UM MODELO MATEMÁTICO PARA MAXIMIZAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DE LOCOMOTIVAS EM FERROVIAS BRASILEIRAS

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1 UM MODELO MATEMÁTICO PARA MAXIMIZAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DE LOCOMOTIVAS EM FERROVIAS BRASILEIRAS Adriano Bacear Universidade Federa do Espírito Santo Departamento de Informática Av. Fernando Ferrari, n 514,Campus de Goiabeiras, Vitória, ES e-mai: adrianobacear@yahoo.com.br Aniton Saes Garcia Universidade Federa do Espírito Santo Departamento de Informática Av. Fernando Ferrari, n 514, Campus de Goiabeiras, Vitória, ES e-mai: aniton@inf.ufes.br Resumo Locomotivas estão entre um dos custos mais significativos da operação de ferrovias. Em muitas ferrovias brasieiras a aocação de ocomotivas aos trens é totamente definida por empregados que trabaham para estas companhias e não usam ferramentas baseadas em conceitos de pesquisa operaciona. Isto resuta em uma programação pobre das ocomotivas e as conseqüências são observadas em seus índices de utiização e produtividade. Neste trabaho é apresentada uma pesquisa que identificou trabahos desenvovidos no contexto de panejamento e associação de ocomotivas, em seguida é apresentada uma formuação matemática ainhada a reaidade das ferrovias brasieiras que pode ser usada na impementação de uma soução que maximize a produtividade de ocomotivas, esta mehora no índice pode ser convertida em um significativo aumento na capacidade de transporte ou em uma significativa redução nos investimentos. Paavras-chave Locomotiva, Programação, Aocação, Panejamento, Otimização. Abstract Locomotives are among the most significant raiway operations expense and capita cost. In many Braziian Raiways the ocomotive assignment to trains are totay defined by empoyees that work for those companies and do not use toos based on operationa research concepts. This resuts in poor ocomotive scheduing and the consequences are observed in the utiization and productivity indices. This work presents a research that identified studies deveoped in the context of ocomotive panning, scheduing and assignment. This artice resuts in a mathematica mode of rea ocomotive scheduing probem in Braziian raiways that can be used in impementation of a soution that maximize the ocomotive productivity, this index gain can be convert in a significant growing in the transport capacity or in the significant reduction of invest in new ocomotives. Keywords Locomotive, Scheduing, Assignment, Panning, Optimization. 1. Introdução Entre os diversos meios de transporte existentes na rede muti-moda que compõe a ogística no mundo, a ferrovia desempenha um pape fundamenta por ter a capacidade de transportar grandes

2 voumes de produtos ou pessoas, e atuar como se fosse uma rede de vasos sanguíneos, de modo a viabiizar a ogística dos portos que tem como pré-requisito para seu bom funcionamento, a interigação com outros modais que possuam grande capacidade de produção, dando suporte à gobaização que se baseia na interação comercia entre os países, que só é possíve se os mesmos estiverem aptos a importar e exportar. Embora o processo econômico vivido atuamente no mundo todo impusione a utiização das ferrovias, muitas não estão preparadas para desempenhar adequadamente seu pape já que em diversos países não houve investimento nem mesmo na manutenção de vias e materia rodante. Isso desencadeou um processo de degradação muito forte, impedindo que se trabahe nos dias de hoje simutaneamente com níveis adequados de produtividade e segurança. A maior barreira para a reestruturação de ferrovias, ou para sua expansão, é o ato custo de manutenção e investimento que demandam, os custos de aquisição aproximados são: Um mihão de dóares por quiômetro de ferrovia Dois mihões de dóares por ocomotiva Cinqüenta mi dóares por vagão Como o custo de aquisição de ativos é muito ato, a única maneira de aumentar a capacidade de produção das ferrovias é através de uma gestão mais eficiente. Porém, romper os patamares dos indicadores de produtividade de uma ferrovia envove uma série de medidas de todas as áreas que nea estão presentes, ações que atuam fortemente nos padrões, processos, tecnoogias e fundamentamente nas pessoas. Dentre os ativos de ferrovia, as ocomotivas chamam a atenção peo seu eevado custo e pea ausência de ferramentas que auxiiem na otimização de sua utiização. Isso é facimente percebido no Brasi e pode ser também identificado em ferrovias de todo o mundo e, em conseqüência disso, ao observar a utiização de ocomotivas em uma ferrovia pode-se perceber um desequiíbrio entre a oferta e demanda deas no oca e horário devido, causando fata em um determinado ponto e sobra em outro. A gestão eficiente de ocomotivas de uma ferrovia envove uma gama enorme de variáveis, que combinadas tornam-se impossíveis de serem administradas, de maneira próxima à ótima, por pessoas. Por esse motivo é extremamente conveniente o uso de técnicas de otimização para se acançar um níve mais eevado na gestão destes ativos tão caros. Pesquisando sobre o assunto constata-se que mesmo as ferrovias de carga pesada mais avançadas do mundo tecnoogicamente, de Casse I da América do Norte e da Europa, que são atendidas peas companhias de desenvovimento de software mais bem conceituadas no mundo, ainda se encontram em fase experimenta de utiização de móduos de otimização que foram desenvovidos e estão se aprimorando nos útimos anos. O objetivo deste trabaho é conhecer as pesquisas já reaizadas reacionadas à produtividade de ocomotivas, anaisar a forma como se panejam, programam e operam as ferrovias brasieiras e desenvover uma soução teórica baseada na matemática computaciona, que permita propor um modeo de otimização para o panejamento de aocação de ocomotivas aos trens que maximize a produtividade de ocomotivas. Como resutado deste trabaho esperamos definir um modeo matemático que represente as variáveis presentes no contexto do probema de aocação de ocomotivas aos trens e que este sirva de base para o desenvovimento de um agoritmo que maximize a sua produtividade. Este trabaho teve início com uma revisão bibiográfica sobre os principais temas que o compõem. Foram avaiados e discutidos artigos científicos e trabahos acadêmicos que tratam sobre panejamento, programação e operação de ocomotivas e as técnicas de otimização apicadas nas

3 souções destes probemas. Foi estudado em detahes os processos e o funcionamento da Estrada de Ferro Vitória Minas (EFVM), e de forma menos abrangente outras ferrovias brasieiras como Ferrovia Centro Atântica, Estrada de Ferro Carajás, América Latina Logística e outras, para um entendimento caro e ampo da reaidade das ferrovias brasieiras. A partir desse estudo, foi desenvovida uma modeagem matemática baseada em modeos já existentes apicados a ferrovias estrangeiras que se adequasse mehor a reaidade e as regras das ferrovias brasieiras. Na próxima seção são comentados trabahos reacionados à aocação de ocomotivas aos trens, trabahos esses encontrados através de em uma pesquisa bibiográfica, na seção 3 é construído o modeo matemático para a maximização da produtividade de ocomotivas em ferrovias brasieiras e por útimo são apresentadas as concusões na seção Trabahos Desenvovidos Abaixo estão reacionados os trabahos desenvovidos a respeito do probema de aocação de ocomotivas aos trens, estes trabahos não estão concentrados em uma determinada inha de pesquisa de um probema específico, abordam diversas nuances do probema como um todo e utiizam diversos métodos para busca da soução. Em [20] é descrita uma apicação de teoria dos fuxos ao panejamento de ocomotivas e distribuição de vagões. Um modeo foi desenvovido originamente para ajudar o panejamento de distribuição de ocomotivas e mais tarde modificado para ser usado no panejamento de distribuição de vagões. Detahes do modeo de entrada, estrutura e saída são discutidos em compemento de apicações do modeo. O modeo aceita entrada descrevendo programação de trens e parâmetros reacionados. Estas programações são usadas para construir a rede espaço-tempo. O agoritmo out-of-kiter é usado para encontrar um fuxo ótimo através da rede. A rede é construída de maneira que o fuxo ótimo através da rede resute em um número mínimo de unidades de potência sendo requerida para operar as programações. Uma anáise do fuxo ótimo produz o uso de um pano, uma ista diária de associação de potência e um gráfico de inventário de cada termina. O modeo para ocomotivas foi focado primeiramente no desenvovimento de panos cícicos para diferentes tipos de ocomotivas. O trabaho incui detahes de como a rede é desenvovida e resovida. São apresentados os dados de entrada e reatórios dos resutados. Em [21] é apresentado um sistema computaciona para apoiar a programação de ocomotivas desenvovido e apicado por uma ferrovia Ingesa. O sistema inicia com a seeção da área a ser coberta e a preparação do reato de dados da área e serviços de trem envovidos. Um conjunto de programas chamado Bashpeak é então executado para produzir programações. As programações são sujeitas a edição manua se mais de um tipo de ocomotiva está envovido usando um método de mapeamento. Este trabaho descreve o sistema em detahes e as apicações na ferrovia ingesa que tem obtido economias substanciais. Em [7] é apresentada uma versão matemática do probema de programação de trens encarado por ferrovias que empregam diversos tipos de ocomotivas para prover tração aos seus trens. Cada trem possui sua requisição de tração que é determinada pea sua carga, tamanho e rota que viaja. Foi feita uma formuação matemática de seeção mista de tipos de ocomotivas que proporciona baixo investimento de capita, custos operacionais e expora o método de soução baseado no método de decomposição de Benders. Os resutados computacionais obtidos são satisfatórios para probemas de tamanho médio e insatisfatórios para probemas de grande porte. Também foi discutida a reevância do modeo e comentada sua utiidade prática.

4 Em [6] é descrito um método para encontrar o custo mínimo de um conjunto de programações de ocomotivas para trabahar em um conjunto de trens. O horário de partida dos trens pode ser fixo ou variáve. É descrito o método heurístico que é baseado em um modeo de programação inear. Em [26] foi observado que as ferrovias encaram freqüentemente o probema de aocação de tração aos trens. As requisições de tração para cada trem são incertas e a frota de ocomotivas pode não ser homogênea. Para tratar essas compicações, foi formuado um probema de fuxo muti-produtos com função objetivo convexa numa rede espaço-tempo. A função objetivo convexa permite minimizar custos sobre incertezas de forma a penaizar os arcos de viagem para terem o mínimo de tração aocada. A heurística de soução aoca as ocomotivas diretamente aos caminhos mais curtos na rede espaçotempo e então tenta promover intercâmbio de ocomotivas em cicos. Dois imites inferiores são desenvovidos reaxando o aspecto muti-produto do probema. Em 19 probemas testados, variando de 15 a 404 arcos, a heurística se comportou bem, com tempos de execução pequenos e com custo médio 3 por cento do mehor dos dois imites inferiores desenvovidos. Em [27] é tratado um probema comum a todas as ferrovias. Dada uma grade de trens e ocomotivas de vários tipos, cada trem deve possuir uma ocomotiva aocada. Este trabaho examina o uso de agoritmos estocásticos para ta probema. Dois tipos de agoritmos são usados: um método de mehora oca, utiizando sucessivamente pontos de partida aeatórios, e uma aproximação por simuated anneaing. Ambos proporcionaram resutados consideravemente mehores que os métodos determinísticos em uso, e o simuated anneaing foi considerado o mehor método estocástico. Em [14], dada a programação diária repetitiva e a disponibiidade de ocomotivas de vários tipos, cada trem programado deve ser associado a uma ocomotiva. Este trabaho apresenta um agoritmo exato para a soução deste probema, baseado em uma aproximação usada para resover o probema de programação de ônibus muti-garagem. O agoritmo usado para resover este probema de programação usou dados reais. Em [22] foi projetada e impementada uma otimização baseada em DSS (Decision Support Systems) para faciitar o panejamento operaciona de trens de passageiros na Indian Raiways. O trabaho reata que impementar o DSS em uma organização que tem 1.6 mihões de empregados reguares foi muito frustrante e o sucesso não veio fáci. Em [5] é sugerida uma reaxação Lagrangeana como meio efetivo de resover um modeo de programação inear inteira para encontrar a programação de ocomotivas com custo mínimo para trabahar em um dado conjunto de trens. Em [19] após uma breve definição do panejamento operaciona ferroviário, é feita uma revisão das pesquisas e desenvovimentos de ferramentas de otimização e simuação encarregadas do panejamento de trens, programação de trens e ocomotivas, e panejamento de manutenção. O trabaho sumariza aguns dos requerimentos de panejamento de manutenção e descreve um modeo projetado para otimizar a aocação de pátios de cruzamento em um corredor com inha singea. Em [11] foi desenvovido um trabaho cujo objetivo é apresentar uma visão gera de modeos de otimização recentes para os probemas mais comuns de transporte em ferrovia já estudados. Para cada grupo de probemas, é proposta uma cassificação de modeos e descritas as características importantes dando foco a estrutura do modeo e aspectos do agoritmo. A revisão se concentra principamente nos probemas de roteamento e programação por representarem a porção mais importante das atividades de panejamento reaizadas peas ferrovias. Modeos gerais de roteamento afetam as poíticas operacionais de gerenciamento de frete de transporte e frota de vagões,

5 se for considerado que modeos de programação endereçam o despacho de trens e a associação de ocomotivas e vagões. Uma breve discussão dos modeos anaíticos de pátios e de inha também é apresentada. A ênfase está em contribuições recentes, mas muitos trabahos importantes ainda são citados. Em [2] é definido o probema MCSL (Muti-Cass Singe Locomotive) como envovendo uma única ocomotiva para cada trem programado, aguns dos quais podem ser puxados por mais de um modeo de ocomotiva. Este é um probema típico de redes de trem de passageiros e um método de soução exata existe para uma forma gera deste probema. Este trabaho descreve a anáise de um tipo particuar do probema MCSL, encarado pea PTC (Pubic Transport Corporation), na Austraian State of Victoria, onde todas as viagens iniciam e finaizam em um único oca, Mebourne. Por causa desta característica, o probema pode ser resovido em dois estágios separados. O primeiro estágio (um modeo de programação inteira) determina o tipo de ocomotiva que puxará cada viagem. O segundo estágio, que pode ser resovido por agoritmo de programação inear ou por inspeção computadorizada, determinando a escaação das ocomotivas (a seqüência de viagens que cada ocomotiva reaiza). Dividindo o probema em dois estágios consegue-se uma redução significante do tamanho do probema, resutando em grande redução do tempo computaciona. Em [10] é tratado um dos muitos probemas encarados por ferrovias que é otimizar a utiização de ocomotivas e vagões. Neste trabaho é descrito um método de decomposição para a associação simutânea de ocomotivas e vagões no contexto de transporte de passageiros. Dada uma ista de trens e uma frota composta de diversos tipos de equipamentos, o probema é determinar o conjunto de equipamentos com custo mínimo que cobre todos os trens usando os equipamentos apropriados. Ligando restrições que aparecem quando ocomotivas e vagões são tratados simutaneamente nos conduz a formuação de uma grande programação inteira. Foi proposto um agoritmo exato baseado em uma aproximação da decomposição de Benders, que expora a independência dos itens deste probema. Experimentos computacionais baseados em instâncias de números verdadeiros indicam que o método encontra soução ótima com pequenos tempos computacionais. Também foram reaizas outras aproximações baseadas em reaxação Lagrangeana e decomposição de Dantzig-Wofe, tão boas quanto o Branch-and-Bound baseado em simpex. Em [8] é apresentado um sofisticado modeo e uma heurística de soução aproximada baseada em otimização matemática para associação de ocomotivas e vagões a trens de passageiro. Dado um período de programação e uma frota composta de diversos tipos de ocomotivas e vagões, a aproximação determina o conjunto de equipamentos que cobre toda a programação de trens satisfazendo às restrições operacionais. Primeiro é apresentada uma formuação básica que traduz as requisições de manutenção e outras dificudades fundamentais do probema. Depois são discutidas muitas extensões, substituindo possibiidades e minimizando as operações de manobra, que é requisito em apicações na vida rea. O modeo resutante é otimizado através de Branch-and-Bound no qua as reaxações ineares são resovidas por geração de counas. O modeo e estratégia de soução foram testados com dados da VIA Rai no Canadá e um sistema competo baseado neste trabaho está sendo utiizado na empresa. Em [9] é proposto um modeo baseado em fuxo em redes muti-produtos para associação de ocomotivas e vagões aos trens no contexto de transporte de passageiros. O modeo tem uma estrutura conveniente que faciita a introdução de restrições de manutenção, penaidades de manobra de vagões e possibiidades de substituição. A grande formuação de programação inteira é resovida usando Branch-and-Bound que reaxa agumas das restrições. Em cada nó da árvore, um probema de

6 programação inteira mista é resovido por uma aproximação de decomposição de Benders, na qua as reaxações de programação inear do probema de fuxo em redes muti-produtos é otimizada por um agoritmo simpex ou por uma decomposição de Dantzig-Wofe. Aguns refinamentos computacionais, como a geração dos cortes ótimos de Pareto, são propostos para mehorar a performance do agoritmo. Experimentos computacionais reaizados em dois conjuntos de dados de uma ferrovia mostraram que a aproximação pode ser usada para produzir souções ótimas de probemas compexos. Em [1] são apresentados resutados de um estudo sobre o probema de aocação de ocomotivas encarado pea CSX Transportation, a maior companhia ferroviária dos EUA. Foi considerada a versão de panejamento do probema, onde existem vários tipos de ocomotivas e se deseja decidir o conjunto a ser associado a cada trem. Neste trabaho, é apresentado um modeo integrado que determina: o conjunto de ocomotivas ativas e rebocadas a serem associadas a cada trem, viagens escoteiras de estações com sobra de tração para estações com fata de tração, e conexões trem-a-trem que especificam conexões diretas das ocomotivas entre trens que chegam e saem de uma mesma estação. É apresentada uma formuação de programação inteira mista (MIP) para o probema com 197 mi variáveis inteiras e 67mi restrições. Para soucionar este MIP em tempo de execução aceitáve usando um software comerciamente disponíve foi usada decomposição de probema, programação inteira e VLSN (Very Large-Scae Neighborhood Search). Comparando a soução desenvovida com a que se encontrava em utiização pea CSX foi obtida uma economia de mais de 400 (quatrocentas) ocomotivas se traduzindo numa economia de mais de 100 (cem) mihões de dóares por ano. Em [18] é proposto um método para resover o probema de aocação de ocomotivas em uma mina de ouro que fica próxima à cidade de Beo Horizonte usando teoria de fias e métodos de simuação. Este trabaho também eva em conta características dos trens que operam em minas subterrâneas, desta maneira seecionando uma ocomotiva que é mais apropriada para um ambiente operaciona específico. Em [16] é apresentado um trabaho desenvovido na Canadian Pacific Raiway com o objetivo de criar um conjunto de ferramentas de suporte a decisão que a permita sair do estado de ferrovia baseada em toneagem para se tornar uma ferrovia programada. Estas ferramentas contêm várias abordagens de pesquisa operaciona que tratam bocagem de vagões, distribuição de vagões vazios e panejamento de aocação de ocomotivas. Esta impementação economizou para a CPR 170 mihões de dóares durante o outono de 2000 e 210 mihões deste então, aém disso, os índices de produtividade subiram significativamente e foi adquirida uma maior confiabiidade dos serviços. Em [24] é apresentada uma aproximação por programação dinâmica para o gerenciamento dinâmico de ocomotivas. Este método está habiitado a manipuar várias estratégias operacionais compexas e as principais características da maior parte dos tipos de ocomotivas. O método expicitamente manipua incertezas de previsão de toneagem e pode otimizar horizontes extensos com rápidos tempos de resposta. Em [29] é apresentado um sistema de programação de ocomotivas que provê o custo mínimo suficiente para puxar trens programados pea ferrovia com a frota de ocomotivas disponíve satisfazendo o panejamento de manutenção. Os resutados numéricos são gerados sobre um probema de programação acícica com horizonte de uma semana usando dados obtidos da CN North America. Este probema envove dois mi trens.

7 3. Modeagem Matemática Dentre os diversos modeos estudados foi escohida a modeagem matemática desenvovida no trabaho de [1] para a CSX para ser adaptado à reaidade das ferrovias brasieiras e trazer resutados mehores na sua apicação. 3.1 Trens No panejamento existe um conjunto de trens L que são conduzidos de suas origens para seus destinos peo conjunto de ocomotivas, não sendo considerada a repetição de trens nesse panejamento como foi feito em [1] porque a EFVM é operada taticamente e não de forma panejada. Usaremos um índice para denotar um trem específico. Os conceitos adotados por [1] de HP (Horse Power) por toneagem, HP e penaidade por uso de somente uma ocomotiva no trem não são utiizados neste trabaho. A definição do quadro de tração dos trens deve obedecer à tabea de capacidade de tração dos modeos de ocomotivas, simpificando assim o tratamento do probema e a manutenção destas capacidades em caso de mudança. Reacionado aos trens, são definidas as seguintes variáveis: Hr-partida() Horário de partida do trem Hr-chegada() Horário de chegada do trem Est-partida() - Estação origem do trem Est-chegada() - Estação destino do trem T : Toneagem do trem em um determinado trecho 3.2 Locomotivas Ferrovias tipicamente trabaham com diversos modeos de ocomotivas com diferentes características de potência e custo, isso promove uma grande fexibiidade na aocação de ocomotivas, porém torna o probema muito mais difíci de ser resovido. O conjunto de todas as ocomotivas de todos os modeos será representado por K, e será utiizado um índice k para referenciar um modeo específico de ocomotiva. Reacionado às ocomotivas são definidas as seguintes variáveis: G k : Custo diário de posse para uma ocomotiva do modeo k B k : Tamanho da frota de ocomotivas do modeo k Locomotivas associadas aos trens podem estar puxando ou sendo simpesmente rebocadas. O reboque permite que ocomotivas extras sejam movidas de ocais onde exista excesso de ocomotivas para ocais onde exista demanda por ocomotivas. A demanda e oferta de ocomotivas são desbaanceadas por um fator inerente ao processo de transporte. Muitas programações de transporte não possuem carga de retorno, sendo assim, em um sentido o trem pode estar sempre carregado e no outro sempre vazio. Por exempo, na mina os trens partem com mais toneagem do que chegam, isso faz com que exista uma maior demanda por ocomotivas na mina. O contrário ocorre nos pontos de descarga, onde os trens partem com menos toneagem do que chegam, provocando um excesso de ocomotivas. São utiizadas também as seguintes variáveis: c k : o custo incorrido na aocação de uma ocomotiva ativa do modeo k d k : o custo incorrido na aocação de uma ocomotiva rebocada do modeo k t k : quantidade de toneadas que a ocomotiva do modeo k consegue no trem Um custo mais ato é utiizado para as viagens escoteiras de ocomotivas por utiizarem um maquinista e uma faixa de circuação sem estar transportando nenhum produto, o objetivo é penaizar esta prática.

8 3.3 Estoque de ocomotivas em estações Tratado peo termo consist-busting em [1], o estoque de ocomotivas nas estações ocorre porque a necessidade de ocomotivas dos trens que partem não é igua, muito menos síncrona, à oferta de ocomotivas dos trens que chegam, uma boa aocação de ocomotivas pode minimizar a quantidade de ocomotivas estacionadas nas estações. 3.4 Restrições impeditivas Capacidade por trecho: os trens devem ter um quadro de tração que possua capacidade de puxar a quantidade de toneadas do trem conforme a tabea de capacidade de tração por trecho. Número de ocomotivas: Cada trem deve possuir no máximo seis ocomotivas, independente de estarem ativas ou rebocadas. Tamanho da frota: o número de ocomotivas aocadas do modeo k deve ser menor ou igua à quantidade de ocomotivas do modeo k existente na ferrovia. 3.5 Restrições não impeditivas Reduzir estoque de ocomotivas: reduzir o quanto possíve o número de ocomotivas estacionadas nas estações. 3.6 Rede espaço-tempo O probema de aocação de ocomotivas aos trens é formuado como um probema de fuxo mutiproduto com restrições na rede, onde cada modeo de ocomotiva define um produto na rede. Usamos a notação G = (N,A), onde a rede G é formada por nós N, que representam estações, e arcos A, que representam arcos de trem. Para cada trem existe um arco (, ), onde o nó de origem do arco denota o evento de partida do trem na Est-partida() e é chamado nó de partida, já o nó de destino do arco denota o evento de chegada do trem na Est-chegada() e é chamado nó de destino. Cada nó de partida e chegada possui dois atributos: ugar e data-hora. Por exempo, ugar( ) = Est-partida() e data-hora( ) = Hrpartida(), de forma semehante, ugar( ) = Est-chegada() e data-hora( ) = Hr-chegada(). Para permitir o fuxo das ocomotivas entre os trens que chegam e saem são criados os nós de estação e os arcos de conexão. Para cada nó destino é criado o respectivo nó de chegada de estação, com os mesmos atributos de ugar e data-hora do evento de chegada e ees associados através de um arco de conexão de chegada de estação. O mesmo foi feito para os nós de partida criando os nós de partida de estação e os arcos de conexão de partida de estação. Para igar os nós de estação, estes são agrupados por estação em ordem crescente e igados um a um através de arcos de estação que permitem que as ocomotivas tenham fuxo no tempo estacionadas nos pátios das estações. Os nós de estação representam o estoque de ocomotivas na estação nos diferentes instantes de tempo, quando os eventos acontecem. À medida que os trens chegam, entregam suas ocomotivas aos nós de estação através dos arcos de conexão de chegada de estação, quando os trens partem, retiram ocomotivas dos nós de estação através dos arcos de conexão de partida de estação. Os arcos de estação permitem que as ocomotivas cheguem a estação e permaneçam nea até que chegue o momento de partirem em outro trem. As viagens de ocomotivas escoteiras são permitidas entre as estações, mas são penaizadas no modeo proposto na seção 3 por ocuparem faixas de circuação de trens carregados e maquinistas que poderiam estar conduzindo trens carregados. Os arcos de trens de ocomotivas possuem como nó de

9 origem e destino um nó de estação. O custo de viagem em trem de ocomotiva por ocomotiva é definido como F para um arco. Custos mais baixos são considerados na aocação de ocomotivas mais novas peo fato de possuírem uma eficiência energética mehor, maior confiabiidade e maior capacidade de tração. Tomando-se por base a frota da EFVM, o ranking de ocomotivas definido, incui modeo Dash em primeiro ugar, seguida peos modeos DDM, B36, G16 e G12. No modeo proposto na seção 3, aumenta-se a utiização das mehores ocomotivas ao mesmo tempo em que se tenta reduzir o número de ocomotivas ativas e rebocadas nos trens, e invariavemente é positivo o fato de eas se manterem mais tempo a disposição do pátio, pois isto significa que o modeo está disponibiizando as ocomotivas mais cedo e embora não se possa contabiizar este ganho ee é trivia já que grande parte de atraso nos trens nas principais estações ocorre por ausência de tração adequada para que o trem possa partir. Resumindo, a rede espaço-tempo G=(N,A) possui três tipos de nós: nós de chegada (ChgNós), nós de partida (PrtNós) e nós de estação (EstNós); e quatro tipos de arcos: arcos de trem de carga (TrArcos), arcos de trem de ocomotiva (LoArcos), arcos de conexão (CoArcos) e arcos de estação (EtArcos). Logo TdNós = ChgNós PrtNós EstNós e TdArcos = TrArcos LoArcos CoArcos EtArcos. O probema de aocação de ocomotivas é formuado como um fuxo de diferentes tipos de ocomotivas na rede espaço-tempo. Locomotivas fuindo nos arcos de trem estão ativas ou rebocadas. As ocomotivas que fuem nos arcos de estação estão desocupadas aguardando o próximo trem ao qua serão aocadas. As seguintes notações adicionais são utiizadas para a rede espaço-tempo: Origem(): o nó de origem do arco TdArcos Destino(): o nó de destino do arco TdArcos Figura1: Diagrama esquemático da rede espaço-tempo

10 Por convenção definiremos o conjunto S como o conjunto de arcos de trens que finaizam a utiização das ocomotivas na rede espaço-tempo, isto é, são os útimos trens da rede aos quais as ocomotivas são associadas. 3.7 Conexões trem-a-trem Ao contrário de [1], não são criados, no modeo proposto na seção 3, os CoArcos, que permitem que ocomotivas de trens de mesma casse sejam compartihadas entre ChgNós e PrtNós. Esse caso não é uma prioridade na operação de ferrovias brasieiras, aém disso, a modeagem anterior torna a aocação das ocomotivas aos trens menos fexíve. Ao não criar CoArcos entre ChgNós e PrtNós, continua-se a obter ganhos significativos na aocação da tração adequada a cada trem e ganha-se uma maior iberdade na decisão de aocação das ocomotivas, o que permite um aumento nas oportunidades de troca de tração e uma diminuição no desperdício de HP em cada trem. 3.8 Penaidade por utiização de uma única ocomotiva No trabaho desenvovido em [1] existe uma penaidade peo uso de uma única ocomotiva. Já no caso das ferrovias brasieiras, essa penaidade não se apica por não fazer parte do modeo operaciona das mesmas. Desde que a ocomotiva possua a potência necessária para puxar o trem ao ongo do trecho para o qua está designada, não existem motivos para penaidade. 3.9 Variáveis de decisão x k : variáve inteira representando o número de ocomotivas ativas do tipo k K no arco TrArcos; y k : variáve inteira representando o número de ocomotivas rebocadas do tipo k K no arco TdArcos; s k : variáve inteira indicando o número de ocomotivas economizadas do tipo k K Função objetivo Min Z = sujeito a TrAr cosk K k K k K k K S1 LoAr cos k K k k k k k k k k k ( c t / T ) x + c x + d y G s, 2 k k t x T, para todo TrAr cos, TdAr cos k K x = 0, para todo CoAr cos EtAr cos, k k k ( x + y ) 6, para todo TrAr cos, k k k k ( x + y ) + s = B, para todo k K, k k x, y 0 e inteiro, para todo TdAr cos, k K, k s 0 e inteiro, para todo k K. Na função objetivo o primeiro termo representa o custo das ocomotivas que exercem esforço de tração nos trens de carga, ou seja, estão puxando o trem. Este custo cresce à medida que aumenta a sobra de capacidade de tração no trem. O segundo termo representa o custo das ocomotivas que exercem esforço de tração nos trens de ocomotiva. O terceiro termo da função representa o custo das ocomotivas rebocadas nos trens e presentes nas estações. O quarto termo representa as ocomotivas que podem ser retiradas da frota reduzindo o capita investido no negócio. k K

11 A primeira restrição garante que será associado um conjunto de ocomotivas com capacidade suficiente para puxar o trem de sua origem para seu destino. A segunda restrição garante que somente serão aocadas ocomotivas ativas nos trens de carga e de ocomotiva, não permitindo a existência das mesmas em arcos de conexão ou arcos de estação. A terceira restrição garante a presença de no máximo seis ocomotivas no trem, de acordo com as regras de operação de trens. A quarta restrição garante que estão sendo utiizadas exatamente o número de ocomotivas existentes de cada tipo nos arcos da nossa rede espaço-tempo. 4. Concusão O modeo apresentado neste trabaho mostrou mehorias em reação a outros discutidos fora do Brasi, contempando as particuaridades encontradas nas ferrovias brasieiras. Outra preocupação desse trabaho foi aproveitar ao máximo as características de cada modeo de ocomotiva, principamente no que diz respeito à potência, aém das imitações existentes nas mahas ferroviárias brasieiras. Sabendo que o custo de aquisição, manutenção e utiização de equipamentos ferroviários é muito ato, esse trabaho apresentou uma forma de mehorar os índices de produtividade de ocomotivas, aém de propor um modeo que poderá ser automatizado de forma que a programação das ocomotivas deixará de estar sob a responsabiidade de pessoas que executam essa tarefa de forma empírica, forma esta que é muito suscetíve a erros, aém de normamente não considerar, ao mesmo tempo e de forma eficiente, todos os fatores que o modeo proposto aqui considera. Este trabaho tem sua continuidade prevista, na utiização de um agoritmo que baseado na modeagem matemática apresentada, processe dados reais de uma ferrovia brasieira e demonstre que a produtividade das ocomotivas é maior utiizando uma configuração gerada por este modeo em comparação com a forma como é feita hoje, sem a utiização de ferramentas de otimização. 5. Referências bibiográficas [1] AHUJA, R.K., LIU, J., ORLIN, J.B., SHARMA, D., SHUGHART, L. Soving de Rea-Life Locomotive Scheduing Probems, [2] AL-AMIN, M., FORBES, M.A., NOBLE, D.H. Production of ocomotive rosters for a muti-cass singe-ocomotive probem, JORS (50), pp , [3] ASSAD, A.A. Modes for Rai Transportation, Transportation Research A, Vo 14A, No. 3, pp , 1980a. [4] ASSAD, A.A. Modeing of Rai Networks: Toward a Routing/Makeup Mode, Transportation Research B, Vo.14B, No. 1, pp , 1980b. [5] BOOLER, J.M.P. A note on the use of Lagrangean reaxation in raiway scheduing. JORS (46), pp , [6] BOOLER, J.M.P. The soution of a raiway ocomotive scheduing probem, Operations Research (31), pp , [7] BUSHELL, G., FERLAND, J., FLORIAN, M., GUERING, G., NASTANSKY, L. The Engine Scheduing Probem in a Raiway network, INFOR (14), pp , [8] CORDEAU, J.F., DESAULNIERS, G., DESROSIERS, J., LINGAYA, N., SOUMIS, F. Locomotive and car assignment VIA Rai Canada, Transportation Research B (35), pp , 2001a. [9] CORDEAU, J.F., DESROSIERS, J., SOUMIS, F. Simutaneous assignment of ocomotives and cars to passenger trains, Operations Research (49), pp , 2001b. [10] CORDEAU, J.F., DESAULNIERS, G., SOUMIS, F. A benders decomposition approach for the ocomotive and car assignment probem, Transportation Science (34), pp , 2000.

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