Decodificação Turbo de Código Produto de Paridade Simples

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1 Decoificação Turbo e Cóigo Prouto e Pariae Simples Dayan Aionel Guimarães - INATEL Resumo Esse artigo apresenta os resultaos e uma investigação sobre o esempenho e cóigos prouto e pariae simples, sem pariae as pariaes, em canal AWGN. A ecoificação é iterativa, usano ao algoritmo Log- MAP simplificao. É verificao que excelentes resultaos poem ser alcançaos com o uso esses cóigos que têm como principal característica a simpliciae e coificação e e ecoificação. Uma forma especial e implementação e pariaes iagonais é apresentaa nesse trabalho e mostra ser uma alternativa que traz consieráveis melhorias e esempenho, manteno aina baixas a complexiae a coificação e a ecoificação. Abstract This article presents the results of an investigation about the performance of single parity check prouct coes (SPC- PC), without check-on-checks, in AWGN channels. These coes are iteratively ecoe using a simplifie version of the Log-MAP algorithm. It is shown that very goo performance results can be obtaine with these powerful an simple coes. A special form of iagonal parity is presente here an shows consierable performance improvements, without a significant increasing in the coing an ecoing complexity. Palavras chave Coificação e canal; (e)coificação Turbo; ecoificação iterativa; FEC; cóigos prouto e pariae simples; cóigos concatenaos; cóigos e bloco Turbo; pariae iagonal. I. INTRODUÇÃO Os Cóigos Turbo [Ber96] corresponem a implementações one há a concatenação e cóigos componentes e tal sorte que a ecoificação estes cóigos possa ser realizaa e forma inepenente e iterativa, seno utilizao o resultao a ecoificação e um os cóigos com o obetivo e melhorar a confiabiliae a ecisão as etapas seguintes no processo iterativo. Em uma as possíveis estruturas e concatenação, a informação e entraa e um e ois coificaores correspone a uma versão entrelaçaa a entraa o outro coificaor componente (concatenação paralela), com processos e ecoificação iterativa utilizano algoritmos o tipo SISO (Soft-Input Soft-Output). Nesses processos e ecoificação SISO, informações sobre a confiabiliae ou qualiae a ecoificação e um os cóigos componentes (soft output ou informação e estao o canal) são passaas para o processo e ecoificação o outro cóigo, e forma iterativa, e tal sorte que a caa ciclo tem-se maior precisão na estimação o bit transmitio. Em [Ber96] pôe-se obter, a 0-5 e taxa e erro e bit, uma E b /N o istante apenas 0,7 B a Capaciae e Shannon e, mais recentemente, em [Nic97a], um esempenho resultano em uma E b /N o istante 0,7 B a capaciae e canal foi obtio. Mas apesar os incríveis ganhos e esempenho que poem ser obtios, um os granes obstáculos a serem transpostos aina se refere à simplificação os algoritmos e ecoificação. Aqueles consieraos ótimos (seguno o critério MAP símbolo-a-símbolo), como regra geral são também complexos, emanano altas velociaes e processamento para que aplicações reais possam ser vislumbraas. Várias pesquisas têm sio então encaminhaas no sentio e esenvolver novos algoritmos ótimos ou sub-ótimos ou aina no sentio e moificar algoritmos ótimos, tornano-os sub-ótimos, porém com menor grau e complexiae. Esquemas e coificação e canal com ecoificação Turbo permitem aina que sea possível, a um moerao grau e complexiae, operar com valores e E b /N o abaixo a taxa e corte o canal. Até então sabia-se que esta se tratava e uma tarefa possível, mas e alta complexiae [Hag96], pois a taxa e corte era consieraa como a capaciae prática o canal. Basicamente tem-se uas granes famílias e cóigos Turbo: uma baseaa na concatenação e cóigos convolucionais (CTC, Convolutional Turbo Coe) e outra baseaa na concatenação e cóigos e bloco (BTC, Block Turbo Coe). Grane atenção passou a ser irigia a implementações e cóigos Turbo a partir e cóigos convolucionais após a publicação a reconhecias contribuições e C. Berrou e A. Glavieux em 993 e 996 [Ber96]. Recentemente, grane interesse tem sio emonstrao por implementações e processos e ecoificação iterativa (incluino ecoificação Turbo) baseaos em cóigos e bloco. Dentre várias iniciativas poem-se mencionar [Nic97a], [Nic97b], [Dav0], [Kan94], [Pyn98], [Hag96], [Ran0], [Hun98a] e [Hun98b]. Várias empresas á aotaram cóigos e bloco Turbo como base e seus chips coificaores e ecoificaores. Dentre elas poem ser citaas a Avance Harware Architecture (AHA, e a Efficient Channel Coing (ECC, Os principais obetivos essas implementações se referem à possibiliae e reução na complexiae e O resultao e simulação apresentao em [Ber96] foi obtio com o uso e coificaores convolucionais recursivos e sistemáticos, um extenso bloco e interleaving pseuo-aleatório entre os coificaores ( bits), 8 iterações e alguns austes no algoritmo BCJR.

2 ecoificação, o aumento na velociae e ecoificação (característica intimamente ligaa ao primeiro obetivo e à simplificação no processo e entrelaçamento temporal) e também o aumento e esempenho em relação aos CTCs, principalmente para cóigos e altas taxas [Pyn98], [Hag96]. Esta característica é também verificaa em [Dav0]. Para baixas taxas, os CTCs geralmente apresentam melhor esempenho. Outra vantagem aparente os BTCs se refere à consierável reução (em certos casos) o patamar e erro e bit intransponível que é percebio em toos os cóigos Turbo. Esse patamar ocorre evio à existência e palavras cóigo com baixo peso e à alta correlação entre as seqüências coificaas e caa cóigo componente. Seu valor poe ser reuzio através a aequaa implementação os blocos e entrelaçamento temporal entre os cóigos utilizaos [Bar98b]. Esse processo, enquanto reuz a correlação entre as saías coificaas e caa cóigo componente, também reuz o número e palavras cóigo e baixo peso. A concatenação os cóigos componentes poe ser implementaa na forma serial ou paralela. Para os BTCs, a concatenação serial é mais vantaosa que a concatenação paralela [Dav0]. Quano há concatenação serial e ois ou mais cóigos e bloco separaos por entrelaçaores temporais (interleavers), tem-se uma estrutura e cóigo prouto e, essa forma, o processo e ecoificação e BTCs poe-se valer e algoritmos erivaos e algoritmos iterativos e ecoificação e cóigos prouto, ese que estes algoritmos forneçam ecisões suaves e saía. Esse artigo encontra-se organizao a seguinte maneira: na seção II são aboraos alguns conceitos funamentais e necessários ao entenimento o processo e ecoificação Turbo apresentao. Na seção III são citaos, e forma resumia, alguns os principais algoritmos e ecoificação Turbo, estacano-se aqueles utilizaos para ecoificação Turbo e cóigos e bloco. Aina na seção III são apresentaos alguns algoritmos que não são caracterizaos com algoritmos e ecoificação turbo, mas que poem servir à implementação e algoritmos Turbo. A Seção IV apresenta resultaos e simulação e um algoritmo Log-MAP simplificao (sub-ótimo), para cóigos prouto e pariae simples, sem pariae as pariaes, em canal AWGN, implementao com o Mathca 00 Professional. Nesta seção também é apresentao o conceito e uma forma especial e implementação e pariaes iagonais. A seção V conclui o trabalho, com comentários aicionais sobre os resultaos apresentaos e sobre futuras propostas e trabalho. Um apênice é também fornecio e apresenta o cóigo o programa utilizao nas simulações consieraas neste trabalho. II. FUNDAMENTOS PARA DECODIFICAÇÃO DE CÓDIGOS TURBO Nesta seção é apresentaa uma síntese os principais conceitos aplicaos ao processo e ecoificação iterativa os cóigos e bloco Turbo. Complementos a esta aboragem poem ser encontraos em várias referências, entre elas poeno ser citaas [Ber96], [Skl97] e [Hag96]. A. Revisão sobre funções e verossimilhança Dentre os conceitos funamentais relacionaos ao processo e ecisão sobre os bits transmitios em sistemas e comunicação igital estaca-se o Teorema e Bayes. Trata-se e uma ferramenta útil para teste e hipóteses, relacionano probabiliaes conicionais e conuntas e eventos A e B [Skl97] P ( A B) B) = B A) A) = A, B) () Um formato mais freqüentemente encontrao para a fórmula e Bayes () é B A) A) P ( A B) = () B) No estuo e telecomunicações a fórmula e Bayes toma sua versão contínua aa por p( x = i) = i) P ( = i x) =, i =,... M (3) p( x) one P ( = i x) representa a probabiliae a-posteriori e ter assumio o valor i ( = i ter sio transmitio), teno sio observaa a saía x (sinal recebio). Essa probabiliae se refere a um certo tipo e refinamento sobre o nosso conhecimento prévio, após a observação a saía o experimento. A função p ( x = i) é a função e verossimilhança (likelihoo function) a saía x, aa a ocorrência (transmissão) a classe e sinais = i. O valor = i) é a probabiliae a-priori e ocorrência o evento = i (probabiliae e transmissão a classe e sinais = i). Finalmente, p(x) é a função ensiae e probabiliae total sobre too o espaço as M classes e sinais recebios, ou sea M p( x) = p( x = i) = i) (4) i= Os mais utilizaos critérios e ecisão aplicaos em sistemas e comunicação igital são baseaas no teste e hipóteses instrumentalizao pelo Teorema e Bayes. São eles: o critério o máximo-a-posteriori (MAP, Maximum A- Posteriori) e o critério e máxima verossimilhança (ML, Maximum Likelihoo). O critério MAP estabelece, aa como exemplo uma sinalização binária antipoal ( {+, - }, M = e i =, ): H > = + x) = x) (5) < H

3 o que significa: escolha a hipótese (o sinal + ou bit foi transmitio) se a probabiliae a-posteriori = + x) for maior que = - x) e escolha a hipótese (o sinal ou bit 0 foi transmitio) em caso contrário. Utilizano o teorema e Bayes poe-se escrever a expressão (5) na forma equivalente ou H > p( x = + ) = + ) p( x = ) = ) < H H p( x = + ) = + ) > p( x = ) = ) < Na expressão (6) tem-se, no termo a esquera, a conhecia razão e verossimilhança. Para sinais transmitios com mesma probabiliae (equiprováveis), a expressão (6) reuz-se a H p( x = + ) > p( x = ) < H o que correspone ao critério e máxima verossimilhança (ML). Verifica-se, portanto, que para sinais equiprováveis, o critério ótimo MAP se reuz ao critério ML (também ótimo neste caso). A título e exemplo, a Fig. ilustra o aspecto as funções e verossimilhança para sinais recebios na saía o etetor (entraa o elemento ou bloco e ecisão) em um sistema e comunicação com sinalização antipoal. Os sinais transmitios, {+, -}, estão contaminaos por ruío aitivo gaussiano branco (AWGN, Aitive White Gaussian Noise). A escolha pelas hipóteses ou anteriormente efinias restringe-se à observação a magnitue o sinal e saía o etetor, ou sea, se este sinal é maior que o limiar e ecisão γ, ecia por + (bit, ou 0, conforme o mapeamento na transmissão); caso contrário ecia por (bit 0, ou ). Em caso e igualae, ecia arbitrariamente por 0 ou por. Se as probabiliaes a-priori são iguais, ou sea = +) = = -), o critério ML se torna equivalente ao critério MAP e, neste caso, o limiar γ se encontra no ponto intermeiário entre as méias as funções e verossimilhança (na Fig., γ = 0). Ao contrário o que acontece com o critério MAP, o critério e máxima verossimilhança é comumente utilizao na ecoificação e seqüências inteiras, e não símbolo-asímbolo como ilustrao pela Fig.. Neste caso o critério ML minimiza a probabiliae e ecisão pela seqüência incorreta. A equiprobabiliae os bits e informação normalmente ocorre nas típicas fontes e em sistemas e comunicação e, quano não ocorre, esta equiprobabiliae é aproximaamente garantia através o uso e ranomizaores (scramblers). H (6) (7) p ( x = ) p( x = + ) - Fig.. Ilustração as funções e verossimilhança para sinalização antipoal. B. A Informação Extrínseca Por razões e simplificação em cálculos, às vezes torna-se mais vantaoso operar com as funções e verossimilhança no omínio logarítmico no qual multiplicações e ivisões são convertias em aições e subtrações, respectivamente. Tomano-se o logaritmo o termo a esquera a Eq. 6 obtém-se a métrica enominaa Razão e Log- Verossimilhança (LLR, Log-Likelihoo Ratio) p( x = + ) = + ) L ( x) = log + log (8) p( x = ) = ) que poe ser expressa como γ + L ( x) = L( x ) + L( ) (9) A quantiae L ( x ) é a LLR as meias o canal x, aas as conições e transmissão = + ou = -, e L() é a LLR a-priori o bit. Uma pequena simplificação na notação a expressão (9) resulta em [Skl97] L' ( ˆ) = Lc ( x) + L( ) (0) one L '( ˆ ) é a LLR estimaa e um eterminao bit, apresentaa à entraa o ecoificaor e canal e L c () é a LLR a meia o estao e canal, corresponente ao bit, obtia na saía o etetor. Poe-se provar [Ber96] que a LLR na saía o ecoificaor e canal (saía suave) é aa por [Skl97] L( ˆ) = L'( ˆ) + L ( ˆ) () ' one L ( ˆ ) é a LLR e um bit e aos (valor a-posteriori) e L e (ˆ) é efinia como a LLR Extrínseca, ou Informação Extrínseca [Ber96], esse bit. A informação extrínseca poe ser interpretaa como a quantiae e informação aicionaa ao valor real e entraa o ecoificaor (soft input) para formar o valor real e saía (soft otput) [Hun98] ou a quantiae e informação obtia a partir o processo e ecoificação [Skl97], porém inepenente os valores antes este processo (na saía o e x 3

4 etetor) [Ber96]. A informação extrínseca poe aina ser efinia como a iferença entre a LLR calculaa na saía o estágio e ecoificação (saía suave) e a informação intrínseca representaa por uma LLR realimentaa à entraa o estágio e ecoificação; é a informação aicional obtia através a exploração as epenências que existem entre o bit e informação e interesse e os emais bits coificaos em um bloco [Hay0], seguno caa regra e coificação específica. Combinano (0) e () poe-se escrever a LLR obtia através o processo e ecoificação SISO como L( ˆ) = L ( x) + L( ) L ( ˆ) () c + Esta LLR contém a informação necessária para ecoificação abrupta o bit, aa pela polariae e L (ˆ ), bem como a informação e confiabiliae essa ecisão, aa pela magnitue e L (ˆ ). Relembrano, L c (x) representa a LLR obtia a partir a meia o canal, na saía o etetor, L() é a LLR a-priori o bit e L (ˆ e ) é a informação extrínseca geraa pelo, e epenente o, processo e ecoificação. C. Decoificação Turbo e particular é igual à menor as magnitues as LLRs os outros bits envolvios; e o sinal essa informação extrínseca é igual ao próprio sinal essa LLR, se a ecisão abrupta levar a uma palavra cóigo vália (se for verificaa a pariae), e tem seu sinal invertio se esta pariae não é verificaa. Esta operação faz com que, a caa iteração, os valores as LLRs e saía o ecoificaor SISO seam reuzios ou fortalecios, epeneno a verificação ou não a pariae; e a quantiae e reução ou fortalecimento epenerá o menor valor e LLR os emais bits envolvios [Hun98]. Esse menor valor poe ser interpretao como a menor confiabiliae obtia no resultao e verificação a pariae. As Figs. 3(a) e 3(b) ilustram o que está registrao no parágrafo anterior. Nelas estão seno mostraas, a caa iteração (e um total e 3 iterações), as alterações nos valores as saías suaves (LLRs e saía) o processo e ecoificação Turbo e um cóigo prouto D (biimensional) e pariae simples sem pariae as pariaes, formao a partir e cóigos componentes iênticos (3, ). 5 A Fig. representa o iagrama e um ecoificaor SISO para um cóigo sistemático, usao na construção e um ecoificaor iterativo (Turbo). Soft Output LLRs e entraa ( soft inputs) L' ( ˆ) = L c ( x) + L( ) LLRs e saía ( soft outputs) L ( ˆ) = L '( ˆ) + L e ( ˆ) 0 LL() c (x) Valores a-priori para os bits e informação Estao e canal para toos os bits coificaos L L() c (x) Decoificaor SISO ( Soft-Input Soft-Output) L e ( ˆ) Informação extrínseca para os bits e informação Valores a-posteriori para os bits e informação L' ( ˆ) 5 0 SO bit 0 SO bit SO bit SO bit 3 (a) Iterações Fig.. Ilustração o ecoificaor Turbo (aaptao e [Hag96] e [Skl97]). 0 A saía o etetor é a LLR que contém a informação e canal obtia para toos os bits coificaos, mais a informação a-priori os bits e informação. No processo e ecoificação iterativa, estes valores a-priori não são conhecios antes a primeira iteração completa e normalmente são consieraos nulos (probabiliaes a-priori iguais) nesta etapa. A saía o ecoificaor SISO é composta pelos valores a-posteriori os bits e informação, mais a informação extrínseca obtia pelo processo e ecoificação. Esse valor e informação extrínseca é realimentao à entraa o SISO, como o valor a LLR a- priori para a próxima iteração. Este proceimento faz com que os novos valores e LLR e entraa possam prouzir valores e LLR e saía mais confiáveis, iteração a iteração. Como será ustificao na seção IV, com o auxílio e um exemplo, a magnitue a informação extrínseca e um bit em Soft Output SO bit 0 SO bit SO bit SO bit 3 (b) Iterações Fig. 3(b). Ilustração a evolução as soft outputs a caa iteração no processo e ecoificação Turbo (seqüência transmitia =, 0, 0, 0). 4

5 No exemplo ilustrao pela Fig. 3(a) os bits e informação transmitios corresponem à seqüência {, 0, 0, 0}. Observase que antes a primeira iteração (instante zero, no eixo horizontal) os valores as LLRs (neste instante iguais L c (x), as meias ou informações e canal) levariam a uma ecisão abrupta pela seqüência incorreta {0,, 0, 0}. Ao final a primeira iteração verifica-se que o sinal a LLR para o bit (soft output SO bit ) foi invertio. Ao final a seguna iteração verifica-se que o sinal a LLR para o bit 0 (SO bit 0) foi invertio. Toas as outras LLRs tiveram seus sinais inalteraos. A magnitue e toas as LLRs foram, contuo, alteraas, a caa iteração, para um valor igual à soma a informação e canal com a informação extrínseca corresponente. Para o exemplo ao, após a seguna iteração os valores e LLR e saía á levam à ecoificação correta a seqüência original. De fato, como observao em [Ran0], após a D-ésima iteração as alterações nas LLRs e saía á não alterarão a ecisão, caso a quantiae e erros inuzios estea entro a capaciae e correção o cóigo prouto e imensão D. A Fig. 3(b) mostra uma situação na qual a ecisão abrupta a partir as saías o etector (informação e canal) levaria a um erro, mas á na primeira iteração este erro seria corrigio. A partir aí percebe-se, a caa iteração, um reforço nas LLRs e saía o ecoificaor SISO, numa tenência méia e confirmar a ecisão que á poeria ser tomaa logo após a primeira iteração. Nenhuma melhoria estaria seno obtia em termos a ecisão final neste caso. Este fato inica a necessiae e se efinir um critério e paraa no processo iterativo e tal sorte que sea reuzio o tempo total e ecoificação e se possa aumentar a vazão (throughput) e aos em um sistema e comunicação real. Em [Hag96] são aboraos alguns esses critérios e em [Hun98a, p. 43, item 4.7] é sugerio um métoo extremamente simples e verificação e convergência no processo iterativo e e interrupção esse processo caso a convergência sea verificaa. A iéia em [Hun98a] é aequaa à ecoificação iterativa e cóigos prouto com pariae simples. A Fig. 4 mostra, e forma complementar às Figs. 3(a) e 3(b), o refinamento as LLRs e saía e um ecoificaor Turbo usano algoritmo Log-MAP sub-ótimo. O cóigo utilizao neste exemplo é um cóigo SPC 4D, formao a partir e cóigos componentes iguais (7, 6), e os bits coificaos são consieraos toos nulos (símbolos +). Percebe-se que, com o aumento no número e iterações, até aproximaamente um número igual à imensão o cóigo prouto, há aumento na ispersão a istribuição a LLR e saía, porém a sua área à esquera o limiar e ecisão 0 é reuzia (melhoria as confiabiliaes), levano a uma menor probabiliae e erro na ecisão os símbolos percebe-se que há um eslocamento para a ireita a méia as LLRs à meia que é completaa caa iteração LLR e saía após a primeira iteração LLR e saía após a quarta iteração LLR e saía após a sexta iteração Fig. 4. Variação a ispersão a função ensiae e probabiliae e LLRs e saía e um ecoificaor Turbo em função o número e iterações. III. ALGORITMOS DE DECODIFICAÇÃO TURBO E ALGORITMOS SISO PARA COMPOSIÇÃO DE ALGORITMOS DE DECODIFICAÇÃO TURBO Nesta seção é apresentaa uma síntese sobre algumas as propostas e algoritmos e ecoificação Turbo publicaas em veículos ou eventos e ivulgação especializaos, com estaque para aqueles utilizaos para ecoificação Turbo e cóigos e bloco. Alguns algoritmos não específicos para ecoificação Turbo são também citaos como base na implementação a ecoificação Turbo por operarem com entraas suaves e por permitirem que ecisões suaves seam obtias em suas saías. Pelo que está exposto a seguir, notase que quase toos os algoritmos e ecoificação iterativa para cóigos e bloco sugerios nesses últimos anos são baseaos em variações e/ou erivações os algoritmos BCJR [Bah74] ou Chase [Cha7]. O uso e processos e ecoificação iterativa (incluino ecoificação Turbo) é possível para qualquer cóigo convolucional ou e bloco na forma sistemática 3, ou aina para uma combinação entre estes. Os algoritmos e ecoificação Turbo poem ser implementaos a partir e qualquer regra e ecoificação que tenha como princípio a geração e ecisões suaves a partir e entraas suaves (meias e canal na saía e um filtro casao, por exemplo) e que permita que alguma informação aicional obtia pelo processo e ecoificação possa ser realimentaa à entraa para, a caa iteração, melhorar a confiabiliae as saías suaves e, portanto, as ecisões. Em alguns algoritmos a informação extrínseca é extraía as probabiliaes a-posteriori obtias e somente ela é realimentaa como forma e melhorar a confiabiliae as ecisões. Em outros, a informação extrínseca não é separaa as probabiliaes a-posteriori. Neste último caso as próprias 3 Embora sea possível a implementação e ecoificação turbo para cóigos não sistemáticos, existem várias razões (vea, por exemplo, [Hag96, p.433) para que sea aotao o uso e cóigos sistemáticos. 5

6 probabiliaes a-posteriori atualizaas são realimentaas à entraa a caa iteração e moo a gerar novas probabiliaes. A. Algoritmo e Chase (97) O algoritmo e Chase não é um algoritmo específico para ecoificação Turbo, mas, por ser um algoritmo que poe prouzir ecisões suaves (SISO), seu princípio poe ser aplicao em algoritmos e ecoificação Turbo Na verae trata-se e um conunto e três algoritmos similares [Cha7], e é um algoritmo sub-ótimo (esempenho próximo aquele obtio seguno o critério e máxima verossimilhança, ML) aequao ao processo e ecoificação suave e cóigos e bloco lineares. Sabe-se que quano é utilizaa uma procura exaustiva pela palavra cóigo ótima que minimiza a istância eucliiana entre a palavra recebia e o conunto e possíveis palavrascóigo, seguno o critério ML, a complexiae e ecoificação aumenta exponencialmente em n, o número e bits e um bloco e saía o coificaor e canal. Por esta razão tem-se procurao esenvolver algoritmos e ecoificação com o propósito e reuzir esta complexiae. Em 97, D. Chase propôs um algoritmo utilizano informação e estao e canal (soft output), baseao seguinte observação: para altos valores e RSR, a palavra-cóigo correta se encontra localizaa, com alta probabiliae, numa esfera e raio (δ ), centraa nas coorenaas o vetor Y = (y,..., y l,..., y n ), one y l = 0.5[ + sign(r l )], y l {0,}, R = (r,... r l,..., r n ) é o vetor recebio e δ é a istância e Hamming mínima o cóigo. Utilizano-se esta regra reuzse o número e palavras-cóigo investigaas àquelas localizaas entro a esfera e raio (δ ). O processo e procura essas palavras-cóigo mais prováveis utiliza informações e confiabiliae obtias a partir o vetor R; o processo é escrito etalhaamente em [Cha74] e em [Pyn98] tem-se a aplicação este algoritmo num processo e ecoificação iterativa. Vale citar que em algumas situações específicas, as meias e confiabiliae o algoritmo e Chase coinciem com aquelas utilizaas no algoritmo e Wagner [Sil54] (vea [Pyn98, p. 005, Step 3]). O algoritmo e Wagner, em termos e efeito, se assemelha ao processo e inversão e polariaes na ecoificação Turbo, porém atuano por uma única vez (o algoritmo e Wagner não é iterativo), não possuino, por essa razão, a potencialiae e melhoria as LLRs. B. Algoritmo BCJR (974) Trata-se e um algoritmo ótimo para ecoificação iterativa, baseao no critério MAP símbolo-a-símbolo, para cóigos convolucionais e e bloco sistemáticos. O algoritmo BCJR possui este nome evio às iniciais os autores [Bah74]. O conhecio trabalho e C. Berrou et. al. [Ber96] utilizou uma versão ligeiramente moificaa o algoritmo BCJR para prouzir os surpreenentes resultaos á mencionaos neste artigo. Em [Hag96], J. Hagenauer apresenta uma aboragem sobre algoritmo BCJR, incluino análises e esempenho em comparação a outros algoritmos e ecoificação Turbo, como o SOVA e o Log-MAP, escritos aqui, nas seções III-C e III-E. O Algoritmo BCJR é um os mais utilizaos na composição e processos e ecoificação iterativa. Dentre as inúmeras referências que aboram o assunto poem aina serem citaas: [Bar96], [Ber96], [Hay0] e [Ran0], além a publicação original [Bah74]. C. Algoritmo SOVA (989) O algoritmo SOVA (Soft-Input Soft-Output Viterbi Algorithm) [Hag89] correspone a uma moificação o algoritmo e Viterbi convencional e tal sorte que ecisões suaves apropriaas seam geraas e se possa implementar processos iterativos e ecoificação. Esse algoritmo é analisao em [Hag96] para cóigos convolucionais sistemáticos utilizano treliça. Trata-se e uma implementação sub-ótima, mas que apresenta aproximaamente (e em certos casos) a metae a complexiae e alguns algoritmos Log-MAP. D. Algoritmo e Kaneko (994) O algoritmo e Kaneko [Kan94] se presta à ecoificação suave e cóigos e bloco lineares. Seu esempenho é equivalente àquele obtio seguno processos e ecoificação e máxima verossimilhança, nos quais é minimizaa a probabiliae e ecoificação erraa e uma palavra-cóigo, para palavras cóigo eqüiprováveis. Similar ao algoritmo e Chase, o algoritmo e Kaneko também tem como princípio a geração e um conunto reuzio e palavras cóigo caniatas, entro o qual, com elevaa probabiliae (, neste algoritmo), a palavra cóigo correta estaria contia. Contuo, apresenta melhor esempenho e menor complexiae que o algoritmo e Chase. Assim como o algoritmo e Chase, o algoritmo e Kaneko não é um algoritmo específico para ecoificação Turbo, mas seu princípio poe ser utilizao na construção e algoritmos e ecoificação Turbo. O algoritmo e Kaneko, apesar e prouzir ecisões abruptas, permite que seam calculaas confiabiliaes essas ecisões, transformano-as em ecisões suaves, como por exemplo em [Dav0]. E. Algoritmo Log-MAP (995) Algoritmos ótimos ou sub-ótimos no omínio as logverossimilhanças (para simplificação e transformação e algoritmos MAP símbolo-a-símbolo) são conhecios como algoritmos Log-MAP [Rob95]. Suas versões sub-ótimas poem apresentar esempenho muito próximo ao esempenho o algoritmo MAP símbolo-a-símbolo, principalmente quano há um refinamento na simplificação anteriormente citaa, através e um fator e correção [Hag96, p. 435]. Desempenhos próximos ao e um algoritmo MAP símbolo-a-símbolo também poem ser obtios às custas a inclusão o cálculo e um certo tipo e informação extrínseca também para os bits e pariae e o uso e pariae as pariaes na estrutura e um cóigo prouto [Ran0]. Em 6

7 [Hag96] são apresentaas iscussões sobre a aplicação os algoritmos MAP símbolo-a-símbolo BCJR e Log-MAP em Cóigos e Bloco Turbo, genericamente, e em Cóigos Prouto e Pariae Simples, especificamente. Em [Hag96] e [Skl97], um algoritmo e ecoificação no omínio logarítmico (versão sub-ótima o Log-MAP) é proposto e ilustrao em simples exemplos e ecoificação Turbo. Esse algoritmo possui complexiae e implementação extremamente baixa e poe apresentar excelente esempenho, como será verificao mais à iante. F. Algoritmo e Pyniah (998) Em [Pyn98] é apresentao um algoritmo sub-ótimo para ecoificação iterativa e cóigos e bloco baseaos em cóigos prouto. Esse algoritmo utiliza um ecoificaor SIHO (Soft-Input Har-Output) baseao no algoritmo e Chase [Cha7], seguio e cálculos para obter informações e confiabiliae (soft ecisions) a partir as saías abruptas (har ecisions) o ecoificaor. O esempenho esse processo é aproximaamente ótimo e a proposta apresenta uma boa solução e compromisso entre esempenho e complexiae, seno bastante atrativa para aplicações práticas. G. Algoritmo e Dave (00) No algoritmo e Dave [Dav0] é utilizao o algoritmo e Kaneko [Kan94] (Soft-Input Har-Output), seguio e um proceimento similar ao e Pyniah [Pyn98] para transformar em ecisões suaves as ecisões abruptas o algoritmo e Kaneko. O algoritmo e Dave apresenta certa flexibiliae na relação complexiae versus esempenho, possibilitano sua implementação em versões mais complexas que apresentam esempenho ótimo (como o algoritmo e Kaneko) até versões menos complexas com esempenho sub-ótimo (como aquele obtio pelo algoritmo e Pyniah). Em toos os casos, contuo, a proposta e Dave é menos complexa que as propostas e Kaneko e Pyniah. IV. ALGORITMO LOG-MAP APLICADO NA DECODIFICAÇÃO TURBO DE CÓDIGOS PRODUTO DE PARIDADE SIMPLES Introuzios por Elias [Eli54], os cóigos prouto pertencem à família e cóigos e arrano [Hon97] que poem ser ecoificaos iterativamente e, além e grane simpliciae e implementação, apresentam enorme flexibiliae em termos e aequação a taxa e o comprimento o bloco e, em certos casos, grane capaciae e correção e erros. Um cóigo prouto e imensão D poe ser efinio a partir o comprimento o bloco e informação em caa imensão {k, k,... k i,...k D }, i =,..., D, one são utilizaos cóigos sistemáticos (n i, k i, mini ). O cóigo prouto completo resultante possui blocos e comprimento N = D i= n i () Se r = k i /n i é a taxa o cóigo componente na imensão i, a taxa o cóigo prouto será r = D i= E a istância mínima será (para o cóigo completo) D r i i= () min = min (3) O cóigo prouto completo possui, além os bits e pariae geraos pelo processo e coificação em caa imensão, os bits e pariae geraos a partir a pariae as pariaes (check on checks) poe-se interpretar essa implementação como seno a concatenação serial os cóigos componentes, separaos por entrelaçaores temporais. Um cóigo prouto incompleto, sem a pariae as pariaes, é mais simples e ser implementao, mas possui esempenho inferior, assintoticamente. Isto se eve ao fato principal a istância mínima o cóigo incompleto ser menor que a o cóigo completo [Ran0] poe-se interpretar essa implementação como seno a concatenação paralela os cóigos componentes, separaos por entrelaçaores temporais. Em [Ben96] e [Ben98] são introuzias úteis ferramentas para análise, em termos e previsão e/ou valiação, o esempenho e cóigos concatenaos nas formas paralela e serial, tanto para cóigos componentes e bloco quanto para convolucionais. A análise apresentaa nestes artigos é baseaa em limitantes e probabiliae e erro calculaos a partir e uma istribuição méia e pesos o cóigo concatenao. Esta istribuição consiera que o interleaver existente entre os cóigos componentes é um ispositivo probabilístico (entrelaçamento temporal uniforme), levano, então, a uma análise e comportamento méio o esempenho a concatenação. A concatenação serial e cóigos componentes seguno estrutura D-imensional e um cóigo prouto completo permite que cóigos não sistemáticos seam também utilizaos, apesar essa alternativa não ser freqüentemente citaa na literatura especializaa. Tanto a taxa final o cóigo quanto a istância mínima e também o comprimento o bloco serão os mesmos. As maiores vantagens e se utilizar cóigos sistemáticos como componentes se refere à possibiliae e coificação em paralelo, a menos a geração a pariae as pariaes que eve aguarar que toas as pariaes seam geraas, e certa faciliae no processo e ecoificação, no mapeamento reverso as palavras-cóigo nos respectivos bits e informação. A concatenação paralela e cóigos componentes seguno estrutura e imensão D e um cóigo prouto incompleto é e implementação mais simples, mas traz consigo i 7

8 consierável reução e esempenho, e reução na taxa quano não são utilizaos cóigos sistemáticos. Em geral percebe-se (e isto não vale somente para cóigos e bloco) que a concatenação paralela é melhor naquelas situações one esea-se a operação o sistema em questão a baixos valores e E b /N o, porém poeno suportar altos valores e taxa e erro e bit, acima o patamar ou oelho a curva taxa e erro versus E b /N o. Esse oelho correspone à um comportamento e saturação na taxa e erro e bit, fazeno com que esta sea reuzia apenas e forma bastante suave, mesmo com significativos aumentos na relação E b /N o. Esse fenômeno ocorre evio, principalmente, à presença e um número significativo e palavras-cóigo e baixo peso. Portanto, em valores mais altos e E b /N o, a taxa e erro e bit passa a ser governaa preominantemente por estas palavras e baixo peso. Na concatenação serial, em comparação com a paralela, tem-se maiores valores e E b /N o a altos valores e taxa e erro e bit, mas o ecréscimo essa taxa com o aumento e E b /N o é consieravelmente mais abrupto, possibilitano transmissões praticamente livres e erro a valores e relação sinal-ruío mais elevaos. Em [Ben96] e [Ben98] são apresentaos ricos comentários e critérios e proeto baseaos nas constatações aqui reprouzias. A Fig. 5 ilustra a estrutura e um cóigo prouto biimensional (D) incluino-se a pariae as pariaes (cóigo completo, ou concatenação serial) 4. n k k n bits e informação pariae as colunas pariae as linhas pariae as pariaes Fig. 5. Estrutura o cóigo prouto biimensional completo. Dentre os cóigos prouto, os cóigos prouto e pariae simples (SPC-PC, Single Parity Check Prouct Coe) têm merecio estaque, pois, apesar e serem pouco eficientes quano utilizaos isolaamente, representam ótima oportuniae para a construção e cóigos multiimensionais concatenaos bastante eficientes [Hag0], [Ran0]. Além isso, a oportuniae para utilização e algoritmos e ecoificação Turbo para esses cóigos traz novas perpectivas e melhoria e esempenho aliaas a complexiaes e implementação reuzias. 4 Em [Hon97, p. 7] é escrito o processo e implementação a matriz geraora e um cóigo prouto e pariae simples completo através o prouto e Kronecker entre as matrizes geraoras os cóigos componentes em caa imensão. Para um SPC-PC e imensão D formao a partir a concatenação serial os cóigos componentes em caa imensão, tem-se a istância mínima D = min (4) Se os cóigos componentes são cóigos (n, k) iênticos, a taxa o SPC-PC e imensão D completo será n r = n D (5) Para um SPC-PC e imensão D incompleto (sem a pariae as pariaes, ou formao a partir e concatenação paralela) tem-se a istância mínima min = D + (6) e se os cóigos componentes são cóigos (n, k) iênticos, a taxa o SPC-PC e imensão D incompleto será r = + D /( n ) (7) Como á citao, em [Hag96] e [Skl97] são apresentaos exemplos e ecoificação Turbo e um cóigo prouto e pariae simples biimensional utilizano uma versão subótima o critério MAP no omínio as log-verossimilhanças. Contuo, o esempenho esse tipo e implementação não é satisfatório, principalmente se o cóigo prouto utilizao possui baixa imensionaliae e se não há transmissão a(s) pariae(s) as pariaes (check on checks), caso os exemplos e [Hag96] e [Skl97]. A ustificativa para a não utilização a(s) pariae(s) as pariaes nesses exemplos se eve ao fato e ser necessária somente a informação extrínseca os bits e informação para implementação o algoritmo, pois as probabiliaes e envio as palavras cóigo são eterminaas somente pelas probabiliaes a- priori esses bits e informação. De fato, o uso a pariae as pariaes em um cóigo prouto e pariae simples D não resulta em melhorias e esempenho. Esse fato é comprovao através e resultaos e simulação apresentaos em [Ran0] e confirmaos nas simulações realizaas para a composição esse trabalho. Seguno outros resultaos apresentaos em [Ran0], os conceitos utilizaos em [Hag96] e [Skl97] poem ser facilmente estenios para cóigos prouto SPC com mais e uas imensões, incluino a pariae as pariaes no processo e coificação e a obtenção e um certo tipo e informação extrínseca sobre essa pariae as pariaes e tal sorte que a toos os bits, não somente aos bits e informação, como em [Hag96] e [Skl97], esteam associaas a informação a-priori e a extrínseca. Dessa forma o algoritmo se torna ótimo, inclusive ultrapassano, em alguns casos, o esempenho o algoritmo MAP símbolo-a-símbolo BCJR. Consierano-se que um algoritmo apropriao, com esempenho ótimo ou pouco istante o ótimo, estea seno 8

9 utilizao, com o aumento a imensão o cóigo prouto e pariae simples os retornos em termos e esempenho são sempre menores entre caa aumento e imensão, fato que poe ser constatao pelos resultaos e simulação apresentaos em [Ran0] e confirmaos aqui. Maiores retornos poem ser obtios com o uso e cóigos componentes mais potentes. Os ganhos e esempenho em função o aumento a imensionaliae ocorrem principalmente evio ao aumento a istância mínima o cóigo. Aicionalmente, a caa iteração em um esquema e ecoificação Turbo e um cóigo prouto multiimensional, percebe-se maiores retornos em esempenho em relação a esquemas biimensionais. Este fato é evio principalmente à reução na correlação entre as probabiliaes envolvias nos cálculos as LLRs a caa iteração. Melhores esempenhos também poem ser obtios às custas o aumento o tamanho os blocos para um cóigo e imensão D [Hag96]. Esse fato é mais claramente percebio quano os cóigos componentes possuem, iniviualmente, maior capaciae e correção e erros. Como verificao através e simulações, para cóigos prouto e pariae simples D o aumento no tamanho os blocos não traz granes ganhos em termos e esempenho. Há inclusive uma reução e esempenho com o uso e blocos e tamanho muito elevao, o que é ustificao pela preominância a influência o número e palavras cóigo e baixo peso, nestes casos. Para baixos valores e relação sinal-ruío percebe-se também uma reução no esempenho quano aumenta-se o tamanho os blocos em cóigos D. Uma outra interessante constatação, verificaa também em [Ran0], se refere a uma melhoria (não muito significativa 5, contuo) no esempenho o processo e correção e erros, para cóigos prouto SPC completos, e imensão maior que, quano é incluío um processo e entrelaçamento temporal aleatório (ranom interleaving) entre as etapas e coificação em caa imensão. Para imensão igual a não é percebia nenhuma melhoria e esempenho; ao contrário, é percebia uma reução nesse esempenho. Um importante resultao aicional se refere à possibiliae e reução o patamar e erro e bit. Contuo, o entrelaçamento temporal aleatório, apesar e reuzir o número e palavras cóigo e baixo peso reuz, também, a istância mínima o cóigo. É importante relembrar que, ao contrário o que acontece com os cóigos e bloco Turbo com concatenação paralela, o processo e entrelaçamento é crucial à melhoria o esempenho os cóigos Turbo convolucionais e os cóigos e bloco Turbo com concatenação serial. Para estes últimos casos, tanto a profuniae quanto a aleatorieae o processo e entrelaçamento temporal tem relação ireta com o esempenho o processo e ecoificação Turbo [Bar96], [Ben96], [Ben98]. Para os cóigos e bloco com concatenação paralela, a profuniae o entrelaçamento temporal poe se restringir ao comprimento o bloco e mensagem ou, no pior caso, o bloco completo (informação 5 O cóigo SPC-PC utilizao em [Ran0] é um cóigo completo que, por si só, á apresenta baixos valores e patamar e erro e bit e um ecréscimo mais abrupto a taxa e erro e bit (BER) com o aumento a relação E b/n o. mais pariae), sem melhorias e esempenho significativas a partir aí. Em casos one a imensionaliae o cóigo prouto e pariae simples eva ser aumentaa em emasia, acarretano em um excessivo aumento no tamanho os blocos, alternativamente poe-se implementar o cóigo com cóigos componentes mais eficientes, por exemplo cóigos Hamming. Como á citao, surpreenentes resultaos utilizano cóigos componentes Hamming, operano com blocos e tamanho não muito elevao (03,03), são reportaos em [Nic97]. Em [Hun98a] Anrew Hunt sugere uma forma aicional para melhorar a relação e compromisso entre complexiae e esempenho os cóigos prouto e pariae simples D- imensionais. Trata-se a inclusão e D- conuntos e pariae obtios através e operações e coificação iagonais em caa imensão. A essa implementação foi ao o nome e Hyper Coes. A. Implementação e um algoritmo Log-MAP para ecoificação Turbo e cóigos prouto SPC Nesta seção é apresentao o processo e construção e um cóigo prouto e pariae simples (SPC-PC) e a implementação e um SPC-PC e imensão D incompleto, seguino uma iéia similar à e [Hun98a] para geração e pariaes iagonais, utilizano o algoritmo e ecoificação Log-MAP sugerio em [Hag96], com algumas as generalizações citaas em [Ran0]. Os resultaos as simulações são apresentaos na seção IV-B. O algoritmo MAP símbolo-a-símbolo no omínio logarítmico (Log-MAP) aplicao à ecoificação Turbo e cóigos prouto e pariae simples apresenta complexiae extremamente pequena e aina permite que, com um ligeiro aumento e complexiae, cóigos potentes seam construíos. Estes ois motivos tornam atrativas estas implementações, principalmente em aplicações one complexiae e esempenho evam apresentar grane flexibiliae em termos a realização prática o processo. Como á citao, a razão e verossimilhança, LLR (saía suave), obtia através o processo e ecoificação SISO poe ser expressa pela equação (), repetia aqui por conveniência: L( ˆ) = L ( x) + L( ) L ( ˆ) (8) c + one, recorano, L c (x) representa a LLR obtia a meia o canal, na saía o etetor; L() é a LLR a-priori o bit e L e (ˆ) é a informação extrínseca geraa a partir o processo e ecoificação. Como ilustração esse processo e ecoificação, consiere um cóigo prouto e pariae simples biimensional. O algoritmo e ecoificação opera na seguinte seqüência:. Inicialmente faça toas as log-probabiliaes a-priori os bits e informação iguais a zero (probabiliaes a- priori iguais a 0,5), L() = 0; e 9

10 . Conhecia a lógica e coificação, que é a relação e epenência entre os bits e informação e a pariae, obtenha as informações extrínsecas na imensão horizontal, L (ˆ eh ) ; 3. Faça as probabiliaes a-priori iguais às informações extrínsecas calculaas no passo anterior, L() = L eh (ˆ) ; 4. Obtenha as informações extrínsecas na imensão horizontal, L (ˆ ev ), levano em conta as novas probabiliaes a-priori atualizaas no passo Faça as probabiliaes a-priori iguais às informações extrínsecas calculaas no passo anterior, L() = L ( ˆ) ev ; 6. Se houver mais iterações, vá ao passo, levano em conta os últimos valores e probabiliaes a-priori atualizaos; se não houver mais iterações, vá ao passo 7; 7. A ecisão suave será L( ˆ) = L ( x) + L ( ) L ( ). c eh + Essa seqüência poe facilmente ser ientificaa no algoritmo fornecio no APÊNDICE esse artigo. Para um cóigo e imensão D, eve-se lembrar que a atualização a informação a-priori a caa imensão é feita através a soma as informações extrínsecas calculaas para as outras imensões até aquele momento. Para realizar os cálculos o processo e ecoificação, há que se utilizar um conunto e ferramentas apropriaas ao problema. A esse conunto foi ao o nome e álgebra no omínio as log-verossimilhanças (log-likelihoo algerbra) [Ber96], [Hag96], [Skl97]. Os principais resultaos essa álgebra são resumios em seguia. Partino e uma função e log-verossimilhança tal qual aquela a expressão (8), poe-se emonstrar que [Hag96], [Skl96] 6, para variáveis estatisticamente inepenentes L( ) + L( sign ) = L( [ L( )] sign[ L( )] min [ L( ), L( ) ] com as regras aicionais L( ) e + e ) = loge L( ) + e e ev L( ) L( ) (9) L ( ) + = L( ), L( ) + = L( ) e L( ) + 0 = 0 (0) A expressão (9) poe ser generalizaa, levano ao resultao [Hag96] 6 A expressão (9) apresenta ligeiras iferenças nas publicações [Hag96] e [Skl97]. Este fato é evio à aoção o elemento nulo = no primeiro caso e 0 no seguno. Neste seguno caso, eve ser utilizao um fator multiplicaor (-) k- na expressão (9), seno k o número e bits e informação o cóigo componente (k = k = k), e forma a levar em conta se k é par ou ímpar. Isto eve ser feito se o mapeamento os bits nos símbolos coificaos for {0, } {-, +) (elemento nulo = 0). Se for {0, } {+, -) (elemento nulo = ), não é necessário o fator multiplicaor J = + L( ) = log e + = arctanh J = J = J = tanh tanh tanh ( L( ) ) ( L( ) ) ( L( ) ) Esta expressão também poe ser aproximaa para J = + L( J = ) = L sign[ L( J = )] min L( =... J ) () () O valor e L c (x), em canal AWGN, poe ser eterminao a partir a função L ( x c k p( xk k = + ) ) = loge p( xk k = ) xk E exp σ π log σ = e xk E exp + σ π σ 4Es 4Es = xk = x k σ N 0 s s (3) one σ é a variância o ruío gaussiano na saía o filtro casao o receptor, no instante e ecisão, e E s é a componente e sinal nesse mesmo instante, consieraa igual à energia o símbolo recebio. B. Resultaos e simulação Nesta seção são fornecios alguns resultaos e simulação utilizano o algoritmo proposto no APÊNDICE na forma apresentaa, com alguma aaptação ou pequena moificação conforme o caso analisao. Em [Hun98a], a implementação e pariae iagonal em estruturas SPC D-imensionais é apresentaa como processo chave para construção os enominaos Hyper-coes. Contuo, para que essa implementação leve a um aumento a istância mínima o cóigo, certas regras e combinação os bits evem ser seguias. À melhor as regras foi ao o nome e geometria preferia em [Hun98a], mas com as restrições: os cóigos componentes em caa imensão evem ter o mesmo comprimento e impar. Na regra sugeria no presente artigo, basta que os cóigos componentes seam e mesmo comprimento em caa imensão, o que efetivamente aumenta a flexibiliae em termos e escolha a taxa o cóigo e o comprimento os blocos. 0

11 A Fig. 6(a) mostra, como exemplo, um arrano cuos elementos corresponem aos ínices os bits e informação e um cóigo SPC D formao a partir e cóigos componentes (n, k) = (6, 5). A Fig. 6(b) mostra um novo arrano obtio a partir e eslocamentos circulares nas linhas o arrano (a). A primeira linha (linha 0) não sofre nenhum eslocamento e a linha l, l =,,... (k ) sofre l eslocamentos circulares à ireita. Se aplicarmos pariaes nas colunas o arrano a Fig. 6(b), estaremos aplicano pariaes iagonais à ireita no arrano (a). É importante notar que essa simples regra faz com que nenhuma operação e geração e pariae envolva mais e um bit e uma mesma linha e e uma mesma coluna o arrano original, o que garante máxima eficácia o processo em termos e aumento a istância mínima o cóigo e, consequentemente, e esempenho (a) (b) = utilizam pariaes horizontal e vertical, sem pariae as pariaes. Uma quarta situação mostra o esempenho e um cóigo similar, conteno pariaes obtias através e combinações iagonais os bits e informação. O número e iterações em toos os casos é 3. Através a Fig. 8 poe-se perceber que o esempenho e um cóigo prouto SPC biimensional incompleto não é satisfatório. Mesmo aumentano-se o tamanho os blocos percebe-se apenas uma melhoria marginal, seno que esse comportamento é invertio para blocos maiores, situação na qual tem-se esempenhos aina piores que cóigos biimensionais mais curtos. No caso ilustrao na Fig. 8, o comprimento o bloco para o cóigo e taxa 0,5 é e apenas 8 bits. Para o cóigo e taxa 0,88, esse comprimento cresce para 55 bits e para o cóigo e taxa 0,909 tem-se blocos e tamanho 440 bits. O aumento marginal e esempenho para cóigos componentes (n, k) = (n, n ) é conseguio até por volta e k = 5, com retornos caa vez menores. A partir e k = 5 o esempenho começa a sofrer reução. Isto se eve principalmente ao aumento o número e palavras-cóigo e baixo peso, sem que sea alteraa a istância mínima o cóigo resultante, que no caso é sempre D + = Fig. 6. Ilustração a regra e implementação a pariae iagonal à ireita Esse conceito e pariaes iagonais à ireita poe ser aplicao também às iagonais à esquera o arrano a Fig. 6(a). Para tanto, basta que os eslocamentos à ireita realizaos na implementação as pariaes iagonais à ireita seam realizaos à esquera, para as pariaes iagonais à esquera. A Fig. 7 ilustra esse processo. Se aplicarmos pariaes nas colunas o arrano a Fig. 7(b), estaremos aplicano pariaes iagonais à esquera no arrano (a). Quano ambas as formas e pariae iagonal foram implementaas nas simulações, o termo pariae iagonal upla foi utilizao para iscriminá-las. BER & BEP Não coificao Cóigos componentes (3,), r = 0,500 Cóigos componentes (,0), r = 0,909 Cóigos componentes (6,5), r = 0,88 Cóigos componentes (,0), PD, r = 0, (a) (b) Fig. 7. Ilustração a regra e implementação a pariae iagonal à esquera A Fig. 8 mostra o esempenho (taxa e erro e bit, BER, & probabiliae e erro e bit, BEP, versus relação sinal ruío méia por bit, E b /N o em B) e cóigos prouto e pariae simples D incompletos e várias taxas, com ecoificação iterativa utilizano o algoritmo Log-MAP sub-ótimo. Três as quatro situações mostraas (excetuano-se o caso sem coificação, incluío como referência para comparação) Eb/No Fig. 8. Desempenho o cóigo prouto biimensional sem pariae as pariaes, para várias taxas, usano algoritmo Log-MAP sub-ótimo. A inclusão e uma pariae iagonal foi realizaa e mostrou, para o caso D, algum ganho e esempenho, mas não a ponto e levar o esempenho e cóigos prouto SPC biimensionais com ecoificação Turbo a patamares comparáveis a outros esquemas com ecoificação iterativa apresentaos na literatura. Na Fig. 8 percebe-se que, às custas e uma ligeira reução na taxa o cóigo, pôe-se obter, com cóigos componentes (, 0), praticamente o mesmo esempenho que aquele obtio com cóigos componentes (6, 5) sem pariae iagonal. Além isso pôe-se obter uma consierável reução no comprimento os blocos (e 55 para 30 bits).

12 Uma seguna pariae iagonal foi incluía em caráter e teste nos esquemas a Fig. 8, mas não apresentou ganhos e esempenho em relação ao esquema com as pariaes vertical, horizontal e iagonal simples, além e levar a uma menor taxa o cóigo. Por esta razão os resultaos obtios não foram apresentaos. A Fig. 9 apresenta alguns resultaos e simulação para cóigos prouto e pariae simples D-imensionais, sem pariae as pariaes, com e sem pariaes iagonais, ecoificaos com o algoritmo Log-MAP simplificao [Hag96]. Como previsto, com o aumento a imensão o cóigo tem-se granes melhorias e esempenho. Os esquemas consieraos são cóigos prouto SPC com 5 imensões e cóigos componentes (8, 7), com e sem pariaes iagonais; as taxas os cóigos e comprimentos os blocos são, respectivamente, 0,538 e 3.3 bits e 0,583 e 8.8 bits. São também consieraos os cóigos prouto SPC com 4 imensões e cóigos componentes (3, ), com e sem pariaes iagonais; as taxas e comprimentos os blocos para estes casos são 0,706 e bits e 0,750 e bits, respectivamente. O número e iterações foi feito sempre igual à imensão o cóigo. BER & BEP Cóigos componentes (3, ), 4D PD, r = 0,706 Não coificao Cóigos componentes (8,7), 5D, r = 0,583 Cóigos componentes (8,7), 5D, PD, r = 0,538 Cóigos componentes (3, ), 4D r = 0, Eb/No Fig. 9. Desempenho e cóigos prouto SPC 5D e 4D com e sem pariaes iagonais, usano algoritmo Log-MAP sub-ótimo. Como poe-se concluir a partir a Fig. 9, a inclusão e pariaes iagonais melhora sensivelmente o esempenho os cóigos sem um significativo aumento no tamanho o bloco ou reução na taxa o cóigo, principalmente em canais com baixa relação sinal-ruío o problema que aina persiste é a ocorrência e uma certa saturação na taxa e erro e bit para relações sinal-ruío mais elevaas, causaa pela existência e um elevao número e palavras-cóigo e baixo peso. Para o esquema 5D com pariaes iagonais percebe-se através a Fig. 9 que, a 0 5 e taxa e erro e bit, um esempenho que ista cerca e 3,5 B a capaciae e canal (0,3 B para BPSK em AWGN e taxa o cóigo 0,538) pôe ser obtio. O resultao apresentao na Fig. 9 para o cóigo 5D com componentes (8, 7) e pariaes iagonais, para taxas e erro maiores que 0-4, tem esempenho que ista pouco mais e B aquele apresentao em [Ran0]. Em [Ran0] foram utilizaos os mesmos cóigos componentes (8, 7), num esquema também 5D, porém com o uso e pariaes as pariaes (cóigo prouto completo, ou concatenação serial) e entrelaçamento temporal aleatório no processo e coificação entre caa imensão. O algoritmo usao em [Ran0] também sofre uma ligeira moificação em relação ao utilizao nesse trabalho, pois opera com as informações extrínsecas e as probabiliaes a-priori para toos os bits o bloco (e não somente para os bits e informação, como é o caso o algoritmo aqui consierao). Aina em [Ran0], a taxa o cóigo é ligeiramente reuzia para aproximaamente 0,53 e o comprimento os blocos é elevao para bits. O que observa-se através os resultaos aqui apresentaos e aqueles em [Ran0] é que, como verificao em [Ben98], poe-se obter esempenhos mais próximos a capaciae e canal a altos valores e BER, acima o oelho a curva BER x E b /N o, se a concatenação é paralela (cóigo SPC incompleto). Porém, para valores e BER mais baixos, a concatenação serial (cóigo SPC completo) apresenta esempenho mais próximo a capaciae e canal, pois o oelho ocorre em um patamar menor e BER. A Fig. 9 também apresenta o esempenho e um cóigo SPC 4D, composto a partir e cóigos componentes (3, ), com pariaes iagonais. Esse cóigo apresentou, para baixos valores e relação sinal-ruío, esempenho inferior aos outros casos com coificação e canal ilustraos na Fig. 9. No entanto, este comportamento é invertio para relações sinal-ruío mais elevaas. Dao que o valor mínimo e E b /N o para sinalização BPSK em canal AWGN à taxa o cóigo e 0,706 é e aproximaamente,3 B, esse cóigo apresenta um excelente esempenho, pois opera em uma taxa e erro e bit e 0 5 a apenas B esse limite mínimo. Daa a simpliciae os processos e coificação e ecoificação, o cóigo SPC 4D com componentes (3, ) é bastante atrativo para implementações práticas one blocos e tamanho relativamente elevao seam permitios. O esempenho e um cóigo SPC 4D, composto a partir e cóigos componentes (3, ), sem pariaes iagonais, também é mostrao na Fig. 9. Nota-se a consierável reução no esempenho se a técnica e pariaes iagonais não é utilizaa. O uso e pariae iagonal upla também foi testao e não trouxe ganhos e esempenho para os cóigos D- imensionais consieraos na Fig. 9. Por essa razão não foram registraos seus esempenhos. As Figs. 0(a) e 0(b) corresponem a gráficos e funções e istribuição e pesos e um cóigo SPC D formao a partir e cóigos componentes (4, 3), com pariaes iagonais (Fig. 0(a)) e sem pariaes iagonais (Fig. 0(b)). A Fig.0(b) emonstra que a inclusão a pariae iagonal eleva a istância mínima o cóigo e elimina, nos casos analisaos para a composição este artigo, algumas palavras-