LIÇÕES DE HIDRÁULICA GERAL

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1 LIÇÕES E HIRÁULICA GERAL Gilberto Queiroz da Silva

2 5. EQUAÇÕES GERAIS O MOVIMENTO E UM FLUIO O estudo do movimento dos fluidos ode ser feito de diferentes formas, segundo roosições de diversos autores. Todas as formas de estudos levam às rinciais conclusões sobre as leis que regem o movimento desses fluidos. 5.. MOVIMENTO E UM FLUIO IEAL NO ESPAÇO Seja um araleleíedo, de volume dvol, escolhido no interior de um fluido de massa esecífica ρ, que se encontra em escoamento num dado instante, t. Suonhamos, inicialmente, que o escoamento seja de um fluido ideal. A figura seguinte mostra o volume de fluido escolhido ara estudo, de faces aralelas aos lanos coordenados de um referencial cartesiano tri- 3

3 ortogonal, xoy, yox e xoz, cujas arestas valem, resectivamente, dx, dy e dz. Admite-se que o eixo Oz seja vertical. Fig. xx Volume elementar de um fluido em escoamento. Elemento de volume: dvol dx.dy.dz Elemento de massa: dm ρ.dvol Elemento de eso: dp dm.g ρ.g.dvol 4

4 Forças de camo e forças de contato: r r Forças de camo: F F i F or unidade de massa: Forças de suerfície: r F cis c x y r r j F k z r r r r Xi Yj Zk aceleração m r r. Area devidas à ressão F c F s r τ. Area devidas à tensão cisalhante. Suondo, inicialmente, que se trata de escoamento de fluido ideal r r ( τ. Area 0 ), as forças de suerfície na direção de cada um dos eixos F cis coordenados são dadas or: Em Ox: Em Oy: Em Oz: dx dydz dxdydz x x dy dxdz dxdydz y y dz dydx dxdydz z z A segunda lei de Newton ermite dizer que: F ma: 5

5 Forças segundo o eixo Ox dma x dmx dxdydz ou x ρ dvol. ax ρdvol. X dxdydz x logo ρ a x ρx ou x a x X ρ x Nas outras direções, o raciocínio é análogo, de maneira que: a y a z Y ρ y Z ρ z Assim, as equações: / d x X dt ρ x do movimento < de um fluido erfeito: \ d y Y dt ρ y d z Z dt ρ z 6

6 7 Substituindo as comonentes da aceleração, temos as equações de Euler ara o escoamento de um fluido ideal: t u z u w y u v x u u X x ρ t v z v w y v v x v u Y y ρ t w z w w y w v x w u Z z ρ As três equações acima, são denominadas de equações de Euler ara o escoamento de um fluido ideal (viscosidade desrezível). Acrescentando as forças viscosas, ara contemlar o escoamento de um fluido real, tem-se as corresondentes equações de Navier-Stokes. 5.. CASO O MOVIMENTO PERMANENTE E FLUIO IEAL Se o escoamento é ermanente: t w t v t u Logo:

7 X ρ x Y ρ y Z ρ z Multilicando cada uma das equações acima or dx, dy e dz, resectivamente e somando membro a membro, tem-se: du dt dv dt dw dz dx dy dz Xdx Ydy Zdz ρ x y z du dt dx dv dw dy dz dt dt Como d dx dy dz e f(x,y,z), escreve-se: x y z d Xdx Ydy Zdz udu vdv wdw ρ Mas udu d ( u ), ( v vdv d ) e wdw d( w ) d ρ, logo u v w Xdx Ydy Zdz d. Como V u v w, finalmente ode-se escrever que: 8

8 V d Xdx Ydy Zdz d ρ A equação acima é denominada de equação de Euler ara escoamento ermanente de um fluido ideal. Quando o escoamento de um fluido se dá ao longo de uma linha de corrente, sendo o escoamento ermanente e de fluido ideal, a equação acima fica simlificada. A figura seguinte mostra o esquema de tal escoamento. Fig. xx Trajetória de uma artícula do fluido em movimento. 9

9 0 Suondo que o eixo Oz seja vertical, as equações anteriores reduzem-se a: k g j g i g Zk Yj Xi m F z y x c r r r r r r r Sendo X Y 0 e Z -g Logo: 0 V d gdz d ρ O conteúdo acima é denominado de equação de Euler em uma direção. Observação : Teorema de Bernoulli: Se o escoamento além de ocorrer ao longo de uma direção, for de fluido ideal, incomressível e ocorrer no regime ermanente, deduz-se a equação de Bernoulli ara fluido ideal. Assim, sendo ρ e g constantes, a equação de Euler fica sendo: 0 ) ( V d gz d d ρ ividindo ambos os membros or g: 0 g V d g d dz ρ ou 0 g V g z d ρ

10 Se a diferencial de uma função é nula, então a função é constante. Assim, V z C γ g A equação acima é conhecida como equação de Bernoulli ara o escoamento de um fluido ideal, incomressível, escoando em regime ermanente, sendo z é a cota do onto, a ressão, V a velocidade, γ o eso esecífico do fluido e g a aceleração da gravidade. te Observação : Equação fundamental da Hidrostática Quando o fluido estiver em reouso (V0), a equação deve fornecer a equação fundamental da hidrostática, vista anteriormente. d Xdx Ydy Zdz ρ Se Oz é vertical X 0, Y 0 e Z -g, logo: d ρgdz equação fundamental da hidrostática.

11 6. EQUAÇÃO O MOVIMENTO E UM FLUIO REAL Seja uma massa de fluido, dm, que ocua um volume elementar dv, deslocando-se no esaço, sujeita a ação de forças de camo, com uma velocidade V, no instante t, nas roximidades da suerfície terrestre, onde a aceleração da gravidade vale g, conforme mostra a figura. Consideremos o volume elementar de fluido, dvol, como um araleleíedo retangular com o centro de gravidade coincidente com o onto P. A área da base do araleleíedo é da e sua altura ds. Na figura seguinte foram traçadas a tangente à trajetória s, (t), e a normal, (n), no onto P. As direções (t) e (n) são ortogonais. O elemento de fluido considerado fica sujeito às forças decorrentes da ressão e do atrito (de contato) e à força gravitacional (de camo). Na ausência de rocessos termodinâmicos e desconsiderando eventuais variações de energia em decorrência da realização de trabalho (resença de bombas ou turbinas), a equação do movimento ode ser estabelecida à artir da alicação da segunda

12 lei de Newton ara a massa fluida dm, que, num instante genérico, t, ocua uma dada osição P no esaço, ossuindo uma velocidade V. Considere uma massa, dm, em torno de um onto P, contida em um volume elementar, dvol nas roximidades da suerfície terrestre, conforme esquema mostrado na figura seguinte. Fig. xx Volume elementar de um fluido em escoamento Seja s a trajetória descrita ela massa fluida, C o centro de curvatura da trajetória, r o raio de curvatura e z a cota do onto P, centro de gravidade do volume elementar de fluido considerado. 3

13 Com tais considerações, no onto P a cota é z, a massa esecífica é ρ, ressão, velocidade na direção da tangente é V e tensão cisalhante τ. A direção horizontal, a da tangente à linha de corrente no onto P e a vertical, formam um triângulo retângulo com o ângulo α entre a tangente e a horizontal, mesmo ângulo formado ela direção vertical e ela normal. Considerar o ângulo θ entre a direção da tangente e a da vertical, conforme ilustrado na figura. Assim também, fica definido outro triângulo formado elas direções horizontal, vertical e da normal à linha de corrente, semelhante ao rimeiro triângulo. Fig. Xx Elementos geométricos envolvidos no escoamento. os dois triângulos da figura anterior, é ossível obter as seguintes relações trigonométricas: dz cos θ e ds dz cos α dn 4

14 será: A massa de fluido contida no volume dvol, num intervalo de temo, dt, dm ρ.dvol, onde dvol da.ds da*.dn. A figura seguinte mostra, com maiores detalhes, o volume dvol que contém uma massa dm, centrado no onto P e os demais elementos infinitesimais envolvidos no roblema. Ao lado da reresentação das forças que atuam sobre o volume elementar colocou-se a ressão ou a tensão cisalhante que as originaram. Fig. xx Paraleleíedo elementar de fluido com as forças que estão agindo sobre a massa nele contida. 5

15 A equação do movimento do fluido será estabelecida considerando-se que a resultante de todas as forças que agem sobre a massa dm é igual ao roduto dessa massa ela aceleração (segunda Lei de Newton). Nesse caso serão consideradas aenas as forças contidas no lano definido ela tangente à trajetória e a normal a ela, traçadas elo onto P. Essas forças serão denominadas de forças segundo a direção da tangente e forças segundo a direção da normal ao escoamento. Comonentes das forças segundo a tangente à trajetória: Considere-se as forças segundo a direção da tangente à trajetória do movimento, (t). Forças de ressão: da ds da dsda... s s Forças cisalhantes: da τ τ dn da dnda n n * * * τ τ... Força eso (de camo): dp s z ρgdvol cos θ ρgdvol...3 s 6

16 Suondo que o vetor velocidade tangencial seja uma função de s e de t: r r r r r r dv V V V V ( s, t) a ds dt ou dt dt s t r r r r r dv V ds V dt V V V dt s dt t dt s t No segundo membro da equação acima, a rimeira arcela é a aceleração convectiva e a segunda a aceleração local. O vetor velocidade tem a direção da tangente à linha de corrente, logo a equação anterior ode seer escrita em termos dos módulos dos vetores: dv dt V V s V t Como a segunda Lei de Newton afirma que, na direção da tangente ao escoamento df t dm.a t, a substituição das forças encontradas nessa equação ermite escrever: dsda s τ z V ds V dnda * ρgdvol ρdvol n s s dt t ou 7

17 8 t V s V V dvol dvol s z g n s ρ ρ τ A equação acima relaciona as forças que atuam sobre a massa contida no volume dvol com a força de inércia. Lembrando que ( ) V s s V V e substituindo na equação acima, aós dividir ambos os membros or ρdvol, temse uma equação que exressa o equilíbrio entre as forças or unidade de massa que atuam no volume considerado e a força de inércia or unidade de massa: t V V s s z g n s τ ρ ρ Essa é a equação diferencial do movimento da massa dm, num instante genérico, t, simlesmente denominada de equação diferencial do movimento do fluido. Notar que cada arcela da equação anterior reresenta força or unidade de massa ou simlesmente aceleração devida às forças de ressão, cisalhantes, gravitacional e de inércia.

18 9 Observações: Se o escoamento for de um fluido ideal e incomressível, a equação ode ser simlificada já que as forças devidas à tensão cisalhante são nulas, de forma que: t V V s s gz s ) ( ρ ou t V V gz s ρ Se o escoamento for de um fluido ideal, incomressível e em regime ermanente, a equação diferencial do movimento ode ser mais simles, ainda: 0 ) ( V s s gz s ρ, Já que a soma das derivadas em relação a uma variável é a derivada da soma, a equação anterior ode ser escrita como: 0 V gz s ρ. A equação anterior é denominada de equação de Euler, ara os escoamentos unidimensionais.

19 30 Se o escoamento for de um fluido ideal, incomressível, ermanente e ocorrer ao longo da trajetória descrita ela artícula, quando se considera o escoamento entre dois ontos P e P, a integração da equação anterior fornecerá: 0 P P ds V gz s ρ O que ode ser escrito da seguinte forma: 0 ) ( P P P P P P ds V s ds s ds s gz ρ Logo: 0 V V gz gz ρ ρ ou te C V gz V gz ρ ρ ividindo-se ambos os membros da equação acima or g, encontra-se o clássico resultado que exressa a equação de Bernoulli ara o escoamento de um fluido ideal, incomressível, em regime ermanente e que ocorre entre dois ontos P e P de uma linha de corrente, no interior de um fluido em

20 escoamento. A nova constante obtida, Cte/g agora é chamada de H, constante de Bernoulli ou carga total do escoamento. Assim, tem-se: V V z z H γ g γ g Na equação acima cada arcela significa energia or unidade de eso do fluido, assim como H que significa a energia total or unidade de eso de fluido. Comonentes das forças segundo a normal à trajetória: Considere-se, agora, as forças segundo a direção da normal à trajetória do movimento, (n). Forças de ressão: da n n * * * dn da dnda... Forças cisalhantes: São forças aenas na direção da tangente, ortanto naturalmente têm comonente nula segundo a normal. Força eso (de camo): z dp n ρgdvol cos α ρgdvol... n 3

21 Como a segunda Lei de Newton afirma que, na direção da normal ao escoamento df n dm.a n, e que a aceleração normal vale a n ρ.v /r, onde r é o raio de curvatura no onto P, escreve-se: * z V dnda 0 ρ. g. dvol. ρ. dvol.. n n r ividindo-se ambos os membros or dvol, vem: z V ρ. g. ρ. n n r A equação acima é denominada de equação diferencial da distribuição da ressão ao longo da direção normal a um escoamento. Ela exressa a distribuição de ressões nos escoamentos em que a trajetória não é retilínea, desde que se conheça a velocidade e o raio de curvatura da curva descrita ela massa no seu movimento. Observação: se a trajetória for retilínea, o raio de curvatura é infinito, de maneira que: z ρ. g. n n n Logo, elo fato de só variar com z, ter-se-á: ( ρgz) 0 d ρ. g. dz 3

22 O resultado obtido acima é a equação fundamental da hidrostática, já demonstrada quando se estudou a hidrostática e que levou ao estabelecimento da equação de Stevin ara a variação da ressão nos fluidos. 6.. EQUAÇÃO INTEGRAL O ESCOAMENTO SEGUNO UMA LINHA E CORRENTE Suondo que o escoamento ocorre segundo linhas de corrente e que ara a linha de corrente mostrada na figura seguinte tenha-se dois ontos, P e P, em um mesmo instante, t, a equação diferencial do movimento vista anteriormente ode ser escrita como: V s s ρ z V τ g s ρ n t 33

23 34 Fig. xx Coordenadas de ontos em um escoamento segundo uma linha de corrente. ividindo a equação acima, membro a membro, or g e desrezando-se as variações de ρ e g, resulta que: t V g g n s z g V s g s ρ τ ρ Como a soma das derivadas é igual à derivada da soma das arcelas, ode-se escrever a equação acima na forma:

24 35 t V g n g V z s γ τ γ Nas duas equações anteriores deve ser observado que cada arcela tem o significado de força or unidade de eso de fluido, sendo, ortanto, grandezas adimensionais. Agora, multilicando a última equação or ds, tem-se: ds t V g ds n ds g V z s γ τ γ Nesse caso, os rodutos que reresentam o trabalho que cada uma das forças envolvidas desenvolveu ao longo da linha de corrente, or unidade de eso de fluido, ara efetuar um deslocamento infinitesimal de comrimento ds. Para somar todos os trabalhos realizados ara que o onto P ercorra a linha de corrente desde P até P, basta realizar a integração em ambos os membros da equação anterior, o que fica sendo: ds t V g ds n ds g V z s γ τ γ Calculando cada uma das integrais que forma a equação anterior: g V z g V z g V z ds g V z s γ γ γ γ

25 τ ds n γ A integral acima deve ser calculada caso a caso. Ela reresenta o trabalho devido às forças cisalhantes, or unidade de eso de fluido, ara que o onto seja deslocado desde P até P, através da linha (s). Ela corresonde à energia erdida or atrito, or unidade de eso e, de agora em diante, será denominada erda de carga entre os ontos P e P. A integral resente no segundo membro da equação será: V V ds g t g t V ds s g t h V g t V g t ] ( s s ) s Nessa equação, g não varia com s, assim como a aceleração local não varia com s, ois estamos calculando a integral em um instante t. s é o esaço desde o onto P até o onto P, medido sobre a linha de corrente. Substituindo os valores calculados de cada arcela na equação original, tem-se: z V V z h γ g γ g s V g t Reordenando os termos convenientemente, finalmente, tem-se a equação da energia, em termos finitos, ara o escoamento de um fluido real que acontece segundo uma linha de corrente. 36

26 37 t V g s h g V z g V z γ γ Se o escoamento, além das características discutidas nesse item for ermanente, a equação terá a forma que será discutida no róximo item. 6.. EQUAÇÃO E BERNOULLI PARA O ESCOAMENTO E UM FLUIO REAL Quando se tratar de escoamento ermanente, de um fluido real e incomressível, que acontece segundo uma linha de corrente, a última arcela da equação mostrada no item anterior torna-se nula (não existe aceleração local), de maneira que a equação ode ser escrita da seguinte forma: h g V z g V z γ γ A equação anterior exressa o conteúdo da equação de Bernoulli, quando alicada ara o escoamento de um fluido real, incomressível e em regime ermanente, que se dá ao longo de uma linha de corrente.

27 Observações: Quando se tratar de escoamento de fluido ideal, isto é, de fluidos em que a viscosidade é desrezível, a equação anterior ode ser simlificada ara: V z γ g z V γ g C te H A equação acima é denominada de equação de Bernoulli ara o escoamento de um fluido ideal, incomressível, unidimensional, em regime ermanente, ao longo de uma linha de corrente. A constante, H, é denominada de constante de Bernoulli e as três arcelas somadas são denominadas de energia mecânica do escoamento or unidade de eso de fluido, que devem ermanecer constante no escoamento. Na equação de Bernoulli, cada arcela tem um significado físico rório, conforme relacionado a seguir: z cota ou carga de osição, denotando a energia otencial gravitacional (dm.g.z) or unidade de eso de fluido. É medida em m, N.m/N ou J/N. /γ carga de ressão, carga efetiva ou carga iezométrica, significando a energia de ressão or unidade de eso de fluido. É medida em N.m/N m. 38

28 V g carga de velocidade, carga cinética ou taquicarga, significando a energia cinética (m.v /) or unidade de eso do fluido. É medida em N.m/N m. h energia erdida or unidade de eso de fluido ou simlesmente erda de carga. É medida em N.m/N m. z /γ cota iezométrica ou altura iezométrica. Esse valor define o lugar geométrico dos ontos do esaço denominado de linha iezométrica ou linha de carga efetiva. V z é denominada de carga total, H, reresentando toda a energia γ g mecânica or unidade de eso de fluido que o escoamento ossui em uma dada osição. Esse valor, quando comutado ara todos os ontos da linha de corrente, define uma linha denominada de linha de energia ou linha do gradiente hidráulico. enomina-se de lano de carga efetivo (PCE), ao lano horizontal traçado a artir da energia total corresondente ao onto de maior energia no domínio do fluido m estudo. 39

29 As arcelas resentes na equação de Bernoulli odem, também, ser entendidas geometricamente como alturas, conforme esquematizado na figura seguinte. Fig. xx Parcelas da equação de Bernoulli, entendidos como alturas em um escoamento ermanente, de fluido incomressível, ao longo de uma linha de corrente. No desenho esquematizado na figura anterior os elementos têm o seguinte significado: (s) linha de corrente do escoamento LP linha iezométrica LE linha de energia do escoamento PCE lano de carga efetivo PHR lano horizontal de referência 40

30 Quando se usa as ressões relativas, a LP ode estar acima, abaixo ou coincidir com a linha de corrente. Nos dois rimeiros casos, têm-se os escoamentos em condutos forçados. No terceiro caso têm-se os escoamentos livres ou em canais. Nos fluidos reais, devido a existência da erda de energia or atrito (causada ela viscosidade), a linha de energia semre decresce no sentido do escoamento, há menos que em algum onto do escoamento haja uma introdução ou retirada de energia, como é o caso dos escoamentos que ossuem bombas ou turbinas. No caso de se ter escoamentos em tubos, admitindo que a velocidade em cada seção transversal ao escoamento seja constante (velocidade média na seção transversal), facilmente ode-se estender os conceitos envolvidos na equação de Bernoulli ara escoamento de fluido real, conforme esquematizado na figura seguinte, mostrando uma tubulação de seção transversal decrescente. 4

31 Fig. xx Escoamento de um fluido em um tubo de corrente. No caso da velocidade ser constante ao longo de todo o escoamento, a linha de energia é semre aralela à linha iezométrica. A figura seguinte ilustra essa característica, ara as tubulações de seção transversal constante. 4

32 Fig, xx Escoamento em uma tubulação de diâmetro constante, com a linha de energia aralela à linha iezométrica. Na rática, a linha iezométrica ode ser visualizada com a instalação de iezômetros abertos ara a atmosfera. O líquido irá subir no iezômetro até que a coluna iezométrica se equilibre com a ressão no onto, conforme mostrado nos casos dos ontos e na figura anterior, comumente denominada de ressão estática. O resultado obtido com a instalação de iezômetros em todos os ontos do eixo do escoamento é uma linha contínua assando ela 43

33 extremidade da coluna de líquido formada, denominada de linha iezométrica. Ressalta-se que no caso de ressões negativas no eixo da tubulação, haverá um abaixamento da coluna iezométrica, de uma altura corresondente à ressão negativa reinante. Nesse caso instala-se um tubo em U abaixo do eixo do escoamento. Quando se instala um tubo de equeno diâmetro, com a extremidade inicial alinhada com a direção do escoamento e, logo em seguida, tendo a direção da vertical, o líquido subirá no tubo até que a nova coluna iezométrica se iguale com a nova ressão, agora é dita ressão dinâmica ou ressão total. A ressão total é maior que a ressão estática do escoamento em decorrência da velocidade ter se tornada nula bem róximo à boca do tubo, em decorrência da formação de um onto de estagnação. O resultado é que a coluna iezométrica é maior que no caso da ressão estática. A extremidade suerior da coluna, quando estendida ara tosos os ontos ao longo do eixo do escoamento, materializará a linha de energia do escoamento. Nos casos em que a ressão for negativa, observar-se-á um abaixamento da coluna iezométrica da altura corresondente. No caso de escoamentos de fluido ideal, a linha de energia é semre horizontal. 44

34 6.3. EXEMPLOS E APLICAÇÃO A EQUAÇÃO E BERNOULLI EXEMPLO : Seja um escoamento de água através de uma seqüência de três tubulações de diâmetros diferentes, artindo de um reservatório de nível constante, conforme lustrado na figura seguinte. Nessa figura, o escoamento inicia-se em uma tubulação, de um dado diâmetro, unida a uma outra tubulação, de menor diâmetro. Esta segunda tubulação está unida a uma terceira tubulação 3, de diâmetro suerior ao da rimeira tubulação. Na figura não está mostrado o final da terceira tubulação, que se estende além do domínio da figura. Também não se discutirá o caráter da união, nesse momento. 45

35 Fig. xx Escoamento de água através de três tubulações unidas sequencialmente, artindo de um reservatório de nível constante. O traçado da linha de energia ode ser feito de duas maneiras distintas. A rimeira maneira de se traçar a linha de energia é comutar a soma das três arcelas corresondentes aas energias de osição, de ressão e cinética, ara os ontos chaves do escoamento. A artir do PHR, marcar alturas obtidas e unir os 46

36 ontos, traçando a linha de energia (LE). Uma segunda maneira de se traçar a LE é através do conhecimento do PCE, que no caso coincide com a suerfície livre da água no reservatório de nível constante. Nos ontos característicos do escoamento, calcular a erda de carga, h, subtraindo essa arcela do PCE. Em qualquer dos casos resulta a linha marcada como LE na figura anterior. Na entrada da tubulação, a linha coincide, aroximadamente, com a suerfície livre da água no reservatório. À artir daí, ela será decrescente, linearmente, com uma certa declividade, até atingir a união das tubulações e. No trecho corresondente à tubulação, a linha de energia continuará decrescente, agora com uma declividade maior, já que a velocidade na tubulação é maior que na tubulação, até atingir a união com a tubulação 3. À artir daí a LE continua decrescente, agora com uma declividade muito menor, menor até que a declividade na tubulação, visto ser o diâmetro da tubulação 3 o maior deles. O traçado da linha iezométrica será feito calculando-se as ressões em certos ontos de interesse e comutando a soma da cota com a carga iezométrica (z /γ). Outra maneira de construir a LP, quando se conhece a LE, é marcar uma linha aralela à LE, abaixo da mesma, com altura corresondente à arcela da energia cinética or unidade de eso de fluido, nos trechos de diâmetro constante. No caso em questão, a LP coincide com a suerfície livre da água no reservatório de nível constante. A seguir ela cai bruscamente, ara entrar na 47

37 tubulação, ficando, então, abaixo da LE, a uma distância corresondente a V /(g), aralela a esta, até a união com a tubulação. No início da tubulação, a LP cai bruscamente, ara se adequar ao novo nível de velocidade maior que na tubulação. Aós a queda, ela continua decrescente, com mesma inclinação da LE, até atingir a união com a tubulação 3. No início da tubulação 3, a LP se eleva, bruscamente, ara ficar novamente aralela à LE, agora a uma distância bem menor, já que a velocidade na tubulação 3 é a menor de todas. Assim a LP segue aralela à LE até que nova variação de velocidade imonha uma nova osição. É comum dizer que na tubulação 3 houve uma recueração da ressão, visto que essa ressão se elevou em decorrência da baixa velocidade nessa tubulação. A erda de carga, corresondente à energia erdida or atrito devida à tensão cisalhante resente nos escoamentos de fluido real, imõe a condição de que a LE será semre decrescente no sentido do escoamento. Ela corresonderá à diferença entre o PCE e a LE. Mais à frente será discutido com rofundidade as diversas erdas de carga, bem como as diferentes maneiras de se calcular as mesmas. 48

38 EXEMPLO : Em um escoamento de água, em uma tubulação de diâmetro constante,, instalou-se um iezômetro e um tubo de equeno diâmetro, d, em formato de L, com uma das artes retas alinhadas com a direção do escoamento, conforme mostra a figura seguinte. Esse disositivo é conhecido como tubo de Pitot, sendo utilizado ara medir a velocidade dos escoamentos. No resente caso ele está ligado a um manômetro diferencial de tubo em U, que será usado ara a obtenção da diferença de ressão entre a ressão total (dinâmica) e a ressão estática. Esse arranjo, sem o medidor de ressão diferencial, é denominado aenas de tubo de Pitot, ara diferenciar de um modelo mais aerfeiçoado denominado de tubo de Prandtl ou tubo de Pitot estático. Fig. xx Esquema de um escoamento com um tubo de Pitot. 49

39 SOLUÇÃO A introdução do tubo de Pitot no escoamento, dever ser feita de modo a roduzir a menor erturbação ossível. Para tanto, o diâmetro do tubo de Pitot deve ser bem menor que o diâmetro do tubo onde está confinado o escoamento. No onto a velocidade é V V e a ressão é. No onto a velocidade V é nula e a ressão é. Bem na extremidade do tubo de Pitot, na condição de equilíbrio, forma-se um onto de estagnação com a água arada. Ela não mais entrará no tubo já o fluido dentro do tubo de Pitot não ermite. Pode até haver um escoamento momentâneo (transiente) até que haja equilíbrio das diversas forças envolvidas. Aós esse equilíbrio tem-se a situação mostrada na figura anterior. Assim odemos dizer que: No onto : z z, e V V No onto (estagnação): z z ; e V 0. Se o onto for róximo do onto, odemos admitir que est, din e h 0. A alicação da equação de Bernoulli entre os ontos e ermite escrever: V V V z z z z 0 0 γ g γ g γ g γ 50

40 Admitindo que z z, tem-se: V g Sendo γ ρ.g e : V γ γ g γ V ρ A exressão acima é utilizada universalmente ara determinar a velocidade de um escoamento de um fluido de massa esecífica ρ, conhecendo-se a diferença entre a ressão dinâmica no tubo de Pitot e a estática no escoamento. No caso ilustrado, a diferença de ressão ode ser obtida com o manômetro diferencial de tubo em U acolado ao tubo de Pitot. Assim, segundo a lei de Stevin: ρ m gh ρgy ρg( h y), sendo y a distância vertical entre o too da coluna do líquido manométrico e o eixo do tubo de Pitot. essa equação, odemos calcular: ρm gh ρgy ρgh ρgy ( ρm ρ) gh No caso esecífico a velocidade do escoamento seria: ( ρm ρ) gh V ou ρm V gh ρ ρ 5

41 Para fins de se ter uma idéia rática dos números envolvidos, suonha que se deseje calcular a velocidade de um escoamento de água(ρ 998, kg/m 3 ), que o líquido manométrico seja o mercúrio (ρ m 3.545,8 kg/m 3 ) em um local onde g 9,8 m/s e que h seja igual a 60 mm. Nesse caso: 3.545,8 m V 9,8 0, 060m. Logo V 3,845 m/s. 998, s Observação: O tubo de Prandtl, também denominado de tubo de Pitot estático, é uma variação do tubo de Pitot em que se toma a ressão dinâmica e a ressão estática aroximadamente na mesma osição, com o uso de dois tubos concêntricos dobrados em forma de L, conforme mostra a figura seguinte. 5

42 EXEMPLO 3: O escoamento de um fluido de massa esecífica ρ ocorre em uma tubulação de diâmetro, com uma vazão Q, conforme ilustra a figura seguinte. Num dado onto do escoamento é feita uma redução brusca de área, de forma que o diâmetro assa a ser d. Logo aós a redução de área, o escoamento volta a acontecer numa tubulação cujo diâmetro é o inicial. Assim, a velocidade que antes do estrangulamento era V, aumenta bruscamente até assar elo estrangulamento, num movimento acelerado. Aós assar elo estrangulamento, a velocidade vai sendo reduzida gradualmente até que seja novamente igual a velocidade do escoamento não erturbado. eterminar a vazão do escoamento suosto ermanente, de fluido incomressível, através da diferença de ressão antes do estrangulamento e no estrangulamento. Tal disositivo constitui um medidor de vazão muito útil, denominado de medidor de vazão de laca de orifício. Fig. xx Esquema de medidor de vazão tio laca de orifício com manômetro diferencial. 53

43 SOLUÇÃO Adotar-se-á dois ontos no escoamento. Um onto, antes da laca de orifício, onde a ressão seja e a velocidade seja V V. O outro onto aós a laca de orifício, onde a ressão é e a velocidade é V. Como o fluido é a água, considerada incomressível, a vazão na tubulação será constante e igual a Q. Nesse caso, a equação da conservação da massa (equação da continuidade) oderá ser escrita assim: Q AV ou Q AV AV, onde AV A Logo, V V V V. A d π A e 4 πd A 4 Como A > A, conclui-se que V > V, daí o escoamento ser acelerado entre os ontos e. Podemos alicar a equação de Bernoulli ara o escoamento ermanente e incomressível que ocorre entre os rontos e, de forma que: V V z z γ g γ g h Como V V: 54

44 55 h g V z g V z γ γ Mas A Q V e A Q V ga Q ga Q h z z γ γ h z z g A Q A Q γ γ h z z g Q A A γ γ. A A A A h z z g Q γ γ e A A A h z z g A Q γ γ A A h z z g A Q γ γ

45 56 Chamando de m a relação de áreas, tem-se: A A m ( ) m h z z g A m Q γ γ ( ) m h z z g ma Q γ γ h z z g m ma Q γ γ enominando de E o fator: m E e suondo que o medidor esteja na horizontal (z z): h g EmA Q γ γ evido à dificuldade de se calcular h no momento, suoremos esta arcela desrezível. Nesse caso observe a equação resultante suerestima a vazão, razão ela qual vamos denominá-la de vazão teórica, Q t. Logo:

46 Q t EmA g e, se e γ ρg temos: γ γ Q t EmA g ρ g. Finalmente, Q t EmA ρ. A equação acima ermite calcular a vazão teórica do escoamento de um fluido incomressível, em regime ermanente, através de um medidor de vazão tio laca de orifício. Para o caso de escoamentos em tubulações de seção circular e considerando que a relação de diâmetros será β d /, teremos: m d π A 4 m m A π 4 d ou m β, o que ermite escrever: Q t Eβ A ρ 57

47 Na realidade, elo fato de se ter desrezado a erda de carga ocorrida entre os ontos envolvidos, a vazão real, Q, será menor que a vazão teórica, Q t, de maneira que denomina-se coeficiente de descarga ou coeficiente de vazão ao valor. Q C d Nesse caso tem-se que a vazão real através de uma tubulação de Q área A será: t Q C Eβ A t d ρ Como exemlo numérico, calcular a vazão de um escoamento de água (ρ 998, kg/m 3 ) que escoa através de uma tubulação de PVC de 6 mm de diâmetro, sabendo que medidor de vazão tem β 0,800 e que a diferença de ressão observada corresonde a 0,60 metros de coluna de mercúrio (ρ 3.545, kg/m 3 ), obtida com o manômetro diferencial instalado nos ontos e indicados na figura anterior. Considerar o coeficiente de descarga do medidor igual a 0,650. 0,06 m 3 Cálculo da área: A π 3,4.,4.0 m 4 4 iferença de ressão: 3 ( ρ m ρ) gh (3.545, 998,) kg / m.9,807m / s.0,60m Pa 58

48 Como Q C Eβ A d ρ Q 0,650. 0, ,800,4.0 3 * , Logo Q 3, m3/s ou Q 3,986 l/s EXEMPLO 4: O escoamento de um fluido de massa esecífica ρ ocorre em uma tubulação de diâmetro, com uma vazão Q, conforme ilustra a figura seguinte. Num dado onto do escoamento é feita uma redução gradual da área, de forma que o diâmetro assa a ser d, durante um equeno comrimento. Logo aós a redução de área, a tubulação é amliada gradualmente, até que o diâmetro retorne ao seu valor inicial,. Neste disositivo, a velocidade que antes da contração era V, aumenta gradualmente até atingir a região de diâmetro d, onde o seu valor é V, num movimento acelerado. Aós assar elo estrangulamento, a velocidade vai sendo reduzida gradualmente até atingir o seu valor original, V, do escoamento não erturbado. eterminar a vazão do escoamento suosto ermanente, de fluido incomressível, através da diferença de ressão antes da redução e na redução. Tal disositivo foi idealizado or Venturi, sendo denominado de 59

49 medidor de vazão de Venturi ou simlesmente de tubo de Venturi. Na figura seguinte, ode-se ver que foi instalado um manômetro diferencial de mercúrio entre a seção transversal de diâmetro e a região de diâmetro d, denominada de garganta, observando-se uma deflexão h na coluna de mercúrio do tubo U. Fig. xx Esquema de tubo de Venturi com manômetro diferencial. SOLUÇÃO Adotar-se-á dois ontos no escoamento: um onto, antes da laca de orifício, onde a ressão seja e a velocidade seja V V e o outro onto aós a laca de orifício, onde a ressão é e a velocidade é V. 60

50 Como o fluido é a água, considerada incomressível, a vazão na tubulação será constante e igual a Q. Nesse caso, as mesmas equações válidas ara o medidor de vazão tio laca de orifício valem ara o tubo de Venturi, já que se trata de uma contração no escoamento. A diferença está justamente no coeficiente de descarga, C d. O coeficiente de descarga é maior ara o tubo de Venturi, vez que as mudanças de direção do escoamento são mais suaves levando a uma menor erda de carga e fazendo com que a equação da vazão teórica forneça um valor mais róximo da vazão real. Nesse caso a equação da continuidade continua sendo: Q AV AV ou Q AV AV A com V V V V. A d, onde A equação de Bernoulli resultante é: π A e 4 πd A, 4 V V z z γ g γ g h, o que resulta: Q t Eβ A ρ 6

51 Como C d Q Q t, a vazão real através de uma tubulação de área A será: Q t C Eβ A d ρ Como exemlo, calcular a vazão de um escoamento de água (ρ 998, kg/m 3 ) que escoa através de uma tubulação de PVC de 6 mm de diâmetro, sabendo que medidor de vazão tem β 0,800 e que a diferença de ressão observada corresonde a 0,60 metros de coluna de mercúrio (ρ 3.545, kg/m 3 ), obtida com o manômetro diferencial instalado conforme ilustrado na figura anterior. Considerar o coeficiente de descarga do tubo de Venturi igual a 0,90. 0,06 m 3 Cálculo da área: A π 3,4.,4.0 m 4 4 iferença de ressão: 3 ( ρ m ρ) gh (3.545, 998,) kg / m.9,807m / s.0,60m Pa Como Q C Eβ A d ρ Q 0,90. 0, ,800.,4.0 3 * , Logo Q 9, m3/s ou Q 9,796 l/s 6

52 EXEMPLO 5: Um escoamento de água, de massa esecífica (ρ.00,0 kg/m 3 ), ermanente, ocorre em um redutor conforme ilustrado na figura seguinte. Na seção, a cota é 00,0 m, a área é 00 cm e a ressão é 0,50 kgf/cm. Na seção, a cota é 70,0 m, a área é 50 cm e a ressão é 3,38 kgf/cm. Calcular a vazão que escoa no redutor. Considerando a água como um fluido ideal SOLUÇÃO Adotar-se-á dois ontos no escoamento. Um onto, no centro da seção, onde a ressão seja e a velocidade seja V. O outro onto será o centro da seção, onde a ressão é e a velocidade é V. 63

53 64 Como o fluido é a água, considerada incomressível, a vazão na tubulação será constante e igual a Q. Nesse caso, a equação da conservação da massa (equação da continuidade) oderá ser escrita assim: V A AV Q ou V A AV Q, tal que A Q V e A Q V Como A > A, conclui-se que V > V, daí o escoamento ser acelerado entre os ontos e. Podemos alicar a equação de Bernoulli ara o escoamento ermanente e incomressível que ocorre entre os rontos e, de forma que: h g V z g V z γ γ Como o fluido é ideal, consideraremos h 0: g V z g V z γ γ Substituindo as velocidades na equação acima, tem-se: ga Q ga Q z z γ γ γ γ z z g A Q A Q γ z z g Q A A

54 65 Fazendo : γ z z g Q A A A A.. A A A A z z g Q γ ou A A z z g A Q γ Chamando de m a relação de áreas, com: A A m ( ) m z z g A m Q γ γ z z g m ma Q Fazendo m E, tem-se, finalmente a equação que ermite calcular a vazão de fluido ideal no redutor: γ z z g EmA Q

55 Observar que se trata de uma equação muito arecida com o escoamento nos orifícios e no tubo de Venturi. A rincial diferença está na diferença de cotas existente no caso atual. Realizando uma mudança de unidades ara o Sistema Internacional de Unidades e substituindo os valores numéricos, tem-se: 0,50 kgf/cm 0,50*9,80665 N/cm 0,50*9, N/m Pa 3,38 kgf/cm 3,38*9,80665 N/cm 3,38*9, N/m Pa A 00 cm m e A 50 cm m. m A /A 50/00 0,50 E m 0,50, Pa Pa Q,547*0,50*0,0 m *9,807 00,0 m 70,0m 000*9,807 3 [ 8,799] 0,080m s Q,547* 0,005 9,64 30,0 / Assim, Q 8,0 l/s. 66

56 EXEMPLO 6: A água escoa a artir de um reservatório de grandes dimensões através de uma tubulação de 50 mm de diâmetro que é reduzida ara 5 mm de diâmetro, descarregando-se livremente na atmosfera, conforme mostra a figura seguinte. Sendo o reservatório de grandes dimensões, considerar o nível, H, constante. Para uma vazão de 05,0 l/s e considerando-se o escoamento de fluido ideal, calcular o nível H, as velocidades da água em cada tubulação e a ressão na entrada da rimeira tubulação. SOLUÇÃO 67

57 Cálculo das velocidades e das cargas cinéticas: Tubulação : tal que V Tubulação : V Q A Q 4Q π / 4 π 4*0,05 V,39 m/ s e V,39 0,33m π 0,50 g *9,807 Q A Q 4Q πd / 4 πd 4*0,05 V V 8,556m / s e 8,556 3,73m π *0,5 g *9,807 Alicando a equação de Bernoulli ao escoamento entre um onto 0 na suerfície livre do reservatório e o onto, tem-se: 0 V0 V z 0 z γ g γ g h Como o fluido é ideal, consideraremos h 0. Na suerfície livre de reservatórios de grandes dimensões é comum considerar V 0 0,0 m/s. Como, na escala relativa 0 atm 0, assim como atm 0, a equação de Bernoulli acima reduz-se a: V V z0 0 0 z 0 z0 z H g g 68

58 Então: V 8,556 H 3, 73m g *9,807 Para calcular a ressão no onto, entrada da tubulação, basta alicar a equação de Bernoulli ara o escoamento que ocorre entre o onto 0 (na suerfície livre do reservatório e o onto, de maneira que: 0 V0 V z 0 z γ g γ g Como o fluido é ideal, consideraremos h 0. Como visto anteriormente, V 0 0,0 m/s e 0 atm 0, assim a equação de Bernoulli acima reduz-se a: h z 0 0 z γ 0 V g z0 z γ V g Mas z 0 z H 3,73 m e a carga cinética no onto é 0,33 m. A equação anterior fica sendo: 3,73 0,33 γ 3,499m Como γ ρ.g, a ressão no onto será: γ *3,499m ρ * g *3,499m 000*9,807 *3,499 Logo 34.34, 7Pa. 69

59 Observar que ela é inferior ao valor de H, ois o onto foi considerado numa osição ara a qual arte da energia otencial or unidade de eso de fluido já foi transformada em energia cinética or unidade de eso de fluido. EXEMPLO 7: A água escoa através de um canal, descendo um desnível y, conforme ilustrado na figura seguinte. Na seção a velocidade medida é V,40 m/s e na seção é V,00 m/s. Considerando um escoamento ermanente de fluido ideal, ede-se o valor do desnível, y, sabendo-se as rofundidades da água na seção e na seção, resectivamente iguais a,0 m e 0,60 m. 70

60 SOLUÇÃO Considerando o escoamento entre as seções e como ermanente, incomressível e de fluido ideal, a equação de Bernoulli ode ser alicada ao escoamento entre um onto na suerfície da água na seção e um onto na suerfície da água na seção. A equação será: z V z γ g γ ' As ressões nas seções e corresondem à ressão atmosférica, que na escala relativa será nula: atm 0. Adotando um lano horizontal de V g referência assando elo fundo do canal na seção, as cotas serão: Logo, y 6,448 m. z y,0 e z 0,60 m.,40,00 y,0 0 0,60 0 *9,807 *9,807 y,0 0,94 0,60 7,34 7

61 6.4 - EQUAÇÃO A ENERGIA SEGUNO UM TUBO E CORRENTE Na dedução da equação da energia entre dois ontos de uma linha de corrente não se considerou a variação da velocidade que ocorre erendicularmente à direção do escoamento. No caso dos escoamentos que ocorrem em relação a um contorno sólido, é sabido que a velocidade é nula do contorno sólido e aumenta de valor gradualmente na direção erendicular a esse contorno sólido até atingir a velocidade de equilíbrio longe deste contorno sólido, onde a tensão cisalhante é nula. Tal condição ocorre no eixo de tubos ou a meia distância do escoamento entre lacas aralelas. Assim é reciso tratar o escoamento em termos do valor médio das grandezas envolvidas nos escoamentos em tubos de fluxo, como é o caso da velocidade média definida anteriormente. Nos escoamentos em tubulações os valores da ressão, massa esecífica e carga iezométrica odem variar ouco, ermitindo o uso de valores médios. A rigor existe uma variação dos valores das grandezas ara cada linha de corrente que se considere. Então, ode ser interessante definir uma linha de corrente que roicie a consideração de uma linha de energia que corresonda ao 7

62 escoamento da totalidade da seção, fazendo-se uso do valor médio da velocidade. Figura reresentativa do escoamento de fluido real em tubulação de diâmetro. Perfil de velocidades do escoamento de um fluido real em uma tubulação: v f(r) erfil de velocidades. r 0 (centro do tubo) v V c. r R (arede do tubo) v 0. r (osição genérica em relação ao centro da tubulação) v y (osição genérica em relação à arede da tubulação) v y R r dy -dr 73

63 Para o escoamento onde v f(r) tem-se: Vazão: Velocidade média: Q v. da A Q V ou V A v. da A A Reresenta a velocidade de um escoamento médio (idealizado) de valor constante, V, sobre toda a seção transversal da tubulação. Energia cinética ara o escoamento real: Energia cinética das artículas que atravessam uma área elementar, da, onde a velocidade é v e a osição é r será dada or: de c dm. v Taxa de variação da energia cinética das artículas que atravessam a área elementar da seção transversal ao escoamento na unidade de temo é dada or de c dm ou dt dt v de& c dm&. v Como dm d m& ρ. v. da de& c ρ. v 3. da dt 74

64 A taxa de variação com o temo da energia cinética das artículas que atravessam toda a seção transversal do escoamento real será: 3 E& c ρ. v. da () - variação da energia cinética com o temo A Energia cinética ara o escoamento médio: v V c te. Figura reresentativa do escoamento médio de fluido real em tubulação de diâmetro. Taxa de variação com o temo da energia cinética das artículas de fluido que atravessam toda a seção transversal ao escoamento médio é dada or de c dm ou dt dt V Ec & m &. V 75

65 Como dm m & ρ. V. A dt tem-se que 3 E& c ρ. V. A () - variação da energia cinética com o temo em termos do escoamento médio. Para que a taxa de variação da energia cinética do escoamento real, calculada ela equação () seja igual à taxa de variação da energia cinética do escoamento médio, calculada ela equação (), é necessário o uso de um coeficiente α tal que: Assim, A 3 ρ. v. da α. ρ. V 3. A α 3 v. da A 3 V. A α é denominado fator de correção de energia cinética ou coeficiente de Coriolis. Gustaqve-Gasard Coriolis, engenheiro francês, Obs:. Em geral α ara os escoamentos de fluidos reais.. Para escoamentos em que a velocidade v é constante: α,0 76

66 3. Para escoamento laminar: α,0 4. Para escoamento turbulento α,05 a,0 Em termos da quantidade de movimento, r Para uma massa m que estiver animada de uma velocidade v r : r r mv. Considerando aenas o módulo da quantidade de movimento das artículas que atravessam uma área da do escoamento real, tem-se: d dm. v Taxa de variação da quantidade de movimento das artículas que atravessam a área elementar da seção transversal ao escoamento na unidade de temo é dada or d dm v ou d & dm&. v dt dt Como dm d m& ρ. v. da d & ρ. v. da. v ρ. v. da dt A taxa de variação com o temo da quantidade de movimento das artículas que atravessam toda a seção transversal do escoamento real será: & ρ. v. da (3) - variação da quantidade de movimento com o temo A 77

67 Taxa de variação com o temo da quantidade de movimento das artículas de fluido que atravessam toda a seção transversal ao escoamento médio é dada or d dm V dt dt ou & m&. V Como dm m & ρ. V. A tem-se que: dt & ρ. V. A (4) - variação da quantidade de movimento com o temo em termos do escoamento médio. Para que a taxa de variação da quantidade de movimento do escoamento real, calculada ela equação (3) seja igual à taxa de variação da quantidade de movimento do escoamento médio, calculada ela equação (4), é necessário o uso de um coeficiente β tal que: Assim, A ρ. v. da β. ρ. V β v. da A V. A β é denominado fator de correção de quantidade de movimento ou coeficiente de Boussinesq. Jouseh Boussinesq, matemático francês, A 78

68 Obs:. Em geral β ara os escoamentos de fluidos reais.. Para escoamentos em que a velocidade v é constante: β,0 3. Para escoamento laminar: β 4/3 4. Para escoamento turbulento β,0 a,04 5. Para escoamentos laminar ou turbulento em tubulações de seções circulares, ode-se demonstrar que α 3.β. esta forma, finalmente, ode-se escrever a equação geral da energia, na forma integral, ara o escoamento médio que ocorre ao longo de um tubo de corrente: V V s d z α z α h β γ g γ g g dt ( V ) 79

69 ESCOAMENTOS COM BOMBAS E TURBINAS Nos escoamentos dos fluidos odem ocorrer situações nas quais a energia está sendo introduzida ou retirada em ontos esecíficos. Isso é ossível graças a máquinas hidráulicas que têm a caacidade de alterar a linha de energia. As bombas são máquinas hidráulicas com caacidade de introduzir energia nos escoamentos dos fluidos. As turbinas são máquinas hidráulicas caazes de retirar energia dos escoamentos dos fluidos BOMBAS HIRÁULICAS Seja um escoamento de líquido num sistema comosto or duas tubulações de diâmetros e, entre as quais existe uma bomba hidráulica, conforme ilustrado na figura seguinte. Seja dois ontos do escoamento, um na entrada da bomba e outro na sua saída. Como há introdução de energia no escoamento ela bomba, a energia or unidade de eso do líquido na saída é maior que energia or unidade de eso do líquido na entrada, caracterizando uma elevação da linha de energia, LE. A tubulação que antecede a bomba é, geralmente, denominada de tubulação de sucção e a que vem deois da bomba é 80

70 denominada de tubulação de recalque. As velocidades nas tubulações de sucção e de recalque são, resectivamente, V e V. Na ilustração, observa-se que é menor que, de forma que a velocidade na linha de recalque é suerior à velocidade na linha de sucção, o que torna as linhas iezométricas e de energia mais distantes na tubulação de recalque. A energia introduzida é utilizada na elevação da ressão e na elevação de velocidade do escoamento do líquido. 8

71 Entrada: Velocidade: V E V Carga cinética: V E g Pressão: E Carga iezométrica: E γ Cota: z E iâmetro: E Vazão: Q Saída: V S V Carga cinética: V S g Pressão: S Carga iezométrica: S γ Cota: z S iâmetro: E Vazão: Q A equação de Bernoulli alicada entre a entrada, E, e a saída, S, da bomba: z E E VE E γ g B z S S VS γ g E B é a energia que a bomba introduz no escoamento or unidade de eso de fluido. 8

72 A carga total na entrada da bomba é: H E z E E γ VE g. A carga total na saída da bomba é: H S z S S VS. γ g O balanço de energia ermite escrever: H E H E. B S Logo a energia introduzida ela bomba ara cada unidade de eso de líquido que está escoando será: E B H S H E Em termos de unidades das grandezas: U(γ) N/m 3 ; U(Q) m 3 /s, U(E B ) N.m/N m. Considerando a unidade: U(γ.Q.E B ) N.m -3.m 3.s -.m N.m/s J/s watt W. Assim, define-se a otência útil ou otência efetiva de uma bomba, P u, como sendo a energia introduzida ela bomba no escoamento or unidade de temo. Então: P γ u QE B 83

73 Como há erdas de energia no rocesso, constata-se que a otência que a bomba absorve do sistema, P B, denominada simlesmente de otência da bomba, deve ser maior que a otência introduzida no escoamento: P B > P u Logo define-se o rendimento, η, de uma bomba como sendo a relação entre a otência útil e a otência da bomba. Matematicamente escreve-se: η Pu P B O rendimento às vezes é exresso em termos ercentuais, de forma que: Pu η(%).00 00η P Assim, a otência de uma bomba será dada or P B P u / η ou, finalmente, B γqe P B η Observações: Bomba com 00% de eficiência: η e P B P u. Unidade de P B no Sistema Internacional de Unidades: U(P B ) J/s watt W. 84 B

74 É usual fornecer a otência em kw. Sendo kw.000w, de maneira que: γqeb P B 000η. Todas as unidades no SI e P B em kw. No Sistema Técnico, com γ medido em kgf/m 3 e Q em m 3 /s a otência será calculada or P B γqe η B, sendo exressa em kgf.m/s. Lembrando da relação com o cavalo vaor e que cv 736 W ou cv 75 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m 3 e Q em m 3 /s, a otência será calculada or γqeb P B 75η, sendo exressa em cv. Às vezes os fabricantes exressam a otência de suas bombas em h (horse ower). Como h 744 W ou h 75,9 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m 3 e Q em m 3 γqe /s, a otência será calculada or B P B, sendo exressa em h. 75,9η 85

75 TURBINAS HIRÁULICAS Quando um escoamento ocorre na resença de uma turbina hidráulica, observa-se uma retirada de energia do escoamento, de forma que a energia na entrada da turbina é maior que a energia na sua saída. Assim, observa-se uma queda na linha de energia, devida à energia retirada ela turbina. A energia retirada é usada ara realização de trabalho mecânico, disonível no eixo da turbina. A figura seguinte ilustra os elementos envolvidos no roblema. 86

76 Entrada: Velocidade: V E V Carga cinética: V E g Pressão: E Carga iezométrica: E γ Cota: z E iâmetro: E Vazão: Q Saída: V S V Carga cinética: V S g Pressão: S Carga iezométrica: S γ Cota: z S iâmetro: E Vazão: Q A equação de Bernoulli alicada ao escoamento entre a entrada, E, e a saída, S, da bomba: z E E VE E γ g T z S S VS γ g E T é a energia retirada do escoamento ela turbina, or unidade de eso de fluido. 87

77 As cargas totais na entrada da turbina e na sua saída continuam sendo definidas da mesma forma que na bomba, de forma que: Carga total na entrada: H E z E E VE. γ g Carga total na saída: H S z S S VS. γ g Nesse caso, o balanço de energia ermite escrever: H E H. E T S Logo a energia retirada ela turbina, or cada unidade de eso de líquido que está escoando, será: E T H E H S As unidades das grandezas envolvidas são análogas às da bomba, de forma que define-se a otência útil ou efetiva de uma turbina como sendo a energia retirada do escoamento ela turbina, na unidade de temo: P γ u QE T No rocesso de retirada de energia do escoamento certamente ocorrerão erdas de energia, de forma que a energia fornecida ela turbina, medida disonível no seu eixo será menor que a energia retirada do escoamento: P T < Pu. P T otência fornecida ela turbina ou simlesmente otência da turbina 88

78 O rendimento ara as turbinas é definido de maneira ligeiramente diferente do rendimento definido ara as bombas. Assim define-se o rendimento de uma turbina como sendo a energia fornecida no seu eixo ela energia retirada do escoamento, ambas or unidade de temo, escrita matematicamente como: η O rendimento também ode ser exresso em termos ercentuais, de forma que: PT P PT η(%).00 00η P u Assim, a otência de uma turbina será dada or PT Pu * η ou, finalmente, Observações: u P γqetη Turbinas com 00% de eficiência: η e P T P u. T Unidade de P T no Sistema Internacional de Unidades: U(P T ) J/s watt W. É usual fornecer a otência em kw. Sendo kw.000w, de maneira que: γqet P T η. Todas as unidades no SI e P T em kw. 000 No Sistema Técnico, com γ medido em kgf/m 3 e Q em m 3 /s a otência será calculada or P γqe η, sendo exressa em kgf.m/s. T T 89

79 Assim como nas bombas, lembrando da relação com o cavalo vaor e que cv 736 W ou cv 75 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m 3 e Q em m 3 /s, a otência será calculada or γqe P T 75 T η, sendo exressa em cv. Quando a otência das turbinas for exressa em h (horse ower), se γ for γqe medido em kgf/m 3 e Q em m 3 T /s, a otência será calculada or P T η. 75,9 APLICAÇÕES: Nos escoamentos uniformes e ermanentes, a equação geral ara o escoamento entre dois ontos e será: γ v g z EB ET z Observações: Sem bomba: E B 0; Sem turbina: E T 0; Escoamento de fluido ideal: h 0. Na solução dos roblemas elaborar desenho claro com traçado das LE e LP. Não se esquecer de alicar a equação de Bernoulli semre no sentido do escoamento. 90 γ v g h

80 EXERCÍCIOS:. Uma bomba é utilizada ara elevar 5 l/s de água de um reservatório de sucção ara um reservatório de recalque, com rendimento de 75%, conforme ilustrado na figura seguinte. Os níveis da água nos reservatórios de sucção e de recalque são 50,0 m e 00,0 m, resectivamente. O diâmetro da tubulação de sucção é de 0,5 m e o de recalque é de 0,0 m. A bomba está na cota 5,50 m. A erda de carga na tubulação de sucção é de 0,56 m e na de recalque é 7,9 m. 9

81 a) Cálculo das velocidades e cargas de velocidades na entrada e saída da bomba: 4Q 4*0,05 V V E 0,85m / s E 0,85 m π 0, 037 3,4*0,5 g *9,807 4Q 4*0,05 V V S,9m / s S,9 m π 0, 86 d 3,4*0,0 g *9,807 b) Cálculo das energias na entrada e na saída da bomba: E VE H E ze z h 50 0,56 49, 44m γ g S VS H S zs z h 00 7,9 7, 9m γ g c) Cálculo das cargas iezométricas na entrada e na saída da bomba: Entrada da bomba: γ V g γ V g z ze E E h, onde /γ 0 e V 0. E ,5 0,037,056 γ E, 097 m γ Saída da bomba: 9

82 γ V g γ V g S S z S z h, onde /γ 0 e V 0. S 5,5 0, ,9 γ S 66, 34 m γ d) Cálculo da energia da bomba, E B : O cálculo ode ser efetuado alicando-se a equação de Bernoulli ara o escoamento entre a suerfície da água no reservatório de sucção e a suerfície da água no reservatório de recalque: γ V g γ V g z EB z h E ,56 7,9. Logo E B 68, 480m B Este mesmo resultado também oderia ser obtido, alicando-se a equação de Bernoulli entre o escoamento na entrada da bomba e na saída da bomba, de forma que: h z E E VE E γ g B z S S VS γ g ou H E H ou E B S EB H S H E 7,9 49,44 68, 48m Notar que a unidade de E B na verdade reresenta m N.m/N. 93

83 e) Cálculo da otência da bomba: A otência da bomba será dada or: γqe P B η B N. m *0,05. m. s.68,48m P B W 0,75 Ou P B 3,43 kw ou, ainda, PB 8,5 cv. Exercício : Uma bomba centrífuga aresenta 68% de rendimento e está sendo utilizada ara elevar 3,0 L/s de água de um reservatório inferior ara um reservatório suerior conforme ilustrado na figura. A tubulação de sucção tem 0,0 m de comrimento, tem 50 mm de diâmetro e a água escoa de forma que o fator de atrito seja 0,056. A tubulação de recalque tem 00,0 m de comrimento, tem 3 mm de diâmetro e o escoamento ossui um fator de atrito igual a 0,075. Coma as cotas indicadas na figura, ede-se: a) as erdas de carga na tubulação de sucção e de recalque; b) a ressão na entrada da bomba em kpa; c) dimensionar um manômetro ara medir a ressão na saída da bomba; d) a otência da bomba; e) esboçar as linhas de energia e iezométrica ara o escoamento. 94

84 95

85 7. ESCOAMENTO E FLUIO REAL EM TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO Os fluidos escoam em tubulações que estão submetidas a ressões maiores ou menores que a ressão atmosférica, estando confinados elas aredes que formam as tubulações. Assim o escoamento ode ser descrito elas equações do movimento real ao longo de linhas de corrente, em termos do escoamento médio. 7.. ANÁLISE IMENSIONAL NO ESCOAMENTO SOB PRESSÃO Nos escoamentos sob ressão as rinciais forças resentes são as forças devido à ressão, as forças devido à viscosidade e as forças de inércia. iferenças de ressão Viscosidade e atrito externo: Forças viscosas erda de energia (calor) Forças de inércia 96

86 Quando um líquido está escoando com velocidade média V, em uma tubulação de diâmetro, comrimento L e coeficiente de rugosidade ε, a queda de ressão,, ao longo do comrimento L da tubulação deende de ρ, V,, µ, L e e. µ é a viscosidade absoluta do líquido. Genericamente se escreve que: F( ρ, V,, µ, L, e) Os recursos da análise dimensional (teorema de Buckingham) mostram que existem quatro gruos adimensionais imortantes, relacionados com o escoamento, a saber:. Número de Euler: Eu F /F i (forças de ressão/forças ρv de inércia). Número de Reynolds: inércia/forças viscosas) 3. Rugosidade relativa: 4. Comrimento relativo: ρv V R e F i /F vis (forças de µ υ RR CR e L 97

87 Pelo teorema de Buckingham, ode-se escrever uma nova relação do tio: e Eu φ Re,, ρv L Exerimentalmente é ossível concluir que Então ρv L ϕ e Re, ou ρv L L α V ρ ϕ Re, Observar que o fator foi introduzido no denominador ara reresentar a exressar a carga cinética. A função e ϕ R e, é denominada de fator de atrito ara os escoamentos nas tubulações, sendo reresentado ela letra f e será estudado com ajuda da exerimentação, conforme será visto no caítulo seguinte. Logo: L V f ρ ividindo ambos os membros or γ ρ.g, tem-se: e ρg γ f L V g 98

88 Mas h erda de carga contínua nas tubulações e γ ρ.g é o eso γ esecífico do líquido que está escoando com velocidade é constante ao longo do tubo, visto que o diâmetro da tubulação também é constante, escreve-se que: L V h f g A equação acima é denominada de fórmula universal da erda de carga ou equação de arcy-weisbach. Henri-Philibert-Gasard arcy, engenheiro francês, e Ludwig-Julius Weisbach, engenheiro e rofessor alemão, Muitos estudos foram feitos ara a determinação do fator de atrito, f, nas mais diversas situações, conforme será visto osteriormente Breve história A equação de arcy-weisbach na forma anterior teve um longo eríodo de desenvolvimento. arcy e Weisbach foram dois grandes engenheiros hidráulicos que trabalharam em meados do século XIV e a fórmula foi um aerfeiçoamento de trabalhos de outros cientistas. Ludwig-Julius Weisbach, natural da Saxônia, or volta de 845 fez a roosição da equação referida. Inicialmente não foram aresentados dados ara a variação de f com a rugosidade relativa e com a velocidade do escoamento, o que motivou ouca aceitação 99

89 da equação e ermitiu que os engenheiros continuassem a utilizar a equação emírica de Prony (Gasard Clair Francois Marie Riche de Prony, ), escrita na forma: L h ( av bv onde a e b são coeficientes emíricos ara cada tio de rugosidade. ) Aesar de Weisbach estar à frente de muitos esquisadores da sua éoca, ele certamente se aoiou nos trabalhos desenvolvidos or Prony à artir das observações de Antoine Chézy (78-798), autor de uma equação usada ara descrever os escoamentos em canais livres. Prony desenvolveu sua equação ara revisão da erda de carga nas tubulações aresentada anteriormente, modificação da equação de Chézy. Em 857 arcy, um aluno de Prony, ublicou novas relações ara o coeficiente de Prony, à artir de um grande número de dados rovenientes de exerimentos, o que resultou em uma equação mais eficiente, escrita na forma: h L d c d V e V onde c, d e e são coeficientes emíricos válidos ara cada tio de tubulação de diâmetro. Pela rimeira vez aareceu a rugosidade relativa, e/, na equação de revisão da erda de carga ara os escoamentos nas tubulações de seção circular, confirmando a deendência da rugosidade e do tio de movimento desenvolvido elos líquidos. Nessa éoca arcy acabou introduzindo um coeficiente ara a erda de carga, que deu origem ao fator de atrito, f. A equação de arcy-weisbach não foi muito utilizada até o aarecimento do diagrama de Moody, or volta de 944, quando os valores do fator de atrito foram colocados em um gráfico juntamente com o número de Reynolds e a rugosidade relativa. Moody modificou o diagrama de Stanton na sua forma, artindo dos trabalhos de Poiseuille, Reynolds, Blausius, von 300

90 Kárman, Prandtl, Colebrook, White, Rouse e Nikuradse. Esse gráfico de Moody foi o grande resonsável ela oularização da fórmula de arcy-weisbach, visto facilitar muito os cálculos numa éoca em que não se tinha calculadoras á disosição. Foi em meados do século XX que os autores começaram a denominar a equação da erda de carga em homenagem a arcy e Weisbach. Parece ter sido Rouse, em 946, quem rimeiro cunhou o nome equação de arcy- Weisbach ara a revisão da erda de carga na tubulações. A equação se tornou universal à artir de 980, com os cálculos envolvidos facilitados com a oularização dos comutadores essoais e devido à boa recisão entre os resultados revistos e os realmente observados VELOCIAE E ATRITO NO ESCOAMENTO UNIFORME Quando um fluido real (µ 0), incomressível, escoa em regime ermanente em uma tubulação de seção transversal, A, constante, é ossível escrever equações relacionando as grandezas envolvidas. Conforme ilustrado na figura seguinte, os elementos envolvidos são: 30

91 Fig. xx - Forças no escoamento uniforme. Velocidades: V V V; Pressões e ; Cotas z e z ; Tensão cisalhante nas aredes da tubulação, τ o; Áreas: A A A; senθ (z z )/L Volume: V ol A.L; Peso do fluido no volume: P γ.v ol ; Para que o volume de fluido considerado esteja em equilíbrio, a resultante de todas as forças deve ser nula. Assim, na direção do eixo x, teremos forças de ressão, devido à tensão cisalhante na arede do tubo e comonente da força eso. 30

92 303 Assim, 0 x F e 0 θ τ Psen P L A A e o τ o tensão cisalhante na arede da tubulação; P e π. erímetro da tubulação P eso do fluido no volume V ol ; Então: 0 ) ( L z z AL P L A e o γ τ dividindo or A: 0 ( ) z z A P L e o γ τ dividindo or γ: A P L z z e o γ τ γ γ Como as velocidades são V V V são constantes, odemos somar e subtrair a carga cinética no rimeiro membro da equação anterior, encontrando: A P L g V z g V z e o γ τ γ γ O rimeiro membro é igual à erda de carga entre os ontos e, denotado or h. Então a equação fica reduzida a: A P L h e o γ τ

93 Mas considerando-se que A/P e R h e substituindo na equação anterior, vem: h τ o γ Essa equação ermite determinar a erda de carga que acontece no trecho do escoamento na tubulação de comrimento L, os ontos e, na resença de uma tensão cisalhante na arede. L R efinindo a erda de carga unitária como sendo J h /L:, a equação anterior ode ser reescrita da seguinte forma: τ o J γ R essa equação ode-se exlicitar a tensão cisalhante na arede: h h τ o γ R h J A exressão anterior é válida ara se avaliar a tensão cisalhante na arede ara o escoamento ermanente e uniforme em uma tubulação. Quando a tubulação tiver seção circular, as equações da erda de carga e da tensão cisalhante odem ser escritas de uma nova forma: 304

94 A π e Pe π 4 Logo a erda de carga será: A tensão cisalhante na arede será: h R h 4τ o γ π A 4 P π L γh γ τ o ou τ o R 4L L Onde R é o raio da tubulação onde ocorre o escoamento. e h R h 4 O resultado obtido ara as tubulações de seção circular ode ser comarado com a fórmula universal da erda de carga vista anteriormente: h 4τ o γ L f L V g τ o ρ f V 8 ρ fv τ o 8 Velocidade de atrito: τ Como o ρ f V 8 τ o V ρ f 8 305

95 Sendo f um fator adimensional, cada lado da igualdade acima tem dimensão de velocidade. Por isso define-se a velocidade de atrito ou velocidade de cisalhamento, u *, como sendo: u * τ o ρ A velocidade de atrito assume ael imortante no estudo dos escoamentos turbulentos em condutos forçados e em canais. É usual adimensionalizar a velocidade média do escoamento através da velocidade de atrito, de forma que: τ u o * V ρ f 8 Em muitos textos de hidráulica, usa-se um adimensional obtido ela relação entre a velocidade média de um escoamento com a velocidade de atrito, de forma que a exressão seguinte é de grande imortância: V 8 u f * Essa é uma forma de comarar a velocidade média de escoamento com a velocidade de atrito, o que equivale a obter a raiz quadrada de oito dividido elo fator de atrito do escoamento, o qual está relacionado com a rugosidade das 306

96 aredes confinantes do escoamento e as condições hidrodinâmicas em que tal escoamento acontece EXPERIMENTO E REYNOLS Quando um fluido escoa em uma tubulação de diâmetro, com uma dada vazão Q, sabe-se que a velocidade, v, varia ao longo de uma seção transversal da tubulação. Ela é nula na arede, devido à condição de não deslizamento entre o fluido e a arede do reciiente que o encerra e, em geral, atinge o seu valor máximo no centro do tubo. Nesse caso é ossível estabelecer uma velocidade média, V, definida ela relação entre a vazão e a área da seção transversal do tubo. v f(r) Se r R v 0 Se r 0 v V max V c. Q Q vda e V A A A vda A Quando a velocidade V for equena, ode-se observar que as artículas fluidas descrevem trajetórias suaves e bem definidas. Nesse caso diz-se que o escoamento é LAMINAR ou VISCOSO. Em 883 Osborne Reynolds já observou 307

97 tal tio de escoamento nos fluidos. O fluido se move com as artículas definindo camadas aralelas entre si, erfeitamente definidas, de esessura muito fina, sendo que cada camada tem velocidade ligeiramente diferente da camada adjacente. Essas camadas não se misturam umas com as outras, sendo erfeitamente individualizadas no escoamento. No escoamento laminar redominam forças cisalhantes e forças de ressão. As forças cisalhantes são devidas à viscosidade do fluido, ortanto forças de oosição ao movimento, como as forças de atrito em geral. Essas forças de atrito, que tendem a inibir o movimento, definem o tio de movimento que irá ocorrer. fluido se movimenta em filetes aralelos e bem definidos dv dv redominam esforços viscosos: τ µ ou τ µ dy dr forças de inércia forças viscosas Quando a velocidade V assumir valores mais elevados as artículas do fluido assam a descrever trajetórias comlexas, quase aleatórias, deixando de se movimentar em camadas, caracterizando um movimento comlexo, com o aarecimento de vórtices e turbilhões. Nesse caso diz-se que o escoamento é turbulento. No escoamento turbulento as forças de inércia redominam sobre as forças viscosas de forma que a tensão cisalhante na forma mostrada 308

98 anteriormente assa a ter ouca influência sobre o escoamento. Outros efeitos característicos da turbulência redominam no escoamento. Numa tentativa de definir os limites até onde os escoamentos são laminares, Osborn Reynolds realizou uma série de exerimentos que se tornaram clássicos. Ele criou um escoamento em uma tubulação de vidro transarente, artindo de um reservatório de nível constante, ara que o escoamento udesse ser visualizado. No interior do escoamento Reynolds injetava um filete de corante, com mesma velocidade do escoamento. Assim, ele oderia ver como o filete de corante se movimentava no fluido. A figura seguinte ilustra o esquema de uma das exeriências de Reynolds. Fig. xx - Esquema do exerimento de Reynolds. 309

99 Abrindo ou fechando o registro de vazão, Reynolds controlava o valor da velocidade no tubo de vidro. Atuando no registro de corante a velocidade do filete oderia ser regulada ara coincidir com a velocidade no tubo. Q equeno V baixa filete de corante resente e nítido Laminar. Q médio V média filete intermitente ou difuso Transição. Q alta V elevada filete inexistente com mistura total Turbulento. O regime de transição de laminar ara turbulento deende de V, e ν. R e F in /F visc R e V./ν Em outro exerimento, Reynolds media a erda de carga em um trecho do escoamento, ara correlacionar com as velocidades médias, em uma tubulação de vidro de diâmetro constante. 30

100 Fig. xx Perda de carga em um escoamento em tubulação de diâmetro. diâmetro do tubo L comrimento do trecho no qual a erda de carga era medida V velocidade média no tubo, sendo V V V z z A equação de Bernoulli ode ser alicada ao escoamento entre os ontos e mostrados na figura, ertencentes a uma mesma reta horizontal, obtendo-se: V V z z γ g γ g Como as velocidades nos ontos e são iguais, assim como as cotas, a equação fica sendo aenas: 3 h

101 γ h γ γ A equação acima ermite determinar a erda de carga do escoamento, aenas medindo-se a diferença de ressão que se verifica entre os ontos e. Lembrete:. No caso de se usar um manômetro diferencial de mercúrio, a diferença de ressão seria: ( ρ m ρ) g h. Caso se utilize iezômetros ressurizados de água, ρ ag h Na rática constata-se que a erda de carga no trecho L não deende da ressão. Ela roorcional ao comrimento L, é inversamente roorcional ao diâmetro, deende da velocidade elevada a um exoente n, além de deender da rugosidade relativa do material da tubulação e do número de Reynolds. A erda de carga h : não deende de, roorcional a L, inversamente roorcional a, roorcional à velocidade elevada a um exoente n, deende de uma função de e/ e R e. 3

102 Fig. xx Perda de carga em função da velocidade ara escoamentos em tubulações sob ressão. Aumentando V: iminuindo V: efine-se V i e V s Aumentando V: 0 V i V s laminar iminuindo V: V s V i turbulento Semre que V < V i laminar: R e <.00 Semre que V > V s turbulento: R e > V i < V < V s transição:.00 < R e <

103 istribuições de velocidade Nos escoamentos em tubulações, a velocidade é nula na arede e máxima no centro. Entre a arede e o eixo a velocidade varia, deendendo do tio do escoamento. Quando o escoamento for laminar, a lei de variação será arabólica. Quando o escoamento se tornar turbulento, a arábola se torna achatada, ficando com maior variação junto às aredes e mais lana no centro. Esse achatamento é tanto maior quanto maior for a turbulência do escoamento, exressa elo número de Reynolds. A figura seguinte ilustra os erfis de velocidade ara os dois tios de escoamentos e mostra a velocidade média, calculada com a relação entre a vazão e a área transversal ao escoamento. Fig. xx Perfis de velocidade nos escoamentos laminar e turbulento. 34

104 Laminar: arábola Tubos concêntricos de velocidade variável Turbulento: arábola achatada. Quanto maior o R e mais achatada será a curva Camadas mais lentas róximas à arede se misturam com as camadas mais ráidas róximo ao centro turbilhões. Perda de energia devida ao atrito nas arede e à dissiação viscosa devida às ações internas das artículas nos redemoinhos ESCOAMENTO LAMINAR EM UTOS SOB PRESSÃO: Nesse escoamento o fluido se movimenta em filetes aralelos e bem definidos, redominam os esforços cisalhantes devidos à viscosidade do fluido. Esses esforços cisalhantes odem ser revistas ela lei de Newton da viscosidade, dada abaixo: dv τ µ ou dy dv τ µ dr 35

105 τ tensão cisalhante µ coeficiente de viscosidade dinâmica dv/dy gradiente de velocidade y R r dy -dr Perfil de velocidades v f(r) r 0 v V c V max velocidade no eixo do tubo dv dr 0 no eixo do tubo. τ 0 no eixo do tubo r R v 0 velocidade na arede do tubo dv é máximo junto às aredes do tubo dr τ τ o é máximo junto às aredes do tubo. Para estabelecer a equação de variação da velocidade de um escoamento em uma tubulação de raio R, lembrar que, na arede, onde r 0: τ o R 4L L 36

106 Como na linha central τ é nula, verifica-se que em uma osição radial, r, distante do centro da tubulação, a tensão cisalhante vale: τ r. L Mas a lei de Newton da viscosidade ermite calcular, também, essa tensão cisalhante, de maneira que: dv τ r µ dv rdr L dr Lµ Integrando a equação com a velocidade entre 0 e v e o raio entre R e r, ter-se-á: v 0 dv R R rdr Lµ v 4Lµ ( R r ) A equação acima mostra que ara uma dada diferença de ressão e um comrimento L de tubo, a velocidade varia com a osição radial segundo uma arábola. aí dizer que o erfil de velocidades nos escoamentos em tubulações de seção circular é arabólico. 37

107 Observações:. Se r R a equação revê v 0 arede. Se r 0 a equação revê v Vc R velocidade na linha 4Lµ central da tubulação, ou valor máximo da velocidade. 3. O erfil de velocidades ara escoamento laminar nas tubulações é escrito como: r V R v c Perfil de velocidades: Para um dado valor de V c ou de V e de R, ode-se traçar a curva v f(r), obtendo-se o erfil de velocidades conforme ilustrado na figura xx ara um escoamento hiotético. Nota-se que se trata de uma arábola que não assa ela origem e que tem um eixo de simetria coincidente com o eixo da tubulação. 38

108 Fig. xx Perfil de velocidades no escoamento laminar. eve ser salientado que na região de entradas de tubos de seção circular, o erfil de velocidades acima não tem a forma arabólica aresentada anteriormente. Exatamente na seção de entrada, o erfil é lano, com todas as velocidades de mesmo valor, qualquer que seja a osição radial. Na medida em que o escoamento vai acontecendo, as forças cisalhantes vão atuando e o erfil vai se modificando, com uma variação bem acentuada nas roximidades da arede e uma forma lana na arte central da tubulação, caracterizando o aarecimento de uma camada, denominada de camada limite laminar. A distância ara que o escoamento fique com um erfil arabólico em geral suera 50.. Tal distância ode ser avaliada or X, dado or: X 0,58.R e. 39

109 7.4.. Cálculo da vazão, Q A vazão total, Q, ode ser calculada à artir da vazão elementar dq, que atravessa uma área também elementar, da: Q Q dq vda A R r Vc rdr R π A 0 0 R v. π rdr π Q VcR Observação: Como Q AV πr V π V π R V Vc R V c É ossível determinar a osição onde ocorre a velocidade média no erfil de velocidades. Para tanto, é só fazer velocidades ara se ter r r. V r V V c R c r V c R y 0, 99R. v V r 0, 5 R, na equação do erfil de r 0, 707R ou 30

110 Conclui-se que a velocidade média no escoamento laminar ocorre a uma distância do eixo da tubulação igual a 0,707.R ou a 0,99.R da arede do tubo Perda de Carga no regime laminar: No escoamento laminar ode-se estabelecer uma equação simles ara se calcular a erda de carga, quer em função da velocidade, quer em função da vazão. Para tal, lembrar que: V c V e que V R c. 4L µ Então, V R 8µ L Exressando em função do diâmetro da tubulação,, já que R / e lembrando que h : γ γh V 3µ L Exlicitando o valor da erda de carga:. 3µ L V γ h 3

111 A equação acima é denominada de equação de Hagen-Poiseuille da erda de carga no escoamento laminar, exressa em função da velocidade média do escoamento. Em termos de vazão, visto que Q AV, Q 4Q V e V a equação A π anterior ode ser osta na forma: 8µ L Q πγ h 4 Essa equação acima é denominada de equação de Hagen-Poiseuille da erda de carga no escoamento laminar, sendo usualmente utilizada nos cálculos da erda de carga nos escoamentos em tubulações de diâmetro. Observações:. A erda de carga é diretamente roorcional à velocidade: h α V.. A erda de carga é diretamente roorcional à vazão: h α Q. 3. A erda de carga é inversamente roorcional à quarta otência do diâmetro: h α 4 4. A equação de Hagen-Poiseuille é válida ara escoamentos com número de Reynolds no máximo igual a.00. 3

112 Comarando o resultado encontrado ara a erda de carga com fórmula Universal, teremos: L V 3µ L 64µ g h f V f g γ γ V 64µ 64 Então: f ρv ρv µ v ρv Mas R e, de forma que: ν µ 64 f Exressão muito útil ara se calcular o fator de átrio ara o escoamento laminar em tubulações de seção circular. R e Observações: f não deende de e/; f só deende de R e ; logf log64 logr e O lançamento dos ares de onto (f, R e ) em num gráfico cartesiano com as escalas das abscissas e das ordenadas construídos em escala logarítmica resulta em uma linha reta, de inclinação -, conforme ilustra a figura xx. O mesmo resultado seria obtido se os ares de onto (log(f), log(r e )) fossem 33

113 lançados em um gráfico cartesiano com escalas lineares. Todavia isso não é usual, or questões ráticas. Fig. xx Variação do fator de atrito, f, com o número de Reynolds no escoamento laminar. EXEMPLO: Um escoamento laminar de água ocorre em uma tubulação de 00 mm de diâmetro de forma que o fator de atrito seja igual a 0,05. Se o comrimento da tubulação for igual a 00 m, ede-se: a) O número de Reynolds ara o escoamento; b) a vazão; c) a erda de carga na tubulação. 34

114 SOLUÇÃO a) Escoamento Laminar: f 64/R e R e 64/f 64/0,05 Re 54,9 b) Q A.V com A π. /4 Mas R e V./υ ou V R e. υ/ Q π.. υ.r e /4 Q πx0,00x,0x0-6 x54,9/4 9,86x0-5 m 3 /s Ou Q 0,0986 L/s ou Q 5,9 L/min c) h? h 8f/(π.g).L.Q / 5 8x0,05/( π.9,807).00.(9,86x0-5 ) /0,00 5 h 4,05x0-6 m 7.5. ESCOAMENTO TURBULENTO EM UTOS SOB PRESSÃO Fluido se movimenta de maneira desordenada; Agruamentos de moléculas animados de velocidades que se deslocam, de forma caótica, ara orções adjacentes de fluido, roduzindo forças cisalhantes de intensidades elevadas. Predominam esforços cisalhantes devido à turbulência. 35

115 7.5.. Escoamento na região de entrada dos tubos Quando um fluido em movimento alcança a região de entrada de uma tubulação, o escoamento assa or diferentes estágios até que o erfil de velocidades não mais se altere. Na seção de entrada da tubulação, não existe influência das tensões cisalhantes devido à arede, de maneira eu o erfil de velocidades é formado or uma figura lana, mantendo-se a velocidade constante em qualquer osição desta seção transversal de entrada. Todavia, à medida que o escoamento vai ocorrendo, a tensão cisalhante nas aredes da tubulação começa a agir, rovocando uma diminuição da velocidade junto à arede. Exatamente na arede, a velocidade é nula. este onto, a velocidade vai crescendo em direção eixo do tubo, atingindo um valor constante antes do eixo, formando uma camada de velocidade variável com a coordenada radial, r, denominada de camada limite laminar. Entre a camada limite laminar e o eixo do tubo, continua a existir uma camada de velocidade constante, com as características do escoamento de entrada, denominada de núcleo otencial. À medida que o escoamento avança à artir da seção de entrada da tubulação, a esessura da camada limite laminar vai aumentando até que ocorre uma instabilidade que quebra esta camada, fazendo aarecer uma camada muito fina junto à arede, de esessura δ, denominada de sub-camada laminar. Nesta subcamada laminar 36

116 redominam os efeitos viscosos característicos do escoamento laminar, com a velocidade variando aroximadamente de forma linear em direção ao eixo. Fig. xx Escoamento na região de entrada das tubulações. A região formada entre a sub-camada laminar e o núcleo otencial torna-se bastante turbulenta sendo denominada de camada limite turbulenta. Nesta camada redominam esforços característicos do escoamento turbulento, com a velocidade ainda variável e com intensas variações temorais. Essa camada limite turbulenta vai aumentando de esessura enquanto o escoamento continua se afastando da entrada da tubulação, até que o núcleo otencial deixe de existir. À artir desse onto, caracterizado or um comrimento X, medido à artir da seção de entrada, o erfil de velocidades não mais se altera e o escoamento é denominado de comletamente desenvolvido. a seção de entrada até o escoamento ficar comletamente desenvolvido denomina-se o 37

117 escoamento de escoamento em desenvolvimento. As duas figuras seguintes ilustram o escoamento que ocorre até que ele fique desenvolvido. Observar o desenho esquemático do erfil de velocidades traçado a algumas distâncias da entrada do tubo na figura xx, mostrando claramente a sua evolução. Fig. xx Perfis de velocidade na região de entrada das tubulações. Camada limite laminar Camada limite turbulenta Núcleo otencial Sub-camada laminar esessura δ 38

118 Na rática constata-se que o comrimento ara que o escoamento se torne comletamente desenvolvido fica entre 6 < X < 50. Exerimentos de laboratório ermitiram estabelecer o valor de X: X 0,8 0,5 Re Exemlo: Tubulação de 55 mm de diâmetro escoando água, com número de Reynolds igual a O comrimento do escoamento em desenvolvimento será X 78 mm. Como foi dito, mesmo sendo o escoamento turbulento, existem efeitos laminares ocorrendo na subcamada laminar, que ossui uma esessura δ. Observações simles de escoamentos na região de entrada reroduzidos em laboratório mostram que a esessura da sub-camada laminar é inversamente roorcional ao número de Reynolds do escoamento. δ α Re eois de inúmeras esquisas em laboratório, foi ossível estabelecer uma exressão ara a esessura da sub-camada laminar, ara escoamentos em tubos de diâmetro : 3, 8 δ Re f 39

119 A título de exemlo, ara demonstrar quão fina é a sub-camada laminar, suor um escoamento com número de Reynolds igual a , em um tubo de 55 mm de diâmetro, de forma que o fator de atrito seja 0,00. Nesse caso a esessura da sub-camada laminar será δ 0,3 mm. Lembrando que a velocidade de atrito é dada or demonstrar que,6ν δ. u * f u * V ode-se 8 IMPORTANTE: Notar que se R e cresce δ diminui Rugosidade das Tubulações As aredes que confinam os escoamentos, aredes das tubulações, não são absolutamente lisas. Elas ossuem uma rugosidade que é denominada de rugosidade absoluta e que reresenta a altura média das aserezas do tubo, conforme mostra a figura seguinte. Esse arâmetro é de difícil determinação na rática, razão ela qual costuma-se determinar a rugosidade absoluta equivalente ara os tubos comerciais existentes, conforme será visto mais à frente, nesse curso. 330

120 Rugosidade absoluta: e Altura média das aserezas do tubo Tubo comercial: e rugosidade absoluta equivalente. Fig. xx Rugosidade das tubulações. Rugosidade relativa: e/ Como as tubulações odem ser construídas de um mesmo material, orém com diversos diâmetros, é rática corrente definir a rugosidade relativa, e/, como sendo a relação entre a rugosidade absoluta e o diâmetro. Se Re > 00 f f(re,e/) e/ é tabelado ara diversos tubos comerciais 33

121 Muitos autores aresentam tabelas que ermitem obter a rugosidade absoluta equivalente ara os tubos comerciais existentes. Observa-se que existem equenas discreâncias entre os valores fornecidos, em decorrência da dificuldade em se medir a rugosidade. A tabela seguinte foi obtida do livro Hidráulica Básica, do rof. Rodrigo de Melo Porto. Tabela de Rugosidade Absoluta, e, ara tubos, em milímetros. Material e (equivalente) Tubos Novos (mm) e (equivalente) Tubos velhos (mm) Aço comercial 0,045 Aço galvanizado com costura 0,5 a 0,0 Aço galvanizado sem costura 0,06 a 0,5 Aço laminado 0,04 a 0,0 Aço laminado revestido com asfalto 0,05 Aço Rebitado,0 a 3,0 Aço Revestido*** 0,4 0,5 a, Aço Soldado 0,05 a 0,0 Aço Soldado, limo 0,5 a 0,0 Aço soldado, moderadamente oxidado 0,40 Aço soldado revestido com cimento centrifugado 0,0 Ferro Fundido 0,5 a 0,50 3,0 a 5,0 Cobre ou latão, vidro, PVC, lástico 0,005 a 0,00 Tubos estrudados em geral 0,005 a 0,00 (Segundo Hidráulica Básica de Rodrigo Melo Porto) 33

122 A tabela seguinte foi retirada do tradicional livro Manual de Hidráulica, do rof. Azevedo Neto. TABELA E RUGOSIAE ABSOLUTA, e, PARA TUBOS, EM MILÍMETROS (SEGUNO AZEVEO NETO) Material Tubos Novos Tubos velhos Aço galvanizado 0,5 a 0,0 4,6 Aço Rebitado,0 a 3,0 6,0 Aço Revestido 0,4 0,5 a, Aço Soldado 0,04 a 0,06,4 Cimento Amianto 0,05 Concreto bem Acabado 0,3 a,0 Concreto Ordinário,0 a,0 Ferro Forjado 0,04 a 0,06,4 Ferro Fundido 0,5 a 0,5 3 a 5 Ferro Fundido com revest. asfáltico 0,, Madeira em Aduelas 0, a,0 Manilhas Cerâmicas 0,6 3,0 Chumbo <0,0 (lisos) <0,0 (lisos) Cobre ou latão <0,0 (lisos) <0,0 (lisos) Vidro <0,0 (lisos) <0,0 (lisos) PVC Plásticos <0,0 (lisos) <0,0 (lisos) A ABNT, na NB 59/77, esecifica os valores da rugosidade absoluta equivalente ara diversos materiais. 333

123 RUGOSIAE ABSOLUTA EQUIVALENTE PARA TUBOS SEGUNO ABNT P-NB - 59/77, em milímetros Item escrição do Tubo e (mm) I. TUBO E AÇO: juntas soldadas e interior contínuo I. Grandes incrustrações ou tuberculizações,4 a,0 I. Tuberculização geral de a 3mm 0,9 a,4 I.3 Pintura a brocha, com asfalto, esmalte ou betume em 0,6 camada esessa I.4 Leve enferrujamento 0,5 I.5 Revestimento obtido or imersão em asfalto quente 0, I.6 Revestimento com argamassa de cimento obtida or 0, centrifugação I.7 Tubo novo reviamente alisado internamente e osteriormente revestido de esmalte, vinil ou eóxi obtido or centrifugação 0,06 RUGOSIAE ABSOLUTA EQUIVALENTE PARA TUBOS SEGUNO ABNT P-NB - 59/77, em milímetros Item escrição do Tubo e (mm) II. TUBO E CONCRETO II. Acabamento bastante rugoso: executado com formas de madeira muito rugosas, concreto obre com desgastes or erosão, juntas mal alinhadas,0 II. Acabamento rugoso: marcas visíveis de forma 0,5 II.3 Suerfície interna alisada a desemenadeira, juntas bem feitas II.4 Suerfície obtida or centrifugação 0,33 II.5 Tubo de suerfície lisa, executado com formas metálicas, acabamento médio com juntas bem cuidadas 0,3 0, 334

124 RUGOSIAE ABSOLUTA EQUIVALENTE PARA TUBOS SEGUNO ABNT P-NB - 59/77, em milímetros Item escrição do Tubo e (mm) II.6 Tubo de suerfície interna bastante lisa, executado com formas metálicas, acabamento esmerado e juntas bem cuidadas 0,06 III. TUBO E CIMENTO AMIANTO 0, IV. TUBO E FERRO FUNIO (NOVO) IV. Revestimento interno com argamassa de cimento e areia obtida or centrifugação com ou sem roteção de tinta a 0, base de betume IV. Não revestido 0,5 a 0,6 IV.3 Leve enferrujamento 0,30 V. TUBO E PLÁSTICO 0,06 VI. TUBOS USAOS VI. Com camada de logo inferior a 5 mm 0,6 a 3,0 VI. Com incrustrações de lodo ou de gorduras inferiores a 5mm 6,0 a 30,0 VI.3 Com material sólido arenoso deositado de forma irregular 60,0 a 300 Nota: Valores mínimos a adotar com tubos novos: a) ara adutoras medindo mais de 000m de comrimento adotar vezes o valor encontrado acima ara o tubo e o acabamento escolhidos; b) ara adutoras medindo menos de 000m de comrimento, adotar,4 vezes o valor encontrado na tabela ara o tubo e acabamentos escolhidos. 335

125 Fatores que influenciam na rugosidade das aredes dos tubos: Material emregado na fabricação; Processo de fabricação; Comrimento do tubo e número de juntas; Técnica de assentamento; Estado de conservação das aredes internas; Existência de revestimentos eseciais; Emrego de medidas rotetoras durante o funcionamento; Temo de uso do tubo. Na literatura encontram-se muitos valores ara a rugosidade equivalente dos tubos, não havendo uma concordância entre os autores, em decorrência da grande variabilidade nos fatores que influenciam a rugosidade absoluta. 336

126 Tabela das rugosidades absolutas, e, ara as tubulações em serviço, em milímetros (Segundo J.M. Azevedo Neto Modificada) TIPO E TUBULAÇÃO Aço com Ferro Fundido e F. útil AUTORES revestimento esecial ou esmalte Tubos de Concreto Sem Revestim. Com Revest. de Cimento Cimento Amianto Ferro Galvaniza do Chumbo, Cobre, Latão, PVC Tubos Cerâmico s SCNHP França 0, , egremont, (978) 0, 0, a 0,5 0, 0, 0, 0,0 0,03 a 0,,0 Lamont, (955) 0,06 0,5 a 0,50 0,5 0,5 0,05 0,5 Manual, BWEP, IWE, (96) 0,5 0, ,5 0,03 Chemical Engineers Handbook, (963) 0,05 0,3 0,6 -- 0,5 Internal Flow, BHRA 0,05 a 0,50 0, Piing Handbook, King/Crocker (967) 0, , Fair, Geyer e Okun (966) 0,03 a 0,09 0,3 a 3,0 0,06 a 0, -- 0,06-0,4 <0,03 R.W.Powell (95) 0,5 a, 0,3 a,0, -- 3,0 Hydraulic Institute (979) 0, ,4 -- 0,7 Armando Lencastre 0,06 a 0,5 0,06 a 0, Loinsley e Franzini (978) -- 0,3 a 3,0 0,6 0, 0,5 0,0 PNB 59 0,08 a 0, 0,08 a 0, ,4-0,0 0,4-0,0 0,08-0, Valores sugeridos 0,5 0,30 0,5 0,5 0,05 0,5 0,0 0,0,5 OBS: SCNHP Câmara Sindical Nacional; egremon M. Technique de l eau; Lamont Peter, IWSA, 3 º Congresso; BWEP British Water Engineering Practice; Chemical Engineers Handbook, R.H.Perry, 4 ª ed. (963); BHRA British Hydromechanics Research Association 337

127 Princíios de Hidráulica Básica No escoamento turbulento, verifica-se a existência de grandes massas se movimentando em turbilhões ou em vórtices, rovocando flutuações na velocidade em relação ao temo. Assim a velocidade instantânea num escoamento turbulento, V, ode ser considerada como sendo a soma de duas arcelas: a velocidade média temoral V e a flutuação de velocidade, v. Assim, em um intervalo de temo, T, considerado, V constante e v' variável no temo, de forma que: V T T Vdt 0 T e v dt 0 As velocidades acima consideradas odem ser comutadas em cada uma das direções dos eixos coordenados no esaço, ara se obter V x, V y e V z, em função de U, V e W e de u, v e w, resectivamente. 0 Fig. xx - Perfil de velocidades turbulentas e suas flutuações em torno de um valor médio No escoamento turbulento, segundo roosta de Boussinesq, a tensão cisalhante turbulenta é dada or: dv τ t η dy 338

128 Princíios de Hidráulica Básica Onde η é denominada de viscosidade turbulenta ou viscosidade de redemoinho, sendo uma roriedade do escoamento, deendendo do fluido e da intensidade da turbulência. Os valores da viscosidade turbulenta são mais elevados que a viscosidade dinâmica definida no escoamento laminar. Em estudos menos comlexos de turbulência a equação anterior ode ser muito útil Comrimento de mistura e erfil de velocidades Seja u e v as flutuações de velocidades nas direções Ox e Oy, resectivamente, devidas à turbulência na direção do escoamento médio e erendicular à esta direção, ara duas camadas róximas. Se houver um fluxo de massa erendicular ao escoamento médio, através de uma área elementar, da, o teorema da quantidade de movimento ermite escrever: Fluxo de massa: ρ.v.da Força cisalhante entre as camadas: df cis (ρ.v.da).u df cis τ t ρ. u. v da Os termos ρ.v..u são denominados de tensões de Reynolds ara o escoamento turbulento. Estudando a turbulência, Prandtl roôs que equenas massas de artículas são transortadas elo escoamento turbulento até uma distância média l, entre regiões com velocidades diferentes, quando as flutuações de velocidades forem de mesma ordem de grandeza. Por analogia com o conceito de caminho médio da tória molecular dos gases, Prandtl denominou a distância l de comrimento de mistura. Além disso Prandtl roôs qual a variação de velocidade de uma artícula que se desloca elo comrimento de mistura é roorcional a l.dv/dy, onde v é a velocidade média no onto e y uma 339

129 Princíios de Hidráulica Básica coordenada norma a v, medida à artir do contorno sólido que encerra o escoamento. Assim, se u v dv l dy Substituindo na equação da tensão cisalhante turbulenta dada acima, tem-se: τ t ρ l dv. dy Nessa equação, l é uma função de y e, assim como η, função da osição. Com base na teoria da semelhança entre erfis de velocidades na turbulência, von Kármán estabeleceu que o comrimento de mistura oderia ser dado or: dv dy l κ d v dy Em que κ é uma constante universal (adimensional), denominada de constante de von Kármán, característica de todo movimento turbulento, cujo valor exerimental é o,38 ara água lima e, em geral, assumida como sendo 0, Perfil de velocidades A obtenção do erfil de velocidades ara o escoamento turbulento, que exresse a variação da velocidade ao longo da osição transversal ao escoamento, denominada genericamente de v f(r), tradicionalmente decorre do conceito de comrimento de mistura introduzido or Prandtl. Para a dedução do erfil de velocidades, é comum fazer as seguintes hióteses:. Os esforços que ocorrem na região turbulenta são equivalentes aos que se desenvolvem junto à arede da tubulação. 340

130 Princíios de Hidráulica Básica. Os esforços que ocorrem são revistos ela equação da tensão cisalhante turbulenta vista anteriormente. 3. Variação linear do comrimento de mistura com a distância à arede, y, já que nessa região as flutuações de velocidades se anulam: l κy dv τ Assim,. o dv τ t τ o ρ κ. y κ. y dy ρ dy Searando as variáveis: u* dy dv κ y u * κ.y Sabe-se que ara y R v V c, a equação acima ode ser integrada entre os limites dados, tendo-se: v Vc y u* dy dv v R κ y Finalmente, tem-se: dv dy u* V ] y c ln y R v V c ( ln y R) κ u κ ln V c v R ln u* κ y Nesta equação, é comum substituir a constante de von Kármán, κ, or 0,40, o que fornece a lei universal da distribuição de velocidades ara o escoamento turbulento: V c v R,5ln u* y A equação acima, aesar de bastante utilizada, leva a algumas imrecisões quando y fica muito equeno (junto à arede). erivando a equação com relação a y, tem-se: dv u,5 * dy y * 34

131 Princíios de Hidráulica Básica Por esta equação, no centro da tubulação, onde y R, o gradiente de velocidade é finito (diferente de zero), contrariando as observações exerimentais que indicam um gradiente nulo. Também, ara y 0, o gradiente de velocidade deveria ser máximo, todavia a equação revê um gradiente de velocidade infinito. Aesar das inconsistências aontadas, a teoria de Prandtl não invalida a alicação rática do erfil de velocidades, que tem demonstrado ser bom. A figura seguinte ilustra o erfil de velocidades ara um escoamento em tubulação de diâmetro. Fig. xx - Perfil de velocidades no escoamento turbulento. A lei universal da distribuição de velocidades no escoamento turbulento ode ser escrita de outra maneira, denominada de lei da raiz enésima: r v Vc R Nesta lei, o valor de n varia conforme as condições do escoamento, conforme se segue: Tubo liso e 0 4 < R e < 0 5 n 7 Tubo Rugoso e R e > 4000 n 6 Tubo liso ou rugoso e R e > 3,.0 6 n 0 Nesses casos ocorre uma variação da relação entre a velocidade média e a velocidade na linha central, cuja variação vai de V 0, 80V c até V 0, 85V c. n 34

132 Princíios de Hidráulica Básica Em geral, ara os escoamentos comuns nas tubulações, no âmbito da engenharia, considera-se o erfil de velocidades dado or: 7 r v Vc lei da raiz sétima ara a distribuição de velocidades no R escoamento turbulento em tubos de raio R. Para n 7 V 0, 867V c Perda de carga no Escoamento Turbulento: Utilizada ara tubulações de comrimento no mínimo igual a 00. equação universal da erda de carga: L V h f g ou 8 f Q h L π g 5 rugosidade relativa e absoluta: e f ϕ, Re ESCOAMENTO TURBULENTO HIRAULICAMENTE LISO: ETHL Efeito da rugosidade do tubo é muito equeno, odendo ser desrezado. Fig. xx - esenho esquemático da esessura da sub-camada laminar e a rugosidade absoluta ara um ETHL. 343

133 Princíios de Hidráulica Básica e δ ode-se considerar que f indeende da rug. Relativa e < δ /, 7 efeito da rugosidade fica bastante reduzido Alguns autores usam o limite e < δ / 6 Na rática considera-se: e u* e e δ / 3 ou R e f < 4, 4 ou < 5 E.T.H.L. υ u * e número de Reynolds da rugosidade. υ Obs: Em laboratório ode-se ter até e < δ / 6 Nesse caso f f(r e ), ortanto indeendente de e/. Blasius roôs que no caso de escoamento turbulento com 3000<Re<0 5 : 0,5 f 0,36Re Observações: ) Essa equação é válida ara escoamentos com tubos muito lisos; sétima ) Nesse caso: ( ) 7 u u y / R, com y R r lei da raiz max Segundo Von Karman, se 4000 < Re < :,5 log f Re f Tal equação ainda ode ser escrita de outras formas: Re f log log Re f f,5 f ou ( ) 0, 8 EXEMPLO: Um escoamento de água, considerado desenvolvido, ocorre em uma tubulação de 50 mm de diâmetro de forma que a velocidade na linha central seja de,800 m/s. Sabendo que a velocidade média do escoamento ocorre em uma osição igual a 75,77 % do raio do tubo em relação ao eixo do mesmo e adotando a lei da raiz sétima ara reresentar o erfil de velocidades, calcular a vazão do escoamento. SOLUÇÃO Escoamento desenvolvido, turbulento, hidraulicamente liso: 50 mm e V c,800 m/s. ado: v V r 75,77/00R ou r 0,7577R 344

134 Princíios de Hidráulica Básica r A lei da raiz sétima informa que: v Vc, de maneira que R V,800( 0,7577) 7 V,800( 0,43) 7 7 V 8,87 m/s Vazão: Q A.V π..v/4 πx0,050 x0,87/4 0,006 m 3 /s ou Q,6 L/s ESCOAMENTO TURBULENTO HIRAULICAMENTE RUGOSO: ETHR Para valores elevados de turbulência: δ torna-se muito equeno Se R e é elevado δ torna-se muito equeno Fig. xx - esenho esquemático da esessura da sub-camada laminar e a rugosidade absoluta ara um ETHR. Se: e,5δ o efeito da rugosidade torna-se muito imortante. como f só deende de e/, o escoamento no tubo é considerado hidraulicamente rugoso. Na rática utiliza-se: e 8δ ou R e f e u* e > 98 ou > 70 considera-se o E.T.H.R. υ Obs: Alguns autores consideram e 3δ ara se ter E.T.H.R. Segundo Von Karman e Nikuradse: 345

135 Princíios de Hidráulica Básica e log f 3, 7 A equação acima ainda ode ser escrita nas formas:,74 log ou,4 log f e f Exlicitando o valor de f, tem-se: e. f 0,38 log e ESCOAMENTO TURBULENTO E TRANSIÇÃO: ETT R e não é muito elevado \ influência da rugosidade e do R e. δ não é muito equeno / Se o nível de turbulência não é elevado: e u* e e δ/3 e 8δ ou 4,4 < R e f < 98 ou 5 < < 70 f f, Re υ Proosta de Colebrook e White: f e,5 log 3,7 Re f A equação acima também é encontrada nas seguintes formas: e 9,35,4 log ou e 8,7,74 log f Re f f Re f Observar que o valor de f não ode ser exlicitado. O seu cálculo envolve conhecimento de cálculo numérico. Observações: 346

136 Princíios de Hidráulica Básica. A equação de Colebrook e White é articularmente indicada ara a faixa de transição que se observa entre os escoamentos turbulentos hidraulicamente liso e hidraulicamente rugoso.. A equação de Colebrook e White se reduz à equação de von Kárman ara ETHL quando a rugosidade relativa se aroxima de zero. a mesma forma ela se aroxima da equação de von Kárman ara ETHR, quando o número de Reynolds cresce muito, tendendo ara infinito. 3. Fórmula exlícita aroximada ara 4000 < R e <.0 7 : f e 6 0 Re 4. Searação das regiões no ábaco de Moody: Ve f / 8 00ν IAGRAMA OU ÁBACO E MOOY: Moody (944), afim de evitar longos cálculos roôs um gráfico que ermite calcular o fator de atrito, com f no eixo das ordenadas e R e no eixo das abscissas, ambos em escala logarítmica. iagrama de Moody: Região de escoamento laminar Região crítica Região de escoamento hidráulicamente liso (ETHL) Região de escoamento de transição (ETT) Região de turbulência comleta (ETHR) 347

137 Princíios de Hidráulica Básica 348

138 Princíios de Hidráulica Básica RESUMO: ESCOAMENTO LAMINAR: f 64/Re Re <.300 ESCOAMENTO TURBULENTO HIRAULICAMENTE LISO: Blasius: Von Karman: f 0,5 f 0,36Re < Re < 0 5 :,5 log Re f < Re> : ESCOAMENTO TURBULENTO HIRAULICAMENTE RUGOSO: e Von Karman e Nikuradse: log f 3, 7 ESCOAMENTO TURBULENTO E TRANSIÇÃO: Colebrook e White: e,5 log f 3,7 Re f 349

139 Princíios de Hidráulica Básica FÓRMULAS EXPLÍCITAS PARA O CÁLCULO a equação universal da erda de carga, ode-se exlicitar o valor da velocidade: L V h f h f V J g L fv gj V g gj f V gj f Com a equação de Colebrook-White, a simles substituição de f leva a: e com V V e,5 gj log 3,7 Re f V R e : υ e,5υ gj log 3,7 gj Equação que ermite calcular a velocidade média do escoamento em uma tubulação de diâmetro, rugosidade relativa e/, quando imosta uma erda de carga unitária, J. Para o cálculo da vazão em um escoamento em conduto forçado, usando-se a equação de Colebrroke-White: π Q 5 e,5 g J.log 3,7 Re f Fórmula aroximada de Swamee-Jain(976), ara 0-6 e/ 0 - e R e 0 8 : 350

140 Princíios de Hidráulica Básica 0,5 e 5,74 f ou log 0, 9 e 5,74 f 3,7 Re log 0,9 3,7 Re Mais recentemente, Swamee-Jain(993), aresentou uma nova fórmula ara o cálculo do fator de atrito, válida ara escoamento laminar e turbulento, quer seja liso, rugoso ou de transição: f 64 R e 8 6 e 5, , 5 ln R e R, e, 6 8 Sousa-Cunha-Marques, 999 (erro 0,3% em relação a Colebrook-White): f e 5,6 e 5,09 log log 0, 3,7 Re 3,7 Re 87 Haaland, 983 (erro 0,0% em relação a Colebrook-White): f e,8 log 3,7, 6,9 Re Barr, 97 (erro 0,375% em relação a Colebrook-White): f e 5,5 log 0, 3,7 Re 89 35

141 Princíios de Hidráulica Básica Churchill, 973 (erro 0,393% em relação a Colebrook-White): f e log 3,7 7 Re 0,9 Camargo-Barr-Colebrook-White (00): f e 5,0 e 5,5 log log 0, 3,7 Re 3,7 Re 89 Camargo-Swamee-Jain-Colebrook-White (00): f e 5,0 e 5,74 log log 0, 3,7 Re 3,7 Re 9 Q e : Outras exressões de Swamee-Jain(993) ara o cálculo exlícito de J, J 0, 03 Q e log 3, 7 g 5 5, 74 0, 9 R e Para o cálculo da vazão no escoamento: Q π gj e log 3, 7, 78 ν gj Para o cálculo do diâmetro da tubulação: gj 0, 66 Q 0, gj e Q 35 0,, 5 ν gjq 3 0, 0, 04

142 Princíios de Hidráulica Básica Em geral, nos rojetos que envolvem a condução de água através de tubulações, as velocidades médias ficam na faixa de 0,50 m/s a 3,00 m/s. Se considerarmos que essas tubulações têm diâmetros variando entre 50 mm e 800 mm, o número de Reynolds ficará entre 0 4 e Nesses casos o diagrama de Moody indica que o regime de escoamento é turbulento de transição (ETT) e as equações de revisão do fator de atrito levam a resultados arecidos, isto é, com erros inferiores a %. As rugosidades absolutas dos diversos materiais emregados na fabricação dos tubos é um arâmetro difícil de ser obtido com recisão. Essa rugosidade varia muito com o tio de acabamento da suerfície interna do tubo, do rocesso de fabricação e até mesmo do temo de uso da tubulação. Assim, a literatura técnica e os fabricantes tentam esecificar valores ara essa rugosidade, que são às vezes discreantes entre si. É comum esecificar faixas de variação da rugosidade absoluta, cabendo ao rojetista escolher o valor correto em função da sua exeriência rática e do bom senso. Testes de laboratório normalmente levam a rugosidades algo menor que as encontradas nas tubulações industriais, visto que geralmente elas são menores e montadas com mais cuidado. RUGOSIAE EQUIVALENTE É definida como a rugosidade de uma tubulação que gera a mesma erda de carga revista ela fórmula universal da erda de carga e com a utilização das equações ara o Escoamento Turbulento Hidraulicamente Liso (equação de von Kárman), Hidráulicamente Rugoso (Von Karman e Nikuradse) e de Transição (Colebrook-White). A tabela seguinte aresenta valores da rugosidade equivalente ara os materiais usualmente emregados na fabricação de tubos. Estes valores são os que se utilizam da equação de Colebrook-White 353

143 Princíios de Hidráulica Básica ou do diagrama de Moody. A tabela seguinte, ilustra valores da rugosidade equivalente ara alguns materiais. Material do tubo Rugosidade Equivalente (mm) Aço comercial 0,06 Aço galvanizado 0,6 Aço com ferrugem leve 0,5 Aço com grandes incrustações 7 Aço com cimento centrifugado 0, Aço revestido com asfalto 0,6 Aço revestido c/ esmalte, vinil, eóxi 0,06 Alumínio 0,004 Concreto muito rugoso Concreto rugoso 0,5 Concreto liso 0, Concreto muito liso 0,06 Concreto alisado centrifugado 0,3 Concreto liso formas metálicas 0, Ferro fundido asfaltado 0, Ferro galvanizado 0,5 Ferro fundido não revestido, novo 0,5 Ferro fundido com ferrugem leve,5 Ferro fundido com cimento centrifugado 0, Fibrocimento 0, Manilha cerâmica 0,3 Latão, cobre 0,007 Plásticos 0,06 Rocha (galeria) não revestida 0,35 Valores extraídos de Assy, Jardim, Lencastre, Quintela, Simon, Tullis. 354

144 Princíios de Hidráulica Básica 7.6. CÁLCULO AUTOMÁTICO Método de Newton-Rahson: raiz de F(x) 0...fazer figura... x x0 F( x ) 0 x 0 m xm F( x 0 x x0 ( df ) ( df ) dx x dx 0 x0 F( x ) m ( df ) dx x m ) Generalizando: Se Então: 9,35 ( ),4 log e F f 0 f Re f df df f f f e 9,35log e 9,35 Re f Re f Partindo de um valor f 0 iteramos até encontrar f com a recisão desejada: f m f m F( f m ) df df x m 355

145 Princíios de Hidráulica Básica 7.7. EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO. Calcular a erda de ressão devida ao atrito no escoamento em uma tubulação de PVC (e0,005mm), de 50 mm de diâmetro e 500 m de comrimento, horizontal, escoando 4 l/s de água a 0ºC (ρ 998, kg/m 3 e ν, m /s). γ.h , Pa 356

146 Princíios de Hidráulica Básica. Uma tubulação de aço soldado novo (e 0,0 mm) tem 4 de diâmetro e conduz l/s de água a 5ºC (ρ 998,0 kg/m 3 e ν 0, m /s). Considerar dois ontos A e B dessa tubulação, distantes 500 m um do outro. Sabe-se que a cota iezométrica de B é igual à cota geométrica de A. Sabendo que o escoamento se dá de A ara B, calcular a ressão disonível em A, em mca. z B B /γ z A A /γ 9,934 m e A 97 4 Pa 357

147 Princíios de Hidráulica Básica 3. Num ensaio de camo ara determinação da rugosidade da arede de uma adutora de 6 de diâmetro, mediu-se a ressão em dois ontos A e B, distantes.07m um do outro. A vazão de água na tubulação era de 6,5 l/s e a diferença de nível entre A e B era de 30 m, sendo a cota de A menor que a cota de B. A ressão medida em A foi de 68,6 N/cm e em B foi de 0,6 N/cm. eterminar a rugosidade absoluta média, e, da adutora. e 0,43 mm 358

148 Princíios de Hidráulica Básica 4. A água flui em uma tubulação de 50 mm de diâmetro e 00 m de comrimento, horizontal, de rugosidade absoluta e 0,05mm. Sabendo que a queda de ressão ao longo do comrimento não ode exceder 50 kpa, calcular a velocidade média da água no escoamento e a vazão. V,478 m/s e Q,90 l/s. 359

149 Princíios de Hidráulica Básica 5. A água a 0ºC (ρ 999,8 kg/m 3 e ν,3.0-6 m /s) escoa or uma tubulação de concreto com suerfície interna alisada a desemenadeira e com juntas bem feitas (e 0,3 mm segundo a ABNT) de 3,00 m de diâmetro, de maneiras que a erda de carga seja de m/km. Calcular a vazão escoada. Q 0,35 m 3 /s 360

150 Princíios de Hidráulica Básica 6. Uma tubulação horizontal de aço soldado (e, mm) deve conduzir 500 l/s de água a 0ºC (ρ 999,8 kg/m 3 e ν,3.0-6 m /s). Suondo que a erda de carga unitária é igual a 5 m/km, dimensionar a tubulação necessária. 0,68 m. 36

151 Princíios de Hidráulica Básica 7. Um conduto de PVC (e0,005mm), com 50mm de diâmetro e 450 m de comrimento deve conduzir uma vazão de 4,0 l/s de água a 0ºC (ρ 998, kg/m 3 e ν,0.0-6 m /s). eterminar: a) o fator de atrito e o regime de escoamento no conduto; b) a erda de carga e a esessura da subcamada laminar no conduto; c) a mínima vazão ara que o escoamento nesse conduto fosse turbulento hidraulicamente rugoso; d) iscutir o valor encontrado no item anterior. a) f 0,08; b) h 34,658 m e δ 0, mm; c) f 0,0096, V.347, m/s e Q,645 m 3 /s, valores muito elevado e fora da realidade; d) f muito baixo, Re elevado, velocidade e vazão elevadas e imossíveis de ocorrer numa tubulação de 50 mm de diâmetro. 36

152 Princíios de Hidráulica Básica 8. Uma tubulação de aço rebitado (e3,0mm), com 0,30m de diâmetro e 300 m de comrimento, conduz 30 l/s de água a 5,5ºC (ρ 998,5 kg/m 3 e ν,3.0-6 m /s). eterminar a velocidade média e a erda de carga do escoamento na tubulação. V,84 m/s h 6,55 m 363

153 Princíios de Hidráulica Básica 9. ois reservatórios estão interligados or uma canalização de ferro fundido (e 0,6mm) com 0,5m de diâmetro e 360 m de extensão. eterminar a velocidade e a vazão de água no momento em que a diferença de nível entre os reservatórios igualar-se a 9,30m. A temeratura da água é de 6,5ºC (ρ 998,4 kg/m 3 e ν,3.0-6 m /s). V,806 m/s Q 0,039 m 3 /s 364

154 Princíios de Hidráulica Básica 0. eterminar o diâmetro necessário ara que um encanamento de aço (e 0,046mm) conduza 9 l/s de querosene a 0ºC (ρ 799,8 kg/m 3 e ν, m /s), com uma erda de carga que não exceda 6m em.00m de extensão do encanamento. 0,67 m 365

155 Princíios de Hidráulica Básica. Uma canalização de aço, nova (e 0,046m), com 50m de comrimento, transorta gasolina a 0ºC (ρ 79,0 kg/m 3 e ν 7,.0-7 m /s), de um tanque ara outro, com velocidade média de,44 m/s. eterminar o diâmetro e a vazão da canalização, conhecida a diferença de nível entre os dois reservatórios, que é de,86m. 0,46 m Q 0,040 m 3 /s. 366

156 Princíios de Hidráulica Básica. Qual a vazão de água que assa através de uma tubulação horizontal de aço comercial de 50 mm de diâmetro (e0,05mm), sabendo que a carga iezométrica em um onto da tubulação vale,5 mca e que 90 metros aós a carga iezométrica somente vale 0,3m? Q 0,065m 3 /s. 367

157 Princíios de Hidráulica Básica 3. Em um ensaio de laboratório com uma tubulação de aço galvanizado de 50 mm de diâmetro, instalou-se duas tomadas de ressão situadas a 5,0 m uma da outra. A diferença de nível entre as duas tomadas de ressão é de,0 m. As tomadas de ressão foram ligadas a um manômetro diferencial de mercúrio (massa esecífica kg/m 3 ) que indicou uma diferença de nível de 50 mm na coluna de mercúrio, quando a velocidade da água escoando no sentido ascendente vale, m/s, conforme indicado na figura. Nesse caso ede-se: a) a vazão e o número de Reynolds ara o escoamento; b) a diferença de ressão entre as duas tomadas de ressão e a erda de carga no trecho considerado; c) o fator de atrito do escoamento através da tubulação; d) a tensão cisalhante na arede da tubulação e a velocidade de atrito; e) traçar, esquematicamente, as linhas iezométrica e de energia, suondo que a ressão na rimeira tomada de ressão seja 49 kpa. 368

158 Princíios de Hidráulica Básica a) Q 4, l/s e R e b) 8 63 Pa e h,88 m c) f 0,079 d) τ o 5,38 N/m e u * 0,4 m/s e) z 0 m; /γ 5,00 m e V /(g) 0,5 m; z,0 m; /γ, m. 369

159 Princíios de Hidráulica Básica 7.8. FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA A PERA E CARGA EM TUBULAÇÕES CIRCULARES urante muitos anos, diversas fórmulas emíricas foram roostas, todas elas sem uma base científica forte e com validade muito esecífica, estabelecidas com a ajuda da análise exerimental de um conjunto de dados obtidos sob determinadas condições. As fórmulas emíricas comumente encontradas na literatura odem, via de regra, ser colocadas na forma geral: Q J K Onde Q é a vazão do escoamento, o diâmetro da tubulação e K uma constante a ser determinada em cada caso. n m Fórmula Universal: A fórmula universal ou fórmula de arcy-weisbach foi obtida à artir de estudos científicos sobre dados de escoamentos aresentados or diversos autores, considerando o estado das aredes da tubulação e as condições hidrodinâmicas do escoamento. Tal fórmula tem sido alicada com sucesso ao longo dos últimos 60 anos, tanto ara tubulações novas quanto ara tubulações com alguns anos de uso. Ela tem sido cada vez mais aerfeiçoada elos esquisadores e tem sido alicada tanto ara a água quanto ara outros líquidos. A rória fórmula universal ode ser osta na seguinte forma, em função da velocidade média do escoamento na tubulação: L V h f g e, se for definida a erda de carga unitária, J, tal que: tem-se h J, L 370

160 Princíios de Hidráulica Básica J f Uma vez que a velocidade média ode ser colocada em função da vazão, de forma que V g Q 4Q V A π A fórmula universal ode ser escrita em função da vazão da seguinte forma: 8 f Q J π g 5 Nesta fórmula, adotando-se 8 f, tem-se: π g K Q J K Observações:. nesse caso n e m 5;. a soma dos exoentes é mn 7; 3. nesse caso K tem unidades e varia conforme o regime de escoamento (já que deende de f que varia com a rugosidade relativa e com o número de Reynolds do escoamento) Fórmula de Hazen-Williams: É uma fórmula emírica muito usada na rática da Engenharia Sanitária dos Estados Unidos, estabelecida or Allen Hazen (engenheiro civil e sanitarista) e Gardner S. Williams (rofessor de hidráulica) or volta de 903. Muito alicada ara cálculos de redes de distribuição de água, adutoras e sistemas de recalque e fornece resultados excelentes nos seguintes casos:. Água a 0 º C com tratamento estatístico dos dados 50mm 3500mm 37

161 Princíios de Hidráulica Básica V 3 m/s ETT Onde: A fórmula roosta é escrita como sendo: 0,643 Q J 4,87 C,85 0,63 ou V 0,355C J J erda de carga unitária (m/m); Q vazão (m 3 /s); V velocidade média na tubulação (m/s); diâmetro da tubulação (m) e C constante de Hazen-Williams. 0,54 0,643 Observar, que na fórmula de Hazen-Williams, K, n,85 e, 85 C m 4,87. Assim a forma geral da equação da erda de carga é satisfeita. Observações:. a soma dos exoentes m e n é 6,7 (róxima de 7);. a constante C ossui unidades (m 0,367.s - ); 3. C varia com a natureza dos materiais e com o estado das aredes do tubo; 4. C é tabelado ara diversos materiais; 5. C é grande ara tubo liso e equeno ara tubo rugoso. Na literatura odem ser encontrados tabelas ou ábacos que facilitam a utilização desta equação, todavia hoje, com o advento das calculadoras científicas e dos comutadores, tais ábacos estão em desuso, razão ela qual não serão aresentados nesse texto. Em condições de laboratório ou em instalações executadas com bastante caricho, tem sido determinado exerimentalmente valores ligeiramente maiores dos que estão aresentados na literatura ara o coeficiente C. Em 37

162 Princíios de Hidráulica Básica rojetos é reciso cuidado ao se avaliar o valor de C tendo-se em vista que fatores ráticos que tendem a diminuir o seu valor. Concorre ara isso o efeito das juntas, das rebarbas na montagem, da falta de alinhamento dos tubos, de irregularidades eventuais no assentamento dos tubos, dentre outros. Na tabela seguinte, são fornecidos os valores do coeficiente C ara as diversas situações, PERAS E CARGA VALORES COEFICIENTE C E HAZEN-WILLIAMS MATERIAL C MATERIAL C Aço corrugado (chaa ondulada) 60 Concreto, bom acabamento 30 Aço galvanizado roscado (novos) 5 Concreto, acabamento comum 0 Aço galvanizado roscado (em uso, 0 Ferro fundido c/ revestimento em 40 com 0 anos) eóxy, novo Aço rebitado, novo 0 Ferro fundido c/ revestimento em 0 eóxy, com 0 anos de uso Aço rebitado, com 0 anos de uso 90 Ferro fundido (FoFo), revestido com 30 cimento, novo Aço soldado comum, com 5 Ferro fundido (FoFo), revestido com 03 revestimento betuminoso cimento, aós 0 anos Aço soldado comum, com 40 Grés cerâmico vitrificado 0 revestimento eoxy, novo (manilhas), novas Aço soldado comum, com 30 Latão, novo ou usado 30 revestimento eoxy, 0 anos uso Aço soldado comum, com 5 Madeira em aduelas, novo 0 revestimento eoxy, 0 anos uso Chumbo, novo 30 Tijolos, condutos bem executados 00 Cimento-amianto novo 40 Vidro, novo ou usado 40 Cobre, novo 40 PVC ou lásticos, novo 40 Cobre, 0 anos uso 35 PVC ou lásticos, 0 anos de uso 35 Cobre, 0 anos uso 30 PVC ou lásticos, 0 anos de uso 30 Obs: * Manual de hidráulica Azevedo Neto e G.ª Alvares Segundo Rodrigo de Melo Porto: Aço Corrugado (chaa ondulada) 60 Ferro Fundido, usado 90 Aço galvanizado 5 Aço c/ juntas lock-bar, novo 30 Aço c/ juntas lock-bar, em serviço 90 Ferro fundido revestido de cimento 30 Ferro Fundido, novo 30 Tubos extrudados, PVC 50 Ferro Fundido, aós 5-0 anos de uso

163 Princíios de Hidráulica Básica A fórmula de Hazen-Williams ode ser comarada com a fórmula universal, igualando-se a erda de carga revista em ambas. Nesse caso, ara água ura a 0ºC (ρ 998, kg/m 3 e ν,0.0-6 m /s) conclui-se que: C f 0,54 43 R 0,08 e A equação acima mostra que C não é exatamente constante, deendendo do diâmetro, da rugosidade e das condições do escoamento. Tal fórmula deve ser vista com reservas, ois somente fornece bons resultados em alguns casos eseciais. Quando for necessária uma avaliação rigorosa da erda de carga ela não deve ser utilizada, devido às suas incertezas. 0,0 VANTAGENS A FÓRMULA E HAZEN-WILLIAMS É uma fórmula resultante de um estudo estatístico sobre um grande número de dados exerimentais obtidos or diversos esquisadores e de observações ráticas dos autores. Para determinação do coeficiente C os exoentes de Q e foram determinados de forma a minimizar a variações de C ara o mesmo grau de rugosidade de um tubo, indeendentemente do seu diâmetro. Assim C fica sendo função aenas da natureza das aredes que formam a tubulação. Por ter sido muito utilizada, a fórmula ermitiu que fossem obtidos valores de C ara muitas situações ráticas encontrada na engenharia, ermitindo, inclusive, considerar o efeito do envelhecimento das tubulações. Os limites de alicação da fórmula são mais amlos que os de outras fórmulas que ossua o mesmo objetivo. EFEITO O ENVELHECIMENTO AS TUBULAÇÕES O engenheiro ao rojetar uma instalação hidráulica recisa levar em conta o efeito do envelhecimento das tubulações, adotando coeficiente C menores que o indicado elos fabricantes, revendo que o aumento da 374

164 Princíios de Hidráulica Básica rugosidade das aredes leva a uma diminuição do valor de C e, consequentemente, a uma diminuição da vazão nas condições do escoamento. Tabela com o valor do coeficiente de Hazen-Williams ara diversos materiais das tubulações, quando novos, com 0 anos de uso e com 0 anos de uso, segundo o Prof. Azevedo Neto, aresentada no seu Manual de Hidráulica. PERAS E CARGA VALORES COEFICIENTE C E HAZEN-WILLIAMS MATERIAL C C C (novo) (0 anos) (0 anos) Aço corrugado (chaa ondulada) Aço galvanizado (roscado) Aço rebitado Aço soldado comum (c/ revestim. betuminoso) Aço soldado com revestimento em eóxi Chumbo Cimento-amianto Cobre Concreto, com bom acabamento Concreto, com acabamento comum Ferro fundido, com revestimento em eóxi Ferro fundido, revestido com argamassa de cimento Grés cerâmico vitrificado (manilhas) Latão Madeira em aduelas Tijolos, condutos bem executados Vidro Plásticos (PVC) Obs: * Manual de hidráulica Azevedo Neto e G.ª Alvares Existem numerosos estudos ara se determinar o efeito do envelhecimento em tubulações de ferro fundido e aço. Um dos rinciais fatores que afetam a corrosão é o H do líquido em escoamento. 375

165 Princíios de Hidráulica Básica VER ITEM 8..9, PG 5 O MANUAL E HIRÁULICA O AZEVEO NETO. Gráficos de C elo temo de uso, ara diversos tios de águas mostram uma grande variabilidade, orém semre tem-se C decrescente com o temo de uso Fórmula de Fair-While-Hsiao: É uma fórmula mais recente (930), muito usada em rojetos de instalações rediais de água fria ou quente. O escoamento é caracterizado or trechos curtos de tubos de equeno diâmetro intercalados com diversas conexões ou mesmo com redução de diâmetro. Recomendada ela ABNT Usada ara 50mm,88 Q Aço galvanizado novo com água fria: J 0,000 4, 88,75 Q Cobre ou latão com água fria: J 0, , 75,75 Q Cobre ou Latão e água quente: J 0, , 75,75 Q PVC rígido e água fria: J 0, , 75 A forma geral da erda de carga é obtida, com n,75 e m 4,75 se a tubulação for lisa e n,88 e m 4,88 se a tubulação for rugosa. Nesses casos o K assume valores distintos, deendendo se a tubulação é lisa ou rugosa e se está sendo usada ara conduzir água fria, água quente ou um outro líquido. 376

166 Princíios de Hidráulica Básica Fórmula de Flamant: É uma fórmula que tem sido mais utilizada ara tubulações de equeno diâmetro de ferro, aço ou aço galvanizado comuns em instalações rediais, mesmo sendo de 89. Para PVC Rígido e água fria e ara 6 mm 60 mm e 0, V 4,75 Q m/s: J 0, , 75 e uma maneira geral, a fórmula de Flamant ode ser osta sob a forma: 7,75 4b V Q J ou J 6,045b 4, 75 Para PVC rígido e água fria, com diâmetros entre 0 e 000 mm, temse, segundo a TIGRE fabricante desses tubos: b 0, Para diâmetros variando entre 0 e 000 mm, tem-se: Ferro ou aço novo e tubulação de concreto liso: b 0, Ferro ou aço usado: b 0, Canos de chumbo: b 0, Cobre: b 0,00030 PVC e lásticos: b 0, Fórmula de Manning: Ao estudar os escoamentos em condutos livres (canais), Manning afirmou que a velocidade média do escoamento e a vazão variam com a área A, o raio hidráulico R h e a declividade do fundo segundo as relações: 377

167 Princíios de Hidráulica Básica 3 R h I o ou Q AR h I o n n 3 V Nessas equações n é o coeficiente de rugosidade de Manning, determinado ara cada tio de suerfície que reveste as aredes e o fundo dos canais. Substituindo I o or J e lembrando que ara os condutos de seção circular Q π /4 e que R h A/P e /4, ode-se demonstrar que: V Q J 6,3496n e J 0,936n,333 5, 333 Nessas equações a dificuldade adicional fica or conta de se determinar o valor da constante de Manning ara os tubos. aí constatar-se o ouco uso das equações na revisão dos escoamentos em tubulações de seção circular. Observações:. Observar que 6, /3 e 0, /3 /π ;. O exoente do diâmetro na equação da velocidade é,333 4/3 e na equação da vazão é 5,333 6/ Outras Fórmulas: Fórmula de Scobey: ara tubulações circulares em concreto. Fórmula de Glauker-Strickler: ara tubulações de concreto, ferro fundido e aço soldado de maiores diâmetros. 378

168 Princíios de Hidráulica Básica Gráficos e Tabelas: Muitos fabricantes de tubos fornecem tabelas ou gráficos destinados a calcular a erda de carga nos escoamentos em seus condutos. É o caso da Tigre, Amanco ou Cia Metalúrgica Barbará. Tabela de Perda de Carga ara tubulações de PVC, fornecida ela EBARA Bombas Submersas (Fabricante de bombas) Perda de carga em 00 metros (m/00m) de tubulação retilínea Vazão iâmetro nominal " /4" /" " /" 3" 4" 5" 6" (m 3 /h) iâmetro Interno (mm) 6,6 34,8 40,0 50,6 65,6 78, ,0,49 0,4 0, 0,07 0, ,5 3,04 0,85 0,44 0,5 0,04 0, ,0 5,0,40 0,7 0,5 0,07 0, ,5 7,4,07,07 0,37 0, 0, ,0 0,,85,47 0,53 0,5 0,06 0, ,5 3,38 3,73,93 0,70 0,0 0,08 0, ,0 6,90 4,7,43 0,90 0,5 0, 0, ,5 0,77 5,80,99, 0,3 0,3 0, ,0 4,97 6,97 3,60,35 0,38 0,6 0, ,0 34,36 9,59 4,95,90 0,54 0, 0,06 0, ,0 45,00,56 6,48,5 0,7 0,30 0,08 0, ,0 56,84 5,86 8,9 3,3 0,9 0,38 0,0 0,04 0,0 9,0 69,85 9,49 0,06 4,0,4 0,48 0,3 0,04 0,0 0,0 84,00 3,44,0 4,89,38 0,58 0,5 0,05 0,03, ,5 6,64 6,85,93 0,8 0, 0,07 0,04 4, ,4,80 9,,57,08 0,9 0,0 0,05 6, ,35 7,53,67 3,30,38 0,37 0,3 0,06 8, ,67 33,84 4,5 4,0,7 0,46 0,6 0,08 0, ,84 40,69 7,64 4,98,09 0,55 0,9 0,09 Observações:. Para " e /" erda de carga em tubos de PVC Akros/Fortilit e ara tubos acima de /" erda de carga em tubos de PVC Tigre;. As erdas de cargas foram calculadas ela fórmula de Flamant nas tubulações até /" e ela fórmula de Hazen-Williams (com C 30) ara diâmetros acima de /" 379

169 Princíios de Hidráulica Básica Tabela de erda de carga em 00 metros de tubulação retilínea, de aço galvanizado, baseada no Manual de Tubulações da emresa Tuy Tubos e Conexões, com modificações e adaatações. PERA E CARGA EM 00 METROS E TUBULAÇÃO E AÇO GALVANIZAO J (m/00m) Vazão iâmetro Nominal (olegadas) Vazão iâmetro Interno (mm) (L/s) /" 3/4" " /4" /" " /" 3" 4" 5" 6" (L/s) 5,8 0,9 6, ,9 50,8 63,5 76, 0,6 7 5,4 0,00 0, ,00 0,05, ,05 0,0 4,88, ,0 0,5 0,33, ,5 0,0 7,58 4,5, ,0 0,5 6,55 6,83, ,5 0,30 37,9 9,57,96 0,77 0, ,30 0,35 49,45,73 3,94,03 0, ,35 0,40 63,30 6,30 5,04,3 0, ,40 0,45 78,69 0,7 6,7,64 0, ,45 0,50 95,6 4,64 7,6,00 0, ,50 0,55 4,03 9,39 9,09,38, ,55 0,60 33,93 34,53 0,67,80,3 0, ,60 0,65 55,8 40,05,38 3,4,5 0, ,65 0, ,94 4,0 3,7,74 0,6 0, ,70 0, ,0 6,3 4,3,97 0,69 0, ,75 0, ,8 8,8 4,76,3 0,78 0,6 0, ,80 0, ,8 0,34 5,33,49 0,87 0,9 0, ,85 0, ,5,6 5,93,77 0,97 0,33 0, ,90 0, ,86 4,98 6,55 3,06,07 0,36 0, ,95, ,9 7,47 7,0 3,37,8 0,40 0,7 0, ,00, ,07 3,77 8,59 4,0,4 0,47 0,0 0, ,0, ,6 38,50 0,09 4,7,66 0,56 0,3 0, ,0, ,64,7 5,48,9 0,65 0,7 0, ,30, , 3,43 6,8,0 0,74 0,3 0, ,40, ,8 5,6 7,4,50 0,84 0,35 0, ,50, ,56 7,0 8,05,8 0,95 0,39 0, ,60 380

170 Princíios de Hidráulica Básica PERA E CARGA EM 00 METROS E TUBULAÇÃO E AÇO GALVANIZAO J (m/00m) Vazão iâmetro Nominal (olegadas) Vazão iâmetro Interno (mm) (L/s) /" 3/4" " /4" /" " /" 3" 4" 5" 6" (L/s) 5,8 0,9 6, ,9 50,8 63,5 76, 0,6 7 5,4, ,35 9,4 9,00 3,6,06 0,44 0, ,70, ,53,39 0,0 3,5,8 0,49 0, ,80, , 3,64,07 3,88,3 0,54 0, ,90, ,09 6,00,7 4,7,44 0,60 0, ,00, ,45 8,45 3,3 4,67,57 0,65 0, ,0, ,0 3,0 4,5 5,09,7 0,7 0, ,0, ,33 33,68 5,77 5,53,86 0,77 0, ,30, ,85 36,44 7,07 5,98,0 0,83 0, ,40, ,75 39,30 8,4 6,45,7 0,90 0, ,50, ,6 9,80 6,94,34 0,97 0, ,60, ,3,3 7,44,5,04 0, ,70, ,47,7 7,96,68, 0, ,80, ,73 4,4 8,49,86,8 0, ,90 3, ,08 5,8 9,04 3,05,6 0,3 0, ,00 3, ,07 9,0 0,9 3,43,4 0,35 0, --- 3,0 3, ,45 3,56,40 3,84,59 0,39 0, ,40 3, ,0,68 4,7,77 0,43 0, ,60 3, ,0 4,0 4,7,95 0,48 0, ,80 4, ,0 5,4 5,9,5 0,5 0, ,00 4, ,75 9,7 6,46,67 0,65 0, --- 4,50 5, ,56 3,30 7,85 3,5 0,79 0,7 0, 5,00 5, ,43 7,79 9,36 3,87 0,94 0,3 0,3 5,50 6, ,33 3,65,00 4,55, 0,38 0,5 6,00 6, ,7 37,87,76 5,8,9 0,44 0,8 6,50 7, , 43,44 4,64 6,05,48 0,50 0,0 7,00 7, ,6 49,37 6,64 6,88,68 0,57 0,3 7,50 8, , 55,64 8,75 7,75,89 0,64 0,6 8,00 8, ,5 0,98 8,67, 0,7 0,9 8,50 9, ,0 3,3 9,64,35 0,80 0,33 9,00 38

171 Princíios de Hidráulica Básica PERA E CARGA EM 00 METROS E TUBULAÇÃO E AÇO GALVANIZAO J (m/00m) Vazão iâmetro Nominal (olegadas) Vazão iâmetro Interno (mm) (L/s) /" 3/4" " /4" /" " /" 3" 4" 5" 6" (L/s) 5,8 0,9 6, ,9 50,8 63,5 76, 0,6 7 5,4 9, ,49 5,78 0,65,60 0,88 0,36 9,50 0, , 8,35,7,85 0,97 0,40 0,00 0, ,07 3,03,8 3,,06 0,43 0,50, ,35 33,83 3,97 3,40,6 0,47,00, ,97 36,73 5,7 3,70,6 0,5,50, ,90 39,75 6,4 4,00,36 0,56,00, ,6 4,87 7,70 4,3,47 0,60,50 3, ,0 9,03 4,64,58 0,64 3,00 3, ,44 0,4 4,97,69 0,69 3,50 4, ,89,83 5,3,8 0,74 4,00 4, ,44 3,30 5,68,93 0,79 4,50 5, ,0 4,80 6,04,05 0,84 5,00 6, ,73 7,95 6,8,3 0,95 6,00 7, ,79 3,7 7,6,59,06 7,00 8, ,5 34,76 8,47,88,8 8,00 9, ,3 38,4 9,36 3,8,30 9,00 0, ,4 4,5 0,9 3,50,43 0,00, ,4,6 3,83,56,00, ,40,7 4,7,70,00 3, ,7 3,33 4,53,85 3,00 4, , 4,4 4,90,00 4,00 5, ,85 5,55 5,9,6 5,00 6, ,66 6,7 5,69,3 6,00 7, ,63 7,93 6,0,49 7,00 8, ,76 9,8 6,5,59 8,00 9, ,04 0,46 6,96,78 9,00 30, ,49,79 7,4 3,0 30,00 3, ,5 7,87 3,0 3,00 3, ,55 8,35 3,40 3,00 38

172 Princíios de Hidráulica Básica PERA E CARGA EM 00 METROS E TUBULAÇÃO E AÇO GALVANIZAO J (m/00m) Vazão iâmetro Nominal (olegadas) Vazão iâmetro Interno (mm) (L/s) /" 3/4" " /4" /" " /" 3" 4" 5" 6" (L/s) 5,8 0,9 6, ,9 50,8 63,5 76, 0,6 7 5,4 33, ,99 8,84 3,59 33,00 34, ,46 9,34 3,80 34,00 35, ,97 9,86 4,06 35,00 36, ,53 0,38 4,8 36,00 37, , 0,9 4,47 37,00 38, ,74,48 4,69 38,00 39, ,40,04 4,9 39,00 40, ,09,6 5,6 40,00 4, ,8 5,65 4,00 44, ,06 6,5 44,00 46, ,35 6,67 46,00 48, ,69 7, 48,00 50, ,07 7,85 50,00 5, ,5 8,44 5,00 54, ,99 9,05 54,00 56, ,53 9,68 56,00 58, , 0,33 58,00 60, ,73,00 60,00 6, ,69 6,00 64, ,40 64,00 66, , 66,00 68, ,87 68,00 70, ,63 70,00 7, ,4 7,00 74, , 74,00 75, ,63 75,00 383

173 Princíios de Hidráulica Básica Cia Metalúrgica Bárbara Perda de Carga ara tubos de ferro fundido com revestimento interno em argamassa de cimento centrifugada ou com roteção or tinta a base de betume. Velocidade (m/s) Perda de carga (m/km) iâmetro nominal (mm) ,30,87,7,9 0,7 0,50 0,50 7,35 4,40 3,06,85,30 0,80 7,7 0,6 7,4 4,48 3,4,00 7,05 6,,3 6,84 4,80,0 38,30,96 6,03 9,69 6,80,50 58,77 35,5 4,6 4,89 0,45,70 74,8 44,88 3,33 8,96 3,3,00 0,48 6,48 4,93 5,98 8,4,0 3,3 73,99 5,66 3,6,95,50 58,5 94,89 66,6 40,0 8,6,70 83,76 0,7 77,00 46,6 3,73 3,00 5,77 35,48 94,6 57,7 40, Áreas (m ) 0, , , ,077 0,034 Observação:. Rerodução aenas de arte da tabela, ara efeitos didáticos;. As erdas de cargas ara outros diâmetros existem na tabela original da Bárbara; 3. Valores corresondem aos cálculos ela fórmula universal com uma rugosidade absoluta equivalente igual a 0, mm CONUTOS E SEÇÃO E FORMA QUALQUER Quando o conduto tem uma seção geométrica que difere da forma circular, a distribuição das tensões cisalhantes ode não ter simetria e o efeito da forma na seção transversal assa a influir bastante nos arâmetros do escoamento, afetando o fator de atrito, rincialmente. Isso é exlicado elo desenvolvimento de escoamentos secundários que levam a uma distribuição de velocidades que não ossui simetria, com as tensões cisalhantes na arede sendo menores nos cantos que na média do erímetro. 384

174 Princíios de Hidráulica Básica Para tratar analiticamente os escoamentos de seções não circulares é admitido que a tensão cisalhante média que se desenvolve ao longo do erímetro molhado seja do tio: τ γ. o R h. Se adotarmos τ γ. J, o valor do fator de atrito, f, diferirá do que o R h. foi estabelecido ara condutos de seção circular, deendendo da forma da seção transversal do escoamento. a comaração das equações anteriores, tem-se: J ρ. f. V γ. R h. J, de forma que 8 J ρ. f. V 8γ. R h Como γ ρ.g, a exressão de J fica sendo: Finalmente, tem-se: J f. V 4. R. g h. J f 4R A equação anterior é semelhante à da fórmula universal da erda de carga, diferindo aenas elo fato de aarecer o fator 4R h no lugar do diâmetro,, no denominador da equação. evido a tal fato, define-se o diâmetro hidráulico, h como sendo: h 4.R h. V g h O diâmetro hidráulico é o diâmetro equivalente ao de uma seção circular que tenha a mesma erda de carga da seção não circular. Lembre-se que ara a seção circular, h 4.A/P e 4.(π./4)/(π), ou seja o diâmetro hidráulico é o rório diâmetro da seção circular. Com tal raciocínio, a fórmula universal da erda de carga em tubos de seção circular ode ser emregada ara cálculos com a seção não circular. Para 385

175 Princíios de Hidráulica Básica tanto, basta determinar o diâmetro hidráulico da seção não circular, de forma que a erda de carga unitária seja: V J f. g h A erda de carga total no comrimento L de tubo será: h f L h V g No caso discutido, o fator de atrito ode ser determinado elo diagrama de Moody ou elas fórmulas já aresentadas ara a erda de carga em condutos de seção circular. Nesse caso basta considerar que o número de Reynolds seja dado or: R e V ν h V.4R ν A rugosidade relativa, or sua vez, será dada or: h ε ε. h EXEMPLO : Calcular a erda de carga eserada ara o escoamento uniforme em um tubo de aço soldado, de seção semicircular, de diâmetro,0 m e comrimento de 00 m, quando a vazão for decorrente do estabelecimento de uma velocidade média igual a,0 m/s. O conduto tem fundo lano. 386

176 Princíios de Hidráulica Básica SOLUÇÃO Consultando as tabelas da rugosidade relativa encontra-se ε 0,08 mm. ados:,00 m; L 00,0 m; V,0 m/s Área: A π. /4/ π.,0 /8 0,397 m. Perímetro: P e π./,5708 m. Raio hidráulico: R h A/P e 0,397/,5708 0,58 m. Cálculo do diâmetro hidráulico: h 4.R h 4. 0,58 0,6 m. Número de Reynolds: R e V. h /ν,x0,6/(x0-6 ),34x0 6. Rugosidade relativa: ε/ h 0,08/6 0, Pelo ábaco de Moody, com o número de Reynolds calculado, encontra-se o fator de atrito: f 0,036. A erda de carga será: h L f h V g Logo: h 0,5935 m ou J 0, m / 00m. 00,0 0, ,6 x9,807 EXEMPLO : A água escoa or uma tubulação de aço com costura (e 0, mm), de seção retangular medindo 0 mm de largura or 30 mm de altura, de 4,0 m de comrimento, a uma vazão de, l/s. Pede-se: a) a erda de carga eserada na tubulação; b) Suondo que a tubulação seja horizontal e termine em uma descarga livre, qual a ressão 4 m antes dessa descarga? SOLUÇÃO ados: e 0, mm; b 0 mm e h 30 mm Q, l/s 0,00 m 3 /s e L 4,0 m a) Área: A 0,00m x 0,030m 0,000 6 m. Perímetro: P e x0,0 x0,03 0,00 m. Raio hidráulico: R h A/P e 0,000 6/0,0 0,006 m. iâmetro hidráulico: h 4xR h 4x0,006 0,040 m. 387

177 Princíios de Hidráulica Básica Velocidade média: V Q/A 0,00/0,0006,000 m/s. Número de Rynolds; R e V h /ν,000x0,040/x0-6 4,80x0 4. Rugosidade relativa: ε/ h 0,/4 0,0083 Fator de atrito elo Ábaco de Moody: f 0,0370 Perda de carga: L V 4,000 h f 0,0370. ou h 7,554 m g 0,04.9,807 h V V b) equação de Bernoulli: z z h γ g γ g Como a seção transversal do escoamento é constante, V V. Tubulação horizontal: z z 0 se o lano horizontal de referência assa elo eixo da tubulação. Saída livre: atm γ 0 h. Assim, γ.h 000x9,807x7, Pa. 388

178 Princíios de Hidráulica Básica 7.0. PROBLEMAS HIRAULICAMENTE ETERMINAOS NO ESC. TURBULENTO Sabe-se que: Q A V e J ϕ( Q,, material) Sendo: J declividade da linha de energia ou a erda de carga unitária (m/m); Q vazão na tubulação; V velocidade média de escoamento da água; diâmetro da tubulação e Material material da tubulação. O roblema é dito hidraulicamente determinado quando ossui uma solução única quando consideradas as equações movimento. Caso contrário é dito hidraulicamente indeterminado. As equações emregadas na sua solução serão: 8 f Q Q A V, J e 5 π g 0,643 Q J 4,87 C ou outra equação da resistência. da continuidade e do,85 Os seguintes casos odem ser encontrados: I. Problema direto: dados Q e calcular J e V ou dados V e calcular J e Q. Exemlo : Seja dado: Q 800 l/s, 500 mm e material de C

179 Princíios de Hidráulica Básica Calcular V e J. Resosta: V 4,074 m/s e J 0,04 m/m Exemlo : ados: material de C 0, 450 mm e V,5 m/s Calcular Q e J. Resosta: Q 397,6 l/s e J 0,034 m/m II. ados J e calcular Q e V Exemlo 3: ado J 0,00 m/m, 00 mm e material de C 90. Calcular Q e V. Resosta: Q 0,0437 m 3 /s e V,39 m/s III. ados J e Q (ou V) calcular e V (ou Q) Exemlo 4: ados material de C 90, Q 350 l/s e J 0,00 m/m Calcular e V. Resosta: 0,4407 m e V,94 m/s Exemlo 5: ados material de C 0, V 3,00 m/s e J 0,050 m/m Calcular e Q. 6,807 V Escrever J em função de V: J,7 C Resosta: 0,953m e Q 0,0899 m 3 /s.,85 390

180 IV. ados Q e V calcular e J Exemlo 6: Princíios de Hidráulica Básica ados o material de C 00, Q 00 l/s e V,00 m/s Calcular e J. Resosta:,36 m e J 0,00 m/m Exercício de alicação: imensionar uma tubulação de ferro fundido novo (C 5), de 450 m de comrimento, destinada a escoar uma vazão de 5 m 3 /h, quando sujeita a uma erda de carga de 70 m de coluna de água. Solução Considerando o diâmetro constante: h 70 m. h 70 A erda de carga unitária deverá ser: J 0,0483 m/m. L 450 Pela fórmula de Hazen-williams: Então: J 0,643 Q 4,87 C,85 logo,85 0,643 5/ ,0483 4,87, o que dá 5 0,643 Q 0,0483 C 0,073 m ou cerca de 73, mm.,85 4,87 Como tal diâmetro não existe no comércio, deve-se usar um tubo comercial de diâmetro mais róximo, no caso de 76, mm (3 ). Nesse caso, como o diâmetro é ligeiramente maior que o calculado, nota-se que a vazão será maior. Refazendo os cálculos ara a nova vazão, encontra-se 7,8 m 3 /h, sob a mesma erda de carga. 39

181 Princíios de Hidráulica Básica 8. PERA E CARGA LOCALIZAA 8.. INTROUÇÃO Na maioria dos casos, o transorte de líquidos se dá através de tubulações sob ressão, formadas ela união de tubos de eixo retilíneo e de acessórios de diversas naturezas, tais como: Válvulas e registros curvas e cotovelos derivações amliações e reduções conexões diversas Esses acessórios rovocam alteração na direção ou no módulo da velocidade média do escoamento, com consequente alterações locais da ressão localmente e maior dissiação de energia or atrito. Esse fato gera um acréscimo de turbulência que, or sua vez, gera uma erda de energia localizada em trechos curtos e que difere da erda de energia que ocorre nos trechos retilíneos e longos da tubulação. Essas erdas de energia em equenos trechos dos escoamentos em tubulações são denominadas de erdas de carga localizadas, menores, acidentais ou singulares. Não existe um tratamento analítico ara determinação das erdas de cargas localizadas na maioria dos acessórios instalados nas tubulações o que obriga a busca de auxílio nas investigações exerimentais ara a determinação da erda de carga. eve ser observado que a resença do acessório na tubulação altera as condições do escoamento não aenas em um onto, orém em uma região que considera-se muito equena quando comarada com o comrimento total da tubulação. A influência do acessório sobre a linha de energia se faz sentir tanto 39

182 Princíios de Hidráulica Básica a montante quanto a jusante do onto onde está instalado o mesmo. A figura 0 mostra, a título de exemlo, um caso articular de escoamento em um estrangulamento da seção do escoamento em um tubo, com as linhas de corrente e a linha de energia. Fig. 0 - Perda de carga localizada em um estreitamento de seção. Quando as erdas de carga localizadas são analisadas exerimentalmente, ara cada geometria de escoamento, verifica-se que elas são roorcionais à carga de velocidade, o que ode ser visto no gráfico da Figura 0. Fig. 0 Variação do coeficiente de erda de carga localizada com a carga cinética. 393

183 Princíios de Hidráulica Básica essa forma, como a variação é linear, as erdas de carga localizadas, h l, odem ser calculadas através da exressão geral V h l K g onde K é um coeficiente exerimental denominado coeficiente de erda de carga localizada, sendo deendente da mudança de velocidade, da geometria do escoamento, do diâmetro da tubulação, da rugosidade absoluta do material, do número de Reynolds, dentre outros arâmetros. A influência da rugosidade do material e do número de Reynolds odem ser desrezadas em alguns casos ráticos. O valor de K é determinado exerimentalmente e tabelado ara os diversos casos. Observa-se que aesar de K variar com o número de Reynolds, ele tende ara um valor constante quando esse número se torna elevado, rincialmente quando o número de Reynolds fica maior que A figura seguinte ilustra, genericamente, tal variação. Fig. XX Variação do coeficiente de erda de carga localizada com o número de Reynolds Para condutos circulares, a equação da erda de carga localizada ode ser exressa em função da vazão, da seguinte maneira: 394

184 Princíios de Hidráulica Básica h l 8 Q K π g 4 Nos róximos itens, será visto em detalhes, alguns casos de cálculo da erda de carga localizada em alguns tios de escoamentos comuns na rática. 8.. PERA E CARGA LOCALIZAA EM ALARGAMENTO BRUSCO Os alargamentos ou exansão ocorrem no caso da união entre tubulações de diâmetros diferentes, sendo que o diâmetro da tubulação seguinte maior que o da anterior. Se a mudança da área do escoamento ocorre abrutamente, denomina-se de alargamento brusco ou exansão brusca. Nesse caso a velocidade V na tubulação de área A irá diminuir até atingir o valor V da velocidade na tubulação de área A. O escoamento é desacelerado, fazendo aarecer um gradiente de ressão ositivo com searação do escoamento, formando grandes regiões de recirculação, turbulentas, nas roximidades do alargamento, conforme ilustrado na figura xx. Fig. xx - Escoamento através de uma exansão brusca. 395

185 Princíios de Hidráulica Básica No tubo o escoamento é desenvolvido de velocidade V > V ; AB linhas de corrente são divergentes com a velocidade diminuindo até atingir o valor V do escoamento desenvolvido na tubulação de área A. BC escoamento desenvolvido de velocidade V. Observar a recueração da ressão entre A e B,em decorrência da diminuição velocidade média. A dedução de uma equação ara o cálculo da erde de carga localizada nos alargamentos bruscos, nos escoamentos turbulentos, é devida a Borda ( ), considerando-se que o líquido está estagnado na região de recirculação e que não haja erde de energia or atrito nas aredes. É ossível equacionar o escoamento, ela alicação do teorema da quantidade de movimento, a equação da energia e a equação da conservação da massa entre as seções que definem o alargamento brusco. Considerando a segunda lei de Newton, tem-se: ma F x > A ( A A ) A Q( V ) ρ ou V ( ) A Q( V ) ρ... V A equação de Bernoulli entre os dois ontos ode ser escrita como: V V z z γ g γ g h l Se z z > γ V V g h l então V V h l γ g... Eliminando - das equações e e alicando a equação da continuidade tal que A.V A.V, tem-se que a erda de carga resultante será: 396

186 Princíios de Hidráulica Básica V A g h l A. essa equação é denominada de equação de Borda-Carnot ara a erda de carga localizada em exansões. Fazendo-se, nesse caso, A K a. A Observar que, nesse caso, o coeficiente de erda de carga localizada ode ser determinado analiticamente à artir das áreas da seção transversal das duas tubulações que formam a exansão brusca, tornando-se muito róximo dos valores encontrados exerimentalmente, rincialmente ara escoamentos com número de Reynolds sueriores a Alguns esquisadores têm roostos coeficientes de correção ara o valor de K a determinado ela equação de Borda- Carnot, tendo-se em vista que determinações exerimentais têm resultado em valores ligeiramente maiores que os revistos ela equação anterior, razão ela qual muitos autores referem utilizar tais valores exerimentais. Finalmente tem-se a seguinte equação ara se calcular a erda de carga localizada em uma exansão brusca: h K l Quando os coeficientes de Coriolis, α, e de Boussinesq, β, forem diferentes de, K a ode ser calculado or: K a a V g A A α β A A No escoamento laminar, ara R e < 0: K a 6. R e 397

187 Princíios de Hidráulica Básica Se 0 < R e < 3500: ver tabela seguinte, roosta or A. Lencastre em seu livro Hidráulica Geral. Tabela do coeficiente de erda de carga localizada ara exansão brusca. Valores do número de Reynolds A /A , 3,0 3,0 3,00,40,5,95,70,65,70,00,60,00 0,8 0, 3,0 3,0,80,0,85,65,40,30,30,60,5 0,70 0,64 0,3 3,0 3,0,60,00,60,40,0,0,0,30 0,95 0,60 0,50 0,4 3,0 3,00,40,80,50,30,0,00 0,85,05 0,80 0,40 0,36 0,5 3,0,50,30,65,35,5 0,90 0,75 0,65 0,90 0,65 0,30 0,5 0,6 3,0,70,5,55,5,05 0,80 0,60 0,40 0,60 0,50 0,0 0, Perda de Carga Localizada em um ifusor Um caso articular das exansões ocorre quando a mudança de área é gradual ou suave. Nesse caso tem-se o que se denomina de difusor, caracterizado elo ângulo α. Tal eça é muito comum nas saídas das bombas centrífugas, ara recueração de ressão. Para os difusores, a erda de carga localizada é calculada ela equação: h l K d V V g Fig. XX ifusor de ângulo α. O valor de K d é tabelado em função do ângulo do difusor, ara seções circulares, conforme tabela xx. 398

188 Princíios de Hidráulica Básica α 0º 0º 30º 40º K d 0,39 0,80,00, Perda de Carga Localizada na Saída de uma Tubulação Quando uma tubulação descarrega um líquido em um reservatório, ficando submersa, diz-se que temos uma saída de tubulação afogada. Nesse caso o escoamento da água, ao encontrar a massa de água do reservatório, será exandido, ocorrendo uma consequente erda de carga. Considera-se que a área da tubulação é A A e que a área do reservatório é muito grande, A, ortanto trata-se de um caso esecial de exansão brusca, com A /A 0, V 0 e V V. Nesse caso a erda de carga localizada na saída da canalização será dada or: V hl Ks, onde K s,0. g Quando a tubulação descarrega a sua vazão ara a atmosfera, diz-se que a saída é livre. Nesse caso a erda de carga localizada torna-se desrezível, restando comutar nas equações a carga cinética, ver figura xx. Figura xx - Coeficiente usual de erda de carga na saída de tubulações afogadas e livres. 399

189 Princíios de Hidráulica Básica 8.3. PERA E CARGA LOCALIZAA EM CONTRAÇÃO BRUSCA Quando as tubulações de diferentes diâmetros são unidas entre si, ode ocorrer o caso da redução brusca, fazendo com que a tubulação tenha, reentinamente, a sua seção transversal reduzida, o que rovoca um aumento da velocidade, tornando o escoamento acelerado em um equeno trecho. Nesse trecho aarece uma erda de energia extra, devido às alterações no valor da velocidade do escoamento, denominada de erda de carga localizada na contração brusca. Fig. XX Perda de carga localizada em contração brusca. AB escoamento desenvolvido de velocidade média V. BC escoamento acelerado (aumento da velocidade média). Velocidade aumenta até a veia contraída, ficando maior que V. Formação de zona morta. Formação de região de recirculação. C escoamento desacelera até atingir a velocidade V do escoamento desenvolvido no trecho de área A. E escoamento desenvolvido de velocidade média V. 400

190 Princíios de Hidráulica Básica As erdas ocorrem, rincialmente, na assagem entre o início da seção contraída que se forma logo em seguida à entrada da tubulação, de área A c e a seção de área A, seguinte, aós haver a exansão da veia fluida. Para a contração brusca, a erda de carga será dada or: h l V Kc g Uma das formas de se fornecer o valor de K c é em função das velocidades ou do número de Reynolds e da relação A /A ou /, conforme a tabela xx: Tabela xx Coeficientes de erda de carga localizada ara contração brusca em função da relação de diâmetros da tubulação. V (m/s) / 0,0 0,... 0,9,0 0,49 0, ,03,0 0,48 0, ,04 3,0 0,47 0, ,04 6,0 0,44 0, , ,0 0,38 0, ,06 O Prof. Rodrigo Porto no seu livro de Hidráulica Básica aresenta uma tabela que ermite obter o valor de K c em função da relação das áreas, tabela xx. Tabela xx - Coeficiente de erda de carga localizada ara contração brusca no escoamento turbulento. A /A 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 K s 0,50 0,46 0,4 0,36 0,30 0,4 0,8 0, 0,06 0,0 0,0 Segundo A. Lencastre, se < R e < 8, tem-se K c 7/R e. Se 0 R e 0.000, K c será dado ela tabela: 40

191 Princíios de Hidráulica Básica Tabela do coeficiente de erda de carga localizada, K c, ara contração brusca, com Re 0. A / A Valores do número de Reynolds >0 4 0, 5,0 3,0,40,00,80,30,04 0,8 0,64 0,50 0,80 0,75 0,50 0,45 0, 5,0 3,0,30,84,6,0 0,95 0,70 0,50 0,40 0,60 0,60 0,40 0,40 0,3 5,0,95,5,70,50,0 0,85 0,60 0,44 0,30 0,55 0,55 0,35 0,35 0,4 5,0,80,00,60,40,00 0,78 0,50 0,35 0,5 0,45 0,50 0,30 0,30 0,5 5,0,70,80,46,30 0,90 0,65 0,4 0,30 0,0 0,40 0,4 0,5 0,5 0,6 5,0,60,70,35,0 0,80 0,56 0,35 0,4 0,5 0,35 0,35 0,0 0,5 As erdas de cargas localizadas em contrações que não sejam bruscas deendem da forma da transição entre as áreas A e A. Em transições suaves, o valor de K c ode ser tão baixo quanto 0,0 ou até mesmo 0,005, roorcionando erda de carga localizada desrezível. Assim diversos casos odem ser estudados. Ver detalhes em A. Lencastre Perda de Carga Localizada em um Redutor Quando a eça que une as duas tubulações de diferentes diâmetros forma uma gradual desde a área A até a área A, tem-se um redutor. Um caso de alicação dos redutores é na entrada das bombas hidráulicas centrífugas. Fig. XX redutor de área de ângulo α. 40

192 Princíios de Hidráulica Básica Nesse caso, o coeficiente de erda de carga localizada no redutor é fornecido em função do ângulo do redutor e a erda de carga é calculada ela equação geral colocada na forma: h l V V Kr g Tabela xx - K c ara um redutor. α 0º 0º 30º 40º K r 0,0 0,8 0,3 0, Perda de Carga Localizada na Entrada das Tubulações É um caso esecial de erda de carga localizada devida a uma contração, quando o escoamento assa de um reservatório ara uma tubulação de área bem menor. enomina-se erda de carga na entrada de tubulações. Nesse caso a razão de contração A /A ou ( / ) nos casos de condutos circulares é nula, visto que A é muito maior que A,conforme ilustrado na figura xx. Aqui a erda de carga localizada é dada or: V hl Ke g Nesse caso o K e deende do tio da entrada da tubulação no reservatório e do ângulo do seu eixo com a arede do reservatório, sendo classificada em entrada com aresta viva ou entrada normal, entrada saliente ou reentrante ou entrada com borda arredonda. No caso da tubulação ser erendicular à arede do reservatório, a figura xx ilustra os valores do coeficiente de erda de carga. 403

193 Princíios de Hidráulica Básica Figura xx - Coeficiente de erda de carga na entrada das tubulações. O caso da entrada normal é o mais comum e o valor do coeficiente de erda de carga ode variar desde 0,38 até 0,50, deendendo da forma da união da tubulação com o reservatório e deendendo dos valores da velocidade. É usual adotar-se o valor K e 0,50 ara tal caso, na falta de maiores informações. Quando o eixo da tubulação, de entrada normal, faz um ângulo θ com a arede do reservatório, a fórmula de Weibach, ermite uma boa estimativa de K c, de forma que: K c 0,50 0,30cosθ 0,0cos No caso do eixo da tubulação ser normal à arede do reservatório e com entrada saliente, o valor de K e irá deender da esessura da arede do tubo, e, e do comrimento da arte que adentra-se ao reservatório, l, conforme ilustrado na Fig. xx. É usual adotar-se K e,0. A. Lencastre aresenta uma tabela ara esse caso, ara tubulações com aresta viva, reroduzida na tabela xx. θ Fig. xx - Tubulação reentrante, de esessura e e saliência de comrimento l. 404

194 Princíios de Hidráulica Básica Tabela xx - Coeficiente de erda de carga localizada ara entrada de tubulação reentrante, K c. e/ l/ 0,000 0,005 0,00 0,050 0,00 0,30 >0,30 0,000 0,50 0,63 0,68 0,80 0,9 0,97,00 0,004 0,50 0,58 0,63 0,74 0,86 0,90 0,94 0,008 0,50 0,55 0,58 0,68 0,8 0,85 0,88 0,0 0,50 0,53 0,55 0,63 0,75 0,79 0,83 0,06 0,50 0,5 0,53 0,58 0,70 0,74 0,77 0,00 0,50 0,5 0,5 0,55 0,66 0,69 0,7 0,04 0,50 0,50 0,5 0,53 0,6 0,65 0,68 0,030 0,50 0,50 0,5 0,5 0,57 0,59 0,6 0,040 0,50 0,50 0,5 0,5 0,5 0,5 0,54 0,050 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 >0,050 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 No caso de condutos de seção não circular, é comum substituir o diâmetro das tabelas or 4R h e rosseguir com os cálculos normalmente PERA E CARGA LOCALIZAA EM CURVAS Nas curvas, o valor da velocidade média não muda, quer na entrada, quer na saída. O que muda é a direção do escoamento formado e a forma do erfil de velocidades. e qualquer forma aarecerá uma erda de carga localizada devida à alteração na direção do escoamento, que será tanto maior quanto mais brusca for a mudança de direção. As curvas são caracterizadas elo diâmetro da tubulação que originou a curva e elo raio de curvatura do eixo da tubulação, r, conforme ilustrado na figura xx. 405

195 Princíios de Hidráulica Básica Fig. xx - Perda de carga localizada em uma curva de raio r e diâmetro. Uma curva causa uma erturbação significativa no escoamento com aumento da ressão e da velocidade na sua arte externa e diminuição da ressão e da velocidade na sua arte interna. Tais diferenças de ressão causam uma alteração na forma do escoamento, fazendo aarecer dois grandes vórtices no lano da seção transversal da curva, que causa influência a uma distância significativa a jusante da curva. eendendo do caso, a influência ode ser observada a até 50 do final da curva. Esses efeitos manifestam-se claramente na erda de carga nas curvas. Parte interna da curva: v' e '. Parte externa da curva: v'' > v' e '' > '. osta na forma: A erda de carga é função de r, de e do ângulo da curva, odendo ser h l V Kc g O valor de K c é tabelado ara o ângulo de curvatura, ara o material da curva e ara o raio de curvatura, conforme ode ser visto na tabela xx. 406

196 Princíios de Hidráulica Básica Tabela xx - Coeficiente de erda de carga localizada ara curva 90º e aço galvanizado. r/,0,0 4,0 6, K c 0,35 0,9 0,7 0, 0,3 0,38 0,4 Um engano bastante comum é achar-se que se o raio da curva aumenta, também aumenta o coeficiente de erda de carga. Verificar que se o raio aumenta K c ode diminuir até um valor de r/ róximo de 5,0. Se o raio de curvatura continuar crescendo, K c irá aumentar. A. Lencastre aresenta uma tabela ara K c ara curvas a 90º, com tubos de seção circular, em função do raio da curva medido no eixo do conduto e da velocidade média do escoamento. Parte da tabela está aresentada na tabela xx. Tabela xx - Valores do coeficiente de erda de carga ara curvas 90º, de seção circular r V (m/s) (m) 0,60 0,90,0,50,80,0,40 3,00 0,00,03,4,3,30,36,4,46,54 0,08 0,46 0,5 0,55 0,58 0,60 0,63 0,65 0,69 0,5 0,3 0,34 0,36 0,38 0,40 0,4 0,43 0,46 0,30 0, 0,3 0,5 0,6 0,8 0,9 0,30 0,3 0,60 0,9 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 0,90 0,8 0,0 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7,0 0,8 0,0 0, 0,3 0,3 0,5 0,6 0,7,50 0,8 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,7,80 0,8 0,9 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 Lançados em gráfico, aresentado na figura xx, fica clara a grande variação do K c ara curvas de raio muito curto. 407

197 Princíios de Hidráulica Básica Coeficiente de erda de Carga, Kc,5,0,5,0 0,5 0,0 Curvas 90, seção circular r0,0 m r0,0 r0,08 r0,5 r0,30 r0,08 m r0,60 r0,5 m r0,90 r0,30 m r,50 r0,60-, m r,0 Velocidade Média (m/s) Figura xx - Gráfico de K c com a velociade média dos escoamentos, ara diferentes raios de curvatura de tubulações de seção circular. Observar que as curvas vão se tornando muito róximas à artir do raio 0,30m. Os valores de K c ara curvas de seção não circular odem ser encontrados na bibliografia esecializada. Quando a curva tem ângulo diferente de 90, o coeficiente de erda de carga deve ser avaliado em função desse ângulo. Fig. xx - Esquema de curva com ângulo α. No caso de curvas contínuas, Rodrigo Porto roõe a seguinte equação ara avaliação do coeficiente de erda de carga, K c, ara a curva: 408

198 Princíios de Hidráulica Básica K c 0,3 0,6 r 3,5 α PERA E CARGA LOCALIZAA EM VÁLVULAS As válvulas são eças instaladas ara controlar ou bloquear a assagem de um fluido, através da introdução de uma erda de carga localizada. Nesse caso, a erda de carga localizada é calculada ela fórmula tradicional: h K l O valor de K v é tabelado ara os diversos tios de válvulas existentes, conforme tabela seguinte. v V g Tabela xx - Coeficiente de erda de carga localizada ara diversos tios de válvulas. Gaveta Globo Retenção (aberta) rotativa Tio (aberta) (aberta) ortinhola esfera istão (aberta) K v 0,5 0,0,5 70,0 0, Caso do Registro de Gaveta Esecialmente no caso dos registros de gaveta, é ossível determinar um valor do coeficiente de erda de carga localizada ara cada grau de fechamento da gaveta que forma o registro. A Fig. xx ilustra os elementos envolvidos. 409

199 Princíios de Hidráulica Básica Fig. xx - Esquema de registro de gaveta. A erda de carga é calculada ela equação geral, com os coeficientes de erda de carga localizada determinados exerimentalmente ara os diferentes graus de fechamento, conforme mostrado na tabela xx. Tabela xx - Coeficiente de erda de carga localizada ara registro de gaveta ara diversos graus de fechamento. 0 0,50 0,375 0,50 0,65 0,750 0,875,00 a/ 0 /4 3/8 / 5/8 3/4 7/8 / K rg 0,5 0,6 0,8,06 5,5 7,0 97, Caso da Válvula Borboleta A válvula borboleta tem uma eça móvel que ode ser alinhada com a direção do escoamento ou colocada erendicularmente ao escoamento, bloqueando a assagem do fluido. Nesse caso a erda de carga também é calculada ela equação geral, sendo o coeficiente de erda de carga tabelado em função do ângulo de abertura. Fig. xx - Esquema de uma válvula tio borboleta. 40

200 Princíios de Hidráulica Básica Tabela xx - Coeficiente de erda de carga localizada ara válvula tio borboleta ara diversos ângulos de fechamento. α 0º 5º 0º 5º 0º 5º 30º 35º 40º 45º 50º K vb 0,5 0,4 0,5 0,90,54,5 3,9 6, 0,8 8,7 3,6 α 55º 60º 65º 70º 90º K vb 58, Caso de válvulas cilíndricas ode ser calculado com o valor de K vb dado na tabela xx, comilada de A. Lencastre. Tabela xx - Coeficiente de erda de carga localizada ara válvula cilíndrica ara diversos ângulos de fechamento. α 0º 5º 0º 5º 0º 5º 30º 35º 40º 45º 50º K vc 0 0,05 0,9 0,75,56 3,0 5,47 9,68 7,3 3, 5,6 α 55º 60º 65º 8º K vc PERA E CARGA LOCALIZAA EM OUTROS ACESSÓRIOS Em geral a erda de carga nos demais acessórios instalados nas tubulações serão dadas ela equação geral, sendo os coeficientes de erda de carga dados na tabela xx. 4

201 Princíios de Hidráulica Básica Tabela xx - Coeficientes de erda de carga ara diversos acessórios instalados nas tubulações. Acessório K Acessório K Amliação gradual 0,30 Medidor Venturi,50 Bocais,75 Redução gradual 0,5 Comorta aberta,00 Saída de canalização,00 Controlador de vazão,50 Tê 90º assagem direta 0,90 Crivo 0,75 Tê 90º assagem lateral,00 Joelho 90º raio curto 0,90 Válvula de ângulo aberta 5,0 Joelho 90º raio longo 0,60 Válvula de gaveta aberta 0,5 Joelho 45º 0,40 Válvula borboleta aberta 0,30 Curva 90º (r/ ) 0,40 Válvula globo aberta 0,0 Curva 45º 0,0 Válvula de é com crivo 0,0 Curva,5º 0,0 Vál. retenção tio ortinhola 3,0 Entrada normal de canalização 0,50 Curva de retorno 80º, Entrada em borda de canalização,00 Válvula com bóia 6,0 Junção (45º) 0,40 Fonte: Manual de Hidráulica - Azevedo Neto - Modificada 4

202 8.7. EXEMPLO: Princíios de Hidráulica Básica Escoamento à artir de um reservatório de nível constante, com tubulação de 8" de diâmetro, de vc, existente no Laboratório de Hidráulica do ECIV/EM. os elementos envolvidos são: esnível: z 8,40 m Tubos de vc: 03 mm (8") fator de atrito: f 0,0 entrada normal: K 0,50 Curva 90º: K 0,40 Registro de gaveta: K 0,0 Tê assagem direta: K 0,90 Tê assagem lateral: K,0 Calcular a vazão e a velocidade média do escoamento. esenho esquemático: Solução ados: f 0,0 L,5,0,0,0,5 3,0 0,5 6,0 7,5 m 0,03 m z 8,40 m A equação de Bernoulli entre a suerfície da água no reservatório e a saída: 43

203 Princíios de Hidráulica Básica V V z z h h l γ g γ g > V 8, g f L V g V K g f L V 0,50 4x0,40 0,0 0,9,0 g 8,40 V g 8,40 7,5 0,0 6,0 0,03 x9,8x8,40 > V, 758,03 6,0 Assim, V 4,77 m/s e Q A.V π. /4.V > Q πx0,03 /4x4,77 Q 0,544 m3/s ou Q 54,4 l/s MÉTOO OS COMPRIMENTOS EQUIVALENTES Um método conveniente ara cálculo das erdas de carga localizadas nos acessórios instalados em uma tubulação, também denominado de método dos comrimentos equivalentes, método dos comrimentos virtuais ou método dos comrimentos fictícios. Foi estudado que a erda de carga contínua em uma tubulação de comrimento L e diâmetro, quando ercorrida or um escoamento de velocidade média V, será: L V h f g Também foi demonstrado que a erda de carga localizada em uma estrutura instalada em uma tubulação, quando ercorrida or um escoamento de velocidade média V, será dada or: 44

204 Princíios de Hidráulica Básica V h L K g O método dos comrimentos equivalentes consiste em determinar qual o comrimento de tubulação que, ara a mesma vazão e velocidade, gera uma erda de carga contínua igual à erda de carga localizada. Tal comrimento é denominado de comrimento equivalente, comrimento fictício ou comrimento virtual. Para uma mesma vazão, se h h L L L eq, logo: f L V V K g g L eq K K ou L eq f f Os valores de L eq são determinados e tabelados ara os diversos equiamentos que geram erda de carga localizada quando instalados em tubulações lisas ou rugosas, em função do diâmetro das tubulações. Para efeito de cálculos da erda de carga total: eterminar o L eq de cada acessório existente no escoamento; Incluir o L eq no comrimento real da tubulação ara efeitos de cálculo da erda de carga total; L total L Leq ; Na equação da erda de carga usar L total. A erda de carga calculada já inclui a erda de carga localizada. Tubos metálicos, de aço galvanizado e ferro fundido com ¾ < < 4 : O Prof. Azevedo neto, em seu Manual de Hidráulica aresenta uma tabela ara os comrimentos equivalentes das diversas eças que se instalam nas tubulações, ara tubulações de ferro ou aço, conforme a tabela xx. 45

205 Princíios de Hidráulica Básica Tabela xx - Comrimentos equivalentes (em metros de canalização retilínea) ara o cálculo da erda de carga localizada ara tubulações de ferro ou aço. iâm. Nominal (mm) iâm. Nominal (ol.) / 3/4 /4 / / Cotovelo 90º RL 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9,,3,6,,7 3,4 4,3 5,5 6, Cotovelo 90º RM 0,4 0,6 0,7 0,9,,4,7,,8 3,7 4,3 5,5 6,7 7,9 Cotovelo 90º RC 0,5 0,7 0,8,,3,7,0,5 3,4 4, 4,9 6,4 7,9 9,5 Cotovelo 45º 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 0,9,,5,9,3 3,0 3,8 4,6 Curva 90º r/,5 0, 0,3 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8,0,3,6,9,4 3,0 3,6 Curva 90º r/,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9,0,3,6,,5 3,3 4, 4,8 Curva 45º 0, 0, 0, 0,3 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9,,5,8, Entrada normal 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9,,6,0,5 3,5 4,5 5,5 Entrada em borda 0,4 0,5 0,7 0,9,0,5,9, 3, 4,0 5,0 60, 7,5 9,0 Valv. gaveta (aberta) 0, 0, 0, 0, 0,3 0,4 0,4 0,5 0,7 0,9,,4,7, Valv. globo (aberta) 4,9 6,7 8,,3 3,4 7, Valv. Ângulo (aberta),6 3,6 4,6 5,6 6,7 8, Tê ass. direta 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9,,3,6,,7 3,4 4,3 5,5 6, Tê ass. lateral,0,4,7,3,8 3,5 4,3 5, 6,7 8, Valv. é com crivo 3,6 5,6 7,3 0,0, Saída de canalização 0,4 0,5 0,7 0,9,0,5,9, 3, 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 Válv. retenção leve,,6,,7 3, 4, 5, 6,3 8,4 0,4, Valv. retenção esada,6,4 3, 4,0 4,8 6,4 8, 9,7,9 6, 9,

206 Princíios de Hidráulica Básica Quando se analisa a tabela xx comarando-se o comrimento equivalente relativo ao diâmetro ara cada acessório das tubulações, verifica-se uma equena variação. Nesse caso, desrezando-se tais variações, a tabela xx ode ser simlificada ara resultar na tabela xx que fornece o resultado do comrimento equivalente ara o cálculo da erda de carga localizada nos diversos acessórios, em função do comrimento equivalente relativo ao diâmetro. Tabela xx - Comrimentos equivalentes relativos ao diâmetro (L eq /) ara o cálculo da erda de carga localizada ara tubulações de ferro ou aço. Acessório L eq / Amliação gradual,0 Cotovelo 90º RL,3 Cotovelo 90º RM 7, Cotovelo 90º RC 3, Cotovelo 45º 5, Curva 90º r/,5, Curva 90º r/,0 6,4 Curva 45º 7,4 Entrada normal 7,5 Entrada em borda 30,4 Valv. gaveta (aberta) 7,0 Valv. globo (aberta) 340 Valv. Ângulo (aberta) 7 Tê ass. direta,3 Tê ass. lateral 64,8 Valv. é com crivo 58,7 Saída de canalização 30,4 Válv. retenção leve 8,0 Valv. retenção esada 7, 47

207 Princíios de Hidráulica Básica L L eq α βd eq α ou β tabelado ara cada acessório. Ver tabela 3.6 da ágina 86, do livro Hidráulica Básica. Para tubos lisos de PVC, lástico ou cobre com ¾ < < 4 : Os fabricantes de tubulações de PVC ou lástico informam a erda de carga em seus acessórios através do comrimento equivalente de tubulação retilínea, ara cada diâmetro, conforme tabela xx. 48

208 Princíios de Hidráulica Básica Tabela xx - Comrimentos equivalentes (em metros de canalização retilínea) ara o cálculo da erda de carga localizada ara tubulações de PCV ou lástico (tubos lisos). TABELA A SER COMPLETAA iâm. Nom. (mm) iâm. Nom. (ol.) / 3/4 /4 / / iâm. Interno (mm) 5,8 0, 6,0 34,6 39, 50,6 65,6 78, Joelho 90º RL Joelho 90º RM Joelho 90º RC,,,5,0 3, 3,4 3,7 3,9 4,3 4,9 5,6 Joelho 45º 0,4 0,5 0,7,0,3,5,7,8,9,4,6 Curva 90º r/,5 Curva 90º r/,0 0,4 0,5 0,6 0,7,,3,4,5,6,9, Curva 45º 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,, Entrada normal 0,3 0,4 0,5 0,6,0,5,6,0,,5,8 Entrada em borda 0,9,0,,8,3,8 3,3 3,7 4,0 5,0 5,6 Valv. gaveta (aberta) 0, 0, 0,3 0,4 0,7 0,8 0,9 0,9,0,, Valv. globo (aberta),,4 5,0,0 35,8 37,9 38,0 40,0 4,3 50,9 56,7 Valv. Ângulo (aberta) 5,9 6, 8,4 0,5 7,0 8,5 9,0 0,0, 6, 8,9 Tê 90 ass. direta 0,7 0,8 0,9,5,,3,4,5,6 3,3 3,8 Tê 90 ass. lateral,3,4 3, 4,6 7,3 7,6 7,8 8,0 8,3 0,0, 49

209 Princíios de Hidráulica Básica Tê 90 as. bilateral,3,4 3, 4,6 7,3 7,6 7,8 8,0 8,3 0,0, Saída canalização 0,8 0,9,3,4 3, 3,3 3,5 3,7 3,9 4,9 5,5 Valv. é com crivo 8, 9,5 3,3 5,5 8,3 3,7 5,0 6,8 8,6 37,4 43,4 Válv. retenção leve,5,7 3,8 4,9 6,8 7, 8, 9,3 0,4,5 3,9 Valv. reten. esada 3,6 4, 5,8 7,4 9, 0,8,5 4, 6,0 9,,4 Conforme Manual de Tubos e Conexões da TIGRE 40

210 Princíios de Hidráulica Básica Exemlos: 4

211 Princíios de Hidráulica Básica 9. ANÁLISE E ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 9.. Generalidades Ao analisar os escoamentos que ocorre nas tubulações, verifica-se que os roblemas se resumem nos cálculos envolvendo: V, Q ou h. A erda de carga é comosta de duas arcelas: Perda de carga contínua ou distribuída num comrimento L Perda de carga localizada nas equenas regiões com mudança de V Perda de carga total: h t h h L Em muitos casos a erda de carga relaciona-se com o desnível. Escoamento entre dois reservatórios com suerfície livre e com vários trechos diferentes: Equação de Bernoulli: V V z Eb z h γ g γ g t h t h hl Quando V V 0 e atm : z z z h h L E b Nesse caso o desnível geométrico imõe a erda de carga total, tornando-se a fonte de energia ara que haja o escoamento de uma vazão Q. 4

212 Princíios de Hidráulica Básica Observações: n L. Perda de carga contínua: i h fi i. Perda de carga localizada: hl K n i i i Vi g Vi g 9.. INFLUÊNCIA RELATIVA A PERA E CARGA LOCALIZAA Usualmente se encontra três roblemas envolvendo escoamento em tubulações: eterminação da erda de carga total e da variação da ressão Cálculo da vazão e da velocidade média imensionamento das tubulações A existência da erda de carga localizada ode se tornar um novo comlicador. Portanto é conveniente saber quando desrezar as erdas localizadas, ara facilidade dos cálculos, sem rejuízo nos resultados. Tubulações curtas: Usadas em instalações hidráulicas rediais P. C. Localizada é muito imortante Tubulações longas: Usadas em instalações de recalque, adutoras e redes de distribuição de água P. C. Localizada é desrezível Regra geral: se h L < 5% de h h L 0 (desrezível). Regra básica: se L entre acessórios 00 h L ode ser desrezado. 43

213 Princíios de Hidráulica Básica 44 Exemlo de escoamento à artir de um reservatório com o líquido chegando a outro reservatório. esnível: z Comrimento do tubo : L Comrimento do tubo : L iâmetro do tubo : iâmetro do tubo : Registro de gaveta na tubulação: K RG 0, Entrada da tubulação: K e 0,50 Saída da tubulação: K s,0 Fator de atrito: f f f 0,05 Comrimento total da tubulação: L L L Nesse caso a equação de Bernoulli leva a: L h h z g V K g V K g V K g V L f g V L f z s RG e Como V V V e f f f; g V K g V K g V K g V L f g V L f z s RG e ( ) g V K K K g V L L f z s RG e g V K K K L f z s RG e

214 Princíios de Hidráulica Básica Finalmente: z 0,5 L V,7 g Se L/ for grande h L é desrezível; L/ 500 erro na velocidade é de 6,5%; L/ 000 erro na velocidade é de 3,3%; L/ 500 erro na velocidade é de,3% TUBULAÇÕES UNINO RESERVATÓRIOS As tubulações são utilizadas ara transortar fluidos entre reservatórios diferentes. Assim o estudo dos casos existentes entre as diferentes situações é imortante ara o entendimento de escoamentos análogos. Conforme a configuração utilizada no escoamento, os sistemas ganham nomes diferentes. ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES:. Adutoras. Ramificações 3. Redes malhadas 4. Bombas e sifões. PROBLEMAS ENVOLVENO CÁLCULO E Q, OU h.. ado Q e determinar h.. ado e h determinar Q. 3. ado Q e h determinar. 45

215 Princíios de Hidráulica Básica Os roblemas envolvendo o escoamento nas tubulações odem ser resolvidos através da alicação das equações da conservação da massa, da quantidade de movimento e da energia. Os roblemas mais simles são resolvidos facilmente, como ode ser visto nos exemlos seguintes. Exemlo : ado Q 0,50 m 3 /s 0,50 m e L 500 m; 0,30 m e L 700 m; Viscosidade da água: ν,. 0-6 m /s; Tubulação de ferro fundido: e 0,6 mm; Perda de carga localizada na entrada da tubulação, na contração brusca e na saída da tubulação ; Cota de : z 0,00 m. Calcular a cota de : z? Fig. Xx Escoamento entre dois reservatórios através de tubulações de dois diâmetros diferentes. 46