Pipeline Gráfico. Clipping (Recorte) Por que o recorte? INF 1366 Computação Gráfica Interativa. Clipping (Recorte)

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1 Modeling Transformations Pipeline Gráfico INF 1366 Computação Gráfica Interativa Clipping (Recorte) Alberto B. Raposo e Marcelo Gattass abraposo@tecgraf.puc-rio.br Illumination (Shading) Viewing Transformation (Perspective / Orthographic) Clipping Projection (to Screen Space) Scan Conversion (Rasterization) Visibility / Display Modeling Transformations Illumination (Shading) Viewing Transformation (Perspective / Orthographic) Clipping Projection (to Screen Space) Scan Conversion (Rasterization) Visibility / Display Clipping (Recorte) Partes do objeto fora do volume de visualização (view frustum) são removidas Por que o recorte? Não perder tempo rasterizando objetos fora da janela de visualização! Classes de algoritmos: Pontos Linhas Polígonos 1

2 Ponto em retângulo Casos de clipping de linhas y y p E 2.tol y m 2.tol (x 2, y 2 ) A C (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) x m x p x D B int pontinrect(int xm, int ym, float xp, float yp, float tol) { return ( (xp>=xm-tol) && (xp<=xm+tol) ) && ( (yp>=ym-tol) && (yp<=ym+tol) ); (x 1, y 1 ) Casos Triviais Grande otimização: aceitar/rejeitar casos triviais Testar extremidades do segmento de reta Aceitação Trivial Como saber se uma linha está totalmente dentro de uma janela? R: se ambas as extremidades estão dentro de todas as arestas da janela, a linha está totalmente dentro da janela Essa linha está trivialmente dentro 2

3 Rejeição Trivial Como saber se uma linha está totalmente fora de uma janela? R: se ambas as extremidades estão do mesmo lado (de fora) de uma aresta da janela, a linha pode ser rejeitada Recorte de Linhas em Relação ao Viewport Combinando casos triviais Aceitar (desenhar) linhas com ambos os pontos extremos dentro de todas as arestas da janela de visualização Rejeitar linhas com ambos extremos fora de uma mesma aresta da janela de visualização Reduzir outros casos aos casos triviais, encontrando intrerseções e dividindo os segmentos Essa linha está trivialmente fora Essa linha está fora, mas não cai no caso trivial, pois as extremidades não estão do mesmo lado de uma mesma aresta Cohen-Sutherland Line Clipping Dividir janela de visualização em regiões definidas pelas arestas da janela Atribuir código (outcode) de 4 bits para cada região: Bit 1 indica que valor y dos pontos está acima de y max Outros bits indicam relação com outros vértices da janela y max x max Cálculo do código de um vértice Outcode compoutcode(double x, double y, double xmin, double xmax, double ymin, double ymax) { Outcode code; code.top = 0, code.bottom = 0, code.right = 0, code.left = 0, code.all = 0; if (y > ymax) { code.top = 1; code.all += 8; else if(y < ymin) { code.bottom = 1; code.all += 4; if (x > xmax) { code.right = 1; code.all += 2; else if(x < xmin) { code.left = 1; code.all += 1; return code;

4 Cohen-Sutherland Line Clipping Para cada segmento de reta Atribua o outcode para cada extremo Se ambos outcodes = 0, aceitação trivial if (bitwise OR = 0) Caso Contrário bitwise AND para os outcodes dos vértices if result 0, rejeição trivial Cohen-Sutherland Line Clipping Se a linha não cai nos casos triviais, subdividi-la de forma que um ou os dois segmentos possam ser descartados Selecione uma aresta da janela de visualização que a linha cruza Ache a interseção da linha com a aresta Descarte a parte do segmento do lado de fora da aresta e atribua novo outcode ao novo vértice Aplique os testes triviais; repetidamente se necessário Cohen-Sutherland Line Clipping Se a linha não cai nos casos triviais, subdividi-la de forma que um ou os dois segmentos possam ser descartados Selecione uma aresta da janela de visualização que a linha cruza Cheque as arestas na mesma ordem sempre Ex: top, bottom, right, left A B C D E Cohen-Sutherland Line Clipping Ache a interseção da linha com a aresta D E C B A 4

5 Cohen-Sutherland Line Clipping Descarte a parte do segmento do lado de fora da aresta e atribua novo outcode ao novo vértice Aplique os testes triviais; repetidamente se necessário C D Cohen-Sutherland Line Clipping Descarte a parte do segmento do lado de fora da aresta e atribua novo outcode ao novo vértice Aplique os testes triviais; repetidamente se necessário C A B A B Interseção com Janela de Visualização (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ): interseção com aresta vertical direita: x right y intersect = y 1 + m(x right x1) onde m=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ): interseção com aresta horizontal de baixo: y bottom x intersect = x 1 + (y bottom y1)/m onde m=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 ) Algoritmo de Cohen-Sutherland void CohenSutherlandLineClipAndDraw(double x0, double y0, double x1, double y1, double xmin, double xmax, double ymin, double ymax, int value) { outcode outcode0, outcode1, outcodeout, CompOutCode(); double x, y; boolean accept = FALSE, done = FALSE; outcode0 = CompOutCode(x0, y0, xmin, xmax, ymin, ymax); outcode1 = CompOutCode(x1, y1, xmin, xmax, ymin, ymax); do { if (outcode0.all == 0 && outcode1.all == 0) { accept = TRUE; done = TRUE; /* trivial draw and exit */ else if((outcode0.all & outcode1.all)!= 0) { done = TRUE; /* trivial reject and exit */ else { if (outcode0.all!= 0) outcodeout = outcode0; else outcodeout = outcode1; if (outcodeout.top) { x = x0 + (x1 - x0) * (ymax - y0) / (y1 - y0); y = ymax; else if(outcodeout.bottom) { x = x0 + (x1 - x0) * (ymin - y0) / (y1 - y0); y = ymin; else if(outcodeout.right) { y = y0 + (y1 - y0) * (xmax - x0) / (x1 - x0); x = xmax; else if(outcodeout.left) { y = y0 + (y1 - y0) * (xmin - x0) / (x1 - x0); x = xmin; if (outcodeout.all == outcode0.all) { x0 = x; y0 = y; outcode0 = CompOutCode(x0, y0, xmin, xmax, ymin, ymax); else { x1 = x; y1 = y; outcode1 = CompOutCode(x1, y1, xmin, xmax, ymin, ymax); /* Subdivide */ while (!done); if (accept) DrawLineReal(x0, y0, x1, y1, value); 5

6 Cohen-Sutherland Outcodes facilitam descoberta de casos triviais Melhor algoritmo quando casos triviais são comuns Os casos não triviais, por outro lado: Têm custo elevado Geram às vezes recortes redundantes Existem algoritmos mais eficientes Equações Paramétricas Equações de reta Explícita: y = mx + b Implícita: Ax + By + C = 0 Paramétrica: linha definida por 2 pontos, P 0 e P 1 P(t) = P 0 + (P 1 - P 0 ) t, onde P é vetor [x, y] T x(t) = x 0 + (x 1 - x 0 ) t y(t) = y 0 + (y 1 - y 0 ) t Equação Paramétrica da Reta Descreve segmento (linha finita) 0 <=t <= 1 Define linha entre P 0 e P 1 t < 0 Define linha antes de P 0 t > 1 Define linha depois de P 1 Linhas Paramétricas e Clipping Definir cada linha na forma paramétrica: P 0 (t) P n-1 (t) Definir cada aresta da janela de visualização na forma paramétrica: P L (t), P R (t), P T (t), P B (t) Realiza testes de interseção de Cohen- Sutherland usando linhas e arestas apropriadas 6

7 Equações: Line / Edge Clipping Equações paramétricas permitem recortes mais eficientes Linha 0: x 0 = x (x0 1 - x0 0 ) t0 y 0 = y (y0 1 - y0 0 ) t0 x (x0 1 - x0 0 ) t0 = x L 0 + (xl 1 - xl 0 ) tl y (y0 1 - y0 0 ) t0 = y L 0 + (yl 1 - yl 0 ) tl Resolver para t 0 e/ou t L View Window Edge L: x L = x L 0 + (xl 1 - xl 0 ) tl y L = y L 0 + (yl 1 - yl 0 ) tl Limitações de Cohen-Sutherland Só funciona para janelas de visualização retangulares Algoritmo para recorte em janelas convexas arbitrárias: Cyrus-Beck Algoritmo de Cyrus-Beck Queremos otimizar o cálculo das interseções linha/linha Começa com equação paramétrica da linha: P(t) = P 0 + (P 1 - P 0 ) t E um ponto e a normal de cada aresta da janela P L, N L Algoritmo de Cyrus-Beck Encontre t tal que: N L [P(t) - P L ] = 0 P 0 N L Substitua P(t) pela equação da linha: N L [P 0 + (P 1 - P 0 ) t - P L ] = 0 Encontre t t = N L [P L P 0 ] / -N L [P 1 - P 0 ] P(t) P L Inside P 1 7

8 Algoritimo de Cyrus-Beck Algoritimo de Cyrus-Beck N E i N E i P 0 P(t) P 1 P E i P 0 N [ P ( t ) P ] = 0 P 1 E i E i N N E i [ P ( t ) P [ P ( t ) P E i ] > 0 ] < 0 E i E i P E i P ( t ) = P + ( P1 P0 ) t 0 N [ P ( t ) P ] = 0 E i E i Produto escalar de 2 vetores P ( t ) = P + ( P1 P0 ) t 0 N [ P( t) P ] = 0 Ei Ei [ 0 Ei ] [ 1 0] NEi P P t = N P P Ei Algoritmo de Cyrus-Beck Compute t para a interseção da linha com todos as arestas da janela Descarte todos (t < 0) e (t > 1) Classifique as interseções restantes em Potentially Entering (PE) Potentially Leaving (PL) N L [P 1 - P 0 ] > 0 implica PL N L [P 1 - P 0 ] < 0 implica PE Entrando ou Saindo? P 0 P 1 P 1 E i N E i [ ] N E i P1 P 0 < 0 P E E i P 0 N E i [ ] N E i P1 P0 > 0 P L 8

9 P E Cálculo das interseções P L P E P L P E B C P L P L P L P L A Algoritmo de Cyrus-Beck Para cada reta: Ache o PE com maior t Ache o PL com menor t Recorte nesses 2 pontos PL PL P 1 P E P E P E PE PE P 0 Cyrus-Beck - caso geral { Calcule Ni e escolha um PEi para cada aresta te = 0; tl = 1; for(cada aresta ){ if (Ni.(P1-P0)!=0 ){ /* aresta não é paralela ao segmento */ calcule t; use sign of Ni.(P1-P0) para categorizar como PE ou PL; if( PE ) te = max(te, t); if( PL ) tl = min(tl, t); else { /* aresta paralela ao segmento */ if (Ni.(P0-PEi) > 0) /* está fora */ return nil; if(te > tl) return nil; else return P(tE) and P(tL) as true clip intersections; Caso particular: Liang e Barsky Janela retangular: linhas de recorte horizontais e verticais: Normais: (-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1) Soluções para t: -(x 0 - x left ) / (x 1 - x 0 ) (x 0 - x right ) / -(x 1 - x 0 ) -(y 0 - y bottom ) / (y 1 - y 0 ) (y 0 - y top ) / -(y 1 - y 0 ) 9

10 y Liang e Barsky Comparação y max y min x min x max Ei N Ei P Ei t left: x = x min (-1, 0) (x min, y) right: x = x max (1, 0) (x max, y) bottom: y = y min (0,-1) (x, y min ) top: y = y max (0, 1) (x, y max ) x -(x 0 -x min ) (x 1 -x 0 ) (x 0 -x max ) -(x 1 -x 0 ) -(y 0 -y min ) (y 1 -y 0 ) (y 0 -y max ) -(y 1 -y 0 ) Cohen-Sutherland Clipping repetitivo é caro Melhor utilizado quando a maioria das linhas se encaixam nos casos de aceitação e rejeição triviais Cyrus-Beck Cálculo de t para as interseções é barato Computação dos pontos (x,y) de corte é feita apenas uma vez Algoritmo não considera os casos triviais Melhor usado quando a maioria das linhas precisa ser recortada Recorte de Polígonos Mais complicado Recorte de Polígonos Mais complexo que corte de linhas Input: polígono Output: polígono original, novo(s) polígono(s), ou nada A melhor otimização são os casos de aceitação ou rejeição trivial Ainda mais quando polígono é côncavo 10

11 O que pode acontecer com um triângulo? Possibilidades: Tarefa complicada!!! Sete Quantos lados? triângulo triângulo triângulo quad triângulo 5-gon Quantos lados pode ter um triângulo recortado? Tarefa complicada!!! Algoritmo de Sutherland-Hodgman Idéia básica: Considerar cada aresta da janela de visualização individualmente Recortar o poligono pela equação de cada aresta Polígono côncavo múltiplos polígonos 11

12 Sutherland-Hodgman Clipping Sutherland-Hodgman Clipping Sutherland-Hodgman Clipping Sutherland-Hodgman Clipping 12

13 Sutherland-Hodgman Clipping Sutherland-Hodgman Clipping Sutherland-Hodgman Clipping Sutherland-Hodgman Clipping 13

14 Sutherland-Hodgman Clipping Sutherland-Hodgman Clipping Idéia básica: Considerar cada aresta da janela de visualização individualmente Recortar o poligono pela equação de cada aresta Depois de fazer isso para todas as arestas, o polígono está completamente recortado Sutherland - Hodgman Clip contra uma aresta (plano) de cada vez Sutherland-Hodgman Clipping Input/output do algoritmo Input: lista ordenada dos vértices do polígono Output: lista dos vértices recortados, com alguns vértices originais (possivelmente) e outros novos (possivelmente) 14

15 inside s Sutherland-Hodgman Clipping Aresta de s a p se enquadra em um dos 4 casos: (Linha azul pode ser reta ou plano) outside inside outside inside outside p inside p outside s Clipping de polígonos (Hodgman & Suterland) Para cada aresta (plano) teste um segmento de cada vez Existem quatro casos possiveis para um vértice e seu antessessor interno saindo externo entrando S P S I P p s p s guarde P P P I guarde II S S guarde I, I, P p output i output no output i output p output (a) (b) (c) (d) Sutherland-Hodgman Clipping 4 casos: s e p dentro do plano Coloque p para output (guarde p) Nota: s já estaria no output pela aresta anterior s dentro do plano e p fora Ache ponto de interseção i guarde i s e p fora do plano Não coloque nada no output s fora do plano e p dentro Ache ponto de interseção i guarde i, e também p Clipping de polígonos (Exemplo 1) A B S P Ação 1 2 x 2 3 store A,3 3 4 store store store B 6 1 x 15

16 2 3 A 6 B x x x x D C 1 Clipping de polígonos (Exemplo 2) 5 4 S P Ação 1 2 store A 2 3 x 3 4 store B,4 4 5 store store C 6 1 store D,1 1 Clipping de polígonos (Exemplo 2) 5 A B x x x x D C x E x F 4 S P Ação A B store B B 4 store E 4 5 store F,5 5 C store C C D store D D 1 x 1 A store 1, A A D C B B, E, F, 5, 5, C, D, 1, 1, A Teste Point-to-Plane Teste geral para verificar se ponto p está dentro de um plano P, definido por q e n: (p - q) n < 0: p dentro de P (p - q) n = 0: p exatamente em P (p - q) n > 0: p fora de P Lembrar que: p n = p n cos (θ) θ = ângulo entre p e n p q P n q p P n q P p n Interseção Linha-Plano Aresta intercepta plano P onde L(t) está em P q é ponto em P n é a normal ao plano P (L(t) - q) n = 0 (L 0 + (L 1 - L 0 ) t - q) n = 0 t = [(q - L 0 ) n] / [(L 1 - L 0 ) n] O ponto de interseção i = L(t) para o valor de t encontrado acima 16

17 Weiler-Atherton Clipping Estratégia: caminhar pelas bordas do polígono e da janela Polígonos são orientados no sentido anti-horário (CCW) Weiler-Atherton Clipping Encontre pontos de interseção Weiler-Atherton Clipping Marque os pontos onde o polígono entra na janela de recorte Weiler-Atherton Clipping Enquanto houver interseção de entrada não processada: caminhar pelas bordas do polígono ou da janela 17

18 Regras da caminhada Par In-to-out: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta do polígono (ccw) Par Out-to-in: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta da janela (ccw) Regras da caminhada Par In-to-out: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta do polígono (ccw) Par Out-to-in: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta da janela (ccw) Regras da caminhada Par In-to-out: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta do polígono (ccw) Par Out-to-in: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta da janela (ccw) Regras da caminhada Par In-to-out: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta do polígono (ccw) Par Out-to-in: Grave o ponto de interseção Caminhe pela aresta da janela (ccw) 18

19 Weiler-Atherton Clipping Enquanto houver interseção de entrada não processada: caminhar pelas bordas do polígono ou da janela Weiler-Atherton Clipping Enquanto houver interseção de entrada não processada: caminhar pelas bordas do polígono ou da janela Weiler-Atherton Clipping Enquanto houver interseção de entrada não processada: caminhar pelas bordas do polígono ou da janela Weiler-Atherton Clipping Enquanto houver interseção de entrada não processada: caminhar pelas bordas do polígono ou da janela 19

20 Dificuldades E se um vértice do polígono está na borda da janela? E se estiver quase na borda? Problema de precisão Welcome to the real world of geometry! Informações Adicionais Peter Shirley. Fundamentals of Computer Graphics, A K Peters, Ltd., Natick, MA, USA, Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Phlips, L. R., Introduction to Computer Graphics, Addison-Wesley, D. F. Rogers, Procedural Elements for Computer Graphics, McGraw-Hill, Marcelo Gattass: notas de aula. 20