Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta

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1 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 1/14 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta Gilberto A. Paula Departamento de Estatística IME-USP MAE Modelos Lineares Generalizados 2 o semestre de 2011

2 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 2/14 Modelos de dose-resposta Como aplicação de modelos binomiais de dose-resposta vamos considerar os dados descritos em Bliss (1935) em que besouros adultos são submetidos à exposição de disulfeto de carbono gasoso (CS 2 ) durante cinco horas. Os resultados obtidos a partir de 481 besouros expostos segundo diferentes doses de CS 2 são apresentados na tabela dada a seguir. Um dos objetivos desse estudo é estimar a dose letal que mata 100p%, denotada por DL 100p. Comparamos o ajuste de dois modelos aos dados.

3 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 3/14 Besoutos expostos a CS 2 Dose Besouros Besouros log 10 CS 2 expostos mortos 1, , , , , , , ,

4 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 4/14 Modelo inicial Seja Y i o números de besouros mortos dentre os n i submetidos à i-ésima dose de CS 2. Vamos supor Y i B(n i,µ(x i )), em que log { } µ(xi ) 1 µ(x i ) = β 1 +β 2 x i, sendo x i a i-ésima dose de CS 2. As estimativas de máxima verossimilhança são dadas por ˆβ 1 = 60,72(5,18) e ˆβ 2 = 34,27(2,91). Na Figura 1 temos a descrição da curva ajustada aos dados.

5 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 5/14 Figura 1. Curva logística ajustada. Porporcao de Mortos dose

6 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 6/14 Figura 2. Envelope modelo logístico. Componente do Desvio Percentis da N(0,1)

7 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 7/14 Interpretações Nota-se pela Figura 2 que a suposição de modelo logístico binomial não é adequada para este conjunto de dados. Isso pode ser confirmado pelo valor da função desvio D(y; ˆµ) = 11,23 (6 g.l.) cujo valor-p é dado por P=0,0815, indicando uma possível falta de ajuste. Como não há indícios de sobredispersão vamos tentar outra ligação. Pela Figura 1 nota-se que na segunda metade da curva a proporção de besouros mortos parece aumentar mais rapidamente do que na primeira metade.

8 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 8/14 Modelo proposto Isto sugere uma ligação complemento log-log. Assim, vamos supor agora que Y i B(n i,µ(x i )), porém com ligação dada por log{ log(1 µ(x i ))} = β 1 +β 2 x i. As estimativas de máxima verossimilhança são dadas aqui por ˆβ 1 = 39,57(3,24) e ˆβ 2 = 22,04(1,80). O desvio é dado por D(y; ˆµ) = 3,45 (6 g.l.) com valor-p P=0,751, indicando um ajuste adequado.

9 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 9/14 Figura 3. Curva e envelope modelo Cloglog. Porporcao de Mortos Componente do Desvio dose (a) Percentis da N(0,1) (b)

10 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 10/14 Dose letal Para o modelo com ligação complemento log-log temos a estimativa de máxima verossimilhança DL 100p = 1ˆβ2 [ log{ log(1 p)} ˆβ 1 ], cuja variância assintótica é dada por Var A [ DL100p ] = D(β) T (X T WX) 1 D(β), em que W é uma matriz diagonal de pesos dados por ω i = n i µ 1 i (1 µ i )log 2 (1 µ i ) para i = 1,...,k.

11 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 11/14 Dose letal modelo Cloglog Temos ainda para a ligação complemento log-log que D(β) = d(β) β = [ 1 β 2, 1 β 2 2 {β 1 log( log(1 p))}] T. Em particular, para p = 0,50, obtemos a estimativa pontual para a dose letal DL 50 = 1ˆβ2 [ log{ log(1 0,5)} ˆβ 1 ] = 1 22,04 ( 0, ,57) = 1,779.

12 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 12/14 Estimativas dose letal A variância estimada de DL 50 fica da por ( ) 0,0454 Var( DL50 ) = ( 0,0454, 0,0807) T (X T ŴX) 1 0, 0807 = 0, Logo, obtemos a estimativa intervalar de 95% para a dose letal DL 50 1,779 ± 1,96 0, = [1,771;1,787].

13 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 13/14 Conclusões Neste exemplo em que ajustamos a probabilidade de morte de besouros expostos a CS 2 nota-se que o modelo logístico linear não se ajusta bem aos dados, enquanto o modelo complementar log-log linear tem um ajuste muito superior. Isso deve-se ao fato do comportamento da proporção de mortes aumentar mais rapidamente após DL 50 do que antes de DL 50. Modelos binomiais com parâmetros na ligação (Aranda-Ordaz, 1981; Stukel, 1988) têm sido utilizados para ajustar esses dados.

14 Exemplos Modelos Binomiais de Dose-Resposta p. 14/14 Referências Aranda-Ordaz, F. J. (1981). On two families of transformations to additivity for binary response data. Biometrika 68, Bliss, C. I. (1935). The calculation of the dosage-mortality curve. Annals of Applied Biology 22, Stukel, T. A. (1988). Generalized logistic models. Journal of the American Statistical Association 83,