UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA VEROSSIMILHANÇA PERFILADA NOS MODELOS LINEARES GENERALIZADOS COM SUPERDISPERSÃO THIAGO ALEXANDRO NASCIMENTO DE ANDRADE Orientadora: Prof a. Dra. Audrey Heen Mariz de Aquino Cysneiros Área de concentração: Estatística Matemática Dissertação submetida como requerimento parcia para obtenção do grau de Mestre em Estatística pea Universidade Federa de Pernambuco Recife, fevereiro de 2013

2 Cataogação na fonte Bibiotecária Monick Raque Sivestre da Siva, CRB Andrade, Thiago Aexandro Nascimento de Verossimihança perfiada nos modeos ineares generaizados com superdispersão / Thiago Aexandro Nascimento de Andrade. - Recife: O Autor, x, 49 fohas: i., tab. Orientadora: Audrey Heen Mariz de Aquino Cysneiros. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federa de Pernambuco. CCEN. Estatística, Incui bibiografia e apêndice. 1. Estatística matemática. 2. Teoria assintótica. I. Cysneiros, Audrey Heen Mariz de Aquino (orientadora). II. Títuo CDD (23. ed.) MEI

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4 iii A meus amados pais e minha esposa, dedico com todo meu amor.

5 Agradecimentos Primeiramente a Deus, pea minha vida, por iuminar meus caminhos e por me dar forças necessárias para a concusão de mais esta etapa de minha vida. À minha esposa Renata, por todo seu amor, companheirismo, cumpicidade e paciência para com minhas ausências. Aos meus famiiares, em especia a minha mãe Céia, meu pai Vadeci, minha irmã Thaysa, meu Tio Mário, minha sogra Maria do Carmo peo apoio incondiciona em todos os momentos. Um agradecimento especia a minha avó Quitéria, por todas as orações e suas sábias paavras de conforto que sempre tiveram o dom de me acamar nos momentos mais difíceis. À professora Audrey Heen Mariz de Aquino Cysneiros, pea orientação, paciência, amizade e ensinamentos, fundamentais para concusão deste trabaho. Aos coegas do mestrado, em especia à Ana, Diêgo, Heoisa e Sadraque por todo companheirismo e peas muitas horas de estudo compartihadas. À Vaéria Bittencourt, pea competência, dedicação e carinho que tornaramse marcas registradas de seu trabaho com os aunos da pós-graduação. A todos os professores do Programa de Mestrado em Estatística da UFPE. Ao CNPq peo apoio financeiro. iv

6 "A cada dia que vivo, mais me convenço de que o desperdício da vida está no amor que não damos, nas forças que não usamos, na prudência egoísta que nada arrisca e que, esquivando-nos do sofrimento, perdemos também a feicidade" Caros Drummond de Andrade v

7 Resumo A casse de Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão (MLGSs) proposta por Dey et a. (1997), tem sido ampamente utiizada na modeagem de dados cuja variância da variáve resposta excede o vaor nomina predito no modeo. O principa objetivo da presente dissertação é a obtenção de um fator de correção de Bartett, segundo a metodoogia proposta por DiCiccio e Stern (1994), à estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas proposta por Cox e Reid (1987) para o teste conjunto dos efeitos da dispersão nesta casse de modeos. Estudos de simuação de Monte Caro foram reaizados com o objetivo de avaiar os desempenhos dos testes baseados nas estatísticas da razão de verossimihanças usua (LR), razão de verossimihanças perfiadas ajustadas (LR pa ) e razão de verossimihanças perfiadas ajustadas corrigida (LR c pa), no que se refere a tamanho e poder em amostras finitas. Os resutados numéricos obtidos favorecem o teste proposto nesta dissertação. Paavras chave: Correção de Bartett; Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão; Razão de verossimihanças; Verossimihança perfiada. vi

8 Abstract The cass of overdispersed generaized inear modes (OGLMs) deveoped by Dey et a. (1997) has been widey used in data modeing when the variance of the response variabe exceeds the nomina variance predicted by the mode. The main goa of this dissertation is to obtain a Bartett correction (DiCiccio and Stern, 1994) for a test of dispersion effects based on the adjusted profied ikeihood ratio statistic proposed by Cox and Reid (1987) in the OGLMs. Monte Caro simuation was used to compare the performance of the tests based on the ikeihood ratio statistic, adjusted profied ikeihood ratio statistic and corrected adjusted profied ikeihood ratio statistic, using different scenarios of size and power in the finite-sampe. The numerica resuts obtained outperforms the test proposed in this dissertation. Keywords: Bartett Correction; Likeihood ratio; Profie ikeihood; Overdispersed generaized inear mode. vii

9 Lista de Tabeas 2.1 Densidade, média, variância e suporte de agumas distribuições definidas na casse dos MLGSs Taxas de rejeição dos testes LR, LR pa, e LRpa, c sob H 0, para o modeo Passeio Aeatório, com p = 3, q = 6 e p = 4, q = 3, vários vaores de n e α Taxas de rejeição dos testes LR, LR pa, e LRpa, c sob H 0, para o modeo Passeio Aeatório, com n = 40, q = 4 e vários vaores de α e p Taxas de rejeição dos testes LR, LR pa, e LRpa, c sob H 0, para o modeo Passeio Aeatório, com n = 40, p = 3 vários vaores de α e q Taxas de rejeição dos testes LR, LR pa, e LRpa, c sob H 0, para o modeo Passeio Aeatório, com n = 40, vários vaores de α e p = q Taxas de rejeição não-nuas dos testes LR, LR pa, e LRpa, c para o modeo Passeio Aeatório, com n = 40, α = 5, 0% e α = 10, 0%, p = q = viii

10 Sumário 1 Introdução Organização da Dissertação Suporte Computaciona Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão Introdução Definição do Modeo Estimação dos Parâmetros Testes de Hipóteses Testes da Razão de Verossimihanças Teste Escore Teste Wad Distribuições Pertencentes aos MLGSs Correção de Bartett em MLGSs Introdução Fator de Correção de Bartett Fator de Correção de Bartett nos MLGSs ix

11 4 Avaiação Numérica Introdução Procedimentos Metodoógicos Resutados e Discussões Considerações Finais 37 Referências Bibiográficas 39 A Cácuo dos Cumuantes 44 A.1 Derivadas do ogaritmo da função de verossimihança A.2 Cácuo dos Cumuantes A.3 Derivadas de Cumuantes x

12 CAPÍTULO 1 Introdução Neder e Wedderburn (1972) estenderam a metodoogia dos modeos cássicos de regressão, definindo uma ampa casse de modeos, qua denominaram modeos ineares generaizados (MLGs). Estes modeos caracterizam-se peo fato de a variáve resposta poder ter quaquer distribuição definida na famíia exponencia de distribuições, tais como as distribuições Gama, Norma, Norma Inversa, Binomia e Poisson, dentre outras. Aém disso, nos MLGs, a função de igação que reaciona a média da resposta ao preditor inear, não está restrita à função identidade e pode ser quaquer função monótona deriváve. Apesar de bastante fexíveis, os MLGs podem não fornecer ajustes adequados em situações onde há grande variabiidade dos dados. Buscando mehorar tais ajustes, Dey et a. (1997) introduziram um modeo de regressão adiciona para o parâmetro de dispersão, aém de incorporá-o na função de variância, definindo assim a casse de Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão (MLGSs). Devido a grande apicabiidade dos MLGs e MLGSs na modeagem de dados em diversas áreas do conhecimento como Economia, Demografia, Medicina, Engenharia de produção, entre outras, muitos pesquisadores têm con- 1

13 centrado esforços no sentido de mehorar a quaidade de inferências reaizadas com base nesses modeos. Em termos práticos, testes mais poderosos, estimadores mais precisos e intervaos de confiança mais estreitos, podem traduzir-se em diversos benefícios nas atividades produtivas, motivando assim estudos nesta área. Em particuar, no que se refere à testes de hipóteses, correções de Bartett em MLGs e MLGSs vêm recebendo consideráve atenção na iteratura. A seguir, apresentamos aguns trabahos que contempam as casses dos MLGs e MLGSs. Cordeiro e McCuagh (1991) obtiveram fórmuas gerais para o viés de ordem O(n 1 ) dos estimadores de máxima verossimihança em MLGs. Ferrari et a. (2005) tratam das correções de Bartett em MLGs. Cordeiro et a. (2006) obtiveram um fator de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças em MLGSs. Cordeiro e Barroso (2007), obtiveram expressões matriciais para o viés de ordem O(n 2 ) dos estimadores de máxima verossimihança em MLGs. Estudos detahados sobre a casse dos MLGs podem ser encontrados em Cordeiro (1986), Cordeiro e Demétrio (2010) e Paua (2012). O presente trabaho tem como objetivo principa a obtenção de um fator de correção de Bartett, segundo a metodoogia proposta por DiCiccio e Stern (1994), para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas proposta por Cox e Reid (1987) na casse dos MLGSs. 1.1 Organização da Dissertação A presente dissertação é composta por cinco Capítuos incuindo esta introdução. No segundo Capítuo, a casse de modeos ineares generaizados com superdispersão é apresentada e são discutidos os principais aspectos inferenciais para esta casse de modeos. O terceiro Capítuo trata das correções de Bartett. São discutidas metodoogias para obtenção de fatores de correção de Bartett propostas por Lawey (1956) e DiCiccio e Stern (1994) para a estatística razão de verossimihanças usua e estatística da razão de verossi- 2

14 mihanças perfiadas ajustadas, respectivamente. Nesse capítuo encontra-se a principa contribuição teórica do presente trabaho: Uma expressão em forma matricia do fator de correção de Bartett, segundo a metodoogia proposta por DiCiccio e Stern (1994), à estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas proposta por Cox e Reid (1987) para o teste conjunto dos efeitos da dispersão na casse dos MLGSs. No quarto Capítuo são apresentados resutados de simuação, que foram reaizados com o propósito de comparar o desempenho de testes de hipóteses baseados nas estatísticas da razão de verossimihanças usua, estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas e estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas corrigida. O quinto e útimo Capítuo é reservado às considerações finais. 1.2 Suporte Computaciona A presente dissertação foi integramente digitada utiizando o sistema de tipografia L A TEX, desenvovido por Lesie Lamport na década de 80. Foi utiizado o software MikTeX, que é uma impementação do L A TEX para a utiização no Windows. O estudo de simuação foi reaizado utiizando a inguagem matricia de programação Ox, desenvovida por Jurgen Doornik em Foi utiizado o editor de textos OxEdit em sua versão 6.2 para Windows. As maximizações do ogaritmo da função de verossimihança foram reaizadas a partir dos agoritmos BFGS e SQP (Noceda e Wright, 1999, Capítuos 8 e 18), que estão disponíveis em rotinas definidas na inguagem Ox. Para maiores detahes sobre esta inguagem de programação, ver Doornik (2006). 3

15 CAPÍTULO 2 Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão 2.1 Introdução Em regressão, o termo superdispersão é usado para designar situações em que a variância da variáve resposta excede o vaor nomina predito no modeo. Este comportamento é principamente identificado em modeos com resposta Binomia e Poisson. Uma vez detectada a superdispersão em um conjunto de dados, o uso de técnicas convencionais de modeagem pode dar origem a modeos imprecisos e, consequentemente, erros de previsão associados à imprecisão de tais modeos. Ao ongo dos anos, diversos trabahos que contempam metodoogias específicas para dados em que se verifica a superdispersão vêm sendo propostos na iteratura acadêmica especiaizada. Destacam-se os seguintes trabahos: Efron (1986); Lindsay (1986); Smyth (1989) e Dey et a. (1997). Dey et a. (1997) definem a casse de Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão (MLGSs). Esta casse de modeos segue a mesma estrutura dos Modeos Lineares Generaizados (MLGs), embora apresentando um modeo de regressão adiciona para o parâmetro de dispersão, aém de 4

16 incorporá-o na função de variância. Assim sendo, os MLGSs são definidos a partir de um componente aeatório e duas componentes sistemáticas (Previdei, 2005). Nas demais seções que compõem este Capítuo, a casse dos MLGSs é apresentada. Para uma abordagem mais competa, recomenda-se a eitura dos seguintes trabahos: Dey et a. (1997) apresentam a casse dos MLGSs, Dey e Ravishanker (1998) abordaram aspectos da inferência Bayesiana nos MLGSs, Cordeiro e Botter (2001) obtiveram os vieses de segunda ordem para os estimadores de máxima verossimihança nos MLGSs. Previdei (2005) obteve estimadores corrigidos para modeos não ineares generaizados com superdispersão. Cordeiro et a. (2006) deduziram um fator de correção de Bartett em forma matricia para a estatística da razão de verossimihanças em MLGSs. 2.2 Definição do Modeo Sejam Y 1,..., Y n, variáveis aeatórias independentes, em que cada Y i tem função densidade (ou de probabiidade) definida na famíia exponencia biparamétrica de distribuições dada por π(y; µ, φ) = A(y)exp[(y µ)ψ (1,0) (µ, φ) + φt(y) + ψ(µ, φ)], (2.1) em que A( ), T( ) e ψ(, ) são funções conhecidas, µ e φ são os parâmetros de média e dispersão, respectivamente. As derivadas da função ψ(µ, φ) com reação a µ e φ são denotadas por ψ (r,s) = ψ r+s (µ, φ)/ µ r φ s para (r, s 0). Deste modo, ψ (1,0) denota a primeira derivada da função ψ(µ, φ) com reação a µ, ψ (0,1) denota a primeira derivada da função ψ(µ, φ) com reação a φ, e assim por diante. A variáve aeatória Y i tem suporte nos reais e sua média e variância são dadas, respectivamente, por E(Y ) = µ e Var(Y ) = ψ (2,0) 1. Aém disso, tem-se que E[T(Y )] = ψ (0,1), Var[T(Y )] = ψ (1,1)2 ψ (2,0) 1 ψ (0,2), e ainda E[(Y µ)t(y )] = ψ (1,1) ψ (2,0) 1. 5

17 Aém do componente aeatório (2.1), os MLGSs são definidos peos modeos de regressão para média e dispersão, dados, respectivamente, por f(µ) = η = Xβ (2.2) e, g(φ) = τ = Sγ, (2.3) em que X e S são matrizes de covariadas, de dimensão n p e n q, com posto competo p e q, respectivamente. Tem-se ainda que β = (β 1,..., β p ) e γ = (γ 1,..., γ q ) são vetores de parâmetros desconhecidos a serem estimados, que representam, respectivamente, os efeitos das covariadas na média da resposta e no parâmetro de dispersão. As funções f( ) e g( ) são denotadas, respectivamente, por função de igação da média e função de igação da dispersão. Essas funções devem ser conhecidas, monótonas, contínuas e peo menos duas vezes diferenciáveis. 2.3 Estimação dos Parâmetros Seja θ = (β, γ ) um vetor de p + q parâmetros desconhecidos do modeo definido em (2.1)-(2.3). Seja y = (y 1,..., y n ) um vetor de observações da variáve aeatória Y = (Y 1,..., Y n ) também associada à (2.1)-(2.3). Então, o ogaritmo da função de verossimihança associado ao vetor θ dado o vetor de observações y pode ser expresso na forma (β, γ) = [(y µ )ψ (1,0) (µ, φ )+φ T(y )+ψ(µ, φ )]+ og A(y ). (2.4) Assume-se que (2.4) é reguar e deriváve até quarta ordem com reação aos parâmetros β e γ (Cox e Hinkey, 1974). Para definir agumas quantidades de interesse, será introduzida uma notação baseada na proposta por Cordeiro et a. (2006). Os índices r, s, t, u,..., etc., referem-se ao vetor de parâmetros β, enquanto que R, S, T, U,..., etc., são indexadores das componentes do vetor γ de parâmetros. As 6

18 derivadas do ogaritmo da função de verossimihança são representadas por U r = (β, γ)/ β r, U rs = 2 (β, γ)/ β r γ S, etc. As derivadas do inverso das funções de igação da média µ = f 1 (η) e da dispersão φ = g 1 (τ) são dadas, respectivamente, por m i = i µ / η i, φ i = i φ / τ i, com i = 1, 2, 3 e = 1,..., n. Define-se ainda (S) = τ / γ S, (R) = τ / γ R, (S, R) = ( τ / γ s )( τ / γ R ), etc., e (s) = η / β s, (r) = η / β r, (s, r) = ( η / β s )( η / β r ), etc., com = 1,..., n. Por fim, definem-se as matrizes diagonais de ordem n dadas por Ψ (2,0) = diag{ψ (2,0) 1,..., ψ n (2,0) }, Ψ (0,2) = diag{ψ (0,2) 1,..., ψ n (0,2) }, M r = diag{m r1,..., m rn } e Φ r = diag{φ r1,..., φ rn }, para r = 1, 2, 3. As primeiras derivadas do ogaritmo da função de verossimihança com reação ao r-ésimo componente de β e R-ésimo componente de γ são dadas por e U R = U r = (β, γ) γ R = (β, γ) β r = [ψ (2,0) (µ, φ )m 1 (r) (y µ )] [ψ (1,1) (µ, φ )(y µ ) + T(y ) + ψ (0,1) (µ, φ )]φ 1 (R), com r = 1,..., p e R = 1,..., q, respectivamente. A função escore tota para o vetor θ = (β, γ ) modeo é dada por ( ) (β, γ)/ β U(β, γ) = = (β, γ)/ γ em que (y µ) = ((y 1 µ 1 ),..., (y n µ n )) ( X Ψ (2,0) M 1 (y µ) S Φ 1 υ de parâmetros do ), e υ = (υ 1,..., υ n ), com υ = ψ (1,1) (y µ ) + T(y ) + ψ (0,1). As segundas derivadas do ogaritmo da função de verossimihança com reação ao vetor de parâmetros são dadas por 2 (β, γ) β r β s = [ψ (3,0) (µ, φ )m 2 1(y µ ) + ψ (2,0) (µ, φ )m 2 (y µ ) ψ (2,0) (µ, φ )m 2 1](r) (s), 7

19 2 (β, γ) γ R γ S = [ψ (1,2) (µ, φ )φ 2 1(y µ ) + ψ (1,1) (µ, φ )φ 2 (y µ ) + φ 2 T(y ) + ψ (0,2) (µ, φ )φ ψ (0,1) (µ, φ )φ 2 ](R) (S) e 2 (β, γ) β r γ S = com r, s = 1,..., p e R, S = 1,..., q. [ψ (2,1) (µ, φ )m 1 φ 1 (y µ )](r) (S), A decomposição do espaço paramétrico θ = (β, γ ) induz a uma semehante decomposição da matriz de informação de Fisher K(β, γ) e da matriz inversa associada K 1 (β, γ). Aém disso, tem-se que K β,γ = K γ,β = 0, de modo que essas matrizes possuem uma estrutura boco-diagona e podem ser expressas por ( Kβ,β 0 K(β, γ) = 0 K γ,γ ) ( K, K 1 β,β 0 (β, γ) = 0 K γ,γ em que K β,β = X Ψ (2,0) M 2 1 X e K γ,γ = S Ψ (0,2) Φ 2 1S são as matrizes de informação para β e γ, respectivamente, enquanto que K β,β = (X Ψ (2,0) M 2 1 X) 1 e K γ,γ = ( S Ψ (0,2) Φ 2 1S) 1 são as correspondentes matrizes inversas. Os estimadores de máxima verossimihança para os parâmetros β e γ, são as quantidades ˆβ e ˆγ que satisfazem U(ˆβ, ˆγ) = 0. No caso dos MLGSs, trata-se de uma equação não inear, cuja soução pode ser obtida por meio de agoritmos de otimização, tais como Newton-Raphson, scoring de Fisher e BFGS. Maiores detahes sobre os métodos de otimização podem ser encontrados em Noceda e Wright (1999). Apresentamos a seguir o esquema iterativo scoring de Fisher para a obtenção das (m + 1)-ésimas estimativas de máxima verossimihança para β e γ, respectivamente. Para o vetor de parâmetros β, temos: 8 ),

20 β (m+1) = β (m) + K 1(m) β,β U (m) β. Substituindo K 1 β,β e U β peas quantidades correspondentes e com aguma ágebra, tem-se: β (m+1) = β (m) + (X Ψ (2,0)(m) M 2(m) 1 X) 1 X Ψ (2,0)(m) M (m) 1 (y µ) = (X Ψ (2,0)(m) M 2(m) 1 X) 1 X Ψ (2,0)(m) M 2(m) 1 ζ (m) 1 = (X W (m) ββ X) 1 X W (m) ββ ζ(m) 1, em que W ββ = Ψ (2,0) M 2 1 e ζ 1 = η + M 1 1 (y µ), com η = Xβ. Procedendo de maneira anáoga para o vetor de parâmetros γ, temos: γ (m+1) = γ (m) + K 1(m) γ,γ U (m) γ. Ao substituir K 1 γ,γ e U γ peas quantidades correspondentes e com agumas manipuações agébricas, tem-se: γ (m+1) = γ (m) + ( S Ψ (0,2)(m) Φ 2(m) 1 S) 1 S Φ (m) 1 v (m) = ( S Ψ (0,2)(m) Φ 2(m) 1 S) 1 ( S Ψ (0,2)(m) Φ 2(m) 1 )ζ (m) 2 = (S W (m) γγ S) 1 S W γγ (m) ζ (m) 2, em que W γγ = Ψ (0,2) Φ 2 1 e ζ 2 = τ Ψ (0,2) 1 Φ 1 1 v, enquanto τ = Sγ e v = (v 1,..., v n ), com v = ψ (1,1) (y µ ) + T(y ) + ψ (0,1). Deste modo, tem-se as seguintes equações para estimar β e γ iterativamente β (m+1) = (X W (m) ββ γ (m+1) = (S W (m) γγ X) 1 X W (m) ββ S) 1 S W (m) γγ ζ(m) 1, ζ (m) 2. Cabe destacar que, nas equações acima, as quantidades ζ 1 e ζ 2 exercem o pape de variáveis dependentes modificadas, enquanto que W (m) ββ e W γγ (m) as matrizes de pesos que mudam a cada passo do processo iterativo. 9 são

21 2.4 Testes de Hipóteses Consideremos novamente que o modeo definido em (2.1)-(2.3) tenha vetor de parâmetros particionado como θ = (β, γ ), em que β e γ são os vetores de parâmetros de perturbação e interesse, de dimensões p e q, respectivamente. O interesse é testar as hipóteses H 0 : γ = γ (0) Vs. H 1 : γ γ (0), (2.5) em que γ (0) é um vetor q-dimensiona de constantes especificado. Aguns testes para as hipóteses acima são apresentados a seguir Testes da Razão de Verossimihanças A estatística da razão de verossimihanças usua para o teste H 0 em questão é definida por LR = 2{(ˆβ, ˆγ) ( β, γ)}, em que ( β, γ) e (ˆβ, ˆγ) são os estimadores de máxima verossimihança de (β, γ), restritos e irrestritos, respectivamente. Nos casos em que o modeo em estudo envove parâmetros de perturbação, inferências baseadas na função de verossimihança usua conduzem a resutados que podem ser menos adequados do que os acançados na utiização de inferências baseadas na função de verossimihança perfiada. Observa-se que a função de verossimihança perfiada é uma adaptação da verossimihança usua, em que se substituem os parâmetros de perturbação por suas respectivas estimativas de máxima verossimihança, sendo assim função apenas dos parâmetros de interesse. No caso do modeo (2.1)-(2.3), o ogaritmo da função de verossimihança perfiada é dado por p (γ) = (γ, ˆβ γ ), (2.6) em que ˆβ γ é o vaor que maximiza (2.4) supondo γ fixo. Observa-se que a obtenção de um estimador de máxima verossimihança para γ a partir de (2.6) se faz em dois momentos de maximização subsequentes. O primeiro consiste em encontrar a quantidade ˆβ que maximiza 10

22 (β, γ) supondo γ fixo, enquanto o segundo consiste em maximizar p (γ) com reação à γ. Embora em muitas situações práticas o uso da verossimihança perfiada seja uma boa aternativa para inferência quando na presença de parâmetros de perturbação, cabe destacar que, em aguns casos, conforme já apontado por Araújo Júnior (2006), ta método conduz a estimadores que não possuem propriedades de otimaidade desejáveis, tais como consistência e eficiência. Este probema decorre, como já referimos anteriormente, do fato de ta função ser uma adaptação da função de verossimihança usua, não tendo necessariamente todas as propriedades desta. Outro aspecto a ser destacado é que a quaidade das aproximações envovidas nas inferências decorrentes de resutados assintóticos é prejudicada quando é grande o número parâmetros de perturbação (Cysneiros, 2004). Com o intuito de atenuar os probemas anteriormente mencionados, diversos ajustes à verossimihança perfiada vêm sendo propostos na iteratura, tais como os propostos por Barndorff-Niesen (1983, 1994), Cox e Reid (1987, 1992), McCuagh e Tibishirani (1990) e Stern (1997). Uma revisão dessas propostas pode ser encontrada em Siva (2005). Neste trabaho, será considerado o ajuste de Cox e Reid (1987). O ogaritmo da função de verossimihança perfiada ajustada para o modeo definido em (2.1)-(2.3) é dado por pa (γ) = p (γ) 1 2 og j ββ(γ, ˆβ γ ), (2.7) em que j ββ (γ, ˆβ γ ) é a informação observada para β quando γ é fixado, ou seja j ββ = 2 (β, γ) β r β s = [ ψ (3,0) (µ, φ )m 2 1(y µ ) ψ (2,0) (µ, φ )m 2 (y µ ) + ψ (2,0) (µ, φ )m 2 1](r) (s). A equação (2.7) é denotada por verossimihança perfiada ajustada e a estatística para o teste da razão de verossimihanças dea proveniente é dada 11

23 por LR pa = 2{ pa (ˆγ) pa (γ (0) )}, em que ˆγ é o estimador de máxima verossimihança irrestrito de γ Teste Escore Considerando as hipóteses definidas em (2.5), a estatística do teste escore pode ser expressa como S R = Ũ γ K γ,γ Ũ γ, em que U γ e K γ,γ são, respectivamente, a função escore e a inversa da matriz de informação para γ, estimadas segundo a hipótese nua. Conforme já observa Cordeiro (1999), uma vantagem da estatística do teste escore é que esta envove a maximização da função de verossimihança apenas segundo a hipótese nua Teste Wad Aém da razão de verossimihanças e do teste escore, outro teste comumente usado para hipóteses como as propostas em (2.5) é o teste Wad. Para o teste em questão, a estatística Wad pode ser definida como W = (ˆγ γ (0) ) ˆKγ,γ 1 (ˆγ γ (0) ), em que ˆK γ,γ 1 é a inversa da matriz ˆK γ,γ, estimada segundo a hipótese aternativa e ˆγ é o estimador de máxima verossimihança irrestrito de γ. Para reaização de um teste estatístico, aém das hipóteses e da estatística de teste, é necessário o vaor crítico de teste, o qua é obtido da distribuição da estatística de teste sob a hipótese nua. Em gera, não é tarefa simpes obter a distribuição exata das estatísticas da razão de verossimihança, escore e Wad sob H 0. Entretanto, em probemas reguares, assintoticamente e sob a hipótese nua, essas estatísticas convergem em distribuição para uma 12

24 Qui-quadrado com q graus de iberdade, em que q denota o número de restrições impostas na hipótese nua. Deste modo, testes aproximados podem ser reaizados utiizando-se vaores críticos desta distribuição. Por fim, vae ressatar que nesta dissertação será dada ênfase aos testes baseados na estatística da razão de verossimihanças. 2.5 Distribuições Pertencentes aos MLGSs A casse dos MLGSs contempa distribuições importantes como a Passeio Aeatório, Inversa Gaussiana Generaizada, Exponencia Dupa e Poisson Dupa (Previdei, 2005). Na Tabea 2.1 são apresentadas para cada uma dessas distribuições a função densidade, média, variância e suporte. Usando uma reparametrização conveniente, a densidade dessas distribuições podem ser reescritas na forma da equação (2.1). Assim como mencionado por Cordeiro e Botter (2001) e Cordeiro et a. (2006), no caso particuar da Passeio Aeatório, definindo φ = δ/(2θ 2 ), aém de ψ(µ, φ) = 2( φ) 1/2 [(2µ φ) 1/2 ( φ) 1/2 ] og 2 og[(2µ φ) 1/2 ( φ) 1/2 ] µ[(2µ φ) 1/2 ( φ) 1/2 ] 2, tem-se que a densidade desta distribuição pode ser reescrita na forma da equação (2.1). Outro ponto importante a ser destacado é a reação existente na iteratura entre as distribuições Inversa Gaussiana (IG), que é obtida como caso particuar da distribuição Inversa Gaussiana Generaizada (IGG) quando λ = 1/2, e a Passeio Aeatório (PA). Ta reação, como mostra Previdei (2005), é estabeecida da seguinte forma: Se uma variáve aeatória Z IG(θ, δ), em que θ e δ são respectivamente os parâmetros de média e dispersão, então Y = Z 1 P A(µ, φ), com µ e φ denotando, respectivamente, os parâmetros de média e dispersão. 13

25 Tabea 2.1: Densidade, média, variância e suporte de agumas distribuições definidas na casse dos MLGSs Distribuições f(y; θ) E(Y) Var(Y) Suporte ( 1. PA 1 δ 2πy ) 1 2 exp ( δy + δ δ 2 θ 2θ 2 y ) θ δ y > 0 θδ δ 2 2. ED 2 c(µ, θ, n)θ 1/2 {g(y; µ, n)} θ {g(y; n)} 1 θ [dh(y; n)] µ V (µ) < y < nθ 3. IGG. 3 ( α δ ) λ 2 2Bλ( αδ) yλ 1 exp [ 1 2 (δy 1 + αy) ] δb λ+1( αδ) αb λ( αδ) ( δ α) [ Bλ+2( αδ) Bλ( αδ) ( B λ+1( αδ) Bλ( αδ) ) 2 ] y > 0 4. PD 4 (θ 1 2 e θµ ) ( e y y y y! ) ( eµ y ) θy µ µ y = 0, 1, 2, 3,... θ 1 Passeio Aeatório. 2 Exponencia Dupa. 3 Inversa Gaussiana Generaizada - B λ(.) é a função de Besse modificada de terceira ordem; Considerando λ = 1/2, tem-se a Inversa Gaussiana como caso particuar da Inversa Gaussiana Generaizada. 4 Poisson Dupa. 14

26 CAPÍTULO 3 Correção de Bartett em MLGSs 3.1 Introdução Em muitas situações práticas é comum fazer uso de testes estatísticos aproximados para grandes amostras, uma vez que testes exatos nem sempre existem. Os testes aproximados caracterizam-se peo uso de vaores críticos obtidos de uma distribuição imite conhecida, sendo por isso denominados de assintóticos de primeira ordem. São exempos deste tipo de teste os baseados nas estatísticas da razão verossimihança, escore e Wad. Estes têm, sob a hipótese nua (H 0 ), distribuição imite comum Qui-quadrado com q graus de iberdade (χ 2 q), em que q denota o número de restrições impostas em H 0, sendo, portanto, assintoticamente equivaentes (Cordeiro, 1999). Apesar de conduzir a resutados satisfatórios em muitos casos, as aproximações de primeira ordem podem ser pobres se o tamanho da amostra é pequeno ou moderado, dando origem a testes cujas taxas de rejeição em muito diferem dos níveis nominais desejados. Visando mehorar a quaidade da aproximação de primeira ordem em amostras finitas, Bartett (1937) propôs um fator de correção para a estatística da razão de verossimihanças (LR). Este autor observou que, sob a hipó- 15

27 tese nua, a esperança da estatística LR tem expansão na forma q+b+o(n 2 ), em que b é uma constante de ordem O(n 1 ). Deste modo, seria possíve obter uma nova estatística de teste, cujo primeiro momento fosse mais próximo de seu correspondente na distribuição χ 2 q de referência, apicando sobre a estatística usua um fator de correção da magnitude de seu primeiro momento. De fato, a nova estatística corrigida LR c tem, sob a hipótese nua, distribuição imite χ 2 q com erro de aproximação de ordem O(n 2 ). DiCiccio e Stern (1994) obtiveram uma expressão gera do fator de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas, com a qua é possíve obter uma estatística mehorada cuja distribuição sob a hipótese nua seja mais próxima da distribuição χ 2 q de referência, com erro de aproximação que passa de O(n 1 ) para O(n 2 ). O presente Capítuo apresenta correções de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças usua e estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas na casse dos MLGSs. Nos útimos anos, diversos trabahos considerando correções de Bartett em diferentes contextos vêm sendo propostos na iteratura. Agumas das principais referências são apresentadas a seguir. Cribari-Neto e Cordeiro (1996) apresentam uma detahada revisão da iteratura sobre correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças e correções tipo Bartett para as estatísticas escore e Wad. Ferrari e Uribe-Opazo (2001) derivam um fator de correção de Bartett para estatística da razão de verossimihanças na casse de modeos de regressão ineares simétricos. Ferrari et a. (2004) obtiveram um fator de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas em modeos de regressão ineares normais. Barroso e Cordeiro (2005) obtiveram um fator de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças em modeos de regressão t heterocedásticos. Araújo Júnior (2006) obteve verossimihanças perfiadas ajustadas por Cox e Reid (1987) e Barndorff-Niesen (1983) na distribuição Birnbaum-Saunders. Cordeiro et a. (2006), generaizando resutados obtidos por Botter e Cordeiro (1998) e Cordeiro (1983), apresentaram fa- 16

28 tores de correção de Bartett para estatística da razão de verossimihanças em MLGSs. Lemonte et a. (2010) derivaram um fator de correção de Bartett para estatística da razão de verossimihanças em modeos de regressão Birnbaum-Saunders. Araújo (2012) obteve um fator de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas da casse de modeos não ineares simétricos heteroscedásticos. 3.2 Fator de Correção de Bartett Seja f(y; θ) um modeo paramétrico, sendo θ = (θ 1, θ 2 ) um vetor de parâmetros desconhecidos, em que θ 1 e θ 2 tem dimensões p e q, respectivamente. Sejam (θ) ogaritmo da função de verossimihança e K(θ) a matriz de informação de Fisher, cuja matriz inversa correspondente é denotada por K(θ) 1. Introduziremos agora as seguintes notações: Os índices r, s, t,... variam sobre os parâmetros de perturbação, enquanto R, S, T,... serão indexadores dos parâmetros de interesse e a, b, c,... serão índices que variam sobre os p + q parâmetros do modeo. As derivadas do ogaritmo da função de verossimihança com reação aos componentes do vetor θ são representadas por U a = (θ)/ θ a, U ab = 2 (θ)/ θ a θ b, etc. Os cumuantes conjuntos serão denotados por κ ab = E(U ab ), κ abc = E(U abc ) etc. As derivadas dos cumuantes com reação aos componentes do vetor θ serão representados por κ (c) ab = κ ab/ θ c. Por fim, destaca-se que a matriz de informação tem eementos κ ab, sendo κ ab, os eementos da matriz inversa correspondente. Seja LR a estatística da razão de verossimihanças para o teste das hipóteses H 0 : θ 2 = θ (0) 2 contra H 1 : θ 2 θ (0) 2, em que θ (0) 2 é um vetor de constantes conhecidas. Sabe-se que a estatística LR tem, assintoticamente e sob a hipótese nua, distribuição χ 2 q com um erro de aproximação da ordem de O(n 1 ). Visando mehorar a quaidade desta aproximação, Bartett (1937) considerou mutipicar a estatística de teste usua peo fator de correção c = (1 + b/q) 1, (3.1) 17

29 em que b é uma constante de ordem O(n 1 ). O fator de correção definido em (3.1) baseia-se na reação c = q 1 E(LR) e tornou-se conhecido como fator de correção de Bartett. Diversas metodoogias para obtenção de fatores de correção de Bartett são descritas na iteratura, dentre estas a proposta por Lawey (1956). Este autor, considerando probemas reguares, obteve uma fórmua gera para a constante b em termos de cumuantes e derivadas de cumuantes do ogaritmo da função de verossimihança dada por b = ɛ p+q ɛ p, (3.2) em que ɛ p+q é um termo de ordem O(n 1 ) definido como ɛ p+q = ( abcd abcdef ), (3.3) em que o somatório estende-se a todos os componentes do vetor θ. Os termos abcd e abcdef cumuantes são expressos em função dos cumuantes e derivadas de abcd = κ ab κ cd ( κabcd 4 ) κ (d) abc + κ(bd) ac, ( abcdef = κ ab κ cd κ ef κbdf ) ( [κ ace 6 κbef ) κ(d) bf + κ acd 4 κ(e) bf + κ (e) ac κ (d) bf + κ(d) ac κ (e) bf ]. O termo ɛ p na equação (3.2), também é da ordem O(n 1 ) e pode ser obtido de forma anáoga a ɛ p+q, a partir da equação (3.3), com o somatório estendendo-se sobre os p parâmetros de perturbação. Tem-se portanto, um fator de correção de Bartett com o qua é possíve obter, a partir da estatística LR usua, uma nova estatística mehorada LR c = LR 1 + b/q, 18

30 cuja distribuição sob a hipótese nua seja mais próxima da χ 2 q de referência. De fato, o erro desta aproximação passa a ser de ordem O(n 2 ). Uma forma aternativa para a reaização do teste H 0 : θ 2 = θ (0) 2 contra H 1 : θ 2 θ (0) 2 é considerar a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas LR pa. Assim como a estatística usua, a aproximação da distribuição de LR pa sob a hipótese nua pea distribuição χ 2 q, tem erro de ordem O(n 1 ). Objetivando reduzir distorções de tamanho do teste em amostras finitas, DiCiccio e Stern (1994) propuseram um fator de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas, definido por c pa = (1 + b pa /q) 1, (3.4) em que b pa é definido em função de cumuantes do ogaritmo da função de verossimihança perfiada ajustada e das quantidades τ ab = κ ar κ bs σ RS, com (σ RS ) denotando a inversa da matriz (κ RS ) e ν ab = κ ab τ ab. Assim, b pa = 1 4 τ ad τ bc κ abcd κ ad τ bc κ (d) abc + (κad κ bc ν ad ν bc )κ (cd) ab ( 1 4 κad τ bc τ ef κad τ bf τ ce 1 ) 3 τ ad τ bf τ ce κ abc κ def + (κ ad τ bc κ ef + κ ad κ bf κ ce ν ad κ bf ν ce )κ abc κ (f) de (κ ad κ bc κ ef ν ad ν bc ν ef + κ ad κ bf κ ce ν ad ν bf ν ce )κ (c) ab κ(f) de. Com base no fator de correção definido em (3.4), obtem-se uma estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas corrigida LR c pa = LR pa 1 + b pa /q, para qua o erro da aproximação da distribuição desta estatística pea distribuição χ 2 q passa a ser de ordem O(n 2 ). Os fatores de correção de Bartett, apresentados em (3.1) e (3.4), são bastante gerais, podendo, em princípio, ser cacuados para quaquer casse de modeos. Como foi mostrado, a obtenção de tais fatores requer basicamente 19

31 o cácuo de cumuantes e derivadas de cumuantes do modeo. Estas quantidades satisfazem certas identidades, denominadas identidades de Bartett, que, em muitos casos, faciitam os cácuos. Para maiores detahes sobre identidades de Bartett, ver Cordeiro (1999, Capítuo 5). 3.3 Fator de Correção de Bartett nos MLGSs Considerando uma partição conveniente do vetor de parâmetros θ = (β, γ ), com β = (β 1,..., β p ) e γ = (γ 1,..., γ q ) da casse dos MLGSs, Cordeiro et a. (2006) obtiveram um fator de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças do teste H 0 : γ = γ (0) contra H 1 : γ γ (0), em que γ (0) é um vetor de constantes conhecidas. Ta fator de correção pode ser expresso como c = {1 + [ɛ q (γ) + ɛ p,q (β, γ)]/q} 1, (3.5) em que as quantidades ɛ q (γ) e ɛ p,q (β, γ) são obtidas como função das seguintes matrizes de dimensão n: Ψ (r,s) = diag{ψ (r,s) 1,..., ψ (r,s) n } para r, s = 1,..., 4, M r = diag{m r1,..., m rn }, Φ r = diag{φ r1,..., φ rn } para r = 1, 2, Z β = X(X Ψ (2,0) M 2 1 X) 1 X e Z γ = S( S Ψ (0,2) Φ 2 1S) 1 S. Definem-se ainda Z γd e Z βd como matrizes diagonais com eementos correspondentes de Z γ e Z β, respectivamente. Adicionamente, 1 é um vetor n 1 de 1 s. Assim temos, ɛ q (γ) = (Ψ (0,4) Φ Ψ (0,3) Φ 2 1Φ 2 Ψ (0,2) Φ 2 2)Z (2) γd Ψ (0,3) Φ 3 1(2Z (3) γ + 3Z γd Z γ Z γd )Φ 3 1Ψ (0,3) Ψ (0,2) Φ 1 Φ 2 (Z γd Z γ Z γd + 2Z (3) γ )Φ 1 Φ 2 Ψ (0,2) Ψ (0,3) Φ 3 1Z γd Z γ Z γd Φ 1 Φ 2 Ψ (0,2) 1, 20

32 ɛ p,q (β, γ) = [(Ψ (2,1) Φ 2 + Ψ (2,2) Φ 2 1)M 2 1 Z βd Z γd Ψ (2,1) Φ 1 M 2 1 Z (2) β Z γφ 1 M 2 1 Ψ (2,1) ] Ψ (2,1) Φ 1 M 2 1 Z βd Z γ [Z βd M 2 1 Ψ (2,1) + 2Z γd (Φ 2 1Ψ (0,3) + Φ 2 Ψ (0,2) )]Φ 1 1, sendo Z (2) γd = Z γd Z γd, Z γ (3) = Z γ (2) Z γ, Z (2) β = Z β Z β com denotando o produto de Hadamard ou produto direto. A expressão definida em (3.5) pode ser utiizada para obter uma estatística da razão de verossimihanças corrigida na casse dos MLGSs, cuja distribuição sob a hipótese nua seja mais próxima da Qui-quadrado de referência (Cordeiro et a., 2006). Ainda considerando testar as hipóteses H 0 : γ = γ (0) contra H 1 : γ γ (0), derivamos a seguir um fator de correção de Bartett, segundo a metodoogia proposta por DiCiccio e Stern (1994) apresentada na seção 3.2, para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas da casse dos MLGSs. Para tanto, considerou-se o fato de que os parâmetros β e γ do modeo são gobamente ortogonais, de modo que τ Rs = τ rs = τ rs = 0, ν RS = ν Rs = ν rs = 0 e ainda τ RS = κ RS, ν rs = κ rs. Assim, com aguma ágebra, obteve-se o fator de correção 1 em que c pa = (1 + b pa /q) 1, (3.6) 1 Assim como antes, etras maiúscuas são usadas como indexadores do parâmetro de interesse enquanto etras minúscuas são usadas para indexar os parâmetros de perturbação. 21

33 b pa = 1 4 κrs κ T U κ RT US κ RS κ T U κ (S) RT U + κrs κ T U κ (US) RT κ rs κ RS κ (s) rrs + κrs κ RS κ tu κ rrs κ (u) st ( 1 4 κrs κ RS κ T U κrs κ RU κ ST )κ rrs κ st U ( 1 4 κrs κ T U κ V W κrs κ T W κ UV )κ RT U κ SV W + (κ RS κ T U κ V W + κ RS κ T W κ UV )κ RT U κ (W ) SV (κ RS κ T U κ V W + κ RS κ T W κ UV )κ (U) RT κ(w ) SV + κ RS κ rs κ T U κ RrT κ (s) SU. (3.7) O resutado obtido na expressão (3.7) coincide com o obtido por Araújo (2012), e pode ser utiizado em um contexto gera a fim de obter fatores de correção de Bartett para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas em quaquer casse de modeos cujos parâmetros sejam gobamente ortogonais, aém de particionados de forma semehante a que fora aqui considerada. A fim de particuarizar a expressão definida em (3.7) à casse dos MLGSs, podemos reescrevê-a em termos de cumuantes e derivadas de cumuantes do modeo. Tais cumuantes, bem como suas respectivas derivadas, encontramse definidas no Apêndice A e podem ser expressos por meio das quantidades ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 e ω 5 definidas, respectivamente, como ω 1 = ψ (0,4) φ ψ (0,3) φ 2 1φ 2 + 3ψ (0,2) φ ψ (0,2) φ 1 φ 3, ω 2 = ψ (0,4) φ ψ (0,3) φ 2 1φ 2 + 3ψ (0,2) φ ψ (0,2) φ 1 φ 3, ω 3 = ψ (0,4) φ ψ (0,3) φ 2 1φ 2 + 2ψ (0,2) φ ψ (0,2) φ 1 φ 3, ω 4 = ψ (0,3) φ ψ (0,2) φ 1 φ 2 22

34 e com = 1,..., n. ω 5 = ψ (0,3) φ ψ (0,2) φ 1 φ 2, Assim, após aguma ágebra obtemos: κ RT US = κ (US) RT = κ (U) RT = ω 1 (R, S, T, U), κ (S) RT U = ω 3 (R, S, T, U), κ RT U = ω 5 (R, T, U). ω 2 (R, S, T, U), ω 4 (R, T, U) Adicionamente, temos que aguns cumuantes e derivadas de cumuantes do modeo são nuos: κ RrT = κ rrs = κ (s) rrs b pa, definida em (3.7), reduz-se à = 0. Desse modo, a quantidade b pa = 1 4 κrs κ T U κ RT US κ RS κ T U κ (S) RT U + κrs κ T U κ (US) RT ( 1 4 κrs κ T U κ V W κrs κ T W κ UV )κ RT U κ SV W + (κ RS κ T U κ V W + κ RS κ T W κ UV )κ RT U κ (W ) SV (κ RS κ T U κ V W + κ RS κ T W κ UV )κ (U) RT κ(w ) SV. (3.8) Substituindo em (3.8) as quantidades obtidas para os cumuantes e derivadas dos cumuantes em termos dos ω s, temos 23

35 b pa = 1 (R) κ RS (S) ω 1 (T ) κ T U (U) 4 (R) κ RS (S) ω 2 (T ) κ T U (U) + (R) κ RS (S) ω 3 (T ) κ T U (U) 1 (T ) κ T U (U) ω 4 (R) κ RS (S) i ω 4i (V ) i κ V W (W ) i 4 i=1 1 (R) κ RS (S) i ω 4 (T ) κ T W (W ) i ω 4i (U) κ UV (V ) i 6 i=1 + (T ) κ T U (U) ω 4 (R) κ RS (S) i ω 5i (V ) i κ V W (W ) i + i=1 (R) κ RS (S) i ω 4 (T ) κ T W (W ) i ω 5i (U) κ UV (V ) i i=1 (T ) κ T U (U) ω 5 (R) κ RS (S) i ω 5i (V ) i κ V W (W ) i i=1 i=1 (R) κ RS (S) i ω 5 (T ) κ T W (W ) i ω 5i (U) κ UV (V ) i. Visando simpificar a impementação do fator de correção, é conveniente reescrevê-o em notação matricia. Para tanto, definem-se as seguintes matrizes quadradas de ordem n: Ω 1, Ω 2, Ω 3, Ω 4 e Ω 5, com eementos ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 e ω 5, respectivamente, com = 1,..., n e H γ = {h γi } = S(S Ψ (0,2) Φ 2 1S) 1 S com eementos h γi = (R) κ RS (S) i, com = 1,..., n e i = 1,..., n. Adicionamente, define-se a matriz H γd como a matriz diagona associada a H γ. Assim, a forma matricia do fator de correção é dada por 24

36 b pa = H (2) γd (Ω 1 4Ω 2 + 4Ω 3 ) H γd Ω 4 H γ Ω 4 H γd Ω 4 H (3) γ Ω H γd Ω 4 H γ Ω 5 H γd Ω 4 H (3) γ Ω H γd Ω 5 H γ Ω 5 H γd 1 1 Ω 5 H (3) γ Ω 5 1, (3.9) em que H γd = diag{h γ11,..., h γnn }, H (2) γd = diag{h2 γ11,..., h 2 γnn} e H (3) γ = (h 3 γi ). A equação (3.9) acima apresenta uma expressão em notação matricia, com a qua pode-se obter um fator de correção de Bartett à estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas, para o teste conjunto dos efeitos da dispersão na casse dos MLGSs. Esta expressão envove apenas operações simpes entre matrizes, podendo ser facimente impementada em inguagens de programação, tais como C, Ox e R. 25

37 CAPÍTULO 4 Avaiação Numérica 4.1 Introdução Neste Capítuo são apresentados aguns resutados de simuação reaizados com o intuito de avaiar a eficácia do fator de correção de Bartett, derivado no Capítuo anterior, para a estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas na casse dos Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão Procedimentos Metodoógicos Por meio de estudos de simuação de Monte Caro, comparamos os desempenhos dos testes baseados nas seguintes estatísticas: razão de verossimihanças usua (LR), razão de verossimihanças perfiadas ajustadas (LR pa ) e razão de verossimihanças perfiadas ajustadas corrigida (LRpa), c sendo esta útima obtida através do fator de correção definido peas expressões (3.6) e (3.9) do Capítuo anterior. Os desempenhos dos testes foram avaiados segundo dois critérios. O primeiro consiste em verificar a proximidade da probabiidade de rejeição da hipótese nua, sendo esta verdadeira (probabiidade de erro tipo I), com reação aos respectivos níveis nominais fixados. Ou seja, estimamos por si- 26

38 muação de Monte Caro as taxas de rejeição dos testes, isto é, P (LR x α ), P (LR pa x α ) e P (LRpa c x α ), em que x α é o quanti (1 α) da distribuição χ 2 q, com q definindo o número de restrições impostas na hipótese nua. Estes testes são conhecidos na iteratura como tamanho do teste. Neste contexto, foram anaisados os impactos nas taxas de rejeição ocasionados peo aumento no número de parâmetros de interesse e perturbação. O segundo critério consiste em verificar o poder dos testes, ou seja, probabiidade de rejeição da hipótese nua, sendo esta fasa. As simuações baseiam-se na distribuição Passeio Aeatório. Para gerar as ocorrências desta distribuição com média µ e parâmetro de dispersão φ, utiizou-se a reação existente com a distribuição Inversa Gaussiana: Seja uma variáve aeatória Z i IG(θ i, δ i ), em que θ i e δ i são, respectivamente, os parâmetros de média e dispersão dados por θ i = exp(β 1 x 1i β p x pi ) e δ i = exp(γ 1 s 1i γ q s qi ). Então Y i = Z 1 i P A(µ i, φ i ), em que µ i = 1/θ i + 1/δ i e φ i = δ i /(2θ 2 i ). As matrizes de covariadas X e S foram geradas como ocorrências independentes de N(0, 1) e U(0, 1), respectivamente. Todos os parâmetros do modeo foram fixados com vaor um, exceto aquees fixados na hipótese nua. Foram considerados no experimento répicas de Monte Caro, diferentes tamanhos amostrais, a saber: n = 20, 30, 40 e 50, diferentes níveis de significância: α = 0, 5%, 1, 0%, 5, 0% e 10, 0%, aém de diversos vaores para os números de parâmetros de perturbação (p) e interesse (q). Em todos os cenários considerados, as hipóteses testadas foram H 0 : γ = 0 Vs. H 1 : γ 0, em que γ é um vetor q-dimensiona e 0 é um vetor de zeros de mesma dimensão. Por fim, saienta-se que todas as entradas nas tabeas que se seguem correspondem a porcentagens. 27

39 4.2 Resutados e Discussões Nas Tabeas 4.1 à 4.4 encontram-se os resutados das simuações reaizadas com o intuito de avaiar os desempenhos dos testes no que se refere à proximidade da probabiidade de rejeição da hipótese nua, sendo esta verdadeira, quando comparada aos respectivos níveis nominais fixados. Na Tabea 4.1 são apresentadas as taxas de rejeição empíricas dos testes para o modeo Passeio Aeatório com p = 3, q = 6 e p = 4, q = 3, considerando diferentes tamanhos amostrais, a saber: n = 20, 30, 40 e 50, e diferentes níveis de significância, a saber: α = 0, 5%, 1, 0%, 5, 0% e 10, 0%. De modo gera, os resutados indicam que em amostras de tamanho pequeno o teste da razão de verossimihanças usua, baseado na estatística LR, é notavemente ibera, ou seja, rejeita a hipótese nua com uma frequência consideravemente superior aos níveis nominais fixados. Por exempo, para p = 3 e q = 6, n = 20 e α = 10%, a taxa de rejeição deste teste é de 40, 1%, ou seja mais que quatro vezes maior que o níve nomina seecionado. Também verifica-se que, mesmo para amostra de tamanho grande, o teste baseado em LR ainda é ibera. Novamente considerando α = 10%, p = 3 e q = 6, agora n = 50, essa taxa de rejeição passa a ser de 16, 5%. Observa-se ainda que o teste da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas, baseado na estatística LR pa, é evemente ibera, exibindo taxas de rejeição mais próximas dos níveis nominais do que o teste baseado na razão de verossimihanças usua. Como iustração, para p = 3 e q = 6, n = 30 e α = 10%, a taxa de rejeição deste teste é 13, 8%. Ainda como iustração, considerando o modeo com p = 4 e q = 3, n = 40, aém de α = 5%, a taxa de rejeição deste teste é de 6, 5%. Já a apicação da correção de Bartett na estatística da razão de verossimihanças perfiadas ajustadas, originou um teste com resutados bastante favoráveis, de modo que o teste baseado em LRpa c exibe taxas de rejeição mais próximas dos níveis nominais correspondentes. Novamente, considerando p = 3 e q = 6, n = 30 e α = 10%, a taxa de rejeição deste teste é 10, 3%, enquanto que, para p = 4 e q = 3, n = 40 e α = 5% a taxa de 28

40 rejeição do teste é de 5, 8%. Na Tabea 4.2 são apresentadas as taxas de rejeição empíricas dos testes para o modeo Passeio Aeatório com q = 4, n = 40, vários níveis de significância e vários vaores para p. O intuito é anaisar o impacto do aumento no número de parâmetros de perturbação nas taxas de rejeição dos testes considerados. De modo gera, observa-se que o teste baseado na estatística LR apresenta taxas de rejeição bem superiores aos níveis nominais desejados, e que esta tendência ibera acentua-se à medida que o número de parâmetros de perturbação do modeo aumenta. Por outro ado, verifica-se que os testes baseados nas estatísticas LR pa e LRpa c tendem a ser mais estáveis, aém de apresentarem taxas de rejeição mais próximas dos níveis nominais considerados. Verifica-se ainda que o teste baseado na estatística LRpa c é o que exibe taxas de rejeição mais próximas dos níveis fixados. Como iustração, para p = 3 e α = 10%, as taxas de rejeição estimadas para os testes baseados nas estatísticas LR, LR pa e LRpa c são, respectivamente, 16, 6%, 12, 4% e 11, 0%. Ainda considerando α = 10%, agora com p = 7, as taxas passam a ser 31, 6%, 12, 1% e 10, 9%. A fim de avaiar o impacto do aumento no número de parâmetros de interesse no desempenho dos testes, a Tabea 4.3 apresenta as taxas de rejeição empíricas dos testes em vários níveis de significância para o modeo Passeio Aeatório com vaor fixo p = 3, n = 40 e vários vaores para q. Com base nos resutados, verifica-se para os cenários considerados que o aumento no número de parâmetros de interesse tem impacto semehante ao produzido peo aumento no número de parâmetros de perturbação. De modo gera, o teste baseado na estatística LR é consideravemente ibera, rejeitando a hipótese nua com frequência bem superior a desejada, enquanto que os testes baseados em LR pa e LRpa c apresentaram taxas de rejeição mais próximas dos níveis nominais considerados. Também para este cenário verifica-se que o teste baseado na estatística LRpa c é o que apresenta taxas de rejeição empíricas mais próximas dos níveis nominais considerados. Por exempo, para q = 4 e níve de significância α = 5, 0%, as taxas de rejeição dos testes baseados nas esta- 29

41 tísticas LR, LR pa e LRpa c são, respectivamente, 9, 7%, 6, 8% e 5, 8%. Para o mesmo níve de significância e considerando q = 6 as taxas são 11, 5%, 7, 1% e 5, 3%. O comportamento observado nas Tabeas 4.2 e 4.3 também se verifica na Tabea 4.4, onde encontram-se os resutados de simuação reaizados com o intuito de investigar o impacto nas taxas de rejeição ocasionado peo aumento simutâneo do número de parâmetros de interesse e perturbação. Para tanto, considerou-se o modeo Passeio Aeatório com diversos vaores de p = q, n = 40 e diversos níveis de significância. Destaca-se que novamente o teste baseado em LR mostrou-se bastante sensíve ao aumento no número de parâmetros, enquanto que os testes baseados em LR pa e LRpa c apresentaram maior estabiidade e taxas de rejeição empíricas mais próximas dos níveis desejados. Como exempo, para p = q = 4 e α = 10, 0%, as taxas de rejeição dos testes baseados nas estatísticas LR, LR pa e LRpa c são, respectivamente, 19, 4%, 12, 4% e 11, 1%, enquanto que para um mesmo níve de significância, considerando p = q = 7 as taxas passam a ser 42, 4%, 13, 4% e 10, 0%, respectivamente. A Tabea 4.5 apresenta os resutados de simuação para as taxas de rejeição dos testes sob hipótese aternativa (teste de poder). Uma vez que os testes de tamanho baseados nas estatísticas LR, LR pa e LRpa c apresentaram consideráve disparidade entre as taxas de rejeição para um dado níve nomina fixado, os testes de poder foram reaizados utiizando vaores críticos estimados para cada estatística, de modo que todos os testes pudessem ter o mesmo tamanho. Foi considerado o modeo Passeio Aeatório com p = q = 3, níveis de significância α = 5, 0% e α = 10, 0%, n = 40 e a hipótese aternativa H 1 : γ 1 = γ 2 = γ 3 = γ 0, com γ variando de 0, 1 à 0, 8. De modo gera, observa-se que o comportamento dos testes baseados nas três estatísticas consideradas foram bastante semehantes exibindo taxas de rejeição crescentes no sentido do distanciamento da hipótese nua e que o teste baseado na estatística usua apresenta poder superior aos demais testes. Aém disso, observa-se que os testes baseados nas estatísticas LR pa e LRpa c exibem 30