MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS UIA 2 JUROS COMPOSTOS

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1 VERSÃO PARA IMPRESSÃO MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS UIA 2 JUROS COMPOSTOS

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3 3 SUMÁRIO Aula 5 Juros Compostos (Parte 1)... 4 Introdução... 4 Taxa de Juros: Nominais e Efetivas A Taxa Nominal Taxa Efetiva... 7 Aula 6 Juros Compostos (Parte 2) Introdução Montante Juros Aula 7 Desconto Composto Introdução Elementos de uma Operação de Desconto Desconto Composto Racional (Por Dentro) Desconto Composto Comercial (Por Fora) Desconto Composto Bancário Aula 8 Equivalência Composta de Capitais Introdução Equivalência Composta de Capitais Data Focal (DF)... 33

4 4 Aula 5 JUROS COMPOSTOS (PARTE 1) Conforme citado na Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA) 1, temos dois regimes de capitalização utilizados em transações financeiras, o de juros simples, conhecido também como linear, e o de juros compostos ou exponencial. Eis o assunto das nossas duas primeiras aulas desta UIA. Bom estudo! n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e assista à videoaula. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n INTRODUÇÃO O regime de juros compostos tem grande importância financeira pelo fato de ser utilizado na prática. Os juros compostos são cumulativos, e, portanto, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte. Num regime de capitalização 1, os juros do período são incorporados ao capital inicial da aplicação. Os juros simples incidirão sobre o capital inicial, já os compostos serão incorporados ao capital do período somados aos juros acumulados. No gráfico abaixo, pode-se comparar a diferença do nível de crescimento entre uma capitalização simples e outra composta: Gráfico 1. Diferença do nível de capitalização entre uma simples e outra composta Os conceitos de taxa nominal e de taxa efetiva ajudarão no entendimento para calcularmos montante 2 e juros compostos. 1 É o processo no qual os juros são formados e incorporados ao capital (principal financeiro inicial da aplicação).

5 5 2 Representa a soma do valor aplicado (principal) mais os juros calculados durante determinado período.

6 6 Aprenda um pouco mais sobre juros compostos acessando o link a seguir. TAXA DE JUROS: NOMINAIS E EFETIVAS A TAXA NOMINAL A taxa nominal representa a taxa de juros contratada (ou declarada) numa operação financeira. Normalmente, essa taxa é expressa para um período superior ao da incidência de capitalização dos juros (ASSAF NETO, 2009). Em outras palavras, sempre que uma taxa for diferente da unidade de capitalização, estamos diante de uma taxa nominal. Portanto, a taxa nominal nada mais é que aquela que está presente a palavra capitalização, em que a unidade da taxa é diferente da unidade de capitalização. Exemplo: Suponha um empréstimo no valor de R$ ,00 a ser pago em sete prestações mensais, a uma taxa de 12% a.a. com capitalização. Perceberam que o período da operação é anual e a incidência do juro é mensal? Assim, fique atento, a taxa nominal é aquela em que está presente a palavra capitalização, e em que a unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização. É importante salientar que taxa nominal só existe no regime composto. Portanto, sempre que for resolver uma questão de matemática financeira e você se deparar com a taxa nominal, saiba que você está diante de uma questão do regime composto. Pois poderá ser uma questão de juros compostos, desconto composto, equivalência de capitais etc. Outra informação importante: a taxa nominal não pode ser aplicada em nenhuma fórmula. Ou seja, toda vez que nos depararmos com uma taxa nominal precisamos transformá-la numa taxa efetiva e faremos isso usando o conceito de taxas proporcionais aprendido no início da UIA 1. Portanto, temos nossa regra número 1. O conceito de taxas proporcionais é utilizado no regime simples com o intuito de alterar a taxa fornecida pelo enunciado da questão na mesma unidade do tempo. Para isso, basta fazer o seguinte: Quando precisarmos transformar a taxa de uma unidade maior para uma unidade menor, nós dividiremos.

7 7 Mas dividiremos por quanto? Pelo número de vezes que a unidade menor cabe dentro da maior. Quando precisarmos transformar a taxa de uma unidade menor para uma unidade maior, nós multiplicaremos. Mas multiplicaremos por quanto? Pelo número de vezes que a unidade menor cabe dentro da maior. Logo, com base no exemplo acima, precisamos transformar a taxa anual em uma taxa mensal. Quando estamos indo de uma unidade maior para uma unidade menor teremos que dividir pelo número de vezes que a unidade menor cabe dentro da unidade maior. Logo, em nosso caso, dividiremos por 12, já que 1 ano é igual a 12 meses. Logo!"% %.%.!" '()() = 1% a. m. Portanto, não esqueçam: toda vez que estivermos diante de uma taxa nominal, devemos transformá-la numa taxa efetiva pelo uso do conceito de taxas proporcionais. Veja no quadro a seguir alguns exemplos de conversão. Taxa nominal Conversão Taxa efetiva mensal 36% a.a. (ao ano) 36/12 3% a.m. 15% a.a. (ao ano) 15/12 1,25% a.m. 8% a.a. (ao ano) 8/12 0,66% a.m. 24% a.a. (ao ano) 24/12 2% a.m. Quadro 1. Exemplos de taxas nominais com conversão para taxa efetiva mensal Após analisarmos o quadro de conversão acima, percebemos que quanto maior o número de períodos, maior será a taxa nominal de juros, o mesmo acontece com a taxa efetiva, ou seja, o crescimento do rendimento acumulado está associado ao aumento da frequência de capitalização da taxa nominal TAXA EFETIVA Segundo Penido (2007, p. 70) Uma taxa é efetiva quando a sua unidade de tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É, portanto, a taxa que deve ser utilizada nos cálculos.

8 8 Dessa maneira, a taxa efetiva é obtida pela capitalização exponencial dos juros acumulados ao longo do tempo, conhecido no mercado financeiro como juros compostos. Para transformar uma taxa efetiva em outra taxa efetiva utilizaremos a seguinte fórmula:

9 9 1 + I = (1 + i) 3 Onde I = a taxa maior, i = a taxa menor e k = o número de vezes que a unidade menor cabe dentro da unidade maior. Exemplo: Paulo fez uma aplicação de uma quantia a uma taxa de juros compostos de 9% ao bimestre, durante um período de seis meses. Notem que a taxa de juros está numa unidade e o tempo de aplicação do dinheiro está em outra unidade. Aprendemos que em matemática financeira taxa e tempo devem sempre estar na mesma unidade. Acabamos de ver também que no regime composto quando queremos transformar uma taxa efetiva em outra taxa efetiva utilizaremos o conceito de taxas equivalentes. Então, mãos à obra, a seguir segue a fórmula para o cálculo. 1 + I = (1 + i) 3 Primeiramente, nós precisamos transformar uma taxa efetiva bimestral (9%a.b.) em uma taxa efetiva mensal. Dessa maneira o nosso I representará nossa taxa maior, que no caso é o bimestre. Portanto, I = 0,09. Nunca podemos esquecer que precisamos transformar a taxa na forma percentual para a taxa na forma unitária antes de substituir na fórmula. Em segundo lugar, i é a taxa menor que estamos interessados, portanto, é a nossa incógnita. Por último, k é o número de vezes que a taxa menor cabe dentro da taxa maior. No nosso caso, mês é a taxa menor e cabe duas vezes dentro da unidade maior bimestre, pois 1 bimestre é igual a 2 meses. Em resumo, nós temos estas informações: I = 0,09 i =? k = ,09 = 1 + i " (1,09)! " 1 + i i = 1,044 1 i = 0,044 Ou seja, i = 4,4031% ao mês. Muito fácil né!? Vamos utilizar os conceitos que aprendemos e resolver o exemplo a seguir.

10 10 Exemplo: Suponha uma taxa nominal de 24% ao ano, considerando uma taxa de capitalização mensal, qual seria a taxa efetiva anual? Caro(a) estudante, você percebeu que estamos diante de uma taxa anual e a capitalização é mensal? Quando isso acontece estamos diante de uma taxa nominal. Aprendemos anteriormente que a taxa nominal, nada mais é que aquela que está presente à palavra capitalização, e em que a unidade da taxa é diferente da unidade de capitalização. Qual é o primeiro passo que nós devemos adotar? Devemos transformar a taxa nominal numa taxa efetiva utilizando o conceito de taxas proporcionais. Assim, trabalhando com a taxa de 24% ao ano com capitalização mensal faremos o seguinte: 24% a. a. = 2% a. m. = taxa efetiva 12 meses Caro(a) estudante, você percebeu que a taxa efetiva foi uma taxa mensal? Sabe explicar o porquê? Porque a capitalização da taxa é mensal. Tão simples quanto isso. Agora nós temos uma taxa efetiva mensal de 2% ao mês e precisamos transformá-la em outra taxa efetiva anual. E como faremos isso? Faremos isso utilizando o conceito de taxas equivalentes. Dessa maneira o I representará a taxa maior, que no caso acima é o ano. É exatamente o I que estaremos interessados em descobrir. E i é a taxa menor fornecida no enunciado da questão (i = 2% a. a. ). Nunca podemos esquecer que precisamos transformar a taxa na forma percentual para a taxa na forma unitária antes de substituir na fórmula. E k é o número de vezes que a taxa menor cabe dentro da taxa maior. No nosso caso mês é a taxa menor e cabe doze vezes dentro da unidade maior ano, pois 1 ano é igual a 12 meses. Em resumo nós temos estas informações: I =? i = 0,02 ao mês k = I = (1 + 0,02)!" I = (1,02)!" 1 I = 1, i = 0,2682 Ou seja, i = 26,82% ao ano. Resposta: 26,82% ao ano.

11 11 Leia o artigo Taxa de juros: nominal, efetiva ou real?, disponível no link a seguir e no acervo da disciplina, sobre a confusão que reina, no mercado financeiro brasileiro, no que se refere aos conceitos de taxas de juros nominal, efetiva e real.

12 12 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e assista à videoaula. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Termina aqui nossa primeira aula desta UIA. Introduzimos conceitos que serão importantes ao longo desta parte do conteúdo. Continue os estudos desta disciplina e até breve! Aula 6 JUROS COMPOSTOS (PARTE 2) Estudante, nesta aula, veremos as características do regime de juros compostos. Continue estudando para desenvolver as competências e habilidades necessárias a essa área de atuação e do conhecimento. INTRODUÇÃO Vimos em juros simples (UIA 1) que os juros são diretamente proporcionais ao tempo e à taxa de juros, ou seja, eles são aplicados diretamente ao capital de forma linear. No regime de juros compostos a característica é exponencial, ou seja, os juros gerados durante a aplicação, à medida que o número de períodos se realiza, são incorporados, período a período, considerando-se sempre o seu valor acumulado. Dessa forma, pode-se dizer que os juros são capitalizados também, além do capital investido (ASSAF NETO, 2009; MATHIAS; GOMES, 2011). Acesse o link a seguir e leia sobre algumas noções de utilização de uma calculadora financeira. Exemplo: Suponha a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros de 20% a.a. No quadro abaixo, podemos constatar a diferença em valores na evolução de uma capitalização de juros simples em relação a uma capitalização de juros compostos.

13 13 Período Juros Simples Montante Juros Simples Juros Compostos Montante Juros Compostos 1 R$ 200,00 R$ 1.200,00 R$ 200,00 R$ 1.200,00 2 R$ 200,00 R$ 1.400,00 R$ 240,00 R$ 1.440,00 3 R$ 200,00 R$ 1.600,00 R$ 288,00 R$ 1.728,00 4 R$ 200,00 R$ 1.800,00 R$ 346,00 R$ 2.074,00 Quadro 2. Capitalização de juros simples e compostos Pode-se perceber, a partir do segundo período, a diferença na evolução dos juros. O regime de capitalização dos juros compostos cresce de forma exponencial. Veja a diferença considerável de valores apresentada no quarto período, o valor apurado dos juros simples foi de R$ 200,00, já o valor dos juros compostos foi de R$ 346,00. MONTANTE O valor do montante ou valor futuro é obtido pela soma do valor do capital principal aplicado, somados aos juros apurados no período do investimento. Veja a fórmula utilizada para calcular o montante no regime de capitalização de juros compostos: M = C(1 + i) J Onde: M = montante C = capital i = taxa de juros n = número de períodos No regime de juros compostos, multiplicamos o capital inicial pelo fator de correção, que é composto pela a taxa de juros aplicada no período da aplicação, esse montante crescerá de forma exponencial. Não podemos esquecer essa fórmula coringa que é muito útil: M = C + J

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15 15 Exemplo: Um determinado investidor fará uma aplicação de R$ ,00 visando comprar um bem daqui a 3 anos. A aplicação foi feita em uma caderneta de poupança a uma taxa média de juros compostos de 1% a.m. Qual seria o valor do montante que esse investidor receberá ao final dessa aplicação? Passo 1: A primeira coisa a se fazer é saber do que se trata a questão. No exercício acima não resta dúvida de que estamos diante de uma operação de juros, pois temos um valor conhecido hoje e desejamos projetá-lo para uma data futura. Passo 2: Agora precisamos saber qual é o regime da operação. Vimos que a matemática financeira está dividida em dois regimes: o simples e o composto. No caso acima o enunciado da questão revelou explicitamente que se trata de uma operação de juros compostos. Caso não houvesse essa informação, procuraríamos por uma taxa nominal. Nada dito e o enunciado da questão apresentou uma taxa de juros nominal 3, então estamos diante de uma operação no regime composto. Não se esqueça: taxa nominal indica que estamos no regime composto. Passo 3: Taxa e tempo estão em unidades diferentes. A taxa de juros é mensal e o tempo é anual. O que faremos agora? Transformaremos a taxa mensal em taxa anual. Mas que conceito utilizaremos para fazer essa transformação? Usaremos o conceito das taxas equivalentes, por meio da seguinte fórmula: I =? i = 0,01 ao mês k = I = (1 + 0,01)!" I = (1,01)!" 1 I = 1, i = 0,1268 Ou seja, i = 12,68% ao ano. Passo 4: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. Aplicação da fórmula: M = C(1 + i) J M = (1 + 0,1268) N 3 Representa a taxa de juros contratada (ou declarada) numa operação financeira. Normalmente essa taxa é expressa para um período superior ao da incidência de capitalização dos juros (ASSAF NETO, 2009).

16 16 Vamos ver se você aprendeu? Convido-o a testar o seu conhecimento resolvendo o exemplo abaixo. Exemplo: Joãozinho aplicou um capital no valor de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 42% ao quadrimestre, com capitalização bimestral durante 5 meses. Calcule o valor do montante desta operação. Resposta: O montante é igual a R$ 1.610,51. JUROS Os juros compostos são mais utilizados em operações em longo prazo. Portanto, no mercado financeiro as operações financeiras que compõem montantes com juros capitalizados exponencialmente são mais frequentes (ASSAF NETO, 2009). O valor dos juros é calculado da seguinte forma: Onde: J = juros C = capital i = taxa de juros n = número de períodos n J = C[1 + i) 1] Exemplo: Uma determinada pessoa pretende aplicar R$ ,00, pois pretende utilizar esse dinheiro em um negócio daqui a 6 meses. Ele depositou esse valor em conta poupança a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. Determine o valor recebido de juros no final dessa aplicação: Resolução: Passo 1: A primeira coisa que temos que fazer é saber do que se trata a questão. No exercício acima não resta dúvida de que estamos diante de uma operação de juros, pois temos um valor conhecido hoje e desejamos projetá-lo para uma data futura.

17 17 Passo 2: Agora precisamos saber qual é o regime da operação. Vimos que a matemática financeira está dividida em dois regimes: o simples e o composto. No caso acima o enunciado da questão revelou explicitamente que se trata de uma operação de juros compostos. Caso não houvesse essa informação, procuraríamos por uma taxa nominal. Nada dito e o enunciado da questão apresentaram uma taxa de juros nominal, então estamos diante de uma operação no regime composto. Combinado!? Portanto, não se esqueça: taxa nominal indica que estamos no regime composto. Passo 3: Taxa e tempo estão em unidades diferentes. A taxa de juros é anual e o tempo da aplicação é mensal. O que faremos agora? Transformaremos a taxa mensal em taxa anual. Mas que conceito utilizaremos para fazer essa transformação? Usaremos o conceito das taxas equivalentes. Então utilizaremos a seguinte fórmula: I = 12% ao ano i =? % ao mês k = 12 1 i ,12 = (1 + ) ( 1,12) 1 = 12 1 I i = 1, i = 0, 9485 Ou seja, i = 0,9485% ao mês. Passo 4: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as informações na fórmula e em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. Aplicação da fórmula: n J = C[(1 + i) 1] J = + J = R ,00[(1 0,009489) 1] $583,01 Note que nós poderíamos resolver essa questão de outra maneira fazendo o ajuste do tempo ao invés da taxa. Sempre que for mais fácil alterar o tempo ao invés da taxa, o faça. Observe a seguir. Aplicação da fórmula: J =? C = R$10.000, 00 i = 12% aa.. 6 n= 6 m. = = 0,5 a. 12

18 18 n J = C[(1 + i) 1] J = + J = R 0, ,00[(1 0,12)] 1] $583,01 Resposta: Ele receberá de juros ao final desse período R$ 583,01. Perceba que, utilizando as unidades em meses ou em anos, o resultado foi o mesmo. Atenção: Ao recorrer ao tempo (n) com o intuito de alterá-lo para cumprirmos a exigência de que taxa e tempo estejam na mesma unidade, vale lembrar que essa alternativa só funcionará se encontrarmos um valor redondo para n. Exemplo: Ainda com base no exemplo anterior, calcule os juros aplicando a fórmula do montante. Aplicação da fórmula: J =? C = R$10.000, 00 i = 12% aa.. 6 n= 6 m. = = 0,5 a. 12 M = C(1 + i) M = (1 + 0,12) M = R$10.583, 01 n 0,5 Você lembra da fórmula coringa!? M = C+ J, ou seja, J = M C Logo, J = R$10.583,01 R$10.000,00 J = R$583,01 Resposta: quando aplicamos a fórmula do montante, chegamos ao mesmo resultado do exemplo anterior. Caro(a) estudante, vamos testar nosso conhecimento agora? Então, eu convido vocês a resolverem outro exemplo a seguir. Exemplo: Determinada pessoa pretende aplicar R$ ,00, pois pretende utilizar esse

19 19 dinheiro em um negócio daqui a 6 meses. A pessoa depositou esse valor em conta poupança. Após uma simulação, o agente bancário afirmou que o rendimento dessa aplicação seria de R$ 600,00. Calcule a taxa de juros compostos dessa aplicação. Resposta: 0,98% a.m. Diversifique seu conhecimento e acesse o texto sobre juros compostos disponível no link a seguir. Estamos na metade do caminho para adquirir as competências e habilidades proporcionadas por este curso.

20 20 Aula 7 DESCONTO COMPOSTO Estudantes, nesta aula estudaremos os descontos compostos. Essas noções são essenciais para o dia a dia profissional e para o estudioso(a) da área. Boa aula! INTRODUÇÃO A operação de desconto composto ocorre quando se quer resgatar determinado título antecipando seu vencimento. Ao aplicarmos um capital, seu vencimento é predeterminado e recebemos um título que comprova a operação. Esse título pode ser nota promissória, certificado de depósito bancário (CDB), letra de câmbio, entre outros. Numa operação de desconto, resgatamos o capital principal aplicado acrescido dos juros rendidos até a data do resgate. Em outras palavras, uma operação de desconto é aquela em que projetamos para o dia de hoje um valor monetário conhecido em data futura. As operações de descontos 4 mais utilizadas no mercado financeiro são: Desconto racional 5, conhecido como desconto por dentro ; Desconto comercial, conhecido como desconto por fora ; e Desconto bancário 6. ELEMENTOS DE UMA OPERAÇÃO DE DESCONTO O Valor Nominal (N), também chamado de valor de face de um título ou de uma obrigação com vencimento para data futura, corresponde ao valor monetário conhecido na data futura. Note que o valor nominal é análogo ao montante. Já o Valor Atual (A), também chamado de valor líquido ou valor descontado, corresponde ao valor futuro projetado para uma data anterior. Note que o valor descontado é análogo ao capital. Observação: Podemos definir o valor nominal 7 como o valor de face de um título expresso nele mesmo, esse valor tende a variar na data do seu vencimento. O valor atual 8 é o valor presente de um título numa data anterior à data do seu vencimento. 4 Processo de resgate no qual são apurados o principal e os juros de direito do investidor correspondentes ao tempo já aplicado até aquela data. 5 É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal de um título e o valor de um determinado compromisso que deve ser resgatado (ou saldado) n períodos antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 2011). 6 É baseado no desconto comercial, acrescido de uma taxa (h) cobrada sobre o valor nominal. 7 Significa quanto vale o seu compromisso na data do vencimento, numa data futura. 8 É quanto vale o seu compromisso numa data anterior à data do vencimento.

21 21 Analise o diagrama a seguir. Gráfico 2. Valor Nominal (N) O valor nominal de um título é uma data posterior à que estamos considerando atualmente. No diagrama anterior, estamos admitindo a data focal em n 2, sendo assim, o valor nominal é denominado por N, o capital (C) é o valor aplicado e o valor atual corresponde ao valor descontado (A). Tempo (n): representa a distância na linha do tempo entre o valor nominal e o valor atual. É interpretado como o tempo em que se antecipa o pagamento da obrigação. Desconto (D): é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Dessa forma apresentamos a nossa primeira equação deste assunto: D= N A Perceba que o desconto é análogo ao juro. Lembra-se o que foi aprendido no desconto simples? A fórmula DNA pode e deve ser utilizada em qualquer modalidade de desconto. Taxa (i): é o elemento que vai fazer com que o valor nominal fique menor quando projetado para trás ao longo do tempo. É como se fosse o fermento do bolo. A taxa pode estar na forma percentual (isto é, por cem) ou na forma unitária. Vamos, então, conceituar os principais produtos existentes disponíveis no mercado financeiro: Duplicata são papéis de crédito utilizados em transações comerciais envolvendo tanto pessoas jurídicas, como físicas. Nota Promissória é um título com vencimento predeterminado, é muito comum em transações entre pessoas jurídicas e físicas.

22 22 Letra de câmbio são títulos emitidos ao portador por agentes financeiros credenciados com vencimento preestabelecido e referentes a uma determinada aplicação. Assim como no estudo sobre juros, o desconto está inserido no regime simples ou no regime composto. Dessa forma, sempre que percebermos que estamos diante de uma operação de desconto, devemos estar atentos em identificar se a operação será realizada no regime simples ou composto. Assim, pergunta-se: Como se faz para identificar se a operação é de desconto composto? Existem duas maneiras de identificar se uma questão de desconto é composta: a primeira é quando o enunciado da questão revelar que se trata de desconto composto. A segunda maneira é quando o enunciado da questão indicar a presença de uma taxa nominal. Combinado!? Nas operações de desconto além dos regimes (simples/composto) nós devemos ter outro cuidado que é o de identificar a modalidade da operação que resulta das três modalidades de desconto que devemos estar atentos: desconto racional, também conhecido como desconto por dentro. desconto comercial ou por fora; desconto bancário. Pois bem, após a identificação de que se está diante de uma operação de desconto composto, o próximo passo será o de identificar a modalidade da operação de desconto. Apenas após essa identificação é que se pode dar início à resolução da questão de desconto. Mas, então, como se faz para identificar a modalidade da operação de desconto composto? No regime composto, a modalidade será revelada pelo enunciado da questão. Basicamente, o que a questão de desconto composto quer saber é se você sabe fazer o uso correto das fórmulas. No entanto, se nada for dito no enunciado e aparecer uma taxa nominal, resolve-se a questão pela modalidade de desconto composto simples por dentro. Três pontos a serem levados em consideração: Esses tipos de descontos diferenciam-se porque os elementos de referência das fórmulas são diferentes. Assim como na operação de juros, nas operações de desconto, taxa e tempo devem obrigatoriamente estar sempre na mesma unidade. Caso elas não estejam, devemos fazer isso usando o conceito de taxas equivalentes.

23 23 Na hora de colocar a taxa na fórmula é preciso que ela esteja em sua forma unitária. Nossa linha do tempo pode agora ser representada da seguinte maneira: Gráfico 3. Descontos DESCONTO COMPOSTO RACIONAL (POR DENTRO) É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal de um título e o valor de um determinado compromisso que deve ser resgatado (ou saldado) n períodos antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 2011). O desconto racional faz a atualização do valor do desconto para a data atual do resgate, descontando os juros correspondentes ao período da antecipação. Numa operação de desconto racional, considera-se a taxa de juros (i) e o prazo de antecipação de n períodos. A equação fundamental do desconto composto racional (por dentro) é dado pela seguinte equação: ( i) n N = A 1 + Se observar bem, é fácil perceber que a fórmula para o cálculo do montante em juros compostos é a mesma fórmula para o desconto composto racional por dentro com as suas devidas convenções. Caso o enunciado da questão de desconto composto racional por dentro solicite que você encontre o valor atual, basta isolar o valor atual da equação acima e temos:

24 24 N A = 1 ( + i) n

25 25 Exemplo: Um título é descontado por $10.000,00 quatro meses antes da sua data de vencimento. Calcule o valor de face desse título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. Solução: Passo 1: Note que no enunciado da questão acima trata-se de uma antecipação de pagamento de um título 4 meses antes de seu vencimento. Logo de cara sabemos que estamos diante de uma questão de desconto. Passo 2: Vimos também que a matemática financeira está dividida em dois grandes regimes. O regime simples e o regime composto: a primeira é quando o enunciado da questão revelar que se trata de desconto composto. A segunda maneira é quando o enunciado da questão indicar a presença de uma taxa nominal. Passo 3: A questão agora é identificar a modalidade do desconto. Vimos que no desconto composto o que a questão quer saber é se você sabe aplicar a fórmula. No entanto, nada dito no enunciado e apareceu uma taxa nominal resolve-se a questão pela modalidade de desconto composto simples por dentro. No nosso exercício acima, o enunciado da questão revelou explicitamente a modalidade do desconto. Passo 4: Precisamos que a taxa e o tempo esteja na mesma unidade. No exercício acima a taxa e o tempo estão na mesma unidade. Atenção: Não podemos esquecer que para alimentar a fórmula é preciso transformar a taxa percentual em unitária dividindo por 100. Logo 3/100 = 0,03. Passo 5: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as informações na fórmula e em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. ( i) n N = A 1+ 4 N =10.000(1 + 0,03) N = $11.255, 08 Resposta: O valor nominal será de R$11.255,08. O desconto racional ( D ) é calculado pela fórmula a seguir: r 1 D P = N 1 (1 + i) S

26 26 Exemplo: Um investidor pretende quitar um título que vale R$ 8.200,00, antecipando seu vencimento em quatro meses. Se a taxa de juros praticada é de 15% a.a., determine o valor do desconto racional e o valor do resgate recebido por esse investidor. Resolução: D r N =? = R$8.200, 00 i = 15% aa.. n = 4meses Como a taxa de juros está expressa em anos e o período em meses, é necessário compatibilizar as unidades de tempo. Aplicação da fórmula: D r =? N = R$8.200, 00 i = 15% aa.. 4 n = 4meses = anos 12 D r = N 1 1 ( 1+ i) n D D D r r r = ( 1+ 0,15) ( ) = ,9549 = R$369, D= N A 369,59 = A A= R$7.830, 40 Resposta: Sabemos que o valor do resgate é obtido quando subtraímos o valor do desconto do valor nominal. Então, R$ 8.200,00 R$ 369,59 encontramos o valor do resgate de R$ 7.830,40.

27 27 DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL (POR FORA) O desconto composto comercial 9 ou por fora caracteriza-se pela incidência sucessiva de taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores (ASSAF NETO, 2009). Numa operação de desconto comercial (por fora), considera-se a taxa de juros (i) e o prazo de antecipação de n períodos. A equação fundamental do desconto composto comercial (por dentro) é dado pela seguinte equação: A = N 1 ( i) n Caso o enunciado da questão de desconto composto racional por dentro solicite que você encontre o valor atual, basta isolar o valor atual da equação acima e temos: N = 1 A ( i) n Exemplo: Um título é descontado por $10.000,00 quatro meses antes da sua data de vencimento. Calcule o valor de face desse título considerando que foi aplicado um desconto composto comercial a uma taxa de 3% ao mês. Solução: Passo 1: Note que o enunciado da questão acima trata de uma antecipação de pagamento de um título 4 meses antes de seu vencimento. Logo de cara sabemos que estamos diante de uma questão de desconto. Passo 2: Lembrando que a matemática financeira está dividida em dois grandes regimes: o simples e o composto o primeira é quando o enunciado da questão revela que se trata de desconto composto; o segundo é quando o enunciado da questão indicar a presença de uma taxa nominal. Passo 3: A questão agora é identificar a modalidade do desconto. Vimos que no desconto composto o que a questão quer saber é se você sabe aplicar a fórmula. No entanto, nada foi dito no enunciado e apareceu uma taxa nominal, então resolve-se a questão pela 9 Caracteriza-se pela incidência sucessiva de taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores (ASSAF NETO, 2009).

28 28 modalidade de desconto composto simples por dentro. No exercício acima, o enunciado da questão revelou explicitamente a modalidade do desconto, que é comercial por fora. Passo 4: Precisamos que a taxa e o tempo estejam na mesma unidade. No exercício acima a taxa e o tempo estão na mesma unidade. Atenção: Não podemos esquecer que para alimentar a fórmula é preciso transformar a taxa percentual em unitária dividindo por 100. Logo 3/100 = 0,03. Passo 5: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as informações na fórmula e em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. N A ,00 A = = ( 1 i) n ( 1 0,03 ) 4 N = $11.295, 60 Resposta: O valor nominal será de R$11.295,60. O desconto composto comercial por fora ( D ) é calculado pela fórmula a seguir: c Onde ( ) Dc = N 1 1 i D c é desconto comercial, ( N ) valor nominal taxa de juros, ( i ) taxa de juros e n o prazo da antecipação de períodos. n Exemplo: Um comerciante deseja quitar um determinado título que vale R$ 8.200,00, antecipando seu vencimento em seis meses. A taxa de juros é de 2% a.m. Qual o valor do desconto comercial composto e o valor do resgate que esse comerciante receberá de resgate? Resolução: Como há compatibilidade entre as unidades de tempo, aplica-se a fórmula sem necessidade de conversão:

29 29 Aplicação da fórmula: D c N =? = R$8.200, 00 i = 2% am.. n = 6meses ( ) Dc = N 1 1 i D D D r r r ( ) = , 02 ( ) = ,98 = R$936, 09 n 6 6 D= N A 936, 09 = A A= R$7.263,90 Resposta: Sabemos que o valor do resgate é obtido quando subtraímos o valor do desconto do valor nominal, temos, então, R$ 8.200,00 R$ 936,09 e encontramos o valor do resgate de R$ 7.263,90. Aprenda um pouco mais sobre desconto comercial composto assistindo à videoaula disponível no link a seguir. DESCONTO COMPOSTO BANCÁRIO A operação de desconto bancário baseia-se no desconto comercial, com o acréscimo de uma taxa (h) que incide sobre o valor nominal. Calculamos o valor do desconto bancário utilizando a fórmula abaixo: D = D + Nh Onde: (D U ) = Desconto bancário (D V ) = Desconto composto comercial (por fora) b c

30 30 (N) = Valor nominal (i) = Taxa de juros (h) = Taxa administrativa cobrada pela instituição financeira (n) = Prazo de antecipação de períodos, considerando a taxa administrativa cobrada pela instituição financeira. Exemplo: Um comerciante deseja quitar um título que vale R$ 8.200,00 antecipando o seu vencimento em 6 meses. Sabe-se que a taxa de juros é de 2% a.m. e a taxa administrativa cobrada pelo banco é de 2%, calcule o valor do desconto composto bancário e o valor do resgate que o comerciante receberá de resgate. Resolução: Db =? N = R$8.200, 00 i = 2% am.. n = 6meses h = 2% D c = R$936, 09 Aplicando a fórmula: Db = Dc + Nh D = 936, , 00 0, 02 D = R$1.100, 09 b D = N A 1.100, 09 = 8.200, 00 A A= R$7.099,91 b Resposta: Subtraindo o valor do desconto de R$ 1.000,09 do valor nominal R$ 8.200,00, o comerciante receberá pelo resgate o valor de R$ 7.099,91. b Assista à curta entrevista de Alexandre Assaf Neto, um dos grandes autores de livros sobre Matemática Financeira citados neste material, na XXI Bienal Internacional do Livro de São Paulo em Confira através do link a seguir. Os conceitos apreendidos aqui têm grande valia para a formação nessa área. Continue estudando!

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32 32 Aula 8 EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS Caro(a) estudante, chegamos à nossa última aula desta UIA. Os conceitos apreendidos aqui têm grande valia para a formação nessa área. Continue estudando! INTRODUÇÃO É muito comum em operações financeiras a necessidade de mudar a forma original de pagamento de uma obrigação. Pode ser porque se deseja antecipar ou até mesmo prorrogar o pagamento de uma dívida. Outras vezes, deseja-se mudar a forma de pagar uma dívida contraída. Pode acontecer também de uma pessoa necessitar substituir o pagamento de vários títulos em um único título ou vice-versa. Segundo Mathias e Gomes (2011, p. 132), [...]é frequente a necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras. Às vezes Fonte: queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por um único ou por vários. Ainda de acordo com os autores, tais questões dizem respeito à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando uma dada taxa de juros. EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS Segundo Penido (2007, p. 110), dois ou mais capitais, resgatáveis em datas distintas, serão equivalentes se, levados para uma determinada data focal à mesma taxa de juros, resultarem em valores iguais. Assim como no regime simples, estaremos diante de uma operação de equivalência de capitais quando: Houver duas formas diferentes de quitar uma mesma obrigação; e Quando estivermos em uma situação de empréstimo. Exemplo: Suponha que eu tenha comprado uma smart TV e tenha me comprometido a pagá-la da seguinte maneira: uma parcela no valor de R$ 1.000,00, a vencer daqui a 30 dias, e outra parcela no valor de R$ 2.000,00 daqui a 60 dias. Infelizmente, estou sem dinheiro no momento. Assim, preciso mudar a forma originalmente acordada de pagamento. Eu proponho pagar a minha dívida de uma maneira diferente, posso pagar em duas parcelas de mesmo valor a vencer daqui a 90 e 120 dias. Assuma na operação a taxa de juros compostos de 10% ao mês e calcule o valor das novas parcelas. Vamos visualizar abaixo graficamente essa situação.

33 33 Vocês perceberam que eu comprei uma smart TV e combinei de pagar de uma maneira, mas devido a um imprevisto, tive que propor outra forma de pagamento? Pois é, toda vez que estivermos diante de uma situação de empréstimo e houver uma mudança da forma de pagamento originalmente contratada, estaremos diante de uma operação de equivalência de capitais. Em outras palavras, uma operação de equivalência de capitais serve para que eu, devedor, não saia perdendo e para que o meu credor também não. Dessa forma, precisamos garantir que a nova forma de pagamento proposta seja equivalente à primeira, por isso o nome equivalência de capitais DATA FOCAL (DF) Segundo Penido (2007, p. 50), data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes, ou seja, é a data para onde serão transportados os valores de entrada e saída de dinheiro como o objetivo de avaliação. A data focal pode ser chamada também de data de avaliação ou data de referência. Em outras palavras, a data focal nada mais é que uma data de referência (comparação), para a qual iremos projetar todas as parcelas do desenho, por meio de operações de desconto composto racional. Mas como eu devo utilizar a data focal? Diferente do que aprendemos na equivalência simples de capitas, no regime composto você tem a liberdade para escolher a data focal que preferir. Eu sempre sugiro aos meus estudantes escolherem a data focal mais à direita possível do desenho (gráfico), pois assim, você utiliza uma única fórmula na hora de transportar os valores para a data focal. Exemplo: Pedro comprou hoje o novo iphone 6S, e combinou de pagar por ele da seguinte maneira: uma parcela no valor de R$ 1.000,00 daqui a 30 dias e mais outra parcela no valor de R$ 2.000,00, 60 dias após a compra. Devido a grave crise financeira em que

34 34 estamos vivendo, Pedro não possui dinheiro suficiente para quitar a sua dívida com a loja onde ele comprou o celular. Como ele não tem a intenção de dar um calote na empresa, Pedro solicitou alterar a forma de pagamento originalmente combinada. A nova proposta de pagamento de Pedro é a seguinte: ele se propõe a pagar duas parcelas iguais e de mesmo valor, uma a noventa e outra a cento e vinte dias após a data da compra. Vamos considerar uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Para que o credor e o devedor não saiam perdendo nessa transação, calcule o valor das novas prestações. Resolução: Passo 1: Temos que identificar o assunto que se refere a questão. Logo de cara identificamos que se trata de uma operação composta de capital. O enunciado foi direto e nos revelou duas formas diferentes de pagar uma obrigação com vencimento futuro por meio de juros compostos. Trata-se de uma operação de equivalência composta de capitais. Passo 2: Faça o desenho (gráfico) da questão. É muito útil e facilita muito a compreensão e a resolução do exercício. O desenho nada mais é que a linha do tempo com as respectivas informações do enunciado da questão. É importante que você faça o retrato fiel do problema. No nosso caso o desenho fica assim: Passo 3: Nesse mesmo gráfico, é necessário identificar o que é a primeira forma de pagamento originalmente acordada (I) e o que é a nova forma de pagamento, que chamaremos de segunda forma de pagamento (II), para que possamos definir as parcelas que deverão ser equivalentes.

35 35 Passo 4: Devemos sempre satisfazer essa exigência da matemática financeira de que taxa e tempo devem sempre estar na mesma unidade. No exercício acima, a taxa fornecida é mensal (10% a.m.) e o tempo está em dias (30, 60, 90 e 120). Sabemos que 30 dias é igual a 1 mês, 60 dias igual a 2 meses, 90 dias igual a 3 meses e 120 dias igual a 4 meses. Logo podemos representar o nosso desenho da seguinte maneira: Passo 5: Aqui vem o primeiro facilitador porque na equivalência composta utilizaremos sempre a modalidade de desconto composto racional (por dentro). Passo 6: Temos que identificar a data focal, ou seja, temos que definir a data que servirá de referência para a qual todas as parcelas do desenho serão projetadas via operações de desconto. Temos agora o nosso segundo facilitador. Na equivalência composta de capitais você é livre para decidir a data focal a ser adotada. É sempre recomendável que se utilize a data focal mais à direita do seu desenho (gráfico). Isso facilita no sentido de que você só precisa usar uma única fórmula. Passo 7: A partir de agora podemos dar início à resolução efetiva da questão. Precisamos projetar todas as parcelas do desenho para a data focal por meio de operações de desconto composto racional (por dentro). Iniciaremos transportando o valor de R$ 1.000,00 para a data focal. Mas atenção, tenha muito cuidado a um erro muito comum. Observem que a distância da primeira parcela e a data focal é de 3 meses e não de 4 meses. A letra E é a incógnita que estamos interessados. Ela é utilizada apenas para fins didáticos. Poderia ser qualquer letra do alfabeto.

36 36 n 3 ( 1 + i) = 1000(1 + 0,10) N = A N E = $1.331, 00. N =1331, 00, para fins didáticos escreveremos n 2 ( 1 + i) = 2000(1 + 0,10) N = A N F = R$ 2.420,00. N = 2420, 00, para fins didáticos escreveremos n 1 ( 1 + i) N = (1 + 0,10) N = A X R$ 2.420,00. N = 1, 10 X, para fins didáticos escreveremos G =

37 37 A última parcela já está sobre a data focal, logo, o valor da última parcela é o próprio X. Portanto, H = X. Passo 8: Chegamos então ao último passo. A partir de agora iremos aplicar a fórmula de equivalência de capitais. Σ ( Ι) Df = Σ( ΙΙ)Df Essa equação nos diz que o somatório das parcelas referentes à primeira obrigação após serem projetadas para a data focal, devem ser igual à soma das parcelas da segunda obrigação transportadas para a data focal. Logo temos: Resposta: Σ ( Ι) Df = Σ( ΙΙ)Df E + F = G + H = 1,10X + X = 2,10X X = ,10 X =1.786,19 Portanto, Pedro deverá pagar duas parcelas no valor de R$ 1.786,19 no terceiro e quarto mês respectivamente. Viram como é fácil? Basta apenas seguir o passo a passo acima e você estará apto a resolver qualquer questão de equivalência composta de capitais. Veja alguns exercícios resolvidos de equivalência composta de capitais e aprenda mais acessando o link a seguir. Para tirar a prova, eu convido você a resolver a seguinte questão abaixo, seguindo os passos descritos acima.

38 38 Exemplo: Joãozinho acaba de fazer uma dívida com o Banco G. A primeira parcela que Joãozinho deverá pagar será no valor de R$ 2.000,00 com vencimento para daqui a seis meses. A segunda parcela vencerá daqui a dois anos no valor de R$ 4.400,00 e a taxa de juros será de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Suponha agora que Joãozinho conseguiu um novo emprego com um bom salário e ele deseja substituir a sua dívida antiga por uma nova pagando uma única parcela a vencer daqui um ano e meio. Para que o banco credor não saia perdendo e Joãozinho tampouco, de quanto será o valor dessa parcela? Resposta: X = R$6.421,76 Aprenda mais sobre equivalência composta de capitais assistindo à excelente videoaula do curso de Matemática da Universidade Estadual da Bahia, disponível no link a seguir. Termina aqui nossa Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA). Ficou com alguma dúvida? Retorne ao conteúdo ou busque esclarecimentos no Fórum de Dúvidas. Senão, passe para a unidade seguinte. Até lá. Você terminou o estudo desta unidade. Chegou o momento de verificar sua aprendizagem. Ficou com alguma dúvida? Retome a leitura. Quando se sentir preparado, acesse a Verificação de Aprendizagem da unidade no menu lateral das aulas ou na sala de aula da disciplina. Fique atento, essas questões valem nota! Você terá uma única tentativa antes de receber o feedback das suas respostas, com comentários das questões que você acertou e errou. Vamos lá?!

39 39 REFERÊNCIAS ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, PENIDO, Eduardo. Matemática financeira para concurso público. 1. ed. São Paulo: Atlas, Bibliografia Sugerida CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, GLOSSÁRIO Descontos: Processo de resgate no qual são apurados o principal e os juros de direito do investidor correspondentes ao tempo já aplicado até aquela data. Desconto bancário: É baseado no desconto comercial, acrescido de uma taxa (h) cobrada sobre o valor nominal. Desconto composto comercial ou por fora : Caracteriza-se pela incidência sucessiva de taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores (ASSAF NETO, 2009). Desconto racional ou desconto por dentro : É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal de um título e o valor de um determinado compromisso que deve ser resgatado (ou saldado) n períodos antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 2011). Montante: Representa a soma do valor aplicado (principal) mais os juros calculados durante determinado período. Regime de capitalização: É o processo no qual os juros são formados e incorporados ao capital (principal financeiro inicial da aplicação). Taxa de juros nominal: Representa a taxa de juros contratada (ou declarada) numa operação financeira. Normalmente essa taxa é expressa para um período superior ao da incidência de capitalização dos juros (ASSAF NETO, 2009). Valor atual ou valor presente: É quanto vale o seu compromisso numa data anterior à data do vencimento. Valor nominal: Significa quanto vale o seu compromisso na data do vencimento, numa data futura.