INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA Fonte: Adaptado de Avaliação de Projetos de Invest., J.C. Lapponi, 2000 Fonte: Adaptado de Avaliação de Projetos de Invest., J.C. Lapponi, 2000 Prof. Ricardo Rezende, D.S. / Profa. Juliana Schmidt Galera, M.E.

2 2 1. Apresentação Qualquer que seja o tipo de empresa, seus administradores aplicam suas habilidades técnicas e pessoais para transformar ideias e capital em produtos e serviços orientados para gerar lucro A geração de lucro é importante, mas não é suficiente; o lucro aceitável é aquele que agrega valor à empresa Deste modo, deve-se ter em mente que os gerentes tomam decisões que maximizam a criação de valor para a empresa, respeitando restrições técnicas, legais e éticas do meio

3 3 2. Investimentos A preparação de uma proposta de investimento tem as seguintes etapas: 1. Identificação de oportunidades de investimento - criatividade e inovação 2. Preparação de alternativas - estimativas relevantes do fluxo de caixa 3. Avaliação das alternativas elaboradas - critérios de decisão e medidas de desempenho 4. Seleção da proposta de investimento - projeto que maximiza o valor da empresa

4 4 2. Investimentos É importante destacar que, num ambiente competitivo, o lucro econômico tende a desaparecer, impossibilitando a criação de valor Esta situação obriga a empresa a lançar novos produtos com vantagem competitiva que, depois de um tempo, em geral, serão imitados e até melhorados pelos concorrentes, provocando um ciclo de novos produtos e, em consequência, novos projetos Daí a premissa de tomar decisões que maximizem a criação de valor para a empresa

5 5 2. Investimentos Projetos para criação de valor expansão de produtos existentes lançamento de novos produtos inovação de produtos existentes pesquisa e desenvolvimento redução de custos Projetos para manter o valor substituição de equipamentos e instalações informatização atendimento de acordos ou leis

6 6 3. Criação de valor Exemplo 1: Ana Paula venceu o concurso para escolha da melhor frase que identificará o novo serviço da empresa. Como ela não tem intenção de gastar o prêmio antes de 1 ano e a empresa prefere não desembolsar o prêmio agora, Ana Paula tem que escolher a melhor das 2 alternativas propostas: a) receber hoje $ b) receber daqui a 1 ano $ (em título) Que alternativa Ana Paula deve escolher, considerando que ela consegue a taxa de juro de 20% ªa numa alternativa de investimento equivalente?

7 7 3. Criação de valor Considerando a taxa de juro de 20% ªa, os $ de hoje serão F: F = P x (1+i) = x (1 + 0,2) = R$ ,00 Portanto, a melhor alternativa é receber o prêmio de $ daqui a 1 ano O custo de oportunidade de Ana Paula é a taxa de juro de 20% ªa que conseguiria numa alternativa de investimento equivalente; na alternativa equivalente, o juro de $ é o custo de oportunidade monetário Após 1 ano, seu lucro extra será de $5.000

8 8 3. Criação de valor Em uma operação financeira, o lucro econômico é o valor que exceder do custo de oportunidade da melhor alternativa disponível com o mesmo nível de risco Exemplo 2: 6 meses antes de receber o título, Ana Paula oferece ao seu colega a oportunidade de comprar por $ o título de $ Considerando que o colega de Ana Paula tem mais do que este valor investido numa alternativa equivalente com taxa de juro de 8% ao semestre, ele deve comprar o título?

9 9 3. Criação de valor Solução: Investindo os $ durante 6 meses na taxa de juro 8% ao semestre conseguirá o valor futuro de F = P i ( 1 + ) = $ ( 1+ 0,08) = $ A melhor alternativa é comprar o título, conseguindo um lucro extra de $1.280 (lucro econômico)

10 10 4. Matemática financeira Princípio básico: receber hoje um certo valor é melhor do que ter uma promessa de receber esse mesmo valor monetário numa data futura Justificativas: a) o valor monetário recebido hoje pode ser investido rendendo juro aumento do valor inicial b) o poder aquisitivo do valor futuro poderá ser menor do que o de hoje risco de inflação c) a incerteza de não receber o valor prometido no futuro risco de inadimplência

11 11 4. Matemática financeira Exemplo 3: Roberto aplicou $ pelo prazo de 92 dias num fundo de renda fixa administrado por um dos maiores bancos do país. O gerente afirmou que no dia que for completado o prazo da operação, o banco creditará na conta corrente de Roberto o capital investido mais o rendimento gerado pela aplicação calculado com a taxa de juro igual a 3,75% pelo período. Qual é o valor do resgate da operação? Solução: Ao completar 92 dias Roberto resgatará $10.375,00 resultado da soma do valor aplicado mais o valor ref. ao juro

12 12 4. Matemática financeira A taxa de juro de 3,75% aos 92 dias do Exemplo 3 informa que: O valor aplicado receberá $0,0375 de juro por cada $1 aplicado durante o prazo de 92 dias O juro da aplicação de $ será de $375 Na data de resgate da aplicação, na c/c de Roberto será creditado o resultado da soma do valor aplicado ($10.000) mais o valor do juro da aplicação ($375), totalizando $ Capitalização é o procedimento de adicionar o juro do período ao capital, ou principal, do início do mesmo período

13 13 4. Matemática financeira Simbologia: P = desembolso que ocorre na data inicial da operação, denominado também como presente ou principal i = taxa de juro, apresentada na forma %, que é a forma corrente de informar seu valor; calculadoras financeiras - %; Excel - decimal J = juro da operação; é o valor monetário que será acrescido ao principal; J = i x P F = é o valor de resgate da operação ou futuro; F = P + J = P + (i.p) = P.(1+i)

14 14 4. Matemática financeira A fórmula do futuro F é a que nos interessa como modelo das operações financeira elementares ( i) F = P 1+ As variáveis F, P e i podem ser dados ou incógnitas: ( i) F = P 1+ i = P F 1 P F = 1+ i

15 15 Exercícios 1. Necessitamos acumular $ daqui a 90 dias. Quanto deverá aplicar hoje pelo prazo de 90 dias numa operação de renda fixa com taxa de juro de 3,70% aos 90 dias? P = $14.464,80 2. Você aplicou $ em renda fixa pelo prazo de 35 dias e taxa de juro de 1,1% aos 35 dias. Qual o valor a ser resgatado? F = $ Os valores aplicados e resgatados no fundo de investimento foram, respectivamente, $9.260 e $12.325,60. Qual a taxa de juro desta operação se o prazo do investimento foi de 7 meses? i = 33,11% aos 7 meses

16 16 Exercícios 4. Você aplicou $5.300 pelo prazo de 1 ano. Se a instituição garantiu a taxa de juro de 12% ao ano, qual o valor do resgate da operação? F = $5.936,00 5. A relação de capitais F/P dos investimentos com prazo de 1 ano realizado pelo banco é F/P = 1,3418. Se de um investimento foi resgatado $9.124,24, qual o valor investido? P = $6.800,00 6. Daqui a 1 ano você necessita ter $ Quanto deverá aplicar hoje, em renda fixa prefixada com taxa líquida de juro de 12% ao ano? P = $8.928,57

17 Juros simples e compostos Não reinvestir os juros das operações elementares não é usual no mercado financeiro Denomina-se regime de juros simples o procedimento que não capitaliza todos os juros; aplicado apenas na determinação dos valores monetários de operações financeiras com taxa nominal de juro Denomina-se regime de juros compostos o procedimento que capitaliza todos os juros; utilizado para avaliar uma operação financeira com taxa efetiva de juro

18 Juros simples e compostos A taxa nominal é a taxa de juro acordada em contrato que se acrescentará às prestações de um empréstimo. Esta taxa geralmente é expressa em períodos de incorporação dos juros que não coincide com aquele que a taxa está se referindo. A taxa efetiva geralmente é usada quando o período de formação e incorporação dos juros coincide com o período que a taxa está se referindo. Essa taxa é resultante da aplicação periódica do juro previsto na taxa nominal.

19 Juros simples e compostos Por exemplo, a uma taxa nominal de 12% ao ano, a taxa efetiva será de 1% ao mês. Como a aplicação desse percentual é feita mês a mês, juro sobre juro, a taxa total, no final de um ano, não será mais os 12% contratados, e sim 12,68%.

20 Exemplo 4 Estela investiu $ num fundo de investimento. Exatamente 4 meses depois resgatou $10.877,34. O gerente do fundo informou que as taxas de rentabilidade mensais do fundo durante o prazo do investimento de Estela foram 1,8%, 2%, 2,2% e 2,5% ªm. Estela gostaria de verificar se o resgate recebido corresponde realmente às taxas mensais de juro informadas.

21 Expressão para F O procedimento para a resolução do exemplo 4 é demorado e pode ser simplificado por meio de uma expressão F da 4ª operação: F da 3ª operação: F da 2ª operação: F da 1ª operação: ( 1 0,025) ( 1 0,022) ( 1 0,02) ( 1 0,018) $ ,34 = $10.612, $ ,0392 = $10.383,60 + $ ,60 = $ $ = $ Substituindo os valores da 1ª, 2ª e 3ª operações na 4ª operação, tem-se: ( 1+ 0,018) ( 1+ 0,02) ( 1+ 0,022) ( 1 0,025) $ ,34 = $

22 Expressão para F Esta última expressão pode ser escrita da seguinte forma, considerando apenas as 4 operações elementares: [( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( i )] F = P Como uma operação pode ter n operações elementares: [( + i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ ) ( )] F = P i j 1+ i n 4 F = P n ( 1+ i j ) j= 1

23 Expressão para P Esta última fórmula é o modelo das operações financeiras com 2 capitais no regime de juros compostos com taxa de juro variável ou taxa flutuante Pode-se obter P da seguinte forma: P = F ( + i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ ) i n P = n ( 1+ i j ) j= 1 F

24 Expressão para i A fórmula da taxa total de juro i é obtida da seguinte forma: F P ( + i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ ) ( + ) = i j 1 i n ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ ) ( ) i = 1 2 i j 1+ i n i ( + i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) j ( 1+ i ) 1 = n i = n ( 1+ i ) j j= 1 1

25 Exemplo 5 Alfredo investiu $ pelo prazo de 4 semestres seguidos. As taxas de rentabilidade dos 4 semestres foram, em seqüência, 6,4%, 13,2%, 22,6% e 5,7%. Qual o valor resgatado no final do 4º semestre? Solução: [( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( i )] F = P F = [( 1+ 0,064) ( 1+ 0,132) ( 1+ 0,226) ( 1 0,057) ] $ F = $ , = $54.628,78

26 Exemplo 6 Continuando como Exemplo 5, qual a taxa de juro durante os 2 anos? Solução: i ( + i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( 1+ ) 1 = i i = ( 1+ 0,064) ( 1+ 0,132) ( 1+ 0,226) ( 1+ 0,057) 1 i = 1, = 0,

27 27 Exercícios 7. O excesso de caixa da empresa de $ foi aplicado em um fundo durante 5 dias com a taxa de juro de 0,3% aos 5 dias. A seguir o valor resgatado foi reaplicado em renda fixa durante 8 dias com taxa de juro de 0,48% aos 8 dias. Finalmente, o valor resgatado da aplicação em renda fixa foi aplicado durante 12 dias com taxa de juro de 0,75% aos 12 dias. Qual o resgate dessa operação? F = $18.276,71 8. Continuando com o Exercício 7, qual a taxa total de juro desta operação? i = 1,5373% aos 25 dias

28 28 Exercícios 9. Foram aplicados $ durante 10 dias com taxa total de juro de 0,8%. O valor resgatado foi reaplicado durante 6 dias com taxa total de juro de 0,4%. O valor resgatado da segunda aplicação foi reaplicado durante 12 dias com taxa total de juro de 1,05%. A quarta aplicação foi realizada durante 7 dias com taxa total de juro de 0,5%. Quais os valores da taxa de juro e o resgate no final da quarta aplicação? i = 2,78% aos 35 dias e F = $ ,44

29 29 Exercícios 10. Alberto manteve $ em Caderneta de Poupança durante 10 meses seguidos. Analisando o valor resgatado, Alberto verificou que a taxa total de juro da operação foi 9,65% aos 10 meses. Se a taxa de juro durante os primeiros 6 meses da operação foi 5,33% aos 6 meses, qual a taxa de juro dos últimos 4 meses? i = 4,10% aos 4 meses

30 Taxa constante Inicialmente, apresentou-se o modelo no regime de juros compostos com taxas de juro variáveis: [( + i ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) ( )] F = P Se as operações elementares forem idênticas, com o mesmo prazo e a mesma taxa de juro: n vezes $!!!!! #!!!!! " F = P 1+ ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) = P ( i) n i n

31 Expressões Para calcular o futuro, F: Para calcular o presente, P: Para calcular a taxa de juro, i: ( i) n F = P 1+ P i = F = 1+ ( i) n F P 1 n 1 Para calcular o período da taxa de juro i, n: n = lg lg 1 F P ( + i)

32 Exemplo 7 Foram depositados $ por 6 meses com taxa constante de 1,50% ªm. Qual o valor resgatado no final do 6º mês no regime de juros compostos? Solução: ( i) n F = P 1+ F = $ ( 1 0,015) 6 F = $10.934,43

33 Exemplo 8 Ana Luisa necessita de $ daqui a 4 anos, depois de completar o ensino médio, para realizar uma viagem de 4 meses à Europa. Quanto o pai dela deverá depositar hoje, considerando a taxa de juro de 14% ªa no regime de juros compostos? Solução: P F = n = $ ( 1+ i) ( 1+ 0,14) 4 = $8.881,20

34 Exemplo 9 Um financiamento foi devolvido depois de 6 meses desembolsando $ Se o valor recebido pelo cliente do banco foi $ , qual a taxa de juro mensal dessa operação? Solução: i = F P 1 n 1 = $ $ = 0,06 = 6% ao mês

35 Exemplo 10 De uma aplicação de $ foram resgatados $10.689,12. Se a taxa de juro foi de 1,68% ªm, qual o prazo dessa aplicação? Solução: F $10.689,12 lg lg P $ n = = = 3, ( + i) lg( 1+ 0,0168) lg 1 meses

36 Observação: 36