E foi feito o fogo pelo homem e o mundo nunca mais foi o mesmo...

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1 E foi feito o fogo pelo homem e o mundo nunca mais foi o mesmo... A energia é um dos principais constituintes da sociedade moderna. Ela é necessá ria para se criar bens a partir dos recursos naturais e para fornecer muitos dos serviç os dos quais temos nos beneficiado. O desenvolvimento econô mico e os altos padrõ es de vida sã o processos complexos que compartilham um denominador comum: a disponibilidade de um abastecimento adequado e confiá vel de energia. A modernizaç ã o do Ocidente, passando de uma sociedade rural para outra, urbana e rica, foi possí vel pela utilizaç ã o de tecnologia moderna baseada em uma ampla sé rie de avanç os cientí ficos os quais foram energizados por combustí veis fó sseis. (Hinrichs & Kleinbach, 003, Energia e meio ambiente, editora Thompson, p. 1) Nã o podemos ver a energia, apenas seus efeitos (...) (Hinrichs & Kleinbach, 003, Energia e meio ambiente, editora Thompson, p. ) Energia: capacidade dos corpos para produzir um trabalho ou desenvolver uma força (enciclopédia Mirador). UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 18

2 Formas de manifestação da energia: Energia potencial: energia do sistema devida à sua posição no campo de gravidade. (enciclopédia Mirador) Energia cinética: Energia interna: Calor: "energia armazenada em um corpo ou sistema físico devido ao seu movimento, podendo ser definida pelo trabalho necessário para atingir o estado de repouso" (dicionário Houaiss) "quantidade de energia externa uma substância possui como resultante de seu movimento" (Daubert, 1985). energia total que uma substância possui como resultado da presença de moléculas e átomos e seus deslocamentos translacionais, rotacionais e de vibração, bem como de atrações e repulsões entre cada parte atômica da substância. (Daubert, 1985) "energia transferida entre dois corpos quando há uma diferença de temperatura" (Daubert, 1985). Calor não pode ser armazenado! Trabalho: é o esforço empregado para vencer uma força (enciclopédia Mirador). é o resultado de uma força atuando ao longo de uma distância.!"!"!"!"!" UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 19

3 Escrevendo a equação de BE... Acúmulo de energia no VC = entra de energia no VC sai de energia do VC + geração de energia no VC Vimos que para um VC não homogêneo qualquer equação de balanço correspondente a uma lei de conservação pode ser escrita como: t dv = nvda +Ψ M / O+ΨG!! ψρ ψρ " " VC SC Assim para obtermos a equação de BE basta substituir expressão acima, donde obtemos: E ψ = = E na m EρdV = EρnvdA + EM / O+ Eg t!! " " VC SC Como a energia é escalar, podemos escrever a equação de BE na abordagem de um VC homogêneo, ou seja: de = E" E" + E" i i g dt i E i S Resta agora analisarmos no que consiste a energia específica E ou a energia E acumulada no interior de VC, os termos de geração e os termos de entrada e saída que se dividem nos termos associados à existência de correntes materiais e advindos por exemplo, dos mecanismos de transporte. Questão 01: Como energia pode ser gerada no VC? Justifique. Questão 0: Em função da classificação de energia realizada à p. 19, como podemos escrever uma expressão para E e para E? Quais as unidades no SI? UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 130

4 Questão 03: Como você escreveria uma fórmula para descrever a entrada ou saída de energia cinética em um VC? E para a energia potencial? Questão 04: Como escrever os outros termos de entrada e saída de energia? Que tipos de trabalhos podem ser realizados sobre e pelo VC? UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 131

5 Sintetizando as informações... BE na visão de VC-H Na p. 130, escrevemos a equação de BE-macro para um VC-H como: de = E" E" + E" i i g dt i E i S Sumarizando a notação, denotando por saídas de energia: E" e E", respectivamente todas as entradas e e s de E E E dt = " " + " e s g Substituindo, os termos de energia conforme a discussão realizada às p , para uma corrente material de entrada e uma corrente material de saída: d ( Ec + Ep + U ) = ( Ec " + Ep " + U ") ( Ec " + Ep " + U ") + W + W + Q E e s / + " dt M f E S g sendo, W M, W f e Q E/S, respectivamente, o trabalho de máquinas de fluido ou realizados por forças externas, o trabalho de fluido e o resultante de todas as taxas de calor que entram e saem. Reagrupando os termos de energia térmica e mecânica e definindo () = entra - sai : d ( Ec + Ep + U ) = ( Ec + Ep ) + W + W + U + Q E / + dt " " " " (BE-U-VC-H) M f E S g Da termodinâmica define-se entalpia (H) como sendo H = U + PV, de modo que é possível demonstrar que: d ( Ec + Ep + U ) = ( Ec " + Ep " ) + W H Q E M + " + E/ S + " g (BE-H-VC-H) forma da dt equação de BE usada quando: Ec + Ep << U e Ec " + Ep " << H", ou seja, quando apenas se está interessado na descrição das energias térmicas. BE na visão de VC-NH Na p. 130, escrevemos a equação de BE-macro para um VC-NH como: EρdV = EρnvdA + EM / O+ Eg t!! " " VC SC UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 13

6 Substituindo, os termos de energia conforme a discussão realizada às p :!! vv E = U + + gz sendo, z a posição no campo de gravidade. E" = Q + W + W M / O E/ S f M Ou seja, v v!! U + + gz ρdv = U + + gz ρnvda + Q + W + W + E" t VC SC (BE-U-VC-NH) sendo, v = vv!!. Ou seja, a equação (BE-U-VC-NH) é idêntica à equação (BE-U-VC-H). d ( Ec + Ep + U ) = ( Ec + Ep ) + W + W + U + Q E / + dt M f E S g E/ S f M g " " " " (BE-U-VC-H) Resta agora definirmos o procedimento de cálculo dos termos de energia cinética, potencial, trabalho de fluido e energia interna/entalpia. Mas antes, iremos interpretar a equação de BE. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 133

7 Experiência: construindo uma turbina simples entendendo a lei de conservação de energia. Observação: em sala de aula no lugar do aquecimento da água no tubo de ensaio, o catavento será movimentado por um soprador (máquina de fluido usada para movimentar ar atmosférico). figura extraída de Hinrichs & Kleinbach (003, p. 11) Refletindo sobre os seus conceitos prévios: O catavento irá girar? Por quê? Relato das observações e discussão em aula foco: BE: Quais as energias térmicas e mecânicas envolvidas no experimento? Por quê o nome do experimento foi dado como construindo uma turbina simples. Interprete o experimento à luz do BE. (use o verso) UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 134

8 Equacionando as energias cinética e potencial: Energia potencial: para fluidos no interior do VC: (no SI: [E p ]=J) Ep = ρgzdv = γzdv VC VC para escoamento incompressível, isotérmico e sem alteração da composição do fluido: Ep = mgz sendo, z a altura do centro de massa em relação a um referencial. para fluidos atravessando o VC: (no SI: [E p ]=W)!! Ep = ρvngzda SC para escoamento incompressível, isotérmico e sem alteração da composição sobre a superfície de controle: Ep = mgz " sendo, z a altura do centro de massa em relação a um referencial. Energia cinética: para fluidos no interior do VC: (no SI: [E c ]=J) para fluidos atravessando o VC: (no SI: [E c ]=W) 1 Ec = ρ VC v dv 1!!!! Ec = ρvnvvda SC Para escrever a energia cinética para fluidos em escoamento interno em função da velocidade média de escoamento, nos casos em que n! // v!!!!!, nv = v e vv = v, é necessário introduzir um fator de correção como segue: 1 m" ρ A v Ec = ρv da= v = v α α SC 3 ST m m m Ou seja, 3 ρ ASTvm α = 3 v ρda SC UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 135

9 Assumindo densidade constante: Para escoamento laminar em tubos: 3 ASTvm α = 3 vda A 3 π Rvm α = 3 R r π vmax 1 rdr 0 R 3 Rvm α = R 3 r r r vmax R R R 3 vm α = = ( vm ) rdr Resumindo: equação final da energia cinética para escoamento em dutos na visão de VC homogêneo: mv Ec = " m α para escoamento em tubos em regime laminar: α = 0.5 para escoamento em tubos em regime turbulento: α 1 : (0.9 < α < 1) para a fórmula da velocidade da lei de potência de 1 7 α = Para baixos valores de Re α 0.88 Para altos valores de Re α 0.96 (Brodkey & Hershey, p. 9) UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 136

10 Cálculo do trabalho de fluido Ao escoamento de fluidos está associado um termo de trabalho devido à diferença de pressão no sentido do deslocamento do fluido. Da termodinâmica sabe-se que trabalho não pode ser armazenado como tal, mas é o resultado de um tipo de energia se convertendo em outra e pode ser equacionado para sólidos ou em uma visão de sistema como (Daubert, 1985): dw = Fds sendo, s o deslocamento. Para fluidos escoando e em uma visão de VC teremos: dw = Fdv Assim, para o caso de fluidos, em que existe uma pressão de compressão atuando na direção do deslocamento teremos: dwf = PAdv = PdV" (a dedução desta Mas da termodinâmica pode-se mostrar que em um sistema PdV = VdP relação para qualquer estado físico de agregação da matéria não é tão trivial. Para visualizar o significado desta relação, considere uma quantidade fixa de gás ideal com temperatura constante...). Assim, para os fluidos escoando teremos, PdV" = VdP ". Em termos de uma vazão mássica: 1 dw f = VdP " = m" dp ρ De forma que para um escoamento incompressível com vazão mássica constante, teremos: ( P) 1 m" P m" Pe s Wf = m" dp= = (TA-IC) ρ ρ ρ E para um escoamento compressível com uma vazão mássica constante: 1 Wf = m" dp ρ Se o comportamento do fluido puder ser descrito como o de um gás ideal: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 137

11 1 1 m" 1 m" Wf = m" dp = m" dp = dp = VdP = ρ MM # ρ MM # ρ MM m" = MM RT dp P Se o gás ideal sofrer uma transformação isotérmica (é o caso das aplicações que estudamos em FT-I) : W f m" RT mrt " P = dp ln e MM = P MM P s (TA-GI) Assim sendo, o BE-macro para um VC-H pode finalmente ser escrito no caso de 1 entrada e 1 saída como: dt α ρ d v v Pe dp m + mgz + mu = m" + mgz " + WM + m" + mu " + QE/ P S + E" g s dt α ρ (BE- E.C., 1E/S) d v v P m + mgz + mu = m" + mgz " + WM + m" + mu " + QE/ S + E" g (BE-E.I., 1E/S) Para múltiplas entradas e saídas, o cálculo do trabalho de fluido é um pouco mais complexo, de modo que temos: d v v v m + mgz+ mu = m" gz U m gz U W W Q E dt i E α " " α mi, mi, i i i i i i M f E/ S g i i S i Mas, em termos da entalpia temos: d v v v m + mgz+ mu = m" gz H m gz H W Q E dt i E α " " α mi, mi, i i i i i i M E/ S g i i S i Observação: A máquina de fluido pode retirar energia do fluido (turbinas) ou fornecer energia ao fluido (bombas, compressores, sopradores, ventiladores, agitadores,...). No primeiro caso, W M <0 e no segundo caso W M >0. Para a descrição do escoamento de um fluido, o que nos interessa são as energias mecânicas, contudo como as energias mecânicas têm usualmente uma ordem de grandeza numérica menor que as energias térmicas, o balanço de energia mecânica (BEM) não pode ser obtido do BE simplesmente omitindo-se os termos de energia térmica. Bird, R. B. em Chem. Eng. Sci., 6:13 (1957) mostrou que a equação de BQM pode ser combinada com a equação de BE, resultando na equação de BEM (gastou mais UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 138

12 de seis páginas para isso, uma idéia das deduções feitas por Bird pode ser encontrada na exposição de Brodkey & Hershey, p. 95 a 98). Vejamos qual a idéia da combinação das equações. Para tanto iremos considerar o caso de escoamentos em regime permanente, para os quais o BE-VC-H e o BQM-VC-H são escritos, por exemplo para uma entrada e uma saída, como: mv " m 0 = + Wf + U" + QE/ s + E" g + ( mgz " ) + WM (BE-S) α ( β ) ( ) " (BQM-S) 0 = mvm + PA Fat + G + FSM sendo, na equação acima G é o peso do fluido no interior do VC e F SM são as forças de superfícies móveis (por exemplo resultantes da movimentação de uma palheta de uma turbina, ou de um agitador ou de uma bomba,...). Salientamos que a equação de BQM é vetorial. Omitimos a notação vetorial por causa da forma com que as forças de pressão foram escritas. Cabe ressaltar que na direção horizontal G=0. Da física sabemos que a relação entre taxa de energia e força é dada por: dw = Fdv (CON-F-W) sendo, W a taxa de energia, F uma força ou a variação de quantidade de movimento e v a velocidade de escoamento. Assim, comparando as equações (BQM-S) e (BE-S) podemos perceber que: mv " m ( mv " mβ ) - consideremos o caso de vazão mássica constante (e.g. uma α entrada e uma saída) em que ainda se tenha um perfil uniforme de velocidades quando β = α = 1. A transformação do termo de variação de quantidade de movimento em variação de energia cinética pode ser obtida como: dec " = mvdv " Ec " = m" v ( PA) Wf - esta relação já foi deduzida quando descrevemos o cálculo do trabalho de fluido G = mg ( mgz " ) - esta relação pode ser obtida como: ( ) dw = mgdv = ρgahdv = ghdm" WG = mgz " (a passagem ao lado não é trivial, h é definida como a altura do VC) F SM W - esta transformação decorre diretamente da definição (CON-F-W) M Donde, decorre que: ( " " ) Fat W = U + E + Q < a g E/ S 0 UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 139

13 sendo, W a denominado trabalho de atrito, i.e., é a energia destruída pelo atrito. Ou seja, combinando as equações de BQM com a de BE é possível deduzir que: mv " m 0 = α ( mgz " ) W W W (BEM-e.e., 1E/S) f M a Para escoamento incompressível: mv " m mp " 0 = + ( mgz) + + WM W α ρ Para múltiplas entradas e saídas: " (BEM-e.e., 1E/S, E.I.) mv " mv " 0 = i E i m, i i m, i i i i i f M a αi i S αi a ( m" gz ) ( m" gz ) W W W (BEM-e.e.) Escrevendo a equação de (BEM-e.e., 1E/S) em termos de carga: Para tanto, basta dividir cada termo em (BEM-e.e., 1E/S) por mg " (Por quê?), de modo que: 1 vm 0 = + z+ H f + HM Ha g α (BEM- e.e, 1E/S carga) sendo, que na equação acima, definiu-se: Wa W W M f HA = ; HM = ; H f =. mg " mg " mg " Cada termo na equação (BEM- e.e, 1E/S carga) recebe um nome, a saber, carga cinética, carga potencial ou gravitacional, carga proveniente do trabalho de fluido, carga de máquina, perda de carga. Para escoamento incompressível: 1 vm P 0 = + z+ + HM H g α γ a (BEM- e.e, 1E/S carga, E.I.) Caso particular a equação de Bernoulli (século XVIII) fluido ideal, isotérmico e ausência de máquinas: vm P 0 = + z + (E.B.) g γ UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 140

14 Problema de reflexão: do senso comum, sabemos que quando uma superfície é atritada, há liberação de energia. Por exemplo, quando esfregamos nossas mãos, sentimos calor, quando ocorre passagem de corrente elétrica por um condutor elétrico, este é aquecido ou quando um avião decola, ocorre inicialmente aquecimento de sua superfície, o mesmo ocorre com as naves em órbita quando retornam à atmosfera terrestre. A análise combinada do (BEM) e do (BE) explicam estes fenômenos, como analisaremos em seguida. Assumindo regime permanente, e usando a notação de para a diferença entre os termos de entrada e saída de energia: BE: = Ec " + Ep " + U" + Q / + E" + W + W BEM: 0 = Ec " + Ep " Wa + Wf + WM 0 E S g f M Subtraindo (BEM) de (BE) temos que: U " + Q + E " + W = 0 U " + Q + E " < 0 E/ S g a E/ S g Para o escoamento adiabático (sem troca térmica com meio externo) de um fluido na ausência de geração de calor: U " < 0 T < 0 TS > T. Ou seja, ocorre E aquecimento do fluido, como mostraremos no exercício 1 à p. 14. O que ocorre é que este aquecimento normalmente não é significativo. Consideremos agora o escoamento de um fluido sobre uma superfície sólida (e.g. como no caso das aeronaves) na ausência de geração de calor, teremos que U" + Q E / S < 0. Ou seja, o aquecimento do fluido na camada limite resultará numa dissipação de calor que provocará o aquecimento da superfície sólida. Consideremos agora a passagem de corrente elétrica, para esta também teremos U" + Q E / S < 0, o que resultará num calor sendo adicionado para o condutor. Sob o ponto de vista do condutor, é como se a passagem de corrente elétrica gerasse calor... Observação: A energia consumida por uma bomba não consegue ser transferida integralmente para o fluido. O mesmo ocorre na situação inversa, a saber, a energia retirada do fluido por uma turbina não consegue ser convertida integralmente em energia elétrica, assim definem-se rendimentos de máquinas de fluidos como: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 141

15 !"máquinas que fornecem energia ao fluido: W M η B = (W el a energia Wel consumida pela máquina) Wel!"máquinas que retiram energia do fluido: η T (%) = 100% (W el a WM energia convertida pela máquina) Dada a semelhança das equações de BEM expressas como carga com a equação de Bernoulli, alguns autores chamam a equação de BEM de equação de Bernoulli estendida ou equação de Bernoulli modificada para fluidos reais. Cálculo de entalpia e de energia interna substâncias puras em uma fase um pouco de termodinâmica: U U U du = dt + dv = c dt + dv T V V v V T T sendo, c v a capacidade calorífica a volume constante, propriedade que pode ser obtida experimentalmente. H H H dh = dt + dp = c dt + dp T P P p P T T sendo, c p a capacidade calorífica a pressão constante, propriedade que pode ser obtida experimentalmente. A obtenção de c p é mais fácil que de c v. Simplificações - para sólidos e líquidos: du dh cpdt exercício 01: (adaptado do exemplo 7.1 de Brodkey & Hershey) Considere uma tubulação que descarrega água a uma vazão de 50 galões por minuto de uma tubulação de 1 de diâmetro interno para um grande tanque. Sabendo-se que o nível do tanque se situa a 5ft abaixo da saída da tubulação, calcule a elevação de temperatura sofrida pela água. Dado de calor específico a pressão constante da água: 4189 J/kgK. 1gal=3.785(l) Resp.: o F UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 14

16 leitura recomendada: Brodkey & Hershey: p Bird et al.: p , p White: p , p , 69-80, p Exemplos recomendados para leitura: Bird et al.: exemplo Brodkey & Hershey: exemplos 7.9 a 7.14 (p ) White: exemplos 3.16, 3.17, 3.18, 3.19, 3.0, 3.1, 3.3, 6.16 Exercícios recomendados da lista Exercícios do capítulo 3 de White: 3.17, 3.18, 3.130, 3.135, 3.137, 3.140, 3.146, 3.157, 3.164, 3.165, 3.167, Exercícios complementares: 31, 3, 33 exercício 01: efetue uma leitura da p. 11 de White e a partir da leitura efetuada discorra sobre quando é razoável se trabalhar com a equação de Bernoulli. exercício 0: efetue uma leitura da p. 16 de White. Na opinião de White, que perguntas se deve fazer para resolver um problema de escoamento? No que estas perguntas ajudam na resolução de problemas? UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 143