Evolução de Schramm-Loewner Estocástica e Teorias Conformes
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- Sabina Palma Gusmão
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1 Evolução de Schramm-Loewner Estocástica e Teorias Conformes Rodrigo Pereira IF-UFF 6a. Oficina de Teoria Quântica de Campos Instituto de Física - UERJ 19/06/2008 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 1 / 13
2 Teoria de Campos Conforme Teoria de Campos Conforme Teoria quântica de campos sem massa (especial em 2d) Descreve o limite contínuo de modelos estatísticos críticos em 2d Ising, q-potts, O(n)... Operadores de escala (densidade de energia, magnetização...) operadores de campo Dimensões de escala determina expoentes críticos e funções de correlação Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 2 / 13
3 Teoria de Campos Conforme Problemas Não é adequada para tratar a relação entre sistemas estatísticos e geometria estocástica: propriedades geométricas das paredes de domínios Falta de rigor dos métodos algébricos What exactly are these renormalised local operators whose correlation functions the field theorists so happily manipulate, according to rules that sometimes seem to be a matter of cultural convention rather than any rigorous logic? John Cardy Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 3 / 13
4 Evolução de Loewner Curvas aleatórias e sistemas estatísticos Ising triangular Propriedade Markoviana: P (γ γ 1 ; D) = P (γ; D \ γ 1 ) Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 4 / 13
5 Evolução de Loewner Curvas aleatórias e sistemas estatísticos Ising triangular Propriedade Markoviana: P (γ γ 1 ; D) = P (γ; D \ γ 1 ) Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 4 / 13
6 Evolução de Loewner Curvas aleatórias e sistemas estatísticos Ising triangular Propriedade Markoviana: P (γ γ 1 ; D) = P (γ; D \ γ 1 ) Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 4 / 13
7 Evolução de Loewner Curvas aleatórias e sistemas estatísticos Ising triangular: Exploração Propriedade Markoviana: P (γ γ 1 ; D) = P (γ; D \ γ 1 ) Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 4 / 13
8 Evolução de Loewner Curvas aleatórias e sistemas estatísticos Ising triangular: Exploração Propriedade Markoviana: P (γ γ 1 ; D) = P (γ; D \ γ 1 ) Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 4 / 13
9 Evolução de Loewner Limite contínuo Propriedade Markoviana: µ(γ 2 γ 1 ; D, r 1, r 2 ) = µ(γ 2 ; D\γ 1, τ, r 2 ) Invariância Conforme: (Φ µ)(γ; D, r 1, r 2 ) = µ(φ(γ); D, r 1, r 2) Teorema do mapeamento de Riemann Curvas em H O hull K t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 5 / 13
10 Evolução de Loewner Limite contínuo Propriedade Markoviana: µ(γ 2 γ 1 ; D, r 1, r 2 ) = µ(γ 2 ; D\γ 1, τ, r 2 ) Invariância Conforme: (Φ µ)(γ; D, r 1, r 2 ) = µ(φ(γ); D, r 1, r 2) Teorema do mapeamento de Riemann Curvas em H O hull K t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 5 / 13
11 Evolução de Loewner Limite contínuo Propriedade Markoviana: µ(γ 2 γ 1 ; D, r 1, r 2 ) = µ(γ 2 ; D\γ 1, τ, r 2 ) Invariância Conforme: (Φ µ)(γ; D, r 1, r 2 ) = µ(φ(γ); D, r 1, r 2) Teorema do mapeamento de Riemann Curvas em H O hull K t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 5 / 13
12 Evolução de Loewner Evolução de Loewner Linha vertical l 2 = 4t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 6 / 13
13 Evolução de Loewner Evolução de Loewner Linha vertical g t (z) = (z 2 + l 2 ) 1/2 l 2 = 4t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 6 / 13
14 Evolução de Loewner Evolução de Loewner Linha vertical g t (z) = a + [ (z a) 2 + 4t ] 1/2 l 2 = 4t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 6 / 13
15 Evolução de Loewner g t+δt = a t + [ (g t (z) a t ) 2 + 4δt ] 1/2 g t+δt g t lim δt 0 δt dg t(z) dt 2 = g t (z) a t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 7 / 13
16 Evolução de Loewner g t+δt = a t + [ (g t (z) a t ) 2 + 4δt ] 1/2 g t+δt g t lim δt 0 δt dg t(z) dt 2 = g t (z) a t Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 7 / 13
17 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Evolução de Schramm-Loewner estocástica O. Schramm (2000) Propriedade Markoviana e invariância conforme Incrementos n = a tn+δt a tn são independentes a t é um random walk na reta real a t = κb t κ constante, B t = 0 e (B t2 B t1 ) 2 = t 2 t 1 κ: assinatura da curva Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 8 / 13
18 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Evolução de Schramm-Loewner estocástica O. Schramm (2000) Propriedade Markoviana e invariância conforme Incrementos n = a tn+δt a tn são independentes a t é um random walk na reta real a t = κb t κ constante, B t = 0 e (B t2 B t1 ) 2 = t 2 t 1 κ: assinatura da curva Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 8 / 13
19 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Evolução de Schramm-Loewner estocástica O. Schramm (2000) Propriedade Markoviana e invariância conforme Incrementos n = a tn+δt a tn são independentes a t é um random walk na reta real a t = κb t κ constante, B t = 0 e (B t2 B t1 ) 2 = t 2 t 1 κ: assinatura da curva Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 8 / 13
20 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Fases da SLE Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 9 / 13
21 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Dimensão fractal Probabilidade da curva cruzar um disco de raio ɛ : h dt = g dt a dt P (x, y, ɛ) P P (x, y, ɛ) = [ 2x x 2 + y 2 x P (z, ɛ) ɛ 2 d f ( x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( P x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 2y x 2 + y 2 y + κ 2 2 x 2 2 (x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 ɛ ] P = 0 ɛ Ansatz: P = ɛ 2 d f y α (x 2 + y 2 ) β, com α + 2β = d f 2 d f = 1 + κ 8 κ 8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 10 / 13
22 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Dimensão fractal Probabilidade da curva cruzar um disco de raio ɛ : h dt = g dt a dt P (x, y, ɛ) P P (x, y, ɛ) = [ 2x x 2 + y 2 x P (z, ɛ) ɛ 2 d f ( x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( P x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 2y x 2 + y 2 y + κ 2 2 x 2 2 (x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 ɛ ] P = 0 ɛ Ansatz: P = ɛ 2 d f y α (x 2 + y 2 ) β, com α + 2β = d f 2 d f = 1 + κ 8 κ 8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 10 / 13
23 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Dimensão fractal Probabilidade da curva cruzar um disco de raio ɛ : h dt = g dt a dt P (x, y, ɛ) P P (x, y, ɛ) = [ 2x x 2 + y 2 x P (z, ɛ) ɛ 2 d f ( x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( P x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 2y x 2 + y 2 y + κ 2 2 x 2 2 (x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 ɛ ] P = 0 ɛ Ansatz: P = ɛ 2 d f y α (x 2 + y 2 ) β, com α + 2β = d f 2 d f = 1 + κ 8 κ 8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 10 / 13
24 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Dimensão fractal Probabilidade da curva cruzar um disco de raio ɛ : h dt = g dt a dt P (x, y, ɛ) P P (x, y, ɛ) = [ 2x x 2 + y 2 x P (z, ɛ) ɛ 2 d f ( x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( P x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 2y x 2 + y 2 y + κ 2 2 x 2 2 (x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 ɛ ] P = 0 ɛ Ansatz: P = ɛ 2 d f y α (x 2 + y 2 ) β, com α + 2β = d f 2 d f = 1 + κ 8 κ 8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 10 / 13
25 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Dimensão fractal Probabilidade da curva cruzar um disco de raio ɛ : h dt = g dt a dt P (x, y, ɛ) P P (x, y, ɛ) = [ 2x x 2 + y 2 x P (z, ɛ) ɛ 2 d f ( x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( P x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 2y x 2 + y 2 y + κ 2 2 x 2 2 (x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 ɛ ] P = 0 ɛ Ansatz: P = ɛ 2 d f y α (x 2 + y 2 ) β, com α + 2β = d f 2 d f = 1 + κ 8 κ 8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 10 / 13
26 Evolução de Schramm-Loewner estocástica Dimensão fractal Probabilidade da curva cruzar um disco de raio ɛ : h dt = g dt a dt P (x, y, ɛ) P P (x, y, ɛ) = [ 2x x 2 + y 2 x P (z, ɛ) ɛ 2 d f ( x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( P x + 2xdt [ ]) κ db 2 t, y 2ydt, ɛ 1 2dt(x2 y 2 ) 2 ( 2 ) 2 2y x 2 + y 2 y + κ 2 2 x 2 2 (x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 ɛ ] P = 0 ɛ Ansatz: P = ɛ 2 d f y α (x 2 + y 2 ) β, com α + 2β = d f 2 d f = 1 + κ 8 κ 8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 10 / 13
27 SLE e Teorias Conformes SLE e Teorias Conformes γ t : Estados contendo uma curva γ t Mapeamento de Loewner z = z + dg t dg t 2L 2 dt L 1 da t [ ] t1 g t1 (γ t ) = T exp 0 (2L 2dt L 1 da t ) γ t Propriedades da SLE c = (3κ 8)(6 κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 κ = 3 d f = 11/8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 11 / 13
28 SLE e Teorias Conformes SLE e Teorias Conformes γ t : Estados contendo uma curva γ t Mapeamento de Loewner z = z + dg t dg t 2L 2 dt L 1 da t [ ] t1 g t1 (γ t ) = T exp 0 (2L 2dt L 1 da t ) γ t Propriedades da SLE c = (3κ 8)(6 κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 κ = 3 d f = 11/8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 11 / 13
29 SLE e Teorias Conformes SLE e Teorias Conformes γ t : Estados contendo uma curva γ t Mapeamento de Loewner z = z + dg t dg t 2L 2 dt L 1 da t [ ] t1 g t1 (γ t ) = T exp 0 (2L 2dt L 1 da t ) γ t Propriedades da SLE c = (3κ 8)(6 κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 κ = 3 d f = 11/8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 11 / 13
30 SLE e Teorias Conformes SLE e Teorias Conformes γ t : Estados contendo uma curva γ t Mapeamento de Loewner z = z + dg t dg t 2L 2 dt L 1 da t [ ] t1 g t1 (γ t ) = T exp 0 (2L 2dt L 1 da t ) γ t Propriedades da SLE c = (3κ 8)(6 κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 κ = 3 d f = 11/8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 11 / 13
31 SLE e Teorias Conformes SLE e Teorias Conformes γ t : Estados contendo uma curva γ t Mapeamento de Loewner z = z + dg t dg t 2L 2 dt L 1 da t [ ] t1 g t1 (γ t ) = T exp 0 (2L 2dt L 1 da t ) γ t Propriedades da SLE c = (3κ 8)(6 κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 κ = 3 d f = 11/8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 11 / 13
32 SLE e Teorias Conformes SLE e Teorias Conformes γ t : Estados contendo uma curva γ t Mapeamento de Loewner z = z + dg t dg t 2L 2 dt L 1 da t [ ] t1 g t1 (γ t ) = T exp 0 (2L 2dt L 1 da t ) γ t Propriedades da SLE c = (3κ 8)(6 κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 κ = 3 d f = 11/8 Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 11 / 13
33 SLE e Teorias Conformes κ = 8/3 Self-avoiding walks κ = 2 Loop-erased random walks κ = 3 Modelo de Ising crítico κ = 4 Explorador harmônico e Potts com 4 estados κ = 6 Fronteiras de clusters de percolação κ = 8 Varredura uniforme de árvores Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 12 / 13
34 SLE e Teorias Conformes Temas de pesquisa atual Provas de conjecturas: q-potts q = cos(8π/κ) O(n) n = 2 cos(4π/κ) Evoluções por processos não brownianos Turbulência em 2d, vidros de spin, gravidade quântica... Questões energéticas Rodrigo Pereira (IF-UFF) SLE e Teorias Conformes 6a. Oficina de TQC, IF-UERJ 13 / 13
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