2 W 1 Z βd F 1 e ξ 2 = 1 2 D β Portanto, o viés é um conjunto de coeficientes de uma regressão de mínimos quadrados ponderados, cuja variáve resposta é ξ = ξ 1 + ξ 2, com a matriz X sendo a matriz de covariáve e ΦW a matriz peso. Logo, para sua obtenção, basta um apicativo com móduo de regressão inear ponderado. Viés de ˆγ O viés de ˆγ A, denotado por B ˆγ A, para A = 1,, q, será obtido a partir de Cox e Sne 1968, que, nesse caso, como nos MLGD, resuta em: B ˆγ A = R,S,T κ AR κ ST κ T RS 1 2 κ RST 1 2 κ AR κ st κ Rst, 4.8 cujos cumuantes desta expressão são obtidos no Apêndice E e são dados por: R s,t κ T RS = { d3 φ d 2 φ 1 φ 2 } R, S, T + d 2 φ 1 2 {R, ST + S, RT }; κ RST = { d3 φ d 2 φ 1 φ 2 } R, S, T + { d2 φ 1 2} {R, ST + S, RT + T, RS }; κ Rst = w φ 1 R, s, t. Para obter B ˆγ A, é necessário substituir estes cumuantes na expressão 4.8. Para faciitar, foi decomposta a equação em duas parceas, sendo a primeira: = R,S,T [ κ AR κ ST R,S,T κ AR κ ST κ T RS 1 2 κ RST = d3 φ d 2 φ 1 φ 2 R, S, T + d 2 φ 1 2 {R, ST + S, RT T, RS } ], e a segunda: 1 2 κ AR κ st κ Rst = 1 κ AR κ st 2 s,t R β,γ 42 φ 1 w R, s, t.

50 Em seguida, subtraindo a primeira da segunda parcea e rearranjando os somatórios obtém-se: B ˆγ A = { } d3 φ d 2φ 1φ 2 κ AR R κ ST S, T R,S,T d 2 φ 1 2 κ AR R κ ST ST + 1 φ 2 1 w κ AR R κ st s, t. R,S,T s,t R 4.9 Fazendo os somatórios e rearranjando obtém-se a notação matricia, B ˆγ = 1 2 sendo: [ K 1 γ S T Z γd D3 Φ D 2 Φ 1 Φ 2 + Kγγ 1 S T Z βd W Φ 1 + Kγγ 1 S ] T D 2 Φ 2 1D γ, 1 Z γ = SK S γγ T e Z γd = diag {z γ11,, z γnn }; D γ = diag {d } em que d =traço{ S ST D 2 Φ 2 1 S } 1 matriz 2 τ = ST γ S γ T, = 1, 2,..., n. e S são os eementos da Para simpificar, considere Ψ = Ψ 1 + Ψ 2, 4.10 sendo: Ψ 1 = 1 D 2 2Φ [Z γd D 3 Φ D 2 Φ 1 Φ 2 + Z βd W Φ 1 ] 1; Ψ 2 = 1D 2 γ1. Portanto, a expressão simpificada para o viés de ˆγ resuta em: B ˆγ = 1 ST D 2 Φ1 2 S ST D 2 Φ1 2 Ψ Assim, o viés de ˆγ é um conjunto de coeficientes de uma regressão de mínimos quadrados ponderados, cuja variáve resposta é Ψ = Ψ 1 +Ψ 2, sendo S a matriz modeo e D 2 Φ 2 1 a matriz peso. Logo, para o seu cácuo, basta um apicativo com móduo de regressão inear ponderada. Estimador de O n 2 de β e γ Como nos capítuos anteriores, estes estimadores nada mais são do que a diferença entre o EMV e o viés, peo Apêndice C, e serão denotados por um ti sobre o parâmetro, isto é, β = ˆβ B ˆβ e γ = ˆγ B ˆγ. 43

51 4.5 Caso especia Nesta seção, é demonstrado que as expressões obtidas na seção 4 estendem os resutados de Cordeiro e Botter 1998, que é um dos objetivos específicos dessa Tese. Para os MLGD, as componentes sistemáticas são ineares, portanto, η = g µ = f 1 x j, β = Xβ e τ = h φ = f 2 s j, γ = Sγ. Observa-se que para estes preditores: X = X Z βd = X X T ΦW X 1 X T ; X = 0 D β = 0 ξ 2 = 0, portanto a componente ξ = ξ 1 = 1W 1 Z 2 βd F 1; S = S Z γd = S S T D 2 Φ 2 1 S 1 S T ; S = 0 D γ = 0 Ψ 2 = 0; Ψ = Ψ 1 = 1 D 2 2Φ [Z γd D 3 Φ D 2 Φ 1 Φ 2 + Z βd W Φ 1 ] 1. Substituindo nas expressões dos vieses de ˆβ e ˆγ, isto é, nas expressões 4.6 e 4.11, obtêm-se: B ˆβ = X T ΦW X 1 X T ΦW ξ 1 e B ˆγ = S T D 2 Φ 2 1 S 1 S T D 2 Φ 2 1 Ψ 1. Estas expressões são as mesmas apresentadas por Botter e Cordeiro 1998 para os vieses de ˆβ e ˆγ, respectivamente. 4.6 Viés de ˆη, ˆτ, ˆµ, ˆφ e ˆφ 1 Viés de ˆη Para se obter o viés de ˆη, denotado por B ˆη, expande-se ˆη = f na vizinhança de ˆβ, isto é, X, ˆβ em série de Tayor, ˆη =f X, ˆβ = f X, β + β ˆβ f X, β β ˆβ β ˆβ + β 2! T 2 f X, β β β T. Rearranjando os termos f X, β β ˆβ β ˆβ f X, ˆβ f X, β = β ˆβ + β 2! T 2 f X, β β β T. 44

52 Apicando a esperança, tem-se: B ˆη = η ˆβ β B η ˆβ 2 β β V. T Substituindo V ˆβ por diag K 1 ββ e B ˆβ pea expressão 4.6, resuta em: B ˆη = 1 2 {Z βz βd F 1+ Z β W Φ I D β } Viés de ˆτ O viés de ˆτ é obtido anaogamente ao anterior, isto é, expande-se f S, ˆγ em série de Tayor, na vizinhança de γ, apica-se a esperança e considera-se V ˆγ = diag Kγγ 1. Após aguns cácuos agébricos, tem-se: B ˆτ = Z γ D2 Φ 2 1 Ψ1 + { Z γ D2 Φ 2 1 I } Ψ Viés de ˆµ Obtém-se, agora, o viés de ˆµ expandindo g 1 ˆη = ˆµ em série de Tayor, na vizinhança de η, isto é, g 1 ˆη g 1 η = g 1 η η ˆη η g 1 η ˆη η ˆη η T. 2 η η T Após [ apicar a esperança, ] considera-se somente { [ os termos da diagona ]} da matriz de covariância E ˆη η ˆη η T, isto é, V ˆη = diag E ˆη η ˆη η T = Z βd, uma vez que é o viés { } { } de cada componente. Agora, considerando G 1 = diag µ, G η 2 = diag 2 µ e substituindo η 2 em 4.12, o viés de ˆµ resuta em: B ˆµ = 1 2 G 2Z βd 1 + 2G 1 Z β W Φξ G 1 Z β W Φ I D β Viés de ˆφ Para o cácuo do viés do parâmetro de precisão φ, h 1 ˆτ = ˆφ, é necessário expandir h 1 ˆτ em série de Tayor, na vizinhança de τ, isto é, h 1 ˆτ h 1 τ = h 1 τ τ ˆτ τ h 1 τ ˆτ τ ˆτ τ T. 2 τ τ T Em seguida, apicando [ esperança, ] considera-se somente{ os [ termos da diagona ]} da matriz de covariância E ˆτ τ ˆτ τ T, isto é, V ˆτ = diag E ˆτ τ ˆτ τ T = Z γd, uma 45

53 vez que é o viés de cada componente. Ao substituir 4.13 na expressão anterior, e reaizar agumas manipuações agébricas, obtém-se: B ˆφ = 1 Φ2 Z γd 1 2Φ 1 Z γ Φ 2 D 2 Ψ 1 Zγ D 2 φ I Ψ Viés de ˆφ 1 Finamente, o viés do parâmetro de dispersão φ 1 é obtido também expandindo g 1 ˆτ 1 = ˆφ 1, em série de Tayor, na vizinhança de τ. Apicando a esperança, resuta em: ˆφ 1 B = h τ 1 1 τ = φ τ B ˆτ h τ h τ 1 2 B ˆτ V ˆτ τ { τ T 2 dφ dτ 2 d 2 φ dτ dτ T h τ 1 h τ 1 3 } V ˆτ. Em seguida, substituindo 4.13 e considerando V ˆτ = Z γd, na expressão anterior, obtém-se a seguinte forma matricia: ˆφ 1 B = 1 { 2Φ Φ 2 Φ } Φ 3 Z γd 1 + 2Φ 1 Φ 2 Z γ D 2 Φ 2 1 1Ψ 1 + Zγ D 2 Φ I D γ 1, 2 que resuta em: ˆφ 1 B = 1 { 2Φ Φ 2 Φ } Φ 3 Z γd 1 + 2Φ 1 Φ 2 Z γ D 2 Φ 2 1Ψ 1 Zγ D 2 Φ I Ψ 2 Z γ D 2 Φ I Ψ Estimadores de O n 2 Concuindo, os estimadores de O n 2 para os parâmetros η, τ, µ, φ e φ 1 são obtidos, respectivamente, por: η = ˆη B ˆη, τ = ˆτ B ˆτ, µ = ˆµ B ˆµ, φ = ˆφ B ˆφ e φ 1 = ˆφ 1 B ˆφ Apicação: modeando a quantidade de vendas de produtos ao consumidor Apresenta-se aqui a mesma apicação do Capítuo 3, considerando, agora, os submodeos da média e dispersão. 46

54 4.7.1 Modeo Componente aeatório Neste Capítuo, seguindo a sugestão de Whitmore 1986, é adotada como variáve resposta a distribuição inversa gaussiana: Y IG β 1 x β 2, γ 1 1 x γ 2, = 1, 2,..., 20. Componentes Sistemáticas: a Submodeo média: η = 1 µ = β 1 x β 2. b Submodeo dispersão: τ = φ = xγ 2. γ 1 Estimativas de O n 1 : O estimador β foi obtido de forma anáoga ao do Capítuo 3. Cacua-se, iniciamente, o viés de ˆγ e, em seguida, γ. Para isso, é preciso: matriz dos parâmetros matriz da primeira derivada matriz peso S T = γ T = γ 1 γ 2 sγ 2 γ { D 2 φ 2 1 = diag }20 20, 1 2φ 2, s γ 2 ogs γ, sendo S = X, matriz das segundas derivadas, S S = 2s γ 2 γ 3 1 sγ 2 γ 2 1 sγ 2 γ 2 1 s γ 2 ogs γ 1 e = 1, 2,...,

55 4.7.2 Resutados Os resutados das estimativas encontram-se na Tabea 4.1, juntamente com os quocientes dos seus respectivos erros padrão, para avaiar sua magnitude. Pode-se observar que o submodeo média apresenta para o quociente entre o viés e o erro padrão vaores próximos de zero, enquanto que no submodeo de dispersão o mesmo não ocorre. Logo, neste útimo caso, as estimativas de O n 2 parecem necessárias. Tabea 4.1: Estimativas de MV, de O n 2 e erros padrão. Parâmetro Estimativa de MV Erro padrão Quociente p vaor Estimativa de On 2 β 1 1, , ,3 <0,0001 1,09689 β 2 0, , ,2 <0,0001 0,92710 γ 1 0, , ,1 0,0241 0,01212 γ 2 2, , ,1 <0,0001 2,32586 AIC = 27, E, ainda, comparando o AIC deste modeo com o do Capítuo 3, considerando φ constante, observa-se que este está mehor ajustado, pois aqui o vaor do AIC foi 27,65 e, no outro caso, pea Tabea 3.2, foi de 88,78. Concuindo, a necessidade de modear a dispersão. 48

56 Capítuo 5 Avaiando estimadores de O n 2 através de um estudo de simuação em MNLFED Neste capítuo, é reaizado um estudo de simuação para mostrar a importância dos estimadores de O n 2 em experimentos onde o tamanho da amostra é pequeno. Isto, ocorre quando se deseja controar a quaidade de um produto, como em processos industriais que necessitam ser caracterizados em amostra de tamanho pequeno, para que defeitos nos produtos sejam detectados ogo, permitindo, assim, a eiminação de perdas e, conseqüentemente, aumento do ucro. Foram reaizadas simuações para variáveis respostas com distribuição inversa gaussiana e gama que podem ser utiizadas para descrever a voatiidade financeira diária, segundo Forsberg Para se obter as estimativas de MV, foram utiizadas as procedures NLP e NLMIXED do SAS, que usam o método de Newton-Raphson. Segundo Wofinger 2004, apesar da procedure NLMIXED do SAS ser utiizada para ajustar modeos com efeito aeatório, pode também ser utiizada quando isto não ocorre. 5.1 Simuação da variáve resposta com distribuição inversa gaussiana O primeiro modeo simuado, pertencente à casse dos MNFED, foi a distribuição inversa gaussiana, que é muito utiizada para fazer a previsão do risco de vida em atuária ou em cartas de controe, pois o processo de produção de uma indústria apreta distribuição positiva e assimétrica, segundo Hawkins e Owe Os resutados para comparar os EMV ˆβ e ˆγ, seus correspondentes vieses e os estimadores 49

57 corrigidos β e γ, foram efetuados via simuação de Monte Caro Submodeos média e dispersão Adotou-se para a componente sistemática da média o modeo Gompertz, que, como as demais curvas de crescimento, apresenta dois parâmetros bioogicamente reevantes. Um dees, β 1, a assíntota da função, interpretada como o tamanho médio de maturidade, e o outro, β 3, é a taxa de crescimento até o tamanho aduto, sendo chamado índice de maturidade. O terceiro parâmetro, β 2, não tem significado especia. Este modeo foi utiizado por Ogiari 1998 para descrever a média da variáve resposta: voume sóido com casca de árvores de eucaipto em diversos anos. As componentes sistemáticas adotadas são dadas como se segue. Submodeo média O modeo Gompertz é dado por: η = µ = β 1 exp exp β 2 β 3 x. 5.1 Submodeo dispersão E, considerou-se uma variabiidade como sendo: τ = φ = exp γ 1 s 1 + γ 2 s 2. Agoritmo do SAS Passo 1 Macro: para gerar amostras de tamanho n, no qua os vaores de n foram 20, 30, 40 e 60. Passo 2 Gerar matrizes modeo X e S com distribuição uniforme, U 0, 1, sendo fixadas para todas as simuações, com igua tamanho de amostra. Passo 3 Os parâmetros do modeo foram fixados como sendo β = e γ = 1, 5 2, 5. Passo 4 Gerar amostras de tamanho n, cuja variáve resposta, Y IG µ, φ, isto é, a sua função densidade de probabiidade, é dada por: p y; µ, φ = 1/2 φ y µ2 exp φ. 2πy 3 2µ 2 y 50

58 Para isto, utiizou-se a transformação apresentada por Chhikara e Foks 1989, p. 53. Passo 5 Procedure NLP : para estimar os parâmetros β e γ. Passo 6 Procedure IM L: para obter os vieses. Após a simuação de cada amostra, são obtidos os vieses e as estimativas de O n 2. Para obter os vieses, são necessárias agumas matrizes, apresentadas a seguir: Matriz X = η β 1 e 3, que é dado por: η β 2 η n 3, onde cada η é um vetor de n eementos e j = 1, 2 β 3 β j η β 1 = exp exp β 2 β 3 x, η β 2 η β 3 = β 1 exp β 2 β 3 x exp exp β 2 β 3 x e = β 1 x exp β 2 β 3 x exp exp β 2 β 3 x. Matriz peso 1 ΦW = diag φ. µ 3 Matriz F, cujo eemento diagona é f = 1 µ 2 µ V µ η η 2 = 0, uma vez que a igação é identidade, isto é, µ η = 1 e, conseqüentemente, 2 µ η 2 = 0. Matriz X é dada por: X = 2 η β η β 1 β 2 2 η β 1 β 3 2 η β 1 β 2 2 η β η β 2 β 3 2 η β 1 β 3 2 η β 2 β 3 2 η β 2 3 no qua cada eemento da matriz é dado por: 2 η β 2 1 = 0; 2 η = exp β β 1 β 2 2 β 3 x exp exp β 2 β 3 x ; 2 η β 1 β 3 = x exp β 2 β 3 x exp exp β 2 β 3 x; 51

59 2 η β 2 2 = β 1 exp β 2 β 3 x exp exp β 2 β 3 x+β 1 {exp β 2 β 3 x} 2 exp exp β 2 β 3 x; 2 η β 2 β 3 = β 1 x exp β 2 β 3 x exp exp β 2 β 3 x β 1 x {exp β 2 β 3 x} 2 exp exp β 2 β 3 x; 2 η β 2 3 = β 1 x 2 exp β 2 β 3 x exp exp β 2 β 3 x+β 1 x 2 {exp β 2 β 3 x} 2 exp exp β 2 β 3 x. S τ =, τ, no qua cada η é um vetor de n eementos e k = 1 e 2, ogo, para o γ 1 γ 2 γ k submodeo dispersão, a matriz da primeira derivada é dada por: Matrizes: peso: D 2 φ 2 1 = diag 1 D 3 = diag ; φ 3 S = s1 exp γ 1 s1 + γ 2 s2 s2 exp γ 1 s1 + γ 2 s2 1 2φ 2 ; Φ 1 = I n n, sendo I a matriz identidade e Φ 2 = 0 n n, pois a igação é identidade. n 2. Em seguida, para o cácuo de Ψ 2, são necessários os cácuos das n matrizes 2 2 das derivadas segundas: Resutados s1 2 exp γ 1 s1 + γ 2 s2 s1s2 exp γ 1 s1 + γ 2 s2 S = s1s2 exp γ 1 s1 + γ 2 s2 s2 2 exp γ 1 s1 + γ 2 s As estimativas de MV e de O n 2, bem como os desvios padrão para as amostras, com tamanhos 20, 30, 40 e 60, estão apresentados na Tabea 5.1. Observa-se que os desvios padrão das estimativas de O n 2 são menores quando comparados com os respectivos desvios padrão obtidos pea MV, e que ˆβ 3 é praticamente o vaor do parâmetro para todos os tamanhos da amostra. Tem-se, ainda, que o submodeo média está mehor estimado do que o de dispersão e, aém disso, quanto maior o tamanho da amostra, as estimativas de MV e as de O n 2 tendem ao parâmetro. 52

60 Tabea 5.1: Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão. n estimativas parâmetros β 1 = 1 β 2 = 2 β 3 = 3 γ 1 = 1, 5 γ 2 = 2, 5 de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , Na Tabea 5.2, observa-se que o quociente do viés peo seu respectivo desvio padrão diminui conforme cresce o tamanho da amostra. Assim, por esta Tabea, tem-se que a magnitude dos vieses é consideráve para tamanho da amostra pequeno. Tabea 5.2: Quociente do viés do parâmetro peo seu respectivo desvio padrão. tamanho quociente da amostra viés β 1 sβ 1 viés β 2 sβ 2 viés β 3 sβ 3 viés γ 1 sγ 1 viés γ 2 sγ ,10% 0,01% 0,02% 10,31% 8,63% 30 0,71% 0,06% 0,01% 7,85% 7,84% 40 0,56% 0,02% 0,02% 5,90% 5,41% 60 0,40% 0,01% 0,00% 3,47% 3,56% Pea Figura 5.1, que representa o diagrama de caixas da estimativa do parâmetro β 1, peos dois métodos, observa-se que os resutados estão praticamente empatados. 53

61 Figura 5.1: Diagrama de caixas da estimativa do parâmetro β 1. Considerando, agora, as estimativas dos parâmetros γ 1 e γ 2, construido os diagramas de caixas para as suas estimativas, observa-se que as estimativas de O n 2 são mais precisas. a b Figura 5.2: a: Diagrama de caixas da estimativa do parâmetro γ 1 ; b: Diagrama de caixas da estimativa do parâmetro γ 2. Os resutados foram os esperados, uma vez que, para amostras de tamanho pequeno e moderado, o viés é consideráve, enquanto que, para amostras grandes, o viés é praticamente nuo. O programa deste estudo de simuação encontra-se no Apêndice F. 54

62 5.2 Simuação da variáve resposta com distribuição gama A segunda simuação reaizada foi a distribuição gama, que, assim como a inversa gaussiana, é muito utiizada na prática. Também, para esta, o uso do viés foi estudado através da simuação das amostras via Monte Caro. Como no apicativo SAS a simuação da distribuição gama é feita considerando apenas um parâmetro, dado por: px; φ = 1 Γ φ xφ 1 exp x, 5.2 em que φ é o parâmetro shape e E X = V X = φ, porém, nesta Tese é necessária a distribuição gama de dois parâmetros, que é dado por: py; µ, φ = 1 yγ φ φ φy exp φy, 5.3 µ µ sendo E X = µ, V X = µ2 em que µ é a média. Para passar da distribuição 5.2 para φ 5.3 apica-se o teorema da transformação da variáve aeatória, considerando os parâmetros de escaa igua a µ, shape igua a φ e a parametrização: φ y = µ φ x. As matrizes X e S foram geradas a partir da distribuição uniforme U 0, 1, sendo fixadas para as simuações para amostras de mesmo tamanho. Também, utiizou-se a restrição de que os vaores de φ deveriam ser todas maiores que 1, pois, caso isso não ocorra, o processo de estimação apresenta instabiidade Submodeos média e dispersão As componentes sistemáticas, tanto para a média como para a dispersão, foram as mesmas da distribuição inversa gaussiana. Os vaores dos parâmetros dados foram para: β 1 = 1, β 2 = 2, β 3 = 3, γ 1 = 1, 5 e γ 2 = 2, 5. Iniciamente, foram geradas as matrizes X e S, consideradas fixadas e, em seguida, a variáve resposta Y. Após, a geração da variáve resposta Y, para cada amostra, peo procedure NLP, foram obtidas as estimativas dos parâmetros peo método de máxima verossimihança: β 1, β 2 e β 3 e, aternadamente, γ 1 e γ 2, uma vez que β e γ são gobamente ortogonais, por 4.2. E, posteriormente, para se obter as estimativas de O n 2, é necessário cacuar os vieses de β, por 4.6 e γ, por 4.11, peo procedure IML. Para o cácuo dos vieses, são necessárias as matrizes das primeira e segunda derivadas, obtidas peo apicativo matemático M ape. 55

63 a Para o submodeo média, a matriz X e X são iguais ao caso da distribuição inversa gaussiana, no qua a única diferente é a matriz peso, que é dada por: φw = diag φ 1µ. 2 Em seguida, todo os passos são iguais aos descritos para a distribuição inversa gaussiana. b Para o submodeo de dispersão, as matrizes S e S são iguais ao caso da inversa gaussiana, no qua a diferença é a matriz peso dada por: 1 D 2 φ 2 1 = diag digamma φ. φ Todos os passos são os mesmos daqueas descritos para a distribuição inversa gaussiana Resutados Para cada tamanho de amostra 20, 30, 40 e 60, reaizararam-se simuações, cujos resutados estão apresentados na Tabea 5.3. Tabea 5.3: Estimativas de MV, de O n 2 e desvios padrão. n estimativas parâmetros β 1 = 1 β 2 = 2 β 3 = 3 γ 1 = 1, 5 γ 2 = 2, 5 de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de M V 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , de O n 2 1, , , , , desvio padrão 0, , , , , Na Tabea 5.4, é apresentado o quociente do viés peo seu respectivo desvio padrão, cujos resutados confirmam a teoria, isto é, quanto maior o tamanho da amostra menor ea é. 56

64 Tabea 5.4: Quociente do viés do parâmetro peo seu respectivo desvio padrão. tamanho quociente da amostra viés β 1 sβ 1 viés β 2 sβ 2 viés β 3 sβ 3 viés γ 1 sγ 1 viés γ 2 sγ ,46% 2,39% 0,28% 0,01% 0,16% 30 5,48% 0,78% 0,23% 0,00% 0,02% 40 3,45% 0,41% 0,09% 0,00% 0,01% 60 2,11% 0,01% 0,08% 0,00% 0,01% Portanto, por este estudo de simuação, tanto para a distribuição inversa gaussiana como a gama, concui-se que os vieses são necessários para amostras de tamanho pequeno e que, para tamanhos de amostras grandes, as estimativas de segunda ordem são praticamente iguais às de MV, concordando com a teoria, isto é, conforme o tamanho da amostra vai aumentando, as estimativas tendem ao verdadeiro parâmetro e uma observação importante é que as estimativas de O n 2 apresentam menor desvio padrão, ou seja, são mais precisas. 57

65 Capítuo 6 Apicação em modeos one-compartment Estes modeos são usuamente adotados pea indústria farmacêutica na Fase I de experimentos em farmacocinética, cujo interesse é conhecer o comportamento gera de uma nova droga. Os modeos desse tipo consideram que, após a administração da droga, a mesma se distribui em todo o organismo instantaneamente. Supondo um boco homogêneo para a droga, é como se ea estivesse sendo dissovida em um béquer contendo um único sovente. A Figura 6.1 esquematiza a reação entre a concentração da droga no pasma e o tempo após a apicação, que pode ser descrito como a soma de parceas exponenciais. Figura 6.1: Modeos one-compartment. Lindsey et a anaisam a concentração do fosequinan no pasma, que é uma droga para o tratamento de insuficiência cardíaca, ressatando que: na Fase I, a amostra é constituída de vountários sadios, e isto impica para as indústrias farmacêuticas um custo muito ato quando o tamanho da amostra é grande; geramente a transformação ogaritmica é apicada na variáve resposta, induzindo uma impícita reação entre a média e a variância; 58

66 ajustaram três modeos: com variância constante, para a média e para dispersão e por útimo, os mistos considerando os vountários sadios como medidas repetidas, e isto, pode provocar superdispersão, conforme Dobson 2002, p. 167, uma vez que, as observações dentre os indivíduos estão correacionadas. Os resutados evidenciaram que os modeos mistos, modeos para média e para dispersão quando comparados aos modeos com variância constante, são mehores. Diante do exposto, justifica-se o uso deste experimento, uma vez que, o intuito é somente iustrar a viabiidade prática da metodoogia proposta. 6.1 Modeo Os dados anaisados estão disponibiizados no site jindsey, com autorização deste, e referem-se à Fase I do estudo da droga fosequinan Variáveis de interesse Y resposta: concentração do fosequinan, em microg/m; t covariáve: tempo, em h e d covariáve: dose, em mg Deineamento experimenta O deineamento experimenta é do tipo medidas repetidas, isto é, as amostras de sangue foram coetadas a 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 3; 4; 6; 8; 10; 12; 24 horas, em cada vountário sadio. As doses da droga usadas foram 50 mg, 100 mg e 150 mg. A amostra consistiu de 18 vountários sadios, com idade média de 34,3 anos, com desvio padrão de 10,3 anos, peso médio de 63,6 kg e desvio padrão de 10,2 kg Componente aeatória Utiizou-se para variáve resposta as distribuições gama, inversa gaussiana e norma, que serão denotadas com subescrito G, IG e N, respectivamente, isto é, Y G G µ, φ, Y IG IG µ, φ e Y N N µ, φ sendo = 1,,

67 6.1.4 Componentes sistemáticas: Submodeo média A função que descreve a média dos modeos one-compartment apresentam três parâmetros k a, k e e v, no entanto, nesta anáise, será considerado que k a = k e, pois, caso contrário, a função og-verossimihança da concentração será bimoda, dificutando a obtenção das estimativas; portanto, o preditor não-inear η é dado por: sendo: η = µ = k amd t v m exp k am t, 6.1 k a interpretado como razão de absorção; k e interpretado como razão de eiminação da droga; v interpretado como voume que converte a dose tota do compartimento em concentração; índice m coocados como subescrito, denota parâmetros da média. Submodeo dispersão sendo: τ = φ = exp k adt ν d, 6.2 índice d coocado como subescrito denota o parâmetro dispersão. Aqui também considerou-se k a = k e. É importante saientar que neste modeo as estimativas dos parâmetros obtidos devem ser: 1. positivas, uma vez que a razão de absorção, razão de eiminação e voume são vaores positivos 2. ˆv > ˆk am e ˆv > ˆk em. Observações: As variáveis aeatórias com distribuições gama ou inversa gaussiana assumem vaores positivos, então, para adotá-as, adicionou-se uma constante à concentração do fosequinan 60

68 no pasma, uma vez que neste banco de dados há várias observações iguais a zero, isto é, e o submodeo de dispersão para distribuições: gama: φ G = φ 1 µ 2 inversa gaussiana: φ IG = φ Y = concentração + 10; 6.3 µ = exp k adt 1 µ 3 1 ν d µ 2 µ ; µ = exp k adt 1 ν d µ 3 µ Agoritmo do SAS Passo 1 As estimativas de M V foram obtidas pea procedure NLMIXED. Nesta procedure, deve-se fornecer a função og-verossimihança, os submodeos média e dispersão e a tentativa inicia. Para obter a tentativa inicia, construiu-se gráficos com vários vaores de k am ou v m ou k ad ou v d no eixo X, e a função og-verossimihança no eixo Y. Um desses gráficos é apresentado a seguir: a b c Figura 6.2: a: Comportamento da og-verossimihança quando k am é fixado para dose 50; b: Comportamento da og-verossimihança quando k am é fixado para dose 100; c: Comportamento da og-verossimihança quando k am é fixado para dose 150. Passo 2 As estimativas de O n 2 foram obtidas pea procedure IML e, para isto, é necessária a obtenção das seguintes matrizes: 61

69 matriz das primeiras derivadas X T = [ dt exp kamt k amdt 2 exp k amt v m matrizes peso do submodeo média 1 ΦW G = diag φ, µ 2 n n ΦW IG = diag φ 1µ e 3 ΦW N = diag φ1 n n. n n k amdt exp k amt v 2 m ] T n 2. matriz das segundas derivadas, X = matriz F é nua. 2dt2 exp k amt v m X para = 1, 2,..., 648, + kamdt3 exp k amt v m dt exp kamt + kamdt2 exp k amt vm 2 vm 2 matriz das primeiras derivadas do submodeo dispersão [ S T = t exp k adt v d matrizes peso do submodeo dispersão { D 2 φ 2 1 G = diag 1 }n n, digamma φ φ { D 2 φ 2 1 IG = diag { D 2 φ 2 1 N = diag 1 2φ 2 }n n 1. 2φ }n n 2 dt exp kamt + kamdt2 exp k amt vm 2 vm 2 exp k adt v 2 d matriz das segundas derivadas, S para = 1, 2,..., 648, matriz F é uma matriz nua. S = e t 2 exp k ad t v d t exp k ad t v 2 d t exp k ad t v 2 d 2 exp k ad t v 2 d 2k amdt exp k amt v 3 m ] T n Resutados O diagrama de dispersão, apresentado na Figura 6.3, mostra que o comportamento da média decresce exponenciamente. Portanto, a função que descreve a média é razoáve. 62

70 Figura 6.3: Diagrama de dispersão da concentração versus tempo. As Tabeas 6.1, 6.2 e 6.3 apresentam as estimativas obtidas para as componentes aeatórias gama, inversa gaussiana e norma. Pode-se observar que o modeo norma é o que tem menor AIC, porém, neste, ˆk ad é negativo. Logo, este modeo é descartado. Portanto, utiizando o critério AIC, o modeo a ser adotado deve ser inversa gaussiana. Tabea 6.1: Estimativa de MV, de O n 2, erros padrão para modeo gama. Parâmetro Estimativa de MV Erro Padrão p-níve Estimativa de On 2 k am 0,4684 0,0078 <0,0001 0,4066 v m 6,4839 0,2462 <0,0001 6,0756 k ad 0,8305 0,0191 <0,0001 0,7997 v d 5,6587 0,6804 <0,0001 5,9077 AIC 3621,3105 Tabea 6.2: Estimativas de MV, de O n 2, erros padrão para modeo inversa gaussiana. Parâmetro Estimativa de MV Erro Padrão p-níve Estimativa de On 2 k am 0,5528 0,0035 <0, v m 84,4798 2,0047 <0, ,5095 k ad 0,4782 0,0101 <0,0001 0,4788 v d 11,1950 0,9534 <0, ,1771 AIC 3369,