GILSON BARBOSA DOURADO

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1 CORREÇÃO DE VIÉS DO ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA PARA A FAMÍLIA EXPONENCIAL BIPARAMÉTRICA GILSON BARBOSA DOURADO Orientador: Klaus Leite Pinto Vasconcellos Área de concentração: Estatística Matemática Dissertação apresentada ao Departamento de Estatística da Universidade Federal de Pernambuco para obtenção do grau de Mestre em Estatística Recife, fevereiro de 2004

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3 Computers are useless. They can only give yor answers. Pablo Picasso i

4 Agradecimentos A Deus, cujo nome é Jeová, pois sem ele seria impossível a realização deste trabalho. A meus pais, pelo apoio e incentivo. Aos meus irmãos, Jaciara, Jussara e Gilvã, pelo amor, carinho e amizade. Ao meu orientador, Klaus Vasconcellos, pela paciência e confiança. Aos meus colegas de mestrado, que se tornaram não só colegas mas verdadeiros amigos. Em especial, a Sílvia, a Patrícia, Tatiene e Tarciana, não desmerecendo os demais. A Sílvia, pelo belo exemplo de respeito e confiança; a Patrícia, por sua amizade, confiança e sinceridade; a Tatiene, pela alegria e carinho; e a Tarciana, pela amizade e respeito. Aos meus amigos e colegas, Felipe, Ricardo e Raydonal, pela amizade, respeito e compreensão. A todos os colegas de mestrado, Patrícia Espinheiro, Michelli, Diana, Heráclito, Amanda, Júnior, André, Sandra Rêgo, Sandra Pinheiro, Gecynalda, Andréa, Tatiane e Renata. Aos professores do Programa de Mestrado em Estatística da UFPE, pela credibilidade e por sua contribuição à minha formação estatística. A Valéria, pela competência, disponibilidade e compreensão. Ao Coordenador da Pós-Graduação em Estatística, Francisco Cribari Neto, pelo apoio e ajuda. A meu grande amigo Reginaldo, pela amizade, respeito e companheirismo. A todos que participaram direta ou indiretamente na realização deste sonho. A meu amigos da Congregação Engenho do Meio. À Capes, pelo apoio financeiro. ii

5 Resumo Os estimadores de máxima verossimilhança são, em geral, viesados para o verdadeiro valor do parâmetro. Normalmente, o viés é desprezado com base na alegação de que ele é desprezível comparado aos erros padrão das estimativas. Em uma amostra de tamanho n, o viés em geral é de ordem O(n 1 ), enquanto que o desvio padrão é de ordem O(n 1/2 ). Apesar do viés não constituir um problema sério se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, em amostras onde o tamanho não é suficientemente grande o viés pode ser significativo. Dada a grande importância do estimador de máxima verossimilhança, muitas técnicas foram desenvolvidas para corrigir o viés destes estimadores em pequenas amostras. O objetivo desta dissertação é apresentar algumas técnicas que concentram na remoção do viés de segunda ordem para estimadores de máxima verossimilhança na família exponencial biparamétrica, o que pode ser feito tanto de forma analítica como númerica. Apresentaremos três procedimentos para correção do viés de segunda ordem das estimativas de máxima verossimilhança. O primeiro procedimento é baseado na expressão do viés de segunda ordem obtida por Cox e Snell (1968), onde o estimador corrigido será dado pela diferença entre o estimador de máxima verossimilhança e o viés de segunda ordem calculado usando o estimador original. Uma segunda metodologia utilizada para corrigir o estimador de máxima verossimilhança foi introduzida por Firth (1993). Este método consiste na modificação da função escore com o objetivo de remover o termo de ordem n 1 do viés do estimador de máxima verossimilhança. Um terceiro procedimento para a correção do viés de segunda ordem do estimador de máxima verossimilhança é baseado na estimação númerica do viés através de um esquema de reamostragem bootstrap, onde o viés é estimado como a diferença entre o valor médio das estimativas de máxima verossimilhança nas réplicas de bootstrap e a estimativa original. Derivamos a expressão do viés dos estimadores de máxima verossimilhança para a formula de Cox e Snell (1968). Comprovamos a similaridade entre os métodos corretivo e preventivo, que demonstraram desempenho superior na redução do viés e do erro quadrático médio em comparação aos estimadores originais e bootstrap. iii

6 Abstract Maximum likelihood estimators are typically biased. There are several different ways to correct this problem. The chief goal of this dissertation is to present some of them, which focus on removing the second order bias of maximum likelihood estimators in the biparametric exponential family. This may be done by analitical or numerical procedures. We will present three of these procedures; a correction method, a preventive method and a bootstrap correction method. We observe that the first two methods produce similar results in our specific problem; the performance of these estimators was much better than that of the original estimators and that of the estimator obtained by bootstrap methods. iv

7 Índice 1 Introdução Introdução Família exponencial biparamétrica Estimação por máxima verossimilhança Organização da dissertação Suporte computacional Correção de Viés para Família Exponencial Biparamétrica Viés de segunda ordem Estimadores corrigidos Viés para família exponencial biparamétrica Casos particulares Distribuição gama Distribuição normal inversa Distribuição log-gama Distribuição log-beta-inversa Resultados Numéricos Introdução Distribuição gama Distribuição normal inversa Distribuição log-gama Distribuição log-beta-inversa Conclusão Apêndice Referências v