Modelos Lineares Mistos

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1 Modelos Lineares Mistos Fernando Lucambio Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Curitiba/PR, , Brasil Setembro de 1 Introdução O modelo de regressão linear normal, descrito anteriormente, é da forma y i = β 1 x 1i + β x i β p x pi + ɛ i ɛ i N(, σ ), onde ɛ 1,..., ɛ n são variáveis aleatórias independentes e igualmente distribuídas. Desta forma podemos perceber que este modelo têm um efeito aleatório, o termo de erro ɛ i. Os parâmetros do modelo são os coeficientes da regressão β 1, β,..., β p e a variancia do erro σ. Usualmente, x 1i = 1 e então β 1 é uma constante ou o intercepto do modelo. Para efeitos de comparação com os modelos lineares mistos a serem definidos escreveremos o modelo anterior de maneira matricial na seguinte forma y = Xβ + ɛ ɛ N n (, σ I n ), onde y = (y 1, y,..., y n ) é o vetor de respostas, X a matriz de regressoras do modelo, β = (β 1, β,..., β p ) o vetor de coefficientes da regressão e ɛ = (ɛ 1,..., ɛ n ) t op o vetor de erro. Também, N n representa a distribuição normal n-variada, o representa um vetor n 1 de zeros e I n a matriz identidade de órdem n. Os chamados modelos lineares mistos incluem um termo adicional de efeitos aleatórios e são apropriados para representar agrupamentos e, portanto, dados dependentes. Situações nas quais estes modelos são úteis incluem dados coletados hierarquicamente ou quando as observações são obtidas de indivíduos relacionados, como irmãos ou outros tipos de parentes, ou quando os dados são obtidos ao longo de curtos períodos de tempo no mesmo invíduo. No R existem diversas bibliotecas para ajustar estes modelos, em particular trabalharemos com a função lme no pacote nlme. Estes modelos foram propostos por Laird & Ware (19) e por esse motivo também costumam-se chamar de modelos Laird-Ware. Atualmente maiores detalhes podem ser consultados nos livros Vernables & Ripley (1999), Pinheiro & Bates () e Raudenbush & Bryk (). A estimação destes modelos é extremamente complexa e somente faremos um estudo geral. 1

2 O modelo linear misto O modelo geral é da forma onde y ij = β 1 x 1ij + β x ij β p x pij + γ 1 z 1ij + γ z ij γ q z qij + ɛ ij γ ik N(, ψ k), Cov{γ k, γ k } = ψ kk ɛ ij N(, σ λ ijj ), Cov{ɛ ij, ɛ ij } = σ λ ijj, y ij é a valor da variável resposta na j-ésima de n i onbservações no i-ésimo de M agrupamentos β 1,..., β p são os coeficientes dos efeitos fixos, que são idênticos para todos os grupos x 1ij,..., x pij são os valores das regressoras dos efeitos fixos para a j-ésima observação no grupo i, a primeira destas regressoras é usualmente a constante, x 1ij = 1 γ 1,..., γ q são os coeficientes das componentes de efeitos aleatórios ψ é a variancia e ψ kk através dos grupos. a covariancia entre os efeitos aleatórios, assume-se que é constante ɛ ij é o erro para a j-ésima observação no i-ésimo grupo. O termo de erro para o grupo i é considerado com distribuição normal multivariada. σ λ ijj é a covariancia entre os erros no i-ésimo grupo. Alternativamente, mas equivalentemente, em forma matricial onde y i =X i β + Z i γ i + ɛ i γ i N q (, Ψ), ɛ i N n (, σ Λ i ) y i é o vetor n i 1 de reposta para as observações no i-ésimo grupo X i a matrix n i p do modelo para os efeitos fixos das observações no i-ésimo grupo β o vetor p 1 de coeficientes de efeitos fixos Z i a matriz n i q do modelo de efeitos aleatórios das observações no i-ésimo grupo γ i o vetor q 1 de coeficientes de efeitos aleatórios para o grupo i ɛ i o vetor n i 1 de erros das observações no i-ésimo grupo Ψ a matriz q q das covariancias dos efeitos aleatórios σ Λ i a matriz n i n i das covariancias dos erros para o grupo i

3 3 Um exemplo ilustrativo da aplicação destes modelos a dados longitudinais Para ilustrar a utilização e interpretação dos resultados obtidos com estes modelos utilizaremos os dados coletados por Blackmoor e Davis acerca do histórico de 13 garotas adolescentes hospitalizadas por desordens alimentares e um grupo de 93 controles. > library(car) # somente para ler os dados > library(relimp) # somente para mostrar os dados > library(nlme) > data(blackmoor) # para ler os dados na libraria (pacote) car > showdata(blackmoor) # para mostrar os dados As variáveis são: subject: um código de identificação, há diversas observações para cada indivíduo mas como as garotas foram hospitalizadas em diferentes idades, o número de observações e a idade na última observação variam. age: idade em anos no momento da observação, as observações foram coletadas retrospectivamente a intervalos de dois anos cada,começando ao anos. exercice: a quantidade de exercício no qual cada garota está engajada, é uma estimativa em horas por semana group: um fator indicativo se o indivíduo pertence ao grupo controle o paciente 3.1 Examinando os dados Faremos uma amostragem de indivíduos para mostrar o comportamento no período, serão selecionadois indivíduos do grupo controle e de pacientes e mostraremos a resposta, a quantidade de exercício em relação a idade para cada um. > pat = sample(unique(subject[group== patient ]),) > Pat. = groupeddata(exercise~age subject,data=blackmoor[is.element(subject,pat),]) > plot(pat.,main= Pacientes,xlab="Idade",ylab= Exerc~Acios,layout=c(,),aspect=1., + position=c(,.,1,1)) > con = sample(unique(subject[group== control ]),) > Con. = groupeddata(exercise~age subject,data=blackmoor[is.element(subject,con),]) > plot(con.,main= Controle,xlab="Idade",ylab= Exerc~Acios,layout=c(,),aspect=1., + position=c(,.,1,1)) O resultado pode ser apreciado na Figura 1. Parece não existir um padrão forte de comportamento em cada indivíduo. No entanto, parece que em geral a quantidade de exercício émaior no grupo de pacientes do que no grupo controle. Observe que o limite superior do ixo vertical no grupo de pacientes é maior do que e no grupo de controle o limite é. 3

4 Pacientes Controle b 9b 33 Exercícios Exercícios 73b 73a 1 1 7a Idade Idade Figura 1: Comportamento da quantidade de exercício em relação à idade para indivíduos selecionados aleatoriamente do grupo de pacientes e indivíduos selecionados também aleatoriamente do grupo controle. 3. Ajustando o modelo Os dados originais reportam erro ao tentar ajustar o modelo, por isso transformamos a resposta à escala logaritmica de base para manter a interpretabilidade e dado que alguns resultados da quantidade de exercício são.zero acrescentamos minutos para poder fazer o cálculo. > ajuste1 = lme(i(log(exercise+/,))~i(age-)*group, random=~i(age-) subject,data=blackmoor) > summary(ajuste1) Linear mixed-effects model fit by REML Data: Blackmoor AIC BIC loglik Random effects: Formula: ~I(age - ) subject Structure: General positive-definite, Log-Cholesky parametrization StdDev Corr (Intercept) 1. (Intr) I(age - ) Residual Fixed effects: I(log(exercise + /, )) ~ I(age - ) * group Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) I(age - ) grouppatient I(age - ):grouppatient Correlation: (Intr) I(g-) grpptn I(age - ) -.9 grouppatient

5 I(age - ):grouppatient Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 Max Number of Observations: 9 Number of Groups: 31 O coeficiente do grupo não é significante indicando que o intercepto na idade de anos é similar para os dois grupos. Verifiquemos se o intercepto e inclinação aleatórios fazem sentido, para isso procedemos da seguinte maneira para calcular a estatística da razão de verossmilhanças contrastando o modelo re-ajustado com o original. > ajuste = update(ajuste1, random=~1 subject) > anova(ajuste1,ajuste) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value ajuste ajuste vs 1.71 e- e > ajuste3 = update(ajuste1, random=~i(age-)-1 subject) > anova(ajuste1,ajuste3) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value ajuste ajuste vs 3.9 <.1 O teste é altamente significativo sugerindo que tanto o intercepto aleatório quanto a inclinação aleatória são necessários. Referências Laird, N.M. & Ware, J.H. (19). Random-effects models for longitudinal data. Biometrics, 3, Pinheiro, J.C. & Bates, D.M. (). Mixed-effects models in S and S-PLUS. New York:Springer. Raudenbush, S.W. & Bryk, A.S. (). Hierarchical linear models: applications and data analysis methods. Thousand Oaks CA: Sage, second edition. Vernables, W.N. & Ripley, B.D. (1999). Modern Applied Statistics with S-PLUS. New York: Springer, third edition.