Carlos Andrés Aguilar Marón. híbrido dos elementos de contorno para. Civil Doutor em Engenharia Civil. Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont

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1 Carlos Andrés Aguilar Marón Uma implementação expedita Proposta do de método Tese híbrido dos elementos de contorno para problemas Método de potencial dos Elementos e elasticidade de Contorno CIV 3007: Tese Proposta de Doutorado de Tese Tese Proposta apresentada de Tese ao apresentada Programa de ao Pós graduação Programa de Pós graduação em Engenharia Civil em Engenharia do Departamento Civil do de Departamento Engenharia Civil de da Engenharia PUC Rio como Civil requisito da PUC Rio parcial como para requisito obtenção parcial do título para de obtenção Doutor em do Engenharia título de Civil Doutor em Engenharia Civil. Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont Rio de Janeiro Fevereiro Maio de

2 Carlos Andrés Aguilar Marón Carlos Andrés Aguilar Marón Uma implementação expedita do método híbrido dos elementos de contorno para problemas de potencial e elasticidade Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo programa de Pós-graduação Proposta em Engenharia de Tese Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC Rio. Método Aprovada dos pela Elementos Comissãode Examinadora Contorno abaixo assinadaaprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Ney Augusto Dumont Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC Rio Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil PUC Rio CIV 3007: Proposta de Tese Dr. Alexandre Antonio de Oliveira Lopes Proposta de Tese apresentada ao Programa TECGRAF de Pós graduação PUC Rio em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC Rio como requisito parcial para obtenção do título de Prof. José Claudio de Faria Telles Doutor em Engenharia Civil. Universidade Federal do Rio de Janeiro Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont Prof. Rodrigo Bird Burgos Universidade do Estado do Rio de Janeiro Prof. Volodomyr Vasilievich Zozulya Centro de Investigação Científica de Yucatán Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC Rio Rio de Janeiro Rio de Janeiro, 14Fevereiro de Maio de

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Carlos Andrés Aguilar Marón Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco Peru. Em 2006 iniciou o curso de mestrado em Engenharia Civil na PUC Rio e titulouse em 2008, na área de estruturas, atuando na linha de pesquisa de Métodos dos Elementos de Contorno e Dinâmica das Estruturas. Aguilar Marón, Carlos A. Ficha Catalográfica Uma implementação expedita do método híbrido dos elementos de contorno para problemas de potencial e elasticidade / Carlos Andrés Aguilar Marón; orientador: Ney Augusto Dumont. Rio de Janeiro : PUC Rio, Departamento de Engenharia Civil, v., 87 f: il. ; 29,7 cm 1. Tese (doutorado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia Civil Tese. 2. Elementos híbridos de contorno;. 3. Métodos variacionais;. 4. Métodos numéricos;. 5. Elementos de contorno;. 6. Problemas de grande escala.. I. Dumont, Ney Augusto. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 624

4 Agradecimentos Ao Prof. Ney Augusto Dumont, pela orientação, paciência, apoio e incentivo na realização deste trabalho. Obrigado professor. Ao CNPq/CAPES e à PUC Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado, nem minha estada no Brasil teria sido possível. Aos professores do departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Ao pessoal administrativo do programa de pós-graduação em engenharia civil da PUC-Rio. Aos membros da banca, pelas diversas sugestões feitas na redação final da dissertação. À minha família no Peru, pelo apoio incondicional em todos esses anos, meu Pai Carlos Aguilar e irmãos. Finalmente, dedico este trabalho à memoria da minha mãe: Alejandrina.

5 Resumo Aguilar Marón, Carlos A.; Dumont, Ney Augusto. Uma implementação expedita do método híbrido dos elementos de contorno para problemas de potencial e elasticidade. Rio de Janeiro, p. Tese de Doutorado Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. O desenvolvimento consistente do método convencional dos elementos de contorno (CBEM), com a adição de conceitos da versão simplificada do método híbrido dos elementos de contorno (HBEM), proveniente do potencial variacional de Hellinger-Reissner, conduz-se a um processo computacionalmente mais econômico, sem a necessidade de ter sua precisão numérica reduzida para problemas de grande escala, podendo ser bidimensional ou tridimensional, de potencial ou elasticidade. Conseguiu-se mostrar que as matrizes de potencial duplo e simples do CBEM, H e G, respectivamente, cuja avaliação numérica requer a manipulação de integrais singulares e impróprias, podem ser obtidas de maneira expedita, eliminando-se quase toda a integração numérica, com exceção de algumas integrais regulares. Uma importante característica da formulação proposta, que advém da base variacional do HBEM, é a facilidade da obtenção de resultados em pontos internos, de maneira direta e sem a utilização de qualquer integral de contorno, já que a solução fundamental é a própria solução do problema. O presente trabalho pertence a um projeto cujo resultado final deve ser um código computacional para problemas de grande escala (milhões de graus de liberdade). Nesta fase, alguns exemplos numéricos foram testados para avaliar a aplicabilidade do método expedito, o seu esforço computacional e a convergência do resultado para as variáveis envolvidas no método. Para isso, foram implementados algoritmos para problemas bidimensionais de potencial e elasticidade usando elementos lineares, quadráticos e cúbicos e tridimensionais usando elementos triangulares e quadrilaterais, lineares e quadráticos nos dois casos. Os códigos computacionais foram implementados focando na solução de problemas de grande escala. Espera-se que numa etapa final o projeto possa ser bem mais eficaz, com a incorporação de procedimentos do método fast multipole. Palavras chave Elementos híbridos de contorno; Métodos variacionais; Métodos numéricos; Elementos de contorno; Problemas de grande escala.

6 Abstract Aguilar Marón, Carlos A.; Dumont, Ney Augusto (advisor). An expedite implementation of the hybrid boundary element method for potential and elasticity problems. Rio de Janeiro, p. PhD Thesis Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The consistent development of the conventional boundary elements method (CBEM) by adding the concepts of the hybrid boundary element simplified method (HBEM), from the Hellinger-Reissner variational potential leads to a computationally less intensive procedure, although not necessarily less accurate for large scale, two-dimensional or three-dimensional problems of potential and elasticity. It was shown that both single-layer and double-layer potential matrices, G and H, respectively, are obtained in an expeditious way that vanish almost any numerical integration, except for a few regular integrals, even G and H evaluation requires the handling of singular and improper integrals. The proposed formulation comes from the HBEM variational base and its evaluation at internal points is straightforward without the application of any boundary integral, since the fundamental solution is the analytical one. This work belongs to a project that aims a computer code for large-scale problems (millions of degrees of freedom). At this stage, some numerical examples were analyzed to evaluate the applicability of the method expeditious its computational effort and convergence of the results for the variables involved in the method. It was developed by the algorithms implementation for potential and elasticity problems. In the case of two-dimensional were employed linear, quadratic and cubic elements and to the three-dimensional case were employed triangular, quadrilateral, linear and quadratic elements in both cases. The computational codes were always implemented focused on solving largescale problems. It is expected that in a final stage of the project with the incorporation procedure of the method fast multipole, it can be more efficiently. Keywords Hybrid boundary elements; Variational methods; Numerical methods; Boundary elements; Large-scale problems.

7 Sumário 1 Introdução Colocação do problema Objetivos Organização do texto 15 2 Considerações Teóricas Importantes Conceitos básicos da teoria de elasticidade linear Conceitos básicos da teoria de potencial em regime permanente Discretização dos deslocamentos, das tensões e das forças de superfície Aproximação da solução particular no contorno Solução Fundamental Métodos de elementos de contorno O Método convencional dos elementos de contorno O método híbrido dos elementos de contorno O Método Híbrido Simplificado dos Elementos de Contorno 35 4 O Método Expedito dos Elementos de Contorno Enunciados a partir do Princípio dos trabalhos virtuais Aproximação dos deslocamentos e das forças de superfície no contorno Expressões do Método Expedito dos Elementos de Contorno Solução da equação matricial do problema e avaliação de resultados em pontos internos 48 5 Aplicações Numéricas Estudos de convergência em problemas de potencial 2D Verificação da relação HD a U T P a em problemas de potencial 3D Problema de elasticidade 2D Convergência para problemas de potencial 2D com fonte interna e condição de contorno mista Convergência para problemas de elasticidade 2D com forças de massa e condição de contorno mista 70 6 Conclusões e sugestões de trabalhos futuros Conclusões Sugestões de trabalhos futuros 78 Referências Bibliográficas 79 A Potencial de Hellinger-Reissner 83 B Matriz L bl 86

8 Lista de figuras 2.1 Corpo elástico equilibrado submetido à ação de forças externas, b i e t i, e deslocamentos prescritos u i Corpo homogêneo submetido a ações de fontes externas de energia, Q e q n, e potencial prescrito u Estrutura formada por seis nós e três elementos quadráticos para ilustração na construção das matrizes Discretização do contorno com uma malha de 124 nós para o domínio irregular. Para o estudo de convergência foram utilizados elementos lineares, quadráticos e cúbicos. A, B e C são pontos fonte Avaliação da convergência da equação (5-2), para os campos potenciais da Tabela 5.2, com a finalidade de estabelecer um ponto de erro como referência de convergência Normas de erro das matrizes, aproximadas, H e U T L T de acordo com as equações equações (5-3) e (5-4), respectivamente, para elementos lineares, quadráticos e cúbicos Erros em escala logarítmica calculados com a norma euclidiana para testar a convergência dos métodos de elementos de contorno estudados. Resultados gerados por uma fonte potencial aplicada no ponto C da Figura 5.1. Esquerda: Piores resultados. Direita: Melhores Resultados Hexaedro distorcido (à esquerda) e corpo multiplamente conectado feito de um cubo (à direita) para um estudo de convergência com elementos quadrilaterais lineares norma de erro do sistema de matrizes da equação (4-24), que aproxima as matrizes H e U no método expedito dos elementos de contorno, para diferentes discretizações da malha e o campo potencial aplicado aos corpos representados na figura Discretização inicial do domínio irregular (62 nós) para o estudo de convergência e cálculo de tensões no domínio, utilizando elementos quadráticos. A e B são pontos fonte Comparação do vetor p, avaliada na equação (4-1) para forças nodais equivalente do contorno correspondente a um estado de tensão constante σ x, com seus valores correspondentes do vetor p Erros das tensões, avaliados no segmento de reta (40 nós) entre os nós de coordenadas (11,26) e (20,7), ver Figura 5.7, para uma força horizontal aplicada no ponto A Comparação das tensões ao longo do segmento de reta entre os nós 18 e 34 que coincidem com o contorno Γ, ver figura 5.7, para uma força vertical aplicada no nó A Normas de erro, Equação (5-8), da equação matricial do método expedito, Equação (4-24), para elementos lineares, quadráticos e cúbicos. Os campos analíticos usados nas comparações correspondem a uma força horizontal (gráfico à esquerda) e uma vertical (gráfico à direita) aplicadas no ponto B da Figura

9 5.12 Ilustração 3D da solução particular u p, gerado pela fonte interna da equação (5-9), que atua sobre o domínio irregular da figura Domínio irregular da Figura 5.7, submetido ao campo potencial dado pela equação (5-9) e ilustrado na Figura O contorno correspondente aos nós está: isolado q n = 0 com potencial prescrito u = 0 no resto do contorno (à esquerda), com potencial prescrito u = 0 e isolado q n = 0 no resto do contorno (à direita) Convergência dos potenciais u para diferentes malhas do domínio da Figura 5.13, grafico da esquerda. Usando elementos quadráticos Convergência dos gradientes q n para diferentes malhas do domínio da Figura 5.13, grafico da direita. Usando elementos quadráticos Malha inicial do domínio discretizado com 40 elementos quadráticos, utilizado para o cálculo de potencias e gradientes no contorno ao longo do segmento entre os nós 19 ao Convergência dos potenciais u para diferentes malhas do domínio da Figura 5.16, do segmento entre os nós Usando elementos quadráticos Convergência dos gradientes q n para diferentes malhas do domínio da Figura 5.16, do segmento entre os nós Usando elementos quadráticos Potenciais u para a malha 5 da Tabela 5.10 do domínio da Figura 5.16, à esquerda. Resultados dos gradientes q n no segmento entre os nós 19 25, à direita. Usando elementos quadráticos Domínio irregular da Figura 5.16, submetido a forças de massa dado pela equação (5-12). O contorno correspondente aos nós está: engastado u = 0 com forças de superfície prescrito t = 0 no resto do contorno (à esquerda), com forças de superfície prescritas t = 0 e engastado u = 0 no resto do contorno (à direita) Convergência das Forças de superfície t na direção x para as discretizações mostradas na Tabela 5.11 do domínio da Figura Resultados do segmento entre os nós Usando elementos quadráticos Convergência das Forças de superfície t na direção y para as discretizações mostradas na Tabela 5.11 do domínio da Figura Resultados do segmento entre os nós Usando elementos quadráticos Convergência dos deslocamentos u na direção x para as discretizações mostradas na Tabela 5.11 do domínio da Figura Resultados do segmento entre os nós Usando elementos quadráticos Convergência dos deslocamentos u na direção y para as discretizações mostradas na Tabela 5.11 do domínio da Figura Resultados do segmento entre os nós Usando elementos quadráticos Deslocamentos u na direção x e y para a malha 5 da Tabela 5.11 do domínio da Figura 5.16, à esquerda. Resultados das forças de superfície t na direção x e y segmento entre os nós 19 25, à direita. Usando elementos quadráticos. 75 A.1 Gráfico da energia interna de deformação. 84

10 Lista de tabelas 4.1 Número de incógnitas e de soluções disponíveis (deslocamento de corpo rígido ou solução simples) e tipo de avaliação de coeficientes indefinidas (exato ou mínimos quadrados m.q.) para cada fila da matriz, seja para problemas de potencial e elasticidade, 2D ou 3D Número total de nós utilizados nas diferentes malhas testadas para cada tipo de elemento (linear, quadrático ou cúbico) Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a convergência das equações matriciais do modelo numérico da Figura Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergência, correspondentes ao hexaedro distorcido (à esquerda da Figura 5.5) Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergência, correspondentes ao corpo multiplamente conectado (à direita da Figura 5.5) Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a convergência das equações do modelo numérico da Figura Coordenadas (x, y) dos nós localizados nos cantos do domínio irregular da Figura Discretização das malhas utilizadas para o cálculo da convergência das tensões em pontos internos para o domínio da Figura Discretização das 6 malhas utilizadas para o teste de convergencia do sistema de equações matriciais do método expedito dos elementos de contorno para a estrutura da Figura Discretização das malhas utilizadas para o cálculo da convergência do problema de potencial em regime permanente e contorno misto, com elementos quadráticos, para o domínio da Figura Discretização das malhas utilizadas para o cálculo da convergência do problema de potencial em regime permanente e contorno misto, com elementos quadráticos, para o domínio da Figura Malhas utilizadas para o cálculo da convergência do problema de elasticidade linear e contorno misto, com elementos quadráticos, para o domínio da Figura

11 A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original. Albert Einstein.

12 1 Introdução 1.1 Colocação do problema Muitos problemas da engenharia, ao serem formulados matematicamente, conduzem a ter que resolver equações diferenciais que envolvem uma ou mais funções incógnitas sob certas condições iniciais e de contorno. Com o advento da computação, diversos métodos numéricos têm sido desenvolvidos. Um poderoso método desenvolvido para resolver diversos problemas da engenharia é o chamado método dos elementos finitos. Esse método baseia-se em subdividir a geometria ou estrutura de um corpo em elementos menores, chamados elementos finitos (discretização em uma malha com nós). Desse modo, a geometria da estrutura torna-se mais simples, possibilitando resolver diversos problemas mediante cálculos numéricos aproximados. Entre os diferentes métodos de elementos finitos, destacamos o método formulado por Theodore H. H. Pian e Pin Tong [28], baseado em princípios variacionais. Uma outra técnica bem sucedida na solução das equações diferenciais é o método dos elementos de contorno [2, 3]. O método consiste essencialmente em discretizar o contorno (fronteira ou bordo) da estrutura, permitindo tratar com sucesso os mesmos problemas resolvidos pelo método dos elementos finitos. Convencionalmente, o método de elementos de contorno não possui uma base variacional. Pois, suas equações são deduzidas a partir de uma formulação em resíduos ponderados. Nesse sentido, em 1987, com o intuito de dar uma base variacional ao método dos elementos de contorno, N. Dumont formula o método híbrido dos elementos de contorno [7] inspirado particularmente nos trabalhos de Hellinger [24], Reissner [30] e Pian [29]. A partir desse trabalho, Dumont e colaboradores desenvolveram ferramentas matemáticas e generalizações que possibilitaram a resolução, com sucesso, de diversos problemas da engenharia. Destacam-se: a técnica de superposição modal avançada para problemas dependentes do tempo; o estudo de inversas generalizadas e diversas técnicas de integração numérica, entre outros.

13 Capítulo 1. Introdução 13 Em 1999, após diversos trabalhos que possibilitaram um adequado entendimento das propriedades espectrais das matrizes do método híbrido dos elementos de contorno, é proposta uma versão simplificada do método, chamada método híbrido simplificado dos elementos de contorno [5, 6]. A principal vantagem, dessa versão, é que os coeficientes da matriz U* de deslocamentos nodais (vide equação (3-47)) são calculados de forma direta, dispensando qualquer tipo de integração, o que faz sua implementação e seu esforço computacional simples e rápido. Além disso, não é menos preciso, resolvendo os mesmos problemas, que os métodos citados nos parágrafos anteriores. Paralelamente às pesquisas do método híbrido dos elementos de contorno e sua versão simplificada, um estudo das propriedades espectrais da matriz G (vide equação (3-24)), levou a uma formulação consistente do método, baseada na adequada consideração das constantes de corpo rígido associadas à solução fundamental [9, 13]. Esta abordagem consistente do método é importante para uma adequada compreensão e interpretação de algumas questões teóricas e conceituais que em geral são ignoradas pelo método convencional de elementos de contorno. Forma expedita do método híbrido dos elementos de contorno A contribuição do presente trabalho nasce nesse cenário. Como sendo, mais uma variação do método híbrido dos elementos de contorno. O método, basicamente, combina dois métodos de elementos de contorno: o desenvolvimento consistente do método convencional e os conceitos do método híbrido simplificado (com base variacional no potencial de Hellinger-Reissner). O método proposto é chamado método expedito dos elementos de contorno, cuja formulação é simples e computacionalmente menos dispendiosa. Diversos artigos, relacionados com a formulação e diversas aplicações do método, já foram publicados paralelamente ao desenvolvimento desta tese. Inicialmente por Dumont em 2010 [12] e posteriormente por N. Dumont e C. Aguilar em [18, 19, 20, 21, 22, 23]. No método expedito as matrizes H e G, obtidas pelo método convencional, são obtidas de modo simples e ágil eliminando-se quase toda a integração numérica (integração que faz-se necessária no método convencional). Embora, ambas as matrizes, H e G, sejam cheias, esquemas especiais de solução podem ser implementados para diminuir drasticamente a alocação de memória e o tempo computacional requerido em uma análise numérica, simplificando bastante o problema. A equação matricial do método convencional dos elementos de contorno (Hd = Gt sem considerar forças de massa), é substituída no

14 Capítulo 1. Introdução 14 método expedito, por qualquer uma das seguintes equações Hd = U T L T t ou Hd = U T p onde, H T T L é uma aproximação da matriz H. Em uma formulação de elasticidade, U e T são matrizes de deslocamentos nodais d e forças de superfície t da solução fundamental, respectivamente, obtidas para cada grau de liberdade do problema idealizado matematicamente. Da forma como a formulação é apresentada, sempre é possível usar o conceito de carregamento nodal equivalente p = L T t, onde L é uma matriz que depende apenas das funções de interpolação do contorno e pode ser avaliada de forma analítica. Uma característica importante da formulação proposta é a facilidade na obtenção de resultados em pontos internos. Em uma implementação computacional, para problemas mistos de condição de contorno, a equação anterior Hd = U T L T t (ou Hd = U T p) é substituída pelas equações H T p = p, U * p = d. A partir dessas equações, é possível montar um único sistema de equações lineares. A incógnita desse sistema é o vetor de parâmetros p *. Calculado este vetor p *, resultados em pontos internos são obtidos diretamente, sem a utilização de qualquer integral de contorno. A formulação expedita é especialmente vantajosa para problemas de topologia complicada ou que requeiram soluções fundamentais complicadas. Por exemplo: problemas de dinâmica (no domínio do tempo ou da frequência); problemas axissimétricos; problemas de mecânica da fratura; problemas com gradação funcional ou de elasticidade gradiente e outros. 1.2 Objetivos Os objetivos principais são: 1. Implementação de algoritmos computacionais para resolver problemas de elasticidade e potencial aplicando o método expedito de elementos de contorno. No desenvolvimento desses algoritmos, serão considerados: Domínios bidimensionais: discretização do contorno com elementos lineares, quadráticos e cúbicos. Domínio tridimensionais: discretização do contorno com elementos triangulares (T3 e T6) e elementos quadrilaterais (Q4 e Q8).

15 Capítulo 1. Introdução Testar os algoritmos implementados com a finalidade de avaliar a aplicabilidade do método, o esforço computacional, a convergência das variáveis envolvidas nas equações matriciais e a coerência dos resultados em diversos problemas da engenharia. 1.3 Organização do texto A tese está dividida em seis capítulos. O Capítulo 1 faz uma breve introdução e os objetivos da tese. No capítulo 2, apresenta-se algumas considerações teóricas necessárias na compreensão dos capítulos subsequentes. O capítulo 3, apresenta a formulação teórica dos métodos de elementos de contorno: a forma consistente do método convencional; a formulação híbrida e sua versão simplificada. O capítulo 4, apresenta o método expedito dos elementos de contorno que é uma das partes principais da tese. O capítulo 5, aplica o método expedito dos elementos de contorno em diversos problemas numéricos de elasticidade linear e potencial. Os resultados são comparados com soluções analíticas, caso existam, com o intuito de validá-los. Finalmente, no capítulo 6, são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

16 2 Considerações Teóricas Importantes 2.1 Conceitos básicos da teoria de elasticidade linear Seja um corpo elástico, com interior Ω e contorno Γ (figura 2.1), sujeito a pequenos deslocamentos. Os deslocamentos de um elemento infinitesimal dω desse corpo são descritos pela teoria da elasticidade segundo dois sistemas de coordenadas: Um sistema global ou externo, onde se tem deslocamentos absolutos u i, sobre os quais realizam trabalho duas forças externas: as forças de massa b i (que agem no domínio Ω) e as forças de superfície t i (que agem no contorno Γ). Um sistema local ou interno, onde se tem deformações ε ij (deslocamentos relativos), num elemento infinitesimal do domínio dω, gerados pelas tensões σ ij. Figura 2.1: Corpo elástico equilibrado submetido à ação de forças externas, b i deslocamentos prescritos u i. e t i, e Decompondo o contorno Γ em Γ σ e Γ u (isto é, Γ = Γ σ + Γ u ). Em Γ σ agem as forças prescritas t i e em Γ u os deslocamentos prescritos u i.

17 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 17 Formulamos o problema de elasticidade linear como segue. Seja um conjunto de forças externas prescritas aplicadas sobre o corpo elástico, descritas no sistema global pelas forças b i agindo em Ω e as forças t i agindo em Γ σ. Uma análise desse corpo consiste em determinar: os deslocamentos u i que ocorrem em Ω e Γ σ ; as reações de apoio t i que surgem em Γ u e as tensões σ ij em Ω provocados pela influência das solicitações externas. Para determinar os valores não prescritos é necessário estabelecer relações de transformação entre forças e deslocamentos, relacionados com os sistemas interno e externo. Essas relações de transformação são descritas como segue. As relações de equilíbrio de forças, que relacionam as forças descritas no sistema externo com as tensões do sistema interno, são dadas pela equação diferencial que governa o problema σ ji,j + b i = 0 em Ω (2-1) e a relação σ ji η j = t i em Γ. (2-2) Considerando as condições de contorno, temos a relação de equilíbrio das forças de superfície t i = t i em Γ σ, (2-3) onde η j são os cossenos diretores do vetor η normal ao contorno dγ. Os índices i e j, associados às direções das coordenadas do sistema, assumem valores 1, 2 e 3 para problemas tridimensionais. A propriedade de simetria do tensor de tensões, relacionado com o equilíbrio de momentos, é σ ij = σ ji em Ω. (2-4) As relações de compatibilidade entre as deformações no sistema interno e os deslocamentos no sistema externo, são chamadas relações de transformação cinemática. Para pequenos deslocamentos a relação é dada por ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) em Ω, (2-5) onde ε ij é o tensor de deformações e u i é o campo de deslocamentos. Além disso, levando em conta as condições de contorno, tem-se a relaçao de compatibilidade de deslocamentos

18 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 18 u i = u i em Γ u. (2-6) Finalmente, as relaçoes constitutivas que representam as relações que existem entre o tensor de tensões σ ij e o tensor de deformações ε ij em qualquer ponto do corpo elástico. Essas relações podem ser simples ou complexas, dependendo do material e às condições a que é submetido o corpo. Para um material linearmente elástico, isotrópico e homogêneo, a relação constitutiva é expressa por σ ij = D ijkl ε kl, (2-7) onde D ijkl é o tensor de constantes elásticas dado por D ijkl = 2Gv 1 2v δ ijδ kl + G(δ ik δ jl + δ il δ jk ) (2-8) sendo v o coeficiente de Poisson, G o coeficiente de elasticidade transversal ou de cisalhamento e δ ij é o delta de Kronecker definido por { 1 se i = j, δ ij = 0 se i j. (2-9) Considerando as equações (2-4) e (2-5), reescreve-se a equação (2-7) como σ ij = D ijkl u k,l. (2-10) Substituindo a equação (2-8) e considerando a condição de simetria da matriz constitutiva D ijkl, a equação (2-10) é expressa na como σ ij = G(u i,j + u j,i ) + 2Gv 1 2v u k,kδ ij. (2-11) Utilizando a equação (2-11), também é possível expressar a equação (2-1) em termos do campo de deslocamentos u i, resultando na equação de Navier Gu i,kk + G 1 2v u k,ki + b i = 0 em Ω. (2-12) 2.2 Conceitos básicos da teoria de potencial em regime permanente. Seja um corpo homogêneo qualquer, com interior Ω e contorno Γ (figura 2.2). Considere ainda a decomposição do contorno Γ em Γ q e Γ u. O corpo homogêneo é submetido a uma fonte interna de energia Q em seu domínio Ω

19 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 19 e a fontes prescritas de energia q n ao longo de Γ q. O potencial u é prescrito na parte do contorno complementar Γ u. Figura 2.2: Corpo homogêneo submetido a ações de fontes externas de energia, Q e q n, e potencial prescrito u. Geralmente, a taxa do fluxo q i na direção i, é relacionada com o gradiente de certo potencial u i. Essa relação é expressada como q i = k n u,i em Ω, (2-13) onde k n é a condutividade do material. A partir do equilíbrio entre a taxa gerada pela fonte Q por unidade de volume com a taxa de fluxo q i em estado permanente tem-se q i,i + Q = 0 em Ω. (2-14) Substituindo a equação (2-13) em (2-14), considerando o material sendo isotrópico, chega-se à equação diferencial que governa o problema de potencial k n u,ii Q = 0 em Ω. (2-15) A equação acima pode-se reescrever na forma da equação de Poisson u,ii Q k = 0 em Ω, (2-16) onde k n = k x = k y = k z. No caso de problemas de potencial sem fonte interna Q, a equação de governo se torna a equação de Laplace, ou seja, u,ii = 0 em Ω. (2-17)

20 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 20 No contorno Γ = Γ u + Γ q, o fluxo q n, normal à superfície, é expresso por q n = q i η i em Γ, (2-18) onde η j são os cossenos diretores do vetor η que é normal à superfície dγ. Além disso, considerando as condições de contorno, temos a relação de compatibilidade de potencial u = u em Γ u (2-19) e a relação de equilíbrio de fluxo normal q n = q n em Γ q. (2-20) 2.3 Discretização dos deslocamentos, das tensões e das forças de superfície Três campos independentes são necessários para o desenvolvimento do presente trabalho. O campo de deslocamentos no contorno u d i, o campo de tensões no domínio σ s ij e o campo das forças de superfície no contorno t t i Discretização dos deslocamentos no contorno O campo de deslocamentos u i ao longo do contorno Γ é, explicitamente, aproximado por u d i. Onde u d i indica a discretização do deslocamento u i no contorno, em termos das funções de interpolação polinomiais u im com suporte compacto e parâmetros de deslocamentos nodais d = [d m ] R nd, para n d graus de liberdade do modelo discretizado. Isto é, u d i = u im d m em Γ, (2-21) de tal forma que u d i = u i em Γ u. (2-22) Discretização das tensões no domínio O campo de tensões σ ij no domínio Ω, é aproximado por σ s ij. Onde σ s ij denota as tensões no domínio Ω como uma soma de uma solução fundamental σ ijm com suporte global, multiplicado pelos parâmetros de força p = [p m] R n,

21 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 21 aplicados nos mesmos pontos nodais m do contorno aos quais os deslocamentos nodais d m estão associados (n = n d ) e uma solução particular arbitraria σ p ij σ s ij = σ ij + σ p ij = σ ijmp m + σ p ij em Ω (2-23) de tal forma que a equação (2-1) reescrevesse como σ jim,j = 0 e σ p ji,j + b i = 0 em Ω. (2-24) A partir do campo de tensões σ s ij da equação (2-23), obtém-se deslocamentos onde u im u s i = u i + u r i + u p i = (u im + u r isc sm ) p m + u p i em Ω, (2-25) são os deslocamentos da solução fundamental correspondente a σ ijm e o deslocamento u p i é a parcela que corresponde à solução particular σ p ij. Deslocamentos de corpo rígido são incluídos em termos de funções ur is multiplicados por constantes (em princípio) arbitrárias C sm R nr n, onde n r é o número de deslocamentos de corpo rígido do problema discretizado. Os índices () e () r denotam, respectivamente, a solução fundamental e os deslocamentos de corpo rígido. As soluções fundamentais são utilizadas como funções de ponderação no método dos elementos de contorno convencional. Em métodos de elementos de contorno variacionais (caso do método híbrido dos elementos de contorno), em particular, representam funções de interpolação do domínio Discretização das forças de superfície no contorno O campo de forças de superfície t i ao longo do contorno Γ, é aproximado por t t i, onde () t esta associado às forças de superfície, como requerido no método dos elementos de contorno convencional e é dado por t t i = u il t l discretização convencional (2-26) No entanto, no método expedito dos elementos de contorno a discretização utilizada será uma versão proposta por Dumont [13], modificação que traz vantagens quando tratamos com contornos curvos e é dado por t t i = t il t l J (atl) u il t l discretização modificada. (2-27) J

22 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 22 Ao longo de Γ σ, de acordo com a equação (2-3), a equação mantém-se como t t i = t il t l. Na equação (2-27), u il denotam as funções de interpolação polinomiais com suporte compacto e t = [t l ] R nt são parâmetros de forças de superfície. O índice i refere-se às direções das coordenadas do sistema e o índice l a qualquer um dos n t graus de liberdade relacionados com as forças de superfície do problema (denotando tanto a localização e orientação) para nós adequadamente distribuídos ao longo do segmento de contorno Γ. As funções de interpolação u il têm as mesmas propriedades das funções de interpolação u im apresentadas na equação (2-21). Na equação (2-27), J (atl) é o valor do Jacobiano das coordenadas globais (x, y, z) em função das coordenadas naturais (ξ, η) nos pontos nodais l. A expressão J (atl) / J apresenta um termo no denominador que cancela-se com o termo Jacobiano do segmento de contorno infinitesimal dγ = J dξdη na expressão integral das equações (3-25), (3-26) e (4-5). Isto, não apenas melhora a capacidade de t t i para representar as forças de superfície ao longo de segmentos de contornos curvos, também simplifica a integração numérica dos termos relacionados [13]. O número de graus de liberdade para as forças de superfície n t e deslocamentos n d não são necessariamente os mesmos, desde que mais de um parâmetro de força de superfície seja associado com uma descontinuidade num nó do contorno, onde os segmentos adjacentes apresentam diferentes normais exteriores [13]. Como consequência temos que n t n d. É importante ressaltar que t l, na equação (2-27), tem atributos de forças de superfície nas extremidades do segmento de contorno. Enquanto u im, na equação (2-21), tem atributos de deslocamento em pontos nodais. 2.4 Aproximação da solução particular no contorno Dada uma malha, suficientemente refinada no contorno Γ, os deslocamentos u p i e as forças de superfície tp i relacionados com uma solução particular arbitraria da parcela não homogênea da equação (2-1) podem ser aproximadas com precisão suficiente por parâmetros de deslocamentos nodais d p = [d p m] R nd parâmetros de forças de superfície t p = [t p l ] Rnt, respectivamente, em termos das funções de interpolação das equações (2-21) e (2-27) da seguinte maneira u p i u imd p m, t p i = σp ij η j t il t p l em Γ, (2-28) e sempre que uma solução particular arbitrária para as forças de massa b i seja conhecida em termos de deslocamentos u p i e tensões σp ij. Esta aproximação pode

23 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 23 tornar as equações subsequentes em simples, elegantes e de fácil manipulação [10]. 2.5 Solução Fundamental. Consideramos como solução fundamental o campo de deslocamentos u i, calculado para cada direção coordenada i gerado pela ação de uma força concentrada arbitraria p m com um determinado grau de liberdade m do contorno discretizado (nó do contorno), obtidos a menos de constantes relacionadas com os movimentos de corpo rígido [10]. Essa solução fundamental é expressa por u i = u imp m + c r i (u im + u r isc sm ) p m em Ω, (2-29) onde c r i e C sm são, em princípio, constantes arbitrarias; u im funções de interpolação singulares e u r is funções de interpolação referentes ao deslocamento de corpo rígido. O procedimento para calcular as funções u im e u r is são apresentadas nas seções e Considerando a equação (2-10), as tensões σij associadas à solução fundamental em termos de deslocamentos u i são expressas por σij = σijmp m = D ijkl u km,lp m em Ω. (2-30) Na equação (2-2), as forças de superfície t i associadas à solução fundamental em termos de tensões σ ijm são t i = t imp m = σ ijmη j p m em Γ. (2-31) p m No método dos elementos de contorno convencional, a força concentrada é considerada com intensidade unitária e as constantes, referentes a deslocamento de corpo rígido c r i, não são consideradas. No método convencional dos elementos de contorno, a solução fundamental é utilizada como fator de ponderação e nos métodos híbridos dos elementos de contorno, como função de interpolação Funções de Interpolação Singulares. As funções de interpolação singulares u im são obtidas de modo que a solução fundamental u i satisfaça a parte homogênea da equação diferencial que governa o problema de um corpo submetido a uma força concentrada arbitraria p m [3, 2]. Da primeira equação de (2-24) obtemos

24 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 24 (σ jim,j + im )p m = 0 em Ω (2-32) onde im é a função singular delta de Dirac, definida por { se i = m (mesmo nó) im = 0 se i m. (2-33) A função im tem a seguinte propriedade im dω = δ im, (2-34) Ω onde δ im é o delta de Kronecker, isto é, { 1 se i = m, δ im = 0 se i m. (2-35) Na equação (2-32) observamos que para qualquer valor de p m, tem-se σ jim,j + im = 0. (2-36) Integrando no domínio Ω, obtemos σjim,jdω + δ im = 0. (2-37) Ω Aplicando o teorema da divergência e considerando a equação (2-31), após a integração para um contorno Γ que circunscreva o ponto de aplicação da força p m, tem-se Γ t imdγ + δ im = 0. (2-38) Expressões para as soluções fundamentais, em termos de deslocamentos, são obtidos partir da equação de Navier, equação (2-12). Para problemas tridimensionais de elasticidade linear, considerando material isotrópico e homogêneo, temos u im = 1 16π(1 ν)gr [(3 4ν)δ im + r,i r,m ]. (2-39) Para problemas em estado plano de deformações obtemos a conhecida função chamada, solução fundamental de Kelvin u im = 1 8π(1 ν)g [(3 4ν) ln(r)δ im + r,i r,m ], (2-40)

25 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 25 onde r i = x i x m i e r = (r i r i ) 1 2 (2-41) sendo r a distância entre o ponto de aplicação x m i da força concentrada p m (ponto fonte) e o ponto x i onde queremos medir o valor da função (ponto campo). O termo r,i denota a derivada de r na direção i. A expressão da solução fundamental em termos de tensões correspondente à função da equação (2-40) é dada por σ ijm = 1 4π(1 ν)r [(1 2ν)(r,iδ jm + r,j δ im + r,m δ ij ) + 2r i r j r m ]. (2-42) A expressão de p im correspondente à função do campo de tensões da equação (2-42) é [ p 1 im = (1 2ν)δ im + 2r,i r,m ] r ] 4π(1 ν)r η (1 2ν)(r,iη m + r,m η i ). (2-43) Para problemas de potencial tridimensionais, considerando material homogêneo e isotrópico em regime permanente, tem-se com fluxos u im = 1 4kπr q x = (2-44) x 4kπr 3, q y = x 4kπr 3 e q z = x 4kπr 3. (2-45) Para problemas de potencial bidimensionais, considerando material homogêneo e isotrópico em regime permanente, temos com fluxos u im = ln(r) 2kπ, (2-46) q x = x e q 2πr 2 y = y 2πr. (2-47) Funções de interpolação referentes aos deslocamentos de corpo rígido É conveniente considerar funções de interpolação normalizadas u r is de modo que, quando avaliadas no contorno Γ para cada grau de liberdade s, resultem em uma base ortonormal de deslocamentos de corpo rígido W ms W.

26 Capítulo 2. Considerações Teóricas Importantes 26 Supondo que essas funções normalizadas u r is u r possam ser obtidas a partir de funções arbitrarias de deslocamentos de corpo rígido ũ r is ũ r pela expressão u r is = ũ r int ns ou u = ũ r T. (2-48) Para cada grau de liberdade m do contorno chega-se a W r ms = Ũ r mnt ns ou W = Ũr T. (2-49) Pré-multiplicando por W T e sabendo que W T W = I, sendo I a matriz de identidade, chegamos a T = (W T Ũ r ) 1. (2-50) Conhecidas as funções arbitrárias ũ r is e a base ortonormal W mr, obtemos T ss e u r is. Para problemas de elasticidade, em estado plano de deformações, pode-se utilizar como funções arbitrárias de deslocamentos de corpo rígido [ ] ũ r is ũ r 1 0 x 2 = 0 1 x 1 e para problemas bidimensionais de potencial [ ũ r is ũ r = 1 (2-51) ]. (2-52)

27 3 Métodos de elementos de contorno Dos diversos métodos de elementos de contorno que vêm sendo utilizados com sucesso em diferentes aplicações numéricas, três são de nosso interesse. No decorrer do presente capítulo serão apresentados em forma breve a formulação e os principais conceitos de cada um desses métodos. O método convencional dos elementos de contorno. O método híbrido dos elementos de contorno. O método híbrido simplificado dos elementos de contorno. 3.1 O Método convencional dos elementos de contorno O método convencional dos elementos de contorno é obtido a partir de uma formulação em resíduos ponderados. Sempre que aplicável, é uma ferramenta simples e poderosa de análise numérica [1, 2, 3]. Em [9, 13, 26] se mostra uma formulação consistente do método, baseada em uma adequada consideração das constantes de corpo rígido associadas à solução fundamental em termos de deslocamentos Formulação consistente do método convencional dos elementos de contorno Assumimos que σ ij é um tensor simétrico que satisfaz a equação constitutiva σ ij = D ijkl u k,l, equação (2-10). O problema pode ser formulado, na sua forma forte, utilizando o princípio de energia potencial total estacionária [8], para uma variação δu i de u i, estendendo o contorno do segundo integrando de Γ σ para Γ, uma vez que, de acordo com a equação (2-3) e (2-6), δu i = 0 em Γ u δπ = (σ ji,j + b i )δu i dω + (σ ij η j t i )δu i dγ = 0. (3-1) Ω Γ Para uma formulação não-variacional em termos de resíduos ponderados, que é menos restritiva que a equação (3-1), recorre-se a um campo de soluções fundamentais. Isto é, tensões σij e deslocamentos u i do mesmo problema de

28 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 28 elasticidade, δσ ij = C ijkl δu k,l, que satisfaz a parte homogênea σ ji,j = 0 da equação (2-1), porém, não satisfaz as condições de contorno das equações (2-3) e (2-6): (σ ji,j + b i )δu i dω + (σ ij η j t i )δu i dγ = 0. (3-2) Ω Γ Integrando por partes. Aplicando o teorema de Green e a identidade σ ij δu i,j u k,l C ijkl δu i,j u k,l δσkl obtemos δσijη j u i dγ δσji,ju i dω = Γ Ω Γ t i δu i dγ + Ω b i δu i dω. (3-3) A formulação consistente, do método convencional dos elementos de contorno, obtém-se a partir da equação (3-3). As soluções fundamentais δσ ij e δu i são discretizadas adequadamente segundo as equações (2-30) e (2-29) em termos de parâmetros de forças arbitrarias δp m dados como δσ ij σ ijmδp m e (3-4) δu i = (u im + u r isc sm )δp m (3-5) onde u r is (para s = 1... n r ) são os n r deslocamentos de corpo rígido multiplicados pelas constantes arbitrárias C sm ; m indica a localização e direção da aplicação de parâmetros de forças arbitrárias δp m. Também, δσ ijm e δu im denotam funções, com suporte global, das coordenadas e direções de δp m designado por m (ponto origem), assim como das coordenadas e direções i (ponto campo), onde os efeitos de δp m são medidos. A robustez do método dos elementos de contorno resulta do fato de os parâmetros de forças arbitrárias δp m serem aplicados nos nós ao longo do contorno Γ, do lado de fora do domínio Ω, infinitamente fechado. Embora, δσ ijm e δu im tendam ao infinito (no ponto de aplicação de δp m) são analíticos em Ω. Por conveniência, as funções δσ ijm são normalizadas de modo que para um domínio Ω 0 que contém δp m com o contorno fechado Γ 0 temos σjim,jdω = Ω 0 σijmη j dγ δ im, Γ 0 (3-6) onde δ im é o delta de Kronecker generalizado (igual a 1, se i e m referem-se ao mesmo grau de liberdade, ou 0, caso contrário). De acordo com a definição associada à solução fundamental da equação (3-6), a integral de domínio do lado esquerdo da equação (3-3) é, na verdade, avaliada como Ω δσ ji,ju i dω = δ im u i δp m u m δp m.

29 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 29 Substituindo δσ ij e δu i na equação (3-3), de acordo com as suas expressões dadas nas equações (3-4) e (3-5). Obtém-se a expressão modificada da identidade de Somigliana ( ) u m = t i u imdγ σijmη j u i dγ+ b i u imdω+c sm t i u r isdγ + b i u r isdω. Γ Γ Ω Γ Ω (3-7) Essa identidade é utilizada para avaliar os deslocamentos u m (e consequentemente, as tensões) num ponto m do domínio Ω, sempre que, as forças de massa b i, forças de superfície t i sejam prescritas e deslocamentos no contorno u i sejam conhecidos. O termo entre parênteses desaparece quando as forças de superfície t i e as forças de massa b i estão em equilíbrio, o que não necessariamente é atingido quando se está lidando com aproximações. Observa-se também que, os resultados são, em princípio, influenciados pelas constantes arbitrárias C sm [1] Discretização numérica A equação (3-7) também é utilizada para avaliar os deslocamentos u i e as forças de superfície t i como incógnitas do problema ao longo das partes Γ σ e Γ u do contorno Γ, respectivamente. De fato, aproximam-se segundo as equações (2-21) e (2-27) ao longo do contorno Γ como u d i = u in d n e t t i = t il t l (3-8) onde d n, para n = 1... n d, é um vetor de n d deslocamentos nodais e u in são funções de interpolação com suporte local, geralmente polinômios escolhidos de tal maneira que, nos pontos nodais, u in δ in. Uma vez que o campo de forças de superfície t i tem atributos de superfície, os n t parâmetros t l os têm, mas dependem do vetor normal externo η i dos nós do contorno aos quais t l está fisicamente associado. Geralmente, n t > n d, devido a que o contorno Γ nem sempre é completamente contínuo e alguns nós podem ter duas normais. A geometria do contorno é aproximada a partir dos atributos nodais usando as mesmas funções de interpolação u in da equação (3-8) (representação isoparamétrica), exatamente como no método dos elementos finitos,. Substituindo as aproximações u d i e t t i na identidade de Somigliana, dada pela equação (3-7), e aplicando δp m em nós sucessivos do contorno de forma que δp md m tenha significado de trabalho virtual, chega-se à equação básica do método convencional dos elementos de contorno na sua forma consistente, que

30 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 30 considera o termo de erro relacionado com a constante C sm, ( ) σijmη j u in dγ + δ mn d n = Γ Escrevendo na forma matricial, temos ( ) t il u imdγ t l + Γ ( C sm t il u r isdγ + Γ Ω Ω b i u imdω + ) b i u r isdω. (3-9) Hd = Gt + b + ɛ, (3-10) onde H = [H mn ] R nd n d é uma matriz de transformação cinemática [8, 10], G = [G ml ] R nd n t é uma matriz do tipo flexibilidade (geralmente retangular) e b = [b m ] R nd é um vetor de deslocamentos nodais equivalente às forças de massa. As matrizes de potencial duplo e simples, H e G, compreendem em sua definição integrais singulares e impróprias, respectivamente, quando o ponto fonte (índice m) e o ponto campo (índice n ou l) referem-se aos mesmos pontos nodais. Então, cuidados especiais devem ser tomados nas integrações numéricas. As integrais singulares podem, sempre, ser avaliadas matematicamente, levando em conta os correspondentes significados mecânicos. O termo de erro ɛ na equação (3-10) corresponde a resíduos cujas magnitudes dependem dos deslocamentos de corpo rígido que estão implícitos na solução fundamental, da forma como a malha é refinada, ou seja, como exatamente as forças de superfície discretizadas estão em equilíbrio com as forças de massa aplicadas no domínio. Este vetor de resíduos é geralmente ignorado nas implementações mostradas na literatura [1, 3], ou às vezes utilizado como uma medida da convergência do modelo numérico. Um modelo numérico consistente deve considerar este termo explicitamente e ter uma formulação que seja independente de C sm, e não simplesmente ignorá-lo. Esta questão específica já foi assunto de uma investigação teórica em [9]. Também é importante a introdução de uma simplificação conveniente relacionada com a solução particular (termo b) da equação (3-10). Os principais resultados obtidos são resumidos a seguir. O vetor de resíduos ɛ da equação (3-10) pode ser escrito como ɛ = C T R T (t t p ) (3-11) onde R = [R ls ] R nt n d é definido como R ls = t il u r isdγ (3-12) Γ

31 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 31 e o produto R T t p vem da aproximação ( ) b i u r isdω = σ p ji η ju r isdγ t il u r isdγ t p l (3-13) Γ Γ Ω presente sempre que uma solução particular relacionada com as forças de massa estiver disponível. Do mesmo modo, o vetor b = [b m ] de deslocamentos nodais equivalentes, introduzido na equação (3-10), é aproximado do seguinte modo Ω b i u imdω = σ p ji η ju imdγ + σjimη j u p i dγ + δ imu p i Γ Γ b i G ml t p l + H mnd p n. (3-14) Considerando uma malha suficientemente refinada no contorno. Os deslocamentos u p i e as forças de superfície t p i = σ p ji η j, relacionados com uma solução particular arbitrária (parte não-homogênea) do problema governado pela equação (2-1), podem-se aproximar por deslocamentos nodais d p n e parâmetros de forças de superfície t p l, com precisão suficiente em termos das funções de interpolação da equação (2-28) u p i u ind p n e t p i = σp ji η j t il t p l em Γ (3-15) Seguidamente, usando as equações (3-11) e (3-14), reescrevendo, de forma conveniente, a expressão da equação (3-10) como H(d d p ) = ( G + C T R T) (t t p ). (3-16) Identifica-se na equação (3-11), com o apoio da álgebra linear [9], que as colunas da matriz R da equação (3-16) abrangem o espaço das forças de superfície (t t p ) que não podem ser transformadas em deslocamento (não estão em equilíbrio). Portanto, ( G + C T R T) R = 0 C T = GR ( R T R ) 1. (3-17) O que leva a uma equação de elementos de contorno consistente H(d d p ) = G a (t t p ), (3-18) onde G a GP R é a parte admissível de G e P R = I R R = I R ( R T R ) 1 R T (3-19)

32 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 32 é o projetor ortogonal para o espaço admissível das forças de superfície, que compreende a parte de forças de superfície que estão em equilíbrio e podem, portanto, ser transformadas em deslocamentos nodais equivalentes através da matriz de flexibilidade G a Avaliação espectral das matrizes envolvidas Seja W = [W ns ] R nd n r uma matriz cujas colunas formam uma base ortogonal de deslocamentos nodais d da equação (3-16), relacionados aos deslocamentos de corpo rígido, de tal forma que W T W = I. Então, os deslocamentos de corpo rígido u r is introduzidos na equação (3-5) podem ser normalizados de modo que os seus valores nodais coincidam com W ns pontos nodais. Após isso temos que u r is = u in W ns em Γ (3-20) nos Além disso, é aconselhável pensar o vetor de forças de superfície t expresso em termos de forças nodais equivalentes p = [p n ] R nd que surgem a partir de demonstrações do princípio dos trabalhos virtuais δd m p m = δd m u im t il dγ t l p m = L lm t l ou Γ p = L T t, (3-21) onde L T é uma matriz de transformação de equilíbrio, já que transforma forças de superfície em carregamento nodal equivalente. Com as definições de W e L T, dadas acima, verifica-se a equivalência R LW (3-22) para R, como definido na equação (3-12), o que significa que, para um domínio finito, W T (p p p ) = 0 R T (t t p ) = 0. (3-23) As relações anteriores ajudam a entender as propriedades espectrais das matrizes H e G a da equação (3-18). W = N(H) e G a R = 0 são verificações parciais da consistência. Definindo V como o espaço nulo de V = N(H T ), verificamos que V T G a 0 e não V T G a = 0, o que significa que a equação (3-18), não é completamente consistente. O que era esperado, já que a

33 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 33 equação (3-2) foi obtida de uma formulação em resíduos ponderados, que não é variacionalmente consistente, se for comparada com a equação (3-1) Formulação não consistente do método convencional dos elementos de contorno A versão inconsistente da equação (3-18) é a formulação do método convencional dos elementos de contorno, apresentada em [1, 2, 3] como H(d d p ) = G(t t p ) (3-24) pode-se obter diretamente considerando nulo o erro ɛ da equação (3-10) ou a matriz C T da equação (3-16). A definição formal das matrizes envolvidas, cuja avaliação conceitual é dada por Dumont [9,13], é H H mn = σjimη j u in dγ (3-25) Γ G G ml = t il u imdγ (3-26) Γ 3.2 O método híbrido dos elementos de contorno A formulação do método híbrido dos elementos de contorno, que tem uma base variacional, foi proposto em 1987 por Dumont [7], origina-se da variação do potencial de Hellinger-Reissner. O método baseia-se nas hipóteses de aproximações de tensões σ ij no domínio Ω e de deslocamentos u i no contorno Γ. Desde que foi proposto, mostrou-se como um método robusto na solução de diversos problemas da engenharia O potencial de Hellinger Reissner O potencial de Hellinger Reissner é obtido de uma generalização da expressão da energia potencial total de um corpo elástico sujeito a pequenos deslocamentos (maiores detalhes no Apêndice A). [ ] Π R (σ ij, u i )= U C 0 (σ ij ) + (σ ij,j + b i )u i dω σ ij η j u i dγ + t i u i dγ (3-27) Ω Γ Γ σ onde U C 0 (σ ij ) é a energia interna de deformação complementar. Observa-se na Figura A.1 que

34 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 34 U C 0 (σ ij ) = σ ij ε ij U 0 (ε ij ) (3-28) onde U 0 (ε ij ) é a energia interna de deformação Formulação do método híbrido dos elementos de contorno Considerando que a parte do contorno Γ u será levada em conta somente após a formulação matricial do problema, ou seja, Γ σ Γ e t i t i na equação (3-27), pode-se obter a forma estacionária do potencial: δπ R (σ ij, u i )= δu0 C (σ ij )dω + [(σ ij,j + b i )δu i + δσ ij,j u i ]dω + Ω Ω t i δu i dγ [δσ ij η j u i σ ij η j δu i ] dγ (3-29) Γ onde a variação da energia interna de deformação complementar δu C 0 (σ ij ), segundo a Figura A.1 do Apêndice A, é δu C 0 (σ s ij) = δσ s ijε ij = δσ s iju i,j. (3-30) Γ Substituindo na equação (3-29) a discretização das tensões σij s expressa na equação (2-23) de acordo com as tensões referentes à solução fundamental σij e t i, ou seja, equações (2-30) e (2-31), a discretização dos deslocamentos u d i de acordo com a equação (2-21) e considerando a equação (3-30), chega-se à expressão δπ R =δpm[ Fmn p n H mn (d n d b n) ] [ +δd m Hnm p n+(p m p b m) ] =0. (3-31) Para quaisquer valor de δp m e δd n, a equação (3-31) resulta no sistema de equações matriciais que governam o problema no método híbrido dos elementos de contorno, F p = H (d d p ) (3-32) H T p = (p p p ) (3-33) onde F F mn = t imu indγ + δ mn = σjimη j u indγ + δ mn (3-34) Γ H H mn = Γ Γ Γ t imu in dγ + δ mn = σjimη j u in dγ + δ mn (3-35)

35 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 35 F é a matriz de flexibilidade simétrica e H é uma matriz de transformação cinemática Matriz de rigidez Da equação (3-32) é obtida a expressão p que após ser substituída na equação (3-33), resulta em uma outra equação que é K (d d p ) = p p p (3-36) onde K = H T F ( 1) H (3-37) K é a matriz de rigidez simétrica que transforma deslocamentos em forças. Sendo a matriz de flexibilidade F singular, precisa-se utilizar para sua inversão a técnica de inversa generalizada, que considera uma base ortonormal V V mr do espaço das forças p do sistema interno F ( 1) = F + VV T. (3-38) 3.3 O Método Híbrido Simplificado dos Elementos de Contorno Como consequência das investigações das propriedades das equações matriciais do método híbrido dos elementos de contorno, foi proposto o método híbrido simplificado dos elementos de contorno em [5]. O método baseia-se nas mesmas hipóteses do método híbrido dos elementos de contorno (aproximações de tensões σ ij no domínio Ω e deslocamentos u i no contorno Γ) e na suposição de que a solução fundamental em termos de deslocamentos u i também é válida no contorno Γ Formulação do método Considerando que a parte do contorno Γ u será levada em conta somente após a formulação matricial do problema, ou seja, Γ σ Γ e t i t i, σ ij δε ij dω = b i u i dω + t i dγ. (3-39) Ω Ω Γ Substituindo δε ij = δu i,j (obtida considerando das equações (2-4) e (2-5)). Integrando por partes e aplicando o teorema da divergência resulta

36 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 36 Γ t s i δu i dγ Ω σij,jδu s i dω = Ω b i u i dω + Γ t i dγ. (3-40) Realizando a discretização dos integrandos pelas equações [3-12] e [3-13] no contorno e pelas equações [4-6] e [4-7] no domínio, considerando as equações [2-27] e [2-28], obtemos [( ) δd n t s i δu i dγ δ im u in p m ou Γ Γ t i u in dγ + Γ ] σ p ij η ju in dγ = 0 (3-41) δd n [H mn p m p n + p p n] = 0 (3-42) onde, para qualquer valor de δ n, resulta na equação matricial de equilíbrio H T p = (p p p ). (3-43) Observamos que a equação (2-25), onde o campo de deslocamentos u s i do corpo elástico é expresso a partir do campo de tensões σ s ij definido pelas equações (2-23) e (2-30), em principio válida para o domínio pode ser estendida para ser utilizada no contorno e reescrita em forma conveniente como u imp m + u r isc sm p m = u s i u p i em Γ. (3-44) Avaliando a equação (3-44) nos pontos nodais ao longo do contorno Γ e escolhendo um conjunto de funções de deslocamentos de corpo rígido u r is de forma que, quando medida nos pontos nodais do contorno, resulte na base ortonormal W, obtém-se a equação matricial U * p + WCp = d d p. (3-45) Pré-multiplicando a equação acima pelo projetor ortonormal aos deslocamentos de corpo rígido P W = I WW T, temos P WU * p = P W(d d p ), (3-46) já que P WW = 0. Esta equação de compatibilidade nodal de deslocamentos juntamente com a equação de equilíbrio nodal de forças dada pela equação (3-43), formam o sistema de equações matriciais do método híbrido simplificado dos elementos de contorno.

37 Capítulo 3. Métodos de elementos de contorno 37 U * p = (d d p ) H T p = (p p p ) (3-47) A matriz U * requer somente a avaliação da solução fundamental em termos de deslocamentos diretamente nos pontos nodais. A matriz H é a matriz de transformação cinemática já estudada nos métodos anteriores.

38 4 O Método Expedito dos Elementos de Contorno Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento da formulação do método expedito dos elementos de contorno. Apresenta-se os principais conceitos e definições para obter as equações matriciais de equilíbrio. A formulação apresentada é desenvolvida para problemas de elasticidade linear, caso mais geral. No entanto, pode-se migrar facilmente e aplicá-lo em problemas de potencial, desde que sejam bem entendidos os parâmetros de equivalência entre ambos tipos de problemas. Exemplos de aplicação serão apresentados no próximo capítulo. 4.1 Enunciados a partir do Princípio dos trabalhos virtuais Enunciados do princípio dos trabalhos virtuais são incondicionalmente necessários na justificativa do método expedito dos elementos de contorno [12, 19]. São teoremas que devem ser provados a partir de alguns axiomas mecânicos. Alguns deles já foram tratados de forma abrangente em estudos associados com o método híbrido dos elementos de contorno em [8, 10, 12, 13]. A definição 1 é importante para manter coerência total das equações e também facilita o entendimento. Alguns enunciados sobre o trabalho virtual são descritos a seguir. Definição 1 Seja n r o número de deslocamentos de corpo rígido independentes de um problema de elasticidade em geral. Em seguida, n r = 3 ou n r = 6 para problemas 2D ou 3D (e n r = 1 para problemas de potencial). Problemas que envolvem simetria apresentam diferentes valores de n r. Pode-se eventualmente ter n r = 0 como no caso de domínios infinitos. Os deslocamentos de corpo rígido W R nd são medidos através das colunas de uma matriz W R nd n r que é ortogonal por conveniência Enunciado associado com o deslocamento Partindo do potencial de Hellinger-Reissner [8, 15] chega-se à seguinte equação de equilíbrio

39 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 39 H mn p m = p n p p n ou H T p = p p p, (4-1) onde H = [H mn ] R nd n é a mesma matriz de potencial duplo do método dos elementos de contorno convencional [3], já introduzida em (3-24). Além disso, p = [p n ] R nd e p p = [p p n] R nd são definidas como p n = σ ji η j u in dγ, p p n = σ p ji η ju in dγ (4-2) Γ Γ onde, p n e p d n, são vetores de carregamento nodal equivalente correspondentes às forças de superfície aplicadas, conforme indicado na equação (2-2) e equação (2-24), no caso da solução particular, respectivamente Relações entre os campos aproximados fornecidos por d e t Pode ser conveniente expressar as forças de superfície aproximadas t t i da equação (2-27), em termos de carregamentos nodais equivalentes p m, a partir do princípio dos trabalhos virtuais δd m p m (t) = δd m u im t il dγt l (4-3) Γ p m (t) = L lm t l ou p(t) = L T t (4-4) onde as funções de interpolação das equações (2-21) e (2-27) foram usadas, definindo assim L = [L lm ] R nt n d = t il u im dγ. (4-5) Γ Como dado na equação (4-4), L T executa uma transformação de equilíbrio dos parâmetros de forças de superfície t para carregamentos nodais equivalentes p(t). A notação p(t) significa que as forças nodais equivalentes p são apresentadas como funções das forças de superfície t. Observe-se que, de acordo com Definição 1, W T (p(t) p p ) = W T L T (t t p ) = 0 para um problema formulado de forma consistente. Expressando as relações de contragradiencia p(t) = L T t d t (d) = Ld, (4-6) onde d t (d) são deslocamentos nodais equivalentes definidos de tal modo que δt T d t (d) tem o significado de trabalho virtual. Esta relação de contragradiencia

40 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 40 faz parte do método híbrido dos elementos de contorno de deslocamento, que pode ser derivado a partir do potencial Hu [10, 26] Relações entre os campos aproximados fornecidos por d e p Obtém-se a partir da equação (4-1), a relação de contragradiencia p(p ) = H T p d (d) = Hd (4-7) onde d (d) são deslocamentos nodais equivalentes definidos de tal modo que δp T d (d) tem o significado de trabalho virtual Subespaços de forças admissíveis para os campos de aproximações A matriz W de deslocamentos de corpo rígido nodais, foi introduzido na Definição 1, sendo que é também o sub-espaço das forças p desequilibradas. Como foi mostrado no parágrafo após a equação (4-5), as colunas de W T L T abrangem o subespaço das forças t desequilibradas [9]. Para um domínio finito, as colunas de W são os espaços nulos de H. Em seguida obtém-se dada a consistência da equação (4-1), que as forças equilibradas p devem ser ortogonais ao espaço nulo V de H T [8]. Estas conclusões são formalizadas no seguinte teorema. Teorema 1 As colunas das matrizes W,WL e V abrangem os subespaços de deslocamentos de corpo rígido dos campos aproximados, representados pelos parâmetros d,d t e d, respectivamente. Cada um dos vetores p, t e p, representam as forças nodais que estão em equilíbrio se e somente se W T p = 0, W T L T t = 0 e V T p = 0, respectivamente Aproximação da matriz de potencial duplo H A equação (2-25), em princípio, válida no domínio Ω, é aplicada aos nós do contorno Γ [10, 15]. Assim, u d i (da equação (2-21)) e u s i devem coincidir ao longo do contorno Γ, U p + WCp = (d d p ), (4-8) onde WCp representa uma quantidade de deslocamento de corpo rígido que não pode ser transformado entre os campos de aproximação cujos parâmetros são p e d. A equação acima é um enunciado muito simples, exceto que há uma

41 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 41 quantidade incorporada de deslocamento de corpo rígido e - o mais importante - que os termos de U = [Uns] R nd n d para m e n referentes ao mesmo nó, não podem ser avaliados diretamente. Afirmamos pelo Teorema 1 que, se o conjunto de parâmetros de força p na equação (4-8), corresponde às forças de equilíbrio, então V T p = 0 WCp = 0 [15] e o seguinte enunciado de contragradiencia U p = d(p ) U T p = d (p) desde que V T p = 0, W T p = 0 (4-9) Seguidamente, se utiliza a equação (4-4) para definir um conjunto de carregamentos nodais equivalentes p(t) e a equação (4-7) para definir um conjunto de deslocamentos nodais equivalentes d (d). Assim, o lado direito da equação acima torna-se U T L T t = Hd (4-10) Comparando esta equação com a equação (3-24), obtemos U T L T G (4-11) que pode-se obter formalmente no quadro de um teorema de energia [15, 16] Aproximação da matriz de potencial simples G A equação (4-8) foi obtida através da simples afirmação de que a equação (2-21) deve manter-se para os pontos nodais ao longo do contorno Γ (na verdade tem uma base variacional [8, 10, 15]). Uma afirmação semelhante pode ser feita para as forças de superfície ao longo do contorno Γ, T p = t(p ) (4-12) com a introdução da matriz T = [Tlm ] n Rnt das forças de superfície, obtida através da medição do efeito σijmη j em um nó do contorno e sua direção caracterizada por l causada por uma força unitária p m, de acordo com a equação (2-24). A aplicação de uma instrução de contragradiencia [16] leva a T p = t(p ) T T d t = d (d t ) (4-13) onde a parte de deslocamento de corpo rígido é excluída.

42 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 42 A expressão do lado direito equação da 4-13, pode ser escrita num formato amigável, para isso se recorre às expressões de d t e d nas equações (4-6) e (4-7) T T Ld = Hd (4-14) que envolvem apenas deslocamentos nodais d. Desde que HW = 0 para um domínio finito Ω, deslocamentos nodais equivalentes são automaticamente excluídos. Então, pode-se concluir que T T L H (4-15) desde que, as condições de T = Tlm para m e l referindo-se ao mesmo ponto nodal, sejam de alguma forma avaliadas e que pelo menos uma garanta que T T LW = 0 para um Ω finito. (4-16) 4.2 Aproximação dos deslocamentos e das forças de superfície no contorno No método expedito dos elementos de contorno, resultados de tensões σ s ij e deslocamentos u s i em pontos internos são dados diretamente pelas equações (2-23) e (2-25) em termos de parâmetros de forças p m avaliados após a solução da equação (3-24). Esta forma de representação de resultados no domínio Ω que contorna o uso computacional intensivo da identidade de Somigliana, no método convencional dos elementos de contorno, é próprio do método híbrido dos elementos de contorno [9, 10, 12, 15]. De acordo com isso, as equações (2-23) e (2-25) são aplicadas aos nós do contorno [10, 15] U p = d(p ), (4-17) T p = t(p ). (4-18) Na equação (4-17) são excluídas as partes de deslocamento de corpo rígido e forças desequilibradas. Na equação (4-18) é excluída a parte das forças desequilibradas que não podem tomar parte nas transformações lineares. A definição de deslocamento de corpo rígido é simples e intuitiva. A definição de forças desequilibradas não é intuitiva em termos de parâmetros de forças internas p. Entretanto, é simples por meio de álgebra linear. Nas equações acima o argumento (p ) indica que os atributos de deslocamentos nodal e

43 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 43 força de superfície são funções dos parâmetros de forças pontuais da solução fundamental. As duas últimas equações são obtidas de modo muito simples (não são incorporadas as partes de deslocamento de corpo rígido e as das forças desequilibradas que não podem ser transformadas). Além disso, os coeficientes da matriz de deslocamentos U = [Umn] R nd n d e da matriz de forças de superfície T = [Tlm ] n Rnt são indefinidos (e não infinitas) quando seus índices referem-se ao mesmo ponto nodal [16]. 4.3 Expressões do Método Expedito dos Elementos de Contorno A equação (3-24) escrita em forma matricial é repetida em notação indicial com a finalidade de clareza [ ] [ ] σijmη j u in dγ (d n d p n) = t il u imdγ (t l t p l ) (4-19) Γ Γ onde = significa congruência em termos de resíduos ponderados já que existe um erro de aproximação inerente [9, 13]. Utilizando as funções de interpolação do contorno das equações (2-21) e (2-27) nas soluções fundamentais próprias, a equação acima pode ser aproximada como [ ] [ ] Tlm t il u in dγ (d n d p n) Unm t il u in dγ (t l t p l ) (4-20) Γ Γ adequada. Esta é a primeira vista uma iniciativa ousada que exige uma justificativa A aproximação envolvendo U nm resulta do método híbrido dos elementos de contorno através da aplicação do principio dos trabalhos virtuais [10]. Uma questão importante a ter em conta, neste caso, é a avaliação adequada dos coeficientes quando m e n referem-se ao mesmo ponto nodal, questão que é abordada com mais detalhe na seção A aproximação envolvendo Tlm é mais difícil de justificar e é em princípio questionável, embora se possa usar o principio dos trabalhos virtuais e recorrer a [16, 19] para um melhor entendimento. É importante no desenvolvimento do método proposto admitir que a aproximação não pode ser aplicada diretamente numa integral de contorno onde existe uma singularidade forte, o que acontece quando m e n, equação (4-19), pertencem ao mesmo elemento de contorno. O raciocínio por trás disso é que não é possível aproximar forças de superfície σ ijmη j quando σ ijm no intervalo do contorno considerado, mesmo no caso em que o produto σ ijmη j u in

44 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 44 fosse finito. Uma forma consistente de lidar com esta questão é proposto na próxima seção. Usando as definições das matrizes Unm, Tlm e L lm nas equações (4-17), (4-18) e (4-5) e substituindo = por na equação (4-20), pode-se reescrever a equação matricial como T T L(d d p ) = U T L T (t t p ) (4-21) Observa-se que substituindo as aproximações das matrizes G e H, obtidas nas equações (4-11) e (4-15), respectivamente, na equação (3-24) do método convencional dos elementos de contorno, obtém-se a equação (4-21). Substituindo, na equação (4-21), a notação H T T L (4-22) com a finalidade de simplifica-la, obtemos finalmente a equação do método expedito dos elementos de contorno na sua forma matricial H(d d p ) = U T L T (t t p ) (4-23) A equação (4-23) é uma aproximação razoável da equação (3-24), do método convencional dos elementos de contorno, desde que os coeficientes indefinidos das matrizes U e T sejam resolvidos adequadamente. A equação (4-23) pode ser escrita de forma alternativa de acordo com a equação (4-4) em termos do vetor de carregamento nodal equivalente p como no método de elementos Finitos H(d d p ) = U T (p p p ) (4-24) o que representa uma vantagem operativa adicional do método proposto Avaliação dos coeficientes da matriz L bl A matriz L da equação (4-5), foi definida como L = [L lm ] R nt n d = t il u im dγ (4-25) Γ De acordo com a equação (2-27), o Jacobiano de dγ = J dξdη, também válido para problemas em três dimensões, cancela-se com o denominador de t il de tal modo que os coeficientes de L lm sejam números pré-definidos e independentes da geometria do problema. Uma característica importante da

45 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 45 matriz L lm é ser uma matriz em banda cujos coeficientes se referem apenas às funções de interpolação do contorno Γ, de suporte local, e podem ser avaliadas analiticamente e independentemente [13], o que mostra que a matriz L na verdade está formada por pequenos blocos de matrizes iguais L bl e não precisa ser montada numa implementação adequada. As matrizes L bl podem ser utilizadas como dados de entrada básicos numa implementação de código de programação computacional são previamente calculadas para cada tipo de elemento utilizado nas implementações bidimensionais ou tridimensionais (ver Apêndice B) Avaliação dos coeficientes indefinidos de H A matriz de forças de superfície T é retangular. No entanto, os coeficientes indefinidos da matriz quadrada H T T L na equação (4-23) são o tema atual de interesse. A matriz L, como definida na equação (4-5), tem o mesmo número de linhas e colunas que T, mas os coeficientes diferentes de zero da matriz L lm estão agrupados se o deslocamento nodal δd m e os atributos de forças de superfície t l referem-se ao mesmo segmento do contorno (elemento). Figura 4.1: Estrutura formada por seis nós e três elementos quadráticos para ilustração na construção das matrizes. A Figura (4.1) mostra um triângulo com seis nós para uma discretização em termos de três elementos quadráticos. Um ou dois graus de liberdade são associados por nó dependendo do tipo de problema (potencial ou elasticidade em duas dimensões). As duas matrizes correspondentes T e L necessárias para o calculo de H são dadas esquematicamente em forma de submatrizes a seguir

46 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 46 T = u u u u u u u u u (4-26) L = (4-27) em que os símbolos representam os coeficientes que são gerados diretamente nas matrizes e os símbolos u representam coeficientes indefinidos. Os coeficientes representados como são atualmente conhecidos, mas eles correspondem aos nós que estão adjacentes aos coeficientes indefinidas e, no produto H T T L, levam a resultados de coeficientes que envolvem uma indefinição, consequentemente correspondem ao caso em que a aproximação em termos de t il na equação (4-20) não se aplica. A solução para contornar a indefinição consiste em atribuir a estes coeficientes os valores correspondentes da matriz original H da equação (3-25) o que leva a H = u H 1,2 H 1,3 H 1,5 H 1,6 H 2,1 u H 2,3 H 3,1 H 3,2 u H 3,4 H 3,5 H 4,3 u H 4,5 H 5,1 H 5,3 H 5,4 u H 5,6 H 6,1 H 6,5 u (4-28)

47 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 47 Os coeficientes indicados com H são avaliados usando quadratura de Gauss-Legendre na integração desde que não haja singularidades envolvidas. A forma mais simples de se obter os coeficientes desconhecidos u é aplicando algumas propriedades de deslocamentos de corpo rígido, como as vezes é implementado no método convencional de elementos de contorno. O procedimento é resumida em [16, 19, 20]. Algoritmo para a avaliação dos coeficientes indefinidos de H T T L. 1. Se os índices (m, n) da matriz H referem-se a um segmento do contorno não adjacente a uma singularidade, então basta avaliar o coeficiente como o produto T T L. 2. Se os índices (m, n) referem-se a um nó, que fica adjacente a uma singularidade, então o coeficiente deve ser substituído com o valor correspondente de H, equação (3-25), que requer a avaliação de uma integral regular por quadratura de Gauss (u in = 0 no ponto de singularidade). 3. Se os índices (m, n) referem-se a um nó afetado diretamente por uma singularidade, basta avaliar os coeficientes forçando a matriz ser ortogonal ao deslocamento de corpo rígido (para domínios infinitos, usar o domínio complementar limitado. No caso de simetria, quando o número de deslocamentos de corpo rígido não é suficiente, adicionalmente aplicar uma solução analítica simples ao problema.) Para problemas de potencial, há apenas uma constante potencial e também apenas um valor desconhecido por nó, tanto para problemas 2D ou 3D, e uma avaliação exata dos coeficientes indefinidos sempre é possível. Para problemas de elasticidade em geral, existem três ou seis estados de tensão constante, para problemas 2D ou 3D, e duas ou três incógnitas, que devem ser avaliados utilizando a teoria de mínimos quadrados. Os problemas relacionados com a avaliação dos coeficientes indeterminados da matriz H estão resumidos na tabela Avaliação dos Coeficientes Indefinidos de U Uma vez que os coeficientes indefinidos de H são avaliados, podem ser utilizados na avaliação dos coeficientes indefinidos u da matriz U como ilustrado na equação (4-30) para o exemplo da Figura (4.1), aplicando um número necessário de soluções analíticas, (D a, T a ) ou (D a, P a ) e uma solução por mínimos quadrados

48 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 48 Problemas de Problemas de potencial elasticidade 2D 3D 2D 3D Incógnitas para H Deslocamentos de corpo rígido Tipo de solução exato exato m. q. m. q. Incógnitas para U Solução simples Tipo de solução m. q. m. q. m. q. m. q. Tabela 4.1: Número de incógnitas e de soluções disponíveis (deslocamento de corpo rígido ou solução simples) e tipo de avaliação de coeficientes indefinidas (exato ou mínimos quadrados m.q.) para cada fila da matriz, seja para problemas de potencial e elasticidade, 2D ou 3D. HD a U T L T T a = min ou HD a U T P a = min (4-29) Para problemas de potencial, o número de fluxos constantes é de dois ou três, para problemas 2D ou 3D, respectivamente, e há apenas uma incógnita por nó. U = u u u u u u (4-30) Para problemas de elasticidade gerais, existem três ou seis estados de tensão constante, para problemas 2D ou 3D, respectivamente, e duas ou três incógnitas. Então, uma avaliação, em termos de mínimos quadrados, dos coeficientes indefinidos, é sempre necessária. Este esquema de solução é semelhante ao adotado no método híbrido dos elementos de contorno na avaliação dos coeficientes indefinidos da matriz de flexibilidade F [6, 8, 16, 17, 26, 27]. Os problemas relacionados com a avaliação dos coeficientes indeterminados da matriz U estão resumidos na tabela Solução da equação matricial do problema e avaliação de resultados em pontos internos Dado um problema geral de contorno misto, as equações (4-23) ou (4-24) podem ser resolvidas para obter-se as incógnitas do problema e depois

49 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 49 os resultados em pontos internos podem ser obtidos usando a Identidade de Somigliana como é feito no método convencional dos elementos de contorno. No entanto, no quadro atual, os resultados podem ser obtidos diretamente utilizando o vetor de parâmetros de forças p, segundo as equações (2-23) e (2-25), o que dispensa as integrações adicionais. A avaliação do vetor p pode ser realizada através da resolução da equação (4-1) e a singularidade presente em termos de álgebra linear, não apresenta maiores dificuldades reais [6, 15, 16, 17, 26, 27]. Uma forma mais eficiente de tratar o problema colocado no parágrafo anterior consiste na avaliação de todas as incógnitas nodais - deslocamentos e forças nodais, além do parâmetro de forças nodais p - por resolução de um sistema de equações matriciais simples. A ideia básica é começar com as equações (4-17) e (4-1), aqui repetidas para maior clareza incluindo também os vetores da solução particular U p = d d p, HT p = p p p (4-31) A atribuição aos sub vetores d e p de subscritos D ou N é para caracterizar se as condições de contorno são do tipo Dirichlet ou Neumann, as equações acima podem ainda ser representadas como [ ] { } [ ] { } U N p d N d p N HT N = U D d D d p, D H T p p = N p p N p D D p p D (4-32) Em seguida, o sistema de equações pode ser resolvido em primeiro lugar para p, desde que o problema esteja bem colocado [ ] { } HT N p p = N p p N U D d D d p D (4-33) com uma posterior avaliação das forças de superfície e os parâmetros de deslocamento [ d N p D ] = { d p N p p D } + [ U N H T D ] p (4-34) As tensões e os deslocamento em qualquer ponto do domínio são obtidos em termos de p diretamente por meio das equações (2-23) e (2-25). O deslocamento de corpo rígido implícito na equação (2-25) é uma questão que pode ser tratada de forma direta, da mesma forma como é avaliado no âmbito do método híbrido dos elementos de contorno. É importante ressaltar que as características em questão de álgebra linear da equação (4-33) é

50 Capítulo 4. O Método Expedito dos Elementos de Contorno 50 fundamentalmente diferente do sistema de equações normalmente representado no método de elementos de contorno convencional [3].

51 5 Aplicações Numéricas Neste capítulo apresentam-se exemplos numéricos que permitem avaliar a eficiência da formulação do método expedito dos elementos de contorno. Diversas aplicações, para problemas de elastostática linear e problemas de potencial em regime permanente, são apresentadas. Soluções particulares arbitrárias da parte não homogênea, σ p ji,j + b i = 0 ou u p,ii + Q/k = 0, das equações diferenciais que governam os problemas, equações (2-1) e (2-16), resolvidas numericamente usando uma formulação com funções wavelet de Daubechies e interpolets de Deslauriers-Dubuc [4] são fornecidas para serem utilizados de forma conjunta com o método expedito dos elementos de contorno. Com o intuito de validar os resultados das soluções, estas são comparados com resultados de soluções analíticas quando esta existe. Todos os algoritmos foram gerados em código Fortran com precisão dupla (16 dígitos decimais). 5.1 Estudos de convergência em problemas de potencial 2D A Figura 5.1 mostra um domínio de forma irregular, discretizado com 124 nós, para a qual algumas das equações e conceitos expostos em capítulos anteriores serão avaliados numericamente. Como o objetivo, por enquanto, é avaliar a convergência das matrizes U T L T e T T L do método expedito dos elementos de contorno em comparação com as matrizes G e H, respectivamente, do método convencional dos elementos de contorno. Foi utilizado para o teste de convergência a equação de Laplace em duas dimensões 2 u = 0 (5-1) sem levar em conta as condiciones de contorno prescritas. A Figura 5.1 tem como coordenadas os pontos 1(0, 0), 17(10, 20), 33(20, 0), 61(15, 35), 77(0, 20), 93(17, 19), 101(16, 22), 109(21, 24) e 117(22, 20). Os quatro segmentos curvos do contorno têm raios de curvatura 20, 15, 4 e 4. O problema é modelado utilizando elementos lineares, quadráticos e cúbicos

52 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 52 como funções de interpolação, com malhas cada vez mais refinadas (ver a Tabela 5.1 para mais detalhes) C A B Figura 5.1: Discretização do contorno com uma malha de 124 nós para o domínio irregular. Para o estudo de convergência foram utilizados elementos lineares, quadráticos e cúbicos. A, B e C são pontos fonte. Tipo de elemento Número total de nós Linear Quadrático Cúbico Tabela 5.1: Número total de nós utilizados nas diferentes malhas testadas para cada tipo de elemento (linear, quadrático ou cúbico) Convergência do método convencional dos elementos de contorno A fim de estimar a maior precisão numérica que se possa esperar nos testes, avaliamos primeiro a convergência do método convencional dos elementos de contorno, equação (3-24), utilizando na interpolação dos gradientes de superfície a equação (2-27). Os resultados são expressos em termos da norma de erro ɛ (Hd Gt) = Hd Gt Hd (5-2) para o conjunto de soluções analíticas de contorno (d, t) correspondentes aos campos potenciais da Tabela 5.2. Os resultados de convergência obtidos utilizando elementos cúbicos são mostrados na Figura 5.2. Os resultados são quase indistinguíveis entre os diferentes campos potenciais, exceto quando campos lineares, S 1a ou S 1b, são aplicados. Isto acontece porque a norma de erro da equação (5-2) é igual a zero (sem erros de integração numérica), quando

53 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 53 se utiliza o método convencional dos elementos de contorno modificado em contornos curvos, o que não acontece no método convencional s LgA s LgB erro 10 4 s 4b s 4a s 3a s 2b s 3b s 2a 10 6 s 1b s 1a Número de pontos nodais Figura 5.2: Avaliação da convergência da equação (5-2), para os campos potenciais da Tabela 5.2, com a finalidade de estabelecer um ponto de erro como referência de convergência. A Figura 5.2 mostra o padrão de convergência esperado de um método numérico consistente, com normas de erro de ɛ 10 7, ponto no qual os erros de integração numérica tendem a prevalecer e a precisão dificilmente melhora, quando o refinamento da malha é aumentando. Nome Campo potencial S 1a x S 1b y S 2a xy S 2b x 2 y 2 S 3a x 3 3xy 2 S 3b y 3 3x 2 y S 4a x 4 + y 4 6x 2 y 2 S 4b x 3 y xy 3 S ln ln r 2π Tabela 5.2: Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a convergência das equações matriciais do modelo numérico da Figura Convergência das matrizes H e U T L T A Figura 5.3 mostra a representação da convergência dos erros em termos das normas euclidianas ( ) ɛ H = H H H e (5-3)

54 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 54 ) ɛ (U T L T = U T L T G G (5-4) obtidas com as matrizes aproximadas H e U T L T, do método expedito dos elementos de contorno, comparadas com as matrizes H e G, do método convencional dos elementos de contorno, como foi proposto na seção 4.3. Embora os coeficientes indefinidos de U sejam obtidos somente após a avaliação dos coeficientes de H, de acordo com a equação (4-29), resultam com melhores aproximações em todos os casos. Isto poderia ser explicado pelo fato de existir uma base variacional sólida na aproximação proposta em termos de U H l H q H c Erro 10 2 G l T T L H G c G q U T L T G Número de pontos nodais Figura 5.3: Normas de erro das matrizes, aproximadas, H e U T L T de acordo com as equações equações (5-3) e (5-4), respectivamente, para elementos lineares, quadráticos e cúbicos Convergência do sistema Hd = U T L T t Os gráficos da Figura 5.4 mostram as normas de erro calculadas utilizando a equação (5-2) geradas pela aplicação de uma fonte logarítmica ln r/2π no ponto C como mostrado na Figura 5.1. Os resultados com o rótulo Con correspondem ao método dos elementos de contorno convencional em que a função de interpolação das forças de superfície é um polinômio, os rotulados com Mod correspondem a uma modificação proposta na equação (2-27) que melhora ligeiramente os resultados, em geral em ambos casos os resultados entre eles são quase indistinguíveis [13, 19]. Os resultados com rotulo Exp correspondem ao método expedito dos elementos de contorno. A figura

55 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 55 mostra o padrão de convergência esperado de um método numérico formulado de forma consistente, com erros em ordem de ɛ Con l Mod l Erro 10 4 Con q Mod q Exp l Exp c Erro 10 4 Con q Conc Exp l Exp c 10 6 Exp q 10 6 Mod q Mod c Exp q Con c Mod c Número de pontos nodais 10 8 Con l Mod l Número de pontos nodais Figura 5.4: Erros em escala logarítmica calculados com a norma euclidiana para testar a convergência dos métodos de elementos de contorno estudados. Resultados gerados por uma fonte potencial aplicada no ponto C da Figura 5.1. Esquerda: Piores resultados. Direita: Melhores Resultados. No gráfico da esquerda Piores resultados os resultados do método expedito dos elementos de contorno são inicialmente comparáveis com os resultados do método convencional. No entanto, a taxa de convergência é menor para o Método expedito comparado com o método convencional. No gráfico da direita Melhores resultados os resultados do método convencional são melhores. No entanto, observa-se que o método expedito com uma maior discretização deve dar resultados próximos. Os resultados do método expedito são consistentemente mais precisos do que as implementações do método convencional usando elementos lineares, um padrão que é também observado em outros exemplos numéricos. Vale observar a partir dos valores dos erros nos gráficos das Figuras 5.3 e 5.4, que o método expedito conduz a matrizes que não são necessariamente aproximações das matrizes do método convencional, como em geral mostram os resultados numéricos. O mesmo padrão de resultados têm sido observado em outros exemplos numéricos [16]. 5.2 Verificação da relação HD a U T P a em problemas de potencial 3D Dois testes de convergência das matrizes aproximadas H e U T utilizando a relação HD a U T P a para problemas de potencial 3D em regime

56 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 56 permanente foram realizados. No estudo foi utilizado a equação de Laplace 2 u = 0 sem considerar as condições de contorno prescritas, já que a ideia é testar a convergência das matrizes envolvidas em campos potenciais obtidos de forma analítica. z z 4(5,0,10) 8(0,0,8) 3(5,6,10) 7(0,6.8,8) (3,0,3) (0,3,3) 2(10,0,0) A(13,8,3) 5(0,10,0) y y x 1(10,10,0) x (3,3,0) Figura 5.5: Hexaedro distorcido (à esquerda) e corpo multiplamente conectado feito de um cubo (à direita) para um estudo de convergência com elementos quadrilaterais lineares. Observa-se à esquerda da Figura 5.5 um corpo elástico com o domínio em forma de um hexaedro distorcido com coordenadas dos nós 1(10,10,0), 2(10,0,0), 3(5,6,10), 4(5,0,10), 5(0,10,0), 6(0,0,0), 7(0,6.8,8) e 8(0,0,8) e um ponto fonte em A(13,8,3). Os dados referentes ao refinamento da malha, graus de liberdade e número de elementos se encontram na Tabela 5.3 Malha Elementos Nós Tabela 5.3: Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergência, correspondentes ao hexaedro distorcido (à esquerda da Figura 5.5). e à direita, um outro corpo elástico com um domínio multiplamente conexo de 66 elementos, feito a partir de um cubo de 3 unidades de aresta. Os dados referentes ao refinamento da malha, graus de liberdade e número de elementos se encontram na Tabela 5.4.

57 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 57 Malha Elementos Nós Tabela 5.4: Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergência, correspondentes ao corpo multiplamente conectado (à direita da Figura 5.5). Os erros de discretização mostrados na Figura 5.6, dos corpos da Figura 5.5, são obtidos pela equação ɛ( HD a U T P a ) = HD a U T P a U T P a (5-5) em termos de norma euclidiana, para quatro soluções analíticas (D a, P a ) correspondentes aos campos potenciais mostrados na Tabela 5.5 Nome Campo potencial x y z S 1a S 1b S 1c 1 S ln 4πrk Tabela 5.5: Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a convergência das equações do modelo numérico da Figura 5.5. Os três primeiros campos potenciais da Tabela 5.5 nas direções x, y e z, são os potenciais utilizados na avaliação dos coeficientes da diagonal principal da matriz U, de acordo com a equação (4-29), em termos de mínimos quadrados. O ponto fonte A de coordenadas (13, 8, 3) onde é aplicado o último campo potencial é o mesmo para os dois corpos Erro Erro Número de pontos nodais Número de pontos nodais Figura 5.6: norma de erro do sistema de matrizes da equação (4-24), que aproxima as matrizes H e U no método expedito dos elementos de contorno, para diferentes discretizações da malha e o campo potencial aplicado aos corpos representados na figura 5.5.

58 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 58 Em ambos gráficos em escala logarítmica da Figura (5.6), observa-se uma convergência linear o que mostra que o método expedito com uma maior discretização deve os diminuirão ainda mais. As figuras mostram o padrão de convergência esperado de um método numérico formulado de forma consistente. 5.3 Problema de elasticidade 2D Observa-se na Figura 5.7 um domínio de forma irregular que apresenta um furo, discretizado no contorno com 62 nós, algumas das equações e conceitos expostos em capítulos anteriores serão numericamente avaliados em um problema de elasticidade sem a presença de forças de massa σ ji,j = 0 (5-6) em que o valor do coeficiente de Poisson utilizado é de v = (11,26) (20,7) 5 A B Figura 5.7: Discretização inicial do domínio irregular (62 nós) para o estudo de convergência e cálculo de tensões no domínio, utilizando elementos quadráticos. A e B são pontos fonte. A malha da Figura 5.7 é a discretização inicial, diferentes refinamentos da malha são usados para testar os desenvolvimentos. A estrutura tem como coordenadas nos seus nós os dados da Tabela 5.6. O domínio da estrutura apresenta um furo (entre os nós 47 e 62) que coloca dificuldades topológicas cuja solução pode não ser trivial. Os pontos A e B, indicados com coordenadas ( 5, 2) e (10, 2) são utilizados como pontos fontes.

59 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 59 Nó Coordenada 1 (0, 0) 9 (10, 20) 17 (20, 0) 31 (15, 35) 39 (0, 20) 47 (17, 19) 51 (16, 22) 55 (21, 24) 59 (22, 20) Tabela 5.6: Coordenadas (x, y) dos nós localizados nos cantos do domínio irregular da Figura Avaliação da consistência de p Neste análise, o corpo da Figura 5.7 é modelado com 31 elementos quadráticos isoparamétricos (ou seja 62 nós e 124 graus de liberdade). Um vetor de carregamentos nodais equivalentes p, correspondentes a um campo de tensões constante σ x = 2, aplicado no contorno da estrutura é gerado para a construção de um problema de contorno de Neumann (um campo de tensão constante é requisito para a avaliação dos coeficientes indefinidos de U ). Este vetor p pode-se determinar com a equação (4-1) ou em termos de forças de superfície t, segundo a equação (4-4), uma vez que as integrais são exatamente avaliadas quando a função t il da equação (2-27) é usada, mesmo ao longo de contornos curvos (que não é o caso de t il da forma como é avaliado numa formulação do método convencional dos elementos de contorno, onde o jacobiano de transformação de coordenadas é aproximado). Seguidamente, a equação (4-1) é resolvida para (a) p usando a matriz H de acordo com a definição na equação (3-25) e (b) p usando a versão expedita H, como definida na equação (4-22). Os coeficientes dos vetores p e p obtidos usando H e H, respectivamente, são apresentados na Figura 5.8. Observa-se que mesmo sendo a malha a mais grossa (a de menor discretização), os resultados são quase coincidentes visualmente. Embora os resultados mais precisos devam corresponder a p, p passa perto de zero nos graus de liberdade (pertencentes à cavidade) e também nos graus de liberdade 1 34 (pertencentes à concavidade). O aspecto de ambos gráficos é consistente como é mostrado no método híbrido dos elementos de contorno [15, 14], onde se indica que os parâmetros do campo de

60 Capítulo 5. Aplicações Numéricas usando usando Número de graus de liberdade Figura 5.8: Comparação do vetor p, avaliada na equação (4-1) para forças nodais equivalente do contorno correspondente a um estado de tensão constante σ x, com seus valores correspondentes do vetor p. exploração correspondentes às tensões constantes devem ser iguais a zero nas cavidades e nos interiores de concavidades agudas Tensões em pontos internos para condições de contorno de Neumann Neste estudo de convergência são avaliados resultados de tensões em 40 pontos internos equidistantes que se encontram sobre a linha que une os pontos de coordenadas (11, 26) e (20, 7) no domínio irregular da Figura 5.7. Na avaliação foram utilizados um conjunto de cinco malhas, ver Tabela 5.7, para simulações com elementos quadráticos. Malha n o de nós Graus de liberdade n o de elementos malha malha malha malha malha Tabela 5.7: Discretização das malhas utilizadas para o cálculo da convergência das tensões em pontos internos para o domínio da Figura 5.7. Forças nodais equivalentes p são avaliadas com a equação (4-4) a partir das forças de superfície t, medidas ao longo do contorno Γ da Figura 5.7 como resultado do campo de tensões gerado por uma força horizontal atuando no ponto fonte A. Após a solução do problema de contorno de Neumann avaliado com a matriz H e sua versão aproximada H, como procedeu-se na seção anterior, tensões em pontos internos são avaliados de acordo com a equação (2-23). Uma vez que, a solução fundamental de Kelvin fornece a solução analítica deste

61 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 61 problema. A norma de erro dos resultados numéricos podem ser avaliados de acordo com a equação ɛ (σ a σ n ) = σ a σ n σ a (5-7) que confronta os resultados numéricos das tensões σ n com os seus correspondentes resultados analíticos σ a. A Figura 5.9 apresenta a convergência do erro para σ xx, σ xy e σ yy obtidos em termos de H e de H. Observa-se na Figura 5.9 que a malha menos refinada é afetada pelo contorno. No entanto, a precisão melhora drasticamente com o maior refinamento da malha discretizada chegando até aproximações de ɛ Erros de integração numérica ocorrem principalmente por causa das singularidades perto dos elementos localizados nos cantos. As tensões foram avaliadas em pontos do domínio Ω que estão a uma distância razoável do contorno Γ de modo que não sejam afetados pelas singularidades da solução fundamental. No entanto, resultados em pontos próximos de nós do contorno Γ ou mesmo coincidentes com eles podem ser, em geral, razoavelmente aproximados recorrendo às propriedades espectrais da matriz H, [9, 15] ~ σ (H) xy ~ σ yy (H) σ xx (H) σ yy (H) σ xy (H) ~ σ xx (H) erro = kva v nk kv ak Número de nós no contorno Figura 5.9: Erros das tensões, avaliados no segmento de reta (40 nós) entre os nós de coordenadas (11,26) e (20,7), ver Figura 5.7, para uma força horizontal aplicada no ponto A. A Figura 5.10 apresenta resultados obtidos ao longo de 40 pontos nodais, distribuídos como na figura 5.7, os pontos das extremidades coincidem com os nós 18 e 34 do contorno Γ. As tensões foram avaliadas com uma malha discretizada com 124 elementos quadráticos (248 nós, 496 graus de liberdade) que correspondem a campos de tensões gerados por uma força vertical atuando no ponto fonte A. Observa-se que a diferença entre as tensões avaliadas com H

62 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 62 e H é visualmente indistinguível. Em pontos distantes do contorno a precisão é muito alta. No entanto, algumas oscilações são observadas em pontos próximos à extremidade esquerda (nó 18 na figura 5.7). 1 0 x 10 3 σ xx 2 Tensões 3 4 σ xy 5 6 σ usando H ~ σ usando H Solução Analítica Número de nós internos σ yy Figura 5.10: Comparação das tensões ao longo do segmento de reta entre os nós 18 e 34 que coincidem com o contorno Γ, ver figura 5.7, para uma força vertical aplicada no nó A Avaliação da convergência da equação Hd = U T p A convergência da equação (4-24) é testada para o campo de tensões correspondente às forças aplicadas no ponto fonte B da Figura 5.7. As normas de erro são calculadas com a equação ( ) ɛ Hd U T p = Hd U T p Hd (5-8) A Figura 5.11 mostra resultados correspondentes a duas forças aplicadas no ponto B uma horizontal (gráfico da esquerda) e uma vertical (gráfico da direita) para as 6 malhas refinadas segundo a Tabela 5.8 e discretizadas com elementos lineares, quadráticos e cúbicos. A norma de erro calculada com a equação (5-8) é para testar o vetor de carregamento nodal equivalente p avaliado partindo da expressão analítica das forças de superfície como mostrado na equação (4-2) e compara-lo com o carregamento nodal equivalente p obtido em termos de interpolação das forças de superfície como mostra a equação (4-4). Estas duas expressões alternativas são caracterizadas na Figura 5.11 com subíndices que se referem às malhas com as quais foram discretizadas, no caso () l para elementos lineares, () q para elementos quadráticos ou () c para elementos cúbicos.

63 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 63 Malha n o de nós Graus de liberdade malha malha malha malha malha malha Tabela 5.8: Discretização das 6 malhas utilizadas para o teste de convergencia do sistema de equações matriciais do método expedito dos elementos de contorno para a estrutura da Figura p~ l p l 10 3 p ~ l Erro 10 3 p ~ p q q Erro p~ p q q p l ~ p c p c p~ p c c Número de graus de liberdade Número de graus de liberdade Figura 5.11: Normas de erro, Equação (5-8), da equação matricial do método expedito, Equação (4-24), para elementos lineares, quadráticos e cúbicos. Os campos analíticos usados nas comparações correspondem a uma força horizontal (gráfico à esquerda) e uma vertical (gráfico à direita) aplicadas no ponto B da Figura 5.7. Observa-se na Figura 5.11 que os resultados dos vetores p e p podem ser considerados coincidentes, exceto no caso dos resultados avaliados com elementos lineares. No entanto, observa-se que as malhas com elementos quadráticos levam a resultados melhores que as malhas com elementos cúbicos. 5.4 Convergência para problemas de potencial 2D com fonte interna e condição de contorno mista Exemplo: Domínio irregular com 1 furo O problema de potencial em regime permanente, expresso pela equação (2-16), com uma fonte interna trigonométrica (Q) e constante de condutividade do material (k = 1), é modelado pela equação de Poisson 2 u = cos x 3 cos y 4 (5-9)

64 Capítulo 5. Aplicações Numéricas 64 as condições de contorno misto para o problema são u = 0 em Γ u e q n = u n = 0 em Γ q (5-10) O problema pode ser resolvido utilizando o método expedito dos elementos de contorno de duas maneiras, uma é utilizando a equação (4-24) de forma direta (da mesma forma como se trabalha no método de elementos de contorno convencional) e a outra que é própria do método híbrido, utilizando a equação (4-31), que precisa do cálculo prévio do vetor p com a vantagem posterior da facilidade no cálculo de resultados em pontos internos. O domínio de referência utilizado para a avaliação da convergência numérica é o da Figura 5.7 (domínio irregular com a presença de um furo e discretizado com 62 nós). O problema é resolvido aumentando o refinamento gradualmente para 7 malhas como mostra a Tabela 5.9 e discretizando o contorno com elementos quadráticos. Malha n o de nós Graus de liberdade n o de elementos malha malha malha malha malha malha malha Tabela 5.9: Discretização das malhas utilizadas para o cálculo da convergência do problema de potencial em regime permanente e contorno misto, com elementos quadráticos, para o domínio da Figura Para um adequado estudo de convergência temos a dificuldade de não contar com a existência de uma solução analítica com a qual se possa comparar os resultados, outra dificuldade é a presença de descontinuidades no contorno Γ, como mostra a Figura 5.13, o que faz o problema difícil de resolver. No entanto, é possível de realizar um estudo de convergência. Uma solução particular arbitraria da parcela não homogênea produzida pela fonte trigonométrica da equação (5-9), sem considerar as condições de contorno é necessário para a solução do problema. Essa solução pode ser calculada analiticamente u p = 72 [ ( x cos 25 3 y ( x + cos 4) 3 + y 4)] (5-11) e ser representada graficamente (ver a Figura 5.12), para o domínio irregular da Figura 5.7.

65 Capítulo 5. Aplicações Numéricas Figura 5.12: Ilustração 3D da solução particular u p, gerado pela fonte interna da equação (5-9), que atua sobre o domínio irregular da figura 5.7. Na Figura 5.13 (à esquerda), observa-se as condições de contorno prescritas do problema de acordo com a equação (5-10), em que o sub-contorno Γ q com gradiente q n igual a zero compreende o segmento entre os nós 31 ao 39. Enquanto que na parte complementar (contorno Γ u ) o potencial u é igual a zero Figura 5.13: Domínio irregular da Figura 5.7, submetido ao campo potencial dado pela equação (5-9) e ilustrado na Figura O contorno correspondente aos nós está: isolado q n = 0 com potencial prescrito u = 0 no resto do contorno (à esquerda), com potencial prescrito u = 0 e isolado q n = 0 no resto do contorno (à direita). Os resultados dos potenciais u ao longo do segmento de contorno Γ q da Figura 5.13 são apresentados na Figura 5.14, no eixo horizontal estão representados os nós 31 ao 39 que correspondem à discretização da malha 1 na Tabela 5.9, no caso dos resultados das outras malhas mais refinadas somente foram plotados os resultados coincidentes com os nós da malha 1, a linha continua corresponde aos resultados da malha mais fina (no caso 3968 nós). Observa-se que os resultados mostram uma adequada convergência, sendo quase coincidentes visualmente com a exceção da malha 1. A norma de erro da equação (5-7) é utilizada para o cálculo de convergência mostrada na Figura