COMPARAÇÃO ENTRE TESTES PARA SUPERDISPERSÃO EM DADOS BINÁRIOS

Transcrição

1 COMPARAÇÃO ENTRE TESTES PARA SUPERDISPERSÃO EM DADOS BINÁRIOS Tânia Fernandes BOGUTCHI 1 Enrico Antônio COLOSIMO 2 Joel Alves LAMOUNIER 3 RESUMO: Modelos lineares generalizados para resposta binária ou contagem exigem que a variância seja uma função conhecida da média. Entretanto este tipo de dados é freqüentemente mais heterogêneo que a variância especificada pelo modelo. Este fato é conhecido como superdispersão a qual pode ser acomodada introduzindo um coeficiente extra fixo ou aleatório no modelo ou usar o método de quase-verossimilhança que abranda a relação média-variância permitindo o inflacionamento da variância. O objetivo deste trabalho é apresentar e comparar alguns testes propostos na literatura para identificar superdispersão em dados com resposta binomial. Os testes selecionados foram os apresentados por Ganio e Schafer (1992) Dean (1992) e Smith e Heitjan (1993) além do tradicional qui-quadrado de Pearson. Esse trabalho é ilustrado com os dados reais referentes ao II Estudo Epidemiológico em Saúde Escolar em Belo Horizonte MG. A variável resposta utilizada neste estudo foi o nível de colesterol total no qual foi considerado como risco grave os valores baixos para o desenvolvimento de doenças cardiovasculares. PALAVRAS-CHAVE: Modelo logístico; testes; variação extra-binomial. 1 Introdução Nelder e Wedderburn (1972) mostraram que a maioria dos problemas estatísticos podem ser formulados como modelos de regressão envolvendo uma variável resposta univariada variáveis explanatórias (covariáveis) e uma amostra aleatória de n observações. Um Modelo Linear Generalizado (MLG) (McCullagh e Nelder 1989) é composto por três elementos: (1) Componente aleatório: Y (variável resposta); (2) Componente determinístico: η X t (preditor linear) e (3) Função de ligação: g() η em que X é a matriz n x p do planejamento é o vetor p-dimensional de parâmetros e E(Y). Os métodos de estimação nos modelos lineares generalizados baseiam-se fundamentalmente na teoria da máxima verossimilhança (MV). Se não for possível 1 Departamento de Matemática e Estatística Pontitícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC CEP Belo Horizonte MG Brasil bogutchi@pucminas.br 2 Departamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG CEP Belo Horizonte MG Brasil enricoc@est.ufmg.br 3 Faculdade de Medicina Universidade Federal de Minas Gerais - FMG CEP Belo Horizonte MG Brasil lamounier@medicina.ufmg.br Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p

2 especificar uma função de verossimilhança ou seja uma distribuição de probabilidade explícita e completa para a variável resposta uma aproximação possível é a construção de uma função de quase-verossimilhança (QV) ou quase-verossimilhança estendida (QVE) (McCullagh e Nelder 1989). A partir da teoria assintótica do estimador de máxima verossimilhança existem três estatísticas para testar hipóteses relativas aos parâmetros s: a da Razão de Máxima Verossimilhança a de Wald e a Escore (Demétrio 2001). Nesse trabalho vamos utilizar especialmente a estatística escore que tem a seguinte forma: em que é chamado de função escore onde é a função log-verossimilhança e I θ é a matriz de informação de Fisher. A estatística escore S tem para grandes amostras uma distribuição qui-quadrado com p graus de liberdade. Existem técnicas conhecidas e amplamente divulgadas de tratamento para dados cuja variável resposta assume apenas dois valores possíveis binária ou dicotômica sob a suposição de independência entre as observações. Uma técnica de utilização bastante comum por sua facilidade de interpretação é a regressão logística linear que permite incorporar variáveis explicativas na modelagem dos dados. O modelo logístico é um caso particular de MLG cuja média não-linear num conjunto de parâmetros lineares é linearizada pela função de ligação logit que tem a seguinte forma π i logit ( π ) π 1 - π i em que x i é um vetor p x 1 de covariáveis referente a i-ésima observação y i é a i-ésima resposta observada e π i P[Y i 1 X i ]. A média é ligada ao preditor linear pela função g(.). A função de ligação logística canônica é uma das três principais funções de ligação dos Modelos Lineares Generalizados para resposta binária. As outras duas são: Probit ( η Φ π ) onde Φ(.) é a função de distribuição acumulada da Normal padronizada e a Complementar log-log ( η { ( π )}. O termo superdispersão quer dizer que a variância da resposta observada Y excede a variância nominal estabelecida pelo modelo conforme foi definido por Hinde e Demétrio (1998). A superdispersão acarreta desvios-padrão incorretos podendo estar seriamente subestimados; alterações na deviance associadas com os termos do modelo muito grandes as quais acarretariam a seleção de modelos excessivamente complexos com interpretações incorretas e algumas predições imprecisas. Reconhecer dados com superdispersão é primordial para que sejam tomadas precauções e medidas capazes de garantir uma estimação com menor margem de erro ou seja com maior segurança. 56 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p

3 Os testes apresentados por Ganio e Schafer (1992) Dean (1992) e Smith e Heitjan (1993) além dos tradicionais como o qui-quadrado de Pearson têm como objetivo identificar superdispersão em respostas binárias. Estes testes têm formulações diferentes e as características próprias de cada um podem eventualmente apresentar resultados diferentes. Os testes estão apresentados na seção 2 e são comparados via simulação de Monte Carlo na seção 3. A seção 4 apresenta a aplicação desses testes em dois exemplos: um utilizando os dados de McCullagh e Nelder (1989 pág.145) e o outro os dados de um estudo realizado em Belo Horizonte MG no ano Testes para superdispersão Na literatura encontramos vários testes para identificar ausência de superdispersão em Modelos Lineares Generalizados tais como os apresentados por Ganio e Schafer (1992) Dean (1992) Smith e Heitjan (1993) os quais estão sendo comparados nesse trabalho além dos propostos por Commenges et al. (1994) Jacqmin-Gadda e Commenges (1995) Paula e Artes (2000). Além destes são citadas muitas variações e generalizações dos testes apresentados por estes autores. Por exemplo o teste escore proposto por Dean em 1992 é um caso particular do apresentado por Commenges et al em 1994 o qual verifica a presença de superdispersão em dados binários com variáveis explicativas fatores de riscos no desenvolvimento de uma determinada doença para diferentes agrupamentos de uma população. Os testes discutidos neste trabalho utilizam os Modelos Lineares Generalizados como plataforma mas com diferentes especificações nas funções de variância. 2.1 DEAN (1992) O modelo proposto por Dean (1992) supõe Y 1 Y 2...Y n variáveis respostas independentes provenientes da família exponencial uniparamétrica com a notação: θ i θ i (x i i ) i1...n função de um vetor px1 de covariáveis e parâmetros de regressão i a média ( θ ) e a variância de Y i σ θ. Para testar se o Modelo Linear Generalizado é adequado constrói-se uma família estendida de modelos considerando superdispersão ou seja onde a σ sendo que a igualdade ocorre apenas quando a distribuição de Y i é da família exponencial. Para tanto seja f(y i θ ) a densidade de Y i dado θ onde os θ s são variáveis aleatórias independentes e contínuas com média e variância finitas dadas por: E( θ ) θ i (x i i ) e Var ( θ ) τ b i (θ i ) > 0 em que b(.) é uma função conhecida. Supondo que E{( θ - θ i ) r } α r ; α r o(τ) r 3 quando τ 0 este modelo reduzse a f(y i ; θ i ) função de densidade de Y i componente aleatório do MLG resultado obtido através do valor esperado da expansão em série de Taylor em torno de θ i de θ e das suposições das condições de regularidade da teoria da máxima verossimilhança (Dean1992). Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p

4 O teste escore para testar a hipótese τ 0 isto é o modelo linear generalizado é adequado é baseado em n i 1 i τ τ 0 n i 1 T ( ˆ ) i i em que θ é a estimativa de máxima verossimilhança de θ i quando τ0 e T i { } 2 ˆ σ 2 1 i i i 2 ( θ ) ( Y ) i em que i (.) e σ (.) são funções dependentes de θ i e T i possui distribuição assintoticamente normal com média zero e variância V 2 que será apresentada a seguir. A variância assintótica de T i é obtida através dos elementos da matriz de informação de Fisher e dos quatros primeiros momentos centrais de Y i avaliados em τ0 e é dada por: V 2 I τ - 1 t W 2 U(U t W 1 U) -1 U t W 2 1 em que I τ é uma partição da matriz de informação de Fisher pxp; 1 é um vetor unitário nx1 W 1 e W 2 são as matrizes diagonais com i-ésimo elemento dado por e U é a função escore (θ/) nxp. θ θ τ τ τ O teste estatístico padronizado para testar se τ0 é dado por: que sob H 0 tem uma distribuição N(01). θ 2.2 SMITH E HEITJAN (1993) Supondo que a relação entre a média i do componente aleatório e o vetor de p covariáveis seja conforme as definições do MLG e considerando um vetor de efeitos aleatórios provenientes de uma distribuição desconhecida F cuja média é o vetor de parâmetros estimados e ξ a matriz diagonal da variância de ordem p. Seja g(.) uma função de ligação monótona e derivável de ordem 2 temos então o modelo de superdispersão η. Se ξ j 0 para j1..p então o modelo assim definido corresponde ao modelo linear generalizado (sem superdispersão). Se ξ j > 0 a variância de Y é aumentada devido à variabilidade em e portanto Y é superdisperso. 58 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p

5 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p Para a determinação da estatística do teste de Smith e Heitjan (1993) será utilizado ( 1... p ) t no modelo de superdispersão acima. A contribuição da i-ésima observação para a função de verossimilhança é:! # $# τ τ τ. Dessa maneira a estatística escore pode ser obtida a partir da expansão de em série de Taylor até a segunda ordem em relação à média. Usando as regras de L Hôspital e supondo as condições de regularidade que permitem a inversão da ordem de integração e diferenciação (Cramér 1946) a estatística escore para testar a hipótese ξ j 0 é: # τ & ' & ' com j1... p e avaliado na estimativa de máxima verossimilhança sob a hipótese nula (ξ0). Na expressão obtida acima para a estatística U j. temos que ( ) η e ( ( ) ) + + θ η η η em que x ij é o j-ésimo elemento de x i com s i y i - i θ i é o parâmetro canônico i e v i são respectivamente a média e a variância de Y i (Hines1997). Dessa maneira o teste escore proposto é * ξ em que ξ ξ ξξ ξ * é a matriz de covariância de U corrigida pela estimação de com ξ ξ ξξ ξ ξ e n i t i i 1 I em que os escores ξ e e suas esperanças são calculados em ξ com substituído por sua estimativa de máxima verossimilhança sob a hipótese nula ( ξ ). Quando H 0 é verdadeira a distribuição assintótica de S 2 é uma qui-quadrado com p graus de liberdade. Se a estatística S 2 for relativamente grande em relação aos seus graus de liberdade a indicação é de afastamento de sua dispersão nominal. Entretanto a

6 composição da estatística S 2 não fornece indicação da natureza desse afastamento e para uma investigação mais específica pode-se tomar C τ { } e usar a estatística: C ij # * τ que sob a hipótese nula tem distribuição aproximadamente N(01) e na presença de superdispersão possui média positiva. 2.3 Qui-quadrado de PEARSON McCullagh e Nelder (1989) utilizam a estatística de Pearson + como teste para superdispersão em que e são estimativas amostrais da média e da variância respectivamente. Sob a hipótese nula modelo sem superdispersão X 2 têm distribuição qui-quadrado com n-p graus de liberdade. 2.4 GANIO e SCHAFER (1992) A função de distribuição da família exponencial uniparamétrica mais comumente θ - θ utilizada é + φ θ φ $# φ com φ. Por outro φ. lado se for utilizada a relação φ / chega-se à notação função de densidade da φ família exponencial θ φ/ $# { φ/ 0 θ - θ + / } φ utilizada por Cordeiro (1986) em que c 1 (.) é conhecida. Ganio e Schafer (1992) utilizam a mesma notação de Cordeiro (1986) e dessa maneira a variância do teste proposto é especificada por com φ / φ 1 γ γ λ +2 α onde V(.) é uma função positiva conhecida os a i s são constantes conhecidas h(.) é uma função positiva diferenciável de ordem 2 λ é um parâmetro escalar z i é um vetor qx1 de covariáveis que são tomadas como centradas ou seja 2 e α é o vetor qx1 de parâmetros desconhecidos. O teste de superdispersão é aplicado nos parâmetros α s ou seja sob a hipótese nula: 4 3 α e se essa hipótese for verdadeira então φ i é um parâmetro de dispersão constante e temos o modelo linear generalizado isto é sem superdispersão. O método de estimação utiliza a suposição de Y pertencer à família exponencial dupla que permite um parâmetro de escala adicional φ na variância (Efron 1986) e o 60 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p

7 logaritmo da função quase-verossimilhança estendida para essa família é φ φ φ 5 5 componente da ( ) ( )[ ] em que ( ) Deviance Residual é obtido por [( ( )] [ 5 ( )] exponencial uniparamétrica tendo exatamente uma distribuição 6 ( ) que com base na família φ. No caso da distribuição binomial com índice m i a escolha de 5 5 ( ) 5 faz de ( φ ) ( ) + ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) em o logaritmo da função de verossimilhança para a distribuição binomial dupla (Efron1986). e φ que maximizam ( ) As estimativas de φ podem ser obtidas iterativamente: a cada iteração os parâmetros da média são estimados por máxima quaseverossimilhança com vetor de pesos φ e então os parâmetros estimados em φ são φ. O último estágio é acompanhado pelo ajuste atualizados pela maximização de ( ) de um modelo linear generalizado para ( ) 5 supondo Y i com distribuição gama. / O teste escore proposto é: 5 ( 5 ) 52 ( 2 2 ) / 5 2 em que 5 5 é o i-ésimo componente da estatística deviance para o ajuste do modelo reduzido e 5 5 é a média dos n 5 s. Sob a hipótese nula DS tem uma distribuição qui-quadrado com q graus de liberdade caso o modelo da família exponencial dupla esteja correto. Observa-se que a estatística do teste é independente da forma de h(.) e que DS é a soma de quadrados devido à regressão linear de 5 em z padronizado por ( 5 ). Ganio e Schafer (1992) também propuseram mais outros três testes para identificar superdispersão no modelo especificado para a variância: Razão de verossimilhança; Razão de pseudo-verossimilhança e Escore da pseudo-verossimilhança onde os componentes da Deviance residual são substituídos pela estatística de Pearson. 3 Simulações de Monte Carlo As simulações de Monte Carlo para comparar os testes da Dean (1992) Smith e Heitjan (1993) Pearson e o da Ganio e Schafer (1992) consistiram de repetições e foram geradas no software Splus As simulações foram feitas em dados com e sem superdispersão e o número de repetições foi uma escolha arbitrária. Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p

8 3.1 Simulação em dados sem superdispersão Os passos para a simulação foram os seguintes: (1) geração da covariável X N(01) ou Bernoulli (1/2) com tamanhos de amostra n e 100; (2) considerando 0 0 e 1 1 foram calculadas as probabilidades de $# sucesso # ; (3) considerando valores fixos para m ( e 60) + $# foram geradas as variáveis Y~Bin(mp) para os vários valores de n; (4) foram ajustados os modelos utilizando o comando glim do Splus para obtenção das estimações dos s e das probabilidades de sucesso; (5) realização dos testes. Os passos (3) a (5) foram repetidos 1000 vezes e os resultados dos testes considerando o nível nominal de 5 foram computados. As representações gráficas desses resultados considerando a covariável X~N(01) e X~Bernoulli(1/2) são apresentadas nas Figuras 1 e 2 (a) (b) (c) e (d) respectivamente. Smith Dean Pearson Ganio Smith Dean Pearson Ganio P e rc e n tu a l d e re j e i ç ã o d e H o P e rc e n tu a l d e re je i ç ã o d e H o N20 N40 N60 N80 N100 0 N20 N40 N60 N80 N100 Y~B(10p) (a) Y~B(20p) (b) Smith Dean Pearson Ganio Smith Dean Pearson Ganio P e rc e n tu a l d e r e j e i ç ã o d e H o P e rc e n tu a l d e r e je iç ã o d e H o N20 N40 N60 N80 N100 0 N20 N40 N60 N80 N100 Y~B(40p) (c) Y~B(60p) (d) FIGURA 1 - (a) m10; (b) m20; (c) m40 e (d) m60: Comparação entre os testes considerando dados sem superdispersão e covariável com distribuição normal padronizada. 62 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p

9 Smith Dean Pearson Ganio Smith Dean Pearson Ganio 8 8 Percentual de rejeição de Ho Percentual de rejeição de Ho N20 N40 N60 N80 N100 0 N20 N40 N60 N80 N100 Y~B(10p) (a) Y~B(20p) (b) Smith Dean Pearson Ganio Smith Dean Pearson Ganio Percentual de rejeição de Ho Percentual de rejeição de Ho N20 N40 N60 N80 N100 0 N20 N40 N60 N80 N100 Y~B(40p) (c) Y~B(60p) (d) FIGURA 2 - (a) m10; (b) m20; (c) m40 e (d) m60: Comparação entre os testes considerando dados sem superdispersão e covariável com distribuição Bernoulli(1/2). Algumas considerações a partir dos resultados apresentados nas Figuras 1 e 2: (a) o teste da Ganio e Schafer (1992) apresentou muita instabilidade de cálculo para m10 nos dois tipos de distribuição da covariável; (b) o teste da Dean (1992) Ganio e Schafer (1992) e o de Pearson são melhores que o de Smith e Heitjan (1993) principalmente no caso da covariável com distribuição N(01) pois os níveis empíricos desses testes ficaram mais próximos do nominal; (c) com o aumento no tamanho da amostra os testes tendem a se aproximar do valor nominal; (d) nos casos da covariável com distribuição de Bernoulli e tamanho da amostra igual a 10 os testes não convergiram para o valor nominal em nenhum dos dois valores de m (10 ou 20) e para a covariável com distribuição normal padronizada os testes não apresentaram diferenças relevantes entre si para esses dois valores de m; (e) considerando apenas o teste de Smith e Heitjan (1993) os melhores resultados isto é mais próximos do valor nominal foram obtidos com a utilização da covariável de Bernoulli em relação à Normal. 3.2 Simulação em dados com superdispersão Os passos para essa simulação foram os seguintes: (1) geração das covariáveis: X 1 ~Bernoulli(1/2) e X 2 ~Bernoulli(1/2) com tamanhos da amostra n e 100; (2) considerando e 2 3 foram calculadas as probabilidades de sucesso Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p

10 $# # ; (3) considerando valores fixos para m (40 e 60) foram geradas as + $# variáveis Y~Bin(mp) para os vários valores de n; (4) foram ajustados os modelos considerando apenas a covariável X 1 utilizando o comando glim do Splus para obtenção das estimações dos s e das probabilidades de sucesso; (5) realização dos testes. Os passos (3) a (5) foram repetidos 1000 vezes e os resultados dos testes considerando a rejeição da hipótese nula foram computados. Para a geração de Y superdisperso foram testados vários valores para 2 sendo inicializado com o valor 5 o qual gerou uma superdispersão muito alta e conseqüentemente todos os testes apresentaram 100 de rejeição da hipótese nula. Após algumas tentativas optou-se pelo valor 3. As Figuras 3 (a) e (b) apresentam os resultados dessa simulação para os testes Dean Smith e Heitjan e Pearson. Smith Dean Pearson Smith Dean Pearson Percentual de rejeição de Ho Percentual de rejeição de Ho N40 N60 N80 N N40 N60 N80 N100 Y~B(40p) (a) Y~B(60p) (b) FIGURA 3 - Comparação entre os testes considerando Y superdisperso considerando (a) m40; (b) m60. Observando as Figuras 3 (a) e (b) pode-se concluir que: (a) o teste de Smith e Heitjan (1993) apresenta os piores resultados para o poder em todos os tamanhos de amostra; (b) o poder de todos os testes aumenta com o crescimento do tamanho da amostra; (c) os testes da Dean (1992) e o de Pearson apresentam resultados mais estáveis principalmente para o valor de m 60. Comparando os resultados apresentados nos pares de Figuras (2 (c) e 3 (a)) e (2 (d) e 3 (b)) verifica-se que os testes são consistentes em seus resultados ou seja os melhores na detecção da superdispersão também são os que apresentam níveis empíricos mais próximos dos valores nominais. 4 Aplicações dos testes Os testes estudados neste trabalho serão aplicados em dois conjuntos de dados com o objetivo de observar a consistência e robustez em situações diversificadas. A primeira aplicação utilizará os dados da Tabela 4.10 página 145 do livro de McCullagh e Nelder 64 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p

11 (1989) com as informações de um estudo sobre hereditariedade que considera o número de filhos com olhos claros em 78 famílias com no mínimo 6 filhos cada em relação à cor dos olhos dos pais e dos avós. No processo de modelagem o teste da razão de verossimilhança mostrou que a contribuição dos avós não era significativa dessa maneira será considerada somente a contribuição da cor dos olhos dos pais. A segunda aplicação será no conjunto de dados do II Estudo Epidemiológico em Saúde Escolar em Belo Horizonte MG realizado em 2000 onde buscou-se verificar a influência de algumas covariáveis explicativas para o nível do colesterol total considerado como fator de risco para o desenvolvimento de doenças cardiovasculares. 4.1 Aplicação 1: Tabela 4.10 pág. 145 McCullagh e Nelder (1989) Foram criadas as variáveis indicadoras das combinações possíveis para as cores dos olhos dos pais segundo as classificações fornecidas L (light) H (hazel) e D (dark). Dessa maneira para a cor dos olhos dos pais foi obtido um fator em 6 níveis em que por exemplo LL indica olhos claros do pai e da mãe. Por simplicidade será chamado de P o conjunto das variáveis indicadoras da cor dos olhos dos pais. O ajuste dos dados com a covariável P pelo MLG no software Glim-4 apresentou deviance de e 72 graus de liberdade residual. O valor da deviance é maior que os graus de liberdade do resíduo indicando uma provável superdispersão ou um ajuste inadequado do modelo devido entre outras causas à presença de outliers (Hinde e Demétrio 1998). Utilizando a técnica gráfica do envelope Half-normal plot desenvolvido por Hinde e Demétrio (1998) para o modelo ajustado no Glim-4 observa-se na Figura 4 a existência de duas observações discrepantes e a indicação de ocorrência de uma leve superdispersão para a covariável P fato esse também observado em Paula e Artes (2000). Os pontos soltos (outliers) são referentes às famílias números 18 e 47. Após a retirada dessas duas observações do conjunto de dados o novo modelo ajustado apresentou uma deviance de 7222 e 70 graus de liberdade do resíduo e o Half-normal plot indicou adequação do modelo. A Tabela 1 apresenta os resultados da aplicação dos testes para diagnóstico de superdispersão nesse conjunto de dados considerando o nível nominal de 5. Tabela 1- Resultados dos testes para superdispersão no modelo univariado covariável P nos dados do exemplo de McCullagh e Nelder (1989) Teste aplicado Valor obtido Distribuição P valor Indicação de superdispersão Deviance χ com 72 gl - Sim Pearson Smith e Heitjan Ganio e Schafer χ com 72 gl Sim χ com 6 gl Não χ com 1 gl Não Dean N(01) Não Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p

12 FIGURA 4 - Envelope Half-normal plot no modelo do McCullagh e Nelder (1989) com a covariável P: cor dos olhos dos pais. O único teste que indicou superdispersão foi o de Pearson. Os outros não foram influenciados pela presença dos outliers desse exemplo. 4.2 Aplicação 2: II Estudo Epidemiológico em Minas Gerais (2000) Os dados reais utilizados nesse trabalho foram obtidos no II Estudo Epidemiológico em Saúde Escolar em Belo Horizonte MG4 e a variável resposta utilizada foi a proporção do nível de colesterol total considerado como risco grave para o desenvolvimento de doenças cardiovasculares na idade adulta. Os pontos de corte para esse risco são os valores acima do percentil 90 fornecidos pelo Lipid Research Clinics Prevalence Study (LRC) considerando a idade o gênero e a raça para a população norteamericana. Foram aplicados os testes propostos para a verificação da ocorrência ou não de superdispersão para se ter garantia no uso da técnica de análise por regressão logística. Foi feito o ajustamento do modelo linear generalizado com função de ligação logit da família binomial no Splus-2000 e as covariáveis que foram significativas na modelagem final 4 Resultados apresentados na dissertação de mestrado em Pediatria da Faculdade de Medicina da UFMG de Robespierre Q.R. Costa com orientação do Prof. Dr. Joel A. Lamounier. 66 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p

13 foram a raça a classificação econômica o sexo e o sobrepeso/obesidade cujas codificações encontram-se na Tabela 2. Tabela 2 - Variáveis para o estudo das dislipidemias Variável Resposta: (LRC90) RISCO GRAVE (Colesterol total acima do percentil 90 (LRC)) NEGROS (Raça) TIPOCSE (Classificação econômica) SEXO (Gênero) IMC85 (IMC acima do percentil 85 do Rosner) Codificação 1 Sim; 0 Não 1 Negra; 0 Não negra 1 A1 a B2; 0 C a E 1 Feminino; 0 Masculino 1 Com sobrepeso ou obeso; 0 Normal A variável resposta é binária e representa o nível de colesterol total considerado como risco grave para o desenvolvimento de doenças cardiovasculares em relação ao número obtido em cada configuração possível. A prevalência do nível de colesterol total considerado como risco grave foi de 120 (160/1331). Os alunos amostrados foram categorizados em três níveis por raça: branca morena e negra. Através da modelagem por regressão logística foi verificado que o efeito da raça morena era o mesmo da raça branca. Esse fato motivou o agrupamento da raça branca e morena numa única categoria surgindo então a covariável negros indicadora da raça negra e com participação de 15 na amostra. A classificação econômica foi obtida através do critério de classificação econômica da ABA/ABIPEME/ANEP de 1997 que pode ser obtido através do site: As classes econômicas foram agrupadas de A1 à B2 e de C à E pelo método análogo ao do agrupamento efetuado na raça sendo a covariável tipocse a indicadora da classe A1 à B2 com 433 de participação na amostra. A covariável sexo é indicadora do gênero feminino e representa 533 da amostra. A covariável imc85 é a indicadora do sobrepeso/obesidade. Para a indicação de sobrepeso/obesidade considera-se o valor do índice de massa corporal IMC que é uma relação entre o peso em kg e o quadrado da altura em metros comparado ao valor tabelado para o percentil 85. Os valores acima do percentil 95 são considerados como obesidade. Os pontos de corte foram obtidos na tabela de Rosner (1998) considerando a população norte americana. Nessa amostra 115 dos alunos foram considerados com sobrepeso/obesidade sendo de 31 o percentual dos obesos. Ajustando o MLG no software Glim-4 ou com função de ligação logit da família binomial no Splus-2000 o valor da deviance residual foi de e 11 graus de liberdade sendo essa indicação de uma possível existência de superdispersão. A Figura 5 mostra que o envelope do Half-normal plot (Hinde e Demétrio 1998) indica ocorrência de uma leve superdispersão. Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p

14 FIGURA 5 - Envelope Half-normal plot no modelo do II Estudo Epidemiológico (2000) para a variável resposta Colesterol total. A Tabela 3 apresenta os resultados dos testes aplicados nos dados do colesterol total considerando a variável resposta como risco grave ao desenvolvimento de doenças coronarianas. Os testes são consistentes em concluir pela ausência de superdispersão. Tabela 3 - Resultados dos testes para superdispersão no modelo multivariado ajustado para os dados do colesterol total do II Estudo Epidemiológico em 2000 Teste aplicado Valor obtido Distribuição P valor Pearson Indicação de superdispersão χ com 12 gl Sim Smith e Heitjan Ganio e Schafer χ com 4 gl Não χ com 1 gl Não Dean N(01) Não 68 Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p

15 5 Considerações finais Dentre os testes propostos e comparados nesse trabalho o da Dean (1992) parece ser o melhor considerando as características exploradas nessa simulação. Apesar de ser o mais antigo dentre eles o teste de Pearson mostrou-se extremamente poderoso e adequado o suficiente para continuar sendo utilizado conforme indicação de McCullagh e Nelder (1989). O teste da Ganio e Schafer (1992) apresenta um formato aparentemente simples mas a sua aplicação nos dados gerados não convergiu em algumas das situações simuladas devido ao tipo de parametrização utilizada nos demais testes. O teste proposto por Smith e Heitjan (1993) apresentou duas grandes dificuldades em sua implementação. Primeiramente o cálculo do teste escore apresentava erros nos elementos da matriz como função dos quatro primeiros momentos centrais relacionados com os cumulantes de Y e necessitou de um longo tempo despendido para correção desses cálculos que envolviam complexas derivadas da função de verossimilhança. A segunda dificuldade neste teste é sua sensibilidade à codificação das covariáveis categóricas e à sua distribuição. BOGUTCHI T. F.; COLOSIMO E. A.; LAMOUNIER J. A. Overdispersion tests for binary data. Rev. Mat. Est. São Paulo v.23 n.3 p ABSTRACT: Generalized linear models for binary and counting response require that variance be a function of the mean. However a greater variance than the one specified by the model is not uncommon observed. This fact is known as overdispersion and can be solved by adding an extra term fixed or random to the model or by using quasi-likelihood methods. The aim of this study was to compare some overdispersion tests proposed in the literature. The selected tests are those presented by Ganio e Schafer (1992) Dean (1992) and Smith e Heitjan (1993) in addition to the well-known Pearson s chi-square teste. This study used a data set from the II Epidemiological Study of Health School in Belo Horizonte - MG. The response variable was the cholesterol level. KEY-WORDS: Extra-binomial variation; logit model; statistical tests. Referências COMMENGES D. ; et al. Test of homogeneity of binary data with explanatory variables. Biometrics Washington v.50 p CORDEIRO G. M. Modelos lineares generalizados. In: SINAPE Campinas. Resumos Campinas: ABE COX D. R. Some remarks on overdispersion. Biometrika London v.70 p CRAMÉR H. Mathematical methods of statistics. Princeton: Princeton University Press DEAN C. B. Testing for overdispersion in poisson and binomial models. J. Am. Stat. Assoc. New York v.87 p EFRON B. Double exponential families and their use in generalized linear models. J. Am. Stat. Assoc. New York v.81 p Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.3 p

16 GANIO L. M. SCHAFER D. W. Diagnostics for overdispersion. J. Am. Stat. Assoc. New York v.87 p HINDE J. DEMÉTRIO C. G. B. Overdispersion: models and estimation. In: SINAPE Caxambu. Resumos Caxambu: ABE HINES R. J. O. A Comparison of testes for overdispersion in generalized linear models. J. Stat. Comput. Simul. New York v.58 p JACQMIN-GADDA H. COMMENGES D. Tests of homogeneity for generalized linear models. J. Am. Stat. Assoc. New York v.90 p McCULLAGH P. NELDER J. A. Generalized linear models. 2nd. ed. London: Chapman and Hall NELDER J. A.; WEDDERBURN R. W. M. generalized linear models. J. R. Stat. Soc. Serie A London v.135 n.3 p PAULA G. A. ARTES R. One-sided test to assess correlation in linear logistic models using estimating equations. Biom. J. Berlin v.42 p ROSNER B et al. Percentiles for body mass index in U.S. children 5 to 17 years age. J. Pediatr. St. Louis v.132 n.2 p SMITH P. J. HEITJAN D. F. Testing and adjusting for departures from nominal dispersion in generalized linear models. J. R. Stat. Soc. Ser.C Apll. Stat. London v.42 p Recebido em Aprovado após revisão em Rev. Mat. Estat. São Paulo v.23 n.1 p