NOTAS DE AULA DO CURSO DE EE300

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1 NOTAS DE AULA DO CURSO DE EE300 Romis Ribeiro de Faissol Attux e Cristiano Cordeiro Cruz Campinas, segundo semestre de 005 1

2 Capítulo 1 Teoria da Relatividade 1.1 Cinemátia Clássia: a Transformação de Galileu Paulo estava no km 35 da rodovia às 1:45 de ontem. Carlos naseu em São Paulo no dia 30 de dezembro. Enontre-me no afé da esquina às 0 horas. Fazemos uso diariamente de expressões omo essas para araterizar determinados aonteimentos (o nasimento de Carlos, um enontro, et.). Usualmente, podemos situar perfeitamente um evento no espaço e no tempo indiando sua loalização e o instante de sua oorrênia. Em nosso universo, areditamos ser possível ara terizar qualquer evento através de três oordenadas espaiais (e.g. latitude, longitude e altitude) e uma temporal (o momento). Dotado de tais grandezas, um observador O pode registrar eventos em seu sistema de referênia, que denominaremos O(x,y,z,t). Em onsonânia om a nomenlatura tradiional, as oordenadas x, y e z dizem respeito ao espaço, enquanto a oordenada t expressa a dependênia temporal. Destarte, do ponto de vista de O, eventos são ompletamente araterizados por um onjunto de quatro números. Podemos então indagar: será o sistema que aabamos de onstruir o únio imaginável? A resposta deve ser negativa, omo, aliás, a nossa vivênia bem atesta: seria possível ver Carlos naser ao lado de sua mãe, na sala de parto, por uma janela, ao passar por um orredor ou deitado numa maa. Movidos pela uriosidade ientífia, indagamos: é viável estabeleer alguma relação entre todos esses sistemas de oordenadas? Tomemos dois sistemas, O(x,y,z,t) e O (x,y,z,t ). Para que expliitemos algum tipo de onexão entre eles, faz-se neessário onheer omo é o movimento relativo entre O e O. Caso o movimento seja uniforme, ou seja, O se mova om veloidade onstante em relação a O (o inverso também é válido), a Físia Clássia tem uma resposta muito intuitiva para nossos anseios. Tal resposta tem a forma da transformação de Galileu. Suponhamos que O se mova om veloidade u em relação a O, e que essa veloidade tenha a direção do eixo x. Consideremos ainda que os eixos x, y e z sejam paralelos a x, y e z, respetivamente, e que, no instante t = t = 0, as duas origens oinidam. Sob a égide de tais onsiderações, a transformação de Galileu pode ser expressa omo: x = x ut (1.1) y = y z = z t = t Note o leitor que a primeira expressão é estudada nos ursos de inemátia quando se lida om o movimento uniforme. As demais oordenadas espaiais não se alteram om a transformação, uma vez que a veloidade u tem a direção do eixo x. A oordenada temporal também não se altera, o que meree onsideração. Nesse fato, perebemos que a Físia Clássia suporta a idéia de tempo absoluto, ou seja, de que o movimento relativo não altera a relação entre intervalos temporais medidos em ada um dos refereniais.

3 Podemos utilizar (1.1) para obter uma relação entre as veloidades em ada referenial. Como t = t, podemos esrever: dt = dt (1.) Se difereniarmos as três primeiras equações de (1.1) om respeito ao tempo (não nos esqueçamos de (1.) ), hegaremos a: v x = v x u (1.3) v y = v y v z = v z A primeira equação de (1.3) é uma expressão da lássia lei da adição das veloidades. EXEMPLO 1.1 Um observador O está parado numa estação. Um trem proedente de uma idade distante passa por ele, e então O reonhee seu irmão, que está sentado numa poltrona do trem. No momento em que vê seu irmão, este último omeça a orrer no mesmo sentido do trem, rumo a uma porta, om uma veloidade de 6 m/s em relação ao vagão. O trem tem uma veloidade de 15 m/s em relação a O. Qual será a veloidade do irmão de O em relação à estação (e ao próprio O)? Suporemos que o trem se move na direção e no sentido do eixo x. Podemos tomar omo nossos refereniais O e o trem, que passa a ser, portanto, O. Sabemos que a veloidade relativa entre eles é de 15 m/s. Este é, então, o valor de u. Temos a veloidade do irmão om relação ao vagão, que é: v x = 6 m/s Conseqüentemente, podemos utilizar a primeira equação de (1.3) para obter o que desejamos, a veloidade do irmão em relação à estação, ou seja, v x : v x = v x + u = = 1 m/s Esse exemplo, que ondiz om a nossa experiênia otidiana (e om o hamado bom senso ) é típio da apliação da lei da adição das veloidades. 3

4 Figura 1.1: Ilustração do exemplo 1.1 A meânia newtoniana está em harmonia om a transformação de Galileu. De fato, as leis de Newton são invariantes om respeito a essa transformação, o que pode ser perebido se notarmos, por exemplo, que a aeleração em O e O é a mesma (o leitor pode verifiar tal fato se repetir o proedimento que nos permitiu obter a transformação de veloidades). O que isso quer dizer? Quer dizer que a forma dessas leis físias é idêntia em dois sistemas de referênia que estejam em movimento relativo uniforme. De fato, tal é justamente o prinípio da relatividade newtoniano: as leis da meânia são as mesmas para todos refereniais ineriais. Trata-se de uma lei muito interessante, pois, se as leis físias fossem diferentes para dois refereniais em movimento uniforme, poderíamos, eventualmente, elevar um deles à ategoria de referenial privilegiado, o que nos onduziria à idéia de movimento absoluto. No entanto, de aordo om o prinípio aima exposto, não há experiênia baseada na meânia tradiional que nos permita determinar se nos enontramos em movimento ou em repouso. Uma onseqüênia dessa assertiva é a onheida onstatação de que, idealmente, estar de olhos vendados num trem om veloidade uniforme em relação ao solo proporiona as mesmas sensações que estar de pé sobre o solo. Seria, no entanto, muito natural perguntar: todas as leis físias são invariantes om relação à transformação de Galileu? A resposta é não, e tal negativa nos onduzirá a um novo prinípio da relatividade, proposto por Einstein em Interlúdio: o Eletromagnetismo e a Transformação de Galileu James Clerk Maxwell tem seu nome assoiado a uma teoria físia de elegânia ativante: a teoria eletromagnétia. Seria indubitavelmente apropriado tomá-la omo obaia de nossa investigação sobre o problema de invariânia, que aabamos de disutir. Na verdade, omo já sabiam os físios no fim do séulo XIX, as leis do eletromagnetismo não são invariantes à transformação de Galileu. Essa transformação engendra formas distintas das equações de Maxwell para refereniais distintos, mesmo que eles estejam em movimento relativo uniforme. De aordo om o que disutimos na seção anterior, disso deorreria a onstatação da existênia de um referenial privilegiado, no qual as leis do eletromagnetismo teriam sua forma, digamos, mais simples [Ohanian, 1995]. Eis que fomos onduzidos a uma absolutização do movimento, a qual está intimamente ligada a uma 4

5 entidade que permeou o imaginário da maioria dos físios até o omeço do séulo XX: o éter. 1. O Éter e a Experiênia de Mihelson-Morley Ondas sonoras não se propagam no váuo!. Esta frase já foi proferida por muitos garotos (e rítios) após (ou durante) a exibição de filmes de fição ientífia. Não questionaremos esse fato...a Físia india, impassível, que o som preisa de um meio material para que possa se propagar. Quando Maxwell predisse a existênia de ondas eletromagnétias, existênia, aliás, suportada pelo trabalho experimental de Heinrih Hertz, era parte do senso omum que tais ondas também deveriam neessitar de um meio de propagação. A esse meio foi dado o nome de éter. Durante o séulo XIX, o éter povoou a mente dos físios om diversas onjeturas. Como seria o éter? Qual a sua omposição? Era intangível? Essas foram algumas das questões levantadas sem demora. No entanto, obter respostas onlusivas pareia uma tarefa nada trivial. Alguns atribuíam a tal meio, por exemplo, a idéia de repouso absoluto, o que nos faz pereber a assoiação direta entre o éter e o referenial privilegiado que disutimos na seção 1.1.1, no qual as leis do eletromagnetismo têm sua forma mais simples e a luz se propaga om veloidade. Em outros refereniais ineriais, a veloidade da luz seria obtida pela lei da adição das veloidades, o que não seria problema, pois, no mundo lássio, as equações de Maxwell não preisavam ser invariantes O Vento de Éter Num dia em que o ar se enontra em perfeita almaria, imagine que voê está na praia. Pense agora que voê omeça a orrer e sinta o vento toar sua fae omo se soprasse uma agradável brisa. Não se esqueça, no entanto, que o dia é de almaria; porém, o movimento através do ar ausou uma sensação equivalente a de um vento, o que não se afigura nada espantoso. Novamente, é uma questão de movimento relativo! Da mesma forma que o seu movimento na praia provoou o surgimento de um vento, o movimento da Terra pelo éter deveria ausar a existênia de um vento de éter, possivelmente detetável. Em tese, esse vento deveria alterar a veloidade da luz se o movimento de translação de nosso planeta se desse através de um éter estátio (omo muitos imaginavam). Pensemos um pouo sobre isso. Assumamos que o vetor v represente a veloidade do vento em relação a um laboratório loalizado em algum lugar da fae da Terra. Imaginemos agora que um raio de luz fosse disparado na mesma direção e sentido de v. Sob a ótia da Físia Clássia, a veloidade do raio, do ponto de vista de um ientista parado no laboratório, seria vlab: 5

6 Perebe-se que vlab = vlab = + v. Assim, o ientista mediria, para o raio, uma veloidade + v. Se o raio se movesse em sentido ontrário ao do vento, teríamos: sendo vlab = v. Neste aso, a veloidade medida seria menor. Se o raio se movesse em uma direção ortogonal à do vento, teríamos o seguinte enário: em que vlab = v. Esperava-se que a veloidade desse vento fosse igual à veloidade de translação da Terra em torno do Sol, que vale era de 30 km/s. Como v <<, exigia-se um aparato muito preiso para detetar qualquer efeito. Tal aparato foi onstruído no final do séulo XIX, omo veremos a seguir. 1.. As experiênias Albert Abraham Mihelson teve uma arreira marada por importantes ontribuições ao estudo da luz, as quais lhe renderam o Prêmio Nobel de Físia de 1907 (o primeiro onedido a um ientista estadunidense). Uma de suas espeialidades era medir a veloidade da luz, o que é de grande interesse prátio. No final do séulo XIX, ele se dediou à busa de evidênias experimentais da existênia do vento de éter. Para tanto, onebeu e onstruiu o hamado interferômetro de Mihelson ujo esquema simplifiado apresentamos na Fig. 1. [Ohanian, 1995, Krane, 1983]. 6

7 Figura 1. Esquema Simplifiado do Aparato Um feixe de luz monoromátia 0 atinge um espelho semi-transparente (EST). Como o próprio nome desse dispositivo india, uma parte do feixe atravessa o espelho e forma o feixe 1, enquanto a outra parte é refletida e forma o feixe. Os feixes 1 e são refletidos, respetivamente, pelos espelhos 1 e (E1 e E), e voltam ao EST. De lá, a luz deles proveniente é direionada para um detetor de franjas de interferênia D. Para melhor entendermos a razão de ser dessa refinada montagem, realizemos uma breve análise matemátia. Entre a ida e a volta de 1, transorre um tempo t 1, expresso por: t 1 L L L = + = (1.4) v v v Para obter t 1, usamos o raioínio desenvolvido na seção anterior. Para, temos, para ida e volta: t L L L( v) + L( + v) L = + = = (1.5) + v v v v A diferença os estes dois intervalos de tempo é: L 1 1 t = t t1 =. (1.6) v 1 v 1 Se o omprimento de onda da luz emitida é λ, t se reflete numa diferença de fase φ entre os feixes (quando eles atingem D) de: π φ = t (1.7) λ 7

8 Tal diferença de fase produz um padrão de interferênia passível de deteção, que é, por sua vez, a have para a determinação da veloidade v. Eis, em linhas gerais, o plano de Mihelson. Para sua grande surpresa, ele não detetou nenhum efeito onlusivo do vento de éter sobre a veloidade da luz. Isso o levou a uma nova empreitada, dessa vez em onjunto om o químio Edward Morley, e om um aparato ainda mais preiso. Porém, uma vez mais não foi detetada nenhuma orrente de éter, para espanto dos dois ientistas e de Rayleigh, Kelvin, Lorentz e outros [Pais, 1995]. Realmente, o resultado negativo punha em xeque a onepção orrente aera do eletromagnetismo, o que fez surgir um grande desonforto e algumas hipóteses interessantes. Mihelson e outros ontinuaram repetindo a experiênia por algumas déadas, sem obter, jamais, resultados onlusivos a favor da existênia do vento de éter. Aliás, um fato muito interessante oorreu em 191, quando Dayton Miller afirmou ter obtido um valor não-nulo para a veloidade da orrente de éter. O fato, desneessário dizer, ausou omoção, pois a relatividade já havia sido formulada (veremos a relevânia disto a seguir) e Einstein era uma figura muito popular. Quando soube dos resultados de Miller, o alemão proferiu uma frase élebre: O Senhor é sutil, mas não maliioso, pois tinha uma profunda onvição da inexistênia do éter e da orreção dos resultados de Mihelson e Morley [Pais, 1995]. 1.3 Os Postulados da Relatividade Um dos artigos publiados por Einstein em 1905 pode ser onsiderado a pedra angular da teoria da relatividade. Nesse trabalho, intitulado Da Eletrodinâmia dos Corpos em Movimento, enontramos os dois postulados fundamentais, que são os pilares de tal edifíio teório. Ambos são muito simples, e esperamos que sirvam para desmistifiar a tão falada omplexidade oneitual da relatividade: 1 Todas as leis da Físia são idêntias em todos refereniais ineriais. A veloidade da luz no váuo é a mesma em todos os refereniais ineriais. O primeiro postulado é o prinípio da relatividade levado às últimas onseqüênias: todas (os grifos são nossos) as leis da Físia são idêntias em todos refereniais ineriais. Não podemos ontar om os fenômenos eletromagnétios ou de qualquer outra natureza para nos dizer quem está, em termos absolutos, em movimento uniforme ou repouso. Tratase da prolamação de igualdade entre refereniais ineriais: não há privilégios de nenhuma espéie! Essa era uma rença profunda de Einstein, uma onvição que permeia toda a sua formulação teória. Ela deverá também estar em nossas mentes quando analisarmos a relatividade. O segundo postulado afirma que a veloidade da luz no váuo é a mesma em todos refereniais ineriais. Trata-se de uma ondição relevante, pois, se ela não fosse obedeida, o eletromagnetismo não se enaixaria no ontexto do primeiro postulado. Os dois postulados, portanto, estão interligados. A hipótese levantada aera da veloidade da luz, de aparênia inoente, ontém uma drástia negação da inemátia lássia. Um exemplo pode indiar a razão. 8

9 EXEMPLO 1. Suponha que um astronauta A está em repouso relativamente a uma estação espaial. Ele vê duas naves se aproximarem om veloidade 0.5, uma de ada lado, em rota de olisão. De repente, a nave que vem da esquerda (NE) dispara um faho de luz na direção da outra nave (ND) para avisar o piloto do riso iminente. Qual será a veloidade desse faho relativamente a ada nave e ao astronauta A? A lei da adição das veloidades fornee as seguintes respostas: V raione = pois o emissor está aoplado à nave, estando em repouso em relação a esta. Do ponto de vista do astronauta, a veloidade do faho será: V raioa = = 1.5 Do ponto de vista da outra nave, a veloidade será: V raiond = V NdrelativaNE + = + = Os resultados obtidos pareem bastante razoáveis. Porém, o segundo postulado afirma que, do ponto de vista de todos, a veloidade do raio será! Assim, teríamos: V raioa = V raione = V raiond = Isso já mostra que a transformação de Galileu foi irremediavelmente abandonada. Trata-se, ertamente, de um postulado espantoso a priori, pois a nossa intuição paree estar de aordo om a inemátia lássia. No entanto, nossa intuição foi formada a partir da observação de fenômenos que envolvem veloidades muito inferiores à da luz, o que impede a onfrontação entre as duas inemátias apenas pela vivênia otidiana. A relatividade, por si mesma, já foi exposta nesta seção. Passaremos agora à análise de algumas onlusões deorrentes dos dois postulados que aabamos de disutir. 9

10 1.4 A Dilatação do Tempo Uma onseqüênia muito importante dos dois postulados é a abolição da idéia de tempo absoluto. Como vimos na equação (1.1), a Cinemátia Clássia prega que a passagem do tempo se dá no mesmo ritmo em dois refereniais em movimento relativo uniforme. Veremos que, do ponto de vista relativístio, isso não é verdade. Um exemplo [Krane, 1983] pode nos ajudar a entender melhor o que oorre. EXEMPLO 1.3 Dois observadores, O e O, preseniam um mesmo fenômeno: o disparo, por O, de um faho de luz. Esse faho é refletido por um espelho, e volta ao anhão emissor. Estudaremos a oorrênia a partir dos pontos de vista de ambos os refereniais, os quais estão interligados pelo fato de que O se move om veloidade u em relação a O. A direção dessa veloidade é ortogonal àquela de propagação do raio. Vejamos, primeiramente, omo a oisa se dá na ótia de O. A Fig. 1.3 mostra um esquema. Figura 1.3 Ponto de Vista de O O intervalo de tempo deorrido entre a emissão e a volta é: L t = (1.8) Passemos agora ao ponto de vista de O. O esquema está na Fig

11 Figura 1.4 Ponto de Vista de O A distânia total perorrida pelo raio é, neste aso: u t' x' = L + (1.9) sendo t o tempo gasto entre a ida e a volta do raio. Como propõe o segundo postulado, a veloidade da luz, do ponto de vista de O, também deve ser. Assim, podemos esrever, a partir de (1.9): u t' L + x' = = (1.10) t' t' Reesrevendo (1.8), obtemos: t L = (1.11) Substituindo (1.11) em (1.10), hegamos a: t u t' + = (1.1) t' Após algumas manipulações, (1.1) nos leva a: t' = t (1.13) u 1 11

12 Essa é a expressão matemátia da dilatação do tempo um dos mais élebres efeitos relativístios. É possível mostrar que t t para u <, o que justifia o emprego do termo dilatação. A equação (1.13) é um símbolo de ruptura om o oneito lássio de tempo. Dois observadores em movimento relativo irão disordar quanto à medida do tempo de duração de um fenômeno qualquer. Do ponto de vista de O, os relógios de O serão mais lentos que os seus, e, do ponto de vista de O, os relógios de O é que serão mais lentos. E ambos terão razão, pois lidamos om o prinípio da relatividade. 1.5 A Contração do Comprimento Uma segunda onsequênia dos dois postulados é que as medidas de omprimento também são relativas. Isso signifia que, segundo a teoria da relatividade, dois observadores em movimento relativo uniforme poderão obter medidas disrepantes para um omprimento qualquer. O que isso quer dizer? Imagine que voê esteja num trem em movimento a segurar uma régua de 30m numa direção paralela à dos trilhos. Seu irmão, que o vê passar a partir de um bano da estação, obterá uma medida de omprimento para a régua menor que 30m. Da mesma forma, se o seu irmão estivesse segurando a régua, seria voê quem iria medir um omprimento menor para a régua. Vale frisar que a ontração se dá apenas na direção do movimento, ou seja, não há disrepânia no que se refere a medidas nas outras direções ortogonais. Um exemplo [Krane, 1983] similar ao da seção anterior pode nos ajudar a ver as oisas de forma mais lara. EXEMPLO 1.4 Novamente, dois observadores, O e O, estudam a emissão de um raio por O e sua posterior reflexão. O move-se om veloidade u em relação a O, agora numa direção paralela à do raio de luz. Analisemos, em primeiro lugar, o ponto de vista de O. A Fig. 1.5 traz um esquema da situação. 1

13 Podemos esrever: Figura 1.5 Ponto de Vista de O L = t (1.14) sendo t o intervalo de tempo deorrido entre a ida e a volta do raio. Passemos agora ao outro observador. Na Fig. 1.6, está representado o ponto de vista de O no instante do disparo. Figura 1.6 Ponto de Vista de O no Instante do Disparo Vejamos, primeiramente, o que oorre até a reflexão. A Fig. 1.7 ilustra a situação. 13

14 Figura 1.7 Esquema até a Reflexão A distânia perorrida pelo raio, x 1, é: x 1 = L u. t 1 (1.15) sendo t 1 o intervalo de tempo deorrido entre a emissão e a reflexão. De (1.15) obtemos: ' ' L t1 = (1.16) + u Passemos agora à investigação da volta do raio. A Fig. 1.8 traz um esquema. Figura 1.8 Esquema da Reflexão até a Volta Neste aso, a distânia perorrida pelo raio de luz, da reflexão até a volta, é: x = L + u. t (1.17) Manipulando (1.17), obtemos: 14

15 ' ' L t = (1.18) u Sendo t o tempo total do ponto de vista de O, podemos esrever: ' ' ' ' ' ' L L L t = t1 + t = + = (1.19) + u u Substituindo a fórmula da dilatação do tempo, (1.13), que relaiona t e t em (1.19), obtemos: u ' u L = L 1 (1.0) Da expressão (1.0) deorre que L L, para u <. Daí a denominação dada ao fenômeno: ontração do omprimento. Observando as equações (1.13) e (1.0), perebemos a existênia de um fator omum às duas. Tal fator, 1 γ = (1.1) u 1 reebe o nome de fator de Lorentz, em homenagem a Hendrik Lorentz, físio holandês que foi um dos preursores da relatividade. Aliás, a ontração do omprimento é também denominada ontração de Lorentz-FitzGerald em homenagem ao já menionado físio e ao físio irlandês George FitzGerald. O motivo da homenagem é que ambos hegaram a (1.0) antes de Einstein, embora numa perspetiva oneitual distinta. 1.6 O Efeito Doppler Quando passa por nós uma ambulânia om a sirene ligada, experimentamos sensações auditivas distintas durante sua aproximação e seu afastamento. Isso oorre graças a um efeito físio, o efeito Doppler, ujo nome é uma homenagem a Christian Doppler, ientista austríao que primeiro o desreveu. Analisemos o tratamento dado ao efeito Doppler no ontexto de ondas sonoras. Seja S uma fonte que emite uma onda sonora de frequênia f e O um observador que mede, para a mesma onda, uma frequênia f. A teoria lássia fornee as seguintes relações: f v + v v v ' o = f (1.) s 15

16 aso fonte e observador estejam se aproximando, e f ' v v v + v o = f (1.3) s aso fonte e observador estejam se afastando. v o e v s são as veloidades de fonte e observador em relação ao meio de propagação (e.g. o ar). v é a veloidade de propagação da onda no meio. Classiamente, quando se estudava o efeito em ondas luminosas, eram usadas as mesmas fórmulas, sendo modifiados apenas os valores das grandezas envolvidas. No entanto, do ponto de vista da relatividade, tal interâmbio não é satisfatório. Como vimos anteriormente, o éter não tinha nenhum papel no programa de Einstein. Assim, v o e v s seriam veloidades medidas em relação a que meio? Sem um meio, poderíamos nos sentir tentados a dizer em relação a um referenial privilegiado qualquer (e.g. o éter), talvez um em repouso om relação às estrelas fixas. Isso traria de volta a noção de movimento absoluto, que não ondiz om o espírito da teoria. É neessário obter uma fórmula que leve em onta apenas o movimento relativo entre fonte e observador. Que resposta têm os dois postulados? Através da transformação de Lorentz, que estudaremos no próximo apítulo, é possível mostrar que uma onda eletromagnétia de freqüênia f tem uma freqüênia u 1+ f ' = f (1.4) u 1 do ponto de vista de um observador que se aproxima da fonte de luz om veloidade u. Caso observador e fonte estejam se afastando, basta troar u por u na equação aima. A expressão (1.4) é perfeitamente ondizente om os dois postulados, om o espírito da relatividade. Vale menionar que Einstein obteve uma fórmula mais geral que (1.4), a qual previa um desvio Doppler mesmo se a direção de propagação da onda não fosse a mesma da veloidade u. Assim, a relatividade levou à desoberta do efeito Doppler transverso [Pais, 1995]. 1.7 A Transformação de Lorentz Conforme disutimos, a teoria da relatividade ontraria o espírito da transformação de Galileu. É, portanto, de apital importânia obter uma transformação que seja oerente om os dois postulados. Na realidade, quando Einstein esreveu o seu élebre primeiro artigo sobre a relatividade, essa transformação já havia sido obtida por mais de um ientista, embora em ontextos distintos [Pais, 1995]. Porém, no trabalho de 1905, Einstein hega à transformação a partir dos dois postulados, o que deu uma dimensão profundamente nova ao onjunto de equações que expomos agora: 16

17 x ut x' = u 1 y = y (1.5) z = z ux t t' = u 1 A obtenção de (1.5) parte de hipóteses similares às disutidas quando expusemos a transformação de Galileu (1.1), ou seja: que u é paralelo ao eixo x, que os eixos são paralelos entre si, e que as origens oinidem no instante iniial. Imediatamente, perebemos a presença do fator de Lorentz na primeira expressão e na última. É possível notar ainda que a oordenada temporal não mais é preservada, o que, tendo em vista os efeitos disutidos nas últimas seções, não hega a surpreender. No entanto, nota-se que t depende de t e de x, o que revela uma íntima onexão entre tempo e espaço. Hermann Minkowski explorou a fundo tal onexão e estabeleeu um formalismo matemátio baseado no oneito de espaço-tempo, que depois foi de grande valia para o próprio Einstein durante as suas pesquisas sobre relatividade geral. Por fim, frisamos que, onforme é esperado, as leis do eletromagnetismo são invariantes om relação à transformação de Lorentz, ao ontrário do que oorria om a transformação de Galileu. A partir de (1.5), e tendo em vista que dt dt, obtemos a transformação de veloidades: v ' x vx u = vx.u 1 v ' y u 1 = v y (1.6) vxu 1 v ' z = v z u 1 v xu 1 Conforme também era esperado, a lei lássia de adição de veloidades não é mais válida. Também hama a atenção o fato de as veloidades v y e v z dependerem de v x, o que não oorria no aso lássio. Matematiamente, isto deorre da expressão de dt. Intuitivamente, podemos pensar em todos estes fatores omo meanismos para 17

18 transformar veloidades no enário delineado pelos postulados, no qual a veloidade da luz é a mesma em todos os refereniais. 1.8 A Relatividade da Simultaneidade Temos, de fato, intuição da simultaneidade de dois eventos? Dois eventos simultâneos para um observador são simultâneos do ponto de vista de todos observadores? São perguntas de grande relevânia, que põem em xeque nosso senso omum. Podemos pensar: ora, se duas oisas aonteem ao mesmo tempo, não há o que disutir, elas serão simultâneas também para os demais observadores. Porém, a relatividade tem uma resposta diferente: a simultaneidade de dois eventos não é absoluta. Mais uma vez, lançaremos mão de um exemplo para eslareer essa disussão. EXEMPLO 1.6 Imagine que voê deseja sinronizar dois relógios, ou seja, fazer om que eles omeem a operar no mesmo instante. Para realizar tal tarefa, voê os oloa a uma mesma distânia de uma fonte luminosa. Assim, quando a fonte for ativada, a luz atingirá os relógios no mesmo momento e dará iníio ao trabalho de ambos. Suponha que um ientista O, que se move om veloidade u x em relação ao aparato, observe o mesmo fenômeno. A Fig traz um esquema da situação [Krane, 1983]. Do ponto de vista de O, temos: Figura 1.10 x x t 1 1 = 0 = L = t = L (1.7) 18

19 sendo x 1 a posição do primeiro relógio, x a posição do segundo, t 1 o instante de tempo em que o raio atinge o primeiro relógio e t o instante em que o raio atinge o segundo. O instante t = 0 é o momento em que a luz deixa a fonte. Para que onheçamos o ponto de vista de O, apliaremos a transformação de Lorentz: t ' 1 u.x1 L u.0 t1 L 1 = = = (1.8) u u u t ' Tais equações nos onduzem a: u.x L ul t = = (1.9) u u 1 1 ul ' ' ' t = t 1 t = 0 u 1 (1.30) Isso nos mostra que os dois eventos não serão simultâneos do ponto de vista de O. De fato, t < t 1, o que india que o relógio omeçará a funionar mais edo desse ponto de vista, não havendo, portanto, sinronismo. A negação da simultaneidade absoluta provoa também uma importante mudança de paradigma em relação à Físia Clássia. Podemos atribuir a validade de (1.30) ao termo espaial presente na transformação t (1.5), o que india que a relatividade da simultaneidade se liga intimamente à onepção de espaço-tempo. Convém frisar que dois eventos om a mesma posição são sempre simultâneos do ponto de vista de todos refereniais. Para onluir a seção, apresentamos um treho do livro O Valor da Ciênia, de Henri Poinaré [Poinaré, 1995], que belamente anteipou onepções relativístias sobre o tempo: Não temos intuição direta da simultaneidade, nem a da igualdade entre duas durações. Se remos ter esta intuição, é uma ilusão. 19

20 1.9 O Paradoxo dos Gêmeos Um dos mais élebres experimentos imaginários da Físia Moderna é o paradoxo dos gêmeos. Convém que analisemos brevemente tal onstrução mental. Dois gêmeos, João e Joana, estão sobre a Terra. João resolve partir, num foguete, para uma viagem. Ao hegar, viajando om uma veloidade próxima à da luz, a um ponto distante do espaço, ele resolve voltar. Retorna, então, a nosso planeta. Ao hegar, perebe om grande surpresa que sua irmã já é avó, enquanto ele ainda é um adolesente. De fato, à primeira vista isso não nos ausa surpresa, pois vimos que a passagem do tempo é relativa. Porém, onforme a relatividade india, não há refereniais ineriais privilegiados, o que leva à ontradição: omo um dos irmãos é mais velho? Ora, se João está em movimento om relação a Joana, Joana também está em movimento om respeito a João. Conseqüentemente, ambos deveriam ter o direito de se onsiderarem mais jovens e mais velhos: surge um paradoxo. A have para eliminar tal impasse é atentar para o fato de que apenas um dos gêmeos (João) sofre aeleração (para retornar), o que torna seu referenial difereniado. Isso gera uma assimetria que, de erta maneira, soluiona o paradoxo. Um experimento baseado no transporte de relógios de altíssima preisão (que fazem o papel dos gêmeos) em aviões levou a resultados favoráveis a essa interpretação (e, portanto, à relatividade) [Halliday e Resnik, 1994] Dinâmia Relativístia: Massa e Momento Linear Até agora, vínhamos estudando as onseqüênias dos dois postulados que se relaionam mais diretamente à inemátia. Entretanto, omo veremos, a proposta relativístia onduz também a mudanças profundas na onepção da dinâmia. Dentre os vários prinípios físios existentes, as leis de onservação oupam um lugar de destaque. É difíil imaginar um mundo no qual energia ou massa seja riada arbitrariamente, ou em que o momento linear de um onjunto de partíulas seja modifiado num sistema fehado. Considera-se, portanto, de grande interesse analisar tais prinípios à luz da relatividade. Uma primeira obaia pode ser a lei da onservação do momento linear. Essa lei, em termos simples, afirma que o momento linear total de um sistema no qual não há influênia de forças externas se onserva. Do ponto de vista do prinípio da relatividade, dado que essa lei se aplia a um sistema qualquer, é fundamental que ela ontinue sendo válida para todos observadores em movimento uniforme relativamente ao sistema em questão. A meânia lássia relaiona observadores em movimento uniforme através da transformação de Galileu, e propõe a seguinte expressão para o momento linear p de uma partíula: p = mv (1.31) sendo v a veloidade da partíula em um referenial O. Pode-se verifiar que a expressão (1.31) onduz à esperada onlusão de que, aso a onservação do momento valha para um observador O qualquer, ela valerá para todos demais observadores em movimento uniforme em relação a O, desde que a relação entre observadores seja a expressa pela transformação de Galileu. Em outras palavras, isso 0

21 signifia que o prinípio lássio da relatividade é válido para o paote equação (1.31)/transformação de Galileu. No entanto, sabemos que, do ponto de vista da relatividade, a transformação de Galileu não é adequada: é a transformação de Lorentz que define a relação entre observadores distintos de uma maneira oerente om os postulados fundamentais. Porém, será que essa transformação forma, em onjunto om a equação (1.31), um paote oerente om o prinípio da relatividade de Einstein? A equação (1.31), tão intimamente ligada ao enário lássio, mantém sua solidez no ontexto relativístio? Passemos à investigação. Seja a seguinte olisão, que é vista por um observador O da maneira exibida na Fig Duas partíulas, maradas antes da olisão om os rótulos 1 e, hoam-se e permaneem juntas em repouso. Suas massas são todas iguais a m [Krane, 1983]. Figura 1.11 Passemos a uma análise lássia desta olisão. Vejamos, em primeiro lugar, o ponto de vista de O. Calulemos o momento linear total antes da olisão: Agora, o momento linear total depois da olisão: p antes = (mv mv).a x = 0.a x (1.3) p depois = (m)0a x = 0.a x (1.33) Com isso, onluímos que o momento foi onservado, o que, aliás, não hega a surpreender. Tentemos agora analisar omo um observador O, om veloidade u (na 1

22 direção x) em relação a O, vê o fenômeno. Para que possamos obter as veloidades no novo referenial, utilizaremos a transformação de Galileu, expressa na equação (1.3). Calulemos o momento após a olisão: p antes = [m(v-u) + m(-v-u)]a x = (-mu)a x (1.34) p depois = (m)(0-u)a x = (-mu)a x (1.35) Vemos que o momento, mais uma vez, onservou-se. Não nos esqueçamos, entretanto, que nosso objetivo é busar um ponto de vista relativístio, o que nos proíbe o uso da lei lássia de adição de veloidades. Isso signifia que é preiso transformar as veloidades através das equações de Lorentz. Vejamos qual será o ponto de vista de O : p ' antes = v u v u m + m a x (1.36) vu vu 1 1+ p ' depois 0 v = m a x = mva x (1.37) 0v 1 Perebemos que o momento linear não se onserva. A onlusão é que a expressão lássia do momento é inapaz de engendrar um enário em que a lei de onservação seja válida para todos os refereniais ineriais. Para que nos mantenhamos fiéis às idéias mais esseniais do programa relativístio, faz-se neessário busar uma nova definição para o momento linear. O que seria razoável esperar, num primeiro momento, da expressão que busamos? Para veloidades muito menores que a da luz, é razoável alimentar a expetativa de que a fórmula relativístia forneça valores próximos aos obtidos através de sua ontraparte lássia. Em partiular, é líito imaginar que, para uma veloidade nula, o momento linear seja também nulo. A expressão apaz de atender a esses requisitos básios e, além disso, onservar o momento linear sob a égide da transformação de Lorentz, é: m 0 p = (1.38) v 1 sendo m 0 a massa da partíula medida por um observador em repouso relativamente a ela e v a veloidade da partíula do ponto de vista deste mesmo observador. Tal expressão é omumente reesrita omo: v

23 p = mv, om m m 0 = (1.39) v 1 sendo m entendida omo uma massa relativístia que aumenta om a veloidade v. Reomendamos, desde já, muito uidado om essa nova interpretação do oneito de massa. No aso, ela nos oferee uma ponte entre o novo mundo e a expressão lássia do momento. Não obstante, se fôssemos apliá-la sem maiores onsiderações, por exemplo, à lei de Newton F = ma, hegaríamos a um resultado inoerente. O mesmo oorreria se a usássemos na fórmula lássia da energia inétia. Entretanto, uma vez que esteja o leitor iente dessas armadilhas, torna-se altamente desejável que reflita sobre a relatividade de uma grandeza tão fundamental. Havendo, pois, definido o momento linear no ontexto da nova dinâmia, estamos prontos para a onquista de novas fronteiras. Podemos, por exemplo, indagar: qual é a expressão relativístia da força? Embora estejamos aostumados a pensar na fórmula F = ma, a expressão mais geral é F = dp/dt, (1.40) ou seja, a força é a variação temporal do momento linear. Tal expressão ontinua válida no ontexto relativístio, desde que usemos a expressão (1.38), que não levará a F = ma. 1.1 Dinâmia Relativístia: Energia Cinétia Definidos momento e força, tratemos de onsiderar a noção de energia inétia. Suponhamos que uma partíula seja aelerada, na direção x, a partir do repouso, até uma veloidade v. Podemos, omo na físia lássia, fazer uso do fato de que o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia inétia da partíula, ou seja: τ = E = E final - E iniial (1.41) sendo τ o trabalho e E a energia inétia. No ontexto por nós delimitado, a definição lássia do trabalho fornee: xfinal τ = F.dx (1.4) xiniial Podemos esrever, partir de (1.40), que: dp F = (1.43) dt sendo p definido omo em (1.38). Dispensamos as notações vetoriais por estarmos lidando apenas om a direção x. Substituindo (1.43) em (1.4), obtemos: 3

24 xfinal xfinal dp vfinal τ = F.dx =.dx = v.dp xiniial xiniial dt viniial (1.44) Utilizemos a fórmula da integração por partes em onjunto om (1.45), e tenhamos em mente que v iniial = 0: v.dp = vp p.dv (1.45) τ = m v 0.v m 0.v.dv (1.46) 0 v v 1 1 Para que resolvamos a integral, é vantajoso fazer a substituição: Ela então se torna: u = v / du = (v/ ) dv (1.47) v v / m 0..du v = 0 = m. 1 u m (1.48). 1 u Voltando a (1.46), obtemos, após algumas manipulações: 1 τ = = v 1 Efinal Einiial m (1.49) Como supusemos que a partíula foi aelerada a partir do repouso, temos E iniial = 0, o que, por fim, leva-nos a: 1 E = m 0. 1 = m 0. γ 1 v 1 ( ) (1.50) que é a fórmula da energia inétia relativístia. 4

25 Relação entre Massa e Energia Poderíamos reesrever (1.50) omo: Manipulando (1.51), hegamos a: E = γm 0. m 0. = E E 0 (1.51) E = E + E 0 (1.5) Podemos interpretar (1.5) omo uma manifestação de que a energia total de uma partíula, E=γm 0, é a soma da energia inétia, assoiada ao movimento, e de uma energia de repouso E 0. Esta energia é dada por: E 0 = m 0. (1.53) sendo, omo já dissemos, m 0 a massa de repouso da partíula. É pertinente que façamos uma breve reflexão. O raioínio que aabamos de expor, ujo ponto de partida foi a obtenção de uma fórmula para o momento linear oerente om a idéia de onservação e om a transformação de Lorentz, onduziu-nos a resultados intrigantes. A equação (1.53), por exemplo, mostra, om sua simpliidade desonertante, que a massa de repouso de uma partíula é também uma forma de energia. Sustenta, inversamente, que qualquer quantidade de energia tem a si assoiada uma quantidade equivalente de massa. Massa e energia, para a relatividade, são, por assim dizer, faes da mesma moeda. A expressão para a energia total, E = m = γm 0., simplesmente reafirma o que foi dito, om a ressalva de que nela a massa envolvida é a relativístia, maior que a de repouso graças à energia inétia. Com isso, perebemos que essa modalidade de energia se liga intimamente à dilatação da massa, que disutimos quando abordamos o momento linear. A omprovação do interâmbio massa-energia foi, desde a primeira hora, um assunto de grande interesse. Einstein, em seu artigo de 1906, A inéria de um orpo depende de seu onteúdo energétio?, sugeriu que as energias liberadas por reações envolvendo sais de rádio talvez pudessem permitir uma verifiação adequada de (1.53). Na verdade, omprovações mais sólidas (e trágias) vieram om o avanço do estudo das reações nuleares, as quais liberam energias sufiientemente grandes para levar a uma variação sensível da massa dos reagentes. Experimentos dessa natureza são amplamente favoráveis à relatividade. Um outro aspeto dinâmio muito relevante diz respeito à energia inétia. Vejamos, para uma massa de repouso de 1kg., omo a mesma varia de aordo om o fator v/ (veloidade da partíula em relação à da luz). 5

26 x 1018 ENERGIA CINÉTICA x ENERGIA CINÉTICA Energia Cinétia (em joules) Energia Cinétia (em joules) v/ Figura v/ Conforme nos mostram o primeiro gráfio e sua ampliação, representados na Fig. 1.1, a energia inétia da partíula tende a aumentar de forma ada vez mais pronuniada à medida que v tende a. Além disso, para aelerar a partíula até a veloidade da luz, seria preiso um trabalho infinito, ou seja, nada que possua massa de repouso não-nula pode atingir a veloidade da luz. Uma outra forma de internalizar esses oneitos é sugerida pela análise da expressão para a força relativístia, dp/dt: v m0 dp dp dv m 0 m 0 F = =. =.a.a 3/ 3/ dt dv dt + v = v v (1.54) Imaginemos que seja apliada a uma partíula em repouso, om m 0 = 1kg, uma força de 1N. Sua aeleração seria, do ponto de vista da físia lássia, onstante e igual a 1m/s. No entanto, uma aeleração onstante permitiria que, por exemplo, segundos depois do experimento, a partíula se movesse om o dobro da veloidade da luz, o que, omo aabamos de ver, é inadmissível na teoria da relatividade. Como (1.54) já adianta, a aeleração de uma partíula, para uma força onstante, depende de sua veloidade. Na Fig. 1.13, mostramos qual será a aeleração da partíula sob influênia de uma força de 1N, em função da relação v/, para a relatividade e para a físia lássia. 6

27 ACELERAÇÃO DECORRENTE DA APLICAÇÃO DE F=1N, COM M0 = 1kg Aeleração em m/s v/ Figura 1.13 Notamos que, quanto maior a veloidade da partíula, menos onsegue a força de 1N prosseguir om o aumento de veloidade, ao ontrário do que oorria no aso lássio. Quando a veloidade tende à da luz, a aeleração tende a zero, o que ondiz om as onlusões por nós obtidas a partir do estudo da energia inétia. Essa visível diminuição nos remete, mais uma vez, à idéia de aumento da massa, da inéria da partíula, om o aumento da veloidade. Vale a pena ainda exibir um onjunto de fórmulas que relaionam diretamente o momento e a energia do ponto de vista de um observador O om as mesmas grandezas do ponto de vista de um observador O, que, omo de ostume, move-se om veloidade u (na direção x) em relação a O: p ' x u.e px = u 1 p p ' y ' z ' E = p = p y z E p x.u = u 1 (1.55) sendo p = (p x, p y, p z ) e p = (p x, p y, p z ) respetivamente os momentos para O e O, e E e E a energia total para estes observadores. Foi Max Plank quem primeiro expliitou essas relações, num dos primeiros artigos relativístios influeniados, mas não esritos, por Einstein [Pais, 1995]. Seria justo itar que Plank e Max von Laue estiveram entre os primeiros ientistas a prourar o jovem Einstein para manifestar interesse em seu trabalho sobre a relatividade. Einstein, mais tarde, manifestaria a Plank sua gratidão nestes termos: O senhor foi o primeiro a defender a teoria da relatividade [Pais, 1995]. Voltemo-nos para um outro aspeto importante. Sabemos que, na meânia lássia, a lei da onservação do momento e a lei da onservação da energia são prinípios distintos. 7

28 Na relatividade, omo, aliás, pode-se deduzir de (1.55), as duas leis estão intimamente unidas. Em termos mais preisos, elas se tornam aspetos de um únio prinípio de onservação. Assim, por exemplo, para que o momento linear se onserve do ponto de vista de todos os possíveis observadores ineriais, é preiso que a energia total também se onserve, e vie-versa [Symon, 198] 1. Também é muito importante atentar para o fato de que as leis de onservação da massa e da energia se fundem numa únia lei. Não faz mais sentido busar isoladamente a onservação dessas grandezas. A dinâmia relativístia, omo era esperado, fornee resultados muito próximos aos lássios para veloidades muito menores que a da luz. Em outras palavras, a Físia Clássia ontinua válida para uma determinada gama de apliações. Por fim, vale a pena menionar que experimentos realizados om partíulas dotadas de altas veloidades têm dado origem a resultados notavelmente próximos aos previstos pelas expressões apresentadas. Partiularmente, já se onseguiu aelerar elétrons até veloidades muito próximas à da luz, sem que, no entanto, tenha sido possível ultrapassá-la. Para a relatividade, nas palavras do esritor Isaa Asimov, a veloidade da luz é o limite de veloidade definitivo, muito distante dos habituais 80 km/h [Halliday e Resnik, 1994]. BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO 1 A. Einstein e outros, The Priniple of Relativity (oletânea de artigos originais sobre relatividade), Dover, 194. R. Eisberg, Fundamentals of Modern Physis, Wiley, D. Halliday, R. Resnik, Fundamentos da Físia, LTC, K. Krane, Modern Physis, Wiley, H. Ohanian, Modern Physis, Prentie Hall, Seond Edition, A. Pais, Sutil é o Senhor: a Ciênia e a Vida de Albert Einstein, Nova Fronteira, H. Poinaré, O Valor da Ciênia, Contraponto, R. Serway, Physis for Sientists and Engineers, Saunders College Publishing, Third Edition, M. Simonsen, Ensaios Analítios, Fundação Getúlio Vargas, K. Symon, Meânia, Editora Campus, Sexta Edição, No exemplo de olisão apresentado anteriormente, é fundamental que se aplique a lei da onservação da energia total relativístia para que se obtenha a massa de repouso do onjunto formado pelas duas partíulas após a olisão (note que a energia inétia do par não pode simplesmente desapareer ). 8

29 Capítulo Teoria Quântia da Radiação Sem dúvida, a Teoria Quântia é uma onstrução ientífia de notável originalidade e solidez experimental. Além de ter sido um dos pilares da físia do séulo XX, essa teoria também levou a importantes mudanças de paradigma em domínios omo o da filosofia da iênia. O alane das idéias susitadas pelo ramo então emergente pode ser intuído se não nos esqueermos de que seus fundamentos foram persrutados por figuras da estatura de Einstein, Bohr, Shrödinger e outros. Parte desse debate, aliás, será objeto de disussão no apítulo 4. Embora o domínio de apliação da teoria quântia seja vasto, sua origem nos remete a um esforço muito espeífio: um trabalho de Plank dediado à eluidação de aspetos fundamentais da emissão de radiação térmia. Convém, portanto, que iniiemos nosso estudo por essas idéias pioneiras. O objetivo deste apítulo é situar historiamente as investigações aera da hamada radiação de um orpo negro. Após definir os limites do problema, partiremos do enário delineado por Kirhhoff e visitaremos algumas hipóteses que ulminam na lei de Plank, uja onordânia om a experimentação é exelente..1 Corpo Negro e Radiação de Cavidade A superfíie de todo orpo que se enontra em uma temperatura maior que T = 0K emite energia na forma de radiação térmia, a qual possui natureza eletromagnétia. Para que possamos bem araterizar tal fenômeno, preisamos obter respostas a questões fundamentais: qual será o onteúdo espetral desta radiação, ou seja, que freqüênias estarão presentes e em que proporção? Como a temperatura do orpo influirá no espetro emitido? Há alguma lei que relaione as grandezas pertinentes? Pensemos em nossas próprias experiênias om a radiação térmia. Sabemos que o nosso orpo, que usualmente se enontra a uma temperatura de era de 310K, emite alor. Apesar disso, não onseguimos ver um orpo humano numa sala esura, o que signifia que a maioria da radiação emitida, em tais ondições, deve ter omprimentos de onda distintos daqueles apazes de exitar nosso aparelho visual. Uma barra de ferro aqueida, por sua vez, tornase inandesente, o que india que o aumento de sua temperatura provoa, de alguma maneira, um desloamento do espetro para regiões mais próximas da faixa visível. Isso nos leva a intuir que o aumento da temperatura deve fazer om que se eleve o onteúdo espetral em altas freqüênias. A radiação térmia que emerge de um orpo é gerada pelo movimento aleatório dos átomos que o onstituem. Antes que a radiação atinja a superfíie, ela é absorvida e emitida diversas vezes, o que tende a levá-la a um estado de equilíbrio térmio om os átomos. Esse proesso omplexo, aliás, termina por dar um aspeto ontínuo ao espetro de emissão. A emissão dessa radiação, omo era de se esperar, está ligada às propriedades da superfíie do orpo, que pode, em tese, bloquear parialmente as ondas eletromagnétias presentes em seu interior [Ohanian, 1995]. De erta maneira, há uma relação estreita entre a Equipamentos de visão noturna são onstruídos para aptar esses omprimentos de onda predominantes, os quais pertenem à região espetral do infravermelho. 9

30 araterístia de emissão de um orpo e seu potenial de absorção, o que pode ser atestado por prinípios fundamentais da termodinâmia. Num aso extremo, poderíamos oneber um orpo dotado de uma perfeita apaidade de absorção, ou seja, um sorvedouro ideal de toda a radiação inidente. Esse ente ideal reebe, graças a essa araterístia, o nome de orpo negro. Do ponto de vista teório, está perfeitamente determinado o que é um orpo negro, mas, na prátia, não é simples imaginar a que pode orresponder um onstruto dessa natureza. Uma possibilidade, já aventada por Kirhhoff no âmbito dos esforços desritos na próxima seção, tornou-se um padrão: uma avidade om algumas araterístias peuliares. Normalmente, usa-se para emular um orpo negro uma aixa metália om paredes à mesma temperatura e om um pequeno orifíio. É líito supor que um raio que adentre a aixa pelo orifíio sofrerá suessivas reflexões nas paredes, e, muito provavelmente, será absorvido. Ora, isso quer dizer que a aixa terá uma araterístia ideal de absorção, que é exatamente o que esperamos de um orpo negro! A Fig..1 ilustra essa idéia. Figura.1 Como as araterístias de interesse dessa aixa devem ser muito próximas das previstas para um orpo negro, não se espante o leitor ao se deparar om a expressão radiação de avidade.. O Teorema de Kirhoff Num trabalho lássio, publiado em 1859, Gustav Kirhoff lançou a fundação do estudo da radiação térmia. Ele mostrou, a partir de bases puramente termodinâmias, que um orpo apaz de absorver toda a radiação nele inidente (ou seja, um orpo negro) teria uma araterístia de emissão que seria função apenas de sua temperatura e da freqüênia de interesse. Em outras palavras, as propriedades de tal emissor não guardariam qualquer relação om fatores omo formato, material onstituinte et., o que, sem dúvida, onduziria a busa a um domínio muito mais tratável e produtivo do ponto de vista físio. Para que possamos expressar a importante ontribuição de Kirhhoff em termos mais rigorosos, denominemos E f. df a quantidade de energia emitida pelo orpo negro, por unidade de área e por unidade de tempo, no intervalo delimitado pelas freqüênias f e f+df. Podemos entender a função E f, que denominaremos emitânia espetral, omo uma espéie de densidade de potênia emitida para uma dada freqüênia. O teorema de Kirhoff afirma que tal função pode ser esrita da seguinte forma: E f = E f (f,t) (.1) 30

31 onde f é a freqüênia da radiação e T é a temperatura do orpo negro. Trazer a dependênia para bases tão simples já é uma ontribuição estupenda, mas Kirhoff foi ainda mais longe e, omo já anteipamos, sugeriu o uso de um forno a temperatura uniforme dotado de uma avidade omo êmulo de um orpo negro [Born, 1986]. Por fim, o eminente físio onlamou seus pares à busa dessa função [Pais, 1995], uja enorme importânia advém, num erto sentido, da marante simpliidade da relação expressa em (.1). Kirhoff não poderia fazer idéia da extensão da influênia que seu apelo teria sobre o futuro da iênia..3 A Lei de Stefan-Boltzmann Em 1879, Josef Stefan propôs que a energia total emitida por um orpo seria proporional à quarta potênia de sua temperatura absoluta (em kelvin). Ludwig Boltzmann, em 1884, mostrou que a lei proposta por Stefan é válida, om tal grau de generalidade, apenas para orpos negros [Pais, 1995]. Com isso, hegamos à lei de Stefan- Boltzmann, que representaremos da seguinte forma: E total = σt 4 (.) sendo σ = watt/(m.k 4 ). À luz da função E f (f,t), por nós definida na seção anterior, podemos detalhar a equação (.): 4 total = Ef (f,t).df = σt 0 E (.3) Ainda não se onheia a forma de E f, mas já era possível, graças a uma engenhosa argumentação baseada na termodinâmia e no eletromagnetismo, ter onheimento de uma importante propriedade de tal função..4 A Lei do Desloamento de Wien É hora de travarmos ontato om mais um dos protagonistas desta busa: Wilhelm Wien. Em 1893, ele propôs a élebre lei do desloamento: E f (f,t) = f 3.F(f/T) (.4) uja dedução se baseou em onsiderações extraídas da termodinâmia e do eletromagnetismo. Trata-se de uma lei de grande alane teório, mais restritiva que o resultado de Stefan e Boltzmann: a função que desejamos enontrar deve ser onstituída pelo produto entre um termo úbio e uma função da razão entre f e T. De fato, todas as leis que veremos a seguir obedeem, sem esapatória, à lei do desloamento. Usualmente, o trabalho experimental não se dirigia à busa de E f (f, T), mas sim de E λ (λ,t), que, omo podemos de imediato pereber, deve ter íntima relação om a emitânia em frequênia. Sabia-se, desde os primeiros experimentos envolvendo a radiação de avidade, que a função E λ tinha um máximo pronuniado em um omprimento de onda λ max. Sabia-se ainda que o valor de λ max diminuía om a temperatura. A lei proposta por Wien reebe este nome justamente por indiar omo se dá este desloamento. Para analisar 31

32 a emitânia em termos de omprimentos de onda, temos de nos lembrar que a função E f india uma densidade de energia para o intervalo df. Por analogia, devemos fazer: Como λ = /f, temos: E f (f,t).df = E λ (λ,t).dλ (.5) df = (-/λ ).dλ (.6) O sinal negativo india que o aumento do omprimento de onda signifia uma diminuição em freqüênia e vie-versa. Temos, portanto, A lei do desloamento pode então ser esrita omo: E λ (λ,t) = (-/λ ). E f (f,t) (.7) E λ (λ,t) = ( 4 /λ 5 ).F(/λT) (.8) O sinal negativo pôde ser desprezado, pois onsideramos uma variação dλ positiva. Para que obtenhamos o omprimento de onda para o qual há máxima emissão, preisamos derivar E λ om respeito a λ e igualar o resultado a zero: λ F λ λt F' λ T λt = 0 (.9) Perebemos que o máximo, aso exista, obedeerá à restrição [Born, 1986] λ max.t = onstante 1 (.10) Esta é a forma pelo qual λ max se desloa: de maneira inversamente proporional à temperatura do orpo. A onstante aima vale m.k. A expressão (.10) pode ser esrita em frequênia omo sendo 3 : f max = onstante.t (.10b) sendo a onstante igual a Hz/K. Note que λ max. f max. A razão para isto é que a relação entre E f e E λ não é trivial, pois o omprimento de onda é inversamente proporional à freqüênia, e, por serem as funções densidades, sua forma depende do intervalo da variável de interesse (f ou λ), definido segundo (.6). 3 Como exeríio, busque o leitor deduzir de (.4) a relação em freqüênia. 3

33 Podemos ainda provar que a lei do desloamento de Wien tem, omo aso partiular, a lei de Stefan-Boltzmann. Para tanto, voltemos à forma da equação (.4). Realizemos a integral para todas as frequênias, omo em (.3): total = Ef (f,t).df = f.f(f / T).df = T x.f(x).dx = T E σ (.11) que é justamente a forma expressa em (.). A mudança de variável efetuada foi x = f /T..5 A Lei de Wien Desde o desafio iniial de Kirhoff, surgiram diversas expressões para E f. A maioria delas foi esqueida om o passar dos anos, mas houve uma que marou époa, e foi onsiderada, por algum tempo, a resposta definitiva ao problema. Trata-se da lei da radiação de Wien, o mesmo ientista que propôs a lei do desloamento 4. Sua expressão, publiada em 1896, tem a seguinte forma: E f (f,t) = αf 3.exp(-βf /T) (.1) sendo α e β parâmetros livres. Trata-se de uma função que une um termo úbio a um fator exponenial de maneira onsistente om a lei do desloamento. O produto das duas parelas gera um perfil dotado de um máximo pronuniado, o que, tendo em vista os resultados experimentais de então, era esperado. A Fig.. traz um gráfio da função (.1), om as melhores onstantes, para algumas temperaturas. 8 x 10-8 LEI DE WIEN 7 T = 5000K 6 Ef (f,t) em watt/m.hz T = 4000K T = 3000K Frequênia (Hz) x Figura. Friedrih Pashen testou a expressão proposta por Wien no domínio o infravermelho próximo (de λ = 1µm a 8µm), onde obteve uma boa onordânia om os dados obtidos. Pashen hegou a afirmar: Paree muito difíil enontrar uma outra função 4 Wien reeberia, em 1911, o prêmio Nobel de Físia por suas desobertas envolvendo as leis que governam a radiação de alor. 33

34 que represente os dados om tão pouas onstantes [Pais, 1995]. Tal veredito imperou por alguns anos, durante os quais pareia ser a equação (.1) a resposta para a indagação de Kirhoff. No entanto, o avanço das possibilidades experimentais permitiu que houvesse estudos na faixa do infravermelho longínquo, domínio em que a lei de Wien, omo veremos, não seria apaz de se sustentar..6 A Lei de Rayleigh-Einstein-Jeans Até que ponto a Físia Clássia pode nos levar na análise do problema da radiação do orpo negro? O que ela tem a nos dizer? Podemos, a partir de seu arabouço teório, enontrar a resposta definitiva para a indagação de Kirhoff? Os trabalhos de Lord Rayleigh, Albert Einstein e James Jeans forneeram uma perturbadora resposta a essas questões. Voltemos a nossa aixa metália dotada de uma avidade. Supõe-se que a radiação térmia na avidade seja omposta por ondas estaionárias, ada uma orrespondente a um modo de vibração [Ohanian, 1995]. Cada modo, por sua vez, pode ser assoiado à idéia de um osilador harmônio. Através de um raioínio baseado prinipalmente no eletromagnetismo, hega-se a uma equação que relaiona a energia média dos osiladores à função E f prourada: πf E f (f,t) = ε med (.13) onde ε med é a energia média a que nos referimos. O passo final é determinar o valor dessa energia média, o que, omo logo veremos, é a esolha fundamental. Na abordagem lássia, faz-se uso do teorema da equipartição, um sólido resultado da Físia Estatístia que produz a seguinte fórmula para a energia média: ε med = kt (.14) sendo k a onstante de Boltzmann, que vale 1, J/K. Se desejarmos verifiar de maneira um pouo mais detalhada omo se hega a (.14), preisaremos reorrer a um resultado muito elegante, o teorema de Boltzmann. Segundo esse teorema, a oorrênia de um osilador om energia ε se daria om probabilidade relativa exp(-ε/kt). Portanto, p ( ε) = exp( ε / kt) (.15) exp( ε / kt).dε 0 sendo a integral do denominador neessária para fazer om que a integral de p(ε) de zero a infinito seja igual a um, omo requer uma função de densidade de probabilidade. Empregando a definição de média de uma variável aleatória qualquer, x med = x.p(x). dx (.15) 34

35 hegamos à expressão: ε 0 ε.exp( ε / kt).dε 0 med = = exp( ε / kt).dε kt (.17) De posse desse valor, podemos voltar a (.13) e obter a fórmula desejada: πf (f,t) = kt (.18) E f que é a lei de Rayleigh-Einstein-Jeans. Essa lei, omo afirmamos, representa, de erta maneira, o limite ao qual se pode hegar através dos aminhos da Físia Clássia. Na Fig..3, mostramos as urvas previstas por (.18) para algumas temperaturas. 1. x 10-5 LEI DE RAYLEIGH-EINSTEIN-JEANS 1 T = 5000K Ef (f,t) em watt/m.hz T = 3000K T = 4000K Frequênia (Hz) x Figura.3 Convém expor um pouo da história dessa fórmula, narrada em [Pais, 1995]. Lord Rayleigh sugeriu, em 1900, que se apliasse a idéia de equipartição, que delineamos aima, ao problema da radiação de avidade. A partir dessa noção ruial, ele obteve uma expressão do tipo: E f (f,t) = 1.f.T (.19) sem, no entanto, alular 1. Podemos pereber que esta equação tem (.18) omo um aso partiular. Ele também já perebe que esta lei devia ser enarada omo um aso-limite para baixas frequênias. O motivo para isso é o seguinte: omo podemos notar, (.18) e (.19) levam a valores de E f que aumentam explosivamente om o aumento de f. Trata-se de um omportamento totalmente inoerente om a experiênia, razão pela qual se dá a ele o sugestivo nome de atástrofe ultravioleta (vide Fig..3). Para soluionar, ad ho, tal problema, Rayleigh sugeriu a introdução de um fator de orte exponenial, o que gerou uma lei do tipo: 35

36 E f (f,t) = 1.f.T.exp(-.f / T) (.0) que fiou onheida omo lei de Rayleigh. Em 1905, Einstein hegou à equação (.18) ao omentar o resultado de Plank (que veremos na próxima seção). No mesmo ano, Rayleigh enviou uma arta à revista Nature, na qual alulou a onstante 1 e obteve um valor distinto do orreto por um fator de 8. Em 1905, James Hopwood Jeans orrigiu o erro de Rayleigh e hegou à expressão final. Devido a essa ronologia, perebemos a razão pelo qual a equação (.18), usualmente denominada lei de Rayleigh-Jeans, poderia, onforme sugere Abraham Pais, reeber o nome de lei de Rayleigh-Einstein-Jeans. Apesar de oerente om o espírito das mais sólidas formulações teórias da époa, saiba-se de antemão que a lei era bastante problemátia. A primeira difiuldade, é a já menionada atástrofe ultravioleta (E f se f ). Um outro alanhar de Aquiles é que: total = Ef (f,t)df = C. f 0 0 E df (.1) sendo C um valor independente de f. Tal resultado está, literalmente, infinitamente distante da lei de Stefan-Boltzmann (. e.3). O problema que origina a atástrofe ultravioleta é que se assume que ada onfiguração osilatória tem a mesma energia kt, omo mostra a equação (.18). Porém, o número de onfigurações permitidas entre uma frequênia f e outra f+df aumenta om a própria frequênia, o que faz a energia irradiada aumentar também, sem limites, justamente por ser a energia média kt independente da frequênia. Com tudo isso, vemos que a físia lássia não é apaz de forneer uma resposta adequada ao problema da radiação de avidade. Observação: Em muitos livros, não se trabalha om a emitânia espetral E f (f, T) e sim om a densidade espetral de energia u f (f,t). Ambas são idêntias a menos de uma onstante: E f (f,t) = (/4).u f (f,t) (.) Neste apítulo, trabalhamos sempre om E f, mesmo quando menionamos trabalhos em que o desenvolvimento original se deu através do emprego de u f. 36

37 .7 Dos experimentos de Lummer, Pringsheim, Rubens e Kurlbaum à Lei da Radiação de Plank Max Karl Ernst Ludwig Plank é, indisutivelmente, o pai da Teoria Quântia. Ele não só propôs a melhor fórmula para a função E f (f, T), omo, para justifiá-la, lançou a hipótese da quantização da energia, que teria uma papel de enorme destaque no pensamento físio do séulo XX. No entanto, Plank não tinha, à époa, idéia do alane da hipótese de que lançara mão para enontrar uma expressão oerente om a experimentação e dotada de alguma fundamentação físia. Foi apenas om advento do trabalho de Einstein sobre a natureza da luz, e, posteriormente, om as ontribuições de Böhr, Heisenberg, Shrödinger e outros, que a nova revolução ganhou orpo. Não obstante, o mérito de Plank e a importânia de sua revoluionária hipótese, sobre uja essênia agora nos debruçaremos, são enormes..7.1 Os experimentos de Lummer, Pringsheim, Rubens e Kurlbaum Não se pode dissoiar a proposta de Plank dos resultados extremamente preisos que obtiveram dois grupos de pesquisadores do Physikalish Tehnishe Reihsanstalt, que, naquela époa, era um dos laboratórios mais bem equipados do mundo [Pais, 1995]. O primeiro grupo, formado por Otto Lummer e Ernst Pringsheim analisou o espetro de emissão na região que ia de λ = 1µm até λ = 18µm. Em 1900, a onlusão foi forte: A Lei de Wien falha naquela região [Pais, 1995]. Trata-se de um resultado muito importante, pois os prinipais resultados obtidos até então (em outras faixas de omprimento de onda) davam suporte a tal lei, omo disutimos anteriormente. No mesmo ano, a segunda equipe, formada por Heinrih Rubens e Ferdinand Kurlbaum estendeu a mesma onlusão ao domínio de uma faixa ainda mais distante da visível: λ = 30µm até λ = 60µm (no infravermelho longínquo). É preiso frisar que a obtenção destes dados não foi, definitivamente, um proesso trivial, mas sim uma ontribuição experimental de primeiríssima grandeza. Além da lei de Wien, outras leis, omo a de Rayleigh (equação.0), não foram apazes de se ajustar à observação. Os novos resultados experimentais mostravam om lareza que nenhum dos esforços anteriores tinha esgotado o problema. Ainda restava a mais importante das respostas. Plank foi um dos físios mais motivados pelo desafio de Kirhoff, o que atestam anos de proura pela expressão de E f (f, T). Graças à sua posição de professor em Berlim, ele podia ter aesso aos mais representativos resultados experimentais, o que atesta a pequena história a seguir, extraída de [Pais, 1995]. No dia 7 de outubro de 1900, um domingo, Heinrih Rubens e sua esposa visitaram Plank na parte da tarde. Durante a onversa, Rubens menionou que havia desoberto que E f (f, T) era proporional a T para pequenos valores de f. Inspirado pelo diálogo, Plank voltou ao trabalho no mesmo dia e enontrou uma interpolação entre o que foi dito por Rubens e a lei de Wien. Ele hegou à lei: 3 πh f Ef (f,t) = (.3) exp(hf / kt) 1 sendo h uma onstante. Na Fig..4, temos esta expressão representada para três valores distintos de temperatura. 37

38 8 x 10-8 LEI DE PLANCK 7 T = 5000K 6 Ef(f,T) em watt/m.hz T = 4000K T = 3000K Frequênia (Hz) x Figura.4 Ele enviou a fórmula para Rubens no mesmo dia e apresentou-a publiamente no dia 19 de outubro, após uma apresentação de Kurlbaum. A equação (.3) se reduz à lei de Wien (equação.1) para hf >> kt (que era justamente a faixa na qual trabalhou Pashen, vide seção.5) e à lei de Rayleigh-Einstein- Jeans para f próximo de zero. Isto mostra que a lei de Plank se reduz às leis onheidas justamente no domínio em que elas têm o melhor desempenho, o que é altamente positivo. Além disso, a equação (.3) se ajusta muito bem aos dados experimentais para todos os valores de λ e T testados. Nas palavras de Pringsheim, a equação de Plank apresenta tão bom aordo om a experiênia que pode ser onsiderada, pelo menos om grande aproximação, omo a expressão matemátia da função de Kirhoff [Pais, 1995]. Plank havia atingido seu objetivo maior; no entanto, faltava ainda uma outra resposta: omo justifiar, teoriamente, a expressão (.3)? Foi neessário, nas palavras do próprio Plank, um ato de desespero para obter um resultado positivo, de qualquer modo e a qualquer preço [Ohanian, 1995]. Esse ato de desespero foi, sem dúvida, revoluionário..7. A hipótese dos quanta Para obter a expressão (.3), Plank preisou reorrer a uma idéia ousada: a quantização da energia. Em termos simples, ele supôs que os osiladores materiais que ompõem as paredes da aixa om avidade (o nosso forno metálio ) só poderiam assumir valores disretos de energia. Matematiamente, as energias permitidas seriam: ε = n.ε 0 (.4) sendo ε 0 um valor fundamental de energia e n um número natural. Essa equação é uma expressão direta da noção de quantum de energia, ou seja, de um patamar energétio ε 0 que forma todos os valores aeitáveis de energia. O raioínio de Plank pode ser onsiderado idêntio ao de Rayleigh, Einstein e Jeans até a equação (.13) 5. É justamente a determinação de ε med que se torna o pomo da 5 Nossa exposição dos passos que levam à lei de Plank não deve ser enarada omo uma seqüênia rigorosa dos passos seguidos pelo físio alemão. Aqui, nossa linha mestra privilegiará a didátia, e não a ronologia. 38

39 disórdia entre as duas teorias. Na teoria lássia, supõe-se apliável o teorema da eqüipartição, omo disutimos na seção.6. Esse teorema nos onduziu a ε med = kt e à atástrofe ultravioleta. A equação (.4) pode nos salvar desta atástrofe? Vejamos. Continuemos a assumir que a probabilidade relativa de oorrênia de um osilador om energia ε é exp(-ε/kt). Dessa forma, hegaremos à seguinte expressão: Fazendo β = 1 / kt, temos que: ε = med n= 0 n. ε.exp( n ε / kt) n= exp( n ε 0 / kt) (.5) n. ε.exp( n ε / kt) d d 1 ε ε = = β ε = = dβ dβ 1 exp( βε ) exp( βε ) n= 0 0 med ln exp( n 0) ln n= exp( n ε0 / kt) n= 0 (.6) Substituindo (.6) em (.13), hegamos a: πf ε0 1 f = ε0 E (f,t) exp( / kt) 1 (.7) Para que a equação (.7) obedeça à lei do desloamento de Wien (equação (.4)), é preiso que valha a relação: ε 0 = h.f (.8) sendo h uma onstante, que depois veio a ser onheida omo onstante de Plank. Plank obteve, om os dados experimentais de que dispunha, o valor h = J.s. O melhor valor, atualmente, é de J.s, o que deixa laro quão notável foi o trabalho experimental da époa. Podemos indagar: o que há na hipótese quântia que pôde prevenir a atástrofe ultravioleta? Imaginemos um osilador quiesente, ou seja, om energia nula. Para que ele possa osilar om uma frequênia f qualquer, é preiso que lhe seja forneida uma energia diretamente proporional a f (vide a equação (.8)). Isso mostra que, para frequênias muito altas, será preiso forneer uma grande quantidade de energia para que haja a osilação. Isto impõe sérias restrições ao onteúdo energétio nessa região, o que previne a oorrênia de algo omo a atástrofe do ultravioleta. Havia sido dada uma resposta altamente satisfatória à pergunta de Kirhoff. Porém, foi alto preço pago: introduziu-se uma hipótese ompletamente estranha ao mundo lássio. Poderia a quantização da energia se sustentar? A resposta, literalmente, está nos próximos apítulos... 39

40 Apêndie A: Comparação entre as Leis Traçamos as urvas orrespondentes às três leis que estudamos, a de Wien, a de Rayleigh-Einstein-Jeans e a de Plank, para T = 5000K. x 10-8 COMPARAÇÃO ENTRE AS LEIS 7 Lei de Plank Lei de Wien 6 Ef (f,t) em watt/m.hz Lei de Rayleigh- Einstein-Jeans Frequênia (Hz) x Figura.6 Perebemos que, de fato, as leis de Wien e Rayleigh-Einstein-Jeans falham em alguns domínios. Como já havíamos menionado, a lei de Rayleigh vale para baixas frequênias, e a de Wien, para f >> kt/h. No aso aima, o domínio de validade da lei de Wien deveria ser f >> Hz. De fato, só quando f assume um valor seis vezes maior que este limitante, paramos de pereber a diferença entre a Lei de Wien e a de Plank. Bibliografia do Capítulo : [Born 1986] M. Born, Físia Atômia, Fundação Calouste Gulbenkian, [Eisberg 1961] R. Eisberg, Fundamentals of Modern Physis, Wiley, [Halliday e Resnik 1994] D. Halliday, R. Resnik, Fundamentos da Físia, LTC, [Ohanian 1995] H. Ohanian, Modern Physis, Prentie Hall, Seond Edition, [Pais 1995] A. Pais, Sutil é o Senhor: a Ciênia e a Vida de Albert Einstein, Nova Fronteira, [Serway 1990] R. Serway, Physis for Sientists and Engineers, Saunders College Publishing, Third Edition,

41 Capítulo 3 Fótons e Elétrons Com a lei de Plank, emerge uma idéia bastante inovadora (e perturbadora): a quantização da energia. No entanto, em 1900, tal idéia era pouo mais que uma noção ad ho, um ato de desespero de alane limitado. De erta maneira, esse status omeçou a se modifiar om o trabalho de Einstein sobre o efeito fotoelétrio (1905): nele, os quanta omeçaram a ter um papel muito mais abrangente na desrição do mundo físio, omo veremos neste apítulo. 3.1 Trabalhos Pioneiros sobre o Efeito Fotoelétrio Heinrih Hertz tem seu nome indelevelmente assoiado à desoberta das ondas eletromagnétias. Como disutimos no apítulo 1, ele foi o responsável pelas primeiras evidênias experimentais em favor da teoria de Maxwell. Entretanto, no deurso de seu brilhante trabalho experimental, ele também teve a hane de desrever um efeito uja investigação marou os rumos da físia no séulo XX: o efeito fotoelétrio. Em 1887, Hertz estudava a geração de faísas por duas plaas metálias às quais era imposta uma diferença de potenial. Nesse ontexto, ele observou que, quando se gerava uma faísa primária numa das superfíies, oorria uma faísa seundária na outra. Como esta última era difíil de se observar, ele resolveu onstruir uma obertura em torno da superfíie na qual ela era produzida. Quando isso foi feito, a intensidade da segunda faísa diminuiu, para surpresa do ientista. O fenômeno oorria tanto para uma obertura ondutora de eletriidade quanto para uma isolante, o que só deixou a Hertz uma onlusão: era a luz da primeira faísa que estimulava a oorrênia da segunda. Para tentar onfirmá-la, Hertz afastou as superfíies até o ponto em que a primeira faísa não mais aarretava a geração da segunda. Ele iluminou a superfíie om uma outra fonte de luz e verifiou que as faísas voltavam a apareer. Havia sido registrada, pela primeira vez, a observação do efeito fotoelétrio [Pais, 1995]. Um ano depois, em 1888, houve um resultado orrelato: Wilhelm Hallwahs mostrou que a irradiação de luz ultravioleta sobre orpos metálios neutros fazia om que eles adquirissem arga positiva. Em 1899, Joseph John Thomson afirmou que estes efeitos eram deorrentes de uma ejeção de elétrons induzida pela luz ultravioleta. Em outras palavras, as faísas de Hertz e a arga positiva de Hallwahs poderiam ser expliadas se supuséssemos que a inidênia de luz é apaz de fazer om que elétrons sejam extraídos de uma superfíie metália. Seus experimentos onfirmaram a sua afirmação [Pais, 1995]. Em 190, Philipp Lenard onduziu uma investigação fundamental sobre o efeito fotoelétrio. Na Fig. 3.1, temos uma representação esquemátia do tipo de aparato utilizado no trabalho. Basiamente, a luz inide num dos eletrodos (átodo), ejetando elétrons que são oletados pelo outro eletrodo (ânodo). Há uma diferença de potenial imposta por uma fonte om tensão V, a qual pode assumir valores positivos ou negativos. Caso o potenial assoiado ao eletrodo A seja menor que o assoiado a C, haverá uma resistênia ao fluxo de elétrons. Essa resistênia pode ser quantifiada em termos da variação da energia inétia do elétron ejetado, que, por sua vez, deve se igualar ao trabalho τ = e V (3.1) 41

42 realizado por um ampo elétrio suposto uniforme (e é o valor da arga do elétron). Figura 3.1 A partir de (3.1), podemos pereber que deve haver um valor de V para o qual eventualmente essa o fluxo de elétrons, ou seja, para o qual o trabalho realizado pelo ampo se iguala à própria energia inétia da partíula ejetada. Essa tensão de orte deve, portanto, obedeer à fórmula: E max = e. V orte (3.) sendo E max a energia inétia máxima dos elétrons ejetados. Isso mostra que o aparato desrito permite que se avalie a energia dos elétrons através do ontrole da tensão imposta aos eletrodos. Tentaremos sumarizar o que desobriu Lenard: 1) A energia inétia dos elétrons ejetados (ou, à luz da equação (3.), a tensão de orte) não variava om o aumento da intensidade da luz. ) O aumento da intensidade da luz produzia uma maior orrente, ou seja, fazia om que o número de elétrons ejetados fosse maior. 3) Por fim, a energia inétia dos elétrons ejetados resia om o aumento da freqüênia da luz inidente. Como veremos na próxima seção, a teoria eletromagnétia não era apaz de expliar tais resultados. 4

43 3. O Fóton e a Proposta Teória de Einstein 3..1 O Cenário Clássio Teeremos agora um breve panorama da teoria lássia do efeito fotoelétrio para que possamos entender por que ela suumbiu ante os resultados experimentais que expusemos na seção anterior. Classiamente, a ejeção seria ausada pela interação entre os elétrons do metal e a onda eletromagnétia inidente. Nesse aso, luz mais intensa estaria assoiada a um ampo elétrio osilante mais intenso, e, por esse motivo, deveria haver uma relação direta entre intensidade e energia inétia dos fotoelétrons ejetados. Ora, foi justamente isto que Lenard não observou! Eis a primeira falha da teoria lássia. Um outro problema é que, em tese, luz de qualquer freqüênia (fixemos uma erta intensidade) deveria levar à ejeção de fotoelétrons, desde que houvesse um tempo de interação sufiiente 6 entre a onda inidente e o metal, o que ontradiz o espírito do tereiro item das desobertas de Lenard. Esses dois fatores só podiam produzir uma onlusão: a físia lássia não tinha ondições de desrever a interação energia-matéria subjaente ao efeito fotoelétrio. 3.. A Proposta de Einstein Interessantemente, o ponto de partida da revoluionária proposta de Einstein foi a lei de Wien da radiação, que estudamos no apítulo anterior. A partir de algumas onsiderações termodinâmias, ele pôde mostrar que a radiação de avidade 7 numa erta freqüênia f, sob determinadas hipóteses, omporta-se omo se fosse formada por quanta de energia de magnitude hf [Pais, 1995]. Para hegar a esse resultado, Einstein meslou, de erta forma, lássios métodos termodinâmios e elementos de teoria quântia (omo vimos, a lei de Wien é um aso partiular da lei de Plank). O mais urioso é que, a partir dessa mistura, ele hegou a um resultado deveras abrangente: uma desrição quântia da natureza da radiação 8. O brilhante ientista não parou nesse ponto, mas formulou ainda o seu élebre prinípio heurístio, que é simplesmente uma extensão da validade da hipótese do quantum de luz ao domínio da interação entre luz e matéria. Uma apliação direta de tal prinípio levou Einstein a introduzir uma expliação do efeito fotoelétrio apaz de justifiar os desonertantes resultados experimentais vistos anteriormente. Einstein propôs que a interação entre luz e metal se dá através de uma 6 Aliás, o fator tempo também é um problema para a teoria lássia, pois o tempo por ela previsto para que a interação onda-ampo leve à ejeção do elétron é tipiamente bem maior que o tempo verifiado na prátia [Born, 1986]. 7 No regime de Wien, ou seja, quando hf/kt>>1. 8 Note o leitor que, de erta forma, Einstein mostra que a lei de Wien pode ser deduzida se supusermos que a radiação de avidade é omposta de quanta de luz e que algumas hipóteses termodinâmias lássias sobre esse gás de partíulas são válidas. Posteriormente, graças a aos esforços de Satyendranath Bose (e do próprio Einstein), seria possível mostrar que a lei de Plank, a mais geral de todas, pode ser deduzida a partir da idéia de quantum de luz, desde que os métodos estatístios adequados sejam usados. Como Pais bem observa, embora estivesse trabalhando no regime de Wien (que não é genério) e empregando métodos lássios, Einstein hegou a uma hipótese quântia sólida! Nas palavras desse autor: A genialidade da hipótese do quantum de luz reside na intuição de esolher o pedaço orreto da informação experimental e os ingredientes teórios orretos... [Pais, 1995]. 43

44 transferênia de energia entre pares quantum de luz elétron. A energia de um quantum (ou fóton) 9 de freqüênia f, omo vimos, é: E = hf (3.3) sendo h a onstante de Plank. Nesse enário, a energia inétia de um elétron ejetado será igual à energia do quantum inidente menos a energia despendida para que a partíula se desligue do metal. Portanto, E = hf - E lig (3.4) sendo E lig essa energia de ligação do elétron. Se o elétron estiver na superfíie do átodo, E lig atingirá seu valor mínimo, ao qual daremos o nome de φ, uma função-trabalho dependente da natureza do metal empregado. Para esses elétrons superfiiais, que terão a maior energia inétia possível, vale: E max = hf - φ (3.5) Tentemos agora avaliar omo a teoria justifia os resultados experimentais. Sendo a ejeção provoada pela interação entre pares fóton-elétron, quanto maior for a quantidade de fótons presente no feixe de luz, maior será a quantidade de elétrons ejetados. Isso explia por que a orrente aumenta om o aumento da intensidade da luz inidente (o segundo item da lista de Lenard). Porém, aso a energia hf dos fótons não seja sufiiente para vener a resistênia expressa pela função-trabalho, ou, ainda, aquela formada pela ombinação entre a resistênia inerente à natureza do metal e o potenial ontrário imposto pela fonte, então não haverá ejeção, por mais fótons que inidam na superfíie. Fótons sem energia sufiiente não arranarão elétrons, por maior que seja a intensidade da luz, pois o proesso diz respeito a interações individuais. A tensão de orte é aquela que não permite que elétrons sejam ejetados em irunstânia alguma, ou seja, que é apaz de drenar a energia inétia máxima expressa em (3.5). Dessa forma, E max = e. V orte = hf - φ (3.6) A equação (3.5), proposta por Einstein em 1905, foi omprovada experimentalmente, om grande suesso, por Robert Andrews Millikan 10, um dos mais élebres experimentadores do séulo XX. Em termos simples, podemos afirmar que os resultados de Millikan foram onlusivos no sentido de mostrar que um gráfio de E max (ou V orte ) por f deveria ser uma reta, da qual, aliás, poderia ser extraído o valor da onstante de Plank e da função trabalho do material testado. Ele, aliás, obteve o ótimo h = J.s. Não obstante esses suessos experimentais, houve, desde o primeiro momento, fortíssima resistênia à noção de quantum de luz introduzida por Einstein (ele mesmo 9 Embora, do ponto de vista histório, quanta de luz e fótons sejam termos distintos, deles faremos uso de maneira indistinta ao longo do texto. 10 Millikan reebeu o prêmio Nobel de 193 por seu trabalho experimental na determinação da arga do elétron e na verifiação da teoria de Einstein aera do efeito fotoelétrio. 44

45 manteve uma atitude autelosa a respeito do esopo de sua hipótese heurístia). De que forma seria possível imaginar a luz, tão bem desrita em diversas instânias pela teoria ondulatória de Maxwell, omo um aglomerado de partíulas? Qual a have para oniliar ambos os mundos? Não se trata, ertamente, de um problema trivial. A relutânia de ientistas omo Millikan, Plank, Sommerfeld e von Laue, só para itar alguns nomes, não deixava de ser, até erto ponto, esperada. Por outro lado, era nitidamente ontraditório aeitar a equação (3.6) e rejeitar a natureza orpusular da luz. Em 19, Albert Einstein reebeu o prêmio Nobel de Físia de 191 por seus serviços à físia teória, espeialmente por sua desoberta da lei do efeito fotoelétrio. Os trabalhos de Compton e Debye não tardariam a trazer evidênias experimentais que, finalmente, dissipariam boa parte do etiismo aera da hipótese do fóton. 3.3 O Efeito Compton Em 193, Arthur Holly Compton publiou um artigo lássio, no qual expliou um fenômeno para o qual a onepção ondulatória da luz não tinha resposta. Imagine que um feixe monoromátio de raios X (om omprimento de onda λ) inide sobre um alvo de grafite. À luz da teoria lássia, era de se esperar que o feixe, de aráter ondulatório, saudisse os átomos do alvo om a mesma freqüênia inidente, o que não permitiria qualquer desvio na freqüênia da radiação após o espalhamento pelo alvo. No entanto, o que Compton verifiou foi algo bem distinto do que previa a físia lássia. Para que entendamos seus resultados, vejamos, na Fig.3.3, um esquema simplifiado do aparato utilizado. Figura 3.3 Compton observou que, para valores não-nulos de θ, havia dois omprimentos de onda predominantes na radiação inidente no detetor: λ 0 = λ e λ 1 = λ. O valor do primeiro omprimento estava sempre próximo ao do omprimento da radiação inidente. O segundo, no entanto, era um omprimento de onda sempre maior (freqüênia menor) que o da radiação inidente. Além disso, o valor deste omprimento dependia do ângulo θ. Como disutimos, não havia maneira de expliar tal desvio sob a égide da teoria maxwelliana. Compton interpretou o surgimento de λ omo sendo um fruto da olisão entre fótons e elétrons livres do alvo. Para que se analise uma olisão, no entanto, é preiso onheer o momento linear dos entes envolvidos. O momento linear do elétron podia ser obtido através da expressão relativístia p = mvγ, que estudamos no apítulo 1. Entretanto, permanee sem resposta imediata uma questão: e o momento linear do fóton? 45

46 Para que heguemos a uma resposta defensável a tal questão, voltemo-nos para uma outra relação deorrente de definições relativístias, a qual liga a energia total de uma partíula a seu momento linear: E =.p + (m 0. ) (3.7) Ora, omo os fótons têm veloidade igual à da luz, sua massa de repouso preisa ser nula, de modo que a expressão (3.7) se reduz a: Substituindo (3.3) em (3.8), obtemos: p = E/ (3.8) p = hf/ = h/λ (3.9) De posse de uma fórmula para o momento do fóton, podemos, sem mais demora, estudar a olisão imaginada por Compton. A Fig. 3.4 ilustra o antes e depois do fenômeno de interesse. Figura 3.4 Apliquemos a onservação do momento. Temos, para a direção x, Para a direção y, vale p 0 = p 1.os(θ) + p.os(α) (3.10) p 1.sen(θ) = p.sen(α) (3.11) Manipulando (3.10) e elevando ao quadrado ambos os membros, notamos que [p 0 p 1.os(θ)] = p.os (α) (3.1) Elevando ao quadrado ambos os membros de (3.11), temos: p 1.sen (θ) = p.sen (α) (3.13) 46

47 Somando (3.1) e (3.13), obtemos a relação Pela onservação da energia, vale que nos leva a: Substituindo (3.8) em (3.16), obtemos: p 0 + p 1 p 0.p 1.os(θ) = p (3.14) E 0 + m 0. = E 1 + E + m 0. (3.15) E 0 E 1 = E (3.16).(p 0 p 1 ) = E (3.17) Apliando a expressão relativístia (3.7) ao elétron após a olisão, temos: que se reduz a: ou (E + m 0. ) = p + (m 0 ) (3.18) E + E.m 0. = p (3.19) E / + E.m 0 = p (3.0) Igualando p em (3.14) e (3.0), e fazendo uso da expressão (3.17), temos: que se reduz a: ou (p 0 p 1 ) + m 0 (p 0 p 1 ) = p 0 + p 1 p 0 p 1 os(θ) (3.1) m 0. (p 0 p 1 ) = p 0.p 1.[1 os(θ)] (3.) (p 1 ) -1 (p 0 ) 1 = (m 0 ) -1.[1 os(θ)] (3.3) Multipliando ambos membros de (3.3) pela onstante de Plank e utilizando (3.9), obtemos: λ = λ 1 - λ 0 = λ C.[1 os(θ)] (3.4) 47

48 sendo λ C = h/m 0 o omprimento de onda de Compton. A equação (3.4), por vezes denominada equação de Compton, não ontém informações aera do material utilizado 11. Como aabamos de ver, a teoria orpusular da luz forneeu uma expliação para o desvio de freqüênia (ou omprimento de onda) da radiação espalhada. Essa nova evidênia em favor do fóton ausou enorme sensação na omunidade ientífia, pois havia sido mostrado de maneira abal que a hipótese quântia também levava a um enário oerente quando apliada ao estudo da transferênia de momento entre radiação e matéria [Pais, 1995]. O suesso de Compton foi, portanto, um maro no proesso de amadureimento da ainda jovem teoria. Finalmente, destaamos que os elétrons espalhados também foram onlusivamente detetados graças aos posteriores esforços de Bothe, Geiger, Jaobsen e outros [Born, 1986]. Apesar de termos apresentado uma expliação para o desvio de omprimento de onda, ainda preisamos entender por que a radiação espalhada tinha também signifiativo onteúdo na vizinhança de um omprimento de onda aproximadamente igual ao inidente. A expliação é simples: trata-se do fruto de interações entre fótons e elétrons não-livres, para os quais o raioínio aima não é estritamente válido Bremsstrahlung e a Produção de Raios-X Bremsstrahlung é uma palavra alemã que nos remete à idéia de uma radiação de desaeleração. Tal palavra se refere aos raios-x que são produzidos pela desaeleração de elétrons que olidem om alvos metálios. Já se sabia que, de aordo om a teoria de Maxwell, partíulas que sofrem aeleração (ou desaeleração) devem emitir radiação. Entretanto, havia algumas peuliaridades que ainda não haviam sido adequadamente expliadas. Suponhamos que inida sobre um alvo um feixe de elétrons om erta energia. Experimentalmente, observase que o espetro da radiação gerada no proesso tem um valor máximo de freqüênia (ou um valor mínimo de omprimento de onda), valor que reebe o nome de limite de Duane- Hunt, em homenagem a William Duane e Franklin Livingston Hunt 13. A teoria ondulatória não prevê a existênia de tal limite, o que abriu aminho, mais uma vez, para a apliação do emergente oneito de fóton. O limite de Duane-Hunt é uma onseqüênia direta de (3.6). Suponhamos que os elétrons tenham sido aelerados até o ponto em que possuam uma erta energia inétia E. Nesse momento, onsideremos que as partíulas arregadas olidam om o alvo, emitam fótons e peram, por onseguinte, energia inétia. Num aso extremo, podemos oneber uma olisão em que toda a energia inétia do elétron seja onvertida em energia radiante. Nesse aso, E = hf emitido (3.5) 11 Frisamos que a expressão obtida é, em rigor, uma boa aproximação, pois deveríamos ter levado em onta a função trabalho do material testado. 1 Podemos intuir a razão de ser desse fato se imaginarmos que a massa efetiva dos entes fortemente ligados é muitas vezes maior que a de um elétron livre, o que, de aordo om (3.4), faz om que haja um desvio pouo signifiativo [Halliday e Resnik, 1994]. 13 Esses dois ientistas realizaram experiênias voltadas à produção de raios X, nas quais observaram a propriedade que aabamos de expor..interessantemente, segundo Pais [Pais 1995], Duane tinha grande interesse na apliação de raios X ao tratamento do âner. 48

49 Assumamos que a energia inétia dos elétrons é onseqüênia da atuação de um ampo elétrio uniforme. Nessas irunstânias, é-nos líito esrever: E = e.v (3.6) sendo V a diferença de potenial entre os eletrodos do tubo no qual se produzem os raios X. Analisando (3.5), perebemos que a freqüênia em questão deve ser a freqüênia-limite verifiada por Duane e Hunt, à qual daremos o nome de f orte. Substituindo (3.6) em (3.5), obtemos finalmente 14 f orte = ev/h (3.7) A partir de (3.7), os dois pesquisadores obtiveram um valor muito bom para a onstante de Plank, a saber, J.s [Pais, 1995]. Note que a expressão (3.7) não apresenta qualquer dependênia explíita em relação ao tipo de material utilizado. Neste apítulo, apresentamos uma série de evidênias experimentais em favor da hipótese dos quanta de luz. Sabemos que o aráter ondulatório da luz nos ajuda a entender diversos fenômenos, omo a difração e a interferênia. Não obstante, tal interpretação é limitada, em espeial quando se trabalha om interações om a matéria. Nesse domínio, foi preiso lançar mão do aráter orpusular manifesto no oneito de fóton: paira no ar uma espéie de dualidade, sobre a qual ainda teremos muito a dizer. Bibliografia do Capítulo 3: [Born 1986] M. Born, Físia Atômia, Fundação Calouste Gulbenkian, [Eisberg 1961] R. Eisberg, Fundamentals of Modern Physis, Wiley, [Halliday e Resnik 1994] D. Halliday, R. Resnik, Fundamentos da Físia, LTC, [Ohanian 1995] H. Ohanian, Modern Physis, Prentie Hall, Seond Edition, [Pais 1995] A. Pais, Sutil é o Senhor: a Ciênia e a Vida de Albert Einstein, Nova Fronteira, [Serway 1990] R. Serway, Physis for Sientists and Engineers, Saunders College Publishing, Third Edition, Deve-se a Einstein a idéia de apliar seu prinípio heurístio ao problema em questão e a Duane e Hunt o mérito da análise experimental do mesmo. 49