O uso dos modelo ZIP, ZINB e Hurdle Model para dados de contagem com excessos de zeros

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1 O uso dos modelo ZIP, ZINB e Hurdle Model para dados de contagem com excessos de zeros Eriton Barros dos Santos 1 Sílvia Maria de Freitas 2 1 Introdução Dados de contagem são comuns em diversas áreas. Por exemplo: número de defeitos em um processo de produção (Engenharia); número de sinistros associados à uma carteira de seguros (Atuária); número de esporos em uma placa de Petri (Biologia); etc. Tais dados são denominados, em Estatística, como dados discretos, pois são expressos como contagens associadas a uma característica de interesse. Em geral, são modelados usando-se a distribuição Poisson (BICKEL; DOKSUM, 1977). A modelagem através da distribuição Poisson assume um modelo probabilístico, Y Poisson (µ), com µ o parâmetro do modelo, sendo E(Y ) = Var(Y ) = µ, µ > 0. A distribuição associada pertence à classe da família exponencial a um parâmetro, que é bastante difundida na literatura Estatística. Em geral, dados de contagem são modelados através da distribuição Poisson associada a modelos de regressão, casos particulares dos Modelos Lineares Generalizados (MLG) de Nelder e Wedderburn (1972). A estimação dos parâmetros é feita utilizando-se a metodologia de MLG (CORDEIRO, 1986; CORDEIRO e DEMÉTRIO, 2007), que são ferramentas poderosas na análise de dados cujo interesse é estudar uma variável resposta, medida em escala contínua ou discreta, em função de preditoras (quantitativas e/ou qualitativas). Entretanto, existem casos em que as regressões de Poisson costumam sofrer de excessos de zeros, causando superdispersão nos dados, ou seja, a variância observada nos dados é maior que a variância nominal - a especificada pelo modelo - que, no caso Poisson, é o valor esperado da variável resposta, de forma que E(Y ) µ. Nesses casos, a Poisson já não se ajusta adequadamente, sendo necessário a utilização de outra distribuição que acomode essa superdispersão causada pelo excesso de zeros. A superdispersão pode ser causada por diversos fatores, mas neste trabalho se focou em um caso particular, o excesso de zeros na variável resposta. Tal característica em dados de contagem é uma ocorrência, de certa forma, comum em experimentos nas mais diversas áreas, podendo ser causada por uma combinação dos zeros estruturais e zeros amostrais (NAGAMINE, 2007). Os zeros estruturais ocorrem independemente da distribuição discreta de probabilidade e os zeros amostrais estão relacionados com a ocorrência de zeros segundo o modelo adotado. 1 Instituto de Matemática e Estatística, IME - USP. eritonbarrosdossantos@gmail.com 2 Departamento de Estatística e Matemática Aplicada, DEMA - UFC. silvia@dema.ufc.br 1

2 O objetivo do trabalho é fazer uma abordagem comparativa entre os Zero Inflated Models - ZIP e ZINB (RIDOUT; DEMÉTRIO; HINDE, 1998)- com o Hurdle Model (Mullahy, 1986), para dados de contagem com excesso de zeros, usando dados descritos na literatura com as funções implementadas no software estatístico R Material e Métodos Neste trabalho serão utilizados conjuntos de dados descritos na literatura analisados através dos MLG para dados de contagem com excesso de zeros através dos modelos ZIP, ZINB e Hurdle Model. 2.1 Material Os dados analisados são de Kleiber e Zeileis (2008), e representam o número de viagens de barco de recreio ao lago Somerville, Texas, em 1980, com base em uma pesquisa administrada a proprietários de barcos de lazer registrados em 23 municípios do leste do Texas, disponíveis em tar.gz. 2.2 Métodos - Modelo Poisson Padrão: Considere que os dados de contagem com excesso de zeros Y seguem modelo Poisson, representando o componente aleatório, dado por: P(Y = y) = e µ µ y I(y) y! {0,1,2,...}, µ > 0, com E(Y ) = Var(Y ) = µ. Assim, supondo-se o preditor linear (η) com função de ligação ln tem-se o MLG para dados Poisson definido como η = ln(µ) sendo, µ o vetor n 1 dos valores esperados das observações; η o vetor n 1 dos preditores lineares (McCULLAGH e NELDER, 1989). - Modelo Poisson Inflacionado de Zeros - ZIP: Supondo que os dados de contagem com excesso de zeros, Z, seguem modelo ZIP, tem-se o componente aleatório dado por: P(Z = z) = [p + (1 p)e λ λ λz ]I(z) {0} + (1 p)e z! I(z) {1,2,...}, em que p é a proporção ) de zeros estruturais, p [0,1] e λ > 0. Com E(Z) = (1 p)λ e Var(Z) = E(Z) + (1 p)λ(λ + 1). ( p 1 p - Modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros - ZINB: Agora, supondo que os dados de contagem com excesso de zeros, V, seguem modelo ZINB, o componente aleatório é então 2

3 dado por: P(V = v) = [ ( φ ) φ ] p + (1 p) I(v) λ + φ {0} + (1 p) Γ(φ + v) Γ(v + 1)Γ(φ) ( λ ) v ( φ ) φi(v){1,2,...}, λ + φ λ + φ em que p é a proporção de zeros ) estruturais, p [0,1], λ > 0 e φ > 0. Com E(V ) = (1 p)λ e Var(V ) = (1 p) (1 + λ φ + pλ λ. Os modelos ZIP e ZINB se dividem em dois modelos, o modelo responsável por modelar a contagem e outro responsável por modelar a proporção de zeros. Assim, para os modelos ZIP e ZINB o preditor linear para modelar a contagem é κ = ln(λ) sendo λ o vetor n 1 e κ o vetor n 1 dos preditores lineares, e o preditor linear para modelar a proporção de zeros podem ser Tabela 1: Preditor linear para a proporção de zeros Logit ( ) Probit Complemento log-log p γ = ln γ = Φ 1 (p) γ = ln[ ln(1 p)] 1 p sendo γ o vetor n 1 dos preditores lineares. - Hurdle Poisson model: Considere que os dados de contagem com excesso de zeros, Y, seguem o Hurdle -Poisson model cuja distribuição de probabilidade é dado por: P(Y = y) = pi(y) {0} + (1 p) (e λ 1)y! I(y) {1,2,...}, em que p é a proporção de zeros estruturais, p [0,1] e λ > 0. As funções de ligação consideradas foram equivalentes às descritas na Tabela 1. Para comparar a qualidade do ajuste entre os pares de modelos foram utilizados o teste de razão de verossimilhança (LR), o critério de informação de Akaike (AIC) e o BIC (Akaike, 1973) para os modelos completos e os encaixados, o teste Vuong para os modelos não encaixados (Vuong, 1989) e análise de diagnóstico. λ y 3 Resultados e Discussões O número de viagens de barco de recreio (trips) é influenciado pela qualidade das instalações (quality), classificada em uma escala de 1 a 5, pelo envolvimento na prática de esqui aquático no lago (ski), expressa em dois níveis (sim ou não), pela renda familiar anual (income), em unidades de 1000 dólares, pelo pagamento de uma taxa anual de utilização no Lago Somerville (user f ee), também expressa em dois níveis (sim ou não), pela despesa quando visita o lago Conroe (costc), em dólares, pela despesa quando visita o lago Somerville (costs), em dólares, e pela despesa quando visita o lago Houston (costh), em dólares. 3

4 Primeiramente, os dados foram analisados por um modelo Poisson, pois a variável de interesse representa uma contagem, cujas três componentes do MLG são: i) Componente aleatório: o número de viagens de barco de recreio - Y i Poisson(µ i ) - com µ i sendo o número esperado de viagens de barco de recreio do indivíduo i, i = 1,2,...,659, ii) Componente sistemática: considerando o modelo já ajustado tem-se o preditor linear η i = α 0 + α 1 quality i + α 2 ski i + α 3 income i + α 4 user f ee i + α 5 costs i + α 6 costh i iii) Função de ligação: adotando-se a ligação dada por η = ln(µ) = Xα. Existem 417 zeros na variável resposta, cuja média é de 2, 24. Espera-se 70 observações iguais a zero, considerando que a variável resposta tenha distribuição Poisson. Pela quantidade de zeros presentes em Y, a média (2,24) é menor que a variância (39,56), indicando uma possível superdispersão. Isso sinaliza que o modelo Poisson já não é mais adequado para o ajuste da variável resposta trips. Então foram propostos três modelos ZIP e três modelos ZINB para a análise dos dados, além do Hurdle model que está em fase de análise. As três componentes do melhor modelo ZIP foram definidas como: i) Componente aleatório: o número de viagens de barco de recreio com Y i ZIP(p i,µ i ), em que (1 p i )µ i é o número esperado de viagens de barco de recreio do indivíduo i e p é a proporção de zeros que não é explicada pelo modelo em questão. ii) Componente sistemática: considerando o modelo já ajustado tem-se o preditor linear: κ i = ϕ 0 +ϕ 1 ski i +ϕ 2 income i +ϕ 3 user f ee i +ϕ 4 costs i +ϕ 5 costh i, modelo referente às observações da Poisson, e τ i = ω 0 + ω 1 quality i + ω 2 costs i + ω 3 costh i, modelo referente à proporção de zeros. iii) Função de ligação: adotando-se [ κ = ln(µ) ] = Bϕ a ligação ln(.), que modela as observações provenientes da Poisson, e τ = ln ln[1 p] = Gω correspondente à função de ligação cloglog, que modela a proporção de zeros. As três componentes do melhor modelo ZINB foram definidas da seguinte forma: i) Componente aleatório: o número de viagens de barco de recreio com Y i ZINB(p i,µ i, φ), em que (1 p i )µ i é o número esperado de viagens de barco de recreio do indivíduo i e p é a proporção de zeros que não é explicada pelo modelo em questão. ii) Componente sistemática: considerando que o modelo já foi ajustado tem-se o preditor linear abaixo: ν i = β 0 + β 1 quality i + β 2 ski i + β 3 costc i + β 4 costs i + β 5 costh i, referente às observações provenientes da Binomial Negativa, e ρ i = δ 0 + δ 1 quality i, o modelo referente à proporção de zeros. iii) Função de ligação: adotando-se as seguintes ligações como ν = ln(µ) = Bβ correspondendo à função de ligação ln(.), que modela as observações provenientes da Binomial Negativa, 4

5 [ ] e ρ = ln ln[1 p] = Gδ a função de ligação cloglog, que modela a proporção de zeros. Os valores de AIC foram 3074,06, 2330,78 e 1468,85, de BIC foram 3105,49, 2375,69 e 1509,27, e de deviance foram 2306,98 (652 g.l.), 1459,56 (649 g.l.) e 307,43 (650 g.l.) para os modelos Poisson, ZIP-cloglog e ZINB-cloglog, respectivamente. Os resultados para o Hurdle model estão em fase de análise. 4 Conclusões Os resultados preliminares mostram indícios de que, entre os modelos ZIP e ZINB, ambos apresentam ajustes semelhantes, conforme a análise de diagnóstico. De acordo com AIC, BIC e deviance dos respectivos modelos percebe-se que o modelo ZINB-cloglog representa um melhor ajuste dos dados, pois seus valores de AIC e BIC são os menores e sua deviance está próxima dos graus de liberdade do modelo (650 g.l.). As comparações com o Hurdle model estão em fase de análise. Referências [1] AKAIKE, H. Information theory as an extension of the maximum likelihood principle. In: Petrov, BV.; Csaki, BF., editors. Second International Symposium on Information Theory. Academiai Kiado, Budapest: , [2] BICKEL, P.J.; DOKSUM, K.A. Mathematical Statistics. Oakland: Holden-day, Inc., [3] CORDEIRO, G.M. Modelos Lineares Generalizados. Campinas: VII SINAPE, p. [4] CORDEIRO, G.M.; DEMÉTRIO, C.G.B. Modelos Lineares Generalizados. Santa Maria: 12 o e 52 a Reunião da RBras, p. [5] KLEIBER, C.; ZEILEIS, A. Applied Econometrics with R. New York: Springer, [6] MULLAHY J. Specification and testing of some modified count data models. J Econom.; 33:341?365, [7] NAGAMINE, C.M.L. Modelos para dados de Contagem: um estudo sobre o número de ovos do mosquito Aedes aegypti. 72f. Dissertação(Mestrado em Estatística) - Universidade Federal de São Carlos, São Carlos: UFSCar, [8] RIDOUT, M.; DEMÉTRIO, C.G.B.; HINDE, J. Models for count data with many zeros. International Biometric Conference, IBC, Cape Town, December [9] VUONG, Q.H. Likelihood Ratio Tests for Model Selection and non-nested Hypotheses. Econometrica 57 (2): 307?333,