UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ CURSO ESTATÍSTICA DENNIS LEÃO GRR LUAN FIORENTIN GRR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ CURSO ESTATÍSTICA DENNIS LEÃO GRR LUAN FIORENTIN GRR MODELAGEM DE DADOS DE ÓBITOS POR AGRESSÕES NO ESTADO DE SÃO PAULO NO ANO DE 2016 CURITIBA Novembro de 2018

2 Sumário 2

3 1 Resumo O objetivo desse estudo foi desenvolver modelos para estimar o número de óbitos por agressão no estado de São Paulo. Os dados foram obtidos na página oficial do DATASUS e no IpeaGeo, totalizando 17 variáveis demográficas e socioeconômicas de 369 municípios do estado de São Paulo. Para acomodar a superdispersão dos dados, ajustou-se os modelos Binomial Negativo e Quase Poisson considerando a variável resposta número de óbitos por agressões, mas com diferentes covariáveis selecionadas para cada modelo. O modelo Binomial negativo apresentou resultados superiores nos ajustes e no diagnóstico dos resíduos. As incertezas referentes a estimação do modelo Binomial Negativa foi quantificada pelo bootstrap não paramétrico, o qual confirmou o desempenho satisfatório do modelo devido ao pequeno viés bootstrap e ao intervalos de confiança bootstrap contendo os parâmetros estimados inicialmente. 2 Introdução O estado de São Paulo é uma das principais unidades federativas componentes do Brasil, em especial no que diz respeito a sua contribuição na renda do país e no número de habitantes. No entanto, mesmo com a sua elevada importância, São Paulo também é um estado que possui significantes índices de violência, desigualdade e mortes em relação ao número total de habitantes. A quantificação do número de pessoas afetadas pela violência é fundamental para gerar subsídios aos órgãos competentes que possuem finalidade de reduzir impactos negativos da violência. Entre os diversos impactos ocasionados pela violência está a morte das pessoas, resultando em um problema social bastante significativo. Esse fato faz com que o desenvolvimento de modelos estatísticos sejam fundamentais para uma correta análise do número de pessoas mortas provenientes da violência, o qual é um problema bastante complexo devido ao elevado número de fatores que podem influenciar a maior ou menor quantidade de óbitos em uma cidade. Devido a importância de se modelar o número de pessoas falecidas e identificar possíveis fatores associados, o presente estudo teve como objetivo desenvolver modelos lineares generalizados para estimar o número de óbitos no estado de São Paulo, Brasil, no ano de Material e Métodos 3.1 Base de Dados A base de dados utilizada nesse estudo foi obtida na página oficial do Departamento de Informática do Sistema Único de Saúde (DATASUS) e no software estatístico IpeaGeo, desenvolvido pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA). O banco de dados foi composto por 17 variáveis demográficas e socioeconômicas de 369 municípios do estado de São Paulo, correspondentes ao ano de A variável resposta foi o número de óbitos causado por agressões no município. A descrição de cada uma das variáveis é dada na sequência: Obito: variável discreta - corresponde ao número de pessoas mortas por agressões no município; EspNascer: variável contínua - corresponde a esperança de vida ao nascer no município; 3

4 MortInf : variável contínua - corresponde a mortalidade infantil média no município; RazDepen: variável contínua - corresponde a razão de dependência calculada entre a população potencialmente inativa (0 a 14 anos e 65 anos ou mais de idade) e a população potencialmente ativa(15 a 64 anos de idade) no município; ProbSobre: variável contínua - corresponde a probabilidade de sobrevivência até 40 anos no município, na escala de porcentagem; TxEnve: variável contínua - corresponde a taxa de envelhecimento no município; ExpEstudo: variável contínua - corresponde a espectativa de anos de estudo no município; IndEscola: variável contínua - corresponde ao subíndice de escolaridade no município, pode variar de 0 a 1; IndFreqEsc: variável contínua - corresponde ao subíndice de frequência escolar no município, pode variar de 0 a 1; Educacao: variável contínua - corresponde ao índice de educação no município, pode variar de 0 a 1; Longevi: variável contínua - corresponde ao índice de longevidade no município, pode variar de 0 a 1; Renda: variável contínua - corresponde ao índice de renda no município, pode variar de 0 a 1; IncPobreza: variável contínua - corresponde a incidência de pobreza no município; IncPobrezaSub: variável contínua - corresponde a incidência de pobreza subjetiva no município; IndGini: variável contínua - corresponde ao índice de Gini no município, sendo uma medida de desigualdade, pode variar de 0 a 1; Populacao: variável discreta - corresponde a população estimada do município; AreaEst: variável contínua - corresponde a da área do município em km Modelo Linear Generalizado A variável resposta considerada foi número de óbitos (obitos) por município, a qual assume valores no conjunto dos inteiros maiores que zero. Portanto, devido a natureza da variável resposta, a classe de Modelos Lineares Generalizados foi utilizada nesse estudo. Para o componente aleatório do modelo considerou-se a distribuição Binomial Negativa, uma vez que a tradicional distribuição de Poisson não foi suficiente para acomodar a superdispersão dos dados. O componente sistemático foi formulado pela combinação linear das variáveis preditoras, além de uma função de ligação logarítmica. A definição do modelo é dado como y i /x i BN(µ i, φ) log(µ i ) = η i = β 0 + β 1 x i β p x ip em que y i é o valor observado da variável resposta; x i1,..., x ip são realizações das respectivas variáveis explicativas X 1,..., X p ; µ i é a taxa de ocorrência da variável resposta; φ é o parâmetro de dispersão; log é o logarítmo na base 10; β 0, β 1,..., β p são parâmetros a serem estimados; e η i é o preditor linear. Como uma alternativa ao modelo apresentado, também foi utilizado no presente estudo um modelo com forma mais geral para a variância da distribuição usando a abordagem de quase verossimilhança, em que a superdispersão dos dados pode ser acomodada pelo parâmetro de 4

5 dispersão φ multiplicando a variância da média V [µ i ], denominado de Quase Poisson. A definição do modelo é dado como y i /x i P (µ i, φv [µ i ]) log(µ i ) = η i = β 0 + β 1 x i β p x ip 3.3 Seleção de Covariáveis A seleção de covariáveis para compor o preditor linear do modelo Binomial Negativa foi realizada pelo procedimento Stepwise, considerando o critério de informação Bayesiano (BIC) como método de seleção. Esse algorítmo é baseado em sucessivas inclusão ou exclusão de variáveis no modelo até obter o menor BIC. Para o modelo Quase Poisson, as covariáveis foram selecionadas pelo método Backward, o qual parte de um modelo com todas as covariáveis e remove-se sequencialmente uma covariável a cada iteração até que todas as restantes sejam significativas. 3.4 Diagnóstico do Modelo e Análise de Incerteza O diagnóstico da qualidade do ajuste dos modelos foi baseado no gráfico Half-Normal Plot com envelopes simulados, construído usando a função hnp do pacote hnp, e gráfico de resíduos quantílicos aleatorizados. Por fim, as incertezas referentes a estimação dos parâmetros do modelo de melhor desempenho foram quantificadas por meio do procedimento não paramétrico bootstrap de reamostragem de dados. Foram simuladas 1000 amostras bootstrap e para cada amostra foi obtida a estimativa pontual e o intervalo de confiança do parâmetro com 95% de confiança. As estimativas bootstrap foram comparadas com aquelas obtidas no procedimento descrito previamente, baseado em estimativas assintóticas. Toda a análise foi conduzida no software estatístico R. 4 Resultados e Discussão 4.1 Análise Exploratória dos Dados A Tabela 1 apresenta a estatística descritiva das variáveis utilizadas no presente estudo. Nota-se que apenas as variáveis números de óbtidos (Obitos), tamanho da população (Populacao) do estado e a área (AreaEst) do estado apresentaram elevados valores de variabilidade, expressos pelo desvio padrão e coeficiente de variação dos dados. Essas estatísticas foram inflacionadas diretamente pela cidade de São Paulo, a qual corresponde a uma cidade de grandes dimensões, com elevado número de habitantes e, consequentemente, maior número de óbtidos quando comparado com os demais municípios do estado. Esses resultados são corroborados com o fato de que 120 municípios contabilizaram apenas um único óbito por agressão, enquanto São Paulo apresentou 1039 óbitos no período considerado. 5

6 Tabela 1: Estatística descritiva das variáveis, em que SD é o desvio padrão e CV é o coeficiente de variação Variáveis Minímo Média Mediana Máximo SD CV Obitos EspNascer MortInf RazDepen ProbSobre TxEnve ExpEstudo IndEscola IndFreqEsc Educacao Longevi Renda IncPobreza IncPobrezaSub IndGini Populacao AreaEst Para melhor visualização do padrão de correlação entre as variáveis construiu-se o correlograma apresentado na Figura 1. O método de aglomeração centróide foi utilizado para agrupar as variáveis em função da relação entre elas. Há três grupos bem definidos de variáveis que apresentaram maiores correlações, sendo dois grupos com relação positiva e um grupo com relação negativa. Nota-se que a variável Obito apresentou forte relação com o número total de indivíduos no município (Populacao) (0,99), seguido pelas variáveis de índice de renda no município (Renda) (0,25), subíndice de escolaridade no município (IndEscola) (0,24), índice de educação no município (Educacao) (0,16) e incidência de pobreza subjetiva no município (IncPobrezaSub) (-0,16), mas correlação bastante baixa com as demais variáveis. Além disso, nota-se que algumas variáveis apresentaram correlação bastante forte, o que pode resultar em inflação dos erros padrões estimados do modelo de regressão. 6

7 Figura 1: Correlograma das variáveis. 4.2 Ajuste dos Modelos Os modelos testados na presente pesquisa foram ajustados considerando um termo offset dado pelo logarítmo da interação entre a população estimada (Populacao) e a área estimada do município (AreaEst). O método de seleção de variáveis baseado no Stepwise resultou na inclusão de sete covariáveis significativas ao nível de 5% de significância no modelo Binomial Negativa. As covariáveis IndEscola, IndFreqEsc e IncPobreza apresentaram relação positiva com a variável resposta número de óbitos por agressões (Obitos). Por outro lado, as covariáveis Educacao, Renda, IncPobrezaSub e IndGini apresentaram relação negativa. É interessante notar que fixando todas as covariáveis e aumentando uma unidade na Educacao, espera-se que o número de óbitos por agressão no município decresça em exp( 126, ). Esse resultado tem especial importância porque corrobora a ideia de que se aumentar os investimentos na área de educação e, consequentemente, a qualidade de ensino, espera-se que a violência diminua. Outra relação 7

8 interessante está associada a variável Renda, pois também espera-se um decréscimo no número de óbitos por agressão em função do aumento da renda dos municípios. Quanto ao modelo Quase Poisson, apenas as variáveis IndFreqEsc, Educacao, Renda e IndGini foram significativas ao nível de 5% de significância usando o método de seleção Backward. Nota-se que apenas a variável Educacao apresentou relação positiva com o número de óbitos por agressões. O intercepto foi excluído de ambos os modelos ajustados, uma vez que foi não significativo. O parâmetro de dispersão estimado foi 1,91 para o modelo Binomial Negativa, com valor de deviance residual de 367,24, bastante próximo aos 362 graus de liberdade do modelo, indicando um ajuste satisfatório. Por outro lado, o modelo Quase Poisson resultou em parâmetro de dispersão de 21,37, enquanto a deviance residual foi 2739,00. Tabela 2: Parâmetros estimados, erro padrão e p-valor para cada modelo ajustado Parâmetro Estimativa Erro Padrão P-valor Estimativa Erro Padrão P-valor Modelo Binomial Negativa Modelo Quase Poisson IndEscola 57, ,3400 <0, IndFreqEsc 73, ,5000 <0, ,5180 <0,05 Educacao -126, ,3800 <0, ,4860 <0,05 Renda -12,6555 1,5990 <0, ,9860 <0,05 IncPobreza 0,0408 0,0070 <0, IncPobrezaSub -0,0731 0,0128 <0, IndGini -13,9258 2,1210 <0, ,7080 <0,05 Os modelos apresentaram desempenho similar no diagóstico de ajuste (Figura 2). Nota-se que no gráfico Half-Normal Plot alguns pontos excederam o envelope simulado, indicando um ligeiro desajuste dos modelos. Quanto ao comportamento dos resíduos quantílicos aleatorizados, há um padrão de normalidade dos erros para o modelo Binomial Negativa, mas com algumas observações mais discrepantes nas caudas, enquanto para o modelo de Quase Poisson a fuga de normalidade foi mais acentuada. Por fim, o gráfico da distância de Cook, não apresentado no trabalho, indicou uma observação influente no ajuste de ambos os modelos, correspondendo ao município de São Paulo. No entanto, essa observação não foi retirada do ajuste dos modelos, uma vez que não trata-se de uma observação com erros de medição. Além disso, gráficos de resíduos parciais foram construídos para verificar a adequação das covariáveis, os quais não foram apresentados no trabalho, mas em ambos os modelos notou-se que os efeitos principais das covariáveis foi suficiente para expressar a relação, indicando que as mesmas apresentavam-se bem acomodadas nos modelos. O modelo de melhor desempenho no presente estudo foi Binomial Negativa, pois resultou em estatísticas de ajuste bastante satisfatórias e com medidas de diagnóstico superior. A formulação final do modelo na escala do preditor linear (1) e da variável resposta (2) é dada na sequência: log(µ i ) = ˆβ 1 IndEscola i + ˆβ 2 IndF reqesc i + ˆβ 3 Educacao i + ˆβ 4 Renda i + ˆβ 5 IncP obreza i + ˆβ 6 IncP obrezasub i + ˆβ 7 IndGini i + offset(log(p opulacao AreaEst)) (1) µ i = exp( ˆβ 1 IndEscola i + ˆβ 2 IndF reqesc i + ˆβ 3 Educacao i + ˆβ 4 Renda i + ˆβ 5 IncP obreza i + ˆβ 6 IncP obrezasub i + ˆβ 7 IndGini i + offset(log(p opulacao AreaEst))) (2) 8

9 Figura 2: Gráficos para diagnóstico dos modelos ajustados. A Figura 3 apresenta a análise de incerteza por meio do bootstrap não paramétrico para o modelo de melhor desempenho. É possível perceber que o intervalo de confiança bootstrap contém o valor pontual estimado inicialmente para cada parâmetro do modelo Binomial Negativa. O viés boostrap calculado para cada parâmetro foi bastante baixo e próximo de zero, enquanto o erro padrão dos parâmetros estimados por ambos os métodos foram bastante similares. Por fim, é possível notar também que a função de densidade de probabilidade Normal estimada e a função de densidade de Kernel estimada apresentaram curvas com formato similar e muito próximas de um comportamente gaussiano. 9

10 Figura 3: Gráficos de incertezas na estimação dos parâmetros do modelo Binomial Negativa pelo método bootstrap não paramétrico. 5 Conclusão No presente trabalho desenvolveu-se dois modelos lineares generalizados para estimar o número de óbitos por agressões no estado de São Paulo no ano de Os modelos desenvolvidos apresentaram estatística de ajuste e medidas de diagnóstico satisfatórias, mas recomenda-se o modelo Binomial Negativa devido ao desempenho superior. Melhores resultados podem ser obtidos em futuros estudos se considerar a inclusão de termos com interação e covariáveis que tenham relações mais expressivas com o número de óbitos por agressões. A inclusão de covariáveis que apresentam forte correlação entre si tornam interessante o uso da análise de componentes principais em futuros estudos. Futuros tópicos a serem explorados estão relacionados com a inclussão de informações temporais da dinâmica das variáveis, caracterizando um estudo longitudinal, uma vez que permite desenvolver o perfil dos municípios ao longo do tempo quanto ao comportamento do número de óbitos por agressões. Além disso, considerar uma possível dependência espacial entre os municípios também é importante para adequada avaliação do número de óbitos no estado de São Paulo. 10