Modelo de regressão Beta

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1 Modelo de regressão Beta Fernando Lucambio Pérez Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Agosto de

2 Consideremos uma situação em que a variável resposta contínua é restrita ao intervalo (0,1), em estes casos é apropriado atribuir a distribuição beta a variável resposta. Esta função de densidade é adequada para modelar proporções por apresentar diferentes formas conforme os valores dos parâmetros que a definem. A função de densidade beta é definida como f(y; α, β) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) yα 1 (1 y) β 1, onde α > 0, β > 0, 0 < y < 1 e Γ( ) é a função gama. A média e variança de Y são, respectivamente, E{Y } = α α + β var{y } = αβ (α + β) 2 (α + β + 1) 2

3 Para obter um modelo de regressão para a média da variável resposta utilizaremos uma parametrização diferente da densidade beta. Seja µ = α/(α + β) e φ = α + β, então E{Y } = µ e var{y } = V (µ) 1 + φ, onde V (µ) = µ(1 µ). Desta maneira µ é a média da variável resposta e φ pode ser interpretado como o parâmetro de precissão no sentido de que, para µ fixo, quanto maior seja φ menor será a variança. A função de densidade assume a forma f(y; α, β) = onde 0 < µ < 1 e φ > 0. Γ(φ) Γ(µφ)Γ((1 µ)φ) yµφ 1 (1 y) (1 µ)φ 1, 3

4 densidade (0.05,5) (0.95,5) (0.25,5) (0.75,5) (0.50,5) densidade (0.05,50) (0.95,50) (0.25,5) (0.75,50) (0.50,50) y y 4

5 Modelo de regressão Beta Este modelo de regressão foi proposto pelos professores Silvia L.P. Ferrari, IME, USP e Francisco Cribari-Neto, UFPE no artigo Beta regression for modelling rates and proportions, Journal of Applied Statistics (2004) e posteriormente programado por Alexandre Simas no pacote betareg do R, versão Apresentaremos a seguir a definição deste modelo de regressão, propriedades dos estimadores dos parâmetros da regressão, algumas medidas de diagnóstico e o aplicaremos em uma situação prática. 5

6 Definição Sejam Y 1,..., Y n variáveis aleatórias independentes onde cada Y t segue a distribuição beta com média µ t e precissão φ. O modelo de regressão beta é obtido assumindo que a média de Y t pode ser escrita como g(µ t ) = k i=1 x ti β i = η t, onde β 1,..., β k são os parâmetros da regressão e x t1,..., x tk são constantes conhecidas. Consideraremos também que g( ) é uma função monôtona e duas vezes diferenciável, chamada de função de ligação. Observemos que a variancia de Y t é função de µ t e, por conseqüência, das variáveis explicativas, portanto, estes modelos são por natureza de variancia não constante. 6

7 Existem diferentes escolhas para a função de ligação g( ). Uma delas, escolhida como padrão, é a função logito g(µ) = log{µ/(1 µ)}, probito g(µ) = Φ 1 (µ), onde Φ( ) é a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória normal padrão, a função complementar log-log g(µ) = log{ log(1 µ)}, ligação log-log g(µ) = log{ log(µ)}, dentre outras. Em particular, muito utilizada é a ligação logito, a qual implica que µ t = eη t 1 + e η t, onde η t é o chamado preditor linear. 7

8 Estimação dos parâmetros A estimação dos parâmetros de regressão e do parâmetro de precissão é por máxima verossimilhança obténdo-se que, em amostras grandes, ( ) (( ) ) β β N, K φ 1, φ onde K é a matriz de informação de Fisher. O intervalo de confiança para µ, para um vetor de covariáveis x é, aproximadamente [ g 1 ( η Φ 1 (1 α/2)se( η)), g 1 ( η + Φ 1 (1 α/2)se( η)) ] onde η = x β e se( η) = x cov( β)x. 8

9 Medidas de diagnóstico Os resíduos padronizados são definidos como r t = y t µ t, var(y t ) onde µ t = g 1 ( η t ) e var(y t ) = { µ t (1 µ t )}/(1 + φ). chapeu é da forma A matriz H = W 1/2 X(X W X) 1 X W 1/2, de elementos diagonais, aproximadamente, iguais a {g (µ t )V (µ t ) 1/2 } 1. Para medir a influencia de cada observação utilizamos a distância de Cook a qual é, aproximadamente, igual a C t = h ttr 2 t k(1 h tt ) 2 9

10 Exemplo Informações sobre a venda de 142 automóveis seminovos, incluindo modelo (modelo), preço de revenda em R$ (revenda), o preço do modelo novo em R$ (novo), o tempo de uso do automóvel em anos completos (uso) e quilometragem em milhares de Km (Km) foram coletados pelo Prof. Manoel R. Lino (UFSC) em Foi proposto estudar a relação entre a proporção do valor do carro na revenda com relação ao valor quando novo segundo uso, Km e modelo. Assim, a variável resposta é resp = revenda novo 10

11 Coefficients: estimates std. errors z-stats p-value (Intercept) e+00 uso e-10 Km e-05 modeloescort e-07 modelofiesta e-05 modelofiorino e-04 modelogol e-01 modelomille e-02 modeloparati e+00 modelovectra e-06 phi Pseudo R^2:

12 Deviance residuals vs indices of obs. Standardized residuals vs indices of o Deviance residuals Standardized residuals Indices of obs. Obs. number Generalized leverage vs. Predicted values Generalized leverage Cook s distance Fitted values Cook s distance plot Obs. number 12

13 Conslusões Definimos o modelo de regressão beta, no qual a resposta assume valores no intervalo (0,1). Desta forma podemos modelar proporções contínuas. O ajuste do modelo e as medidas de diagnóstico correspondentes estão programadas no package betareg, no R versão