RECORTE (CLIPPING) por janelas rectangulares

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1 RECORTE (CLIPPING) por janelas rectangulares y max y min x min x max i. PONTOS P(x,y) é visível se não for exterior à janela x x max x x min y y max y y min ii. LINHAS (segmentos de recta) PQ é visível se P for visível e Q for visível (condição trivial de aceitação sem cálculos de recorte)

2 RECORTE de LINHAS (1) Método da força bruta Teste de paralelismo Resolução de um sistema de duas equações O ponto de intersecção das rectas pertence aos segmentos? Algoritmo de Cohen-Sutherland Baseia-se na definição de regiões de teste com relação à janela W e atribuição de um código binário a cada extremidade de uma linha, e.g.:

3 Algoritmo de Cohen-Sutherland Convenção para cada ponto P: bit i = 1 se Esta correspondência pode ser fixada por escolha arbitrária P acima de W P abaixo de W P à direita de W P à esquerda de W PQ é trivialmente aceite se ( código(p) or código(q) ) = 0000 PQ é trivialmente rejeitado se ( código(p) and código(q) ) 0000 ado existir pelo menos uma intersecção nos restantes casos, usa-se uma estratégia iterativa para a procurar.

4 Algoritmo de Cohen-Sutherland Para implementar essa estratégia iterativa, escolher-se-á a seguinte ordem para efectuação dos testes Bit 1 Bit 2 Bit 3 Bit 4 aplicando-se então as regras decorrentes da convenção que se use: Bits 1 diferentes Bits 2 diferentes Bits 3 diferentes Bits 4 diferentes rejeitam-se as linhas acima de W e recomeça-se rejeitam-se as linhas abaixo de W e recomeça-se rejeitam-se as linhas à direita de W e recomeça-se rejeitam-se as linhas à esquerda de W e recomeça-se

5 EXEMPLO 1: 1000 Q 0001 P PQ = PQ +Q Q 1000 Q 0001 P Q 0001 P P Q 0000 P Q

6 EXEMPLO 2: 0010 Q 0100 P 0010 Q 0010 Q 0100 P Q Q trivialmente rejeitado

7 Algoritmo de Cohen-Sutherland Métodos alternativos para resolução da intersecção: a) Resolução de um sistema de equações incluindo, conforme o caso, uma das quatro seguintes x = x max x = x min y = y max y = y min ( obriga a multiplicações e divisões ) b) Substituição de P ou Q pelo ponto médio x med = ( x P + x Q ) / 2 y med = ( y P + y Q ) / 2 Aplicado iterativamente, este algoritmo de pesquisa dicotómica necessita, no máximo, de log 2 M x subdivisões, com M x = número máximo de pixels de uma linha Aplicação ao recorte em 3: Extensão de 4 para 6 bits + Planos (de recorte) em vez de linhas

8 RECORTE de LINHAS (2) Algoritmo de Cyrus-Beck Trabalha-se com a descrição paramétrica da linha que se pretende recortar, tendo como objectivo intermédio o cálculo dos valores do parâmetro nos pontos de intersecção com a janela de recorte W. O algoritmo será apresentado com a formulação Liang-Barsky, que o torna ainda mais eficiente. W

9 Os limites da janela de recorte são, por hipótese, as rectas E i (i=1..4), sendo o segmento de recta a recortar e parametricamente dado por: Sejam: P(t) = + ( ) t com 0 t 1 P Ei um ponto qualquer da recta E i V = P(t) - P Ei um vector normal a E i e dirigido para o semi-espaço totalmente exterior à janela W Para uma janela rectangular, os diversos poderiam ser os seguintes vectores: N 1 = ( 0,-1) N 2 = (-1, 0) N 3 = ( 1, 0) N 4 = ( 0, 1)

10 Intersecção de com a recta E i : exterior exterior exterior P Ei P Ei P Ei V V V P(t) P(t) P(t). V > 0. V = 0. V < 0 Produto interno Condição para o cálculo da intersecção

11 Cálculo da intersecção P(t) de com a recta E i :. (P(t) P Ei ) = 0. ( + ( ) t P Ei ) = 0. ( P Ei + ( ) t) = 0. ( P Ei ) +. ( ) t = 0 = t =. ( P Ei ). sempre que. 0 Para uma janela rectangular haverá 4 valores t a calcular.

12 Quais as situações em que. = 0? i. =0 Nunca poderá ocorrer num programa correcto! ii. = 0 =, pelo que, neste caso, se deverá usar o teste de recorte para pontos iii. e perpendiculares entre si paralelo a E i, pelo que não existirá intersecção

13 t =. ( P Ei O valor ) corresponderá a uma intersecção com W?. Classificação dos pontos de intersecção com a recta E i : O sinal do numerador indica-nos para que lado de E i se encontra t>> P P 0 PE 1 PE : Ponto potencialmente de entrada em W (potentially entering). < 0 intersecção PE em t PE PL t>> PL : Ponto potencialmente de saída de W (potentially leaving). > 0 intersecção PL em t PL Se. = 0 e. ( P Ei ) > 0 então é descartado, pois é paralelo a E i e é exterior à janela.

14 Para cada E i a classificação dos pontos de intersecção em PE e PL é feita em simultâneo com o cálculo de t, tendo em conta os valores anteriores do parâmetro (ou por inicialização ou por cálculos anteriores), o que permite testes para descartar segmentos logo na análise de cada E i (optimização de Liang-Barsky). Se for PE escolhe-se o maior t (valor inicial t PE =0): N t PE = máx ( i. ( P Ei ), t PE ). se t PE >1 então t PE >t PL O sinal do denominador determina se é PE ou PL Se for PL escolhe-se o menor t (valor inicial t PL =1): N t PL = mín ( i. ( P Ei ), t PL ). se t PL <0 então t PE >t PL Pode escolher-se P Ei de forma a que -P Ei seja sempre paralelo a Exemplo: N 3.( -P E3 )=x 0 -x max Se acontecer t PE >t PL então o segmento é descartado.

15 Se não tiver sido descartado, as extremidades do segmento recortado ficarão determinadas por substituição de t PE e t PL em P(t) = P0 + (P1 P0) t. EXEMPLOS A) Supondo que a ordem de cálculo escolhida é BOTTOM LEFT RIGHT TOP =PL E 2 =PL E 1 PE PE E 3 PL E 4 PL PE PE

16 B) E 2 E 1 =PE =PL PE =PL E 1 não tem influência porque t<0 t<t PE E 3 E 4 PE PL PE PL E 4 não tem influência porque t>1 t>t PL

17 C) E 2 E 3 E 4 ) E 1 =PE PL E 1 não influencia por ser paralelo a e este está no semi-espaço não exterior PL PE é descartado porque t PE >t PL E 2 não tem influência porque t<0 t<t PE E 4 não influencia por ser paralelo a e este está no semi-espaço não exterior Nota: Apenas E 1 e E 2 foram necessários para esta conclusão. Algoritmo de Cohen-Sutherland versus Algoritmo de Cyrus-Beck (Liang-Barsky) O algoritmo de Cohen-Sutherland é mais eficiente quando houver muitas primitivas dentro ou fora da janela de recorte, aumentando a probabilidade de aceitações/rejeições triviais. Caso contrário, o algoritmo de Cyrus-Beck é sempre preferível por não repetir o tratamento. O algoritmo de Cyrus-Beck pode adaptar-se a quaisquer janelas poligonais convexas, para além de também se poder generalizar a 3 como o de Cohen-Sutherland.

18 RECORTE de POLÍGONOS por janelas rectangulares Algoritmo de Sutherland-Hodgman * interior B exterior C A Polígono [ A B C ] Inicializações: V i = Lista dos vértices de entrada = [ A B C ] V o = Lista dos vértices de saída = nil * Este algoritmo pode generalizar-se a qualquer janela poligonal convexa

19 Algoritmo de Sutherland-Hodgman : as 4 regras exemplificadas interior B exterior C interior B exterior C 1.ª aresta C A A A e B no interior juntar B a V o V o = [ B ] B interior e C exterior calcular e juntar C V o = [ B C ] interior B exterior C interior B exterior C A A A C e no exterior continuar V o = [ B C ] exterior e A interior calcular A e juntar A e A V o = [ B C A A ]

20 Algoritmo de Sutherland-Hodgman O polígono [ A B C ] atrás exemplificado foi transformado em [ B C A A ] pela operação de recorte: B C A A Para um polígono arbitrário, o algoritmo aplica-se por fases sequenciais: CLIPPING STAGES V i CLIP LEFT CLIP TOP CLIP RIGHT CLIP BOTTOM V O Nota: Esta ordem é arbitrária! Questão: Como se poderia generalizar este algoritmo aos casos de janelas não rectangulares?

21 Algoritmo de Sutherland-Hodgman - EXEMPLO MAIS COMPLEXO (Polígono não convexo) : C B F G V i = [ A B C E F G H ] H E A B G C G F C C C F G C H F H A H E H A H E A V O1 = [ C C E F G H H A ] = V i2 V O2 = [ E F H H H A C ] = V i3

22 Algoritmo de Sutherland-Hodgman - (conclusão) C H F C H F H E H E A H A H E E E E V O3 = [ E E F H H H A C ] = V i4 V O4 = [ E E F H H H A C E ] = V o Polígono recortado: C H F H E A H E E O algoritmo de Sutherland-Hodgman pode gerar arestas estranhas (como F H ou H H ) aos polígonos não convexos, com possibilidade de serem eliminadas apenas em pós-processamento. No entanto, não haverá problemas desse género se se recortar um qualquer polígono convexo.

23 RECORTE de POLÍGONOS RECORTE EXTERIOR (SHIELING or BLANKING) B V i CLIP LEFT CLIP TOP CLIP RIGHT CLIP BOTTOM U V o A G C E F V OL = [ A G A ] V OT = [A BB C ] V O = { V OL, V OT, V OR, V OB } V OR = [ C E E ] V OB = [ E F F ] Resultado final da aplicação de FILL AREA a V O