INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Departamento de Engenharia Curso de Graduação em Engenharia de Produção INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA Fonte: Adaptado de Avaliação de Projetos de Invest., J.C. Lapponi, 2000 Fonte: Adaptado de Avaliação de Projetos de Invest., J.C. Lapponi, 2000 ENG 1920 Análise Econômica de Investimentos Prof. Ricardo Rezende, D.S.

2 Taxa equivalente de juros O resultado do Exemplo 7 (Intr à Matem Financ parte1) mostra o conceito de taxa equivalente de juro: dos capitais P e F deduz-se a taxa total de juro de 9,34% ao semestre, equivalente à taxa de 1,5% ªm Isto significa que, se esta taxa (1,5%) for aplicada durante 6 meses no regime de juros compostos será obtida a taxa total de juro de 9,34% ao semestre (e não 9,0%, que seria se fosse juros simples)

3 Exemplo 11 Calcular a taxa mensal de juro equivalente à taxa de juro de 50% ªa Solução: $ aplicado por 1 ano, com uma taxa de juro de 50% ªa, permitirá o resgate de $ Dividindo os 2 membros da fórmula, F e P: $ $ ,50 A taxa mensal de juro equivalente i capitalizada durante 12 meses deverá atender a seguinte condição ( 1+ i) 12 1, 50 Obtém-se a taxa equivalente: i 3,4366% ªm

4 Exemplo 12 O empréstimo de $ foi contratado pelo prazo de 1 mês, quando o devedor deverá pagar $ Qual o valor da taxa anual de juro desse financiamento Solução: Os valores monetários da operação (P e F) definem a taxa de juro de 6% ªm A taxa anual de juro equivalente i deverá atender à seguinte condição 1 + i + Assim, i 101,2196% ªa ( 1 0,06) 12

5 Exemplo 13 Uma aplicação tem taxa total de juro de 8,52% aos 62 dias. Qual a taxa equivalente de juro para 360 dias? Solução: A relação entre os 2 períodos não é inteira Então, o procedimento é calcular inicialmente a taxa de juro equivalente para 1 dia e depois para 360 dias Assim, i d , , ,131965% ao dia Esta taxa diária equivale à taxa de 60,76% aos 360 dias

6 Fórmula da taxa equivalente Conhecida a taxa de juro i m com período m, o cálculo de sua taxa equivalente i n é obtida da igualdade seguinte 1 ( 1 + i ) n n ( 1+ i )m m 1 Nessa igualdade, os períodos das taxas devem ter a mesma unidade de tempo A fórmula da taxa equivalente i n com período n é a seguinte n m ( 1+ ) 1 i n i m

7 Procedimento de cálculo 1. Formar o coeficiente (1+i m ) da taxa conhecida i m com período m 2. Calcular (1+i m ) n/m cujo expoente fracionário n/m: O denominador m é o período da taxa conhecida O numerador n é o período da taxa equivalente 3. Calcular a taxa equivalente de juro com n m ( 1+ ) 1 i n i m

8 8 Exercícios 11. A operação de financiamento foi fechada com a taxa de juro de 3,25% aos 30 dias. Qual a taxa equivalente para 60 dias? i 6,61% aos 60 dias 12. O financiamento foi realizado com taxa de juro de 60% ªa. Qual a taxa de juro mensal equivalente? i 3,99% ao mês 13. Qual a taxa de juro diária equivalente da taxa de juro de 36,50% aos 365 dias? i 0,08528% ao dia

9 9 Exercícios 14. Uma aplicação em renda fixa pelo prazo de 63 dias foi fechada com a taxa de juro de 2,45% aos 63 dias. Qual a taxa de juro equivalente para 365 dias? i 15,05% aos 365 dias 15. O investimento foi realizado com prazo de 90 dias e taxa de juro de 21% aos 365 dias. Qual a taxa equivalente para 90 dias? i 4,81% aos 90 dias 16. Cont. problema anterior. Se por esquecimento, o investidor resgatou seu investimento depois de 95 dias da data da sua aplicação, qual a taxa de juros para 90 dias? i 4,55% aos 90 dias

10 10 Exercícios 17. Um empréstimo de $1.000 foi acertado com prazo de 32 dias e taxa de juro de 5% aos 30 dias. Qual a taxa de juro no prazo da operação? i 5,34% aos 32 dias 18. Durante 90 dias foram aplicados $ na taxa de juro de 3,5% aos 31 dias. Qual o valor do resgate desta operação? F $ ,29

11 Prazo fracionário Exemplo 14 Quando Cláudio perguntou a taxa de juro de uma aplicação de $ em renda fixa pelo prazo de 95 dias, o gerente do banco informou que a taxa era 1,25% aos 30 dias. Qual o valor que Cláudio resgatará no final da operação? Solução: A taxa de juro equivalente para 95 dias é: 95 ( 1+ 0,0125) , ,012196% aos dias i 95 O resgate da operação é obtido com a fórmula: F ( 1+ 0, ) $15.601, $

12 Considerações A fórmula para o cálculo de F usada no Exemplo 14 exige que o período da taxa de juro seja a unidade de tempo das capitalizações Há operações que não podem ser avaliadas diretamente com a taxa de juros compostos Entretanto, utilizando a taxa equivalente com período igual ao prazo da operação é possível obter o resultado procurado: F 95 ( 1+ 0,0125) $ ( 1+ 0, ) $ F $15.601,82947

13 Expressões Para calcular o futuro, F: n ( i)m F P 1+ Para calcular o presente, P: P F n ( 1+ i)m Para calcular a taxa de juro, i: i F P n m 1

14 Expressões Para calcular o prazo da operação, n: n m F lg P lg 1 ( + i) Para calcular o período da taxa de juro i utilizada, m: m n ( + i) lg 1 F lg P

15 Exemplo 15 Durante 90 dias (n) você investiu $1.000 com taxa de juro de 2,35% aos 31 dias (m). Qual o valor do resgate? Solução: n ( i)m F P 1+ F $ ( 1 0,0235)31 F $1.069,76

16 Exemplo 16 Num investimento com prazo de 197 dias foram aplicados $ e resgatados $ Qual a taxa de juro para 360 dias? Solução: i F P n m $ i 1 0, ,66% aos 360 $ dias

17 Exemplo 17 O resgate de uma aplicação de $ foi $21.360,65. Se a taxa de juro desta operação foi 25% aos 365 dias, qual o prazo da operação? Solução: F $21.360,65 lg lg P $ n m ( + i) lg( 1+ 0,25) lg 1 dias

18 Exemplo 18 Daqui a 310 dias você necessita de $ Se uma instituição financeira está aceitando aplicações nesse prazo com taxa de juro de 2% aos 30 dias, quanto deveria aplicar? Solução: P F $ n m 30 ( + i) ( 1+ 0,02) $8.149,51

19 19 Exercícios 19. Com o pagamento de $1.000, Roberto liquidou o financiamento com prazo de 63 dias. Se a taxa de juro foi 48% aos 360 dias, qual o valor recebido pelo tomador do empréstimo? P $933, Foram investidos $ em ações. Depois de 114 dias da data da compra as ações foram vendidas recebendo $ Qual a taxa de juro com período de 360 dias? i 63,41% aos 360 dias 21. No resgate de uma aplicação de $ foi recebido $ Se a taxa de juro da operação foi 32,50% aos 365 dias, qual o prazo da aplicação? n 525,90 dias

20 20 Exercícios 22. Um capital de $ foi aplicado durante 180 dias com a taxa de juro de 65% aos 365 dias. Qual o valor futuro da operação? F $ , Necessitando de $ daqui a 450 dias, quanto se deveria aplicar hoje considerando a taxa de juro de 1,42% aos 30 dias? P $14.568, No final de um ano de 365 dias necessito ter $ Considerando a taxa de juro de 45% aos 360 dias, quanto deverei aplicar no início do ano? P $ ,06

21 21 Exercícios 25. Em quanto tempo um capital dobra na taxa de juro de 73% aos 360 dias? n 455,25 dias 26. O valor resgatado de uma aplicação foi 200% maior que o valor aplicado. Se o prazo da operação foi de 2 anos, qual a taxa de juro mensal? i 4,6839% ao mês