HELOISA DE MELO RODRIGUES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA TÉCNICAS DE DIAGNÓSTICO NOS MODELOS LINEARES GENERALIZADOS COM SUPERDISPERSÃO HELOISA DE MELO RODRIGUES Orientadora: Prof a Dr a Audrey Heen Mariz de Aquino Cysneiros Área de concentração: Estatística Apicada Recife fevereiro de 2013

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA TÉCNICAS DE DIAGNÓSTICO NOS MODELOS LINEARES GENERALIZADOS COM SUPERDISPERSÃO HELOISA DE MELO RODRIGUES Orientadora: Prof a Dr a Audrey Heen Mariz de Aquino Cysneiros Área de concentração: Estatística Apicada Dissertação submetida como requerimento parcia para obtenção do grau de Mestre em Estatística pea Universidade Federa de Pernambuco Recife fevereiro de 2013

3 Cataogação na fonte Bibiotecária Monick Raque Sivestre da Siva CRB Rodrigues Heoisa de Meo Técnicas de diagnóstico nos modeos ineares generaizados com superdispersão / Heoisa de Meo Rodrigues. - Recife: O Autor x 64f.: i. fig. tab. Orientadora: Audrey Heen Mariz de Aquino Cysneiros. Dissertação (mestrado) - Universidade Federa de Pernambuco. CCEN. Estatística Incui bibiografia e apêndice. 1. Estatística apicada - Modeagem. 2. Anáise de regressão. 3. Modeos ineares (estatística) I. Cysneiros Audrey Heen Mariz de Aquino (orientadora). II. Títuo. 310 CDD (23. ed.) MEI

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5 Dedico este trabaho à minha famíia e à todos que me ajudaram a chegar até aqui. iii

6 Agradecimentos À professora Audrey Cysneiros pea orientação conança paciência e dedicação que teve comigo durante a eaboração deste trabaho. Vaeu o desao! Agradeço-a também peos ensinamentos em todo meu percurso na UFPE até o momento desde a época da graduação em que foi minha professora ogo no primeiro período do curso na discipina Anáise Exporatória de Dados em 2005 e em seguida nas discipinas de Probabiidade 2 e Inferência Estatística. De á pra cá a amizade e reação prossiona só fez crescer. Aos meus pais Fátima e Pauo Cezar por sempre acreditarem em mim e por me dar muito amor e carinho essencia para enfrentar quaquer desao que a vida impõe. Aos meus avós Eremita e José Rodrigues (in memoriam) peo carinho e apoio. Aos meus tios Ana Anáia e Manoe e aos meus primos Luciana Luan Maríia Letícia e Antônio por sempre estarem presente em minha vida acompanhando de perto minha trajetória. Ao meu namorado Feipe por sempre estar ao meu ado apoiando minhas decisões e muitas vezes me ajudando a fazer escohas. Obrigada peo incentivo amor e companheirismo. À Socorro Rafae Natáia Bruno Fernanda e Rodrigo peo convívio e torcida. Aos amigos e coegas de graduação especiamente Natháia Simara Héio Berg Samue Léo e Poy pea amizade e boa convivência. Aos amigos do mestrado Gustavo Mariana Vitor Sérgio Marcos Mieno e um agradecimento especia para Ana Hermínia Sadraque Thiago e Diêgo peas incansáveis horas de estudo e boas risadas. À secretária da pós-graduação Vaéria Bittencourt pea simpatia amizade e disponibiidade de sempre. Aos amigos Dáete Fabiana Rafaea Yuri Duda e Annick peo apoio e amizade. Aos professores do Departamento de Estatística da UFPE Aex Andre Toom Cara Monteiro Caudia Lima Cristina Raposo Cristiano Ferraz Francisco Cribari Getúio Amara Isaac Xavier Leandro Rêgo Raydona Renato Cintra e Syvio. Obrigada pea contribuição na minha formação acadêmica tanto na graduação quanto no mestrado. Um agradecimento especia para o professor Francisco Cysneiros peos consehos e sermões desde a graduação e pea disposição em compartihar seus conhecimentos nas cinco discipinas em que fui sua auna. À CAPES peo apoio nanceiro. iv

7 "Faar sem aspas amar sem interrogação sonhar com reticências viver sem ponto na." Chares Chapin v

8 Resumo No contexto de modeos de regressão em aguns casos é comum o fenômeno da superdispersão que ocorre quando a variância observada dos dados excede aquea prevista por um modeo. Assim Dey et a. (1997) desenvoveram os modeos ineares generaizados com superdispersão (MLGSs) considerando um modeo de regressão adiciona para o parâmetro de dispersão que é incorporado na função de variância. Desta forma os MLGSs permitem modear simutaneamente a média e a dispersão no contexto dos modeos ineares generaizados (MLGs) de Neder e Wedderburn Aém disso os MLGSs caracterizam-se por ser uma casse de modeos mais gera que os modeos ineares generaizados dupos (Smyth 1989). Nesta dissertação são propostas técnicas de diagnósticos para os MLGSs sendo desenvovidas as técnicas de aavancagem generaizada anáise de resíduos inuência goba como também o método de inuência oca este avaiado sob três esquemas de perturbação. Por m é apresentada uma anáise gráca por meio de dados simuados. Paavras chave: Aavancagem generaizada Inuência goba Inuência oca Modeos ineares generaizados com superdispersão Resíduos. vi

9 Abstract The phenomenon of overdispersion which is common in some cases of regression modes occurs when the variance of the response variabe exceeds the nomina variance predicted by standard generaized inear modes (GLMs). With this probem in mind Dey et a. (1997) deveoped the overdispersed generaized inear modes (OGLMs) considering an additiona regression mode for a scae parameter which is incorporated in the variance function. That is the OGLMs aow the mean and dispersion to be modeed simutaneousy in a generaized inear mode context deveoped by Neder and Wedderburn Furthermore the OGLMs are considered a more genera mode cass than the doube generaized inear modes (Smyth 1989). In this dissertation diagnostic methods for the OGLMs are proposed aong with the deveopment of techniques of generaized everage anaysis of residuas goba inuence and oca inuence on which three perturbation schemes are used. At ast a graphica anaysis through simuated data is used to iustrate the theories presented. Keywords: Generaized everage Goba inuence Loca inuence Overdispersed generaized inear modes Residuas. vii

10 Lista de Figuras 4.1 Grácos de pontos de aavanca generaizados contra o índice das observações e os vaores ajustados para os dados simuados da distribuição passeio aeatório para a média ((a) e (b)) e a dispersão ((c) e (d)) Grácos de resíduos componente do desvio contra o índice das observações e os vaores ajustados para os dados simuados da distribuição passeio aeatório Grácos de resíduos componente do desvio padronizado contra o índice das observações e os vaores ajustados para os dados simuados da distribuição passeio aeatório Grácos de Inuência goba para os dados simuados da distribuição passeio aeatório para a média ((a) e (b)) e a dispersão ((c) e (d)) Grácos de C i contra o índice das observações para os esquemas de perturbação (a) perturbação aditiva na variáve resposta (b) perturbação aditiva no preditor para o ajuste da média (matriz X) (c) perturbação aditiva no preditor para o ajuste da dispersão (matriz S) e (d) perturbação de casos ponderados referente aos dados simuados da distribuição passeio aeatório. 45 viii

11 Sumário 1 Introdução Introdução Objetivos Estrutura da Dissertação Suporte Computaciona Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão Introdução Superdispersão Denição Agumas distribuições pertencentes à casse dos MLGSs Aspectos inferenciais Função Escore Informação de Fisher Estimação dos parâmetros Técnicas de Diagnóstico nos MLGSs Aavancagem Generaizada Resíduos Inuência Goba Inuência Loca Perturbação aditiva na resposta Perturbação de casos ponderados Perturbação aditiva no preditor ix

12 4 Resutados de Simuação Anáise Gráca Considerações Finais 46 Bibiograa 47 A Cácuo dos Momentos 50 A.1 Função Escore A.2 Informação de Fisher B Passeio Aeatório 54 B.1 Derivadas da função ψ(µ φ) B.2 Obtenção das matrizes M 1 M 2 Φ 1 e Φ C Aavancagem Generaizada 57 C.1 Cácuos para GL µ (ˆθ) C.2 Cácuos para GL φ (ˆθ) D Inuência Goba 61 x

13 Capítuo 1 Introdução 1.1 Introdução Durante muito tempo os modeos normais ineares foram utiizados para descrever a maioria dos fenômenos aeatórios. Com o avanço da teoria dos modeos de regressão Neder e Wedderburn (1972) propuseram os modeos ineares generaizados (MLGs) em que a ideia básica destes modeos consiste em abrir o eque de opções para a distribuição da variáve resposta permitindo que a mesma pertença à famíia exponencia de distribuições bem como dar maior exibiidade para a reação funciona entre a média da variáve resposta e o preditor inear η por meio da função de igação esta caracterizada por ser uma função conhecida monótona e diferenciáve. No contexto de modeos de regressão em aguns casos é comum o fenômeno da superdispersão cuja ocorrência é caracterizada quando a variação observada dos dados excede aquea prevista por um MLG particuarmente em reação às distribuições binomia e de Poisson. Assim Dey et a. (1997) deniram a casse dos modeos ineares generaizados com superdispersão (MLGSs) adicionando um modeo de regressão para o parâmetro de dispersão que é incorporado na função de variância de modo que a superdispersão é modeada por meio de uma componente sistemática. Ou seja os MLGSs permitem que a média e a dispersão sejam modeadas simutaneamente em um contexto dos modeos ineares generaizados. Desta forma os MLGSs possuem duas componentes sistemáticas uma para modear a média e outra para a dispersão. Na iteratura aguns estudos encontrados acerca dos MLGSs são: Cordeiro e Botter (2001) que apresentaram as fórmuas para os cácuos dos vieses para os estimadores de máxima verossimihança dos parâmetros e Cordeiro 1

14 1.2 OBJETIVOS et a. (2006) que derivaram correção de Bartett para os MLGSs. Ainda deve ser ressatado que não há estudos sobre técnicas de diagnóstico dos MLGSs na iteratura. Sendo assim o presente trabaho vem preencher esta acuna tornando-se pioneiro em exporar ta área nessa casse de modeos. 1.2 Objetivos Nesta dissertação são apresentados os aspectos inferenciais dos modeos ineares generaizados com superdispersão assim como técnicas de diagnóstico do modeo estudado. Como objetivos especícos pode-se destacar: Apicar a metodoogia de aavancagem generaizada aos MLGSs; Propor resíduos para a vericação das suposições do modeo como também para o estudo de observações atípicas; Apresentar medidas de inuência goba para os MLGSs; Desenvover a metodoogia de inuência oca nos MLGSs para avaiar as estimativas de máxima verossimihança considerando diferentes esquemas de perturbação. 1.3 Estrutura da Dissertação Esta dissertação encontra-se dividida em cinco capítuos. No Capítuo 2 é apresentado um conceito gera de superdispersão com suas possíveis causas e consequências. Aém disso são denidos os modeos ineares generaizados com superdispersão desenvovidos por Dey et a. (1997) agumas distribuições pertencentes à esta casse de modeos assim como seus aspectos inferenciais tais como função escore informação de Fisher e estimação dos parâmetros. No Capítuo 3 encontram-se as principais contribuições teóricas desta dissertação em que são desenvovidas técnicas de diagnósticos para os MLGSs tais como: aavancagem generaizada resíduos inuência goba e inuência oca. No Capítuo 4 é reaizada uma anáise gráca com dados simuados com o intuito de apresentar as técnicas de diagnóstico desenvovidas nesta dissertação. Por útimo no Capítuo 5 são feitas as considerações nais deste trabaho. 2

15 1.4 Suporte Computaciona 1.4 SUPORTE COMPUTACIONAL No Capítuo 4 referente à anáise gráca via dados simuados todos os cácuos foram reaizados a partir da inguagem matricia de programação Ox (versão 6.20) para o sistema operaciona Windows. Ox é uma inguagem com orientação a objetos desenvovida por Jurgen Doornick. Uma das maiores vantagens dessa inguagem é possuir ampa bibioteca numérica tornandose muito úti para a área de computação cientíca. Para ns acadêmicos Ox pode ser obtido gratuitamente em sua versão Consoe por meio do ink em que é possíve encontrá-o disponíve para downoad em diferentes pataformas computacionais. Mais informações ver Doornick (2009). Para a confecção de grácos foi utiizado o software gratuito R em sua versão para o sistema operaciona Windows que pode ser obtido no endereço O software R é um ambiente para computação cientíca e gráca baseado no software S sendo ampamente utiizado por pesquisadores de diversas áreas do conhecimento. Por m acrescenta-se que toda a dissertação foi redigida por meio do TeXnicCenter do sistema tipográco L A TEX que consiste em uma série de macros e rotinas baseadas no sistema TEX criado por Donad Knuth. Detahes sobre o sistema de tipograa L A TEXpodem ser encontrados em Mittebach et a. (2004) como também por meio do site 3

16 Capítuo 2 Modeos Lineares Generaizados com Superdispersão 2.1 Introdução Os modeos ineares generaizados (MLGs) têm sido uma casse padrão de modeos para anáise de dados. Contudo em agumas apicações a presença de heterogeneidade em amostras é muito grande para ser expicada pea função de variância simpes impícita nos modeos examinados. Utiizando uma famíia exponencia biparamétrica que é superdispersada em reação a uma especíca famíia exponencia uniparamétrica é possíve a criação de casses de modeos ineares generaizados com superdispersão (MLGSs) que são anaiticamente atraentes estes denidos por Dey et a. (1997). Cordeiro e Botter (2001) derivaram fórmuas gerais para os vieses de segunda ordem das estimativas de máxima verossimihança dos MLGSs e Cordeiro et a. (2006) desenvoveram correção de Bartett para ta casse de modeos. 2.2 Superdispersão Na apicação de modeos ineares generaizados principamente em modeagem de dados binários agrupados e dados de contagem como por exempo as distribuições binomia e Poisson em que φ 1 para um bom ajuste do modeo é esperado que o desvio seja aproximadamente igua aos graus de iberdade. Se o desvio é maior que os graus de iberdade há dois cenários possíveis para se considerar: (i) Há simpesmente um mau ajuste do modeo dentre agumas razões como: termos ou variáveis omitidas no preditor inear; reação incorreta entre 4

17 2.3 DEFINIÇÃO a média e as variáveis expicativas isto é pode haver um erro na função de igação ou uma necessidade de transformar uma ou mais variáveis expicativas; e ainda a presença de outiers. (ii) A variação observada pode exceder aquea predita peo modeo e este fenômeno é denominado superdispersão. Segundo Paua (2012) diferentes circunstâncias podem causar um vaor ato para o desvio. Agumas deas representam uma superdispersão aparente. Por exempo aguns pontos aberrantes podem aumentar substanciamente o vaor do desvio e a simpes eiminação desses pontos pode reduzir as evidências de superdispersão. Outra causa aparente de superdispersão é a ausência de agum termo extra na componente sistemática do modeo. Hinde e Demétrio (1998) apontam diferentes causas possíveis de superdispersão tais como: variabiidade do experimento correação entre respostas individuais amostragem por custer agregação em dados de níve ou até mesmo a omissão de variáveis não observadas. Em agumas circunstâncias a causa da superdispersão pode ser aparente a partir da natureza do processo de coeta dos dados embora diferentes causas do fenômeno da superdispersão possam evar a um mesmo modeo tornando-se difíci inferir a causa precisa que conduza à superdispersão. Com isso torna-se necessário estudar medidas de diagnóstico que são ferramentas importantes para detectar o fenômeno. Caso seja identicada a presença de superdispersão e esta não seja evada em consideração nas anáises ta fato poderá acarretar em consequências prejudiciais ao modeo. Iniciamente os erros padrões obtidos do modeo estarão incorretos e podem ser seriamente subestimados e consequentemente pode-se avaiar incorretamente a signicância individua dos parâmetros de regressão. Ainda as mudanças no desvio associado com os termos do modeo irão também ser muito grande e isto conduzirá à seeção de modeos extremamente compexos. Finamente a interpretação do modeo será incorreta podendo prejudicar quaisquer previsões. 2.3 Denição Dey et a. (1997) deniram uma casse de modeos ineares generaizados com superdispersão (MLGSs) em que as variáveis aeatórias Y 1... Y n são 5

18 2.3 DEFINIÇÃO independentes e cada Y tem função densidade (ou de probabiidade) na famíia exponencia bidimensiona de distribuições dada por π(y; µ φ) A(y) exp{(y µ)ψ (10) (µ φ) + φt (y) + ψ(µ φ)} (2.1) em que A( ) T ( ) e ψ( ) são funções conhecidas. Aém disso seja ψ (rs) (µ φ) r+s ψ(µ φ)/ µ r φ s (r s 0). A média e a variância de Y são dadas respectivamente por E ainda E(Y ) µ e Var(Y ) ψ (20) 1. E{T (Y )} ψ (01) e Var{T (Y )} ψ (11)2 ψ (20) 1 ψ (02). (2.2) Tem-se também que E{(Y µ)t (Y )} ψ (11) ψ (20) 1. Para escarecimento de notação vae ressatar que para r 1 e s 0 temse ψ (10) que corresponde à primeira derivada da função ψ(µ φ) em reação à µ e ψ (01) (r 0 e s 1) equivae à primeira derivada da função ψ(µ φ) em reação à φ seguindo o mesmo raciocínio para as demais ordens de derivação de µ e φ. ( ) É fáci mostrar que E 2 og π 0 isto é que os parâmetros µ e φ são µ φ ortogonais conforme Cox e Reid (1987). Gefand e Daa (1990) mostram que se T (Y ) é convexa e (2.1) é integráve em y mantendo a média µ xa então a variância de Y será acrescida em φ. Ou seja se φ cresce a Var(Y ) também sofrerá um aumento. Portanto φ pode ser considerado um parâmetro de dispersão. Os MLGSs são denidos por (2.1) e peas componentes sistemáticas f(µ) η Xβ e g(φ) τ Sγ em que X e S são matrizes n p e n q de postos competos p e q respectivamente β (β 1... β p ) e γ (γ 1... γ q ) são vetores de parâmetros desconhecidos a serem estimados f( ) e g( ) são funções monótonas contínuas conhecidas peo menos duas vezes diferenciáveis denominadas funções de igação da média e dispersão respectivamente. Para ajustar um MLGS é necessário uma escoha adequada destas funções de igação. Cordeiro e Botter (2001) e Cordeiro et a. (2006) sugerem por exempo escoher g(φ) og φ. 6

19 2.4 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES PERTENCENTES À CLASSE DOS MLGSS Para um dado MLGS há o interesse de se estimar simutaneamente os parâmetros β e γ desde que ees representem os efeitos das variáveis expicativas sobre a resposta média e o parâmetro de dispersão respectivamente. Seja y 1... y n vaores amostrais das respectivas variáveis aeatórias Y 1... Y n então o ogaritmo da função de verossimihança é dado por (β γ) {(y µ )ψ (10) (µ φ ) + φ T (y ) + ψ(µ φ )} + og A(y ). (2.3) 2.4 Agumas distribuições pertencentes à casse dos MLGSs Nesta Seção são apresentadas agumas distribuições de probabiidade pertencentes à casse dos modeos ineares generaizados com superdispersão. Na sequência a distribuição passeio aeatório foi descrita com maiores detahes por ser utiizada para ajustar dados simuados no Capítuo 4. Passeio Aeatório A distribuição passeio aeatório (Wise 1966; Wasan 1968) trata-se de uma distribuição especia dos MLGSs porém não é membro dos modeos ineares generaizados e modeos ineares dupos (Cordeiro e Botter 2001; Cordeiro et a. 2006). É possíve construir uma variáve aeatória Y com distribuição passeio aeatório em que Y 1/Z sendo Z uma variáve aeatória com distribuição inversa Gaussiana (Cordeiro e Botter 2001; Johnson et a p.282). Se Y tem distribuição passeio aeatório com parâmetros θ e δ sua função densidade de probabiidade é dada por π(y; θ δ) com y > 0 θ > 0 δ > 0. ( ) 1/2 { δ exp δy 2πy 2 + δ θ δ } (2.4) 2θ 2 y A média e variância de Y são dadas respectivamente por E(Y ) µ 1 θ + 1 δ e Var(Y ) 1 (θδ) + 2 δ 2. 7

20 2.4 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES PERTENCENTES À CLASSE DOS MLGSS Para escrever (2.4) na forma da equação (2.1) por meio da parametrização da média dene-se φ δ/(2θ 2 ) e ψ(µ φ) 2( φ) 1/2 {(2µ φ) 1/2 ( φ) 1/2 } og 2 og{(2µ φ) 1/2 ( φ) 1/2 } µ{(2µ φ) 1/2 ( φ) 1/2 } 2 (2.5) em que µ e φ são parâmetros ortogonais. Substituindo µ 1/θ + 1/δ e φ δ/(2θ 2 ) em (2.1) após agumas manipuações agébricas é possíve obter as seguintes quantidades: A(y) ψ (10) (µ φ) δ 2 T(y) 1 y ( ) 1/2 1 2πy ψ(µ φ) δ θ og δ δ 2θ 1 2. Assim determinam-se todas as componentes da distribuição passeio aeatório sob a forma dos MLGSs. As derivadas da função ψ(µ φ) dada em (2.5) utiizadas nessa dissertação encontram-se no Apêndice B.1. Ressata-se ainda que o cácuo considerando o modeo passeio aeatório para a obtenção das matrizes M 1 M 2 Φ 1 e Φ 2 denidas em (2.10) pode ser visto no Apêndice B.2. Aém da distribuição passeio aeatório Previdei (2005) apresentou as distribuições inversa Gaussiana generaizada famíia exponencia dupa e Poisson dupa como pertencentes à casse de modeos aqui estudada sendo estas descritas a seguir. Inversa Gaussiana Generaizada Introduzida por Good (1953) e estudada por Wise ( ) trata-se de uma importante generaização da distribuição inversa Gaussiana. A função densidade de probabiidade da distribuição inversa Gaussiana generaizada usa os parâmetros ψ χ e λ e é dada por 8

21 2.4 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES PERTENCENTES À CLASSE DOS MLGSS π(y; ψ χ λ) { (ψ/χ)λ/2 2K λ ( ψχ) yλ 1 exp 1 } 2 (χy 1 + ψy) y > 0; ψ χ > 0 em que K λ ( ) é a função Besse modicada de terceira ordem. especiais de (2.6) as seguintes distribuições: e Gama (χ 0 λ > 0) Recíproca gama (ψ 0 λ < 0) Inversa Gaussiana (λ 1/2) Recíproca da inversa Gaussiana (λ 1/2) Hiperbóica (λ 0). A média e a variância de Y são dadas respectivamente por Var(Y ) E(Y ) ( ) 1/2 χ K λ+1 ( ψχ) ψ K λ ( ψχ) ( ) [ χ K λ+2 ( ψχ) ψ K λ ( ψχ) ( Kλ+1 ( ) 2 ] ψχ) K λ (. ψχ) (2.6) São casos Mais informações sobre a distribuição inversa Gaussiana generaizada podem ser obtidas de Jφrgensen (1982). Famíia Exponencia Dupa Nas famíias exponenciais uniparamétricas tais como a binomia e Poisson a variância é uma função da média sendo comum neste caso o fenômeno da superdispersão. Famíias exponenciais dupas permitem a introdução de um segundo parâmetro que controa a variância independentemente da média. Estas famíias ainda compartiham as propriedades da famíia exponencia simutaneamente para os parâmetros média e dispersão. Iniciamente considere a função de densidade da famíia exponencia uniparamétrica dada por Efron (1986) g(y; µ n) exp{n[ηy ψ(µ)]}[dg(y; n)] (2.7) 9

22 2.4 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES PERTENCENTES À CLASSE DOS MLGSS em que µ E(Y ); η é uma função monótona de µ; ψ(µ) é uma função normaizadora escohida de ta forma que a integra da densidade seja 1; G(y; n) é uma medida conhecida; e n é o tamanho da amostra. A partir da famíia exponencia dada em (2.7) a famíia com função de densidade π(y; µ θ n) c(µ θ n)θ 1/2 {g(y; µ n)} θ {g(y; n)} 1 θ [dg(y; n)] (2.8) é chamada famíia exponencia dupa com parâmetros µ θ e n. A constante c(µ θ n) é denida de ta forma que π(y; µ θ n)dg(y; n) 1. Ao usar (2.8) em anáise de regressão os parâmetros desconhecidos µ e θ poderão ser estimados a partir dos dados. É possíve destacar ainda que a densidade (2.8) possui média e variância dadas aproximadamente por em que V (µ) é a função de variância. E(Y ) µ e Var(Y ) V (µ) nθ Por m destaca-se que os MLGSs engobam a famíia exponencia dupa apresentada por Efron (1986) e assim todas as distribuições pertencentes às famíias binomia gama e Poisson dupa podem ser escritas sob a forma dos MLGSs. Ressata-se ainda que embora a distribuição binomia negativa seja bastante utiizada para casos em que há superdispersão a mesma não pertence à casse dos MLGSs. Poisson Dupa Suponha que g(y; µ n) em (2.7) é a função densidade de probabiidade g(y; µ) exp µ µ y (2.9) y! com y Segundo Efron (1986) o tamanho amostra n foi suprimido da equação (2.9) por uma simpes razão: a famíia Poisson é fechada sob convouções então g(y; µ n) é a mesma famíia para todos os vaores de n. Assim a função densidade de probabiidade aproximada para a famíia Poisson dupa é dada por ( ) ( ) e π(y; µ θ) (θ 1/2 e θµ y y y θy eµ ) y! y 10

23 2.5 ASPECTOS INFERENCIAIS y A média e a variância de Y são dadas respectivamente por E(Y ) µ e Var(Y ) µ θ. 2.5 Aspectos inferenciais Função Escore A seguir são introduzidas agumas notações necessárias no cácuo da função escore e matriz de informação de Fisher para os modeos ineares generaizados com superdispersão. Para tanto seja m i i µ η i φ i i φ τ i Ψ (rs) diag{ψ (rs) 1... ψ n (rs) } M r diag{m r1... m rn } Φ r diag{φ r1... φ rn } (2.10) em que m i e φ i denotam respectivamente a i-ésima derivada das funções de igação inversa µ f 1 (η) e φ g 1 (τ ) para i 1 2 e 1... n. As matrizes Ψ (rs) M r e Φ r são de ordem n n em que para as duas útimas r 1 2. E ainda ψ (rs) r+s ψ(µ φ )/ µ r φs r s n. A função escore para β e γ é particionada em duas submatrizes uma para cada parâmetro aqui considerado e é dada por U U(β γ) ( (β γ)/ β (β γ)/ γ ) ( X Ψ (20) M 1 (y µ) S Φ 1 ν ) (2.11) em que (y µ) ((y 1 µ 1 )... (y n µ n )) e ν (v 1... v n ) com v (y µ )ψ (11) + T (y ) + ψ (01) 1... n. 11

24 2.5 ASPECTOS INFERENCIAIS Informação de Fisher Matriz de Informação Observada de Fisher Seja L θθ a matriz de informação observada de Fisher para θ (β γ ) avaiada em θ ˆθ. Após agumas manipuações agébricas envovendo diferenciação de matrizes é obtido ( ) L θθ 2 (θ) Lββ θ θ Lβγ em que L γβ Lγγ ] L ββ X [Ψ (30) M 2 1D(r) Ψ (20) M Ψ (20) M 2 D(r) X L βγ X D(r)Ψ (21) Φ 1 M 1 S L γβ S D(r)Ψ (21) Φ 1 M 1 X ( L βγ ) 1 L γγ S [ Φ 2 D(r)Ψ (11) + Φ 2 D(T) + Φ 2 Ψ (01) + Φ 2 1D(r)Ψ (12) + Φ 2 1Ψ (02) ] S (2.12) sendo D(r) diag{(y 1 µ 1 )... (y n µ n )} e D(T) diag{t (y 1 )... T (y n )}. As matrizes L ββ L βγ L γβ e L γγ são de ordem p p p q q p e q q respectivamente. Assim a matriz de informação observada também conhecida como matriz de informação oca possui ordem (p + q) (p + q). Matriz de Informação Esperada de Fisher A matriz de informação esperada de Fisher é boco-diagona dada por ( Kββ 0 K θθ K(β γ) E( L θθ ) 0 K γγ em que K ββ X Ψ (20) M 2 1X e K γγ S Ψ (02) Φ 2 1S são as matrizes de informação para β e γ respectivamente. Logo os parâmetros β e γ são gobamente ortogonais e seus estimadores de máxima verossimihança (EMVs) ˆβ e ˆγ são assintoticamente independentes. Ao avaiar K 1 θθ nestes EMVs tem-se uma estimativa da matriz de variância-covariância assintótica de ˆβ e ˆγ. O cácuo detahado da função escore assim como das matrizes de informação observada e esperada de Fisher encontram-se no Apêndice A. ) 12

25 2.5 ASPECTOS INFERENCIAIS Estimação dos parâmetros Nos MLGSs a obtenção dos EMVs ˆβ e ˆγ é feita por meio da maximização numérica do ogaritmo da função de verossimihança da distribuição de probabiidade dada em (2.3). Assim pode-se utiizar um método de otimização não-inear que consiste em encontrar o máximo de uma função por meio de agoritmos iterativos via métodos gradientes tais como: Newton-Raphson scoring de Fisher métodos quasi-newton (DFP e BFGS) entre outros. Mais detahes sobre métodos de otimização podem ser encontrados em Noceda e Wright (1999 Capítuos 8 e 19) e Frery e Cribari-Neto (2005). O processo iterativo de Newton-Raphson para a obtenção da estimativa de máxima verossimihança de θ (β γ ) é denido expandindo-se a função escore U(θ) em série de Tayor a partir de um vaor inicia θ (0) ta que U(θ) U(θ (0) ) + U (θ (0) )(θ θ (0) ) em que U (θ) denota a primeira derivada de U(θ) com respeito a θ. Assim repetindo-se o procedimento acima chega-se ao processo iterativo no (m + 1)- ésimo passo que ca dado por θ (m+1) θ (m) + { U (θ (m) )} 1 U(θ (m) ) com m Como a matriz U (θ) pode não ser positiva denida a apicação do método scoring de Fisher substituindo a matriz U (θ) peo correspondente vaor esperado pode ser mais conveniente. Isso resuta no seguinte processo iterativo: m θ (m+1) θ (m) + K 1 θθ U(θ(m) ) Em notação matricia o processo iterativo acima corresponde às seguintes equações para estimar β e γ iterativamente ou seja ( ) ( ) ( β (m+1) β (m) Kββ 0 γ (m+1) γ (m) + 0 K γγ ) ( U(β (m) ) U(γ (m) ) ) 13

26 2.5 ASPECTOS INFERENCIAIS β (m+1) β (m) + K 1(m) ββ U(β (m) ) (2.13) e γ (m+1) γ (m) + K 1(m) γγ U(γ (m) ) (2.14) m Substituindo K 1(m) ββ (X Ψ (20)(m) M (m)2 1 X) 1 e U(β (m) ) X Ψ (20)(m) M (m) 1 (y µ) na equação (2.13) acima segue que β (m+1) β (m) + (X Ψ (20)(m) M (m)2 1 X) 1 X Ψ (20)(m) M (m) 1 (y µ) (X Ψ (20)(m) M (m)2 1 X) 1 X Ψ (20)(m) M (m)2 1 [Xβ (m) + M (m) 1 1 (y µ)] (X Ψ (20)(m) M (m)2 1 X) 1 X Ψ (20)(m) M (m)2 1 ξ (m) 1 em que ξ 1 η + M 1 1 (y µ) sendo η Xβ e m Anaogamente para γ substituindo-se K 1(m) γγ ( S Ψ (02)(m) Φ (m)2 1 S) 1 e U(γ (m) ) S Φ (m) 1 ν na equação (2.14) tem-se que γ (m+1) γ (m) + ( S Ψ (02)(m) Φ (m)2 1 S) 1 S Φ (m) 1 ν ( S Ψ (02)(m) Φ (m)2 1 S) 1 ( S Ψ (02)(m) Φ (m)2 1 )[Sγ (m) Ψ (02) 1 Φ 1 1 ν] ( S Ψ (02)(m) Φ (m)2 1 S) 1 ( S Ψ (02)(m) Φ (m)2 1 )ξ (m) 2 em que ξ 2 τ Ψ (02) 1 Φ 1 1 ν sendo τ Sγ e ν (v 1... v n ) com v (y µ )ψ (11) + T (y ) + ψ (01) m e 1... n. Considerando W (m) ββ Ψ (20)(m) M (m)2 1 e W γγ (m) Ψ (02)(m) Φ (m)2 1 para m chega-se a um processo iterativo de mínimos quadrados reponderados que ca dado por 14

27 2.5 ASPECTOS INFERENCIAIS β (m+1) (X W (m) ββ X) 1 X W (m) ββ ξ(m) 1 γ (m+1) (S W (m) γγ S) 1 S W (m) γγ ξ (m) 2 (2.15) m ξ 1 η + M 1 1 (y µ) e ξ 2 τ Ψ (02) 1 Φ 1 1 ν com ν (v 1... v n ) sendo v (y µ )ψ (11) + T (y ) + ψ (01) 1... n. Note que ξ 1 e ξ 2 em (2.15) desempenham o pape de uma variáve dependente modicada enquanto W ββ e W γγ correspondem a uma matriz de pesos que muda a cada passo do processo iterativo. Em termos gerais tem-se que fazer a regressão da variáve dependente modicada (ξ 1 ξ 2 ) sob a matriz modeo (X S) com os pesos modicados denidos por ( ) ( Wββ W W βγ Ψ (20) M W γβ W γγ 0 Ψ (02) Φ 2 1 ). 15

28 Capítuo 3 Técnicas de Diagnóstico nos MLGSs Um ajuste de regressão é uma representação de aguns aspectos dos dados. No entanto uma única observação pode provocar distorções na interpretação dos coecientes do modeo assim como exercer um efeito desproporciona no ajuste evando muitas vezes a concusões errôneas quanto aos resutados inferenciais. Na área de modeagem uma etapa importante é a anáise de diagnóstico que consiste em vericar possíveis afastamentos das suposições feitas para o modeo assim como a existência de observações extremas que exerçam aguma interferência desproporciona nos resutados do ajuste. Esta etapa teve seu início com a anáise de resíduos para avaiar a adequação da distribuição proposta da variáve resposta assim como detectar pontos aberrantes entre o conjunto de dados. Neste Capítuo são apresentadas agumas técnicas de diagnósticos para os modeos ineares generaizados com superdispersão sendo esta a principa contribuição desta dissertação por não haver estudos anteriores que aborde este tema quanto à referida casse de modeos. Iniciamente na Seção 3.1 é tratado o conceito de aavancagem generaizada sob a abordagem de Wei Hu e Fung (1998) em que ees generaizam a denição de pontos de aavanca para modeos gerais. Na Seção 3.2 é apresentada a anáise de resíduos para os MLGSs e em seguida na Seção 3.3 a técnica de deeção de pontos (inuência goba) esta iniciamente introduzida por Cook (1977) para modeos normais ineares e posteriormente estendida para diversas casses de modeos. Por m na Seção 3.4 é estudada a metodoogia de inuência oca proposta por Cook (1986) em que a ideia básica consiste em avaiar a inuência conjunta 16

29 3.1 ALAVANCAGEM GENERALIZADA das observações sob pequenas perturbações nos dados ou no próprio modeo. Mais referências sobre métodos de diagnóstico podem ser encontradas em Paua (2012). 3.1 Aavancagem Generaizada Pontos de aavanca são aquees que têm grande inuência no próprio vaor ajustado e a presença destes causa aumento na variabiidade da previsão. Tais pontos se caracterizam também por ter um per diferente dos demais no que diz respeito aos vaores das variáveis expicativas do modeo em que dependendo da ocaização esses pontos podem exercer forte inuência nas estimativas da variância dos coecientes de regressão. Assim o conceito de aavancagem é um dos componentes chaves da anáise de diagnóstico em modeos de regressão inear em que a ideia principa é avaiar a inuência de y i sobre o próprio vaor predito. Uma forma de medir essa inuência é por meio da derivada ŷ i / y i que coincide com h ii no caso norma inear em que h ii representa o i-ésimo eemento da diagona principa da matriz de projeção (também conhecida como matriz hat ou matriz chapéu) H X(X X) 1 X e X é a matriz modeo. A matriz H caracteriza-se por ser simétrica e idempotente em que esta útima propriedade resuta na seguinte reação: posto(h) tr(h). A aavancagem generaizada de um estimador é denida em modeos de regressão como uma medida da importância de observações avaiadas individuamente. Wei Hu e Fung (1998) derivaram um simpes mas poderoso resutado desenvovendo uma expressão expícita para aavancagem partindo do ponto de vista de que h ii ŷ i / y i reete mais diretamente a inuência de y i no ajuste. Seja y (y 1... y n ) um vetor de respostas observadas com função densidade de probabiidade π(y; θ) onde θ é um vetor de parâmetros desconhecidos. A esperança de y µ E(y) pode ser expressa como µ µ(θ). Seja ˆθ ˆθ(y) o estimador de máxima verossimihança de θ então ŷ µ(ˆθ) é o vetor de respostas preditas. Segundo Wei Hu e Fung (1998) a aavancagem generaizada de ˆθ ŷ/ y é denida como GL(ˆθ) {(D θ )( L θθ ) 1 ( L θy )} θˆθ (3.1) em que D θ µ/ θ L θθ 2 (θ)/ θ θ e L θy 2 (θ)/ θ y com 17

30 3.1 ALAVANCAGEM GENERALIZADA (θ) (β γ) denida em (2.3). Na Seção 2.3 encontra-se denido L θθ. Sendo D µ θ (Dµ β Dµ γ) tem-se que µ β r µ η η β r m 1 (r) em que r 1... p R 1... q e 1... n. Assim em forma matricia e µ γ R µ η η γ R 0 D µ θ (M 1X 0) (3.2) em que M 1 diag{m m 1n } com m 1 µ / η 1... n. A matriz L θy é denida como L θy [ ] Lβy L γy sendo L βy 2 (θ)/ β y e L γy 2 (θ)/ γ y. A derivada de (θ) em reação a β r é (θ) β r { ψ (20) (y µ )m 1 (r) } em que ψ (20) 2 ψ(µ φ )/ µ 2 m 1 µ / η e (r) η / β r r 1... p e 1... n. Assim o (r)-ésimo eemento de L βy é dado por r 1... p e 1... n. 2 (θ) β r y { ψ (20) m 1 (r) } Anaogamente tem-se que a primeira derivada de (θ) em reação a γ R é (θ) γ R φ 1 (R) v em que φ 1 φ / τ (R) τ / γ R e v ψ (11) (y µ ) + T (y ) + ψ (01) com ψ (11) 2 ψ(µ φ )/ µ φ e ψ (01) ψ(µ φ )/ φ 1... n. Então o (R)-ésimo eemento de L γy pode ser expresso como 18

31 3.1 ALAVANCAGEM GENERALIZADA 2 (θ) γ R y { ψ (11) φ 1 (R) + T (y } ) φ 1 (R) y R 1... q e 1... n. Em notação matricia L θy [ X Ψ (20) M 1 ) S (Ψ (11) + D(T y) Φ 1 ] (3.3) em que D(T y) diag{t (y 1 )... T (y n )} com T (y ) T (y ) y 1... n. Os componentes das matrizes diagonais Ψ (20) Ψ (11) M 1 e Φ 1 estão denidos em (2.10). Substituindo (2.12) (3.2) e (3.3) em (3.1) tem-se que a matriz generaizada de pontos de aavanca para µ ca dada por { L 1 } GL µ (ˆθ) M 1 X ββ + FE 1 F Lβy M 1 XFE 1 Lγy θˆθ (3.4) 1 em que F L L ββ βγ F L L 1 γβ ββ E L γγ + L L 1 L γβ ββ βγ e L ββ L βγ L γβ e L γγ são eementos da matriz de informação observada dada em (2.12). É possíve ainda reescrever (3.4) da seguinte maneira em que GL µ (ˆθ) GL µ β (ˆθ) + GL µ γ(ˆθ) e [ ] } 1 GL µ β (ˆθ) M 1 X {X Ψ (30) M 2 1D(r) Ψ (20) M Ψ (20) M 2 D(r) X X Ψ (20) M 1 θˆθ GL µ γ(ˆθ) M 1 XFE 1 F X Ψ (20) M 1 { ] } M 1 XFE 1 S [(Ψ (11) + D(T y) Φ 1 θˆθ sendo D(T y) diag{t (y 1 )... T (y n )} com T (y ) T (y ) y e D(r) diag{r 1... r n } em que r (y ˆµ ) 1... n. Os componentes das matrizes diagonais Ψ (30) Ψ (20) Ψ (11) M 1 M 2 e Φ 1 encontram-se denidos em (2.10). 19

32 3.1 ALAVANCAGEM GENERALIZADA Também é possíve observar a inuência de y em ˆφ denotada por ˆφ / y em que φ (φ 1... φ n ). Sendo D φ θ (Dφ β Dφ γ) tem-se que φ β r φ τ τ β r 0 em que r 1... p R 1... q e 1... n. Então em forma matricia e φ γ R φ τ τ γ R φ 1 (R) D φ θ (0 Φ 1S) (3.5) em que Φ 1 diag{φ φ 1n } com φ 1 φ / τ 1... n. As demais quantidades L θθ e L θy são dadas em (2.12) e (3.3) respectivamente. Assim anaogamente a GL µ (ˆθ) substituindo (2.12) (3.5) e (3.3) em (3.1) a matriz generaizada de pontos de aavanca ˆφ/ y pode ser expressa como GL φ (ˆθ) Φ 1 SE 1 F Lβy + Φ 1 SE 1 Lγy θˆθ (3.6) sendo E L γγ + L L 1 L γβ ββ βγ F L L 1 γβ ββ. A matriz generaizada de pontos de aavanca para φ dada em (3.6) pode ainda ser reescrita na forma em que GL φ (ˆθ) GL φ β (ˆθ) + GL φ γ(ˆθ) e GL φ β (ˆθ) Φ 1 SE 1 F X Ψ (20) M 1 { ] } + Φ 1 SVW 1 V S [(Ψ (11) + D(T y) Φ 1 θˆθ ( ) 1 GL φ γ(ˆθ) Φ 1 S L γγ Lγy θˆθ ) 1 ( ) ] Φ 1 S ( L γγ [S Ψ (11) + D(T y) Φ 1 com E L γγ + L γβ L 1 ββ L βγ F θˆθ L γβ L 1 ββ V ( L γγ ) 1 Lγβ V L βγ ( L γγ ) 1 W L ββ L L 1 L βγ γγ γβ e L ββ L βγ L γβ e L γγ são eementos da matriz de informação observada dada em (2.12). Os componentes das 20

33 3.2 RESÍDUOS matrizes diagonais Ψ (20) Ψ (11) M 1 e Φ 1 estão denidos em (2.10) e D(T y) diag{t (y 1 )... T (y n )} com T (y ) T (y ) y 1... n. Os grácos de GL µ (ˆθ) e GL φ (ˆθ) contra a ordem das observações são sugeridos para detectar possíveis pontos com ata aavancagem. É comum também utiizar os grácos de GL µ (ˆθ) e GL φ (ˆθ) contra os vaores ajustados. 3.2 Resíduos A anáise de diagnóstico uma etapa muito importante na anáise de regressão teve início com a anáise de resíduos para detectar possíveis pontos ma ajustados e avaiar a adequação da distribuição proposta para a variáve resposta. Assim a anáise de resíduos sob a abordagem dos modeos ineares constitui uma ferramenta ampamente utiizada para vericar a adequacidade do ajuste presença de observações extremas (aberrantes) ou que exerçam aguma inuência desproporciona nos resutados do ajuste como também detectar possíveis afastamentos das suposições iniciamente feitas para o modeo entre as quais a distribuição de probabiidade dos dados aém de vericar indícios de heteroscedasticidade. Uma denição mais gera de resíduos pode ser vista no artigo apresentado por Cox e Sne (1968). A seguir são apresentados os resíduos padronizado componente do desvio e componente do desvio padronizado para os modeos ineares generaizados com superdispersão. Vae ressatar que toda a anáise de resíduos apresentada nesta Seção refere-se somente à construção de expressões para resíduos com respeito ao ajuste da média. Anaogamente é possíve obter equações para os resíduos aqui propostos quanto ao ajuste da dispersão sendo esta uma abordagem para trabahos futuros. Resíduo padronizado A denição mais usua de resíduo é a diferença entre o vaor observado e o vaor ajustado da -ésima observação denominado resíduo ordinário dado por r (y ˆµ ) 1... n em que o sina de r indica a direção dessa diferença. A anáise de resíduos pode se basear nestes resíduos e suas possíveis padronizações assim como nos resíduos construídos a partir dos componentes da função desvio frequentemente utiizados em modeos ineares generaizados. 21

34 3.2 RESÍDUOS Seja o vetor de resíduos ordinários denido por r (r 1... r n ). Logo da regressão norma inear segue que r y ˆµ y Hy (I H)y em que H é a matriz de projeção ortogona denida na Seção 3.1. Desta forma tem-se que E(r) (I H)E(Y) 0 e Var(r) σ 2 (I H) com σ 2 Var(Y ). Ou seja r tem distribuição norma de média zero variância σ 2 (1 h ) e ainda a covariância de r e r j com j j 1... n ca dada por σ 2 h j. Como os r 's têm variâncias distintas é comum expressáos em forma padronizada dividindo-se r por seu respectivo desvio padrão permitindo assim uma comparabiidade entre os resíduos. Logo é obtido o resíduo studentizado dado por t r 1... n s(1 h ) 1/2 em que s 2 n r2 /(n p). Porém como r não é independente de s 2 t não segue uma distribuição t de Student. Contudo este probema pode ser contornado substituindo s 2 por s 2 () que corresponde ao erro quadrático médio do modeo sem a -ésima observação. Assim é obtido um novo resíduo studentizado que ca dado por t r s () (1 h ) 1/2 em que 1... n e t segue uma distribuição centra t n p 1. A denição de um resíduo studentizado para os MLGSs pode ser feita anaogamente à regressão norma inear. Porém não necessariamente esse novo resíduo possui as mesmas propriedades de t. Então torna-se importante a denição de novos resíduos que tenham propriedades conhecidas ou que estejam próximas das propriedades de t. Pregibon (1981) deniu um resíduo derivado do processo iterativo de estimação dos parâmetros do modeo. Nos MLGSs ta processo é dado por (2.15) e a partir da convergência do mesmo tem-se que a expressão do estimador de β para a (m + 1)-ésima iteração toma a seguinte forma β (m+1) (X W (m) ββ X) 1 X W (m) ββ ξ(m) 1 m (3.7) em que W (m) ββ Ψ(20)(m) M (m)2 1 e ξ 1 η + M 1 1 (y µ). A partir da convergência do processo iterativo dado em (3.7) é obtido 22

35 3.2 RESÍDUOS em que ˆξ 1 ˆη + ˆβ (X Ŵ ββ X) 1 X Ŵ ββˆξ1 ˆM 1 1 (y ˆµ) ˆη + ˆΨ (20)1/2 Ŵ 1/2 ββ (y ˆµ) com ˆη Xˆβ Ŵ ββ ˆΨ (20) ˆM2 1 e os componentes das matrizes diagonais M 1 e Ψ (20) estão denidos em (2.10). Assim ˆβ pode ser interpretado como a soução de mínimos quadrados da regressão inear de Ŵ1/2 ββ ˆξ 1 contra as counas de Ŵ1/2 ββ X. Uma proposta então é considerar o resíduo ordinário da soução de mínimos quadrados da regressão inear ponderada de ˆξ 1 contra X que é denido por em que r Ŵ1/2 ββ [ˆξ 1 ˆη] ˆ Var(Y) ˆΨ (20) 1. (20)1/2 Ŵ1/2 ββ [ˆη + ˆΨ Ŵ 1/2 ββ (y ˆµ) ˆη] ˆΨ (20)1/2 (y ˆµ) ( ˆ Var(Y)) 1/2 (y ˆµ) Assumindo que Var(ˆξ 1 ) Ŵ 1 ββ tem-se aproximadamente que Var(r ) (I Ĥ) com Ĥ Ŵ1/2 ββ X(X Ŵ ββ X) 1 X Ŵ 1/2 ββ. Ainda é fáci ver que E(r ) 0. Logo é possíve denir o resíduo padronizado (ou resíduo de Pearson) como t S r E(r ) Var(r ) ˆψ (20)1/2 (y ˆµ ) (1 ĥ) y ˆµ (3.8) ˆψ (20) 1 (1 ĥ) em que 1... n e ĥ corresponde ao -ésimo eemento da diagona principa da matriz Ĥ Ŵ1/2 ββ X(X Ŵ ββ X) 1 X Ŵ 1/2 ββ. Resíduo Componente do Desvio Em modeos ineares generaizados é muito comum avaiar a quaidade do ajuste por meio da função desvio (McCuagh e Neder 1989; Paua 2012) 23

36 3.2 RESÍDUOS que corresponde à distância para cada observação entre o ogaritmo da função de verossimihança do modeo saturado (com n parâmetros) e do modeo sob investigação (com p parâmetros) avaiado na estimativa de máxima verossimihança ˆµ. A função desvio nos MLGs é dada então por D (y; ˆµ) φd(y; ˆµ) 2{(y; y) (ˆµ; y)} em que (y; y) e (ˆµ; y) correspondem aos ogaritmos da função de verossimihança do modeo saturado e investigado respectivamente. A função desvio na casse dos modeos ineares generaizados com superdispersão assume a mesma expressão da função desvio para os MLGs onde somente a média é ajustada com φ no ugar de φ. O desvio ca agora denido por D (y; ˆµ φ) n d 2 (y ; ˆµ ˆφ ) em que d 2 (y ; ˆµ ˆφ ) 2{ (y ˆφ ) (ˆµ ˆφ )}. Na prática deve-se substituir φ por ˆφ h 1 (ˆτ ) s ˆγ. A seguir são apresentados dois tipos de resíduos construídos a partir dos componentes da função desvio. O resíduo componente do desvio é denido como a raiz quadrada da diferença entre os ogaritmos das funções de verossimihança sob o modeo saturado e o modeo investigado para cada observação com o mesmo sina da diferença (y ˆµ ). Assim o resíduo componente do desvio para os modeos ineares generaizados com superdispersão utiizado como uma medida de quaidade de ajuste ca dado por t D d (y ; ˆµ ˆφ ) em que d (y ; ˆµ ˆφ ) ± d 2 (y ; ˆµ ˆφ ). Ou seja t D sina(y ˆµ ) { 2 (y ˆφ ) (ˆµ ˆφ } 1/2 ) ± { 2 (y ˆφ ) (ˆµ ˆφ } 1/2 ) ± { 1/2 2 ψ(y ˆφ ) ψ(ˆµ ˆφ ) (y ˆµ )ψ (10) (ˆµ ˆφ )} em que ψ (10) (ˆµ ˆφ ) ψ( ˆµ ˆφ )/ ˆµ 1... n. (3.9) 24

37 3.3 INFLUÊNCIA GLOBAL Com isso pode-se armar que o resíduo t D representa uma distância entre a observação y e seu vaor ajustado ˆµ medida na escaa do ogaritmo da função de verossimihança. Resíduo Componente do Desvio Padronizado O resíduo componente do desvio padronizado como o nome sugere nada mais é do que uma padronização do resíduo dado em (3.9). Assim os resíduos componentes do desvio padronizados são denidos como t D t D 1 ĥ em que 1... n e ĥ corresponde ao -ésimo eemento da diagona principa da matriz Ĥ Ŵ1/2 ββ X(X Ŵ ββ X) 1 X Ŵ 1/2 ββ. É possíve também utiizar a padronização por meio de GL µ (ˆθ) que corresponde ao -ésimo eemento da diagona principa da matriz de aavancagem generaizada para µ dada em (3.4). Esses resíduos são os mais utiizados nas apicações dos MLGs onde diversas técnicas anaíticas e grácas podem ser utiizadas para detectar desvios do modeo pesquisado uma vez de posse destes resíduos onde possivemente foi denida uma distribuição teórica adequada para ees. Grácos de t D versus índice e t D contra os vaores ajustados são recomendados. 3.3 Inuência Goba Um tópico importante na anáise de diagnóstico é a detecção de pontos inuentes ou seja aquees que exercem um peso desproporciona nas estimativas dos parâmetros do modeo podendo aterar o vaor das estimativas quando os retiramos do conjunto de dados ou quando são submetidos a perturbações. Uma técnica bastante conhecida para avaiar o impacto da retirada de uma observação particuar nas estimativas dos parâmetros de regressão é a deeção de pontos introduzida por Cook (1977) e conhecida também como inuência goba. Seja (θ) o ogaritmo da função de verossimihança de θ (β γ ). Para avaiar a sensibiidade das estimativas dos parâmetros β e γ quando a -ésima observação é excuída é comum usar a medida de inuência LD que 25

38 3.3 INFLUÊNCIA GLOBAL mede o afastamento da verossimihança permitindo detectar possíveis pontos inuentes e é denotada por LD 2{(ˆθ) (ˆθ () )} em que ˆθ () correponde à estimativa ˆθ quando a -ésima observação é excuída. A medida LD trata-se portanto de uma medida de inuência para avaiar o impacto em (ˆθ) com a retirada da -ésima observação. Quando não é possíve obter uma forma anaítica para LD é comum utiizar a segunda aproximação por série de Tayor em torno de ˆθ. Essa expansão ca dada por LD (θ ˆθ) { L θθ (ˆθ)}(θ ˆθ). Substituindo L θθ (ˆθ) peo seu vaor esperado K θθ (ˆθ) e θ por ˆθ () tem-se que LD β (ˆβ ˆβ () ) (X Ŵ ββ X)(ˆβ ˆβ () ) e LD γ (ˆγ ˆγ () ) (S Ŵ γγ S)(ˆγ ˆγ () ) (3.10) em que Ŵββ ˆΨ (20) ˆM2 1 e Ŵγγ ˆΨ (02) ˆΦ2 1. Em gera não é possíve obter uma forma fechada para ˆθ () e então aproximações têm sido utiizadas. Pregibon(1981) sugere a aproximação de um passo que consiste em tomar a primeira iteração do processo iterativo peo método scoring de Fisher iniciando em ˆθ. Ta aproximação é dada por ˆθ 1 () ˆθ + { L θθ (ˆθ)} 1 () (ˆθ) em que () (ˆθ) é o ogaritmo da função de verossimihança sem a -ésima observação. Substituindo novamente L θθ (ˆθ) por K θθ (ˆθ) ou simiarmente de acordo com os cácuos do Apêndice D é obtido ˆβ () ˆβ e ˆγ () ˆγ ˆr β (1 ĥ) (X Ŵ ββ X) 1 x ˆω 1/2 ββ ˆr γ (1 ˆp ) (S Ŵ γγ S) 1 s ˆω 1/2 γγ (3.11) 26

39 3.3 INFLUÊNCIA GLOBAL em que ĥ corresponde ao -ésimo eemento da diagona principa da matriz Ĥ Ŵ1/2 ββ X(X Ŵ ββ X) 1 X Ŵ 1/2 ββ e ˆp corresponde ao -ésimo eemento da diagona principa da matriz ˆP Ŵ1/2 γγ S(S Ŵ γγ S) 1 S Ŵγγ 1/2. E ainda dene-se ˆr β ˆω1/2 ββ [ˆξ 1 ˆη ] ˆψ (20)1/2 (y ˆµ ) e ˆr γ ˆω1/2 γγ [ˆξ 2 ˆτ ] com ˆξ 1 ˆη + ˆm 1 1 (y ˆµ ) sendo ˆη x ˆβ e ˆξ 2 ˆτ que ˆτ s ˆγ e ˆv (11) (y ˆµ ) ˆψ + T (y ) + Substituindo (3.11) em (3.10) é obtido ˆψ (02) 1 ˆψ (01) e 1... n. [ ] LD β ˆr β (1 ĥ) (X Ŵ ββ X) 1 x ˆω1/2 ββ (X Ŵ ββ X) [ ] ˆr β (1 ĥ) (X Ŵ ββ X) 1 x ˆω 1/2 ββ (y ˆµ ) 2 ˆψ (20) 1 (1 ĥ) 1 (1 ĥ) x ˆω 1/2 ββ (X Ŵ ββ X) 1 x ˆω1/2 ββ (y ˆµ ) 2 ˆψ (20) 1 (1 ĥ) ĥ (1 ĥ) com ĥ ˆω 1/2 ββ x (X Ŵ ββ X) 1 x ˆω 1/2 ββ e [ LD γ [ ˆr γ (1 ˆp ) (S Ŵ γγ S) 1 s ˆω1/2 γγ ] (S Ŵ γγ S) ˆr γ ] (1 ˆp ) (S Ŵ γγ S) 1 s ˆω 1/2 γγ (ˆrγ )2 (1 ˆp ) 1 (1 ˆp ) s ˆω 1/2 γγ (S Ŵ γγ S) 1 s ˆω1/2 γγ (ˆrγ )2 (1 ˆp ) ˆp (1 ˆp ) sendo ˆp ˆω 1/2 γγ s (S Ŵ γγ S) 1 s ˆω 1/2 γγ. Logo ˆφ 1 1 ˆv em LD β t 2 S ĥ (1 ĥ) e LD γ t 2 T ˆp (1 ˆp ) (3.12) 27

40 3.4 INFLUÊNCIA LOCAL em que t 2 S (ˆr β )2 /(1 ĥ) sendo ˆr β (20)1/2 ˆψ (y ˆµ ) e t 2 T (ˆr γ )2 /(1 ˆp ) com ˆr γ ˆω 1/2 γγ [ˆξ 2 ˆτ ] 1... n. O resíduo t S também encontra-se denido em (3.8). Aqui é adotada a aproximação denida em (3.12) como a distância de Cook para a casse dos modeos ineares generaizados com superdispersão. A aproximação de um passo em gera subestima o verdadeiro vaor de LD no entanto é suciente para chamar a atenção de pontos aberrantes e inuentes. Grácos de LD β e LD γ contra os índices das observações e de ĥ e ˆp contra os vaores ajustados são recomendados. 3.4 Inuência Loca A deeção de pontos é uma das técnicas de diagnóstico mais utiizadas para avaiar a retirada de uma observação individuamente. Contudo ta método pode deixar de detectar observações que sejam conjuntamente discrepantes. Assim a metodoogia de inuência oca proposta por Cook (1986) tem como ideia principa avaiar a inuência conjunta de pontos sob certas perturbações nos dados ou no modeo sem com isso necessitar a avaiação da retirada de uma ou um conjunto de observações. Seja (θ) o ogaritmo da função de verossimihança onde θ é um vetor (p + q) 1 de parâmetros desconhecidos do modeo. É possíve introduzir um vetor de perturbação ω (ω 1... ω n ) restrito a agum subconjunto Ω do IR n e comparar os estimadores de máxima verossimihança para se determinar inuência oca a m de avaiar os efeitos das perturbações nas estimativas fornecidas peo modeo. O ogaritmo da função de verossimihança do modeo perturbado possui então a forma (θ ω ). A m de avaiar a inuência das perturbações na estimativa de máxima verossimihança ˆθ considere o afastamento da verossimihança também conhecido como desvio oca denotado aqui por LD(ω) e denido da seguinte forma LD(ω) 2{(ˆθ) (ˆθ ω )} em que LD(ω) 0 ˆθ é a estimativa de máxima verossimihança do modeo não perturbado e ˆθ ω do perturbado isto é sob o modeo (θ ω ). Ou seja LD(ω) permite cacuar a diferença das verossimihanças avaiadas em seus 28