Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Resistência dos Materiais Ι

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia Civil Resistência dos Materiais Ι Jaime Florencio Martins Professor ssociado DECIV Ouro Preto, gosto/ 014

2 LFBETO GREGO Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas lfa lfa α Α Vita Beta β Β Gama Gama γ Γ Delta Delta δ Epsilo Èpsilón ε Ε Zeta Dzeta ζ Ζ Ita Eta η Η Tita Theta θ Θ Iota Iota ι Ι Capa Capa κ Κ Landa Lambda λ Λ Mi Mü µ Μ Ni Nü ν Ν Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ Ômicron Òmicrón ο Ο Pi Pi π Π Rô Ró ρ Ρ Sigma Sigma σ Σ Tau Tau τ Τ Ípsilon Üpsilón υ Υ Fi Fi φ Φ Khi Khi χ Χ Psi Psi ψ Ψ Ômega Omega ω Ω

3 1 Capítulo 1 Generalidades 1.1 Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas. Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos. Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos. Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos tomam a forma do recipiente em que está colocado. 1.- Histórico da Resistência dos Materiais Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados pelo homem para construir. s primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de árvores sobre os rios ou vales. Ferro fundido: fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de a. C. O ferro fundido oxida com facilidade. ço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a,11%. Se o teor de carbono da liga for maior do que,11% e menor do que 6,67% a liga é chamada ferro fundido. Os gregos ristóteles e rquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam, freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas (baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides. Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas foi perdido durante a idade média. Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas experimentalmente. Galileu Galilei foi o primeiro cientista a estudar a flexão de vigas. É considerado o pai do método experimental e da Resistência dos Materiais. 1.3 Definições: a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce (aço de construção), alumínio.

4 b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com pequena deformação. resistência à tração é diferente da resistência à compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz. c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos. d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação. e) Barra - placa bloco Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas. Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas dimensões (L b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas. Bloco: quando: L h b f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto de pontos dos centróides das seções transversais. g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a economia e a segurança. 1.5 Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático. Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no espaço: F x 0 F y 0 F z 0

5 3 Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço: F x 0 ; M x 0 F y 0 ; M y 0 F z 0 ; M z poios Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e três rotações. função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas direções dos movimentos impedidos. poios do primeiro gênero poios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação. poios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e impedem a rotação.

6 4 1.7 Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xoy) as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são três: F x 0 ; F y 0 ; M O 0 onde o, na expressão do somatório de momentos, é qualquer ponto do plano da estrutura. Para as estruturas planas carregadas no próprio plano três casos podem ocorrer com relação à estabilidade e estacidade: 1 o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio da estática (3). estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável. o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da estática (3). estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável. 3 o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio da estática (3). estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável. São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio, então, a viga é duas vezes hiperestática.

7 5 s três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio das estruturas hiperestáticas. lém das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma (para impor condições de deslocamento e/ou de rotação). Observação: Casos particulares: viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui quatro reações e o equilíbrio também é instável. 1.8 Sistema de Unidades Unidades básicas do Sistema Internacional m (metro): para comprimento quilograma (kg): para massa segundo (s): para tempo Unidades de força no SI (unidade derivada) 1 N 1 kg.m/s Sistema inglês 1 polegada 1 in 1,54 cm 1 pé (foot) 1 ft 1 1 in 30,48 cm 1 libra 453,59 gramas

8 6 1.9 Esforços externos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser: a) Concentrados b) Distribuídos Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso específico (γ) pela área da seção transversal (). c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o tempo. Ex.: peso próprio de vigas. d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: efeito do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes.

9 1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são em número de quatro. 7 Força normal (N) Força cortante (V) Momento fletor (M) Momento de torção ou torque (T) Força normal (N) é a força normal (perpendicular) a uma área. força normal pode ser de tração ou compressão. Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se: Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N N N esfoço externo e N esforço interno Força cortante (V) é a força que está contida em uma seção transversal.

10 8 Momento fletor (M) é o momento de uma força que produz flexão em uma barra. Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo: Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M M M esfoço externo e M esforço interno Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo (traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz momento fletor negativo (traciona em cima). Momento de torção ou torque (T) é o momento de uma força que produz torção em uma barra.

11 9 Não existe convenção de sinais para o momento de torção Exemplos de estruturas a) Treliças: s treliças ideais são formadas por barras, as extremidades são rotuladas e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). s barras das treliças ideais estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão). OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por exemplo, a ação do vento. Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração. Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão.

12 b) Vigas: s vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante. 10 Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornamse externos e devem equilibrar a parte recortada. c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero). No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a

13 11 mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação. Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. s rótulas transmitem força, mas não transmitem momento fletor. c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. s grelhas estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a zero). 1.1 Exemplos de vigas isostáticas

14 Relação entre momento fletor e força cortante de onde: dm dm + Vdx 0 V dx F Y 0 V qdx (V + dv) 0 dv dx q Derivando-se a relação entre M e V em relação a x, tem-se: d M dx dv dx d M q dx

15 Capítulo Tensão e deformação.1 Tensão normal (σ): 13 Por definição: σ F (.1) onde: σ : tensão normal dada em N/m (no Sistema Internacional) F : Força normal axial : área da seção transversal da barra Por convenção: σ de tração é positiva e σ de compressão é negativa. Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal. tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição 1 Pa 1 N/m. Então: 1 MegaPascal 10 6 N/m. Uma vez que 1 m mm (1 m) (1.000 mm) 1 m 10 6 mm 6. Portanto: 1 MPa 10 N / m 1 N / mm Tensão admissível ( σ onde: σ R Tensão de ruptura C S Coeficiente de segurança ( C S > 1,0) adm ou σ ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança. σ adm σ R CS

16 14 Definição matemática de tensão normal: definição de tensão normal dada pela equação (.1) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita devese usar a definição matemática de tensão normal: σ 0 F df σ (.) d. Deformação linear específica (ε): Por definição: L ε (.3) L ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação específica ou deformação normal. Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante..3 Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção transversal diminui. relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é chamada coeficiente de Poisson (ν): ν deformação lateral deformaçãolongitudinal ν ε ε y x O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na expressão acima é necessário porque se a deformação ε x for positiva ε y será negativa, e viceversa.

17 Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em todas as direções. Em um material isotrópico: ε y ε ν ε ε.4 Diagrama tensão - deformação x z x ε ε.4.1 ço doce (aço usado na construção civil com baixo teor de carbono) Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos pares F - L são anotados e podem ser colocados em um gráfico. z ' x 15 O diagrama tensão deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas dimensões (área da seção transversal () e comprimento longitudinal (L)). σ Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que P pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a deformação (ponto a). σ Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta Y sem que haja acréscimo de tensão (ponto c). Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d). σ Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida U como resistência do material (ponto e). σ Tensão de ruptura: (ponto f). R Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b. Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é, surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à proximidade da ruptura.

18 16 Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até atingir o limite de proporcionalidade ( σ P ). resiliência faz com que a barra retorne às suas dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material com alta resiliência. Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da seção transversal diminui. estricção somente ocorre nos materiais dúcteis. Obs.: O diagrama tensão deformação convencional não leva em consideração que a área da seção transversal diminui durante o alongamento da barra lumínio No diagrama tensão deformação do alumínio, não existe o ponto de escoamento definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento σ Y é obtida tomando-se no eixo das deformações o valor ε 0,% e por este ponto traça-se uma reta paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva σ x ε tem-se a tensão de escoamento σ Y Material frágil: Rompe-se com uma deformação relativamente pequena.

19 .4.4 Material elástico-plástico idealizado Lei de Hooke Em 1678, Robert Hooke enunciou a lei Ut tensio sic vis (o estiramento é proporcional à força ou F Kx). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem pêndulo. Thomas Young, em 1807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: tensão é proporcional à deformação, ou seja: onde: σ tensão normal ε deformação linear específica σ Ε. ε Ε constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m 9 No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: 1 GPa 10 N / m 10 Exemplos: Ε aço 00 GPa; Ε liga de titânio 10 GPa; Ε liga de alumínio 70 GPa. Nota: Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade. 3 N / mm tg α ε σ σ tgα ε ; então: Ε tgα

20 Capítulo 3 - Tração e Compressão longamento de barras carregadas axialmente variação do comprimento ( L) de uma barra prismática solicitada por uma força axial constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke: Lembrando que: σ Ε ε F L σ e que: ε, tem-se: L de onde: F E L L L expressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke, ou seja, para tensões menores ou iguais que σ P. FL E Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força axial variável tem-se que usar o conceito de integral: F(x)dx L F(x)dx dx E(x) dx L 0 E(x) L F(x)dx 0 E(x)

21 19 Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma extremidade. Deseja-se determinar a expressão do alongamento ( L) da barra produzido pela ação de seu peso próprio. dx F(x) dx E (x) L L F(x) dx 0 E (x) Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se: F(x) γ.. x Então: L L γ x dx E γ E 0 L x dx γ x E 0 L 0 Portanto: L γl E

22 3.- Princípio da superposição dos efeitos 0 Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças. L 3.3 Sistemas estaticamente indeterminados n i 1 Fi L i E i i Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio. lém das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura. 3.4 Efeitos da variação da temperatura variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. tensão normal somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver impedido. α L t (fórmula empírica) L t onde L t : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m) α : coeficiente de dilatação térmica (1/ 0 C) L : comprimento inicial (m) t : variação da temperatura ( 0 C) Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas: α L t ; L t FL L ; E σ F

23 1 Capítulo 4 Cisalhamento Puro 4.1 Força cortante (V) força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. força cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo sentido da força. 4. Cisalhamento Puro Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro. 4.3 Teorema de Cauchy Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares entre si.

24 τ F F τ + M0 0 τy 1 dy dx τx 1 dx dy 0 Portanto: τ x τ y 4.4 Lei de Hooke no cisalhamento Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre a tensão e a deformação de cisalhamento. Chamando de τ α γ tg τ ( tg α) γ G tg α, tem-se a lei de Hooke no cisalhamento: τ G γ onde: τ tensão de cisalhamento em N/m G é conhecido como módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de cisalhamento (em N/m ). γ distorção (deformação por cisalhamento) em radianos Relação entre E, G e ν Na Resistência dos Materiais demonstra-se que: G E ( 1+ ν)

25 4.5 Ligações parafusadas 3 Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção transversal do parafuso. Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a outra. tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por: τ méd F onde é a área da seção transversal do parafuso. Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de áreas de corte (n ). Geralmente, n é igual a 1 (uma área de corte) ou igual a (duas áreas de corte). É interessante observar que a força F produz tensão normal (σ) nas chapas e tensão cisalhante (τ) no parafuso. 4.6 Ligações parafusadas solicitadas por força excêntrica Nestas ligações os parafusos devem resistir à força vertical P e ao momento fletor M P.e. força vertical produz força cortante (F 1 ) nos parafusos dada por F 1 P/n, onde n é o número de parafusos. O momento fletor provoca em cada parafuso a força cortante F que é perpendicular à reta que une o centro geométrico dos parafusos (ponto c) ao centro do parafuso e varia linearmente com a distância ao ponto c.

26 Exercícios: 1) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos da ligação abaixo. Todos os parafusos têm diâmetro igual a 18 mm. 4 MC 0 4F 0,1 + F 0, * s forças F são diretamente proporcionais à distância ao ponto c, então tem-se a relação: Então: * F * F 1,4 F F 0,15 0,1 * * 4 (1,4F ) 0,1 + F 0, F 1703,3 N * F 1,4 F 17784,6 N * força cortante resultante é dada pela expressão: R 1 1 F + F + F F cosα Nos dois parafusos extremos do lado direito F N, F 17784,6 N e α 45º, então a força cortante resultante é: R , ,6 cos45 o R 1963,1 N No parafuso central do lado direito da ligação as forças F 1 e F * têm o mesmo sentido, a força cortante resultante neste parafuso é dada por: R ,3 1503,3 N. Portanto, a maior força cortante na ligação ocorre nos dois parafusos extremos do lado direito e a tensão de cisalhamento máxima é dada por: τ máx 1963,1 N 54,47 mm 77,15 N / mm

27 5 ) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos da ligação abaixo. Todos os parafusos têm diâmetro igual a 5,4 mm. P 5000 F N M C 0 4F 0, de onde: F 80357,1 N Nos dois parafusos do lado direito a força cortante resultante é dada por: R , ,1 cos45 o R 84891,6 N tensão de cisalhamento máxima na ligação é: τ máx 84891,6 N 506,71 mm 167,53 N / mm ou: τ máx 167,53 MPa

28 5 - Torção 5.1. Introdução - torção ocorre: Na ação do vento em edifícios altos Nos eixos de transmissão Nos chassis de ônibus, caminhão, avião Momento de inércia à torção ( J ) para barras com seção circular vazada Por definição: d r dα dr J r d onde: dr r dα α di de re J π r dr d α ri 4 r J 4 r r e i 3. α 0 π J re ri 4 π 4 J r e ri 4 4 ( ). ( π - 0) π 4 4 Ou em função dos diâmetros externo e interno: J ( d e d ) Particularizando para seções cheias: ( 0) 5.3 Hipóteses: 3 π 4 d i : J ( d ) s deformações são pequenas; É válida a Lei de Hooke no cisalhamento ( τ G γ ); O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento ( τ ); s tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta hipótese é válida somente para eixos de seção transversal circular). 3 i Observações: 1) tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção ) tensão cisalhante máxima ocorre na superfície do eixo.

29 Tensão e deformação nos eixos de seção circular solicitados por momento de torção T γ L B B θ R T B θ B R T Onde: θ : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais) γ : distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eixo Da figura acima, têm-se as expressões: BB tg γ γ e L θr Portanto: γ L tg θ θ BB R df τ d e dt τ d r T τ r d ou: τ r T d r Onde então: τ é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio), r Por definição: J r d, então: τ T r r T τ r De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção transversal circular: T r τ J maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo: J d τ máx TR J

30 8 plicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento ( τ G γ ) na superfície do eixo, tem-se: TR θr G J L de onde tem-se o giro relativo ( ) θ entre duas seções transversais: TL θ GJ 5.5 Eixos hiperestáticos solicitados por momento de torção 5.6 Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal t: espessura Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de cisalhamento média τméd é dada por: τ T méd t e o ângulo de torção (θ) é dado por: TLP θ 4 G t onde: : área limitada pela linha do esqueleto P: perímetro da linha do esqueleto L: comprimento longitudinal Torção de barras com seção retangular vazada de parede fina com espessura t variável

31 Para o caso particular de uma barra, com seção transversal mostrada na figura acima solicitada por um momento de torção Τ têm-se as expressões de τmáx e do ângulo de torção: 9 τ máx T t min θ, TL G J onde t, t min é o menor valor entre onde : J t a b a b + t t a b t a e t b 5.8 Torção de barras com seção transversal retangular onde: a é o maior lado da seção transversal e b é o menor lado da seção transversal L: comprimento longitudinal Usando a analogia da membrana Timoshenko & Goodier (1980) demonstram que a tensão cisalhante máxima ocorre na linha central da face maior e seu valor é dado por: T τ máx c ab e o ângulo de torção θ é dado por: T L θ 3 c ab G Os valores de c 1 e c são obtidos na tabela abaixo. 1 a/b c 1 c 1,0 0,08 0,141,0 0,46 0,9 3,0 0,67 0,63 4,0 0,8 0,81 5,0 0,91 0,91 10,0 0,31 0,31 0,333 0,333

32 Torção de barras com seção transversal aberta de parede fina com t constante forma: Os casos acima, com espessura t constante, podem ser entendidos da seguinte a b a t T τ e 0,333 a t máx T L θ 0,333at 5.10 Torção de barras com seção transversal aberta composta por retângulos de paredes finas 3 G Para estes casos τ máx e θ são dados pelas equações: T t τmáx 3 0,333 máx ( a i t i ) e T L θ 3 0,333 G ( a i t i ) 5.11 Torção de vigas com seção transversal em forma de triângulo eqüilátero de lado " d"

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34 31 6 FLEXÃO Introdução Flexão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está flexionada. O objetivo deste capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas por momento fletor. flexão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta Flexão pura flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaixo. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P. Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próximo (flexão simples), possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal. (a) Viga e carregamento (b) Diagrama de momento fletor (c) Diagrama de esforço cortante Figura Viga sobre dois apoios e diagramas de esforços internos (M e V)

35 P 3 P y x z Figura 6. Viga em perspectiva Hipóteses: 1- O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as tensões que surgem na flexão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento atuar fora do plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção. - O carregamento é perpendicular ao eixo da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos componentes horizontais que são forças normais. 3- Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese, formulada pelo cientista francês Navier em 186, é chamada fundamental e deve-se ao fato que no trecho CD: T V 0. Estes dois esforços provocam a deformação distorção (γ). Uma vez que no trecho CD estes dois esforços são nulos, as seções transversais permanecem planas e perpendiculares à superfície neutra depois de aplicado o carregamento. 4- maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a lei de Hooke. 5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são iguais. 6- O carregamento é aplicado sem impacto. Vamos analisar o trecho L - a, onde atua apenas momento fletor. ação do momento fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste trecho, sendo assim, a curvatura é também constante. Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento L, tem-se deformação linear específica ε. Portanto, pode-se afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta tensão provoca variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 6.4 pelo arco CD. O arco CD é dado por: CD r.θ

36 P P 33 y x C E y D F a L - a a Figura 6.3 O r θ O centro da curvatura da superfície neutra. M E C D F M r raio de curvatura da superfície neutra. y Figura 6.4 O arco EF, que está y abaixo do arco CD, é dado por: EF ( r + y) θ É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção transversal permanecer plana. Por definição: ε L Então, a deformação linear específica ε de EF é: Ou ε EF L EF CD ε EF CD ( ) r + y θ r θ r θ Simplificando-se a expressão anterior, tem-se: ε EF y r

37 Utilizando-se a lei de Hooke, σ E ε, pode-se obter a tensão normal que provocou o alongamento de EF: 34 y σ EF E (6.1) r Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.. linha neutra divide, na seção transversal, as regiões tracionada e comprimida. P Linha neutra Intersecção da superfície neutra com a seção transversal L z N y Figura 6.5 Vamos impor a condição que: σ d 0 Esta condição deve-se ao fato de não existir força normal atuando na seção transversal. Uma vez que σ d df, a soma de todas as forças elementares df é igual a zero. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se: E y d 0 r Por hipótese, o módulo de elasticidade E é o mesmo à tração e à compressão, portanto, não varia na área. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma: E r y d 0 Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser infinito (neste caso não haveria flexão), tem-se que: y d 0 integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eixo que passa pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção transversal. outra condição a ser imposta é que: σ y d M

38 Esta condição deve-se ao fato que σ y d dm e somando-se o momento de todas as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação corresponde uma reação em sentido contrário. reação ao momento fletor aplicado é produzida pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se: 35 Ou Por definição: E r E y y d M r y d M y d I z (6.) O eixo y tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o momento de inércia I z, calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide. Colocando-se a expressão acima em (6.), o momento fletor assume a forma: M E r Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se: r E I M Substituindo-se a expressão de r na expressão (6.1), tem-se: I z z Ou: E y σ E I z M M y σ (6.3) I z Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção transversal. 6.3 Flexão simples flexão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos C e DB da estrutura da apresentada na Figura 6.1. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos C e DB, da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente.

39 P P 36 f g M f g M + dm y x C D f g dx B f dx g Figura 6.6 O momento fletor varia ao longo do comprimento dx. tensão normal nas seções transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas expressões: σ M y I z e σ ( ) M + dm y força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, temse força resultante em uma área genérica. força resultante F (Figura 6.7) é dada pela expressão: e a força resultante F + df dada por: F σ d F + df I z M y d I z ( M + dm) I Z y d F + df L N dx dx F (a) Figura 6.7 (b) Nas três faces externas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação. Portanto, no plano de corte e no sentido da força F existem tensões cisalhantes τ que mantêm o equilíbrio de forças (Figura 6.8).

40 37 F + df F dx F τ dx F + df Figura 6.8 O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a expressão: ( F + df) 0 F + τ b dx onde b representa a largura da seção transversal. Colocando-se as expressões de F e de M y d + τ b dx I Simplificando a expressão anterior, tem-se: z F+ df na equação acima, tem-se: ( M + dm) dm y τ b dx d 0 I z I z y d 0 O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas da coordenada x. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma: 1 b I dm y d dx τ z integral acima é, por definição, o momento estático da área em relação ao eixo z. derivada do momento fletor em relação à coordenada x fornece a força cortante, então: V Q z τ (6.4) b I z Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si (Teorema de Cauchy), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento. b dx Figura 6.9 Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam, por exemplo, as duas vigas da Figura s duas vigas têm a mesma altura h e estão solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.10(a), onde L >> h, o momento fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois de aplicado o carregamento.

41 38 (a) (b) Figura 6.10 Ensaios em laboratórios mostram que as expressões (6.3) e (6.4) podem ser usadas nas estruturas em que: L h 5 Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas. OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.10(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada por: τ F/. Na flexão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4). 6.4 Distribuição das tensões de cisalhamento força cortante V, o momento de inércia I z e a largura b, no caso geral variam segundo a coordenada x. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático Seção transversal retangular Figura 6.11 O momento estático da área hachurada é dado por: Onde: Ou: _ Q y ( h ) y y _ + y _ y ( y ) + ( h 4)

42 39 área é dada por: Então: Resultando em: h y b h y h Q y b + 4 Q b h y 4 Portanto, a tensão cisalhante varia segundo uma equação do segundo grau. Nos pontos com coordenadas y h/ e y h/ a tensão cisalhante é nula. O valor máximo da tensão cisalhante é obtido nos pontos com coordenada y 0, isto é, a tensão cisalhante é máxima na linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma: V b h V b h τ máx 0 τ 3 máx bi 4 bh z 4 b 1 3V Figura 6.1 Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ 6.4. Seção transversal em forma de " T" e "I" c τ máx σ τ c τ máx σ τ Deformações Momento Fletor Figura 6.13 Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ

43 40 Figura Deformação referente ao momento fletor Lei de Hooke: σ ε. Ε, onde: ε L L δ ε dx Então: M.y σ I de onde: M.y I δ Ε dx M.y I ydθ Ε dx M.dx dθ Ε I Força cortante Figura Deformação referente a força cortante Lei de Hooke no cisalhamento: τ G. γ, onde τ na flexão simples (M + V) é dado por: V.Q τ bi V tensão cisalhante τ pode ser colocada na forma: τ f, onde f, chamado fator de forma, resulta da distribuição não uniforme das tensões de cisalhamento e seu valor depende da forma da seção transversal. Então: τ dh dx dh G f V G dx

44 Módulo elástico de resistência à flexão ( W ) Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por: σ M I d máx máx M I d onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um máx ponto localizado na superfície da viga. Por definição: W I d Então: σ máx M máx W Se a seção transversal não tiver eixo de simetria horizontal é evidente que: Dimensão do módulo elástico de resistência à flexão ( W ): [ ] 3 L W W. s i Para vigas com seção transversal retangular, tem-se: W 3 bh W 1 i h s Para vigas com seção transversal circular, tem-se: Ws Wi bh 6 W s 4 πd W 64 i D W s W i 3 πd 3 Para uma viga com seção transversal em forma de T, com as dimensões mostradas na figura abaixo, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 6,15 x 10 3 m 4. Então: W s 6,15x10 0,17 3 W,83x 10 s m 3 W i 6,15x10 0,383 3 W 1,61 x10 i m 3

45 4 6.7 Flexão oblíqua (flexão assimétrica) Na flexão oblíqua a linha neutra não é perpendicular (portanto, é oblíqua) ao plano que contém o carregamento e o centróide. Nos estudos precedentes demonstrou-se a expressão da tensão normal (σ) produzida por momento fletor atuando em vigas que possuem, pelo menos, um plano de simetria. Impôsse também que o carregamento atuava no plano de simetria. Considerem-se, agora, vigas nas quais os carregamentos que provocam flexão atuam em planos que não são planos de simetria e vigas que não possuem planos de simetria (vigas assimétricas). Para analisar estas situações impõe-se que a linha neutra coincida com o vetor momento e determina-se em quais situações isto é possível. σ x. d.y dmz σx.y.d Mz onde: σ x. d.z dm y σ x.z.d 0 Mz.y M z.d 0 z yzd 0 I I yzd z z 0 σ x (1) M z.y I integral (1) é, por definição, o produto de inércia (Ι ZY ) da área em relação aos eixos Y e Z, e será igual a zero se estes eixos forem os eixos principais de inércia. Portanto, a linha neutra vai coincidir com o vetor momento se, e somente se, o vetor momento for dirigido segundo um dos eixos principais de inércia da área. Se os eixos y e z são eixos principais de inércia, tem-se a expressão para calcular a tensão normal nas estruturas solicitadas por M z e M y : z σ x M z.y I z + M.z I y y

46 6.8 Flexão de vigas constituídas de dois materiais 43 Impondo-se que os dois materiais estão unidos as seções transversais, inicialmente planas, permanecerão planas depois de aplicado o carregamento. Para esta demonstração supõe-se que: Ε > Ε 1. Uma vez que seções planas permanecem planas o diagrama de deformação é linear, como mostra o diagrama das deformações. O gráfico das tensões tem a variação brusca na interface entre os dois materiais (ponto d) porque, para se ter a mesma deformação neste ponto, a tensão normal no material é maior do que a tensão normal no material 1 (lembrando que Ε > Ε 1 ). Usando-se a lei de Hooke pode-se determinar as tensões nos pontos a, d e f: σ σ σ σ a 1 d Ε Ε 1 1. ε. ε a d d Ε.εd f Ε. ε f Equação (6.1) pode ser usada para vigas feitas de dois materiais: E y σ 1 1 e r Onde r é o raio de curvatura da superfície neutra. σ No estudo da flexão pura foi imposta a condição que: σ.d 0. Para vigas constituídas por dois materiais a condição a ser imposta é que: 1 σ1. d + σ.d 0 Colocando-se as expressão de σ 1 e σ, tem-se: E y r 1 1 Ε y.d r + Ε y.d r 0

47 44 Uma vez que os módulos de elasticidades e o raio de curvatura não variam na área, pode-se fazer: Ε1 y.d + r 1 Ε y.d 0 (a) r Ou simplificando-se a raio de curvatura r e dividindo-se por Ε 1 : Chamando de n Ε Ε 1 1, tem-se: Ε y. d + y.d 0 Ε 1 1 y. d + n y.d 0 Então, cada elemento de área d da área é multiplicado por n conservando-se a distância y destes elementos. seção homogeneizada acima é constituída apenas pelo material da área 1, com módulo de elasticidade Ε 1 (método da seção equivalente). seção homogeneizada pode ter como referência o material. Neste caso, a expressão (a) deve ser dividida pelo módulo de elasticidade do material (Ε ): Ε1 E 1 y.d + 1 y.d 0 d + n y. 1 y.d 0 Os elementos de área d da área 1 são divididos por n conservando-se a distância y destes elementos. Então, a base b do material 1 deve ser dividida por n, como mostra a figura abaixo.

48 6.9 Flexão de vigas de concreto armado 45 Nas vigas de concreto armado despreza-se a resistência à tração do concreto. ssim sendo, na seção homogeneizada aparece apenas a parte de concreto acima da linha neutra (quando a viga está solicitada por momento fletor positivo). onde: E s é o módulo de elasticidade do aço e Por definição: Es n Ec Ec é o módulo de elasticidade do concreto. Cálculo da posição da linha neutra (colocando-se o sistema de referência na face superior): y b y + nsd y y b y + ns y b + nsd _ b y+ ns de onde se tem a equação do segundo grau que fornece a posição da linha neutra: b y raiz positiva da equação acima é dada por: + n s y n d 0 _ n s bd y 1+ 1 b ns Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra: 3 4 b y y πd I + b y + n Bn + ns (d y ) πd O termo n Bn, onde n B é o número de barras de aço, pode ser desprezado por ser muito 64 menor que os outros dois termos. Então, o momento de inércia em relação à linha neutra é dado por: 3 4b y I 1 s s + n (d y )

49 7 Solicitações compostas 7.1 Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as expressões das tensões (σ e τ) provocadas pelos quatro esforços internos N, V, T e M : N Força normal ( N ): σ V VQ Força cortante ( V ): τ (cisalhamento puro) ou τ (flexão simples: M + V) bi Tr π 4 4 Momento de torção ( T ): τ onde J ( D e Di ) (Observação: fórmula válida J 3 para barras que têm seção transversal circular) M y Momento fletor ( M ) : σ I Flexão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M) Flexão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V Flexão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força normal ou momento fletor + momento de torção Flexo-tração: momento fletor + força normal de tração Flexo-compressão: momento fletor + força normal de compressão Flexo-torção: momento fletor + torção flexão composta pode ser normal ou oblíqua: Flexão composta normal: quando a linha neutra é perpendicular ao plano que contém o carregamento e o centróide. flexão composta normal ocorre quando o carregamento atua em um dos eixos principais de inércia. Flexão composta oblíqua: quando a linha neutra é oblíqua ao plano que contém o carregamento e o centróide. flexão composta oblíqua ocorre quando o carregamento atua em um eixo que não é eixo principal de inércia. 46 Equação geral da flexão composta para vigas solicitadas por momento fletor e força normal: σ x N + M z.y I z M + I y y.z

50 47 7. Núcleo central Núcleo central é a região de uma seção transversal onde ao aplicar-se uma força normal de compressão (tração) a seção transversal ficará solicitada apenas por tensão normal de compressão (tração). Núcleo central de uma seção transversal retangular Seja um pilar solicitado por uma força de compressão P com excentricidade d em relação ao eixo y e excentricidade a em relação ao eixo z. tensão normal é dada por: σ P Pa.y Pd.z 3 3 bh hb 1 1 Para determinar o núcleo central impõe-se que não existe tensão normal de tração, então a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenadas y h/ e z b/: ou: 0 P bh 1 Pa.( h / ) 3 bh 1 6.a h + 6.d b Pd.( b / ) 3 hb 1

51 48 Núcleo central de uma seção transversal circular Seja uma área com seção transversal circular solicitada por uma força de compressão com excentricidade a em relação ao eixo z. tensão normal é dada por: σ P πd 4 Pa.y 4 π D 64 Impondo-se que a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenada y D/, tem-se: Ou: P 4 Pa.( D / ) π D π D a D 8

52 Deformações na flexão Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o eixo da viga depois de aplicado o carregamento. P o x d v d v d linha elástica Onde: v d : deflexão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d). deflexão é uma função da coordenada x Métodos de cálculo: Método da integração direta Método da energia Métodos numéricos Outros Hipóteses Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das deflexões; s deflexões são pequenas quando comparadas com as dimensões da viga (base, altura e comprimento); É válida a Lei de Hooke Método da integração direta Em coordenadas cartesianas a expressão da curvatura de uma curva em um ponto Q(x, y) é dada por: 1 r d dx y dy 1 + dx 3

53 50 inclinação da tangente à linha elástica é muito menor que 1,0. Então, para uma curva no plano xov, pode-se fazer: 1 r d dx v(x) Da flexão pura, tem-se o raio de curvatura da superfície neutra: EI r M(x) 1 r M(x) EI Igualando-se as duas últimas expressões, tem-se: d v(x) dx M(x) EI Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerandose o sentido do eixo das deflexões ( v ) positivo para baixo), tem-se: E I v (x) M(x) Condições de contorno (ou condições de extremidades): Nos apoios do 1 o e do o gênero: v 0 Nos engastes: v v 0 Observação: E I v (x) V(x) E I v I V (x) q(x) 8.5 Consideração do esforço cortante no cálculo de deflexões

54 51 O deslizamento relativo dh, provocado pela força cortante, entre duas seções transversais distantes dx está demonstrado no item 6.5.: f V(x) dh dx G Somando-se todos os deslocamentos relativos dh tem-se a contribuição da força cortante ( v S ) para a deflexão: v S f V(x) dh vs dx G Exercício: Determine a deflexão no meio da viga considerando-se a contribuição do momento fletor e da força cortante. viga tem seção transversal retangular ( f 1,) e ΕΙ constante. deflexão total (v T ) é dada pela contribuição do momento fletor (v B ) contribuição da força cortante (v S ) : v v + v T B s e pela v S dh vs L / 0 f ql ( qx) dx G de onde: v S f q L x G x v L / S 0 v f q L G 8 S f q L G 4 L 8 Considerando-se a contribuição do momento fletor e da força cortante a deflexão no meio da viga é dada por: v 4 T + 5qL 384 EI f q L 8G

55 5 8.6 Vigas hiperestáticas: Método da superposição dos efeitos s três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularemse as reações de apoio de vigas hiperestáticas, ou seja, são vigas estaticamente indeterminadas. lém das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas impondo-se condições de deslocamentos da estrutura. Neste item, o método da superposição dos efeitos é empregado para calcularem-se as reações de vigas hiperestáticas. deflexão de uma estrutura solicitada por várias cargas pode ser calculada somando-se a contribuição de cada carga como se atuasse separadamente. Esta constatação permite calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas com o seguinte procedimento: 1. Retira-se um vínculo da estrutura deixando-a isostática;. Calcula-se o deslocamento (ou a rotação) que o vinculo retirando estava impedindo; 3. Coloca-se a ação (força ou momento) do vínculo retirado sobre a estrutura. Determina-se o deslocamento (ou a rotação) do ponto de aplicação desta ação como se fosse o único carregamento que atua na estrutura; 4. Impõe-se uma condição de deslocamento (geralmente, deslocamento nulo) obtendo-se a reação de apoio do vínculo retirado. s outras reações serão obtidas com as equações de equilíbrio da estática. 8.7 Contra-flecha Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em sentido contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o carregamento. Este procedimento é chamado de contra-flecha.

56 FLMBGEM Introdução Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por flexão quando a força atinge um valor crítico (P cr). Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões da seção transversal. Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a teoria de a ordem. Teoria de 1 a ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas. Teoria de a ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da estrutura para calcularem-se os esforços internos. 9. Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força axial (caso fundamental) P L v (x) E I v (x) M (x) M (x) P. v(x) x v P Então: EIv (x) P.v(x) ou: EIv (x) + P.v(x) 0 Dividido-se a expressão acima por E I tem-se: P v (x) + v(x) 0 EI P Chamando-se de c tem-se: EI v (x) + c v(x) 0 Equação diferencial de segunda ordem homogênea Solução: βx v (x) α.e onde α é uma constante e β i c ou: v (x) sen cx + B cos cx

57 54 equação da linha elástica v (x) sen cx + B cos cx tem que satisfazer as condições de extremidade: 1ª) para x 0 v (0) 0 sen c.0 + B cos c.0; B.1 B 0 ª) para x L v (L) 0 sen c.l; Se 0 solução trivial não existe elástica não existe flambagem. Então: sen c.l 0 cl nπ n {...,-4,-3,-,-1,0, 1,, 3,4,...} solução é: n 1,, 3,4... P Lembrando que: c EI n L π P EI P n π L E I figura abaixo mostra os três primeiros modos de flambagem, que podem ser verificados colocando-se n 1, e 3 na expressão de v(x): v(x) sen cx n π sen x L

58 55 Utilizamos o menor valor de P, isto é, n 1: P cr π L E I P cr é conhecido como carga crítica de Euler. flambagem é um problema de equilíbrio. Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente. 9.3 Tensão crítica (σ cr) P cr π EI L σ cr π EI L Por definição, o raio de giração i é dado por: i I [i m, cm, mm] Então: σ cr π L Ei Chamando de: L λ, onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional, tem-se: i σ cr π E λ Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer flambagem, ela acontecerá na direção perpendicular ao eixo de menor momento de inércia (condição mais desfavorável): i min I min 9.4 Fórmula de Euler para outros casos de vinculação L fl K L : fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem Pc r π EI min e Lfl π E σ c r onde λ λ L i fl min

59 56 L K 1,0 K,0 K 0,7 K 0,5 9.5 Validade da fórmula de Euler O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade: σ cr σ p Por exemplo: ço C - 5 com σ p 10 x 10 6 N/m e Ε ço 00 x 10 9 N/m π E σ cr λ 6 π λ 9 9 π λ λ 96,

60 NEXO 57 Ι Propriedades de áreas planas Ι.1 Momento estático (Q): Seja a área situada no plano YOZ. Sendo y e z as coordenadas de um elemento de área d, o momento estático da área, por definição, é dado por: Dimensão de Q: [ L ] 3 O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser positivo, negativo ou nulo. Ι. Centróide: Por definição as coordenadas do centróide ( z ; y ) de uma área são dadas por: Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eixo que passa pelo centróide é nulo. Ι.3 Momento de inércia (Ι): Por definição:

61 O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ] 4 58 Teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em relação a um eixo de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo que passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos. Ι.4 Produto de inércia (Ι ZY ): Por definição: O produto de inércia de uma área em relação a um par de eixos ortogonais é nulo quando um dos eixos é um eixo de simetria.