INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Joaquim H. Vianna Neto Relatório Técnico RTE-01/2013 Relatório Técnico Série Ensino

2 Introdução à probabilidade.ufjf.br/joaquim_neto 2.1 Espaço amostral Definição 2.5: Suponhamos um experimento realizado sob certas condições fixas. O espaço amostral Ω do experimento é um conjunto que contém representações de todos os resultados possíveis, onde por resultado possível, entende-se resultado elementar e indivisível do experimento. Ω deve satisfazer as seguintes condições: A todo resultado possível corresponde um, e somente um, elemento ω Ω. Resultados distintos correspondem a elementos distintos em Ω, ou seja, ω Ω não pode representar mais de um resultado. Resultados possíveis.u fjf.b r/j oa qu i m _n et o 𝜴 Exemplo 2.13: Considere um experimento que consiste em arremessar dois dados e observar os números obtidos nas faces voltadas para cima. Defina um espaço amostral para este experimento. Solução: Não é difícil encontrar quem defina Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} como espaço amostral deste experimento. No entanto, esta definição está incorreta, pois no experimento são arremessados dois dados e não um. Lembre-se que o espaço amostral deve conter representações de todos os resultados possíveis Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 23 de 73

3 do experimento. Um espaço amostral para este experimento é Ω = {(1, 1, (1, 2,..., (1, 6, (2, 1, (2, 2,..., (2, 6, (3, 1, (3, 2,..., (3, 6, (4, 1, (4, 2,..., (4, 6, (5, 1, (5, 2,..., (5, 6, (6, 1, (6, 2,..., (6, 6}. Exemplo 2.14: Considere um experimento que consiste em selecionar ao acaso a altura de um habitante do estado de Minas Gerais. Quais os resultados possíveis deste experimento? Supondo que não exista uma altura máxima, talvez seja razoável assumir Ω = (0,. Evidentemente, este conjunto contém todos os resultados possíveis e também resultados impossíveis, tais como 1 milhão ou 1 bilhão de metros. Outros candidatos para Ω seriam, por exemplo, os intervalos (0, 3 e [1/10, 3]. Exemplo 2.15: Considere um experimento que consiste em escolher aleatoriamente um ponto do círculo de raio unitário centrado na origem do sistema cartesiano. Neste caso, temos Ω = {(x, y R 2 : x 2 + y 2 1}. 2.2 Eventos Quando se realiza um experimento, há certos eventos que ocorrem ou não. Por exemplo, ao jogar um dado e observar o resultado, alguns eventos são: observar um número par, observar o número 2 e observar um número maior ou igual a 4. Todo evento associado à um experimento pode ser identificado a um subconjunto do espaço amostral Ω. Reciprocamente, todo subconjunto A de Ω pode ser associado a um evento. Assim, podemos associar o conjunto {2, 4, 6} ao evento observar um número par e o conjunto {4, 5, 6} ao evento observar um número maior ou igual a 4. Definição 2.6: Seja Ω o espaço amostral do experimento. A Ω será chamado evento. Todo subconjunto Ω é o evento certo. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 24 de 73

4 é o evento impossível. Para ω Ω, o evento {ω} é dito elementar (ou simples. Eventos com uma atribuição de probabilidade são chamados de eventos aleatórios. Definição 2.7: O complementar de um evento A, denotado por Ac, é o conjunto formado pelos elementos de Ω que não pertencem à A. Assim, Ac = {ω Ω : ω < A}. 𝑨 𝜴 fjf.b r/j oa qu im 𝑨 _n et o 𝜴.u 𝑨𝒄 2.3 Definições de probabilidade Há várias interpretações da probabilidade. importantes. A seguir, veremos as três mais Definição 2.8: Se Ω é finito, a definição clássica da probabilidade P(A de um evento A Ω é dada por #A número de elementos de A P A = =. #Ω número de elementos de Ω Obs: Esta definição basea-se no conceito de resultados equiprováveis, ou melhor, no princípio da indiferença. Por exemplo, em um experimento que consiste em lançar um dado e observar o resultado, podemos usar Ω = {1, 2,..., 6} e, diante da indiferença entre os resultados, temos P(i = 61, i Ω. Exemplo 2.16: Suponhamos um experimento que consiste em retirar uma carta em um baralho. Usando a definição clássica de probabilidade, qual é a probabilidade de tirar um 7? Solução: Seja Ω = {A, 2,..., J, K } o espaço amostral e A = {7, 7, 7, 7 } o evento de interesse. Assim, P(A = Joaquim Neto #A #Ω = ufjf.br/joaquim_neto página 25 de 73

5 Definição 2.9: A definição frequentista baseia-se na freqüência relativa de um número grande de realizações do experimento. Mais especificamente, definimos a probabilidade P(A de um evento A usando o limite da frequência relativa da ocorrência de A em n repetições independentes 1 do experimento, com n tendendo ao infinito, ou seja, P ( A ( 1 número de ocorrências de A em n realizações = lim n n independentes do experimento Obs: A grande dificuldade da definição frequentista é que os experimentos nunca são realizados infinitas vezes, logo não há como avaliar a probabilidade de forma estrita.. Número de sucessos / número de realizações ufjf.br/joaquim_neto Número de realizações Número de arremessos de uma moeda honesta versos proporções de coroas obtidas. Proporções Proporções arremesos Resultados 200 arremesos Resultados Proporções Proporções arremesos Resultados 1000 arremesos ufjf.br/joaquim_neto Resultados Proporção de resultados em 10, 100, 200 e 1000 arremessos de um dado. 1 Mais adiante vamos formalizar o conceito de independência. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 26 de 73

6 sentado no nosso dispositivo ulo, ao acaso, cujo centro Definição 2.10: Consideremos um experimento que consiste em escolher um ponto ao acaso em uma região Ω R p. ABCD. Consideramos como P(A de um evento A Ω é dada por o disco está em posição o aluno deve resolver é de P ( A = A definição geométrica da probabilidade volume de A volume de Ω. Obs: Naturalmente, em espaços unidimensionais (p = 1 o volume é substituído por comprimento e em espaços bidimensionais (p = 2, por área. li que represente esse jogo, a de pixéis que simula este Exemplo 2.17: O jogo de franc-carreau foi estudado pela primeira vez em 1733 pelo naturalista e matemático francês Georges-Louis Leclerc e é apresentado por Badizé et al. (1996 como uma proposição para introdução às probabilidades. O jogo consiste em lançar uma moeda em um piso de azulejos de forma quadrada. Os jogadores então apostam se a moeda irá parar completamente sobre um único azulejo, posição chamada franc-carreau, ou sobrepor algum trecho do rejunte (junção dos azulejos. Em uma região com n azulejos de lado igual a b centímetros, qual é a probabilidade de uma moeda de raio r centímetros parar em posição franc-carreau? Solução: resolução possíveis que são geométrica e a resolução a, que consiste em considerar quadrados EFGH e ABCD, GH representa o conjunto de cesso, enquanto que ABCD sse ponto P. o de contagem N para iniciar os em número suficientemente btidos. Esta simulação é feita que permitem a diferenciação figura que foi proposta nesta quando o resultado é do tipo o fracasso. Estes resultados ridos para a planilha Excel, na dentro de EFGH assim como, D A H E P r (b-2r b G F C B.ufjf.br/joaquim_neto Cada localização possível para a moeda pode ser caracterizada pelo seu ponto central. Na figura acima, o quadrado de vértices A, B, C e D ilustra um azulejo e a circunferência de centro P e raio r ilustra a moeda. Repare que a moeda estará localizada completamente sobre o azulejo (posição franc-carreau se, e somente se, seu centro estiver no interior do quadrado de vértices E, F, G e H. Assim, usando a definição geométrica, a probabilidade procurada é n(b 2r 2 nb 2 = (b 2r2 b 2. Para explorar um aplicativo deste jogo, acesse Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 27 de 73

7 Definição 2.11: A definição subjetiva de probabilidade baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno em estudo. Exemplo 2.18: Consideremos o evento A = chove em Moscou. Para alguém em Minas Gerais podemos ter a seguinte avaliação: P(A = 0, 5. Para alguém de Leningrado, podemos ter P(A = 0, 8, se chove em Leningrado e P(A = 0, 2, se não chove em Leningrado. Para alguém de Moscou, P(C = 1, se está chovendo em Moscou e P(C = 0, se não está chovendo em Moscou. 2.4 Teoria dos conjuntos: revisão de conceitos Definição 2.12: Os conjuntos da sequência (finita ou enumerável A1, A2,... são et o disjuntos 2 a 2, se Ai Aj =, i, j. 𝑨𝟐 m _n 𝑨𝟏 𝜴 𝑨𝟑.u fjf.b 𝑨𝟓 r/j oa q ui 𝑨𝟒 Definição 2.13: O conjunto das partes P(A de um conjunto A é definido por P(A = {B B A}. Exemplo 2.19: Se A = {3, 5, 7}, então P(A = {{3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}, }. 2.5 Axiomas de probabilidade e espaço de probabilidade Não vamos nos preocupar, doravante, com o problema de como definir probabilidade para cada experimento. Simplesmente, vamos admitir que as probabilidades estão definidas em um certo conjunto A 2 de eventos, chamados de eventos aleatórios. Vamos supor que a todo A A seja associado um número real P(A, chamado de probabilidade de A, de modo que os axiomas a seguir sejam satisfeitos. 2 Geralmente usamos A = P(Ω. consulte James (1981. Joaquim Neto Para saber mais sobre condições que A.ufjf.br/joaquim_neto deve satisfazer, página 28 de 73

8 Axioma 1: P(A 0, A A. Axioma 2: P(Ω = 1. Axioma 3: Se A 1, A 2,... A são disjuntos 2 a 2, então P A n = P ( A n. n=1 n=1 Definição 2.14: Um espaço de probabilidade é um trio (Ω, A, P, onde Ω é um conjunto não vazio, A é um conjunto de eventos aleatórios e P é uma probabilidade em A..ufjf.br/joaquim_neto 2.6 Principais resultados Resultado 2.13 (probabilidade do evento impossível: P( = 0. Prova: Temos que P (Ω = P (Ω... P (Ω = P (Ω + P ( + P ( = P ( + P ( +... P( = 0. Resultado 2.14: Se A 1, A 2,..., A n A são eventos aleatórios disjuntos 2 a 2 então n n P A i = P ( A i. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 29 de 73

9 Prova: Fazendo A i = i {n + 1, n + 2,...}, temos que n P A i = P A i = ( pelo axioma 3 = = P ( n A i = P ( A i + P ( A i n = P ( A i + i=n+1 n = P ( A i + 0 = i=n+1 i=n+1 P ( = ( pelo resultado anterior = n P ( A i. Resultado 2.15 (probabilidade do complementar: P(A c = 1 P(A, A A. Prova: Temos que Ω = A A c P(Ω = P(A A c (aplicando os axiomas 2 e 3 1 = P(A + P(A c P(A = 1 P(A c. Resultado 2.16: A, B A, A B P(A P(B. Prova: Pelo axioma 1, temos que P(B A c 0. Assim, P(B A c 0 P(B A c + P(A P(A (pelo axioma 3 P((B A c A P(A P(B P(A. Resultado 2.17: 0 P(A 1, A A Prova: Como A Ω, aplicando o resultado 2.6, temos que P(A P(Ω (pelo axioma 2 P(A 1. Além disso, pelo axioma 1, P(A 0. Logo 0 P(A 1. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 30 de 73

10 Resultado 2.18: A, B A, P(A B c = P(A P(A B. Prova: Temos que ( A B c ( A B = A P (( A B c ( A B = P ( A P ( A B c + P ( A B = P ( A P ( A B c = P ( A P ( A B. Resultado 2.19 (desigualdade de Boole: Supondo que A 1, A 2, A 3,... são eventos aleatórios, P A i P ( A i. Prova: Consideremos a seguinte sequência de eventos B 1 = A 1 B 2 = A 2 A c 1 B 3 = A 3 ( A 1 A 2 c. B i = A i ( A 1... A i 1 c. Note que esta sequência é de eventos disjuntos 2 a 2. Além disso, temos que B i A i, o que implica P(B i P(A i. Deste modo, temos que P A i = P B i = (pelo axioma 3 = = P ( B i P ( A i Resultado 2.20: Supondo que A 1, A 2,..., A n são eventos aleatórios, temos que n n P A i P ( A i, Prova: Análoga à prova do resultado anterior. Resultado 2.21: Se A e B forem eventos quaisquer, então P(A B = P(A + P(B P(A B. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 31 de 73

11 A B A B A B A B P = P + P - P.ufjf.br/joaquim_neto Prova: P(A B = P((A B c B = (repare que A B c e B são disjuntos = = P(A B c + P(B = P(A P(A B + P(B. Resultado 2.22: Se A, B e C forem eventos quaisquer, então P(A B C = P(A + P(B + P(C P(A B P(A C P(B C + P(A B C. Prova: P ( A B C = ( pelo resultado 2.6 = P ( A B + P ( C P (( A B C = ( pelo resultado 2.6 = = P ( A + P ( B + P ( C P ( A B P (( A B C = P ( A + P ( B + P ( C P ( A B P (( A C ( B C = ( pelo resultado 2.6 = = P ( A + P ( B + P ( C P ( A B P ( A C P ( B C + P ( A B C. Resultado 2.23: Supondo uma sequência A 1, A 2,..., A n de eventos aleatórios, temos que P ( n A 1 A 2... A n = P ( n A i P ( A i A j + n i<j<r=3 i<j=2 P ( A i A j A r ( 1 n 1 P ( A 1 A 2... A n. Prova: Por indução finita. Obs: Os dois últimos resultados são casos particulares deste resultado. Resultado 2.24: Sejam A, B A. Se P(B = 1 então P(A = P(A B. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 32 de 73

12 Prova: Como B (A B, pelo resultado 2.6, P(B P(A B, o que implica 1 P(A B 1, ou seja, P(A B = 1. Pelo resultado 2.6, temos ainda que P(A B = P(A + P(B P(A B 1 = P(A + 1 P(A B P(A B = P(A. 2.7 Probabilidade condicional e principais teoremas Definição 2.15: Seja (Ω, A, P um espaço de probabilidade. Se B A e P(B > 0, a probabilidade condicional de A A dado B é definida por P(A B = P(A B P(B. Obs: Se P(B = 0, P(A B pode ser arbitrariamente definida. Mas, por independência, é conveniente fazer P(A B = P(A, como veremos adiante. Decorre da definição que P(A B = P(BP(A B e esta igualdade também é válida quando P(B = 0 (verifique!. Exemplo 2.20: Suponhamos que uma fábrica possui 310 máquinas de soldar. Algumas destas máquinas são elétricas (E, enquanto outras são manuais (M. Por outro lado, temos também que algumas são novas (N e outras são usadas (U. A tabela abaixo informa o número de máquinas de cada categoria. Elétricas Manuais Totais Novas Usadas Totais a Sabendo que uma determinada peça foi soldada usando uma máquina nova, qual é a probabilidade (clássica de ter sido soldada por uma máquina elétrica? b Sabendo que uma determinada peça foi soldada usando uma máquina elétrica, qual é a probabilidade (clássica de ter sido soldada por uma máquina nova? Solução: a b P(E N = P(N E = P(E N P(N P(N E P(E = = #(E N #N #(N E #N = = = = Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 33 de 73

13 Resultado 2.25: Uma probabilidade condicional dado um evento B qualquer é uma probabilidade. Solução: Para mostrar que a probabilidade condicional é uma probabilidade, devemos verificar que P(A B 0, A A, P(Ω B = 1 e que se A 1, A 2,... A são disjuntos 2 a 2, então P A i B = P ( A i B. Vamos verificar então as condições acima. Como P(A B = P(A B, com P(A B 0 e P(B > 0, temos que P(A B 0 P(B e a 1 condição foi satisfeita. Temos também que P(Ω B = P(Ω B P(B satisfeita. = P(B P(B = 1 e a segunda condição foi Por fim, temos (( ( ( P A i B P Ai B P A i B = P ( B = P ( B = ( pelo axioma 3 = P ( A i B P ( A i B = P ( B = P ( B = P ( A i B. Teorema 2.1 (Teorema da Multiplicação: Seja (Ω, A, P um espaço de probabilidade com A 1, A 2,..., A n A. Então P ( A 1 A 2... A n = P ( An A 1... A n 1 Prova: Por indução finita. Obs: Especificamente, para n = 2, temos P ( A n 1 A 1... A n 2... P ( A 2 A 1 P ( A1 P(A 1 A 2 = P(A 2 A 1 P(A 1 = P(A 1 A 2 P(A 2. Definição 2.16U: ma sequência A 1, A 2,... finita ou enumerável de conjuntos é uma partição de um conjunto A quando Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 34 de 73

14 for uma sequência de conjuntos disjuntos 2 a 2 e S Ai = A. o i im _n et 𝑨𝟐 qu 𝑨𝟏 𝑨𝟒.u 𝑨𝟓 fjf.b r/j oa 𝑨𝟑 Teorema 2.2 (Teorema da Probabilidade Total: Seja (Ω, A, P um espaço de probabilidade. Se a sequência (finita ou enumerável A1, A2,... A formar uma partição de Ω, então X P B = P B Ai P Ai. o i qu 𝑩 _n et 𝑨𝟐 im 𝑨𝟏 𝑨𝟒.u 𝑨𝟓 fjf.b r/j oa 𝑨𝟑 Prova: [ B Ai = pelo axioma 3 = P B = P Xi X = P B Ai = P B Ai P Ai. i i Exemplo 2.21: Um empresa produz circuitos em três fábricas, denotadas por I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por essas fábricas não funcione são 0.01, 0.04 e 0.03 respectivamente. Escolhido ao acaso um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual é a probabilidade do circuito não funcionar? Solução: Consideremos os eventos A ="o circuito foi produzido pela fábrica I", B ="o circuito foi produzido pela fábrica II", C ="o circuito foi produzido pela fábrica III"e Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 35 de 73

15 D ="o circuito não funciona". Primeiro repare que os conjuntos A, B e C formam uma partição do espaço amostral. Assim, aplicando o teorema da probabilidade total, temos que P D = P D A P A + P D B P B + P D C P C = = Teorema 2.3 (Teorema de Bayes: Seja (Ω, A, P um espaço de probabilidade. Se a sequência (finita ou enumerável A1, A2,..., A formar uma partição de Ω, então P B Ai P Ai P Ai B = P. P B Aj P Aj o j qu 𝑩 _n et 𝑨𝟐 im 𝑨𝟏 𝑨𝟒.u 𝑨𝟓 fjf.b r/j oa 𝑨𝟑 Prova: P B Ai P Ai P Ai B P Ai B = = P B P B = pelo teorema da probabilidade total = P B Ai P Ai = P. P B Aj P Aj j Exemplo 2.22: Um empresa produz circuitos em três fábricas, denotadas por I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por essas fábricas não funcione são 0.01, 0.04 e 0.03 respectivamente. Um circuito é escolhido ao acaso da produção conjunta das três fábricas. Dado que o circuito escolhido não funciona, qual é a probabilidade do circuito ter sido produzido pela fábrica I? Solução: Consideremos os eventos A ="o circuito foi produzido pela fábrica I", B ="o circuito foi produzido pela fábrica II", C ="o circuito foi produzido pela fábrica III"e Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 36 de 73

16 D ="o circuito não funciona". Primeiro repare que os conjuntos A, B e C formam uma partição do espaço amostral. Assim, aplicando o teorema de Bayes, temos que P ( A D = = P ( D A P ( A P ( D A P ( A + P ( D B P ( B + P ( D C P ( C = 0.16 Exemplo 2.23: Uma pessoa vai ao médico reclamando de dores. O médico acredita que o paciente pode ter uma determinada doença. Ele então examina o paciente cuidadosamente, observa seus sintomas e prescreve um exame laboratorial. Seja θ uma quantidade desconhecida que indica se o paciente tem a doença ou não. Se ele possui a doença então θ = 1, caso contrário θ = 0. O médico assume subjetivamente que P(θ = 1 H = 0.6, onde H representa toda a informação disponível antes de saber o resultado do exame laboratotial. Para simplificar, iremos omitir H fazendo P(θ = 1 = P(θ = 1 H = 0.6. Seja X uma variável aleatória associada ao resultado do exame laboratorial, de modo que X = 1 indica que o exame acusou a doença e X = 0 caso contrário. O exame fornece um resultado incerto com as seguintes probabilidades P(X = 1 θ = 0 = 0.10 P(X = 1 θ = 1 = 0.95 (exame positivo sem a doença e (exame positivo com a doença. Dado que o exame acusou a doença (X = 1, qual é a probabilidade do paciente ter a doença? Solução: Pelo teorema de Bayes, temos que P(X = 1 θ = 1P(θ = 1 P(θ = 1 X = 1 = P(X = 1 θ = 1P(θ = 1 + P(X = 1 θ = 0P(θ = = = Exemplo 2.24: O problema de Monty Hall é um problema matemático que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos da América chamado Let s Make a Deal, exibido na década de O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas está um carro (prêmio bom e que as outras têm prêmios de pouco valor. 1. Na 1 etapa o concorrente escolhe uma porta (que ainda não é aberta. 2. Em seguida, Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo que o carro não se encontra nela. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 37 de 73

17 3. Agora, com duas portas apenas para escolher e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo e abre-a ou se muda para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir. Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Por que?.ufjf.br/joaquim_neto Solução: Consideremos os eventos A 1 A 2 A 3 = Carro está na primeira porta, = Carro está na segunda porta, = Carro está na terceira porta e C = O apresentador abre a terceira porta. Naturalmente, iremos assumir P(C A 1 = 0.5, P(C A 2 = 1 e P(C A 3 = 0. Assim, pelo teorema da probabilidade total, temos P(C = P ( C A 1 P ( A1 + P ( C A2 P ( A2 + P ( C A3 P ( A3 = = = 1 2 = 0.5 Agora, usando o teorema de Bayes, temos P(A 1 C = P(C A 1P(A 1 P(C P(A 2 C = P(C A 2P(A 2 P(C P(A 3 C = P(C A 3P(A 3 P(C = = = = 1 3, = 2 3 = 0. e Portanto, escolhendo trocar de porta a chance de ganhar o carro é maior. Exemplo 2.25: Recomenda-se que, a partir dos 40 anos, as mulheres façam mamografias anuais. Nesta idade, 1% das mulheres são portadoras de um tumor assintomático de mama. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 38 de 73

18 Seja θ uma quantidade desconhecida que indica se uma paciente desta faixa etária tem a doença ou não. Se ela possui a doença então θ = 1, caso contrário θ = 0. Assim, podemos assumir que P(θ = 1 = 0.01 e P(θ = 0 = Sabe-se que a mamografia indica a doença em 80% das mulheres com câncer de mama, mas esse mesmo resultado ocorre também com 9.6% das mulheres sem o câncer. Assim, seja X uma variável aleatória associada ao resultado da mamografia, de modo que se X = 1 o exame acusou a doença e X = 0 caso contrário. Temos então que P(X = 1 θ = 0 = P(X = 1 θ = 1 = 0.80 Imagine agora que você encontra uma amiga de 40 e poucos anos aos prantos, desesperada, porque fez uma mamografia de rotina e o exame acusou a doença. Qual a probabilidade de ela ter um câncer de mama? Solução: Temos que P(θ = 1 X = 1 = = P(X = 1 θ = 1P(θ = 1 P(X = 1 θ = 1P(θ = 1 + P(X = 1 θ = 0P(θ = = Logo, a probabilidade dela ter a doença é de aproximadamente 7.8%. Obs: Ao apresentar este problema a várias pessoas, inclusive estudantes de medicina, observa-se uma tendência a superestimar a probabilidade a posteriori da doença. Isto revela que o raciocínio bayesiano não é intuitivo. Parece haver uma tendência geral a ignorar o fato de que a probabilidade a priori de doença é pequena, fenômeno denominado falácia da probabilidade de base pelo psicólogo norte-americano (de origem israelense Daniel Kahneman, premiado com o Nobel de Economia em 2002 por estudos sobre o comportamento de investidores. Num sentido específico: as pessoas não são racionais. 2.8 Independência Definição 2.17 (independência entre dois eventos: Dois eventos aleatórios A e B são independentes quando P(A B = P(AP(B. Obs: Se os eventos A e B são independentes, então P(A B = P(A e P(B A = P(B. Assim, se dois eventos forem independentes, a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 39 de 73

19 Exemplo 2.26: Consideremos novamente o experimento que consiste em escolher um ponto aleatoriamente no círculo de raio unitário (centrado na origem do sistema cartesiano de coordenadas. Sejam A um evento formado pelos pontos que estão a menos de meia unidade de distância da origem e B um evento formado pelos pontos que possuem primeira coordenada maior que a segunda. Mostre que os eventos A e B são independentes. Solução: Como P(A B = 1 8 e P(AP(B = = 1 8, temos que P(A B = P(AP(B e, consequentemente, os eventos são independentes. Agora, vejamos dois modos de definir independência para 2 ou mais eventos: a independência 2 a 2 e a independência mútua. Definição 2.18 (independência 2 a 2: Seja {A i : i I} uma coleção de eventos aleatórios indexada por um conjunto (de índices I. são ditos independentes 2 a 2 se Os eventos desta coleção P(A i A j = P(A i P(A j i, j I tais que i j. Definição 2.19 (independência mútua: Seja B = {A i : i I} uma coleção de eventos aleatórios indexada por um conjunto (de índices I. Os eventos desta coleção são (mutuamente independentes se, para toda subfamília finita {A i1, A i2,..., A in } de eventos em B, tivermos P(A i1 A i2... A in = P(A i1 P(A i2...p(a in Obs: As duas definições de independência formuladas acima são parecidas, porém não são equivalentes. O resultado a seguir estabelece que uma coleção de eventos (mutuamente independentes é necessariamente uma coleção de eventos independentes 2 a 2. Porém, a recíproca não é verdadeira, conforme veremos no exemplo 2.8. Resultado 2.26: Qualquer coleção B de eventos aleatórios (mutuamente independentes é uma coleção de eventos independentes 2 a 2. Prova: Como B é uma coleção de eventos (mutuamente independentes, para toda subfamília finita {A i1, A i2,..., A in } de eventos em B, temos que P(A i1 A i2... A in = P(A i1 P(A i2...p(a in. Em particular, para todas as subfamílias {A i, A j } com i j, temos que P(A i A j = P(A i P(A j. Logo, B é uma coleção de eventos independentes 2 a 2. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 40 de 73

20 Exemplo 2.27: Considere os eventos: se Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados. A = {o primeiro dado mostra um número par}, B = {o segundo dado mostra um número ímpar}, C = {ambos os dados mostram números ímpares ou ambos mostram números pares}. a Os eventos acima são independentes 2 a 2? b Os eventos acima são mutuamente independentes? Solução: a Para mostrar que os eventos são independentes 2 a 2, devemos verificar P(A B = P(AP(B, P(A C = P(AP(C e P(B C = P(BP(C. Primeiro, note que P(A = = 0.5, P(B = = 0.5, P(C = = 0.5, P(A B = = 0.25, P(A C = = 0.25 e P(B C = = Consequentemente, P(A B = 0.25 = = P(AP(B, P(A C = 0.25 = = P(AP(C e P(B C = 0.25 = = P(BP(C. Logo os eventos são independentes 2 a 2. Solução: b Para mostrar que os eventos são (mutuamente independentes, devemos verificar se P(A B = P(AP(B, P(A C = P(AP(C, P(B C = P(BP(C e P(A B C = P(AP(BP(C. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 41 de 73

21 No item (a, verificamos que as 3 primeiras condições são verdadeiras e, portanto, falta apenas avaliar se P(A B C = P(AP(BP(C. Pelo item (a, temos ainda que P(A = P(B = P(C = 0.5 e, consequentemente, P(AP(BP(C = = Por outro lado, A B C = e, consequentemente, P(A B C = P( = 0. Assim, P(A B C = P( = = P(AP(BP(C. Logo, os eventos não são mutuamente independentes. Resultado 2.27: Se A e B forem acontecimentos independentes, também o serão a A e B c, b A c e B e c A c e B c. Solução: a b P(A B c = P(A P(A B = P(A P(AP(B = P(A(1 P(B = P(AP(B c. P(A c B = P(B P(A B = P(B P(AP(B = P(B(1 P(A = P(BP(A c. c P ( A c B c = P (( A B c = 1 P ( A B = ( pelo resultado 2.6 = 1 ( P ( A + P ( B P ( A B = 1 P ( A P ( B + P ( A P ( B = ( colocando P ( B em evidência = = 1 P ( A P ( B ( 1 P ( A = ( colocando 1 P ( A em evidência = = ( 1 P ( A ( 1 P ( B = P ( A c P ( B c. 2.9 Exercícios Exercício 2.1 Sejam A e B dois eventos. Se P(A = 0.3, P(B = 0.2 e P(A B = 0.1, então calcule: a P(A c, b P(A B, c P(A c B, d P(A B c, e P((A B c e f P(A c B. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 42 de 73

22 Exercício 2.2 Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de 50%. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de 3/4, caso contrário esta probabilidade é de 1/3. a Qual a probabilidade do empreiteiro ganhar os dois contratos? b Qual a probabilidade do empreiteiro ganhar apenas um? c Qual a probabilidade do empreiteiro perder a parte elétrica e perder a parte de encanamento? Exercício 2.3 Óleos de cozinha são produzidos em duas principais variedades: monoinsaturados e polinsaturados. Duas matérias primas para óleos de cozinha são: milho e canola. A tabela a seguir mostra o número de garrafas destes óleos em um supermercado. Tipo de óleo Canola Milho Tipo de mono 7 13 insaturação poly a Se uma garrafa de óleo é selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade (clássica de ser um óleo polinsaturado? b Se uma garrafa de óleo é selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade (clássica de ser monoinsaturado de canola? Exercício 2.4 Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos rolamentos ou desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual é a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias? Exercício 2.5 Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A = x, P(B = y e P(A B = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z. a P(A c B c. b P(A c B. c P(A c B. d P(A c B c. Exercício 2.6 Suponha que A, B, C sejam eventos tais que P(A = P(B = P(C = 1/4, P(A B = P(B C = 0 e P(A C = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos (A, B ou C ocorra. Exercício 2.7 Se A, B e C são eventos disjuntos dois a dois, é possível ter P(A = 0.3, P(B = 0.4 e P(C = 0.5? Por que ou por que não? Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 43 de 73

23 Exercício 2.8 Qual é a probabilidade (clássica de observar quatro números diferentes ao lançar quatro dados? Exercício 2.9 Se 12 bolas são colocadas aleatoriamente em 20 caixas, qual é a probabilidade (clássica de nenhuma caixa receber mais do que uma bola? Exercício 2.10 Uma caixa contém 24 lampadas, das quais 4 são defeituosas. Se uma pessoa seleciona 4 lampadas aleatoriamente desta caixa, qual é a probabilidade (clássica das quatro lampadas serem defeituosas? Exercício 2.11 Suponhamos que n pessoas irão se sentar aleatoriamente em n cadeiras alinhadas em fila (de um teatro. Qual é a probabilidade (clássica de duas pessoas em particular, A e B, sentarem uma do lado da outra? Exercício 2.12 Suponhamos que k pessoas irão se sentar aleatoriamente em n cadeiras alinhadas em fila (de um teatro. Qual é a probabilidade (clássica de k pessoas ocuparem cadeiras adjacentes? Exercício 2.13 Suponha que um comitê de 12 pessoas será selecionado aleatoriamente dentre 100 pessoas. Qual é a probabilidade (clássica de duas pessoas em particular, A e B, serem selecionadas. Exercício 2.14 Uma caixa contém 24 lampadas, das quais 4 são defeituosas. Suponhamos que uma pessoa seleciona 10 lampadas aleatoriamente e, em seguida, uma outra pessoa seleciona as 14 lampadas restantes. Qual é a probabilidade (clássica das 4 lampadas defeituosas serem selecionadas pela mesma pessoa? Exercício 2.15 Um baralho contém 52 cartas e 4 ases. Se as cartas forem embaralhadas e distribuídas de maneira aleatória para 4 pessoas, de modo que cada pessoa receba 13 cartas, qual é a probabilidade (clássica dos 4 ases ficarem com a mesma pessoa? Exercício 2.16 a Suponha que os três dígitos do número 123 sejam escritos em ordem aleatória. Qual é a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? b Suponha que os quatro dígitos do número 1234 sejam escritos em ordem aleatória. Qual é a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? Exercício 2.17 Um equipamento eletrônico é formado por 2 componentes, I e II. Suponha que a chance do componente I falhar é 0,20; a chance de apenas o componente II falhar é 0,15 e a chance de I e II falharem simultaneamente é 0,15. a Calcule a probabilidade de apenas o componente I falhar. b Calcule a probabilidade do componente I falhar dado que o componente II falhou. Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 44 de 73

24 Exercício 2.18 Um operador de rádio envia pontos e traços com igual probabilidade, mas devido a perturbações atmosféricas, os pontos são muitas vezes entendidos pelo receptor como traços e vice-versa. Seja 1 a probabilidade de um ponto 5 ser recebido como traço e 1 a probabilidade de um traço ser recebido como 4 ponto. Supondo que o receptor interpreta todos os pontos aparentes como pontos verdadeiros (o mesmo valendo para os traços, qual é a probabilidade de haver um erro na transmissão? Exercício 2.19 A urna I contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna II contém z bolas brancas e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna I e posta na urna II. Em seguida, uma bola é escolhida ao acaso da urna II. Qual é a probabilidade desta bola ser branca? Exercício 2.20 Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraidas juntas. Sabendo que uma delas é perfeita, qual é a probabilidade da outra válvula também ser perfeita? Exercício 2.21 Suponha que temos duas urnas I e II, cada uma com duas gavetas. A urna I contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta, enquanto a urna II contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso e, em seguida, uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Sabendo que a moeda encontrada nesta gaveta é de ouro, qual é a probabilidade de que a moeda provenha da urna II? Exercício 2.22 Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralho completo (52 cartas. a Qual é a probabilidade de obter um número par no dado e uma carta de naipe vermelho? b Qual é a probabilidade de obter um número par no dado ou uma carta de naipe vermelho? Exercício 2.23 Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas. Supondo que a probabilidade do primeiro sistema falhar é igual a 0.20, que a probabilidade ambos falharem é 0.15 e que a probabilidade do segundo sitema falhar sozinho é 0.15, calcule: a a probabilidade do primeiro sistema ter falhado dado que o segundo sistema falhou e b a probabilide de ocorrer falha apenas no primeiro sistema. Exercício 2.24 Em um lote de 100 chips semicondutores 20 são defeituosos. Dois deles são selecionados ao acaso e sem reposição. a Qual é a probabilidade do primeiro chip selecionado ser defeituoso? b Qual é a probabilidade do segundo chip selecionado ser defeituoso, dado que o primeiro deles é defeituoso? c Como a resposta do item (b mudaria se os chips selecionados fossem repostos antes da próxima seleção? Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 45 de 73

25 Exercício 2.25 Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas em duas categorias de acabamento: excelente e bom. Uma outra classificação divide as peças em duas categorias de comprimento: excelente e bom. A tabela abaixo exibe o número de peças por categoria de um determinado lote: Comprimento Excelente Bom Acabamento Excelente 75 7 da superfície Bom 10 8 Suponhamos que uma peça é selecionada aleatoriamente deste lote. a Qual é a probabilidade da peça ter um excelente acabamento na superfície; b Qual é a probabilidade da peça ter um excelente comprimento; c Se a peça selecionada tiver excelente acabamento na superfície, qual é a probabilidade do comprimento ser excelente? d Se a peça selecionada tiver bom comprimento, qual é a probabilidade do acabamento na superfície ser excelente? Exercício 2.26 Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são selecionadas, uma a uma e sem reposição, até que ambas as defeituosas sejam encontradas. a Qual é a probabilidade de encontrar a última válvula defeituosa no segundo ensaio? b Qual é a probabilidade de encontrar a última válvula defeituosa no terceiro ensaio? c Qual é a probabilidade de encontrar a última válvula defeituosa no quarto ensaio? d Some os números obtidos em (a, (b e (c acima. O resultado surprende? Exercício 2.27 Suponha que A e B são eventos independetes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0.6 e a probabilidade da ocorrência de A for igual a 0.4, determine a probabilidade da ocorrência de B. Exercício 2.28 Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecionadas uma após a outra. Se estas peças forem extraídas ao acaso, qual é probabilidade de que: a Qual é probabilidade das duas primeiras peças serem defeituosas? b Qual é probabilidade das duas primeiras peças serem perfeitas? c Dentre as duas primeiras peças inspecionadas, qual é a probabilidade de uma ser perfeita e a outra defeituosa? Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 46 de 73

26 Exercício 2.29 No design preliminar de produtos são utilizadas avaliações de clientes. No passado, 95% dos produtos de alto sucesso receberam boas avaliações, 60% dos produtos de sucesso moderado receberam boas avaliações, e 10% dos produtos de pobre desempenho receberam boas avaliações. Além disso, 40% dos produtos tiveram alto sucesso, 35% tiveram sucesso moderado e 25% tiveram desempenho pobre. a Qual é a probabilidade de que o produto consiga uma boa avaliação? b Se um novo design obtém uma boa avaliação, qual a probabilidade de que ele tenha alto sucesso? c Se um produto não recebe uma boa avaliação, qual é a probabilidade de que ele tenha alto sucesso? Exercício 2.30 Um softare que detecta fraudes em cartões telefônicos detecta o número de áreas metropolitanas onde as chamadas são originadas a cada dia. São obtidos os seguintes dados: - 1% dos usuários legítimos chamam de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia. - 30% dos usuários fraudulentos chamam de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia. - A proporção de usuários fraudulentos é de 0.01%. Se um mesmo usuário faz chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia, qual é a probabilidade de que o usuário seja fraudulento? Exercício 2.31 Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. Determine a probabilidade da primeira bola ser branca sabendo que a segunda bola é branca. Exercício 2.32 Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. a Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina A? b Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina B? c Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina C? Exercício 2.33 Um inspetor trabalhando para uma companhia de manufatura tem uma probabilidade de 99% de identificar corretamente um item com defeito e 0.5% de probabilidade de classificar incorretamente um produto bom como defeituoso. A companhia tem evidências de que sua linha produz 0.9% de ítens defeituosos. a Qual é a probabilidade de um item selecionado para inspeção ser classificado como defeituoso? Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 47 de 73

27 b Se um item selecionado aleatoriamente é classificado como não-defeituoso, qual é a probabilidade dele ser realmente bom? Exercício 2.34 Um fabricante de lâmpadas para faróis automotivos testa as lâmpadas sob condições de alta umidade e alta temperatura, usando a intensidade e vida útil como parâmetros de interesse. A tabela abaixo mostra a performance de 130 lâmpadas. Vida útil Satisfatório Insatisfatório Intensidade Satisfatório Insatisfatório 8 2 a Qual é a probabilidade de uma lâmpada selecionada aleatoriamente ser insatisfatória sob qualquer critério? b Clientes exigem 95% de resultados satisfatórios. O fabricante pode atender a esta exigência? Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 48 de 73

28 2.10 Respostas dos exercícios 2.1 a 0.7; b 0.4; c 0.1; d 0.2; e 0.6; f a P(EL EN = P(EN ELP(EL = = 0.375; b P(EL EN c + P(EN EL c = P(EN c ELP(EL + P(EN EL c P(EL c = = ; 3 c Temos que P(EN = P(EN ELP(EL + P(EN EL c P(EL c = = Além disso, P(EL EN = P(EL + P(EN P(EL EN = = 2 3. Portanto, P(ELc EN c = P((EL EN c = 1 P(EL EN = = a = = ; b = = , 4 13, a 1 z; b y z; c 1 x + z; d 1 x y + z. 2.6 P(A B C = = Não é possível, pois P(A B C = P(A+P(B+P(C = = 1, 2 > = ! 2.9 8!2012 = = (n 2!(n 1 n! 2.12 n k+1. ou n 1. n n 2 n k = = = a 3 2! 3 1 3! 3! + 1 = ; b 4 3! 3! 4! 6 2! ! 4! 1 4! 2.17 a 0, 05; a 0, 05; ( x x+y ( z+1 z+v+1 + ( y 2.22 a 1 4 ; b 3 4. x+y ( z z+v+1. = Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 49 de 73

29 2.23 a 0.50; b a 0.20; b 0.038; c a 0.82; b 0.85; c 0.61; d a 1 6 ; b 1 3 ; c 1 ; d O resultado não surpreende, pois os eventos 2 descritos nos itens anteriores formam uma partição do espaço amostral. Assim, a soma de suas probabilidades deve ser a ; b ; c a 0.615; b 0.618; c a 0.36; b 0.41; c a 0, 99 0, 009+0, 005 (1 0, 009 = ; b ( ( = , a 1 ; b Joaquim Neto.ufjf.br/joaquim_neto página 50 de 73