Comparação do desempenho de métodos de reposição ótima de componentes em estoque

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1 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de 2004 Comparação do desempenho de métodos de reposição ótima de componentes em estoqe Edardo de Oiveira Pacheco (PUC-PR) edpache@terra.com.br Gstavo Henriqe da Costa Oiveira (PUC-PR) gstavoc@ra01.pcpr.br Resmo: Este artigo aborda o probema de reposição ótima de componentes em estoqe tiizando anáise de sistemas dinâmicos em maha fechada, mais especificamente a teoria de controe. O ambiente prodtivo em qestão é mono-prodto e possi m único níve. Pode operar em várias estratégias conhecidas (ATO, MTO, MTS, entre otras). O níve é composto peos estágios de manfatra, montagem com m estoqe intermediário entre ambos qe deverá ser imizado pea reposição de componentes. O sistema considera restrição de capacidade na manfatra, ead time nos estágios e incertezas na demanda ftra prevista. É reaizada ma anáise comparativa de desempenho entre três métodos de reposição ótima de componentes em estoqe. No primeiro agoritmo trata-se o probema de reposição tiizando a técnica de programação inear. No segndo, o agoritmo de reposição tiiza a técnica de controe ótimo com imização de m passo. No terceiro, o agoritmo de reposição tiiza a técnica de controe ótimo baseada na imização de m horizonte de previsão. Paavras Chave: Sistemas Dinâmicos; Gestão de Estoqe; Controe ótimo; Incertezas na demanda. 1. Introdção Os sistemas de controe têm sido investigados desde a década de 50 devido a sa reevância em diversas apicações (Aström & WIttenmark, 1995). Ambientes prodtivos e sistemas de manfatra qe envovem a gestão de estoqes são também ma área de apicação da teoria de controe (Vassian, 1954) (Towi et a., 1997). Sistemas de controe com reaimentação são de fndamenta importância ma vez qe permitem compensar fatores imprevisíveis como fahas no sistema, incertezas em tempos de entrega/manfatra/montagem o na demanda de prodtos armazenados no estoqe. Nesta área, sistemas de controe estão reacionados com a metodoogia para reposição de componentes em m dado instante de tempo baseada em informações do ambiente prodtivo. A modeagem de m ambiente prodtivo tiizando os conceitos de sistemas dinâmicos em maha fechada para m ambiente prodtivo mono-prodto e mono-níve, é abordada em (Towi, 1982) sob o jargão de sistema de reposição em estoqe baseado na ordem de prodção, o IOBPCS (Inventory and Order Based Prodction Contro System). Nesta modeagem, o objetivo era verificar a qantidade de componentes em estoqe qando o sistema prodtivo está sob a ação de ftação de demanda. Este trabaho foi estendido em (Towi & De Vecchio, 1994) para o caso de ma cadeia de sprimentos composta de três níveis (three-echeon) prodtivos. Nesta proposta é disctido o comportamento da ampificação de demanda entre os níveis prodtivos. Otros trabahos qe tratam de sistemas dinâmicos, reposição ótima de estoqe e sistemas em maha fechada podem ser citados. Por exempo, os trabahos de (Vassian, 1954) (Pacheco et a., 2002) (Oiveira & Pacheco, 2003) (Pacheco & Oiveira, 2003 a, b). Em (Vassian, 1954) a anáise e projeto de m agoritmo para controe de estoqe, isto é, reposição de componentes em m armazém, é feita sob o ponto de vista de projeto de controe para servomecanismos. A teoria de sistemas dinâmicos em tempo discreto é então tiizada devido à característica essenciamente discreta das variáveis envovidas no ambiente ENEGEP 2004 ABEPRO 85

2 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de 2004 prodtivo anaisado, isto é pedidos de prodção, posição de componentes, demanda, etc. O ambiente prodtivo e de armazenagem é modeado através de eqações a diferenças e, baseado na hipótese qe o sistema mda de estado em intervaos fixos de tempo (coeta de dados e reposição de componentes periódica), ma estratégia de controe de estoqe é proposta. Em trabaho mais recente (Pacheco et a, 2002), trata do probema da reposição ótima de estoqes dentro de m ambiente prodtivo de m níve, mono-prodto, qe atende a gestão da demanda ATO. Este ambiente prodtivo é composto de dois estágios. O primeiro representa a manfatra de componentes e o segndo a montagem dos componentes, dando origem ao prodto fina. Existe m estoqe intermediário entre os estágios. Propõe-se ma soção de gestão para a deteração das ordens de manfatra a fim de imizar a variância da posição de estoqe em reação a m vaor de referência. Anaisa-se o caso de demanda sazona, a presença de incertezas na previsão da demanda e a asência de restrições de capacidade. Em (Pacheco & Oiveira, 2003 a, b) aborda-se o probema de picos de demanda não previstos com exatidão e restrições na capacidade da manfatra. Nesta sitação, a capacidade de manfatra pode não ser capaz de sprir a demanda na presença de picos eevados e há necessidade da formação de m estoqe estratégico. Propõe-se então ma divisão do sistema de gestão em dois estágios, o estágio de controe e o estágio de spervisão qe cria m estoqe estratégico em fnção da previsão ftra de picos de demanda. Os dois estágios, atando em conjnto, evitam a fata na entrega de componentes para o próximo níve da cadeia de sprimentos. Uma proposta anáoga a estes trabahos é apresentada em (Oiveira & Pacheco, 2003). Neste útimo trabaho, a reposição ótima de componentes no estoqe tiiza a técnica de controe baseada na estratégia de horizonte roante (receding horizon approach). Esta estratégia se caracteriza pea deteração da ordem de manfatra e conseqüente reposição de estoqes através da deteração de m horizonte de previsão do comportamento ftro do sistema. Esta abordagem considera imites de capacidade de prodção e é capaz de idar atomaticamente com picos ftros de demanda sem a necessidade de estágios adicionais no agoritmo de controe. No presente artigo três métodos de reposição ótima de componentes em estoqe são apresentados. O primeiro está baseado em modeagem cássica e tiiza a metodoogia de programação inear para repor os componentes. Os otros dois são propostos em (Oiveira & Pacheco, 2003) e (Pacheco & Oiveira, 2003 b). Os métodos são impementados e os restados são sbmetidos a ma anáise de desempenho, medida através do csto tota de prodção e da reposição média de componentes em estoqe. O presente artigo está dividido em 5 Seções. Na Seção 2, as principais características do modeo de gestão de estoqes são descritas. A Seção 3, contém os métodos de reposição ótima de estoqe. Na Seção 4, a anáise úsca de desempenho dos agoritmos de reposição é apresentada. Finamente, na Seção 5, o artigo é concído. 2. Descrição do ambiente prodtivo Assme-se m sistema prodtivo mono-níve e mono-prodto, composto peos estágios de manfatra e montagem com m estoqe intermediário entre ambos. Considera-se restrição de capacidade e atraso (ead time) no estágio de manfatra. No estágio de montagem assme-se qe o ead time é desprezíve e possi capacidade infinita de montagem. A modeagem do comportamento dinâmico do estoqe neste níve prodtivo é feita sando a seginte eqação a diferenças: y( k + 1) = y( + p( d( (1) onde k é ma variáve discreta qe representada o tempo k (k é inteiro), y( é a posição de estoqe no início do intervao de tempo k; p( é a reposição de componentes no estoqe no intervao de tempo k; d( são os componentes qe saem do estoqe para a montagem no ENEGEP 2004 ABEPRO 86

3 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de 2004 mesmo intervao de tempo, é a demanda do mercado. Esta estrtra está istrada pea Figra 1. Nesta figra, é a ordem para a manfatra de componentes no início do intervao de tempo k. Figra 1: Ambiente prodtivo O estágio de manfatra pode ser modeado como m atraso pro d, então a eqação (1) pode ser reescrita como: y( k + 1) = y( + p( dˆ( + ζ ( k + 1) (2) p( = k d) Nesta eqação, portanto, d é o atraso entre o pedido de prodção e a reposição no estoqe p(; d ˆ( k ) é a demanda de mercado prevista no intervao de tempo k, ζ(k+1) é ma variáve aeatória reacionada ao erro de previsão em k. 3. Métodos para reposição ótima de prodtos em estoqe A Figra 1 contém m ambiente prodtivo qe representa m sbprobema de ma cadeia de sprimentos composta de vários níveis prodtivos (por exempo, fabricação, distribição e mercado varejista). A gestão de controe tem como meta cacar os pedidos ótimos de reposição no tempo k, isto é cacar qe imiza m critério de csto, considerando restrições no ambiente prodtivo e incertezas na demanda ftra prevista. Nesta seção três métodos de reposição ótima em estoqe são revistas. O método baseado em programação inear e os métodos propostos em (Oiveira & Pacheco, 2003) e (Pacheco & Oiveira, 2003 b). 3.1 Agoritmo de reposição baseado em programação inear A programação inear (PL) tem sido apicada para socionar diversos tipos de probemas qe envovem prodção (Moreira, 1993). Neste caso pode-se citar o trabaho de (Barchet et a., 1993) qe discte o probema de panejamento agregado da prodção. Neste trabaho o objetivo é imizar ma fnção de csto tota de prodção de modo a atender a demanda prevista. Na fnção de csto são inseridas as variáveis desconhecidas (posição de estoqe, capacidade prodtiva, qantidades prodzidas em regime regar, em horas extras e sb contratação, etc) qe representam a soção do probema de PL. Nesta sbseção este conceito é tiizado no probema de reposição ótima em estoqe e está reacionado a ma fnção de csto qe contempa os cstos de armazenagem e de reposição em estoqe. As restrições reacionadas com os imites operacionais do ambiente prodtivo são adicionadas para compor o probema de PL. A metodoogia é apresentada a segir. Seja J( ma fnção de csto reacionada com o sistema de estoqe no instante de tempo k. O probema de otimização é: ( k ) s. to ( k i) = y N k = 1 ( k + i) + ( k d ( k + i) y ( k + i) ( k ) + ( k ) k = 1 N, + i) dˆ ( k + d i = 0, L, N 1 + i) (3) ENEGEP 2004 ABEPRO 87

4 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de 2004 Onde: [ ( k + 1 ( k + 2 ( k N ] [ k k + 1 k + N 1 )] y ˆ( k ) = L + (4) ( = L k onde y, y, e são as restrições operacionais do ambiente prodtivo. Neste probema, N é o fina do período prodtivo, e y ˆ( contém, respectivamente, os vaores ótimos para as ordens ftras de fabricação e os vaores previstos para o posição ftra de componentes em estoqe, cacados no instante de tempo k. Este agoritmo é apicado em m tempo N vezes k, o seja, os N vaores ótimos de reposição são cacados de ma única vez e posteriormente são tiizados no sistema até o fina do período prodtivo. A soção deste tipo de probema é encontrada em (Bazaraa, 1979). 3.3 Agoritmo de reposição baseado em controe ótimo com previsão de m passo à frente Nesta sbseção, trata-se do probema da reposição ótima de componentes em estoqe proposto em (Pacheco & Oiveira, 2003 b) tiizando a técnica de controe baseada na previsão de m passo a frente. A ei de controe é definida a partir da imização, em reação a variáve no instante de tempo k da seginte fção de csto: J ( ( ( k j w( k + j)) 2 = + (5) Onde w(k+j) e y ˆ( k + j são respectivamente o vaor desejado para o estoqe no instante k+j e a previsão da posição de estoqe no instante k+j reaizada em k. A imização desta fnção em reação a no tempo k garante a reposição ótima dos pedidos. Para a soção deste probema é necessário prever a posição de estoqe j passos à frente, considerando a informação até o tempo k. A eqação de previsão está apresentada em (Pacheco & Oiveira, 2003 b) e é dada por: ( k + j = + ( k + j (6) onde ( k + j é: 1 d 1 d d 1 ( k + j = (1+ q q ) k 1) ( q + q ) dˆ( k y( (7) + Nesta eqação ( k + j representa todos os termos de previsão da posição de estoqe qe são conhecidos no instante j tempo k. Sbstitindo esta eqação no critério de csto e imizando em reação a reposição de componentes define-se m probema de otimização qadrática de ma variáve dado por: k ) s. a. 2 ( + 2 ( ( k + j w( k + onde e são as restrições operacionais do ambiente prodtivo. A impementação deste agoritmo é feita do seginte modo: a cada instante de tempo k o agoritmo é cacado e gera m ótimo e no instante seginte é repetido até o fina do período prodtivo. 3.4 Agoritmo de reposição baseado em controe ótimo com previsão de j passos à frente Nesta sbseção trata-se do probema da reposição ótima de componentes em estoqe proposta em (Oiveira & Pacheco, 2003) tiizando a técnica de controe conhecida como horizonte roante. Os sinais de controe gerados são baseados nas informações previstas do sistema j passos à frente. O procedimento para gestão de estoqes está baseado na representação do desempenho do sistema de estoqe. Através de ma fnção de csto e na imização desta j)) (8) ENEGEP 2004 ABEPRO 88

5 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de 2004 fnção em reação às ftras ordens de manfatra de componentes, isto é, o vetor. Seja a fnção de csto dada pea eqação (3) e redefinida da seginte forma: J ( = y ˆ( + (9) Para a soção deste probema é necessário prever a posição ftra de estoqe j passos à frente. A eqação de previsão está apresentada em (Oiveira & Pacheco, 2003) e é dada por: j ( k + j = H ( q ) k + j 1) + ( k j) (10) j + Reescrevendo a eqação de previsão (10) de ma forma vetoria, tem-se: y ˆ( = H + ( (11) Nesta eqação y ˆ( e y ˆ ( são vetores qe contém os eementos y ( k + j e ( k + j, respectivamente. A imização do critério de csto eqação (9) em reação às ftras ordens de fabricação de componentes é simiar a eqação (3) e é dada por: k ) s. to y J ( ( y onde y, y, e são vetores cjas componentes são y, y, e. Sbstitindo a eqação (11) na fnção de csto (9) e (12), e imizando em reação à reposição de componentes, chega-se a m probema cássico de programação qadrática, cja soção é argamente estdada na iteratra (Bazaraa, 1979). Este probema de otimização é eqivaente a: k ) s. to T ( y T T ( H H + λi) + ( 2H + y ( ) y ( H y y ( onde I é a matriz identidade A impementação deste agoritmo é feita do seginte modo: a cada instante de tempo k o agoritmo é cacado e gera m ótimo baseado nas informações ftras do sistema e no instante seginte é repetido até o fina do período prodtivo. 4. Estdo comparativo entre os agoritmos de reposição Nesta seção faz-se m estdo comparativo entre os três agoritmos de reposição ótima mencionados. O restado será medido através do csto tota da prodção (Ct), composto peos cstos, de fata de estoqe (Cfe) e de prodção (Cp). Um vaor de reposição média (Rme) identifica se o desempenho do sistema se aproxima do vaor médio da demanda prevista ao ongo do período prodtivo. O sistema prodtivo istrado na Figra 1 está sjeito à demanda incerta e restrição de capacidade. A demanda rea descreve o comportamento do mercado consmidor e é apresentada na Figra 2. Observa-se através desta figra qe os picos de demanda são sazonais e representam os períodos de ata de consmo. Estes períodos ocorrem freqüentemente qando há datas comemorativas. Por exempo dia das mães, dia dos pais, dia dos namorados e festas natainas. O erro de previsão representado por ζ (k+1) retrata a incerteza na demanda prevista. (12) (13) ENEGEP 2004 ABEPRO 89

6 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de Demanda Rea (-) e Prevista (.) Erro de Previsao Meses Figra 2:Demanda rea, demanda prevista e erro de previsão 4.1 Estdo comparativo sem restrição no sistema prodtivo Nesta sbseção o objetivo é fazer ma anáise úsca de desempenho dos agoritmos de reposição apresentados na seção 3, qando não há restrição operaciona no ambiente prodtivo. A posição de estoqe é deterada através do vaor médio da demanda prevista, o seja, de 75 componentes, a posição inicia de estoqe é de 60 componentes e o ead time prodtivo assme vaores inteiros entre 0 e 2. Os agoritmos são impementados no ambiente prodtivo ta qa está apresentado, isto é, impementa-se no sistema os N (período prodtivo) vaores ótimos de reposição de estoqe, isto é, somente k é impementado no sistema e, no instantes de tempo k+1 seginte, o procedimento é repetido. A nomencatra tiizada nos agoritmos de reposição é a seginte: PL (Programação Linear), VM (Variância Mínima o reposição baseada na previsão de m passo a frente) e GPC (Controe Preditivo o reposição baseada na previsão de j passos à frente). Na Tabea 1 o desempenho do sistema é apresentado. Agoritmos Lead time Cp Cfe Ct Rme PL PL PL VM VM VM GPC GPC GPC Tabea 1: Desempenho dos agoritmos de reposição ótima sem restrição operaciona Na Tabea 1 observa-se qe em todos os agoritmos independente do ead time, o índice médio de reposição (Rme) de estoqe aproxima-se do vaor deterado para posição inicia ENEGEP 2004 ABEPRO 90

7 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de 2004 de estoqe. O agoritmo de PL apresenta m bom desempenho para ambientes sem ead time na manfatra, o seja, a demanda de mercado é atendida. Porém qando há m amento do ead time o Cfe tende a amentar, com isto é inevitáve à rptra de estoqe (stock-ot). Incorporando ao ambiente prodtivo penaidades reacionadas à baixa prodtividade e peo não atendimento ao ciente, isto está istrado para os ead times 1 e 2. O agoritmo de VM apresenta m ótimo desempenho para todos os ead times, consegindo garantir a prodção com o menor csto operaciona possíve e imizando a posição de estoqe. O agoritmo GPC, apresenta m desempenho simiar ao agoritmo VM nos restados observados com peqenas variações no ead time 2, isto é devido ao ajstes prodzidos nos horizontes de previsão e de controe. 4.2 Estdo comparativo com restrição no sistema prodtivo Nesta sbseção o objetivo é fazer ma anáise úsca de desempenho dos agoritmos de reposição apresentados na seção 3, qando há restrição operaciona no ambiente prodtivo e sob as mesmas condições iniciais definidas na sbseção 4.1. As restrições operacionais são rígidas se comparadas aos picos de demanda e tem forte infência no desempenho do ambiente prodtivo. A restrição de capacidade na manfatra é de 220 componentes e a posição de estoqe é de 150 componentes. No agoritmo de reposição VM tiiza-se m critério de prevenção de fata de componentes em estoqe apresentado em (Pacheco & Oiveira, 2003b), com ma previsão de 4 meses para a chegada de pico de mercado, o seja, antecipa-se o inicio da prodção. No Agoritmo de reposição GPC, atera-se o horizonte de previsão e de controe de modo a mehorar o desempenho do sistema. Na Tabea 2 o desempenho do sistema com restrições no ambiente prodtivo é apresentado. Agoritmos Lead time Cp Cfe Ct Rme PL PL PL VM VM VM GPC GPC GPC Tabea 2: Desempenho dos agoritmos de reposição ótima com restrição operaciona Na Tabea 2 observa-se qe o índice médio de reposição (Rme) apresenta simiaridade a anáise comparativa feita na sbseção 4.1. O agoritmo de reposição PL, apresenta desempenho simiar qando não há restrição operaciona. No ambiente prodtivo sem ead time de manfatra, a demanda de mercado é atendida e a manfatra opera com csto mínimo. Porém qando há amento de ead time na manfatra o agoritmo não consege atender a demanda de mercado, com isto a rptra de estoqe (stock-ot) é inevitáve. Incorporando ao ambiente prodtivo penaidades reacionadas à baixa prodtividade e peo não atendimento ao ciente, isto está istrado para os ead times 1 e 2. O agoritmo VM apresenta ótimo desempenho mesmo qando no ambiente prodtivo há amento de ead time na manfatra. Em todos os casos a estratégia de fata de componentes consege sprir a chegada de pico de demanda e a capacidade operaciona da manfatra não é trapassada com isto o risco de rptra de estoqe é afastado. O agoritmo GPC, apresenta desempenho simiar ao apresentado através do agoritmo VM qando o ead time é 0 e 1. No ead time 2 a manfatra não consege atender a demanda, com isto m desprezíve csto reacionado à ENEGEP 2004 ABEPRO 91

8 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Prodção - Forianópois, SC, Brasi, 03 a 05 de nov de 2004 fata de componentes em estoqe é observado, mesmo qando ajstes foram feitos nos horizontes de previsão e de controe. 5. Concsões Este artigo discti o desempenho de três agoritmos de reposição ótima de componentes em estoqe apresentados nos trabahos de (Oiveira & Pacheco, 2003) e (Pacheco & Oiveira, 2003b). Das anáises foram feitas e o desempenho foi medido através do csto tota de prodção e da reposição média em estoqe, na primeira anáise o ambiente prodtivo não apresenta restrições operacionais e na segnda anáise restrições rígidas operacionais são impostas. O agoritmo MV e GPC demonstraram ótimos desempenhos em ambas anáises mesmo qando há amento de ead time. O agoritmo PL apresento ótimo desempenho qando não há ead time na manfatra, porém para o amento de ead time a manfatra não consege atender a demanda de mercado, com isto cstos e penaidades são apicados o qe demonstra o se fraco desempenho. Assim conci-se qe os agoritmos propostos nos trabahos mencionado, baseados na previsão de m passo e j passos à frente possem desempenho sperior ao agoritmo de programação inear nesta comparação. Referências ASTROM, K., J. & WITTENMARK, B. (1995). Adaptive contro. Addison Wesey Pbishing Company, Inc. 3 Edição. BARCHET, V., M., F., LARA, C., S. & SAIBT, E. (1993) Métodos para Panejamento Agregado. Anais do XIII Encontro Naciona de Engenharia de Prodção. Vo. 2, pp BAZARAA, M., S. & SHETTY, C., M. (1979) - Noninear Programg. John Wiey & Sons, Inc. MOREIRA, D., A. (1993) Adistração da Prodção e Operações. Ed. Pioneira. OLIVEIRA, G., H., C. & PACHECO, E., O. (2003). Estratégia Baseada em Horizonte Roante para Gestão de Estoqes. XXIII - Encontro Naciona de Engenharia de Prodção (ENEGEP). PACHECO, E., O., OLIVEIRA, G., H., C. & PACHECO, R., F. (2002) - Utiização de Conceitos de Variância Mínima na Gestão de Estoqes. XXII - Encontro Naciona de Engenharia de Prodção (ENEGEP). PACHECO, E., O. & OLIVEIRA, G., H., C. (2003a) Using MV contro concepts in inventory management sbject to ncertain demand. Anna meeting of the Prodction and Operations Management Society (POMS'03) PACHECO, E., O. & OLIVEIRA, G., H., C. (2003b). Controe Ótimo de Estoqes Sjeitos a Picos de Demanda do Mercado. XXIII - Encontro Naciona de Engenharia de Prodção (ENEGEP). TOWILL, D., R. (1982) Dynamic anaysis of an inventory and order based prodction contro system. Internationa Jorna of Prodction Research; 20; pp TOWILL, D., R. & DELVECCHIO, A., L. (1994) - The appication of fiter theory to the stdy of sppy chain dynamics. Prodction Panning and Contro, pp 82-96; 5. TOWILL, D., R., EVANS, G., N. & CHEEMA, P. (1997). Anaysis and Design of an Adaptive Minimm Reasonabe Inventory Contro System. Prodction Panning and Contro. Vo. 8, n. 6, pp VASSIAN, H., J Appication of Discrete Variabe Servo Theory To Inventory Contro. Operations Research Society of America, p Chicago, Iinois. ENEGEP 2004 ABEPRO 92